Ferienkurs zum Propädeutikum Diskrete Mathematik. Technische Universität München

Ferienkurs zum Propädeutikum Diskrete Mathematik Andreas Würfl Stefan König Technische Universität München WS 09/10

Übersicht 1 Binäre Relationen 2 Elementares Zählen 3 Partitionen zählen 4 Erzeugende Funktionen 5 Graphen: Definitionen und Bäume 6 Graphen: Färbung und Planarität 7 Graphen: Matchings

Binäre Relationen

Binäre Relationen Relation: M Menge, R M M Schreibweisen: (a, b) R, a R b, a R b, arb,... R heißt reflexiv: a M : a a irreflexiv: a M : a a symmetrisch: a, b M : a b b a antisymmetrisch: a, b M : a b und b a a = b transitiv: a, b, c M : a b und b c a c Graph: irreflexiv und symmetrisch partielle Ordnung: reflexiv, antisymmetrisch, transitiv

Binäre Relationen Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch, transitiv Äquivalenz-Klasse: [a] := {b M : a b} Satz: Sei R Äquivalenzrelation Äquivalenzklassen bilden eine Partition von M a b [a] = [b] [a] [b]

Binäre Relationen Aufgabe: Es seien R 1, R 2 zwei Äquivalenz-Relationen auf M. Welche Eigenschaften hat dann...? a) R 1 R 2 b) R 1 R 2 c) R 1 \R 2

Binäre Relationen Posets: reflexiv, antisymmetrisch, transitiv ( R ) Aufgabe: Es seien R 1, R 2, Posets. Welche Eigenschaften haben...? a) R 1 R 2 b) R 1 R 2 c) R 1 \R 2

Binäre Relationen Posets: x, y M vergleichbar : x y oder y x sonst unvergleichbar K M Kette : x, y K: x, y vergleichbar A M Antikette : x, y A: x, y unvergleichbar Satz: a) max A = min{k : M lässt sich in k Ketten part. } A Antikette b) max K = min{a : M lässt sich in a Antiketten part. } K Kette

Elementares Zählen

Elementares Zählen Summenregel: M = M 1... M k M = k M i i=1 B Produktregel: M = M 1 M k M = k M i i=1 A Doppeltes Abzählen: R A B {b B : (a, b) R} = R = {a A : (a, b) R} a A b B

Elementares Zählen Summenregel: M = M 1... M k M = k M i i=1 Inklusion-Exklusion: M = M 1 M k schon komplizierter!

Elementares Zählen Inklusion-Exklusion M = =I [n] ( 1) I 1 M i i I M 1 M 2 M 1 M 1 M 2 M 3 M 2 M 1 M 3 M 2 M 3 M 3 M = M 1 M 2 M 3

Elementares Zählen k aus n Elementen wählen geordnet ungeordnet mit Zurücklegen n k n ( k = n+k 1 ) k ohne Zurücklegen n k ( n ) k Beispiele: Spiel 77: Auslosung einer 7-stelligen Zahl Wanddeko: 15 Bilder, 8 Bilderrahmen in einer Galerie Kniffel: Anzahl Resultate nach einem Wurf Lotto: Ziehe 6 aus 49

Elementares Zählen Wichtige Identitäten: ( n ( k) = n ) n k ( n ( k) = n 1 ) ( k 1 + n 1 ) k n ( n ) i = 2 n i=0 ( n+m ) k ( k = n )( m ) i k i i=0 (x + y) n = n i=0 ( n ) i x i y n i

Partitionen zählen

Partitionen zählen k-partition einer n-elementigen Menge: { ungeordnet: {M 1,..., M k } : M = M i, M i } =: Sn.k geordnet: { (M 1,..., M k ) : M = M i, M i } =: Tn.k k-partition von n n = n 1 + + n k ungeordnet: (Multimenge!) P n,k { geordnet: (n 1,..., n k ) N k : k n i = n} i=1 = ( n 1 k 1 )

Partitionen zählen Wichtige Identitäten: S 0,0 = 1, P 0,0 = 1 k > n : S n,k = P n,k = 0 S n,0 = P n,0 = 0 S n,k = S n 1,k 1 + ks n 1,k T n,k = k!s n,k T n,k = k ( 1) r ( k) (k r) n r=0 S n,k = k ( 1) r 1 r=0 P n+k,k = k P n,i i=1 r r!(k r)! (k r)n

Partitionen zählen Bälle und Körbe: beliebig inj. surj. bĳ. n Bälle k Körbe n k n k n = k unt. unt. k n k n T n,k n! ununt. unt. ( n+k 1 n ) ( k n) ( n 1 k 1 ) 1 unt. ununt. ununt. ununt. k S n,i 1 S n,k 1 i=1 k P n,i 1 P n,k 1 i=1

Erzeugende Funktionen

Erzeugende Funktionen Gegeben: Rekursiv definierte Folge: a 0 R, a n+1 := ϕ(a n ) Gesucht: Explizite Darstellung von (a n ) n N Aufgabe: Sei a 0 = 0, a n+1 = 3a n + 2 n für n N. Bestimmen Sie a n. a n = 3 n 2 n

Erzeugende Funktionen Verfahren: 1) A(x) := n=0 a n x n 2) Nutze Rekusionsformel und schreibe A(x) = f (x) g(x) mit g(x) = k (a i b i x) p i i=1 3) Zerlege mit Partialbruchzerlegung: A(x) = k 4) Rücktransformation der einzelnen Terme Potenzreihen 5) Koeffizientenvergleich i=1 ( pi j=1 α ĳ (a i b i x) j ) α ĳ (a i b i x) j in einfache

Erzeugende Funktionen Rechenregeln für A(x) = a n x n und B(x) = b n x n : n=0 A(x) + B(x) = (a n + b n )x n γ 0 : n=0 n=0 γ n x n = 1 1 γx n=0 (geom. Reihe) Rechenregeln für A(x) = a n x n und B(x) = b n x n : n=0 n=0 A diff bar in x A (x) = na n x n 1 = (n + 1)a n+1 x n n=0 n=1 ( n+k ) k x n = ( n ) k x n k 1 = (1 x) n k k+1 n=0

Graphen: Definitionen und Bäume

Graphen: Definitionen und Bäume Graph: G = (V, E) mit V endlich E ( V ) 2 Subgraph H G: H = (W, F ) mit W V und F E ( W 2 ) Isomorphie: G 1, G 2 heißen isomorph bĳ. Abb, f : V 1 V 2 : {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2

Graphen: Definitionen und Bäume Graph: G = (V, E) mit V endlich E ( V ) 2 v 3 v 4 v 1 v 2 Subgraph H G: H = (W, F ) mit W V und F E ( W 2 ) {v 1, v 2} E Isomorphie: G 1, G 2 heißen isomorph bĳ. Abb, f : V 1 V 2 : {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2

Graphen: Definitionen und Bäume Graph: G = (V, E) mit V endlich E ( V ) 2 v 3 v 4 v 1 v 2 Subgraph H G: H = (W, F ) mit W V und F E ( W 2 ) v 3 v 4 v 2 v 1 Isomorphie: G 1, G 2 heißen isomorph bĳ. Abb, f : V 1 V 2 : {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2

Graphen: Definitionen und Bäume Graph: G = (V, E) mit V endlich E ( V ) 2 v 3 v 1 v 2 Subgraph H G: H = (W, F ) mit W V und F E ( W 2 ) Isomorphie: G 1, G 2 heißen isomorph bĳ. Abb, f : V 1 V 2 : {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2

Graphen: Definitionen und Bäume Graph: G = (V, E) mit V endlich E ( V ) 2 v 3 v 4 v 1 v 2 Subgraph H G: H = (W, F ) mit W V und F E ( W 2 ) v 3 v 4 v 1 v 2 Isomorphie: G 1, G 2 heißen isomorph bĳ. Abb, f : V 1 V 2 : {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2

Graphen: Definitionen und Bäume Bezeichnungen: x, y V heißen benachbart/adjazent : {x, y} E x V, e E heißen inzident : x e N(x) := {y V : {x, y} E} heißt Nachbarschaft von x deg(x) := N(x) heißt Grad von x deg(x) = 0 : x heißt isoliert deg(x) = 1 : x heißt Blatt δ(g) := min deg(x) heißt Minimalgrad x V (G) := max deg(x) heißt Maximalgrad x V

Graphen: Definitionen und Bäume Spezielle Graphen (G isomorph zu): P n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} heißt Weg 1 2 3 4 5

Graphen: Definitionen und Bäume Spezielle Graphen (G isomorph zu): P n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} heißt Weg C n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} {{n, 1}} heißt Kreis 1 2 3 4 6 5

Graphen: Definitionen und Bäume Spezielle Graphen (G isomorph zu): P n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} heißt Weg C n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} {{n, 1}} heißt Kreis K n := ([n], ( [n] 2 ) ) heißt n-clique oder vollständiger Graph 3 4 1 2

Graphen: Definitionen und Bäume Spezielle Graphen (G isomorph zu): P n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} heißt Weg C n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} {{n, 1}} heißt Kreis K n := ([n], ( [n] 2 ) ) heißt n-clique oder vollständiger Graph E n := ([n], ) heißt n-stabile Menge oder unabhängige Menge 3 4 1 2

Graphen: Definitionen und Bäume Spezielle Graphen (G isomorph zu): P n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} heißt Weg C n := ([n], E) mit E = {{i, i + 1} : i [n 1]} {{n, 1}} heißt Kreis K n := ([n], ( [n] 2 ) ) heißt n-clique oder vollständiger Graph E n := ([n], ) heißt n-stabile Menge oder unabhängige Menge Graphenkonstanten: ω(g) := max {H G : H ist Clique} α(g) := max {H G : H ist stablie Menge}

Graphen: Definitionen und Bäume Noch mehr Bezeichnungen: G heißt kreisfrei/wald : G enthält keinen Kreis als Subgraph

Graphen: Definitionen und Bäume Noch mehr Bezeichnungen: G heißt kreisfrei/wald : G enthält keinen Kreis als Subgraph G heißt zshg. : x, y V : x, y-weg als Subgraph

Graphen: Definitionen und Bäume Noch mehr Bezeichnungen: G heißt kreisfrei/wald : G enthält keinen Kreis als Subgraph G heißt zshg. : x, y V : x, y-weg als Subgraph H G heißt Zshg.-Komp. : H G inklusionsmax. zshg.

Graphen: Definitionen und Bäume Noch mehr Bezeichnungen: G heißt kreisfrei/wald : G enthält keinen Kreis als Subgraph G heißt zshg. : x, y V : x, y-weg als Subgraph H G heißt Zshg.-Komp. : H G inklusionsmax. zshg. G heißt Baum : G zshg. und kreisfrei

Graphen: Definitionen und Bäume Noch mehr Bezeichnungen: G heißt kreisfrei/wald : G enthält keinen Kreis als Subgraph G heißt zshg. : x, y V : x, y-weg als Subgraph H G heißt Zshg.-Komp. : H G inklusionsmax. zshg. G heißt Baum : G zshg. und kreisfrei Ist B = (V, T ) G = (V, E) ein Baum, so heißt B Spannbaum von G.

Graphen: Definitionen und Bäume Noch mehr Bezeichnungen: G heißt kreisfrei/wald : G enthält keinen Kreis als Subgraph G heißt zshg. : x, y V : x, y-weg als Subgraph H G heißt Zshg.-Komp. : H G inklusionsmax. zshg. G heißt Baum : G zshg. und kreisfrei Ist B = (V, T ) G = (V, E) ein Baum, so heißt B Spannbaum von G. Äquivalent: G zshg. X, Y mit X Y = V {x, y} E mit x X, y Y Spannbaum B G

Graphen: Definitionen und Bäume Einige Eigenschaften: G Wald Zshg.-Komp. sind Bäume G = (V, E) Baum, V 2 G enthält mind. 2 Blätter G Baum, x Blatt von G G x ist wieder Baum G Wald δ(g) 1, ω(g) 2 Äquivalent: G = (V, E) Baum G zshg., E = V 1 G kreisfrei, E = V 1 G kantenminimal zshg. G kantenmaximal kreisfrei x, y V 1 x, y-weg in G

Graphen: Defintionen und Bäume Euler-Tour: geschlossener Kantenzug jede Kante genau ein Mal Satz: G = (V, E) ein zshg. Graph. G hat Eulertour v V : deg(v) 0 (mod 2) E lässt sich in kantendisjunkte Kreise partitionieren.

Graphen: Defintionen und Bäume Hamilton-Kreis: Kreis der Länge V Satz: x, y V nicht benachbart deg(x) + deg(y) V (V, E {x, y}) hat Hamilton-Kreis G = (V, E) hat Hamilton-Kreis Korollar: V 3, δ(g) V 2 G hat Hamilton-Kreis

Graphen: Färbung und Planarität

Graphen: Färbung und Planarität Bezichnungen: f : V [k], so dass {x, y} E : f (x) f (y) heißt k-färbung G heißt k-färbbar, wenn eine k-färbung von G existiert χ(g) := min{k : G ist k-färbbar} heißt chromatische Zahl Falls χ(g) 2, so heißt G bipartit

Graphen: Färbung und Planarität Bipartite Graphen: G bipartit V = V 1 V 2, E {{x, y} : x V 1, y V 2 } Ist n 1 = V 1, n 2 = V 2 und E = {{x, y} : x V 1, y V 2 }, so heißt K n1,n 2 := (V 1 V 2, E) vollständiger bipartiter Graph Satz: G bipartit G enthält keinen Kreis ungerader Länge Bemerkung: Wälder sind bipartit. V 1 V 2

Graphen: Färbung und Planarität Bipartite Graphen: G bipartit V = V 1 V 2, E {{x, y} : x V 1, y V 2 } Ist n 1 = V 1, n 2 = V 2 und E = {{x, y} : x V 1, y V 2 }, so heißt K n1,n 2 := (V 1 V 2, E) vollständiger bipartiter Graph Satz: G bipartit G enthält keinen Kreis ungerader Länge Bemerkung: Wälder sind bipartit. K 5,4

Graphen: Färbung und Planarität Bipartite Graphen: G bipartit V = V 1 V 2, E {{x, y} : x V 1, y V 2 } Ist n 1 = V 1, n 2 = V 2 und E = {{x, y} : x V 1, y V 2 }, so heißt K n1,n 2 := (V 1 V 2, E) vollständiger bipartiter Graph Satz: G bipartit G enthält keinen Kreis ungerader Länge Bemerkung: Wälder sind bipartit. V 1 V 2

Graphen: Färbung und Planarität Planarität: G heißt planar : G lässt sich so in die Ebene zeichnen, dass sich Kanten nur in Knoten schneiden Einbettung erzeugt Gebiete R G = (V, E, R) heißt ebener Graph (V, E) planar Eulersche Polyederformel: G = (V, E, R) ebener, zshg. Graph V E + R = 2 3 4 1 2

Graphen: Färbung und Planarität Planarität: G heißt planar : G lässt sich so in die Ebene zeichnen, dass sich Kanten nur in Knoten schneiden Einbettung erzeugt Gebiete R G = (V, E, R) heißt ebener Graph (V, E) planar Eulersche Polyederformel: G = (V, E, R) ebener, zshg. Graph V E + R = 2 3 4 4 1 2 3 1 2

Graphen: Färbung und Planarität Planarität: G heißt planar : G lässt sich so in die Ebene zeichnen, dass sich Kanten nur in Knoten schneiden Einbettung erzeugt Gebiete R G = (V, E, R) heißt ebener Graph (V, E) planar Eulersche Polyederformel: G = (V, E, R) ebener, zshg. Graph V E + R = 2 3 4 4 1 2 1 2

Graphen: Färbung und Planarität Korollar: G = (V, E) planar, V 3 E 3 V 6 K 5 nicht planar δ(g) 5 Satz: G planar χ(g) 5 Vier-Farben-Satz: G planar χ(g) 4

Graphen: Matchings

Graphen: Matchings G = (V, E) ein Graph: M E heißt Matching in G e, e M : e e = M (inklusions-)maximales Matching : e E\M : M {e} ist kein Matching M größtes Matching : M E Matching: M M ν(g) := max{ M : M Matching in G} M

Graphen: Matchings G = (V, E) ein Graph: S V heißt Knotenüberdeckung in G : e E : e S τ(g) := min{ S : S ist Knotenüberdeckung} Proposition: ν(g) τ(g) 2ν(G) Satz: G bipartit ν(g) = τ(g) S

Graphen: Matchings P = (W, F ) ein Weg P heißt M-alternierend : jede zweite Kante aus M P heißt M-augmentierend : M-alternierend und Anfangs-/Endknoten nicht von M überdeckt Lemma: M Matching, P ein M-augm. Weg, M := M P M = M + 1 Satz: M größtes Matching M M-augm. Weg

Graphen: Matchings P = (W, F ) ein Weg P heißt M-alternierend : jede zweite Kante aus M P heißt M-augmentierend : M-alternierend und Anfangs-/Endknoten nicht von M überdeckt Lemma: M Matching, P ein M-augm. Weg, M := M P M = M + 1 Satz: M M größtes Matching M-augm. Weg

Graphen: Matchings Bezeichnung: M perfekt : M überdeckt alle Knoten M = V 2 Heiratssatz von Hall: G = (A B, E) bipartit. G hat Matching, das alle Knoten aus A überdeckt S A : N(S) S Korollar: G = (A B, E) bipartit. A = B und S A : N(S) S G hat perfektes Matching A B

Literatur M. Aigner: Diskrete Mathematik, 6. Auflage, Vieweg 2006. J. Matoušek, J. Nešetřil: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise, 2. Auflage, Springer 2007. A. Steger: Diskrete Strukturen, Springer 2001.