Kleine Schwingungen vieler Freiheitsgrade Betrachte System mit f Freiheitsgraden: (z.b. N Teilchen in 3 Dim.: f = 3N) Koordinaten: Geschwindigkeiten: Kinetische Energie: "Massenmatrix" Nebenbemerkung: Bei fortgeschrittenen Anwendungen (Lagrange, verallgemeinerte Koordinaten), ist im allg. nicht-diag., aber stets symmetrisch, mit positiven Eigenwerten. Wir betrachten hier jedoch nur den (naheliegendsten) Fall,. Potentielle Energie: Bewegungsgl.: Def.: Gleichgewichtslagen (Fixpunkte) sind zeitunabhängige Lösungen der Bewegungsgleichung: Explizit: (3) in (2): Energie am Fixpunkt:
Umgebung eines Fixpunktes: "Entwickle U um herum", seien klein Taylor-Entwicklung des Potentials in f Koordinaten bis zur quadratischen Ordnung in x : 'Hesse-Matrix' Höhere Terme vernachlässigbar bei kleinen Auslenkungen: (enthält, etc.) Ohne Verlust der Allgemeinheit wählen wir: In Matrix-Notation: Bewegungsgleichung: In Matrixnotation: (Vergleiche Gl. 4.5) Gl. (3) sind lineare, homogene DGl. 2. Ordnung mit konst. Koeff. Diese Vereinfachungen wurden erreicht durch Vernachlässigung der -Terme: Beispiele: f = 1: [falls : HO mit ]
"stabiler Fixpunkt" "instabiler Fixpunkt" k > 0: Lösung: Harmonische Näherung OK falls Amplitude klein bleibt: Energie-Erhaltung: System folgt Ellipse im - "Phasenraum": "Elliptischer Fixpunkt" k < 0: Allg. Lösung: System folgt Hyperbel im Phasenraum: "Hyperbolischer Fixpunkt" Harmonische Näherung nur für kurze Zeiten OK.
Betrachte, mit σ = Verstellbarer Parameter Änderung v. σ kann Charakter des Fixpunkts ändern: Harmonische Näherung: stabiler Fixpunkt kritischer (oder marginaler) Fixpunkt instabiler Fixpunkt "Bifurkation" Zurück zur allg.-gleichung: Bedingung für stabiles Gleichgewicht: f. alle genügend kleine x Kurznotation: (Matrixmultiplikation ist implizit) Transformiere zur Eigenbasis von V: V ist symmetrisch, diagonal (3) erfordert: Eigenwerte v. V sind positiv! "V ist positiv-definite Matrix" Ferner gilt auch allgemein: ist positiv-definite Matrix
Allg. Lösungsverfahren für Gl. (17.1): Komplexer Lösungsansatz: Schreibe: und fordere komplexer Spaltenvektor (Vorzeichen: meine Konvention) (dann: ) (2) in (3): Matrix-Notation für (4): (Eigenwertproblem) Nicht-triviale Lösung erfordert: charakteristisches Polynom: (z.b. 5b.4) Polynom von Grad f mit reellen Koeffizienten Nullstellen von sind "(Eigenfrequenzen) " von (18.5) [reell, da V und T symmetrisch sind] Eigenvektoren erfüllen die Gl.: Entsprechende Lösung "Eigenmode, Eigenschwingung" ist positiv-definit; Falls auch positiv-definit ist, sind Wurzeln v. positiv: (gilt für stabiles Gleichgewicht, siehe 17.8) Ansonsten sind einige Wurzeln negativ: folglich: also gilt: schreibe instabiles GGW!!
Sonderfall: : dann liefert (19.2) Potential ändert sich nicht in -Richtung (ist zu bestimmen) Ansatz zur Lösung v. (18.3): Eingesetzt: gleichförmige Bewegung in -Richtung! (statt Oszillationen) Beispiele für f = 2: Minimum Rinne Sattel Sattel Tunnel Maximum
Ein-dimensionales Kristall-Modell Massen: Federkonstanten: mit periodischen Randbedingungen: Gleichgewichtspositionen: Auslenkungen: Potentielle Energie: Bewegungsgl. für n: N gekoppelte Gl. f.d. N Funktionen Rückstellkraft Streckung/Dehnung d. Feder: falls >0: Kraft nach links falls >0: Kraft nach rechts (22.4) in Matrixnotation: mit [wegen periodischer Randbedingung] [vergleiche KSchw(3.3)] Anstatt V mittels charakteristischem Polynom zu faktorisieren, werden wir zeigen, dass die Eigenvektoren mittels einem Fourier-Ansatz gefunden werden können: Ansatz: Eingesetzt in (22.4):
Für eine gültige Lösung müssen und somit wie folgt zusammenhängen: "Dispersionsrelation": (wie hängt von ab) Entsprechende Lösung trägt Index k: Periodische Randbedingungen, erfordern, das nur bestimmte k-werte erlaubt sind: Also sind nur Vielfache v. möglich, mit [größere k-werte liefern keine neuen Lösungen, denn somit: Die möglichen k-werte bilden kein Kontinuum, sondern eine diskrete Menge: "k-quantisierung". Folglich sind auch die entsprechenden Eigenfrequenzen quantisiert. Im Limes wird k ein kontinuierlicher Parameter. (entspricht einer unendlich langen Kette, wo Randbedingungen keine Rolle spielen) Applet zur Visualisierung der Schwingungen: http://www.ph2.uni-koeln.de/505.html Gefundene Lösung in der Vektornotation von Gl. (23.1): mit Der Vektor ist in der Tat ein Eigenvektor der Matrix Eigenwert
Zusammenfassung: kleine Schwingungen Kinetische Energie: Potentielle Energie: Bewegungsgl.: Komplexer Lösungsansatz: Eigenwertproblem: Eigenmode, Eigenschwingung: Sonderfall: