Impressum Torsten Möller Augustastraße 6 4937 Flensburg. Auflage 8 Idee und Ausführung in L A TEX: Torsten Möller Umschlaggestaltung: Torsten Möller Illustrationen: Torsten Möller Das Werk, einschließlich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Autors unzulässig. Dies gilt insbesondere für die elektronische oder sonstige Vervielfältigung, Übersetzung, Verbreitung und öffentliche Zugänglichmachung.
Inhaltsverzeichnis I Aufgaben 3 HMF - Analysis (Pool ) 3 HMF - Analysis (Pool ) 4 3 HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool ) 4 4 HMF 4 - Analytische Geometrie (Pool ) 5 5 HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool ) 5 6 HMF 6 - Stochastik (Pool ) 6 7 HMF 7 - Stochastik (Pool ) 6 8 HMF 8 - Stochastik (Pool ) 8 II Lösungen 9 HMF 9. Ableitungen............................ 9. Sattelpunkt............................. HMF. Nullstelle der e-funktion....................... Gleichschenkliges Dreieck..................... HMF 3 4. Tabelle Vektoren.......................... 4. Term = Null............................ 7 HMF 4 8. Kugel und Gerade......................... 8. Tangente an der Kugel....................... 9 3 HMF 5 3. Fläche des Dreiecks........................ 3. Normalenvektor und Ortsvektor der Ebene............ 3
4 HMF 6 4 4. 4-Felder-Tafel........................... 4 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit.................... 6 5 HMF 7 7 5. Term der Wahrscheinlichkeit.................... 7 5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen.................. 8 6 HMF 7 8 6. Urnen................................ 8 6. Spiel................................ 9 Anhang 3 Abbildungsverzeichnis 3
Teil I Aufgaben HMF - Analysis (Pool ) Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 4 3x 3 und die Graphen ihrer ersten und zweiten Ableitung. f(x) 5 5 f 3 5 x 5 Abbildung : Graphen. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f und ordnen Sie die Ableitungsfunktionen den abgebildeten Graphen zu. ( P). Zeigen Sie rechnerisch, dass der Ursprung ( ) ein Sattelpunkt (also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente) des Graphen der Funktion f ist. 3 (3 P)
HMF - Analysis (Pool ) Eine Funktion ist von f(x) = e x gegeben.. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f. ( P). Die Tangente an den Graphen von f im Punkt S( ) begrenzt mit beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 P) 3 HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool ). Gegeben seien die Vektoren a, b und c R 3 und die rellen Zahlen r und t. Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle an, ob es sich bei dem Ausdruck um einen Vektor oder um eine Zahl handelt oder ob der Ausdruck nicht definiert ist. Ausdruck Vektor Zahl nicht definiert a ( b + r c) a b r c ( a b) c ( a a) + (r c ) c (t a r b) b ( c (r a)) (3 P) 4
. Gegeben seien die Vektoren a, b und c R 3. Geben Sie einen Term an, dessen Zahl Null ist und er nur aus den Symbolen a, b,, sowie Klammern besteht. Jedes der Symbolen a, b,, muss dabei in dem Term mindestens einmal verwendet werden. ( P) 4 HMF 4 - Analytische Geometrie (Pool ) Gegeben sind die Kugel K mit K : (x ) + x + (x 3 4) = und die Gerade g mit g: x = 4 +s. Untersuchen Sie, ob die Gerade g die Kugel K schneidet. ( P). Ermitteln Sie eine Parameterform einer Geraden h, die eine Tangente an die Kugel K mit dem Berührpunkt B( 4) ist. (3 P) 5 HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool ) Gegeben ist die Ebene x + x x 3 = 8.. Der Schnittpunkt von E mit der x -Achse, der Schnittpunkt von E mit der x -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. 5 ( P)
. Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von E als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene E ist. (3 P) 6 HMF 6 - Stochastik (Pool ) Auf einem Schiff kann man Süßigkeiten am Kiosk kaufen. Von den an einer Schiffsrundfahrt teilnehmenden Personen sind 6% Frauen. 8% der reisenden Frauen und 4% der reisenden Männer kaufen Süßigkeiten am Kiosk.. Stellen Sie den Sachzusammenhang durch ein vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel dar.. Ein Passagier hat Süßigkeiten am Kiosk gekauft. (3 P) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich dabei um eine Frau handelt. ( P) 7 HMF 7 - Stochastik (Pool ) Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit Figur 5% beträgt.. Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist. ( P) 6
. 6 Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße X dar: P (X = k).4.3.. 3 4 5 6 k Abbildung : Wahrscheinlichkeitsverteilung P (X = k).. 3 4 5 6 k Abbildung 3: Wahrscheinlichkeitsverteilung P (X = k).4.3.. 3 4 5 6 k Abbildung 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung 3 (3 P) 7
8 HMF 8 - Stochastik (Pool ) Schwarze und weiße Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt: Abbildung 5: Urne A Abbildung 6: Urne B Abbildung 7: Urne C. Aus Urne A wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt.anschließend wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne C gelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne C zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugeln befinden. ( P) 8
. Die drei Urnen mit den in den Abbildungen dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel: Es wir zunächst ein Einsatz von Euro eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt. Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind. (3 P) 9
Teil II Lösungen 9 HMF 9. Ableitungen Zunächst können wir die Ableitungen von f bestimmen: f(x) = x 4 3x 3 Funktion 4. Grades f (x) = 4x 3 9x Funktion 3. Grades f (x) = x 9x Funktion. Grades Es gilt Funktion Folgendes:. Grades 3. Grades 4. Grades Nullstellen max. max. 3 max. 4 Extremstellen max. max. 3 Wendestellen keine max. Wie wir sehen, hat der rote Graph Extrempunkte und einen Wendepunkt und der grüne Graph einen Extrempunkt und keinen Wendepunkt. Also muss der rote Graph die erste Ableitung und der grüne Graph die zweite Ableitung sein.
9. Sattelpunkt Für einen Sattelpunkt gilt f (x) = und f (x) =. Bei x = bekommen wir f () = 4 3 9 = und f () = 9 = Wir haben also bei x = einen Sattelpunkt. Der y-wert ergibt sich mit f() = 4 3 3 = Damit ist der Ursprung ( ) ein Sattelpunkt. HMF. Nullstelle der e-funktion Bedingung von Nullstellen: f(x) = = e x + = e x : = e x ln ln( ) = x ln( ) = x x.3869436
. Gleichschenkliges Dreieck f(x) f T angente S( ).5.5 x Abbildung 8: Tangente und gleichschenkliges Dreieck Die beiden Koordinatenachsen und die Tangente im Punkt S an den Graphen f schließen nach Aufgabenstellung ein Dreieck ein. Dieses Dreieck soll gleichschenklig sein. Das heißt, dass Seiten gleich lang und die dritte Seite eine andere Länge hat. Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, müssen die beiden Katheten gleich lang sein, denn die Hypothenuse ist immer länger als die Katheten. Die senkrechte Seite ist lang. Wir müssen nun zeigen, dass die waagerechte Seite auch lang ist. Dazu ermitteln wir die Nullstelle der Tangente. Zunächst die Tangente: t(x) = m x + b Die Steigung der Tangente bekommen wir mit der. Ableitung von f im PunktS, also bei x =. m = f () Da f(x) = e x eine verkettete Funktion von der Form f(x) = g(h(x)) ist, leiten wir mit der Kettenregel, also innere Ableitung äußere Ableitung ab: f (x) = h (x) g (h(x))
