Diplom VP Informatik / Numerik. September 00 Aufgabe Gegeben sei das lineare Gleichungssystem A x = b mit 0 4 0 0 0 0 A = 4 0 0 0 0 0 0 0 0 und b = 4 4 8 5. Punkte a Berechnen Sie die Cholesky Zerlegung LDL T Zerlegung von A und geben Sie L und D explizit an. b Warum ist A nicht symmetrisch positiv definit? c Warum ist die in a berechnete Zerlegung durchführbar, obwohl A nicht symmetrisch positiv definit ist? Welche Probleme können bei nicht symmetrisch positiv definiten Matrizen gegebenenfalls auftreten? d Berechnen Sie die Determinante von A. e Lösen Sie das lineare Gleichungssystem A x = b mit Hilfe der in a berechneten Zerlegung. Teil a Die Berechnung der k ten Spalte erfolgt mit Hilfe der Formeln siehe Skript S. 54 k d k,k = a k,k lk,j d j,j, l i,k = j= k a i,k l i,j d j,j l k,j /d k,k, i = k +,..., n. j= Das lineare Gleichungssystem A x = b läßt sich entkoppeln in zwei Teile, wobei der erste Teil aus den Elementen mit ungeraden Zeilen und Spaltenindizes und der zweite Teil aus den Elementen mit geraden Zeilen und Spaltenindizes besteht. Daher kann man sich leicht überlegen, daß die Matrix L nur dort nichtverschwindende Elemente l i,k haben kann, für die a i,k 0 gilt. Das sind genau die Elemente l i,k, für die i + k eine gerade Zahl ergibt. Also dünnen sich die obigen Formeln für die k te Spalte wie folgt aus: d k,k = a k,k l i,k = a i,k k j= k+j gerade k j= k+j gerade l k,j d j,j, l i,j d j,j l k,j / d k,k, i = k +,..., n für gerades i + k. Daher sind statt zehn Berechnungen nur vier für L erforderlich, die gegenüber der originalen Version noch reduziert sind. In folgender Reihenfolge erhalten wir damit die einzelnen nichtverschwindenden Einträge von L und D: d, =, l, = 4 = 4, l 5, = =, d, =,
l 4, = =, d, = 4 = 4, l 5, = 4 =, 4 d 4,4 = 0 = 8, d 5,5 = 4 =. Das ergibt die Matrizen L = 0 4 0 0 0 0 0, D = 4 8. Teil b Nach Satz.5. des Skriptes S. 5 ist eine symmetrische Matrix genau dann positiv definit, wenn d i,i > 0 gilt für i =,..., n für die Matrix D der Cholesky Zerlegung. Hier gilt jedoch damit ist A nicht positiv definit. d, = 4 < 0, d 4,4 = 8 < 0, Teil c Zur reinen Durchführbarkeit des Algorithmus der Cholesky Zerlegung ist nur erforderlich, daß erfüllt ist, was für A gilt. d i,i 0, i =,..., n, Im Fall, daß für mindestens einen Eintrag d j,j < 0 gilt, können jedoch möglicherweise Stabilitätsprobleme auftreten müssen aber nicht. Teil d Es gilt deta = detl D L T = detl detd detl T = detd = d, d, d, d 4,4 d 5,5 = 04. Teil e Die Lösung des Gleichungssystems A x = b ist äquivalent zur Lösung der Sequenz L z = b mittels Vorwärtseinsetzen, D y = z, L T x = y mittels Rückwärtseinsetzen. Es ergeben sich in dieser Reihenfolge z T =, 4, 8,, T, y T =,,,, T, x T =, 8, 4,, T.
Diplom VP Informatik / Numerik. September 00 Aufgabe Gegeben sind die vier Meßwerte 0 Punkte x i -. -0.9 0.75.7 y i. -0.9.0 -.0, die der Theorie nach zu einer Ellipse der Form gehören. α x + β x y + γ y 0 = 0 a Stellen Sie das zugehörige lineare Ausgleichsproblem A x b min auf. Geben Sie A und b explizit an. b Die Behandlung obigen Ausgleichsproblems A b für vier Meßwerte führt bei der Lösung mittels orthogonaler Transformationen auf ein oberes Dreieckssystem R Q b. Nun erhaltene Sie eine weitere Meßung x 5, y 5. Das dazu gehörige lineare Ausgleichsproblem unter Verwendung von R Q b sei dann -7.8. -.9-4 0 -. 0.74-4.4 0 0 -. - 0 0 0-0. 5.85 -.4 0.98 0 Lösen Sie dieses Givens-Rotationen und geben Sie α, β und γ sowie das Residuum explizit an.. a Für das lineare Ausgleichsproblem A x b min ist eine Zeile gegeben als x i x i y i yi 0, also.5.5.5 0 0.8 0.8 0.8 0 A =, b = und x = α β. 0.55 0.750.00 0 γ 7.9.70.00 0 b Wir benutzen die Variante aus dem neueren Skript: r = a + b, c = a r und s = b r. Eliminiere a 5 : r = 9.75 c = 0.8 und s = 0. 9.75-4.08 7. 0 -. 0.74-4.4 0 0 -. - 0 0 0-0. 0 0 0.5 0.4 Eliminiere a 5 : r =.88 c = 0.98759 und s = 0.5974 9.75-4.08 7. 0 -. 0.74-4.4 0 0.88.8994 0 0 0-0. 0 0 0.87 Rückwärtseinsetzen ergibt dann x =.0,.945, 5.7870 T, also erhalten wir für die Ellipse Das Residuum ist r =.707..0 x +.945 x y + 5.7870 y 0 = 0.
Diplom VP Informatik / Numerik. September 00 Aufgabe 9 Punkte Zur Bestimmung des Integerals I = b fx dx sei folgende Quadraturformel mit Stützstellen gegeben a H = b a: [ I I f = H ] f a + H + f a + + H. Der Fehler dieser Formel ist gegeben durch E f = I I f = H5 40 f 4 z, z a, b. a Leiten Sie für die Quadraturformel die summierte Formel für n Teilintervalle mit der Schrittweite h = b a n her und geben Sie für diese eine Fehlerabschätzung unter Benutzung von an. b Wenden Sie die summierte Formel aus a an auf das Integral mit n = und schätzen Sie den Fehler ab. 0 dx = ln + x c Wieviel Teilintervalle sind erforderlich, um mit der in a aufgestellten Formel das Integral bis auf einen Fehler von ε = 0.5 0 zu bestimmen? Teil a Auf jedem Teilintervall [x i, x i+ ] mit x i = a + i h, h = b a n, lautet die Quadraturformel ] [ h f x i + h + f x i + + h = h [fs i + ft i ], wobei s i := a + i + h, t i := a + i + + h. Damit ergibt sich aufsummiert für alle Intervalle i = 0,,..., n Für den Fehler gilt auf jedem Teilintervall [x i, x i+ ] I sum f = I sum f, h, n = h n fs i + ft i. i=0 also aufsummiert h 5 40 f 4 z i, z i x i, x i+, n E sum f = E sum h 5 f, h, n = 40 f 4 z i = h5 n f 4 z i. 40 i=0 Wir schätzen die 4. Ableitung jeweils gegen das auf [a, b] globale Maximum M 4 := max z [a,b] f 4 z ab und erhalten E sum f h5 40 n M 4 = b a 40 b h4 a5 M 4 = 40 n 4 M 4. 4 i=0 Teil b Für das angegebene Integral wählen wir die Parameter fx = b a, a = 0, b =, n =, h = + x n =.
Das ergibt die Stützstellen x 0 = a = 0, x = a + h = 0.5, x = a + h = b = sowie die in benötigten Zwischenstellen mit den Funktionswerten s 0 = 0.05, t 0 = 0.944, s = 0.05, t = 0.8944 fs 0 = 0.90444, ft 0 = 0.779, fs = 0.80, ft = 0.5789. Eingesetzt in ergibt sich I sum f = I sum f, h, n = I sum f, 0.5, = h fs 0 + ft 0 + fs + ft = 0.908. Für die Fehlerabschätzung berechnen wir die Ableitungen von f: f x = + x, f x = + x, f x = + x 4, f 4 x = 4 + x 5. Die 4. Ableitung ist auf [0, ] positiv und streng monoton fallend; ihr Betrag nimmt daher ihr Maximum am linken Intervallrand an, also M 4 = f 4 0 = 4. Eingesetzt in 4 ergibt sich daher Das Ergebnis ist damit auf Stellen genau. Teil c Für den Fehler gilt gemäß 4 Aufgelöst nach n ergibt sich also aufgerundet E sum f b a 40 h4 M 4 = 0.48 0. E sum b a5 f 40 n 4 M 4 n 4 b a5 M 4 40 ε n.! ε = 0.5 0. = 0....,
Diplom VP Informatik / Numerik. September 00 Aufgabe 4 Gegeben ist die Anfangswertaufgabe 0 Punkte y t + y t + sint yt = 0 mit y0.4 = y 0.4 =. Bestimmen Sie mit dem verbesserten Euler-Verfahren eine Näherung für y. Wählen Sie h dazu so, daß Sie Schritte benötigen. Zunächst ist y t = y t sint = ft, yt, y t. Die Substitution y = y, y = y führt auf das System wir nutzen für das explizite Verfahren die Linearität nicht aus y = y y y = y = ft, y, y y sinty Das verbesserte Eulerverfahren lautet, y 0 = k = ft i, y i y i+/ = y i + h k k = ft i + h, y i + h k y i+ = y i + h k y y 0 = y 0.4 = y 0.4 Wir starten mit t 0 = 0.4. Bei drei Schritten ergibt sich h = 0., um von 0.4 bis zu kommen. Die Berechnung ergibt die folgenden Werte: i t i k y i+/ k y i+.0. 0.70.5 0 0.4.894 0.70.0495 0.5900 0.5900. 0.4070. 0..808 0.4070.594 0.74 0.74.07 0.849.59 0.8.474 0.849.44 0.04 Als gesuchtes Resultat erhalten wir y y, = 0.04.