Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät I Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum Mechanik und Thermodynamik Datum: 14.11.005 Heiko Schmolke / 509 10 Versuchspartner: Olaf Lange / 507 7 WS 005/006 Gruppe Platz 1
Inhaltsverzeichnis I. Aufgabenstellung II. Verwendete Formeln 4-5 III. Messwerte und Auswertung 5-1 IV. Fehlerbetrachtung und kritische Ergebniseinschätzung 14 V. Anlagen - Originalaufzeichnung der Messergebnisse Seite von 14
I. Aufgabenstellung 1. Messung der einzelnen Messgrößen für jede der drei Methoden und Berechnung der Volumenwerte V.. Berechnung bzw. Abschätzung der zufälligen Fehler für die einzelnen Messgrößen. i. Größenordnungsmäßige Abschätzung der systematischen Fehler der Methoden 1 -. Welche ergeben Korrekturen und welche bestimmen den systematischen Restfehler? 4. Übersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse, der zufälligen und der systematischen Fehleranteile sowie der Messunsicherheiten für die einzelnen Messgrößen. 5. Berechnung der Messunsicherheiten Vi für die Volumenwerte nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz. 6. Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschließlich Fehler, wenn die Messunsicherheiten V dies rechtfertigen. i Fragen 1. Warum soll bei Methode 1 bereits zu Beginn des Versuches etwas Wasser im Zylinder sein?. Die Gewichtsfaktoren p i für das gewogene Mittel werden umgekehrt proportional zum Quadrat der Messunsicherheit festgelegt. Wie begründet man, dass die Messunsicherheiten quadratisch und nicht linear eingesetzt werden?. Man leite die Korrekturformeln für die Auftriebsmethode (Gl. (8) und (9)) ab. 4. Unter welcher Voraussetzung darf aus Messwerten verschiedener Genauigkeit ein gewogenes Mittel bestimmt werden? Seite von 14
II. Verwendete Formeln Die verwendeten Formeln wurden aus dem Skript zum physikalischen Grundpraktikum entnommen, die verwendeten Buchstabensymbole werden ebenfalls nachfolgend erklärt. Buchstabensymbole_ m d h F G g V t γ ρ u Masse Durchmesser Höhe Gewichtskraft Fallbeschleunigung Volumen Temperatur kubischer thermischer Ausdehnungskoeffizient Dichte des entsprechenden Mediums Messunsicherheit Formeln: 1. Volumenberechnung : V π = 4 dh. Empfindlichkeitsmessung d. Waage: a E = m' ( ). Volumen in Abhängigkeit von t: V = V 1+ γ ( t t ) M N M N 4. Volumenfehler: V = V ( t t ) γ M N m1 m 1 ρl / ρ N ρl ρ L 5. Volumen bei Auftriebsmessung: V' = V 1 + ρw 1 ρl / ρw ρn ρw 6. Messunsicherheit: u= e + e < e + e s z s z Seite 4 von 14
F F 7. Größtfehlerabschätzung: uf ± ux + u y +... x y 8. Fehlerfortpflanzungsgesetz: F F uf = ux + u y +... x y 9. Vertrauensbereich: s s =± t =± t n ( xi x) nn ( 1) 10. Mittelwert: n 1 x = x n i = 1 i 11. Standardabweichung: s= ( x ) i x n 1 III. Messwerte und Auswertung Aufgabe 1 Die einzelnen Messgrößen wurden auf drei unterschiedliche Methoden gemessen. Die entsprechenden Volumina wurden in Aufgabe berechnet, da hierzu die dazugehörige Fehlerbetrachtung notwendig ist. Den nachfolgenden Übersichten sind die jeweiligen Werte zu entnehmen. Methode 1 lfd. Nr. ml (± 0,5 ml) Volumen in m 1 9,75 0,000098 9,50 0,000095 9,00 0,000090 4 9,5 0,00009 5 0,00 0,000000 6 9,50 0,000095 Seite 5 von 14
