SE MODALLOGIK UND ANDERE PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKEN WS 2015/16 ESTHER RAMHARTER & GÜNTHER EDER

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1 SE MODALLOGIK UND ANDERE PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKEN WS 2015/16 ESTHER RAMHARTER & GÜNTHER EDER

2 DAS ZWEIWERTIGKEITS- ODER BIVALENZPRINZIP Einer der Gründe warum PhilosophInnen / LogikerInnen sich mit nicht-klassischen Logiken beschäftigen ist, dass klassische Logik oft idealisierende Annahmen trifft, die für natürliche Sprachen schwer zu rechtfertigen sind Eines davon ist das Bivalenz- oder Zweiwertigkeitsprinzip: Jeder Satz hat genau einen von zwei Wahrheitswerten, wahr oder falsch Das Prinzip der Zweiwertigkeit führt zu einer sehr einfachen Logik, aber ist es korrekt für natürliche Sprachen?

3 GEGENBEISPIEL I : KONTINGENTE ZUKUNFTSAUSSAGEN Aristoteles Bestimmung von Wahrheit in seiner Metaphysik: Zu sagen nämlich, das Seiende sei nicht oder das Nicht-Seiende sei, ist falsch, dagegen zu sagen, das Seiende sei und das Nichtseiende sei nicht, ist wahr. (Aristoteles: Metaphysik, 1011b) Diese Stelle wird von den meisten als klassische Variante der Korrespondenztheorie interpretiert, die oft auch so formuliert wird: (W) Ein Satz ist wahr, wenn die Tatsachen so liegen, wie der Satz sagt, dass sie liegen (F) Ein Satz ist falsch, wenn die Tatsachen so liegen, wie die Negation des Satzes sagt, dass sie liegen

4 GEGENBEISPIEL I : KONTINGENTE ZUKUNFTSAUSSAGEN Bei den seienden und gewordenen Dingen muss also die Bejahung oder die Verneinung wahr oder falsch sein [ ] Bei den einzelnen erst kommenden Dingen verhält es sich aber nicht ebenso. Denn wenn hier jede Bejahung und Verneinung ohne Ausnahme wahr oder falsch wäre und Alles entweder sein oder nicht-sein müsste und nun der Eine sagte, es werde sein, der Andere aber, es werde nicht sein, so ist klar, dass dann einer von beiden nothwendig die Wahrheit sagte [ ] Wenn nun dies [Zweiwertigkeit, Anm.] auch für die erst kommenden Dinge gelten sollte, so würde oder wäre nichts aus Zufall, oder so, wie es sich gerade trifft und dies gälte auch für das erst in Zukunft Werdende. Alles würde vielmehr aus Nothwendigkeit und nicht wie es sich gerade trifft. [ ] Widersinnig ist nun aber dies und andres der Art, was sich ergiebt, wenn von jeder Bejahung und Verneinung [ ] nothwendig einer ihrer Gegensätze wahr und der andere falsch sein muss, und wenn von dem, was geschieht, nichts so, wie es sich gerade trifft, geschehen kann, sondern alles aus Nothwendigkeit sein oder werden müsste. Man brauchte dann auch nicht zu berathschlagen und sich zu bemühen, damit, wenn man so handle, dies geschehen werde und wenn man nicht so handle, dies nicht geschehen werde. (Aristoteles: De Interpretatione, 9. Kapitel)

5 GEGENBEISPIEL I : KONTINGENTE ZUKUNFTSAUSSAGEN Aristoteles Argument: (1) Angenommen der Satz Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden ist schon heute definitiv wahr / falsch (2) Dann muss es schon jetzt eine Tatsache geben, die den Satz Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden wahr / falsch macht (3) Aber anzunehmen, dass schon heute feststeht, was morgen passieren wird, heisst anzunehmen, dass alles schon vorherbestimmt ist ( Determinismus) (4) Determinismus ist aber falsch (5) Also kann die Annahme, dass der Satz Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden definitiv wahr / falsch ist, nicht stimmen.

6 GEGENBEISPIEL II : SÄTZE DIE VAGE PRÄDIKATE ENTHALTEN Eine weitere Klasse von Sätzen, die oft als weder (definitiv) wahr, noch (definitiv) falsch angesehen werden, sind Sätze die vage Prädikate beinhalten. Achtung: Vagheit Ambiguitität/Mehrdeutigkeit! Ein Prädikat P ist mehrdeutig wenn P mehrere klar voneinander abgegrenzte Bedeutungen hat. Z.B. ist Bank ambig mit Bedeutungen Geldinstitut, Sitzgelegenheit, Ein (disambiguiertes) Prädikat P ist vage, wenn P keine klar abgegrenzte Bedeutung hat und deshalb wenn P Borderline-Fälle zulässt, d.h. individuelle Fälle a von denen nicht klar ist, ob Pa wahr ist oder falsch. Aussagen, die vage Prädikate beinhalten sind auch logisch-philosophisch interessant, da sie zu Paradoxien führen Sorites Paradox (= Haufen Paradox )

