ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER

ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER

WIEDERHOLUNG: SPRACHE DER PL Die Sprache der PL enthält (1) Individuenkonstanten: a, b, c, (2) Individuenvariablen: x, y, z, (3) (Funktionszeichen: f, g, h, ) (4) Relations-/Prädikatsbuchstaben: P, Q, R, (5) Junktoren:,,, (6) Quantoren:, Individuenkonstanten und Individuenvariablen (und Ausdrücke, die wir mit Hilfe von möglicherweise vorhandenen Funktionszeichen daraus bilden können) nennen wir Individuenterme. Atomare Formeln sind wohlgeformte Formeln, die keine Junktoren oder Quantoren enthalten (z.b. Px, Rxy, Qxya, ); Wohlgeformte Formeln überhaupt entstehen aus atomaren Formeln durch Verknüpfung mit Junktoren oder Quantoren ( xpx, y(rxx Py), )

WAS SOLL EINE SEMANTIK FÜR DIE SPRACHE DER PL LEISTEN? Wir wollen Wahrheitsbedingungen für Formeln der Sprache der PL angeben. D.h. wir wollen Bedingungen angeben, unter denen eine wohlgeformte Formel der Sprache der PL wahr/falsch ist, in Abhängigkeit von der syntaktischen Struktur (logischen Form) der Formel und den Bedeutungen der nicht-logischen Bestandteile die in der Formel vorkommen, und die durch die jeweilige Interpretation festgelegt werden. M.a.W.: Wir wollen Bedingungen angeben unter denen ein Satz wahr/ falsch ist, relativ zu einer Interpretation.

INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN In der AL war eine Interpretation einfach eine Verteilung von Wahrheitswerten auf die atomaren Sätze. Die Semantik der PL ist komplizierter, weil wir jetzt (i) subsententiale Bestandteile (n-stellige Prädikate, Namen und evtl. Funktionszeichen) (ii) quantifikatorische Ausdrücke inkl. Variablen (Alle x, Mindestens ein x) miteinbeziehen müssen.

WOZU INTERPRETATIONEN? Der Grund wieso wir es wieder mit einem relativen Begriff der Wahrheit ( Wahrheit in einer Interpretation ) zu tun haben, ist derselbe wie in der AL: Wir wollen damit zentrale logische Begriffe definieren. (i) Eine PL-Formel α soll genau dann eine logische Wahrheit sein wenn α in jeder Interpretation wahr ist. (ii) Eine PL-Formel α soll genau dann eine logische (semantische) Folgerung aus einer Menge von PL-Formeln S sein wenn α in jeder Interpretation wahr ist in der auch alle Formeln in S wahr sind. Alle Interpretationen sind relevant wenn es um logische Wahrheit und logische Folgerung geht!

INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Beispiel 1. Betrachte folgenden Satz des Deutschen: (1) Irgendjemand, der/die SchauspielerIn ist, mag Seth MacFarlane. Wir wollen gern sagen, dass (1) wahr oder falsch ist. Damit feststeht, dass (1) wahr oder falsch ist, muss feststehen 1) auf welche Objekte wir uns mit dem quantifikatorischen Ausdruck Irgendjemand beziehen 2) wer aller SchauspielerIn ist 3) wer wen mag 4) auf wen sich der Name Seth MacFarlane ist

INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Beispiel 2. Betrachte folgenden Satz der Sprache der PL: (2) x (Sx Mxm) Wir wollen gern sagen, dass (2) wahr oder falsch ist. Damit feststeht, dass (2) wahr oder falsch ist, muss feststehen 1) auf welche Objekte wir uns mit dem Quantor x beziehen 2) auf welche Objekte das Prädikat S zutrifft 3) welche Objekte in der Relation M zueinander stehen 4) welches Objekt durch die Individuenkonstante m bezeichnet wird

INTERPRETATIONEN, PL-STRUKTUREN, VARIABLENBELEGUNGEN Def. Eine PL-Interpretation ist gegeben durch eine PL-Struktur M und eine Variablenbelegung s. Wir schreiben für Interpretationen auch kurz (M,s) (oder verwenden ein fettgedrucktes I). Die PL-Struktur legt eine Domain U fest und ordnet, via einer Interpretationsfunktion Ι, den nicht-logischen Konstanten der Sprache Bedeutungen bzgl. des Diskursuniversums zu. PL-Interpretation + = Die Variablenbelegung s ordnet Variablen Objekte der Domain zu und hilft dabei, die Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze sauber zu formulieren.

