7. Periodische Bewegungen 7.2 Wellen 7.2.1 Harmonische Welle 7.2.2 Interferenz von Wellen 7.2.3 Wellenpakete 723 7.2.3 Stehende Wellen
7.2 Wellen Störung y breitet sich in Raum x und Zeit t aus. y = f(t) und f(x) y = f(t,x)
Def.: Raumperiode λ = Wellenlänge Def.: Zeitperiode etpe T = Schwingungsdauer gsdaue
721H 7.2.1 Harmonische ebene Welle Welle: Ausbreitung einer Störung Harmonische Wll Welle: Störung = harmonische h Störung Ebene (harmonische) Welle: - breitet sich in einer Richtung aus (z.b. + x) - ist unendlich ausgedehnt in Raum und Zeit - ist periodisch in Raum und Zeit Animation (Mögliche) Mathematische Beschreibung c: Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) y 0 : Amplitude k: Wellenzahl (Kreiswellenzahlvektor) [k]: m -1
Räumliche und zeitliche Periode einer harmonischen Welle Raumperiode λ Zeitperiode T setze setze λ= Wellenlänge (Raumperiode) = Ausbreitungs- geschwindigkeit
Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) Momentaufnahmen einer Welle bei t = 0 bis t = T c = f λ v = Δx/Δt = c mit: Δx = λ Δt = T = 1/f c = f λ Übliche mathematische Beschreibung einer harmonischen h ebenen Wll Welle: ϕ = Phasenverschiebung
Bewegungsgleichung (Wellengleichung): Lösung der Bewegungsgleichung (z.b.): Allgemeine Lösung: Man unterscheidet Transversale Wellen Ausbreitung senkrecht zur Störung Longitudinale Wellen: Ausbreitung parallel l zur Störung
Interferenz (Überlagerung von Wellen)
722I 7.2.2 Interferenz (Überlagerung von Wellen) Beispiel: Welle 1: y 1 = f 1 (x,t) z.b. Welle 2: y 2 = f 2 (x,t) z.b. Bei Überlagerung von Wellen gilt Superpositionsprinzip i i i Welle 1 + 2 = y = y 1 + y 2 mit gilt Amplitude Ergebnis ist harmonische Welle mit Amplitude y ges = f(δϕ)
Man unterscheidet konstruktive kti Interferenz destruktive Interferenz
Beispiel: Schwebung Überlagerung zweier harmonischer Wellen y 1 + y 2 mit
Mathematische Beschreibung Annahme: Es gilt: x 1 Annahme: Ersetze: Ja und?
Wir haben: = modulierte Welle = Schwebung Schwebung = modulierte Welle breitet sich aus mit Gruppengeschwindigkeit Für beliebige Wellenpakete gilt: Muss man das verstehen? Ja!
723W 7.2.3 Wellenpakete Ausbreitungsgeschwindigkeit einer harmonischen h Wll Welle: Phasengeschwindigkeit c Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Wellenpaketes: Gruppengeschwindigkeit v g Zusammenhang v g mit c =? t t
Falls c = f(λ) = Dispersion Konsequenzen: - Signale nur als Wellenpaket übertragbar b breiten sich mit Gruppengeschwindigkeit aus - In dispergierenden Medien Formveränderung des Wellenpaketes (Auseinanderfließen) Beispiel: Elektromagnetische Wellen in Medium c = f(λ) Übertragungsfrequenz eingeschränkt Beispiel: Lichtbrechung in Prisma weißes Licht wird in Spektralfarben aufgespalten c = c 0 /n c : Phasengeschwindigkeit, g e c 0 : Lichtgeschwindigkeit dg e im Vakuum n: Brechzahl (Brechungskoeffizient)
7.2.4 Stehende Wellen Überlagerung von zwei Wellen mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung Stehende Welle Amplitude Schwingung Sh Schwingung mit ortsabhängiger Amplitude
Beispiel: Eingespanntes Seil der Länge L stehende Welle, falls Nebenbedingungen erfüllt sind Mögliche Wellenlängen: Da Knoten am Ende mit Abstand λ/2 Beachte: Nicht jede Welle passt Nur bestimmte λ sind möglich n = 1 n = 2 n = 3 Grundwelle 1. Oberwelle 2. Oberwelle
Stehende Welle ein Ende offen, ein Ende geschlossen
Für die Seilwelle gilt (ohne Beweis): Anwendung Gitarre A : Querschnittsfläche ρ : Dichte F : Kraft auf Seil