7 GEGENBEISPIEL II : SÄTZE DIE VAGUE PRÄDIKATE ENTHALTEN Folgende drei Annahmen zum Begriff Glatze führen sehr einfach zu einem Widerspruch: (i) Jemand mit keinem einzigem Haar auf dem Kopf hat eine Glatze (ii) Durch Hinzufügen eines einzelnen Haares wird aus jemandem mit Glatze nicht jemand ohne Glatze (iii) Einige Leute (z.b. Herbert Prohaska in den 80ern) haben keine Glatze Das Argument ist sehr einfach und benutzt nur wenige Ressourcen (i.w. Modus Ponens): (1) Jemand mit 0 Haaren hat eine Glatze (2) Wenn jemand mit 0 Haaren eine Glatze hat, dann hat auch jemand mit 1 Haar eine Glatze (3) Jemand mit 1 Haar hat eine Glatze (4) Wenn jemand mit 1 Haar eine Glatze hat, dann hat auch jemand mit 2 Haaren eine Glatze ( ) Jemand mit Haaren (etwa Herbert Prohaska in den 80ern) hat eine Glatze

8 GEGENBEISPIEL III : DIE LÜGNER-PARADOXIE Im Brief des Paulus an Titus (Tit. 1,12 f) steht: Es hat einer von ihnen gesagt, ihr eigener Prophet: Die Kreter sind immer Lügner, böse Tiere und faule Bäuche. Dieses Zeugnis ist wahr. Aus diesem Grund weise sie scharf zurecht, damit sie gesund werden im Glauben. Das Zeugnis des Kreter-Propheten kann auf zwei Arten gelesen werden: (Version 1) Der Kreter-Prophet sagt: Alle Kreter lügen manchmal führt zu keinem Widerspruch und kann wahr sein. (Version 2) Der Kreter-Prophet sagt: Alle Kreter lügen immer führt zu keinem Widerspruch, muss aber falsch sein.

9 GEGENBEISPIEL III : DIE LÜGNER-PARADOXIE Obwohl der Kreter-Satz selbst noch nicht paradox ist, können wir einfache Sätze angeben, die tatsächlich zu Widersprüchen führen: (L) L ist falsch Klassischerweise können nur zwei Fälle eintreten: L ist wahr oder falsch Fall 1: Angenommen L ist wahr. Dann ist das was der Satz sagt, der Fall. Also ist der Satz L falsch. Wenn L wahr ist, ist L falsch. Fall 2: Angenommen L ist falsch. Dann ist das was der Satz sagt, nicht der Fall. L ist also nicht falsch, d.h. wahr. Wenn L also falsch ist, dann ist L wahr Insgesamt gilt also, dass L wahr ist gdw. L falsch ist ein Widerspruch (wenn wir annehmen, dass es nur zwei Wahrheitswerte gibt und das Haben des einen das Haben des anderen ausschließt)!

10 EINE UNIFORME LÖSUNG? Ein wichtiger Ansatz zur Auflösung dieser Probleme besteht darin, das Prinzip der Zweiwertigkeit aufzugeben. Das führt zur Mehrwertigen Logik In den einfachsten mehrwertigen Logiken, den dreiwertigen Logiken, gibt es zusätzlich zu den üblichen zwei Wahrheitswerten auch noch einen dritten Wahrheitswert, der, je nach intendierter Anwendung, als Wahrheitswertlücke oder Wahrheitswertballung interpretiert wird Mehrwertige Logiken können aber auch 4, 5, 17 oder sogar unendlich viele Wahrheitswerte enthalten ( Fuzzy-Logic)

11 GRUNDLEGENDES ZU MEHRWERTIGEN LOGIKEN Die Syntax / Grammatik der mehrwertigen Logiken, die wir uns ansehen wereden, ist dieselbe wie in der klassischen AL, d.h. wir haben Aussagebuchstaben p, q, r, Junktoren,,,, und Klammern (auch im Fall der PL bleibt alles wie gehabt). Um eine vernünftige Logik zu bekommen (zunächst beschränkt auf AL) und damit einen Begriff von logischer Wahrheit / logischer Folgerung, müssen wir zuerst eine Semantik für diese Sprache angeben! Dazu müssen wir angeben, (i) welche Wahrheitswerte atomare Aussagen annehmen können (ii) wie die Wahrheitswerte komplexer Aussagen von den Wahrheitswerten der einfacheren Teilaussagen abhängen. M.a.W.: jedem Junktor muss eine bestimmte Wahrheitsfunktion zugeordnet werden. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten! Welche wir wählen wird davon abhängen was die intendierte Anwendung der jeweiligen Logik sind.

