Sytemtheorie und Regelungtechnik Abchluklauur Prof. Dr. Moritz Diehl und Dr. Jörg Ficher, IMTEK, Univerität Freiburg 6. März 5, 9:-:, Freiburg, George-Koehler-Allee Raum 6 und 6 Seite 4 5 6 7 8 9 Summe Punkte auf Seite (max) 9 8 5 4 9 8 7 9 6 Erreichte Punkte Zwichenumme Zwichenumme (max) 5 9 8 46 5 6 6 Note: Klauur eingeehen am: Unterchrift de Prüfer: Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Fach: Studiengang: Bachelor Mater Lehramt Sontige Unterchrift: Tragen Sie bitte Ihren Namen und die anderen Angaben oben ein. Geben Sie die Antworten direkt unter den Fragen an oder nutzen Sie bei Bedarf nach Möglichkeit die Rückeite deelben Blatte (oder, fall diee bereit voll it, die leere Seite am Ende) für Ergebnie, die in die Korrektur einfließen ollen; verweien Sie zudem direkt bei der Frage im Hauptteil auf die entprechende Seite. Sie können zudem weitere weiße Papier für Zwichenrechnungen verwenden, aber bitte geben Sie diee Extrapapier nicht ab. Al Hilfmittel it neben Schreibmaterial und einem Tachenrechner auch ein doppeleitige Blatt mit Formelammlung und Notizen erlaubt; einige juritiche Hinweie finden ich in einer Fußnote. Machen Sie bei den Multiple-Choice Fragen jeweil genau ein Kreuz bei der richtigen Antwort. Beantworten Sie zunächt die Ihnen einfach fallenden Fragen. Wenn Sie pro Punkt zwei Minuten Zeit rechnen, ind Sie nach ca. Stunden fertig. Viel Erfolg!. Ein LTI-Sytem hat die Sprungantwort h(t) = co(t) σ(t)+σ(t) für t R. Wie lautet die Impulantwort g(t) de Sytem für t R? (σ(t) it die Sprungfunktion und δ(t) der Dirac-Impul) δ(t) + in(t) σ(t) (b) δ(t) + in(t) σ(t) (c) δ(t) in(t) σ(t) (d) δ(t) in(t) σ(t). Ein LTI-Sytem wird durch die Zutandgleichung ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du bechrieben, wobei A =, B =, C = [ ], D =. Berechnen Sie da charakteritiche Polynom p A (λ) de Sytem. Sie müen da Polynom nicht aumultiplizieren. PRÜFUNGSUNFÄHIGKEIT: Durch den Antritt dieer Prüfung erklären Sie ich für prüfungfähig. Sollten Sie ich während der Prüfung nicht prüfungfähig fühlen, können Sie au geundheitlichen Gründen auch während der Prüfung von dieer zurücktreten. Gemäß den Prüfungordnungen ind Sie verpflichtet, die für den Rücktritt oder da Veräumni geltend gemachten Gründe unverzüglich (innerhalb von Tagen) dem Prüfungamt durch ein Attet mit der Angabe der Symptome chriftlich anzuzeigen und glaubhaft zu machen. Weitere Informationen: http://www.tf.uni-freiburg.de/tudium/pruefungen/pruefungunfaehigkeit.html. TÄUSCHUNG/STÖRUNG: Sofern Sie veruchen, während der Prüfung da Ergebni ihrer Prüfungleitung durch Täuchung (Abchreiben von Kommilitonen...) oder Benutzung nicht zugelaener Hilfmittel (Skript, Buch, Mobiltelefon,...) zu beeinfluen, wird die betreffende Prüfungleitung mit nicht aureichend (5,) und dem Vermerk Täuchung bewertet. Al Veruch gilt bei chriftlichen Prüfungen und Studienleitungen bereit der Beitz nicht zugelaener Hilfmittel während und nach der Augabe der Prüfungaufgaben. Sollten Sie den ordnunggemäßen Ablauf der Prüfung tören, werden Sie vom Prüfer/Aufichtführenden von der Fortetzung der Prüfung augechloen. Die Prüfung wird mit nicht aureichend (5,) mit dem Vermerk Störung bewertet. point on page:
