Universität Hannover Seminar zu elliptischen Funktionen, elliptischen Kurven und Modulformen; WS 04/05 Der Torus als algebraische Kurve Volker Kamps, Matrikelnummer: 2134437 8. Februar 2005
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Der Projektive Raum 2 3 Kurven im projektiven Raum 4 4 Der Torus als projektive Kurve 5 5 Literatur 8 1 Einleitung Die folgende Ausarbeitung befasst sich mit Kapitel V, Anhang zu 3 aus Funktionentheorie 1 von Eberhard Freitag und Rolf Busam. Definitionen, Sätze usw. werden ausschließlich aus obigem Buch zitiert, Quellen kennzeichne ich daher nur mit der entsprechenden Seitenzahl. Um den Torus als algebraische Kurve interpretieren zu können wird man als erstes mit Hilfe der Weierstraßschen -Funktion 1 eine Abbildung des Torus auf eine Kurve in dem C 2 konstruieren. Diese Abbildung wird nicht ausreichen, so dass man die Abbildung als affinen Teil einer projektiven Kurve betrachtet in die sogenannte Hyperebene im Unendlichen fortsetzen wird. Als erstes werde ich diesen Raum konstruieren. 1 p.264 1
2 Der Projektive Raum Definition: Der n-dimensionale projektive Raum ist definiert als: P n C := {[z]; z C n+1 {0}}, wobei [z] := {tz; t C {0}}. Bemerkungen 1. [z] sind Äquivalenzklassen zu folgender Äquivalenzrelation: z w z = tw; t C {0} Dass eine Äquivalenzrelation ist, kann man leicht zeigen, z.b. hier die Transitivität: Seien x, y, z C n+1 mit x y, y z x = ty, y = rz, t, r C {0} x = trz, tr C {0} Wir werden folgende Bezeichnung verwenden: [z] = ( :... : z n ), die homogenen Koordinaten von z. 2. Die Elemente aus P n C kann man als die Menge der Ursprungsgeraden in C n+1 auffassen. Der n dimensionale affine Teil von P n C ist die Menge Lemma 1 A n C = {( :... : z n ) P n C; 0}. Wir können diesen affinen Teil mit C n identifizieren durch die Abbildung ϕ : C n A n C, (z 1,..., z n ) (1 : z 1 :... : z n ), ϕ 1 : A n C C n, ( :... : z n ) ( z 1,..., z n z0 ). Sei z = (z 1,..., z n ) C n. ϕ 1 (ϕ(z)) = ϕ 1 (1 : z 1 :... : z n ). Der Repräsentant von dem durch ϕ gewonnenen Element in A n C muss nicht umbedingt (1 : z 1 :... : z n ) sein, jedoch gilt für jeden dieser Repräsentanten: (t 0,..., t n ) = λ(1, z 1,..., z n ). Aus der ersten Stelle folgt nun, dass λ = t 0 ist (t 0 darf nicht 0 sein), also gilt t i = t 0 z i, i = 1,..., n. 2
ϕ 1 (t 0 :... : t n ) = ϕ 1 (1 t 0 : z 1 t 0 :... : z n t 0 ) = (z 1,..., z n ), d.h. ϕ 1 (ϕ) = id C und ϕ 1 ist wohldefiniert. Dreht man die Reihenfolge nun um, so erhält man ϕ(ϕ 1 ) = id A n C, was die Behauptung beweist. Definition Die Elemente aus P n C mit = 0 werden als die Hyperebene im Unendlichen bezeichnet, sie bilden zusammen mit A n C eine disjunkte Vereinigung von P n C. Lemma 2 Diesen Teil des projektiven Raumes, das Komplement von A n C kann man mit P n 1 C identifizieren: σ : P n 1 C P n C A n C (z 1 :... : z n ) (0 : z 1 :... : z n ). Seien z = (z 1,..., z n ), y = (y 1,..., y n ) beliebig. 1. z y: d.h. es gibt ein λ C mit z = λy σ([z]) = σ([λy]) (0 : z 1 :... : z n ) = (0 : λy 1 :... : λy n ) = λ(0 : y 1 :... : y n ). [z] und [y] weden also auf das selbe Element in P n C A n C abgebildet, die erste Stelle kann auch bei einer Multiplikation mit einem Element aus C nicht ungleich 0 werden, die Abbildung ist also wohldefiniert. 2. z y: Man zeigt, dass die Folgerung aus 1. für beliebiges λ nicht stimmt, also zwei verschiedene Elemente aus P n C auch auf zwei Verschiedene Elemente in P n C A n C abgebildet werden, der Rechenweg ist der selbe, d.h. die Abbildung ist injektiv, Surjektivität ist klar (für (0 : z 1 :... : z n ) ist (z 1 :... : z n ) ein Urbildpunkt). Genauso verläuft die Argumentation für die Umkehrung von σ. 3
Beispiele 1. Der 2 dimensionale projektive reelle Raum lässt sich als Vereinigung einer affinen rellen Ebene mit dem Einheitskreis auffassen. 2. Der 1 dimensionale projektive komplexe Raum als Riemannsche Zahlkugen (die Hyperebene ist hier der Punkt im Unendlichen). 3 Kurven im projektiven Raum Definition Ein Polynom P heißt homogen, wenn es eine Zahl d N gibt, so dass Bemerkung P (tz 1,..., tz n ) = t d P (z 1,..., z n ). Durch die Homogenität von Polynomen bekommen Nullstellen auch im projektiven Raum einen Sinn, denn sei z y, also y = λz (λ C {0}) und z eine Nullstelle von P, wobei P homogen, so ist P (y) = P (λz) = λ d P (z). Da λ 0, so ist P (y) = 0 P (z) = 0. Definition 1. Eine Teilmenge X P 2 C heißt ebene projektive Kurve, falls es ein nichtkonstantes homogenes Polynom P über C in drei Variablen gibt, so dass X = {[z] P 2 C; P (z) = 0} gilt. 2. Eine Teilmenge X C 2 heißt ebene affine Kurve, wenn es ein nichtkonstantes Polynom P über C in zwei Variablen gibt, so dass X die Nullstellenmenge dieses Polynoms ist. Bemerkung Ein beliebiges nichtkonstantes Polynom P über C in n Variablen kann in n + 1 Variablen wie folgt homogenisiert werden (hier wegen der Übersichtlichkeit in 2 Variablen): Sei P (z 1, z 2 ) = a ν1 ν 2 z ν 1 1 zν 2 2 nichtkonstant, a ν1 ν 2 C; ν 1, ν 2 N, d := max{ν 1 + ν 2 ; a ν1 ν 2 0}. Dann ist P (, z 1, z 2 ) := a ν1 ν 2 z d ν 1 ν 2 0 z ν 1 1 zν 2 2 das zu P assoziierte homogene Polynom. Homogen ist P, da ein Faktor t C von ( : z 1 : z 2 ) in jedem Summanden d fach vorkommt, also t d vor die Summe geschrieben werden kann, was genau der Homogenitätsbedingung entspricht. 4
Lemma 3 Sei P wie oben, P das assoziierte homogene Polynom, ebenfalls wie oben, X die durch P entstehende ebene affine Kurve, X die durch P entstehende projektive Kurve. Dann wird X durch ϕ aus Lemma 1 bijektiv auf X A 2 C abgebildet. Aus Lemma 1 folgt, dass ϕ eine Bijektion ist. Bleibt zu zeigen, dass das Urbild von X A 2 C unter ϕ die Menge X ist, bzw umgekehrt. X A 2 C ist die Menge {( : z 1 : z 2 ); P (z0, z 1, z 2 ) = 0 und 0}. Da P homogen ist und 0, kann auch gefordert werden, dass 0 = P (1, z 1, z 2 ) = a ν1 ν 2 1 d ν 1 ν 2 z 1 ν 1 z 2 ν 2 = P ( z 1, z 2 ). 4 Der Torus als projektive Kurve Im 4. Vortrag des Seminars wurde eine Differentialgleichung gegeben 2, die durch die -Funktion gelöst wird: (z) 2 = 4 (z) 3 g 2 (z) g 3. Im folgenden sei P = P (z 1, z 2 ) = z 2 2 4z3 1 + g 2z 1 + g 3, X die durch P definierte affine Kurve und g 2, g 3 dem Gitter L entsprechend gewählt 3. Es sei an dieser Stelle daran erinnert, dass der Torus C/L entsteht, wenn die gegenüberliegenden Seiten des Gitters miteinander verknüpft werden. Dieser Torus soll im folgenden von der Quotiententopologie getragen werden, d.h. eine Menge M/L C/L ist offen, wenn die Menge M C nach der üblichen Definition offen ist. Bemerkung Ein Punkt ( (z), (z)) liegt auf der affinen Kurve X, da seine Koordinaten genau die Differentialgleichung lösen. Satz Die Zuordnung 2 p.272 3 p.272 δ : C/L {[0]} X [z] ( (z), (z)) 5
ist eine Bijektion. Die Bezeichnung [z] soll in diesem Zusammenhang als die Klasse [z] = z + L verstanden werden 4. ˆ Surjektivität: Sei (u, v) X und z C so gewählt, dass (z) = u, was nach dem Dritten Liouvilleschen Satz möglich ist 5. Nun muss v so gewählt werden, dass (u, v) Nullstelle von P ist, also obige Differentialgleichung löst. Das tut es genau dann, wenn (z) = ±v. Da gerade ist, ungerade, ist entweder δ[z] = (u, v) oder δ[ z] = (u, v). ˆ Injektivität: Seien z, w C L mit δ[z] = δ[w], also (z) = (w) und (z) = (w). Wir wissen 6 entweder z w mod L oder z w mod L. Im ersten Fall sind wir fertig, der 2. Fall kann wie folgt gezeigt werden: Ist z w, so ist z + w L, also (z) = (w) = (w (z + w)) = ( z) = (z). Das kann aber nur zutreffen, wenn (z) = 0. Aus der Invarianten Kennzeichnung der Nullstellen von 7 folgt nun, dass 2z L ist. Damit ist z z + (z + w) mod L w mod L. Wenn man nun das zu P assoziierte Polynom P konstruiert, so erhält man: P (, z 1, z 2 ) = z 2 2 4z3 1 + g 2z 2 0 z 1 + g 3 z 3 0. Für = 1 erhält man genau den in dem Satz beschriebenen Schnitt, das Komplement erhält man indem man = 0 setzt. Theorem Durch die Abbildung δ : C/L { P 2 C, (1 : (z) : [z] (z)), falls z / L, (0 : 0 : 1), falls z L wird eine bijektive Abbildung des gesamten Torus auf eine ebene projektive Kurve X gegeben, die Gleichung dieser Kurve ist 4 p.254 5 p.258 6 Satz 2.10, p.266 7 2.8 Hilfssatz, p.265 z 2 2 = 4z 3 1 g 2 z 2 0z 1 g 3 z 3 0. 6
Die Gleichung entsteht durch Homogenisierung der obigen Gleichung zu X. Wir können nach Lemma 1 den affinen Teil des P 2 C mit C 2 gleichsetzten, nach Lemma 3 ist damit der affine Teil von X isomorph zu der Kurve X in dem Satz. Dort wurde gezeigt, dass sie bijektiv ist. Für die Punkte im projektiven Abschluss gilt: = 0. Damit muss nach der Gleichung für X auch z 1 = 0 sein (damit insgesamt z 2 0), soll ( : z 1 : z 2 ) auf der Kurve liegen. Da alle z L nach Definition des Gitters in [0] liegen und (0 : 0 : 1) ebenfalls nur einen Punkt in der projektiven Ebene beschreibt, ist die Abbildung auch im nicht affinen Teil ein eindeutig. Korollar δ ist ein Homöomorphismus. Bijektivität ist genau die Aussage des Theorems, bleibt zu zeigen, dass δ und δ 1 stetig sind. δ ist auf dem Torus mit Ausnahme von [0] (da und dort holomorph sind) holomorph, also insbesondere stetig. Wir betrachten nun lim δ[z] = lim(1 : (z) : (z)). z 0 z 0 Da [ ] in 0 einen Pol 2. [3.] Ordnung hat, gibt es holomorphe Funktionen f, [g], mit f(0), g(0) 0, durch die sich (z) = f(z), z (z) = g(z) darstellen 2 z 3 lassen 8. Nun ist (1 : (z) : (z)) }{{} = (z 3 : z 3 (z) : z 3 (z)) = (z 3 : zf(z) : g(z)) Also da z 0 lim (1 : (z) : z 0 (z)) = lim(z 3 : zf(z) : g(z)) = (0 : 0 : g(0)) = z 0 }{{} (0 : 0 : 1). g(0) 0 Damit ist δ auch in [0] stetig. Da der Torus und X kompakte Mengen sind und δ bijektiv ist, muss δ 1 ebenfalls stetig sein. 8 p.130ff 7
5 Literatur Freitag, Eberhard: Funktionentheorie 1; 3., neu bearb. und erw. Aufl.: Springer 2000 Hurwitz: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen; 5. Aufl.: Springer 2000 Hans Peter Rehm: Topologie, Begleittext zur Vorlesung Universität Karsruhe 2002: www.mathematik.uni-karlsruhe.de/ ~mi2/schmidt/ss02/hprvl/toposkript.ps Annegret Weng: Elliptische Kurven und komplexe Multiplikation; Universität GH Essen 2003: www.exp-math.uni-essen.de/~weng/vorges.ps 8