12 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 UND KONTINGENTE ZUKUNFTSAUSSAGEN Eine einfache dreiwertige Logik ist die Logik L 3 von Jan Lukasiewicz, der mit seiner dreiwertigen Logik mit kontingenten Zukunftsaussagen zurechtkommen wollte. In Lukasiewicz dreiwertiger Logik L 3 haben wir drei Wahrheitswerte: wahr, falsch und undefiniert, kurz: w, f und u. In L 3 wird der dritte Wahrheitswert u als Wahrheitswertlücke (d.h. als weder wahr noch falsch ) interpretiert was plausibel ist: kontingente Zukunftsaussagen sind ja (noch) nicht wahr und auch (noch) nicht falsch: only time will tell! Die semantischen Festlegungen für die Junktoren L 3 (d.h. die Wahrheitsfunktionen, die den Junktoren entsprechen) kann man sich dann genau so wie im klassischen, zweiwertigen Fall durch Wahrheitstafeln veranschaulichen

13 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für Negation: w u f f w P P w f u f w Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Negation wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

14 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für Negation: w u f f u w P P w f u u f w Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Negation wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

15 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für Lukasiewicz-Konjunktion: w u f w w f u f f f P Q P Q w w w w u w f f u w u u u f f w f f u f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Konjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

16 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für Lukasiewicz-Konjunktion: w u f w w u f u u f f f P Q P Q w w w w u u w f f u w u u u u f f w f f u f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Konjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

17 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für Lukasiewicz-Konjunktion: w u f w w u f u u u f f f P Q P Q w w w w u u w f f u w u u u u u f f w f f u f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Konjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

18 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für Lukasiewicz-Konjunktion: w u f w w u f u u u f f f f f P Q P Q w w w w u u w f f u w u u u u u f f f w f f u f f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Konjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

19 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für die Lukasiewicz-Disjunktion: w u f w w w u f w f P Q P Q w w w w u w f w u w u u u f f w w f u f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Disjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

20 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für die Lukasiewicz-Disjunktion: w u f w w w w u w f w f P Q P Q w w w w u w w f w u w w u u u f f w w f u f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Disjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

21 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für die Lukasiewicz-Disjunktion: w u f w w w w u w u f w f P Q P Q w w w w u w w f w u w w u u u u f f w w f u f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Disjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

22 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für die Lukasiewicz-Disjunktion: w u f w w w w u w u u f w u f P Q P Q w w w w u w w f w u w w u u u u f u f w w f u u f f f Für klassische Wahrheitswerte soll sich die Disjunktion wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

23 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für das Lukasiewicz-Konditional: w u f w w f u f w w P Q P Q w w w w u w f f u w u u u f f w w f u f f w Für klassische Wahrheitswerte soll sich das Konditional wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

24 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für das Lukasiewicz-Konditional: w u f w w f u w f w w w P Q P Q w w w w u w f f u w w u u u f f w w f u w f f w Für klassische Wahrheitswerte soll sich das Konditional wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

25 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für das Lukasiewicz-Konditional: w u f w w u f u w u f w w w P Q P Q w w w w u u w f f u w w u u u f u f w w f u w f f w Für klassische Wahrheitswerte soll sich das Konditional wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten?

26 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier die Tafel für das Lukasiewicz-Konditional: w u f w w u f u w w u f w w w P Q P Q w w w w u u w f f u w w u u w u f u f w w f u w f f w Für klassische Wahrheitswerte soll sich das Konditional wie gehabt verhalten Was ist mit nichtklassischen Werten? Klingt komisch, ist aber so

27 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Hier noch einmal eine Zusammenstellung der Lukasiewicz- Junktoren: w u f w u f w u f w f w w u f w w w w w w u f u u u u u f u w u u u w w u f w f f f f f w u f f w w w

28 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Ähnlich wie im klassischen Fall auch, können wir jetzt die Begriffe der logischen Wahrheit und der logischen Folgerung über den Begriff der Interpretation definieren Eine L 3 -Interpretation ist eine Funktion, die jedem atomaren Satz einen der drei Wahrheitswerte w, f oder u zuordnet D.h. eine L 3 -Interpretation für eine AL-Signatur {p, q, r, } ist eine Funktion I: {p, q, r, } {w, f, u} Ein beliebig komplexer Satz α ist wahr / falsch / undefiniert in einer Interpretation I, wenn gemäß unseren semantischen Festlegungen bzgl. der Junktoren wahr / falsch / undefiniert ist.