PL-STRUKTUR UND VARIABLENBELEGUNG Def. Eine PL-Struktur M ist gegeben durch (1) irgendeine nicht-leere Menge U (Domain, Diskursuniversum, Universe of Discourse, Redebereich, ) (2) Interpretationsfunktion I, die jedem nichtlogischen Zeichen eine Bedeutung zuordnet: Jeder Individuenkonstanten a wird ein Objekt I(a) in U als Bedeutung zuordnet. Jedem n-stelligen Relationszeichen P wird eine Menge von n-tupeln I(P) von Objekten aus U als Bedeutung zuordnet. (Jedem n-stelligen Funktionszeichen f wird eine Funktion f M : D n D als Bedeutung zuordnet.)

WOZU PL-STRUKTUREN? Die Domain U spezifiziert auf welche Objekte sich die Quantoren beziehen. (Was heisst hier alle? Alle Menschen? alle Lebewesen? alle natürlichen Zahlen?) Individuenkonstanten entsprechen umgangssprachlichen Namen, sollen also bestimmte Objekte der gegebenen Domain bezeichnen. Prädikatssymbole entsprechen umgangssprachlichen Prädikaten, sollen also wahr von bestimmten Objekten (Tupeln, Triplen n- Tupeln von Objekten) sein.

PL-STRUKTUR UND VARIABLENBELEGUNG Beispiel. Angenommen wir wollen eine PL-Struktur für die Formel x (Sx Mxm) angeben. In der Formel kommen eine Individuenkonstante m, ein einstelliges Prädikat S, und ein zweistelliges Prädikat M vor. Eine PL-Struktur (unter unendlich vielen anderen) für diese PL-Formel wäre z.b. gegeben durch folgende Festlegungen: U = {1, 2, 3, 4} I(m) = 2 I(S) = {1, 2} I(M) = { 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 4 }

PL-STRUKTUR UND VARIABLENBELEGUNG Def. Eine Variablenbelegung s ordnet jeder Individuenvariablen x, y, z, ein Objekt s(x), s(y), s(z), aus der Domain U zu. Beispiel. Wir wollen eine PL-Interpretation für die Formel (Mxy Mxz) u Muu angeben. Dazu müssen wir einerseits eine PL-Struktur angeben, z.b. U = {1, 2, 3, 4} I(M) = { 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 4 } andererseits eine Variablenbelegung, z.b. die Variablenbelegung s, die durch folgende Festlegungen bestimmt ist: s(x) = 1, s(y) = 1, s(z) = 2, s(u) = 3

PL-STRUKTUR UND VARIABLENBELEGUNG Def. Eine x-variante s einer Variablenbelegung s ist eine Variablenbelegung, die genau gleich wie s ist, ausser (möglicherweise) für die Variable x. Beispiel. Falls die Variablenbelegung s festgelegt ist durch s(x) = 1, s(y) = 2, s(z) = 3 dann sind die Variablenbelegungen s und s x-varianten von s: s (x) = 3, s (y) = 2, s(z) = 3 s (x) = 1, s (y) = 2, s (z) = 3 Die Variablenbelegung s ist andererseits keine x-variante von s: s (x) = 1, s (y) = 2, s (z) = 2

WOZU VARIABLENBELEGUNGEN? Zum einen kommen in der formalen Sprache der PL Formeln mit freien Variablen vor, d.h. Formeln, die Variablen enthalten, die durch keinen Quantor gebunden sind, etwa x Rxy (Mxy x Rxx) y kommt frei in x Rxy vor y kommt frei in (Mxy x Rxx) vor; x kommt in (Mxy x Rxx) einmal frei, einmal gebunden vor Eine Formel mit einer freien Variable hat solange keinen Wahrheitswert, solange nicht klar ist auf welches Objekt sich die freie Variable bezieht! Zum anderen spielen Variablenbelegungen und Varianten von Variablenbelegungen eine wesentliche Rolle bei der Formulierung der Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze.

