FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie 11.02.2015 Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Studiengang: Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen): Herr Habeck (Di., 14-16) Herr Habeck (Do., 10-12) Frau Starck (Di., 12-14) Frau Starck (Do., 10-12) Herr Steinhauer (Di., 16-18) keine Übungsgruppe Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte 2+3+2 2+3+3 6+2+2 1+2+2+3 2+3+3 3+4+2 50 Erz. Punkte Erreichte Punktzahl: von max. 50 Punkten Die Modulprüfung ist bestanden ja / nein Note: Technische Hinweise: 1. Taschenrechner sind nicht zugelassen! 2. Handys bitte ausschalten. 3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt am Ende der Arbeit oder die Rückseiten. 4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt erforderlich. 5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der Arbeit getrennt werden. 6. Nicht mit Bleistift schreiben!
Aufgabe 1: a) Berechnen Sie ϕ(12 33) und ϕ(ϕ(43)). ϕ(12 33) = ϕ(ϕ(43)) = Nebenrechnungen: b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass ϕ(4p) stets durch 4 teilbar ist. c) Beweisen Sie: Sind n N und n + 2 nicht durch 3 teilbar, so ist die Differenz der Quadrate dieser beiden Zahlen stets durch 3 teilbar. 2
Aufgabe 2: a) Bestimmen Sie ein x N mit 0 x 16 und 13x 3. 17 x = Nebenrechnung: b) Verschlüsseln Sie mit dem RSA-Algorithmus (n = 15, s = 11) die Zahl a = 13. Die Verschlüsselung v a von a = 13 ist v a =...... Nebenrechnung: c) Bestimmen Sie den Rest von 117 211 bei Division durch 7. Der Rest von 117 211 bei Division durch 7 ist.......... Nebenrechnung: 3
Aufgabe 3: Für alle x, y Z sei x y := x y 2 + x. a) Beweisen oder widerlegen Sie: (1) (Z, ) ist assoziativ. Die Aussage ist wahr falsch (Zutreffende Aussage ankreuzen) Beweis oder Widerlegung: (2) (Z, ) besitzt mindestens ein linksneutrales Element. Die Aussage ist wahr falsch (Zutreffende Aussage ankreuzen) Beweis oder Widerlegung: (3) (Z, ) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element. Die Aussage ist wahr falsch (Zutreffende Aussage ankreuzen) Beweis oder Widerlegung: 4
b) Definieren Sie für ein Verknüpfungsgebilde (M, ) die Eigenschaft regulär und geben Sie zudem ein Beispiel für ein Verknüpfungsgebilde, das NICHT regulär ist. c) Sei g : (Z, ) (Z, ) eine Abbildung mit g(8) = 9. Beweisen Sie, dass g nicht verknüpfungstreu ist. 5
Aufgabe 4: a) Definieren Sie den Begriff erzeugendes Element in einer Gruppe (G, ). b) Bestimmen Sie g für g = g = Nebenrechnungen: ( ) 1 2 3 4 in (S 2 4 3 1 4, ). c) Sei (G, ) eine Gruppe der Ordnung G = 12. Bis zu welchem Exponent k N muss man g k höchstens ausrechnen, um entscheiden zu können, ob das Element g G erzeugendes Element ist? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Sei (G, ) eine kommutative Gruppe mit vier Elementen a, b, c, d. Zudem gilt a c = b, c c = d, d a = a und b b = c. Geben Sie das neutrale Element der Gruppe an und berechnen Sie die Verknüpfungstafel von (G, ). Das neutrale Element der Gruppe ist......... Verknüpfungstafel: a b c d a b c d 6
Aufgabe 5: a) Geben Sie die Matrix M an, die die Spiegelung σ x an der x-achse darstellt. Begründen Sie Ihre Aussage. Matrix: M = Begründung: b) Seien A = (2, 2), B = (4, 1) und C = (0, 0) Punkte in der Ebene und g die Gerade durch C und A. Konstruieren Sie die Bildpunkte A = f(a) und B = f(b) für die Kongruenzabbildung f = σ g τ CA. Geben Sie zudem die Koordinaten der Bildpunkte A und B an. Die Koordinaten sind : A =........., B =......... c) Betrachten Sie die Abbildung f : C C, f(z) = (z i) 2 + (5 + 2i)z + 14. Bestimmen Sie (rechnerisch) alle Fixpunkte dieser Abbildung. Fixpunkte sind................... Nebenrechnung: 7
Aufgabe 6: a) Begründen Sie, dass (D n, ) nicht zyklisch ist. b) Sei g eine Gerade und A ein Punkt im R 2. Geben Sie alle Kongruenzabbildungen f K 2 an, die die beiden Bedingungen f(g) = g und f(a) = A erfüllen. (Hinweis: Beachten Sie, dass eine Fallunterscheidung bzgl. der Lage von A notwendig ist.) c) Gibt es im R 2 eine spiegelsymmetrische Figur X mit endlicher Symmetriegruppe S X, für welche die Anzahl aller echten (d.h. von der Identität verschiedenen) Symmetrien gerade ist? Begründen Sie Ihre Antwort. 8
Notizen und Nebenrechnungen Dieses Blatt wird nicht korrigiert. 9