29 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Bevor wir die Begriffe der logischen Wahrheit / Folgerung für definieren können, brauchen wir noch den Begriff des designierten Werts In der klassischen Logik war die Wahl des Wertes, den ein Satz immer haben muss, damit er eine logische Wahrheit ist, sehr einfach: er muss in jeder Interpretation den Wert w (wahr) haben. Ähnlich für den klassischen logischen Folgerungsbegriff: damit ein Satz A logisch aus einer Menge von Prämissen folgt, muss A in jeder Interpretation den Wert w haben, in der auch alle Prämissen den Wert w haben. Man sagt auch, dass w klassischerweise der einzige designierte Wert ist. Da es in mehrwertigen Logiken zusätzliche Wahrheitswerte gibt, gibt es hier Spielraum: es kann auch mehrere designierte Werte geben.

30 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 In der Logik L 3 gibt es, wie in der klassischen Logik, nur einen einzigen designierten Wahrheitswert, nämlich w Wir können jetzt definieren: Ein Satz α ist eine L 3 -logische Folgerung aus S gdw. α in jeder L 3 -Interpretation den Wert w hat, in der auch alle Sätze in S den Wert w haben (in Zeichen: S L3 α) Ein Satz α ist L 3 -logisch wahr (eine L 3 -Tautologie) gdw. α in jeder L 3 -Interpretation den Wert w hat (in Zeichen: L3 α)

31 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Logische Wahrheit / Folgerung können in L 3 genauso wie in klassischer Logik überprüft werden, nämlich mit Wahrheitstafeln! P P P w u f w u w Diese Wahrheitstafel zeigt, dass das Gesetz vom Ausgeschlossenen Dritten P P in L 3 nicht mehr logisch wahr ist

32 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Logische Wahrheit / Folgerung können in L 3 genauso wie in klassischer Logik überprüft werden, nämlich mit Wahrheitstafeln! P P P w w u u f w Logiken, in denen das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten nicht mehr gilt, nennt man manchmal auch paravollständige Logiken ( paracomplete ) Diese Wahrheitstafel zeigt, dass das Gesetz vom Ausgeschlossenen Dritten P P in L 3 nicht mehr logisch wahr ist

33 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Logische Wahrheit / Folgerung können in L 3 genauso wie in klassischer Logik überprüft werden, nämlich mit Wahrheitstafeln! P P P w w u u f w P w u f P P w w w Logiken, in denen das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten nicht mehr gilt, nennt man manchmal auch paravollständige Logiken ( paracomplete ) Diese Wahrheitstafel zeigt, dass das Gesetz vom Ausgeschlossenen Dritten P P in L 3 nicht mehr logisch wahr ist Die zweite Wahrheitstafel zeigt, dass P P auch in L 3 noch logisch wahr ist

34 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Folgende Wahrheitstafel zeigt, dass das Ex Contradictione Quodlibet in L 3 nicht allgemeingültig ist P Q (P P) Q w w w w u w w f w u w w u u w u f u f w w f u w f f w Logiken, in denen das Ex Contradictione nicht gilt, nennt man auch Formel-parakonsistente Logiken

35 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Folgende Wahrheitstafel zeigt, dass das Ex Contradictione Quodlibet in L 3 nicht allgemeingültig ist P Q (P P) Q w w w w u w w f w u w w u u w u f u f w w f u w Logiken, in denen das Ex Contradictione nicht gilt, nennt man auch Formel-parakonsistente Logiken Logiken, in denen die entsprechende Schlussform (P P) Q (auch oft Ex Contradictione Quodlibet oder Principle of Explosion genannt) nicht gilt, heissen Schluss-parakonsistent oder einfach parakonsistent f f w

36 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 In mehrwertigen Logiken ist es üblich, statt der Buchstaben w, f, u, reelle Zahlen zwischen 0 und 1 zu verwenden um Wahrheitswerte zu bezeichnen (warum das nützlich ist, wird sich gleich zeigen) Die Wahrheitstafeln für die Junktoren in der Lukasiewicz-Logik L 3 kann man sich also so anschreiben / 2 1 / / / / 2 1 / 2 1 / / / / 2 1 / / / / / /

37 LUKASIEWICZ DREIWERTIGE LOGIK L 3 Gemäß dieser Konvention ist also eine L 3 -Interpretation eine Funktion I: {p, q, r, } {1, 1 / 2, 0} Wir können dann (re-)definieren: Ein Satz α ist eine L 3 -logische Folgerung aus S gdw. α in jeder L 3 -Interpretation den Wert 1 hat, in der auch alle Sätze in S den Wert 1 haben (in Zeichen: S L3 α) Ein Satz α ist L 3 -logisch wahr (eine L 3 -Tautologie) gdw. α in jeder L 3 -Interpretation den Wert 1 hat (in Zeichen: L3 α)