. Wie lautet die Übertragungfunktion G() = Y () U() der folgenden Anordnung? U() + Y () (b) (c) (d) + () 4. Ein Sytem wird durch die Differentialgleichung 4ÿ + 6ẏ 8y = 4ü 8u bechrieben. Wie lautet die Übertragungfunktion de Sytem? 4 4 + 9 (b) +6 8 8 4 8 (c) 4 9 (d) ++ 8 +6+4 4 5. Ein Sytem it durch die Differentialgleichung ẏ(t) = 7t (u(t)) bechrieben. It da Sytem linear und/oder zeitinvariant? nur linear (b) nur zeitinvariant (c) linear und zeitinvariant (d) keine von beiden 6. Ein Sytem it durch die Differentialgleichung ẏ(t) = in( bt) u(t) bechrieben, wobei b ein von Null verchiedener kontanter Parameter it. It da Sytem linear und/oder zeitinvariant? nur linear (b) nur zeitinvariant (c) linear und zeitinvariant (d) keine von beiden 7. Ein Sytem in Eingang-Augangform it durch die Dartellung... y 6ÿ + y = u + 8u bechrieben. Berechnen Sie die Matrizen A, B, C, D einer äquivalenten Zutanddartellung. 8. Welche Sytem wird durch die Übertragungfunktion G() = 4 + bechrieben? ÿ y = ü + u (b) ÿ ẏ = 4ü + 4u (c) 8ÿ + 4ẏ = ü u (d) ÿ y = 8ü + 4 u 9. Gegeben it die offene Kette G () = +. Wie lautet die Übertragungfunktion de gechloenen Kreie (bei negativem Einheitfeedback)? (b) + (c) ++4 (d) + 4 () +. Welche Übertragungfunktion hat da Zutandraummodell ẋ(t) = 4x(t) + u(t), y(t) = x(t) + u(t)? + +4 (b) +4 + (c) 4 (d) 4 point on page: 9
. Ein LTI-Sytem hat die Sprungantwort h(t) = in(t) e t σ(t) für t R. Wa it die Impulantwort g(t) für t? (co(t) in(t)) e t (b) co(t)e t (c) in(t)e t (d) (co(t) + in(t))e t. Welche der folgenden Syteme it BIBO-tabil? +5 +9+ (b) 5 + (c) ()( ) (d) +. Der Zuammenhang zwichen Eingang u(t) und Augang y(t) eine Sytem ei durch die nichtlineare Differentialgleichung ẏ(t) = b u(t) c(y(t) y ext ) bechrieben, wobei y ext ein gegebener kontanter Parameter it. Berechnen Sie den kontanten Eingang u de Sytem bei dem der Augang y(t) im tationären Zutand den Wert y annimmt. (b) Lineariieren Sie da Sytem im Punkt (u, y ) und geben Sie die lineariierte Differentialgleichung für ẏ(t) in Abhängigkeit der Variablen y(t) = y(t) y und u(t) = u(t) u an. (c) Berechnen Sie die Übertragungfunktion G() de lineariierten Sytem unter der Annahme, da u(t) = u und y(t) = y für t < gilt. point on page: 8
4. Betrachten Sie die folgende Sprungantwort. Amplitude 5 5 5 5 Zeit in Sekunden Von welchem der unten angegeben Syteme könnte die Sprungantwort tammen? (b) (c) + (d) + (b) It da Sytem BIBO-tabil und/oder grenztabil? BIBO-tabil und grenztabil. (b) BIBO-tabil aber nicht grenztabil. (c) Grenztabil aber nicht BIBO-tabil. (d) Nicht BIBO-tabil und nicht grenztabil. 5. Betrachten Sie da Nyquit-Diagramm der tabilen offenen Kette G ()..5 Nyquit Diagram.5 Imaginary Axi.5 -.5 - -.5 - -.5 -.5 - -.5.5.5.5 Real Axi It der gechloene Krei bei negativem Einheitfeedback tabil? Ja (b) Nein (c) Keine Auage möglich, weil da Sytem eine unendliche (d) Keine Auage möglich, weil da Sytem Pole auf Vertärkung beitzt. der Imaginärache beitzt. (b) Wie hoch it die tatiche Vertärkung (DC-Gain) der offenen Kette G ()?.5 (b) (c) (d) (c) Enthält die offene Kette G () ein Totzeitglied und/oder Integratorglied? (b) Nur Integratorglied (c) Totzeitglied und Nur Totzeitglied Integratorglied (d) Keine von beiden point on page: 5
6. Ein Kollege von Ihnen hat einen Regler für ein elektriche Antriebytem entworfen. Er konnte dabei durch Probieren fat alle nötigen Anforderungen umetzen, allerding beitzt der gechloene Regelkrei eine zu hohe bleibende Regelabweichung, die die Regelung unbrauchbar macht. Da ihr Kollege gehört hat, da Sie eine regelungtechniche Vorleung beucht haben, fragt er Sie um Rat. Er zeigt Ihnen da Bode-Diagramm der offenen Kette G = K()G() eine Regelungentwurf. Bode Diagram Magnitude (db) 5-5 - -5 9 Phae (deg) -9-8 -7 - - - Frequency (rad/) Abbildung : Bode-Diagramm der offenen Kette ohne PI-Regler Sie erkennen, da die Vertärkung bei geringen Frequenzen zu niedrig it und wien, da ein PI-Regler Abhilfe chaffen könnte. Alternativ könnte auch ein......phaenanhebende Korrekturglied (b)...phaenabenkende Korrekturglied (lead compenator) eingeetzt werden. (lag compenator) eingeetzt werden. (c)...reine Differenzierglied (D-Glied) eingeetzt werden. (d)...proportional-differenzier-glied (PD-Glied) eingeetzt werden. (b) Da der PI-Regler den bleibenden Regelfehler im Gegenatz zum alternativen Regler volltändig beeitigen kann, empfehlen Sie Ihrem Kollegen den PI-Regler. Die Übertragungfunktion eine PI-Regler it K() = k P +T. (b) K() = k P( + T ). (c) K() = k P T. (d) K() = k P ( + T ). (c) Da Ihr Kollege den PI-Regler nicht kennt, erklären Sie ihm dieen anchaulich anhand de Bode-Diagramm. (Skizzieren Sie unten den prinzipiellen Verlauf de Bode-Diagramm de PI-Regler. Kennzeichnen Sie dabei, wie da Bode-Diagramm von den Parametern T und k P abhängt). 4 point on page: 4
(d) Ihr Kollege hat viel Zeit benötigt, um die Reglerparameter eine vorherigen Entwurfe o einzutellen, da die Bandbreite ω B und Phaenreerve Φ P de gechloenen Kreie genau die Anforderungen erfüllen. Sie überlegen daher, wie Sie den PI-Regler o dimenionieren können, da ω B und Φ P de gechloenen Kreie mit zuätzlichem PI-Regler die gleichen Werte annehmen wie ω B und Φ P de gechloenen Kreie ohne zuätzlichen PI-Regler. (Bechreiben Sie in Worten, wie Sie k P und T wählen müen, damit ω B und Φ P nur ehr wenig verändert werden. Begründen Sie Ihre Wahl). (Hinwei: Die Bandbreite de gechloenen Kreie entpricht in guter Näherung der Durchtrittfrequenz der offenen Kette.) (e) Zeichnen Sie oben in Abbildung da Bode-Diagramm de PI-Regler für ihre Wahl von k P und T mit ein. Zeichnen Sie zudem da Bode-Diagramm der durch den PI-Regler erweiterten offenen Kette in da Diagramm ein. 7. Skizzieren Sie da Bode-Diagramm de Sytem G() = Amplitude (db) 6 4 - -4 Bode Diagramm + ( + )(. + ). -6-4 - - - 45 Phae (Grad) -45-9 -5-4 - - - Frequenz (rad/) 5 point on page: 9
8. Gegeben it da folgende Zutandraummodell einer Strecke [ ] [ ẋ(t) = x(t) + u(t). ] Zur Regelung der Strecke oll ein Zutandregler u(t) = Kx(t) mit Rückführmatrix K = [ k entworfen werden. Die Pole de gechloenen Kreie ollen die Werte ± j annehmen. Zeigen Sie, da die Strecke teuerbar it. k ] mittel Polvorgabe (b) Nehmen Sie an, da der Zutand direkt gemeen werden kann. Betimmen Sie die kontanten Parameter k und k, die icher tellen, da die Pole de gechloenen Kreie die gewünchten Werte annehmen. (c) In Wahrheit zeigt ich, da die Zutände der Strecke nicht direkt gemeen werden können, ondern nur der Augang y(t) = [ ] x(t).wir möchten daher einen Luenberger-Beobachter verwenden, um den Zutand zu chätzen. i. Zeigen Sie, da die Strecke über den Augang y(t) beobachtbar it. ii. Schreiben Sie die generelle Differentialgleichung de Luenberger-Beobachter auf, welche die Entwicklung de gechätzten Zutand in Abhängigkeit der Meungen und der Stellgrößen bechreibt. E it nicht notwendig, die vorkommenden Matrizen der Gleichung zu berechnen. 6 point on page: 8