innerer Ausdruck: h(x) = x innere Ableitung: h (x) = äußerer Ausdruck: g(h) = e h äußere Ableitung: g (h) = e h g (h(x)) = e x Zusammengesetzt erhalten wir f (x) = e x f (x) = e x m = f () = e m = f () = e m = f () = Mit b =, denn die y-achse wird von der Tangente bei y = geschnitten, erhalten wir die Tangente t(x) = x + Nun ermitteln wir die Nullstelle von t(x) mit t(x) = = x + = x Damit ist auch die waagerechte Kathete lang. Wie oben schon gesagt ist die Hypothenuse länger und wir erhalten ein gleichschenkliges Dreieck. 3
HMF 3. Tabelle Vektoren Folgende Rechenoperationen stehen zur Verfügung: Vektoraddition/-subtraktion a ± a b b = a ± b a 3 b 3 = c c c 3 V ektor S-Multiplikation a t a = t a a 3 = t a t a t a 3 = b b b 3 V ektor Skalarprodukt a a b = a a 3 b b b 3 = a b + a b + a 3 b 3 = c Zahl Kreuzprodukt (Vektorprodukt) a a b b = a b a 3 b 3 = a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b = c c c 3 V ektor 4
. Aufgabe a ( b + r c) = a ( b + Zahl V ektor) = a ( b + V ektor) = a (V ektor + V ektor) = a V ektor = V ektor V ektor V ektor. Aufgabe a b = Zahl V ektor nicht definiert 3. Aufgabe r c ( a b) c = r c (V ektor V ektor) c = r c Zahl c = Zahl V ektor Zahl V ektor = V ektor V ektor V ektor 4. Aufgabe ( a a) + (r c ) = ( a a) + (Zahl Zahl) = ( a a) + (Zahl) = ( a a) + Zahl Zahl = ( a a) + Zahl 5
= (V ektor V ektor) + Zahl = Zahl + Zahl Zahl 5. Aufgabe c (t a r b) = c (Zahl V ektor Zahl V ektor) = c (V ektor V ektor) = c (V ektor) = c (V ektor V ektor) = c Zahl = V ektor Zahl nicht definiert 6. Aufgabe b ( c (r a)) = b ( c (Zahl V ektor)) = b ( c V ektor) = b (V ektor V ektor) = b Zahl = V ektor Zahl nicht definiert 6
. Term = Null n = a b a b Abbildung 9: orthogonale Vektoren Hier sind folgende Vektoren orthogonal zueinander: a und b, a und n, sowie b und n Also muss gelten: a b = a n = b n = n = a b Mit n = a b gilt also a n = a ( a b) = 7
HMF 4. Kugel und Gerade g Abbildung : Kugel und Gerade Zur Schnittpunktberechnung setzen wir die Gerade g: x = +s 4 in die Kugel K : (x ) + x + (x 3 4) = ein. Gerade g können wir auch schreiben als g: x x x x 3 = Daraus bekommen wir x = x = s x 3 = 4 + s + s + s 4 + s 8
Eingesetzt in K erhalten wir ( ) + s + (4 + s 4) = + s + s = + s = s = : s =.5 Die Gleichung hat keine Lösung. Das bedeutet, dass die Gerade die Kugel nicht schneidet.. Tangente an der Kugel T angente h B( 4) n M( 4) Abbildung : Kugel und Tangente Wie wir hier sehen können, verläuft die Tangente in einer Ebene, die orthogonal zu einer Geraden liegt, die durch den Berührpunkt B und dem Mittelpunkt M der Kugel verläuft. Wir brauchen zunächst einen Richtungsvektor #» v, der orthogonal zu dem Vektor #» n = MB #» liegt. Es gilt #» v #» n = #» #» v MB = #» v ( #» b #» m) = 9
#» v 4 #» v 4 = = Alle Geraden in der grünen Ebene, die durch den Punkt B laufen, könnten h sein. Wir brauchen also nur einen beliebigen Vektor #» v, der diese Gleichung erfüllt. Wir wählen #» v = denn = + + = Als Stützvektor für Gerade h können wir Vektor #» b nehmen: h : #» x = #» b + r #» v #» x = 4 + r
3 HMF 5 3. Fläche des Dreiecks x 3 S x S x Abbildung : Spurpunkte der Ebene Das Dreieck wird gebildet durch die Spurpunkte S und S der Ebene E : x + x x 3 = 8. Wir berechnen den Spurpunkt S mit x = und x 3 = und erhalten x + = 8 x = 8 : x = 9 S (9 ) Ebenso verfahren wir bei S :
x = und x 3 = und erhalten + x = 8 x = 8 S ( 8 ) Die Fläche, hier von oben gesehen, 8 S 9 S berechnen wir mit A = Breite Höhe A = 8 9 A = 9 9 A = 9 9 A = 9 9 A = 8 FE