38 MEHRWERTIGE LOGIKEN ALLGEMEIN Eine mehrwertige Logik kann man also auffassen als Tripel W, M, D wobei W eine Menge der Wahrheitswerten ist (im Fall L 3 die Menge {1, 1 / 2, 0}). M eine Menge von Wahrheitsfunktionen (im endlichen Fall repräsentiert durch Wahrheitstafeln) für die Junktoren,,, und ist (im Fall von L 3 die Wahrheitstafeln von vorhin). D W eine Menge von designierten Werten ist (im Fall von die Menge L 3 die Menge {1}). Weitere mehrwertige Logiken erhält man also, indem man an einem dieser drei Rädchen schraubt

39 KLEENES DREIWERTIGE LOGIK K 3 Eine Variante von L 3, Kleenes dreiwertige Logik K 3, erhält man, indem man die Wahrheitstafel für das Konditional wie folgt abändert: w u f w w u f u w u u f w w w 1 1 / / / / 2 1 / Das einzige, das sich ändert ist also, dass in K 3 ein Konditional nur mehr undefiniert ist wenn sowohl Antezedens als auch Konsequenz undefiniert sind (und nicht mehr wahr ist, wie in L 3 ) Wie in L 3 ist auch in K 3 der einzige designierte Wert 1, d.h. K 3 = {0, 1 / 2, 1}, M, {1}, wobei M wie M von früher ist, nur dass wir die Wahrheitstafel für das Kleene- Konditional verwenden, um die Wahrheitsbedingungen von festzulegen

40 KLEENES DREIWERTIGE LOGIK K 3 Wie in L 3 is auch in K 3 das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten P P nicht mehr logisch wahr, d.h. K3 P P! P P P / 1 2 / 2 0 1

41 KLEENES DREIWERTIGE LOGIK K 3 Wie in L 3 is auch in K 3 das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten P P nicht mehr logisch wahr, d.h. K3 P P! P P P P P P / 2 1 / / 2 1 / Andererseits ist aufgrund der neuen semantischen Eigenschaften des Konditionals auch P P keine logische Wahrheit mehr!

42 KLEENES DREIWERTIGE LOGIK K 3 (Fast) dieselbe Wahrheitstafel wie vorhin zeigt, dass das Ex Contradictione Quodlibet auch in K 3 nicht gültig ist P Q (P P) Q / / / 2 1 / 2 1 / 2 1 / / /

43 KLEENES DREIWERTIGE LOGIK K 3 (Fast) dieselbe Wahrheitstafel wie vorhin zeigt, dass das Ex Contradictione Quodlibet auch in K 3 nicht gültig ist P Q (P P) Q / / Tatsächlich kann man zeigen, dass es in K 3 überhaupt keine logischen Wahrheiten mehr gibt! 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / / /

44 KLEENES DREIWERTIGE LOGIK K 3 (Fast) dieselbe Wahrheitstafel wie vorhin zeigt, dass das Ex Contradictione Quodlibet auch in K 3 nicht gültig ist P Q (P P) Q / / / 2 1 / 2 1 / 2 1 / / / Tatsächlich kann man zeigen, dass es in K 3 überhaupt keine logischen Wahrheiten mehr gibt! Das bedeutet andererseits nicht, dass es keine gültigen Argumente mehr gibt!

45 KLEENES DREIWERTIGE LOGIK K 3 Folgende Tafel zeigt z.b. dass gilt: {P Q} K3 Q P P Q P Q Q P / 2 1 / 2 1 / / / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / / 2 1 / / Andererseits ist (P Q) ( Q P) keine K 3 -logische Wahrheit mehr! Das zeigt, dass in K 3 der Zusammenhang α K3 β K3 α β (eine semantische Variante des Deduktionstheorems) nicht mehr gilt!

46 PRIESTS DREIWERTIGE LOGIK LP Eine Variante von Kleenes Logik K 3, die dreiwertige Logik LP (manchmal auch P 3 ), ergibt sich, wenn man statt nur mehr einem designierten Wahrheitswert (nämlich 1), auch noch 1 / 2 als designierten Wahrheitswert dazu nimmt, d.h. LP = {0, 1 / 2, 1}, M, {1, 1 / 2 } Die so erhaltene dreiwertige Logik LP ( Logic of Paradox ) wurde von Graham Priest vorgeschlagen, um mit dem Lügner-Paradox (und dessen Verschärfungen) zurechtzukommen Anders als in K 3 und L 3 ist die Idee hier, dass der dritte Wahrheitswert 1 / 2 nicht als Wahrheitswertlücke, sondern als Wahrheitswertballung verstanden wird, d.h. ein Satz mit Wahrheitswert 1 / 2 ist beides, wahr und falsch.

