Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

3 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Definition I Eine Funktion (oder Abbildung) f : A B stellt eine Abbildungsvorschrift dar, die jedem Element der Menge A ein Element der Menge B zuordnet. Eine Funktion kann formal wie folgt geschrieben werden: f : A B a f (a). 4 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Definition II Grafisch lässt sich eine Abbildung wie folgt veranschaulichen: 5 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Definition III Bei den nachfolgenden Beispielen handelt es sich nicht um. (Wieso nämlich?) 6 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Definition IV Bezeichnungen: A: Definitionsbereich, Urbildmenge B: Bildmenge, Bildbereich A B: Signatur a f (a): Funktionsvorschrift, Abbildungsvorschrift { } Wertebereich: W f := f (A) = f (a) :a A. Nicht alle Elemente von B müssen ein Urbild haben. Es gilt f (A) B. 7 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Definition V Beispiel: f : R R x x 2 Definitions- und Wertebereich der Funktion f : { } D f = x R = R; { W f = x R } x 0. Für dieses Beispiel gilt also W f R. 8 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Eigenschaften von I Man nennt eine Abbildung injektiv, falls für alle x, y A gilt: Aus x y folgt stets f (x) f (y); surjektiv, falls es zu jedem b B mindestens ein a A gibt, für das f (a) =b gilt; bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. 9 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Eigenschaften von II Beispiele: 1. Es sei A = { 1, 2, 3 } und B = { 1, 2, 3 }. f : A B sei definiert durch f (1) =1, f (2) =1 und f (3) =2. 2. Es sei A = { 1, 2, 3 } und B = { 1, 2, 3, 4 }. f : A B sei definiert durch f (1) =1, f (2) =3 und f (3) =4. 3. Es sei A = { 1, 2, 3 } und B = { 4, 5 }. f : A B sei definiert durch f (1) =4, f (2) =5 und f (3) =4. 4. Es sei A = { 1, 2, 3 } und B = { 3, 4, 5 }. f : A B sei definiert durch f (1) =4, f (2) =5 und f (3) =3. 10 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Eigenschaften von III Lösungen: 1. nicht injektiv, nicht surjektiv 2. injektiv, nicht surjektiv 3. nicht injektiv, surjektiv 4. injektiv, surjektiv, bijektiv 11 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Eigenschaften von IV Es sei f : A B eine Abbildung einer endlichen Menge A auf eine endliche Menge B. Es gilt: Ist A > B, so kann f nicht injektiv sein; Ist A < B, so kann f nicht surjektiv sein. Wichtig: Dies gilt nur für endliche Mengen A und B. 12 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Umkehrfunktion Ist f : A B eine bijektive Funktion, dann bezeichnet man mit f 1 : B A die zugehörige Umkehrfunktion. Der Funktionswert f 1 (y) ist definiert als das eindeutig bestimmte x A, für das f (x) =y gilt. 13 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Injektivität I Der Nachweis der Injektivität erfolgt immer nach demselben einfachen Schema: f (x) =f (y) x = y. Ist f (x) =f (y) nur genau dann wahr, wenn x = y gilt, so ist die Funktion injektiv. Andernfalls ist sie nicht injektiv. 14 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Injektivität II Aufgabe: Entscheide, ob die folgende Funktion injektiv ist. f : Z Z f (x) =5x 2 15 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Injektivität III Lösung: f (x) =f (y) 5x 2 = 5y 2 5x = 5y x = y Aus f (x) =f (y) folgt nur die Lösung x = y. Dies bedeutet, dass keine zwei verschiedenen Elemente x und y auf denselben Wert abgebildet werden. Die Funktion ist also injektiv. 16 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Injektivität IV Aufgabe: Entscheide, ob die folgende Funktion injektiv ist. f : Z Z Z Z ( ) f (a, b) = a + b, a 2 + 7 17 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Injektivität V Lösung: ( a + b, a 2 + 7 f (a, b) =f (c, d) ) = ( c + d, c 2 + 7 Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn ihre Komponenten übereinstimmen. Es muss gelten: a + b = c + d a 2 + 7 = c 2 + 7. ) 18 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Injektivität VI Aus der zweiten Gleichung folgt a = ±c. Einsetzen in die erste Gleichung und Umstellen nach b ergibt zwei mögliche Lösungen: (I) a = c (II) a = c b = d b = 2c + d Da es mehr als eine Lösung gibt, folgt also insbesondere, dass die Abbildung nicht injektiv sein kann. 19 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Injektivität VII Alternative Lösung: Der Nachweis, dass die Funktion nicht injektiv ist, hätte auch durch Angabe eines Gegenbeispiels erfolgen können: f (1, 2) =(3, 1) =f ( 1, 4). Da mehrere Elemente der Urbildmenge dasselbe Bild haben, ist die Funktion nicht injektiv. 