Methode lfd. Nr. Höhe in m d in m 1 0,0641 0,040100 0,064 0,040000 0,0640 0,040050 4 0,0641 0,040100 5 0,064 0,040000 6 0,0640 0,04000 7 0,040090 8 0,040150 9 0,040100 10 0,040000 Methode lfd. Nr. m 1 in g m in g 1 4,455 1,4 4,450 1,44 Aufgabe und Aufgabe Die Berechnung bzw. Abschätzung der zufälligen Fehler für die einzelnen Messgrößen ist im folgenden Abschnitt zu entnehmen: Methode 1 Der zufällige Fehler wird über den Vertrauensbereich angegeben. Hierzu ist die Berechnung des Mittelwertes und der Standardabweichung notwendig. Die Berechnungen erfolgten über die folgenden Formeln (die Ergebnisse sind entsprechend dahinter zu entnehmen): Mittelwert: n 1 177 i n i= 1 10 x = x = = 9,50 Standardabweichung: ( ) i x x 0,65 s= = = 0,555 0,4 n 1 5 Vertrauensbereich: ( xi x) nn ( 1) s 0,555 s =± t =± t =± 1 = 0,1444 0,1= e n 6 z Seite 6 von 14
Bei der Berechnung des Vertrauensbereiches wurde t = 1 gewählt (Sudentscher Faktor), da n 6. Der Vertrauensbereich ist zugleich Ausdruck des zufälligen Fehlers. Der Systematische Restfehler wurde den Messzylinderangaben am Versuchsplatz entnommen und ist ebenfalls dem Skript zum Physikalischen Grundpraktikum auf Seite 15 Punkt () zu entnehmen, er beträgt: es =± 0,5ml Die gesamte Messunsicherheit setzt sich nun aus dem systematischen und zufälligen Restfehler zusammen: u= e + e < e + e =± 0,1ml + 0,5ml =± 0,6ml s z s z Aufgrund des Differenz zwischen der Temperatur des Messzylinders t N = 0 C und der Temperatur des Wassers t M = C, welches für die Messung verwendet wurde, ergibt sich ein berechenbarer und gerichteter Volumenfehler zu: -5 1 9 ( ) V = V γ t t = 0,000095,7 10 K ( C 0 C),9 10 M N Damit ergibt sich das korrigierte Volumen des Zylinders zu: V = (,95 10 +,9 10 ) =,9509 10 ( 10 ± 610 )m 1 5 9 5 5 7 Die Abweichung ist vernachlässigbar gering, so dass das gemittelte Volumen weiterhin herangezogen werden kann. Methode Für die Berechnung des Volumens des Zylinders sind die Höhe h und der Durchmesser d gesucht. Aus den gemessenen Höhen ergibt sich der Mittelwert zu: n 1 0,847 i n i= 1 6 x = x = = 0,0641m Die Standardabweichung wurde bestimmt zu: ( x x) 8 6,8 10 i -4 s= = = 0,0001 1, 10 n 1 5 Seite 7 von 14
Der Vertrauensbereich wurde bestimmt zu: ( x x) nn ( 1) 4 i -5 s 1, 10 s =± t =± t =± 1 = 0,000048 510 = e n 6 z Der systematische Restfehler des Messgerätes beträgt laut Hersteller: 5 4 e s =± (5 10 m+ 110 h) Um den maximalen systematischen Fehler anzugeben, wird für h der Größte gemessene Wert h = 0,064m angenommen. Daraus ergibt sich: 5 6 5 e s =± (5 10 m+ 6,4 10 h) ± 5,6 10 m Die Messunsicherheit der Höhenmessung ist demnach: u = e + e < e + e =± 5,6 10 m + 4,8 10 m ± 1,0 10 m 5 5 4 h s z s z Die Höhe des Zylinders beträgt nun also: 4 ( ) h= 0,0641± 1,0 10 m Es folgt nun die analoge Betrachtung für den Durchmesser. Aus den gemessenen Werten ergibt sich der Mittelwert zu: n 1 0,401 i n i= 1 9 x = x = = 0,040m Die Standardabweichung wurde bestimmt zu: ( x x) 10 410 i -6 s= = 6,7 10 n 1 9 Der Vertrauensbereich wurde bestimmt zu: ( x x) nn ( 1) 6 i -6 s 6,7 10 s =± t =± t =± 1,1 10 = e n 10 z Der systematische Restfehler des Messgerätes beträgt laut Hersteller: 6 5 e s =± (5 10 m+ 110 d) Seite 8 von 14
Um den maximalen systematischen Fehler anzugeben, wird für d der Größte gemessene Wert d = 0,040m angenommen. Daraus ergibt sich: 6 7 6 e s =± (5 10 m+,40 10 h) ± 5, 10 m Die Messunsicherheit der Durchmessermessung ist demnach: u e e e e 5, 10 m,1 10 m 7, 10 m 6 6 6 d = s + z < s + z =± + ± Der Durchmesser des Zylinders beträgt nun also: ( 6 ) d= 0,040m± 7, 10 m Der Mittelwert des Zylindervolumens ist demnach: π π 5 V dh (0,04m) 0,0641m,9 10 m = = 4 4 Die Messunsicherheit für das Volumen errechnet sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz für multiplikative Größen: u u d h 8 uv = + V 6,4 10 Daraus folgt für das Volumen des Probekörpers: d h V = V ± u = (,9 10 ± 6,4 10 )m v 5 8 Methode Für die Masse des Zylinders in Luft bzw. Wasser ergibt sich der jeweilige Mittelwert: Masse in Luft: Masse in Wasser: n 1 84,91g 1 i n i= 1 m = x = = 4,45g n 1 6,87g 1 i n i= 1 m = x = = 1,44g Für die beiden Massen wird jeweils der Messfehler, d.h. die Empfindlichkeit der a Waage nach E = bestimmt. Hieraus ergab sich: m' 6 mluft 10mg 110 kg = = 6 mwasser 7mg 0,7 10 kg = = Seite 9 von 14
Die Dichte des verdrängten Wassers wurde einer Tabelle entnommen und hatte für kg,5 C den Wert von ρ = 997,4. Der Mittelwert des Zylindervolumens m berechnet sich nach: V m m 0,0445kg 0,0144kg ρ kg w 997,4 m 1 =,9 10 m 5 Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz additiver Größen ergibt sich die Messunsicherheit für Methode : Somit ergibt sich für das Volumen: 1 1 uv =± m Luft + mwasser = 1,7 10 ρw ρw 9 V = V ± u = (,9 10 ± 1,7 10 )m V 5 9 Unter Berücksichtigung des Auftriebes des Probekörpers und der Massennormale erhält man das Volumen V : m1 m 1 ρl / ρ N ρl ρ L V,1' = V 1 + ρw 1 ρl / ρw ρn ρw 1,kg/m 1,kg/m,9 10 1 +,896 10 8,4 10 kg/m 997,4kg/m 5 5 Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz additiver Größen ergibt sich die Messunsicherheit für diese Berechnung: 1 1 ρl / ρ N u V ' = ( m1 m) ρ 1 ρ / ρ W L W kg kg 1 1, 8,4 10 = (1 10 kg 0,7 10 kg) 10 997,4kg/m kg kg 1 1, 997,4 m m 6 6 1 m m 10 Somit ergibt sich für das Volumen V : V' = V ' ± u (,9 10 ± 10 )m,1 V ' 5 10 Das letztendliche Volumen V welches aufgrund des Auftriebes des Aufhängedrahtes etwas kleiner ist, ergibt sich nach: V'' = V' V Seite 10 von 14
Dieser Auftrieb kann allerdings wegen seiner Größenordnung für Länge und Durchmesser als Bestandteil der Messunsicherheit angesehen werden. Aufgabe 4 Die Messergebnisse, die zufälligen und die systematischen Fehleranteile sowie die Messunsicherheiten für die einzelnen Messgrößen werden nun übersichtlich dargestellt. Volumen Messgröße Zufällige Fehler Systematische Fehler Messunsicherheiten V 1 ml ± 0,1ml ± 0,5ml ± 0,6ml V V h in m ± 4,80 E-05 ± 5,60 E-05 ± 1,04 E-04 d in m ±,10 E-06 ± 5,0 E-06 ± 7,0 E-06 m Luft in kg ± 1,00 E-06 - ± 1,70 E-09 m Wasser in kg ± 7,00 E-07 - ± 1,70 E-09 Seite 11 von 14
Aufgabe 5 Die Messunsicherheiten für die Volumenwerte nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz wurden in den Aufgabe und berechnet und sind dort den entsprechenden Volumenwerten zu entnehmen. Aufgabe 6 Die Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschließlich Fehler ist nicht gerechtfertigt, da sich die Bereiche der Messunsicherheiten der jeweiligen Messungen nicht überlappen. Diese Tatsache ist dem Diagramm auf der vorhergehenden Seite zu entnehmen. Um aber einen guten Eindruck zu hinterlassen, machen wir es trotzdem: Gewogener Mittelwert: Bei Methode wurde aus Gründen der Genauigkeit nur auf das Volumen in Anhängigkeit der Auftriebskräfte zurückgegriffen. Folgende Formeln liegen dem Ganzen zu Grunde: p u 1 j = uj V gesamt = V p + V p + V p p + p + p 1 1 1 u gesamt =± ( p u ) + ( p u ) + ( p u ) 1 1 p + p + p 1 V1 1 = 10 m 5 u =± 610 m 7 5 V1,9 10 m u1 = p1 = 1 p1 = 88 6,4 10 m 5 V1,9 10 m = 8 =± 10 u1 =± 10 m p1 = 4.000.000 Vgesamt ugesamt =,9 10 m 5 =± 610 m 7 somit ergibt sich: V (,9 10 ± 610 )m gesamt 5 7 Seite 1 von 14
Fragen Zu Frage 1 Bei Methode 1 sollte deswegen bereits vor Beginn des Versuches etwas Wasser im Zylinder sein, damit sich die Temperatur des Wasser und des Zylinders anpassen können, nach Möglichkeit an die Raumtemperatur. Zu Frage Die Messunsicherheiten werden generell quadratisch und nicht linear eingesetzt. Der Grund hierfür ist, dass die Unsicherheiten vom Vorzeichen her unterschiedlich sein können, d.h. sie könnten sich gegenseitig kompensieren oder summieren und somit wäre die Fehleraussage verfälscht. Beim Quadrieren werden die Vorzeichen angepasst, so dass man indirekt mit Fehlern in Form von Beträgen rechnet, da sie jetzt alle positiv sind. Zu Frage Die Korrekturformeln (Gleichung (8) und (9)) aus dem Skript werden auf folgende Weise hergeleitet: Es muss ein Gleichgewicht herrschen, damit man einen Ansatz für diese Gleichung findet. D.h. beide Seiten müssen sich ausgleichen und die Waage befindet sich somit im Gleichgewicht. Ein Ansatz wäre: (der Ansatz wurde handschriftlich zu Ende geführt, auf eine detaillierte Ausführung wird hier aus Zeitund Lustgründen verzichtet): Gleichgewicht in der Flüssigkeit: (pmn1 g V MN1) (pl g V MN1) = (pz g V) Z (pw g V) Z Luftgleichgewicht: (pz g V) Z (pl g V) Z = (pmn g V MN) (pl g V MN) Das Auflösen nach der unterstrichenen Größe und Einsetzen in die äquivalente Gleichung führt dann irgendwann unweigerlich zu den Gleichungen (8) und (9). Zu Frage 4 Aus Messwerten verschiedener Genauigkeit darf nur dann ein gewogenes Mittel bestimmt werden, wenn sich die Bereiche der Messunsicherheiten überlappen. Wir haben in diesem Experiment trotzdem das gewogene Mittel berechnet, weil wir zeigen wollten, dass wir es können. Seite 1 von 14
IV. Fehlerbetrachtung und kritische Ergebniseinschätzung Wie spätestens der grafische Darstellung der Volumenmittelwerte aus Aufgabe 4 zu entnehmen war, ist die Ermittlung des gewichteten Mittels für die einfache statistische Sicherheit von 68,% nicht gerechtfertigt gewesen. Es ist anzunehmen, dass es bei einer der Messungen grobe Fehler oder aber nicht erkannte systematische Fehler gegeben hat. Im Großen und Ganzen war es auch diesmal ein interessanter Versuch, nur ist die Struktur der Fragen etwas verwirrend, da die eine oder andere vom Inhalt her identisch ist. Seite 14 von 14