Statistik Zusätzliche Beispiele SS 208 Blatt : Beschreibende Statistik. Das jährliche Haushaltseinkommen der Privathaushalte einer bestimmten Stadt für das Jahr 208 ist in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Jährl. Haushaltseinkommen in.000 e [0,25[ [25,30[ [30,40[ [40,60[ [60,90] Anzahl der Haushalte (in.000) 30 0 40 40 30 a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm! b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in der Zeichnung den Median! c) Errechnen Sie den Median genau. Was bedeutet diese Zahl? Wie sinnvoll ist deren genaue Berechnung? 2. In der nachstehenden Tabelle sind die Mietpreise (in e/m 2 ) von Zwei-Zimmer-Miet-wohnungen in vergleichbarer Wohnlage, die im ersten Quartal auf dem Wohnungsmarkt einer Kleinstadt angeboten wurden, angegeben: Mietpreis (in e/m 2 ) [von, bis[ [4,6[ [6,9[ [9,2[ [2,8] Anzahl der Wohnungen 8 30 42 24 Berechnen und interpretieren Sie den Median. Hinterfragen Sie ihn kritisch. 3. In einer kleinen Goldgräberstadt wurde erhoben, wie der Besitz von Goldbarren verteilt ist. Dabei ergaben sich die Besitzverhältnisse wie folgt: Anzahl Goldbarren 0 2 5 20 Anzahl Personen 50 40 30 0 2 a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve. b) Bestimmen Sie den Gini-Koeffizienten. 4. Um eine möglicherweise vorhandene Abhängigkeit zwischen höchstem Schulabschluss und regionaler Herkunft aufzudecken, wurden dreißigjährige Personen befragt und man erhielt folgende Ergebnisse in Form einer Tabelle: Herkunft Schulabschluss Universität/FH Matura Hauptschule Wien, Linz, Graz 46 78 53 Andere Landeshauptstädte 40 39 79 Sonstige Gemeinden 24 72 68 Berechnen Sie eine geeignete Kennzahl, um eine Aussage über die Abhängigkeit treffen zu können! Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt SS 208
5. Für acht Unternehmen desselben Wirtschaftszweiges soll untersucht werden, welcher Zusammenhang zwischen Umsatz und Beschäftigtenzahl besteht. Im Jahr 208 wurden folgende Zahlen festgestellt: Beschäftigte (in Tsd.) 0,5 0,7,3,8,6,4,8 2,2 Umsatz (in Mio. Euro) 50 20 260 220 80 60 20 280 a) Bestimmen Sie den (Pearson-) Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie ihn. b) Bestimmen und zeichnen Sie die Regressionsgerade zur Beschreibung der Abhängigkeit des Umsatzes von der Anzahl der Beschäftigten. 6. Die folgende Tabelle enthält einige Zahlen zur Preisentwicklung von Bier und Superbenzin von 966 bis 2008, alle Preise in ATS: Jahr 966 969 974 985 990 2000 2008 208 Krügerl Bier 3,60 6 7 2 3 37 50 Liter Super 3,60 4 8 6 7 3 7 6 Bestimmen Sie den (Pearson-)Korrelationskoeffizienten und die Regressionsgerade zur Beschreibung der Abhängigkeit des Benzinpreises vom Bierpreis. 7. Folgendes Streudiagramm ist zu beurteilen: Wie stark ist der lineare Zusammenhang? Lesen Sie die Daten ab und berechnen Sie damit den Pearson-Korrelationskoeffzienten und die Gleichung der Regressionsgeraden: y 8 7 6 5 4 3 2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 8. Ein Luxusrestaurant hat durch einen neuen Geschäftsführer einen beträchtlichen Gästerückgang erlebt. Die folgenden Werte wurden ermittelt: Monat 2 3 4 5 6 Gäste 200 50 50 60 00 80 a) Bestimmen Sie die Regressionsgerade. b) Prognostizieren Sie damit die Gästezahlen für den 8. und 9. Monat. x Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 2 SS 208
9. Der Warenkorb zur Bestimmung des Verbraucherpreisindexes (berechnet nach Laspeyres) besteht aus drei Gütern. Preise und Mengen sind für die Jahre 207 und 208 in der folgenden Tabelle angegeben: Gut 207 208 Preis Menge Preis Menge Brot ( kg) 2,40 60 2,50 68 Käse (00 g),60 50,80 55 Wein (0,75 l) 6,80 22 6,50 25 a) Fassen Sie Brot und Käse jeweils zu einer Produktgruppe zusammen, Wein soll eine zweite Produktgruppe bilden. Berechnen Sie für diese Gruppen jeweils den (Sub)- Preisindex und damit den Gesamtindex. b) Bestimmen Sie die prozentuale Preisänderung dieses Warenkorbes von 99 auf 208, wenn von 99 auf 200 der Preisindex,48 betrug und von 200 auf 207 die Preise jährlich um,8 Prozent gestiegen sind! 0. Der Warenkorb zur Bestimmung des Verbraucherpreisindexes (berechnet nach Laspeyres) besteht aus vier Gütern (A, B, C, D). Während die Preise von A, B und C auf dem freien Markt gebildet werden, wird der Preis des Gutes D von der Regierung festgesetzt. In folgender Tabelle sind die aktuellen Preise, die von einem Wirtschaftsforschungsinstitut geschätzte Preisentwicklung der nächsten Periode (für A, B, C), sowie die aktuellen Verbrauchsmengen angegeben: Produkt A B C D aktuelle Menge 5 20 40 25 geschätzter Preis 7,2 2,5 aktueller Preis 0 7 3 9 a) Berechnen sie unter der Annahme, dass der Preis für D mit 2 GE festgesetzt wird, den Preisindex nach Laspeyres. b) Wie hoch darf die Regierung den Preis von Produkt D maximal festsetzen, damit das wirtschaftspolitische Ziel Inflationsrate von höchstens 3 % in der nächsten Periode nicht verletzt wird? c) Berechnen sie den Umsatzindex unter der Annahme, dass der Preis für D mit 2 GE festgesetzt wird, und folgende Mengenänderungen eintreten: die Mengen von A und D bleiben gleich, durch die Preisverschiebung erhöht sich die Verbrauchsmenge von C um 5 %, und verringert sich die Verbrauchsmenge von B um 0 %.. Der Jahresdurchschnitt des österreichischen VPI ist für verschiedene Jahre angegeben. Die jeweiligen Bezugsjahreszahlen sie änderten sich alle 0 Jahre sind die Jahre 976, 986 und 996 bzw. ab 2000 alle 5 Jahre. Die (echten) Daten sind als Indexprozent angegeben. Jahr 986 990 996 2000 2003 2005 200 205 VPI in % 55,5 09,5 30,8 05,2 05,9 0,6 09,5 0,7 a) Berechnen Sie die Werte des VPI bezogen auf das Basisjahr 976. b) Um wie viel sind die Preise von 2003 auf 205 insgesamt gestiegen? c) Um wie viel sind die Preise von 2003 auf 205 im Durchschnitt jährlich gestiegen? Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 3 SS 208
2. Eine (nominale) fünfprozentige Lohnerhöhung wird vom Unternehmer durch die Erhöhung des Lohnkostenanteils direkt auf den Konsumenten überwälzt. Die drei betrachteten Güter tragen in verschiedenem Ausmaß zum Umsatz bei. In den Produktionskosten der drei Güter sind verschieden hohe Lohnkostenanteile enthalten: Gut: 2 3 Umsatzanteil in %: 35 20 Rest Lohnkostenanteil: 0,7 0,2 0,5 a) Um wie viel wird für den Käufer jedes dieser drei Güter teurer? b) Bestimmen Sie den Preisindex des aus den drei Gütern bestehenden Warenkorbes. c) Wie groß ist für die Beschäftigten in diesem Bereich die reale Lohnsteigerung in Prozent, wenn der in b) berechnete Index als Verbraucherpreisindex (VPI) interpretiert wird? 3. Die Einkünfte eines Betriebswirts setzen sich zu 60 % aus Einkünften aus nichtselbständiger Arbeit als Abteilungsleiter und zu 5 % aus Einkünften aus Vermietung zusammen. Der Rest entfällt auf Einkünfte aus Kapitalvermögen. Die Mieteinnahmen aus seinen Immobilien umfassen zu 80 % Wohnungsmiete und zu 20 % Geschäftsraummiete. Das Kapitalvermögen ist wiederum untergliedert in 70 % Aktienbesitz und 30 % andere Anlagen. Von 207 auf 208 treten folgende Änderungen ein: Das Einkommen als Abteilungsleiter wird um 7 % erhöht. Infolge einer Gesetzesnovelle müssen Mieten für Wohnungen um 3 % gesenkt werden. Weiters haben die Aktiengesellschaften eine Verringerung der Dividendenzahlungen um 3 % angekündigt. a) Um wie viel Prozent verändert sich jede der drei Einkünfte? b) Um wie viel wird sich das Einkommen insgesamt ändern? c) Wie müssen sich die Einkünfte aus nichtselbständiger Arbeit prozentual verändern, damit trotz der Verringerung der anderen Einkünfte das Gesamteinkommen um 5 % steigt? Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 4 SS 208
Lösungen. Klasse [0, 25[ [25, 30[ [30, 40[ [40, 60[ [60, 90[ Breite 5 5 0 20 30 H i 30 0 40 40 30 Dichte 2 2 4 2 h i 0,2 0,067 0,267 0,267 0,2 F (a i ) 0,2 0,267 0,533 0,8 a) Besetzungsdichte 4 2 b) 0 0 25 30 40 60 90 F (x) 0,8 x 0,533 0,5 0,267 0,2 0 0 25 30 40 60 90 x 0,5 0,5 0,267 c) j = 3 x 0,5 = 30 + (40 30) = 38,75 Nur Näherung. 0,267 50 % der Haushaltseinkommen liegen bei höchstens 38.750 e. 0,5 0,365 2. j = 3 x 0,5 = 9 + (2 9) = 0,002 0,404 x Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 5 SS 208
3. a) x i 0 2 5 20 H i 50 40 30 0 2 h i 0,647 0,72 0,29 0,043 0,009 u i = F (x i ) 0,647 0,89 0,948 0,99 x i h i 0 0,72 0,259 0,26 0,72 xi h i 0 0,72 0,43 0,647 0,89 v i 0 0,2 0,527 0,789 b i 0 0,08 0,048 0,028 0,008 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9 0,8 0,789 0,7 0,6 v 0,5 0,527 0,4 0,3 0,2 0,2 0, 0 0 0,647 0,89 0,948 u 0 4. 0,269 b) Gini: B = 0,02 A = 0,398 G = 0,796 Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 6 SS 208
5. a) ρ = 0,855, starke Korrelation b) y = 26.849 +.965x Umsatz 300 250 200 50 00 50 6. ρ = 0,,933 Beschäftigte 0 0.5.5 2 2.5 y = 2,585 + 0,305x 7. ρ = 0,979, sehr starker linearer Zusammenhang, y = 0,374 + 0,63x 8. a) y = 24 2,43x b) 44,859; 23.74 9. a),07; 0,956;,025 b) 0,85 % 0. a),07 b) 0,282 c),082. a) 986: 55.5 990 :.555 09,5 = 70,3 996 :.555 30,8 = 203,4 2000 : 2.034 05,2 = 24,0 2003 : 2.40 05,9 = 226,6 2005 : 2.40 0,6 = 236,7 200 : 2.367 09,5 = 259, 205 : 2.59 0,7 = 286,9 b) I 2003,205 = 2,869,06,095,07 = =,266 2,266,059 also 26,596 % c) 2,266 =,020 also,985 % Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 7 SS 208
2. a) 3,5 %; %; 2,5 % b),026 c) 2,389 % 3. a) 7 %; 2,4 %; 9, % b),565 % c) 2,725 % Statistik Zusätzliche Beispiele Blatt 8 SS 208