INTERPRETATION VON INDIVIDUENTERMEN Bevor wir endlich Wahrheitsbedingungen für PL-Formeln formulieren können, treffen wir noch folgende Festlegung, die hauptsächlich technischer Natur ist. Für Individuenterme t soll gelten: I(t) := s(x) falls t eine Variable x ist. := I(a) falls t eine Individuenkonstante a ist. (:= f M (I(t 1 ),,I(t n )) falls t ein Individuenterm der Form ft 1 t n ist.) Wir erweitern also unsere Interpretationsfunktion I auch auf Variablen (und Individuenterme, die mittels Funktionszeichen gebildet wurden). Das wird uns das Formulieren der Wahrheitsbedingungen von atomaren Formeln erleichtern.

PL-STRUKTUR UND VARIABLENBELEGUNG Nach all den Vorbereitungen können wir nun endlich daran gehen, Wahrheitsbedingungen zu formulieren. D.h. wir definieren im folgenden (wie auch in der AL) rekursiv den Begriff der Wahrheit in einer Interpretation! Gegeben eine PL-Formel α, eine geeignete PL-Struktur M, und eine Variablenbelegung s, werden wir also die Relation α ist wahr in der Interpretation (M, s) definieren und dafür kurz (M, s) α schreiben. Für α ist nicht wahr (d.h. falsch) in der Interpretation (M, s) schreiben wir kurz (M, s) α. Warnung! Das Zeichen bedeutet in diesem Zusammenhang offenbar NICHT dasselbe wie in S α, sofern S eine Satzmenge bezeichnen soll! In dem Fall bedeutet ja aus folgt logisch/semantisch.

DEFINITION: WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION (i) Klausel für atomare Formeln: (M, s) Pt 1 t n gdw I(t 1 ), I(t n ) I(P) (ii) Klauseln für die Junktoren: (M, s) α gdw. (M, s) α (M, s) (α β) gdw. (M, s) α und M, s β (M, s) (α β) gdw. (M, s) α oder M, s β (oder beides) (M, s) (α β) gdw. (M, s) α oder M, s β (oder beides) (iv) Klauseln für die Quantoren: (M, s) xα gdw. Für alle x-varianten s von s gilt: (M, s ) α (M, s) xα gdw. Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: (M, s ) α

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Beispiel 1: Wir wollen wissen, ob die Formel x (Sx Mxm) wahr oder falsch ist in der Interpretation, die durch die PL-Struktur U = {1, 2, 3, 4} I(m) = 2 I(S) = {1, 2} I(M) = { 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1 } und die Variablenbelegung s mit s(x) = 1 festgelegt ist.

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION (M, s) x (Sx Mxm) Klausel für existenzquantifizierte Sätze Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: (M, s ) Sx Mxm Klausel für Konjunktionen Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: (M, s ) Sx und (M, s ) Mxm Klausel für atomare Formeln Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: I(x) I(S) und I(x), I(m) I(M)

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: I(x) I(S) und I(x), I(m) I(M) I(m)=2 und für Variablen ist I(x)=s (x) Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: Nach Festlegung der Struktur M s (x) I(S) und s (x), 2 I(M) Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: s (x) {1, 2} und s (x), 2 { 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1 } Und tatsächlich gibt es eine solche x-variante s von s nämlich s selbst! x (Sx Mxm) ist in der angegebenen Interpretation also wahr!

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Beispiel 2: Wir wollen wieder wissen, ob die Formel x (Sx Mxm) wahr oder falsch ist, jetzt aber in der Interpretation, die durch die PL-Struktur U = {1, 2, 3, 4} I(m) = 2 I(S) = {1, 2} I(M) = { 3, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1 } und die Variablenbelegung s mit s(x) = 1 festgelegt ist.

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION (M, s) x (Sx Mxm) Klausel für existenzquantifizierte Sätze Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: (M, s ) Sx Mxm Klausel für Konjunktionen Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: (M, s ) Sx und (M, s ) Mxm Klausel für atomare Formeln Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: I(x) I(S) und I(x), I(m) I(M)

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: I(x) I(S) und I(x), I(m) I(M) I(m)=2 und für Variablen ist I(x)=s (x) Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: Nach Festlegung der Struktur M s (x) I(S) und s (x), 2 I(M) Es gibt eine x-variante s von s, sodass gilt: s (x) {1, 2} und s (x), 2 { 3, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1 } Und tatsächlich gibt es eine solche x-variante s von s nicht! x (Sx Mxm) ist in der angegebenen Interpretation also falsch!

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Aus dem Beispiel ist (hoffentlich) auch ersichtlich, dass es für die Wahrheit oder Falschheit von x (Sx Mxm) auf die ursprüngliche Variablenbelegung s letzten Endes gar nicht ankommt. Das ist immer dann der Fall, wenn die Formel, deren Wahrheitswert wir bestimmen wollen, keine freien Variablen enthält, d.h. wenn alle Variablen durch Quantoren gebunden sind. In so einem Fall schreiben wir dann auch einfach M α, weil ja die Wahrheit/Falschheit von α nur von der Struktur M, nicht aber der ursprünglichen Variablenbelegung s abhängt.

NOCHEINMAL: WIESO ÜBERHAUPT INTERPRETATIONEN? Um zentrale logische Begriffe zu definieren! Eine Formel ist allgemeingültig (eine logische Wahrheit), wenn sie in jeder Interpretation wahr ist. Eine Formel ist eine Kontradiktion, wenn sie in jeder Interpretation falsch ist. Eine Formel α ist eine logische / semantische Folgerung aus einer Menge von Formeln S (kurz, S α), wenn es keine Interpretation gibt, in der alle Formeln in S wahr sind, aber α falsch ist. Eine Menge von Formeln S ist erfüllbar, wenn es mindestens eine Interpretation gibt, in der alle Formeln in S wahr sind.

EIN WICHTIGER UNTERSCHIED ZWISCHEN AL UND PL Um in der AL zu testen ob eine Formel logisch wahr ist oder eine Formel aus einer Menge S von Formeln logisch folgt, mussten wir nur endlich viele Interpretationen durchgehen (Wahrheitstafeln!) In der PL ist das nicht mehr so einfach, weil es immer unendlich viele Interpretationen gibt, die wir untersuchen müssten. Anders als in der AL gibt es für die Begriffe der logischen Wahrheit / logischer Folgerung kein mechanisches Entscheidungsverfahren, d.h. kein Verfahren, das uns in endlich vielen Schritten eine Entscheidung logisch wahr / nicht logisch wahr bzw. logische Folgerung / keine logische Folgerung liefert (das ist der Inhalt von Church s Theorem ). In der PL sind deshalb vollständige Kalküle umso wichtiger! Wir wollen doch immerhin irgendwie nachweisen können, dass ein Satz eine logische Wahrheit ist oder ein Satz aus einer Menge von Sätzen logisch folgt, ohne eine unendliche Aufgabe lösen zu müssen.

EINE WICHTIGE GEMEINSAMKEIT Wie auch für die AL gilt aber natürlich auch für die PL: Um nachzuweisen, dass eine Formel nicht logisch wahr ist, müssen wir nur eine Gegeninterpretation finden, d.h. eine Interpretation in der die Formel falsch ist. Um nachzuweisen, dass eine Formel α nicht semantisch aus einer Menge von Formeln S folgt, müssen wir nur eine Gegeninterpretation finden, d.h. eine Interpretation in der alle Formeln in S wahr sind, aber α falsch.

BEISPIELE Beispiel 1. Wir wollen zeigen, dass gilt: x Bx x Gx x (Bx Gx)

BEISPIELE Beispiel 1. Wir wollen zeigen, dass gilt: x Bx x Gx x (Bx Gx) Folgende Struktur M bestätigt dies: U : = {Troy, Dave, Josh, Nick} I(G) : = I(B) : = {Troy, Dave, Josh} {Nick}

BEISPIELE Beispiel 1. Wir wollen zeigen, dass gilt: x Bx x Gx x (Bx Gx) Folgende Struktur M bestätigt dies: U : = {Troy, Dave, Josh, Nick} I(G) : = I(B) : = {Troy, Dave, Josh} {Nick} Man stelle sich vor B stehe in diesem Modell für das Prädikat Bass zu spielen und G für das Prädikat Gitarre zu spielen; dann sagt die Prämisse Irgendjemand spielt Bass und irgendjemand spielt Gitarre und die Konklusion Irgendjemand spielt sowohl Bass als auch Gitarre. Die Prämisse ist in diesem Modell / dieser Interpretation / dieser Struktur wahr aber die Konklusion falsch! D.h. die Konklusion folgt nicht aus den Prämissen!

BEISPIELE Oft ist es auch nützlich, sich Interpretationen durch Bildchen darzustellen: Troy I(G) Josh Dave I(B) Nick U M x Bx x Gx aber M x (Bx Gx), also x Bx x Gx x (Bx Gx)

MERKE! Malt man hübsche Bildern anstatt die Interpretation so anzugeben, wie wir es in früheren Beispielen getan haben, gilt: Aus der Darstellung der Interpretation muss klar ersichtlich sein, was die Domain ist, welche Individuenkonstanten welche Objekte der Domain bezeichnen, und welche Prädikate auf welche Individuen zutreffen! Im Zweifelsfall besser die offizielle mengentheoretische Schreibweise verwenden und Bildchen nur für Illustrationszwecke.

BEISPIELE Beispiel 2. Wir wollen zeigen, dass gilt: x ymxy x ymxy

BEISPIELE Beispiel 2. Wir wollen zeigen, dass gilt: x ymxy x ymxy Folgende Gegeninterpretation zeigt genau das: U : = {Josh, Troy, Dave, Brant} I(M) : = { Josh, Troy, Troy, Dave, Dave, Josh, Brant, Dave }

BEISPIELE Beispiel 2. Wir wollen zeigen, dass gilt: x ymxy x ymxy Folgende Gegeninterpretation zeigt genau das: U : = {Josh, Troy, Dave, Brant} I(M) : = { Josh, Troy, Troy, Dave, Dave, Josh, Brant, Dave } Man stelle sich vor, M würde in diesem Modell für die Relation des Mögens stehen dann sagt die Prämisse x ymxy Jeder (der vier Leute in U) mag jemanden (der vier Leute) und die Konklusion x ymxy Irgendjemand (der vier Leute) mag alle (vier Leute). Die Prämisse x ymxy ist in dieser Interpretation / dieser Struktur / diesem Modell wahr, aber das Konsequens x ymxy ist falsch. D.h. die Konklusion folgt nicht aus den Prämissen!

BEISPIELE In Bildchen-Form: Domain U: Troy Brant Josh Dave M x ymxy aber M x ymxy, also x ymxy x ymxy

BEISPIELE Beispiel 3. Wir wollen zeigen, dass gilt: x(gx Bx) xgx xbx.

BEISPIELE Beispiel 3. Wir wollen zeigen, dass gilt: x(gx Bx) xgx xbx. Folgende Struktur bestätigt das: U : = {1, 2, 3} I(B) : = {1, 3} I(G) : = {2}

BEISPIELE Beispiel 3. Wir wollen zeigen, dass gilt: x(gx Bx) xgx xbx. Folgende Struktur bestätigt das: U : = {1, 2, 3} I(B) : = {1, 3} I(G) : = {2} I(B) I(G) U 1 3 2 M x(bx Gx) aber M xbx xgx, also x(bx Gx) ( xbx xgx)

BEISPIELE Beispiel 4, 5, 6. Die bisherigen Beispiele zeigen natürlich insbesondere auch, dass die Formeln x Bx x Gx x (Bx Gx) x(gx Bx) xgx xbx x ymxy x ymxy keine logischen Wahrheiten sind, weil es Interpretationen gibt, in denen das jeweilige Antezedens wahr ist, das jeweilige Konsequens aber falsch.

BEISPIELE Beispiel 7. Wir wollen zeigen dass gilt: { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px).

BEISPIELE Beispiel 7. Wir wollen zeigen dass gilt: { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px). Wir betrachten dazu die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U : = {1, 2, 3} I(P) : = {2, 3} I(M) : = {1, 3} I(S) : = {1}

BEISPIELE Beispiel 7. Wir wollen zeigen dass gilt: { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px). Wir betrachten dazu die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U : = {1, 2, 3} I(P) : = {2, 3} I(M) : = {1, 3} I(S) : = {1} I(S) I(M) I(P) U 1 3 2

BEISPIELE Beispiel 7. Wir wollen zeigen dass gilt: { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px). Wir betrachten dazu die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U : = {1, 2, 3} I(P) : = {2, 3} I(M) : = {1, 3} I(S) : = {1} I(M) I(P) U 1 3 2 M x(mx Px)

BEISPIELE Beispiel 7. Wir wollen zeigen dass gilt: { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px). Wir betrachten dazu die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U : = {1, 2, 3} I(P) : = {2, 3} I(M) : = {1, 3} I(S) : = {1} I(S) I(M) U 3 2 1 M x(sx Mx)

BEISPIELE Beispiel 7. Wir wollen zeigen dass gilt: { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px). Wir betrachten dazu die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U : = {1, 2, 3} I(P) : = {2, 3} I(M) : = {1, 3} I(S) : = {1} I(S) I(P) U 1 3 2 aber M x(sx Px)

BEISPIELE Beispiel 7. Wir wollen zeigen dass gilt: { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px). Wir betrachten dazu die Struktur M = U, I, die folgendermaßen festgelegt ist: U : = {1, 2, 3} I(P) : = {2, 3} I(M) : = {1, 3} I(S) : = {1} I(S) I(M) I(P) U 1 3 2 M x(mx Px) M x(sx Mx) aber M x(sx Px) also { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px)

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 8. Wir fragen uns ob, die Formel x y( Hyy Hxy) erfüllbar ist.

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 8. Wir fragen uns ob, die Formel x y( Hyy Hxy) erfüllbar ist. Eine Interpretation, in der x y( Hyy Hxy) wahr ist, könnte etwa so aussehen: U := {1, 2, 3, 4, 5, 6} U 1 2 6 3 4 5 I(H) := { 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5, 6,6, 5,5, 3,3 } In dieser Interpretation ist x y( Hyy Hxy) wahr, weil es ein Objekte gibt, das zu allen Objekten in der Relation H steht, die nicht zu sich selbst in dieser Relation stehen. ( Der rote Ruben schneidet allen die Haare, die sich nicht selbst die Haare schneiden. )

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 9. Wir fragen uns ob, die Formel x y(hxy Hyy) erfüllbar ist.

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 9. Wir fragen uns ob, die Formel x y(hxy Hyy) erfüllbar ist. Eine Interpretation, in der x y(hxy Hyy) wahr ist, könnte etwa so aussehen: U := {1, 2, 3, 4, 5, 6} U 1 2 6 3 4 5 I(H) := { 6,1, 6,2, 6,4, 3,3, 3,5 } In dieser Interpretation ist x y(hxy Hyy) wahr, weil es ein Objekte gibt, das nur zu solchen Objekten in der Relation H steht, die nicht zu sich selbst in dieser Relation stehen. ( Der rote Ruben schneidet nur solchen Leuten die Haare, die sich nicht selbst die Haare schneiden. )

BEISPIELE Beispiel 10. Wir fragen uns, ob die Formelmenge { x yrxy, x y z(rxy Ryz Rxz), xrxx} erfüllbar ist.

BEISPIELE Beispiel 10. Wir fragen uns, ob die Formelmenge { x yrxy, x y z(rxy Ryz Rxz), xrxx} erfüllbar ist. Um zu sehen, dass sie es ist, betrachten wir die Struktur M, die durch folgende Festlegungen bestimmt ist: U : = {0, 1, 2, 3, } I(R) : = { n, m : n, m N, n < m}

BEISPIELE Die Struktur M ist also einfach die Struktur der natürlichen Zahlen mit ihrer natürlichen Ordnung (die Pfeile deuten die Kleiner-Relation an): U 0 1 2 3 4

BEISPIELE Die Struktur M ist also einfach die Struktur der natürlichen Zahlen mit ihrer natürlichen Ordnung (die Pfeile deuten die Kleiner-Relation an): 0 1 2 3 4 n n+1 U M x yrxy Für jede Zahl n gibt es eine noch größere Zahl n+1!

BEISPIELE Die Struktur M ist also einfach die Struktur der natürlichen Zahlen mit ihrer natürlichen Ordnung (die Pfeile deuten die Kleiner-Relation an): 0 1 2 3 4 U M x y z(rxy Ryz Rxz) Ist eine Zahl kleiner als eine zweite und diese kleiner als eine dritte, ist die erste Zahl kleiner als die dritte.

BEISPIELE Die Struktur M ist also einfach die Struktur der natürlichen Zahlen mit ihrer natürlichen Ordnung (die Pfeile deuten die Kleiner-Relation an): 0 1 2 3 4 U M xrxx Keine Zahl ist kleiner als sie selbst!

BEISPIELE Die Struktur M von vorhin ist aber nicht die einzige Struktur, in der alle Formeln in der Menge { x yrxy, x y z(rxy Ryz Rxz), xrxx} wahr sind. Man mache sich klar, dass auch die nebenstehende Struktur (bzw. die Struktur, die durch das Bildchen dargestellt wird) jeden Satz der Formelmenge wahr macht!

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Wir haben gesehen, dass wir im Allgemeinen keine Möglichkeit haben zu entscheiden, ob eine PL-Formel allgemeingültig ist bzw. ob eine Formel aus einer Menge von Formeln logisch folgt In vielen Fällen können wir uns durch informelle Argumente aber von der Allgemeingültigkeit einer Formel bzw. von der Tatsache, dass eine Formeln aus deiner Menge von Formeln logisch folgt, hinreichend gut überzeugen. Dazu braucht man nur Kenntnis einer gewissen Portion (informeller) Mengenlehre und zu viel Freizeit.

WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION UND INFORMELLE MENGENLEHRE Der Disjunktion zweier Eigenschaften α(x) β(x) entspricht die Aussage, dass x in der Vereinigungsmenge der α s und der β s, α s β s, ist. α s α s β s β s Der Konjunktion zweier Eigenschaften α(x) β(x) entspricht die Aussage, dass x in der Durchschnittsmenge der α s und der β s, α s β s, ist α s α s β s β s Der Negation einer Eigenschaft α(x) entspricht die Aussage, dass x im Komplement bzgl. der Gesamtdomain, U\α s (sprich die Domain U ohne die α s ), ist U U\α s α s Der Formel, die durch Konditionalisierung zweier Eigenschaften entsteht, d.h. α(x) β(x), entspricht der Teilmengenbeziehung, α s β s (sprich die α s sind eine Teilmenge der β s ) α s β s

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 11. Wir wollen uns davon überzeugen, dass gilt: x (Ax Bx) x Ax x Bx

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 11. Wir wollen uns davon überzeugen, dass gilt: x (Ax Bx) x Ax x Bx x (Ax Bx) ist in einer Interpretation wahr, falls der Durchschnitt der Menge der A s und der B s nicht-leer ist. Aber daraus folgt unmittelbar, dass auch die A s und B s jeweils nicht-leer sein müssen. A s B s A s B s und

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 12. Wir wollen uns davon überzeugen, dass gilt: { x(ax Bx), x(bx Cx)} x(ax Cx)

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 12. Wir wollen uns davon überzeugen, dass gilt: { x(ax Bx), x(bx Cx)} x(ax Cx) x(ax Bx) ist in einer Interpretation wahr, falls die A s eine Teilmenge der B s sind, und x(bx Cx) ist wahr falls die B s eine Teilmenge der C s sind. Daraus folgt aber unmittelbar, dass die A s eine Teilmenge der C s sein müssen. C s C s A s B s B s A s

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 13. Wir wollen uns davon überzeugen, dass gilt: x ymxy x ymxy

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 13. Wir wollen uns davon überzeugen, dass gilt: x ymxy x ymxy Eine Interpretation, in der x ymxy wahr ist, muss (mindestens) so aussehen: U

NACHWEIS DER ALLGEMEINGÜLTIGKEIT/ LOGISCHEN FOLGERUNG Beispiel 13. Wir wollen uns davon überzeugen, dass gilt: x ymxy x ymxy Eine Interpretation, in der x ymxy wahr ist, muss (mindestens) so aussehen: U Aber in einer Interpretation, die so aussieht, muss automatisch auch x ymxy wahr sein. (Vgl: Wenn irgendjemand alle mag, wird jeder von irgendjemandem gemocht klar: nämlich von der Person, die alle mag!)

MERKE! Eine Interpretation für einen PL-Formel (oder eine Menge von PL- Formeln) ist gegeben durch Angabe einer nichtleeren Menge, der Domain U, auf die sich die Quantoren beziehen sollen. Angabe von Interpretationen für alle nicht-logischen Zeichen die in der Formel (der Menge von Formeln) vorkommen. evtl. Angabe einer Variablenbelegung, falls in der Formel (der Menge von Formeln) freie Variablen vorkommen.