iii. Glücklicherweie finden wir den Luenberger-Beobachter, den die vorherige Regelungtechnikerin, die [ mit der ] Strecke 7.5 gearbeitet hat, dimenioniert und implementiert hat. Da Luenberger-Gain wurde dabei zu L = gewählt, 6.8 oda die Eigenwerte der Matrix A LC die Werte.75 ± j.5 annehmen. Können wir dieen Luenberger- Beobachter zuammen mit dem Regler, den wir in 8b) augelegt haben, verwenden? Oder ollten wir den Luenberger- Gain ändern? Begründen Sie Ihre Antwort. E it nicht notwendig, einen alternativen Luenberger-Gain zu berechnen. 9. Für ein BIBO-tabile LTI-Sytem G() wurde folgende Bode-Diagramm ermittelt. Bode Diagram Magnitude (db) 5-5 - -5-9 Phae (deg) -5-8 - - - 4 Frequency (rad/) Wie hoch it der relative Grad (Polüberchu) de Sytem? (b) (c) (d) (b) Wie hoch it die tatiche Vertärkung (DC-Gain) de Sytem? -7 (b) (c) 6 (d) (c) Wie hoch it die Phaenreerve de Sytem (in etwa)? 74 (b) 6 (c) 8 (d) (d) Welche Amplitudenreerve hat da Sytem (in etwa)? (b) (c) 4 (d) (e) Entält da Sytem einen Integrator (d.h. eine Poltelle bei Null) und/oder ein Totzeitglied? Integrator und Totzeitglied (b) Nur Integrator (c) Nur Totzeitglied (d) Keine von beiden (f) Wenn man den Augang de Sytem mit minu ein multipliziert und auf einen Eingang gibt, it da enttehende Sytem BIBO-tabil? Ja (b) Nein (c) Keine Auage möglich, da die vom Initialzutand abhängt. (d) Keine Auage möglich, da da Sytem nicht kaual it. 7 point on page: 7
. In dieer Aufgabe oll die Vertikalbewegung eine aktiven Stoßdämpferytem eine Fahrzeug modelliert und unterucht werden. Betrachten Sie dazu da unten gezeigte vereinfachte phyikaliche Modell de Stoßdämpferytem. Die Mae M de Fahrzeug it durch einen Dämpfer D und eine Feder K mit dem auf der Straße aufliegenden Reifen verbunden. E wird angenommen, da der Reifen tarr it und immer Kontakt zur Straße hat. Zudem wird angenommen, da die Straße glatt it und keine Steigung beitzt. Der Dämpfer und die Feder können dann wie in der Abbildung eingezeichnet al direkt mit der Straße verbunden angeehen werden. Auf die Mae wirkt die Gewichtkraft F G = M g, wobei g die Erdbechleunigung it. Die Vertikalbewegung de Schwerpunkte von M bezüglich der Straße oll mittel der eingezeichneten Koordinate z(t) bechrieben werden. Dabei it da Koordinatenytem von z(t) o gewählt, da e immer den gleichen Abtand zur Straße hat und da z(t) = it, wenn die Feder entpannt it und omit keine Federkräfte vorhanden ind. Mit dieer Konvention kann die Federkraft, welche immer entgegen der Vertikalaulenkung wirkt, durch den nichtlinearen Zuammenhang F K (t) = u(t) (z(t)) bechrieben werden, wobei u(t) die vertellbare Federteifigkeit dartellt, die al Stellgröße de aktiven Stoßdämpferytem dient. Der Dämpfer veruracht eine Kraft F D (t) = µż(t), die der Vertikalgechwindigkeit ż(t) de Fahrzeug entgegen wirkt. Dabei it µ ein gegebener kontanter Wert. M z(t) k µ Leiten Sie die Zutanddifferentialgleichung da aktiven Stoßdämpferytem mit Eingang u(t) und Augang z(t) her. Wählen Sie al Zutand x(t) = [ ], x x wobei x (t) die Vertikalaulenkung z(t) und x (t) die Vertikalaulenkunggechwindigkeit ż(t) bechreibt. Hinwei: Die Gewichtkraft der Mae it nicht zu vernachläigen. (b) Berechnen Sie die Ruhelage x, in der da Stoßdämpferytem zur Ruhe kommt, wenn u(t) kontant auf dem Wert u gehalten wird. Hinwei: x hängt von M, g und u ab. (c) Lineariieren Sie da Sytem in der zuvor berechneten Ruhelage (x, u ). (d) It da lineariierte Sytem teuerbar? Begründen Sie Ihre Antwort. 8 point on page: 9
Leere Blatt für Zwichenrechnungen 9 point on page: