Zehnstellige Probleme Seminar 18.11.13 Maik Rassau
Newton: Problem 1 2 Würfel
2 Würfel Würfel1: Würfel2: mit mit Kraft für Einheitspunktmassen =
x- Komponente der Kraft zw. zwei Pktmassen = => Gesuchtes F : ~ Integral über sechsdimensionlen Würfel
1. Gauss Quadratur N = Knoten FN = Näherung
2. Monte Carlo
3. Gauss Quadratur II
4. Acht Teilwürfel
Problem 2 5 Münzen
Monte Carlo
Zehnstellige Probleme ZehnstelligeProbleme.txt Lloyd N. Trefethen -entwickelte Algorithmen um Probleme quantitativ zu lösen -numerischer Analyst -leitet Grp. für Num. Ana. Oxford -These:"die meisten quantitativen math. Fragen sind nicht exakt lösbar" "mit leistungsstarken Algorithmen sind viele bis zu einem best. Genauigkeitsgrad lösbar" 1. Problem: 2 Würfel -Newton entdeckte: F= Gm1m2 / r^2 -Wenn Massen Kugeln sind (keine! Punkte) zieht jeder Pkt in A jeden Pkt in B auf diese Weise an -Folie mit idealisierter Problemdarstellung (Suche nach F) -Würfel als Sonnen/Planeten betrachten (Würfelform sollte niemanden stören) => math. Problem "wie es im Buche steht" (künstliche Fragestellung - jedoch exakt definiert) -eigentlich relativ tivial (da Formal bekannt) -Naiv: Würfel durch Einheitspunktmassen an ihren Mittelpunkten ersetzen (=> F=1) denn Newton sagte: "Planeten verhalten sich wie Punkte bzgl. der Gravitation" (stimmt aber NUR für kugelförmige Planeten richtig) -Würfel besten aus Punkten mit bestimmten Eigenschaften (Formel siehe Präsentation) -Wir müssen die Kräfte über alle Punktepaare (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2) aufaddieren => Wir müssen ein 6-dim Int. auswerten -Aus symmetriegründen haben sich y und z Komponente zu 0 weg => Wir müssen nur x-komponente integrieren -x-kompontente der Kraft zwischen 2Pktmassen ist ((x2-x1) / r)*(1/r^2) => Term auf Folie Gauss Quadratur -Auswertung mit Gauss-Quadratur (grundlegenste Methode zur Auswertung von Integralen) -Folie mit Beispiel Bildern von 10, 100, 1000 Gauß-Knoten für Integration über Intervall, Quadrat und Würfel -Idee: "Gauß-Quadratur in der sechsten Potenz" => Anzahl Knoten N=n^6 mit n=5,10,...30 => Wir erhalten "schreckliches" Ergebnis (LANGE Rechenzeit für wenige Nachkommastellen) Monte-Carlo -Monte-Carlo würde besseres Ergebnis liefern! -alle Gewichte auf 1/N setzen, Knoten zufällig im 6-dim Würfel verteilen -Folie: MonteCarlo Ergebnisse mit gleichen N-Werten => drei/vier Stellen: 0,9259 bzw 0,9260 -Interessanter Fakt: Die ausgeklügeltste nummerische Integrations Methode "verliert" anscheinend gegen die einfachste -MonteCarlo liefert uns maximal 4-5 Stellen - vielleicht 7 mit einem Spezial PC -Frage: Wie erhalten wir mehr? -Gauß-Quadratur hat ein Problem! => f(...)=((x2-x1) / r)*(1/r^2) ist NICHT "glatt", sondern "singulär" -Warum ist das so? => Da die Würfel direkt aneinander liegen ( also Abstand = 0) => Bruch geht gegen unendlich, wenn die Würfel direkt aneinender liegen -die Singularität verursacht zwar keine Divergenz, bremst jedoch die Konvergenz EXTREM => ergo: Singularität muss behoben werden -Würden wir die Würfel um Länge 1 voneinader Trennen, hätten wir innerhlab kürzester Zeit ein Ergebnis => F wäre in dem Fall fast genau 0,25 (interessanter Fakt: bei KUGELN wäre es exakt 0,25) => Wir wissen nun also: Probelm ist bei getrennten Würfeln lösbar Idee von Alex Prideaux Seite 1
ZehnstelligeProbleme.txt -Wir unterteilen die 2 Würfel in insgesamt 8 Teilwürfel mit Seitenlänge 0,5 -F wäre also die Summe der 64 Paare -4 WürfelPaare berühren sich an Flächen, 8 an Kanten, 4 an Ecken und 48 sind "gut getrennt" => aus einem 6-dim Integral werden also 4 Integrale: "Kante", "Ecke", "Fläche", "getrennt" -Fläche(1)= x-komponente der Kraft zwischen 2 Würfeln an sich an einer Fläche berühren => Ecke(1) = Ecke (1/2) + gut getrennte Terme usw. (Weitere Formeln auf Folien) -Zusätzliche Skalierungsbedingung: Ecke(1/2) = 1/16 Ecke(1) -Wir wissen ja bereits, dass wir die getrennten Terme einfach und schnell ausrechnen können (da die Würfel nich aneinander liegen) => Betrachte Formal auf Folie => F lässt sich nun einfach, schnell und relativ genau ausrechnen => F=0,925981... 2.Problem: 5 Münzen -Folie mit Problem -"einfach": man kann immer mindestens 3 Münzen platzieren (Bsp1: Schluss nach 3 platzierten Münzen) -Oft sind 4 Münzen möglich (meistens nach 4 Schluss) -Selten 5 Münzen möglich (5 = Maximum) -Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Fälle -mit MonteCarlo lösbar (PC-Programm zum lösen kann geschrieben werden) -sinnvoller Ansatz: -große Scheibe durch feines Gitter ersetzen -zufällige Gitterpunkte auswählen -Wenn Punkt X ausgewählt wird, folgt: Punkt X und alle weniger als 2 entfernten Punkte werden aus der Simulation genommen -gewünschte Zahl kann approximiert werden (feineres Gitter, viele Druchläufe) =>MonteCarlo liefert diverse Wks (siehe Folie) Seite 2