20 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Injektivität VIII Aufgabe: Entscheide, ob die folgenden Funktionen injektiv sind. f : Z Z f (x) =(x + 2) 2 g : N Z g(x) =(x + 2) 2 ( h : Z 2 Z 3 ) h(a, b) = ab, (a + 1)b, a(b 2 + 1) 21 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Injektivität IX Abschließend noch zwei Bemerkungen zur Injektivität: Falls die Bildmenge ein Tupel ist, ist keine Aussage über die Injektivität der Abbildung möglich, wenn die Injektivität lediglich für einzelne Komponenten gezeigt wurde. f : Z 2 Z 2 ) f (a, b) = (3a + 2, (b 1) 2 Obwohl für keine der Komponenten Injektivität gilt, kann die gesamte Abbildung dennoch injektiv sein. f : Z ( 2 Z 2 ) f (a, b) = a + b, a b 22 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Surjektivität I Der Nachweis der Surjektivität ist im Allgemeinen deutlich schwieriger als der Nachweis der Injektivität. Für jedes Element b der Bildmenge muss gezeigt werden, dass es mindestens ein Element a der Urbildmenge gibt, für das f (a) =b gilt. Es gibt leider kein allgemeingültiges Verfahren, dies zu bewerkstelligen. Eine Möglichkeit ist es jedoch, die Umkehrfunktion zu bestimmen, falls diese existiert. 23 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Surjektivität II Aufgabe: Entscheide, ob die folgende Funktion surjektiv ist. f : Z Z f (x) =5x 2 24 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Surjektivität III Lösung: Es gilt y = f (x) =5x 2. Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, stellen wir die Gleichung nach x um: 5x = y + 2 x = y + 2 5 Dies sieht wie die Umkehrfunktion aus, ABER im Allgemeinen gilt y + 2 / Z. Beispielsweise hat y = 1 kein zugehöriges x Z. Die 5 Funktion ist also nicht surjektiv. 25 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Surjektivität IV Aufgabe: Entscheide, ob die folgende Funktion surjektiv ist. f : Z Z f (x) =x + 7 26 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Surjektivität V Lösung: Es gilt y = f (x) =x + 7. Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, stellen wir die Gleichung nach x um: x = y 7. Ist y Z, so ist auch y 7 Z. Es bleibt zu prüfen, ob y 7 tatsächlich ein Urbild für y ist. Einsetzen in f ergibt Die Funktion f ist also surjektiv. f (y 7) =y 7 + 7 = y. 27 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Nachweis der Surjektivität VI Aufgabe: Entscheide, ob die folgenden Funktionen surjektiv sind. f : Z 2 Z f (a, b) =a + b g : Z Z x + 1 g(x) = 2 ( h : Z 2 Z 3 ) h(a, b) = 2a + 3b, a 2, (b 1) 2 a 28 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Nachweis der Surjektivität VII Abschließend noch zwei Bemerkungen zur Surjektivität: Ist eine Komponente einer Abbildung nicht surjektiv, so ist es auch die gesamte Abbildung nicht. ( h : Z 2 Z 3 ) h(a, b) = 2a + 3b, a 2, (b 1) 2 a Ist jede Komponente einer Abbildung surjektiv, so muss dies dennoch nicht für die gesamte Abbildung gelten. ( ) f (a) = a, a + 1 29 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Verkettung von Funktionen I Es sei h : A C eine Komposition (Verkettung) der Funktionen f : A B und g : B C. h = g f ( ) h(x) =g f (x) Statt Komposition kann man auch Nacheinanderausführung sagen. g f bedeutet also, g wird nach f ausgeführt. 30 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Verkettung von Funktionen II Es gelten die folgenden Eigenschaften: Sind sowohl f als auch g injektiv, so ist auch g f injektiv. Sind sowohl f als auch g surjektiv, so ist auch g f surjektiv. 31 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Aufgabe 1 Entscheide für die folgenden, ob sie injektiv sind. Gib jeweils eine (kurze) Begründung. a) N Z, f (n) = ( n 2 ) 2 b) Z Z, f (n) =42n 23 c) Z Z Z, f (n) = ( (n 3) 2, n 2) d) N Z Z Z, f (a, b) = ( ba, 5a + 1 ) e) Z Z Z, f (n, m) =7n m f) Z Z Z Z Z, f (x, y) = ( xy 3, xy 3 2y 9, (y 2 5)x ) 32 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Aufgabe 2 Entscheide für die folgenden, ob sie surjektiv sind. Gib jeweils eine (kurze) Begründung. a) Z Z, f (n) =23n 42 b) Z Z Z, f (n) = ( (n + 5) 2, n 2) c) Z Z Z Z, f (n, m) = ( n + m 2, n + 1 ) d) Z Z Z, f (n, m) =7n m e) N N N, f (n, m) =n + m 33 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Aufgabe 3 Gibt es bijektive Z Z 2? Gib im Falle der Existenz eine solche Abbildung an; begründe im Fall der Nicht-Existenz, wieso eine solche Abbildung nicht existiert. 34 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Vollständige Induktion 35 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Vollständige Induktion Vollständige Induktion I Vollständige Induktion als Beweismethode wird bei Problemen der folgenden Art angewandt: Für jede natürliche Zahl n sei A(n) eine Aussage. Es soll bewiesen werden, dass A(n) für alle natürlichen Zahlen n gilt, d.h., es soll die Gültigkeit der unendlich vielen Aussagen A(1), A(2), A(3)... nachgewiesen werden. 36 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Vollständige Induktion Vollständige Induktion II Um eine Aussage A(n) für alle n N zu beweisen, genügt es, Folgendes zu zeigen: (I) Induktionsanfang A(1) ist richtig. (II) Induktionsschritt Für jedes n N gilt: Falls A(n) richtig ist, so ist auch die Aussage A(n + 1) richtig. 37 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Vollständige Induktion Vollständige Induktion III Behauptung: Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (d.h. 1 + 2 +... + n) n(n + 1) ist gleich. 2 38 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Vollständige Induktion Vollständige Induktion IV Beweis: Mit vollständiger Induktion lässt sich zeigen, dass A(n) nicht nur für bestimmte n, sondern für alle n N gilt: (I) Induktionsanfang A(1) ist richtig, da 1 = 1 (1 + 1) 2 gilt. 39 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Vollständige Induktion Vollständige Induktion V (II) Induktionsschritt Es sei n N eine beliebig gewählte natürliche Zahl; wir setzen voraus, dass A(n) für dieses n richtig ist, d.h., es gelte (für dieses n): n i = n( n + 1 ). ( ) 2 i=1 Wir haben zu zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n + 1) richtig ist, d.h., wir müssen Folgendes nachweisen: n+1 i = i=1 ( n + 1 )( (n + 1)+1 ) 2. 40 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Vollständige Induktion Vollständige Induktion VI Dies ergibt sich durch die folgende Rechnung: n+1 i = i=1 ( ) = Zusammenfassen = (n+1) ausklammern = = n i + ( n + 1 ) i=1 n ( n + 1 ) + ( n + 1 ) 2 n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 ) ( )( 2 ) n + 1 n + 2 ( )( 2 ) n + 1 (n + 1)+1 Damit sind (I) und (II) gezeigt; nach dem Induktionsprinzip gilt A(n) also für alle n N. 2 41 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Vollständige Induktion Aufgabe 4 Beweise durch vollständige Induktion! a) Für alle n N gilt: 8 ( 3 2n + 7 ). n b) Für alle n N 0 gilt: q i = 1 qn+1 1 q. c) Für alle n N gilt: i=0 n i=1 1 (2i 1)(2i+1) = n 2n+1. d) Für alle n N mit n 3 gilt: n n > n + n. n ( e) Für alle n N 0 gilt: i ( 1) = n+1 n 1). i=1 42 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Wahrheitswerte 43 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen I A und B seien Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Konjunktion: A B Die Aussage A B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist. Disjunktion: A B Die Aussage A B ist wahr, wenn entweder A oder B wahr ist; oder natürlich auch beide. 44 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen II A und B seien Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Implikation: A B Die Aussage A B bedeutet, dass immer, wenn A wahr ist, auch B wahr ist. ( B folgt aus A. ) Biimplikation: A B Die Aussage A B bedeutet, dass immer, wenn A wahr ist, auch B wahr ist und umgekehrt. ( genau dann wenn ) 45 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017 Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen III A sei eine Aussage, die entweder wahr oder falsch sein kann. Negation: A Die Aussage A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist. 46 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Wahrheitswerte Aufgabe 5 Es seien A und B zwei Wahrheitswerte. Zeige mithilfe einer Wahrheitstafel, dass es sich bei A B und (A B) ( A B) um zwei äquivalente Aussagen handelt. 47 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017