3. Normalenvektor und Ortsvektor der Ebene Hier haben wir die Ebene flach auf den Boden gelegt, so dass die Achsen die Kanten einer Pyramide bilden und der Ortsvektor eines Punktes P die Höhe der Pyramide bildet und damit gleichzeitig der Normalenvektor der Ebene ist. Koordinatenursprung #» n = #» OP x x P g x 3 Abbildung 3: Normalenvektor und Ortsvektor Wie wir hier sehen, ist der Punkt P der Lotfußpunkt des Koordinatenursprunges. Wir bilden also eine Gerade g, dessen Stützvektor mit dem Koordinatenursprung gebildet wird und dessen Richtungsvektor der Normalenvektor #» n der Ebene E : x + x x 3 = 8. ist. Der Punkt P ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene E. Zunächst bestimmen wir die Gerade mit g : #» x = #» + t #» n wobei #» n = ist. Das ergibt g : #» x = + r = r 3
Eingesetzt in E erhalten wir r + r ( ) = 8 4r + r + 4 = 8 4 5r = 4 : 5 r =.8 Wenn wir r in die Gerade einsetzen, erhalten wir den gesuchten Vektor #» p mit #» p =.8 = 5.6.8 5.6 4 HMF 6 4. 4-Felder-Tafel Wir definieren folgende Ereignisse: F : Frauen M: Männer S: kaufen Süßigkeiten S: kaufen keine Süßigkeiten Zwecks Vergleich und zum besseren Verständnis zunächst als Wahrscheinlichkeitsbaum. 4
.6.4 F M.8..4.6 S S S S.48..6.4 Abbildung 4: Wahrscheinlichkeitsbaum Die unteren Werte des Baumes kommen in die 4 Felder der 4-Felder-Tafel: F M Σ S.48.6.64 S..4.36 Σ.6.4 5
4. Bedingte Wahrscheinlichkeit Hier haben wir die Voraussetzung, dass jemand Süßigkeiten kauft. Als Wahrscheinlichkeitsbaum sieht es so aus:.64.36 S S P S (F ) P S (M) P S (F ) P S (M) F M F M.48.6..4 Abbildung 5: bedingte Wahrscheinlichkeit Die ausgewählte Person soll eine Frau sein. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit mit P S (F ) = P (S F ) P (F ) P S (F ) =.48.64 P S (F ) =.75 = 75% 6
5 HMF 7 5. Term der Wahrscheinlichkeit Wir definieren folgende Ereignisse: F : Figur K: keine Figur Die ersten 8 Überraschungseier enthalten keine Figur und die letzten beiden haben eine Figur. Wir erhalten also folgende Wahrscheinlichkeitskette:.75.75.75.75.75 Start K K K K K.75 F.5 F.5 K.75 K.75 K Abbildung 6: Wahrscheinlichkeitskette Mit der Multiplikationsregel erhalten wir dann folgenden Term:.75.75.75.75.75.75.75.75.5.5 =.75 8.5 7
5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen n = 6 Das erfüllen alle 3 Abbildungen. Mit ist p =.5 µ = n p = 6.5 =.5 Das heißt, dass P (x.5) nach links und für P (x.5) nach rechts immer kleiner werden muss. Das trifft nur bei Abbildung zu. 6 HMF 7 6. Urnen Das Ganze zunächst als Baum: W S 3 4 4 W S W S W W W W W S W W W W W S Abbildung 7: 3 Urnen 8
weiße Kugeln sind schon in Urne C. Es gibt also nur die Möglichkeiten (www) und (wws). Nach dem Baum müssen wir rechnen P (wws) = 4 + P (wws) = 8 + 4 P (wws) = 8 + 8 P (wws) = 3 8 =.375 = 37.5% 6. Spiel Wieder ein Baum: 3 3 3 A B C 3 3 W S W S W Abbildung 8: Spiel Damit das Spiel ausgeglichen ist muss gelten Auszahlungen=Einsätze Wie definieren G =Geldbetrag A =Auszahlung E =Einsatz 9
Auszahlungswahrscheinlichkeit Geldbetrag = E P (A) G = E ( 3 + 3 3 ) G = ( 6 + 9 ) G = ( 3 8 + 8 ) G = 5 8 G = 8 5 8 5 G = 8 5 8 5 G = 3.6 3
Abbildungsverzeichnis Graphen.............................. 3 Wahrscheinlichkeitsverteilung.................. 7 3 Wahrscheinlichkeitsverteilung.................. 7 4 Wahrscheinlichkeitsverteilung 3.................. 7 5 Urne A............................... 8 6 Urne B............................... 8 7 Urne C............................... 8 8 Tangente und gleichschenkliges Dreieck.............. 9 orthogonale Vektoren....................... 7 Kugel und Gerade......................... 8 Kugel und Tangente........................ 9 Spurpunkte der Ebene....................... 3 Normalenvektor und Ortsvektor.................. 3 4 Wahrscheinlichkeitsbaum...................... 5 5 bedingte Wahrscheinlichkeit.................... 6 6 Wahrscheinlichkeitskette...................... 7 7 3 Urnen.............................. 8 8 Spiel................................ 9 3