47 PRIESTS DREIWERTIGE LOGIK LP Die Tatsache, dass es in LP einen zusätzlichen designierten Wahrheitswert gibt, ändert die Logik K 3 drastisch Anders als K 3 ist LP nicht mehr paravollständig, d.h. das Gesetz vom Ausgeschlossenen Dritten ist LP wieder gültig (siehe Wahrheitstafel von früher); das zeigt auch, dass das Gesetz vom Ausgeschlossenen Dritten nicht mit dem Bivalenzprinzip identifizierbar ist! Anders als K 3 und L 3 ist LP nicht Formel-parakonsistent, d.h. (P P) Q ist auch in LP allgemeingültig (siehe Wahrheitstafel von früher)

48 PRIESTS DREIWERTIGE LOGIK LP P Q (P P) Q / / / / / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / / ABER: in LP gilt nicht mehr (P P) LP Q, LP ist also Schluss-parakonsistent oder einfach parakonsistent. Von einem Widerspruch kann nicht mehr auf Beliebiges geschlossen werden! Auch Modus Ponens (Schluss von P und P Q auf Q) ist in LP nicht mehr gültig (betrachte dazu die Interpretation, in der P den Wert 1 / 2 hat und Q den Wert 0) 0 1 / /

49 WEITERE VERALLGEMEINERUNGEN DIE LOGIKEN L N Bisher haben wir uns nur mit 3-wertigen Logiken W, M, D mit verschiedenen Ms (Definitionen der Junktoren) und verschiedenen Ds (designierten Werten) beschäftigt Um vernünftige endlich- und auch unendlichwertige Logiken zu erhalten, muss man allgemein angeben wie sich die Wahrheitswerte von Junktoren bzgl. dieser Wahrheitswerte angeben Die Konvention, Wahrheitswerte mit bestimmten reellen Zahlen zwischen 0 und 1 zu identifizieren, erweist sich hier als sehr nützlich, da die Wahrheitswertfunktionen, die die Junktoren ausdrücken sollen, (oft) sehr einfach durch arithmetische Funktionen dargestellt werden können

50 WEITERE VERALLGEMEINERUNGEN DIE LOGIKEN L N Sehr gut für Verallgemeinerungen geeignet ist etwa die Lukasiewicz-Logik von früher Die n-wertige Logik L n = W, M, D ist folgendermaßen festlegt: W = {1, n-2 / n-1, n 3 / n-1, 1 / n-1, 0} D = {1} M =

51 WEITERE VERALLGEMEINERUNGEN DIE LOGIKEN L N Die Semantik M der Junktoren ist durch folgende Wahrheitswertfunktionen (jeweils für Negation, Konjunktion, Disjunktion und Konditional) bestimmt: f : W W mit f (x) = 1 x f : W 2 W mit f (x,y) = min(x, y) f : W 2 W mit f (x, y) = max(x, y) f : W 2 W mit f (x, y) = min(1, 1 x + y)

52 WEITERE VERALLGEMEINERUNGEN DIE LOGIKEN L N In den Definitionen von vorhin steht max(x, y) für diejenige Funktion, die, angewendet auf ein Paar x, y von Zahlen die größere von beiden als Funktionswert hat. Eine Disjunktion ist also so wahr wie der höchste Wahrheitswert seiner Disjunkte. min(x, y) steht für die Funktion, die für ein Paar von Zahlen x, y die kleinere als Funktionswert hat. Eine Konjunktion ist also so wahr wie das geringste seiner Konjunkte. Die Idee hinter der Wahrheitsfunktion min(1, 1 x + y) für das Konditional α β ist folgende: wenn α weniger wahr ist als β (oder gleich wahr), dann ist das Gesamtkonditional automatisch wahr (hat Wert 1); wenn α wahrer ist als β, dann ist das Gesamtkonditional weniger wahr als 1; und zwar genau um so viel weniger als 1 wie β zu α abnimmt

53 WEITERE VERALLGEMEINERUNGEN DIE LOGIKEN L N Beispiel: Angenommen wir betrachten die 7-wertige Logik L 7 (d.h. W = {1, 5 / 6, 4 / 6, 3 / 6, 2 / 6, 1 / 6, 0}). Angenommen das Antezedens α des Konditionals α β hat Wahrheitswert 1 / 6 und das Konsequens β den Wahrheitswert 5 / 6. Dann ist der Wahrheitswert von α β gleich 1. Hat umgekehrt das Antezedens α den Wert 5 / 6 und β den Wert 1 / 6, dann hat das Konditional α β den Wahrheitswert 2 / 6 (ist also ziemlich falsch ).

54 WEITERE VERALLGEMEINERUNGEN FUZZY LOGIC Man kann sich einfach davon überzeugen, dass diese Wahrheitswertfunktionen für die Fälle W = {0, 1} (bzw. W = {0, 1 / 2, 1}) genau die Wahrheitstafeln für klassische zweiwertige Logik (bzw. L 3 ) liefern Die endlich-wertigen Lukasiewicz-Logiken L n haben den Vorteil, dass sie sich auch einfach auf unendlich viele Wahrheitswerte verallgemeinern lassen Die kontinuumwertige Logik L ℵ hat dieselben Wahrheitsfunktionen wie die endlich-wertigen Logiken L n und ebenfalls nur einen designierten Wert (nämlich 1); Die Menge der Wahrheitswerte von L ℵ besteht jetzt aber aus allen reellen Zahlen zwischen 0 und 1, d.h. W = [0, 1] Die Logik L ℵ wurde gelegentlich als angemessene Semantik für Sätze, die kontinuierliche vage Prädikate enthalten, vorgeschlagen

55 MEHRWERTIGE PRÄDIKATENLOGIK Drei und mehrwertige Logiken kann man relativ geradlinig auf Prädikatenlogik übertragen Was sich beim Übergang von der klassischen AL zur PL ändert ist, dass die atomaren Sätze p, q, r, weiter zerlegt werden können in (n-stellige) Prädikate und Individuenterme und dass Quantoren dazukommen Was wir tun müssen, um eine Semantik für eine mehrwertige PL zu bekommen (und damit einen Begriff von logischer Wahrheit / Folgerung), müssen wir wieder festzulegen was eine mehrwertige Interpretation ist und was die Wahrheitsbedingungen für komplexe Sätze sind

56 L 3 PL -STRUKTUREN Definition. Eine L 3 PL -Struktur besteht aus einer nichtleeren Menge D (der Domain) und einer Interpretationsfunktion I, die (i) jedem Konstantensymbol a ein Individuem I(a) D zuordnet (ii) jedem n-stelligen Funktionssymbol f eine Funktion I(f): D n D zuordnet (iii) jedem n-stelligen Prädikatssymbol P ein Paar I(P) = (P 1 *, P 2 * ) zuordnet, wobei sowohl P 1 * als auch P 2 * Mengen von n- Tupeln von Elementen in D sind, sodass P 1 * P 2 * = { }

57 L 3 PL -STRUKTUREN Die ersten beiden Klauseln (i) und (ii) sind gleich wie im klassischen Fall Die Idee hinter Klausel (i) ist die, dass P 1 * die Menge von n-tupeln ist, von denen das Prädikat P definitiv wahr ist (man spricht auch von der Extension von P) P 2 * die Menge von n-tupeln, von denen das Prädikat P definitiv falsch ist (man spricht hier auch von der Anti-Extension von P), und der Rest (falls es so einen gibt) die Menge von n-tupeln ist, für die das Prädikat P undefiniert ist (P 1 * P 2 * muss also nicht die gesamte Menge D n sein!)

58 L 3 PL -INTERPRETATIONEN Definition. Variablenbelegungen s sind, wie im klassischen Fall, als Funktionen definiert, die jeder Variable x einen Wert in D zuordnen. Dasselbe gilt für x-varianten s einer gegebenen Variablenbelegung s Definition. Eine L 3 PL -Interpretation ist dann, ähnlich wie im klassischen Fall, ein Paar (M, s), bestehend aus einer L 3 PL -Struktur M und einer Variablenbelegung s Die Interpretation I(t) eines (komplexen oder einfachen) Individuenterms t (relativ zu einer Variablenbelegung) ist wie früher rekursiv definiert Das einzige, was noch zu tun bleibt, ist Wahrheitsbedingungen anzugeben, d.h. Bedingungen, unter denen ein komplexer Satz wahr, falsch bzw. undefiniert ist

59 WAHRHEIT UNTER EINER L 3 PL - INTERPRETATION PL Definition. Angenommen M, s ist eine L 3 -Interpretation. Dann gilt für beliebige Formeln α, β: * (i) Wenn α = Pt 1 t n ist, dann ist α wahr unter M, s, falls I(t 1 ),, I(t n ) P 1 ; falsch unter * M, s, falls I(t 1 ),, I(t n ) P 2 ; und undefiniert unter M, s, sonst (ii) Wenn α, β beliebige Formeln sind, dann sind α, (α β), (α β), (α β) wahr / falsch / undefiniert unter M, s, wenn die L 3 -Wahrheitstafeln für die Junktoren das so festlegen (iii) Wenn α eine Formel ist und x eine Individuenvariable, dann ist xα wahr unter M, s falls für jede x-variante s gilt, dass α wahr unter M, s ist; xα ist falsch unter M, s, falls es eine x-variante s gibt, sodass α falsch unter M, s ist; xα ist undefiniert unter M, s, sonst xα wahr unter M, s falls es eine x-variante s gibt, sodass α wahr unter M, s ist; xα ist falsch unter M, s, falls für jede x-variante s gilt, dass α falsch unter M, s ist; xα ist undefiniert unter M, s, sonst

60 DIE QUANTOREN-KLAUSELN Man beachte, dass Klauseln für die Quantoren und im Wesentlichen Verallgemeinerungen der der Klauseln für und sind Ein allquantifizierter Satz ist genau dann definitiv wahr, wenn alle seine Instanzen definitiv wahr sind; definitiv falsch genau dann wenn mindestens eine Instanz definitiv falsch ist; und in den anderen Fällen weder wahr noch falsch Ein existenzquantifizierter Satz ist genau dann definitiv wahr, wenn mindestens eine seiner Instanzen wahr ist; definitiv falsch genau dann wenn alle seine Instanzen definitiv falsch sind; und in den anderen Fällen weder wahr noch falsch

61 NOCH EINMAL SORITES Wie könnte man das Sorites-Paradox mit Hilfe der mehrwertigen Logik L 3 PL lösen (oder auflösen )? Um das Paradox präziser zu formulieren legen wir fest: H(x,y) stehe für x hat y Haare auf dem Kopf G(x) stehe für x hat eine Glatze Die Variable n sei auf natürliche Zahlen beschränkt und die Variable p auf Personen P(n) := p(h(p, n) G(p)) steht steht dann für das Prädikat Jemand mit n Haaren hat eine Glatze

62 NOCH EINMAL SORITES Mit diesen Festsetzungen folgt offenbar der Widerspruch P(90.000) P(90.000) aus folgenden Prämissen: (1) P(0) (2) n(p(n) P(n+1)) (3) P(90.000) Um zu sehen, was mit dem Argument aus dreiwertiger Sicht nicht stimmt, sehen wir uns die Wahrheitswerte an, die alle beteiligten Prämissen haben, unter der Voraussetzung, dass bestimmte Sätze der Form P(k) (zwischen P(0) und P(90.000) ) den unbestimmten Wahrheitswert 1 / 2 haben, d.h. weder definitiv wahr noch definitiv falsch sind

63 NOCH EINMAL SORITES Sowohl Prämisse (1) als auch (3) sind (zumindest gehen wir davon aus) definitiv wahr, d.h. P(0) hat den Wert 1 und P(90.000) hat den Wert 0. Wenn wir davon ausgehen, dass irgendwo zwischen 0 und der Wahrheitswert 1 von P(k) auf 1 / 2 von P(k+1) kippt und irgendwo später von 1 / 2 auf 0, dann hat zumindest ein Konditional der Form P(k) P(k+1) den Wahrheitswert 1 / 2 und damit (gemäß Wahrheitsbedingung für quantifizierte Sätze) die Prämisse n(p(n) P(n+1)) ebenfalls Wahrheitswert 1 / 2. Das Sorites-Argument ist, dieser Sichtweise zufolge, also gültig aber nicht schlüssig, weil eine der Prämissen nicht (definitiv) wahr ist!

64 DIE QUANTOREN-KLAUSELN NOCH EINMAL VERALLGEMEINERT Beide Quantoren-Klauseln können auch sehr natürlich auf endlichund sogar unendlichwertige Lukasiewicz-Logiken verallgemeinert werden. Der Wahrheitswert von xα ist gleich dem Minimum (bzw. dem Infimum im Fall von unendlich vielen Wahrheitswerten) der Wahrheitswerte aller Instanzen Der Wahrheitswert von xα ist gleich dem Maximum (bzw. dem Supremum im Fall von unendlich vielen Wahrheitswerten) der Wahrheitswerte aller Instanzen

65 ZUM LETZTEN MAL: SORITES Man beachte, dass sich das Anti-Sorites Argument von vorhin verallgemeinern lässt auf beliebig viele Wahrheitswerte! Angenommen wir nehmen an jede Aussage P(0), P(1), P(90.000) hat ihren eigenen Wahrheitswert (Wahrheit kommt also in Graden ), etwa der Reihe nach 1, / , / ,, 1 / , 0 Für jede Aussage P( n) setzen wir den Wahrheitswert vernünftigerweise ebenfalls auf 0. Dann sind Prämisse (1) und (3) definitiv wahr (d.h. haben Wert 1), aber die zweite Prämisse ist immer noch nicht definitiv wahr, denn bzgl. Lukasiewicz-Konditional ist der Wahrheitswert für jedes der Konditionale P(k) P(k+1) nur / Gemäß Wahrheitsbedingung für allquantifizierte Sätze gilt also auch hier, dass n(p(n) P(n+1)) nur fast ganz wahr ist.