Theorie der Anfangswertaufgaben

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KAPITEL 3 Theorie der Anfangswertaufgaben In diesem Abschnitt geht es um eine allgemeine theoretische Untersuchung von Anfangswertaufgaben der Form: Anfangswertproblem: Dabei ist y (x) = f(x, y(x)), y( ) = y 0. f : G R, G R R n, eine vorgegebene Funktion, die sogenannte rechte Seite der Dierentialgleichung. Auerdem sei G oen und enthalte den Anfangspunkt (, y 0 ). (18) In vielen Fallen lasst sich eine Losung nicht explizit angeben. Deshalb interessieren uns die folgenden Frage: (1) (Existenz einer lokalen Lösung) Existiert eine Losung y(x) in einer Umgebung x < ε von? (2) (Eindeutigkeit) Ist diese Losung eindeutig bestimmt? (3) (Fortsetzbarkeit) Wie lasst sich die Losung fortsetzen? Gibt es eine globale Losung (fur alle x R)? (4) (Stabilität) Wie verandert sich die Losung bei Storungen der Anfangsdaten (, y 0 ) oder der rechten Seite f(x, y)? 1. Existenzsatz von Peano Satz 9. (Existenzsatz von Peano) Sei f(x, y) auf dem Gebiet G R n+1 stetig und sei (, y 0 ) G. Dann gibt es ein ε > 0, so dass das AWP (18) im Intervall x < ε eine Losung besitzt. 35

36 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN Beweisskizze: Man konstruiert eine Naherungslosung mittels Euler-Polygonzug- Verfahren: x i+1 := x i + h i, y i+1 := y i + h i f(x i, y i ), i =..., 2, 1, 0, 1, 2,... Man konstruiert nun eine Folge von Polygonz ugen indem man die (maximale) Schrittweite h i immer kleiner macht. Unter den angegebenen Voraussetzungen kann man nun zeigen, dass die Folge der Polygonzuge eine konvergente Teilfolge besitzt, die gegen eine Losung des AWP konvergiert. Beispiel 20. Beim AWP y = y, y(0) = 1 ist f(x, y) = y eine auf ganz R 2 stetige Funktion und y = y eine lineare Dierentialgleichung mit der vollstandigen allgemeinen Losung y(x) = Ce x, C R und damit besitzt das AWP die eindeutig bestimmte Losung y(x) = e x. Beispiel 21. Auch bei y = 2 y, y(0) = 0, ist f(x, y) = 2 y eine in R 2 stetige Funktion. Aber die Dierentialgleichung y = 2 y ist eine trennbare Dierntialgleichung mit der Losung: 1. singulare Losung: y(x) = 0 (Nullstelle von 2 y = 0.) 2. allgemeine Losung, 1. Fall: y = 2 y, y > 0. y = 2 dy y 2 y = dx y = x + c 1 0 2. Fall: y = 2 y, y < 0. y = 2 y y = (x + c 1 ) 2 fur x c 1. dy 2 y = y = (x + c 2 ) 2 fur x c 2. dx y = x + c 2 0 Die allgemeine Losung ist folglich: (x α) 2 fur x α, y(x) = 0 fur β x α, (x β) 2 fur x β. Fur die Losung des Anfangswertproblems berucksichtigen wir die Anfangsbedingung. Oensichtlich erfullt y(x) = 0 die Anfangsbedingung. Alle Lösungen (19) mit β 0 α sind Lösung des Anfangswertproblems. Dagegen hat das AWP y = 2 y, y(0) = 1, die eindeutige Losung y(x) = (x + 1) 2 fur x 1. (19)

1. EXISTENZSATZ VON PEANO 37 Um die Eindeutigkeit der Losung des AWP im allgemeinen zu sichern, bedarf es also starkerer Voraussetzungen. Definition 4. Die Funktion f(x, y) erfullt im Gebiet G R n+1 eine Lipschitz-Bedingung bzgl. y, wenn es eine Konstante L 0 gibt, so dass fur alle (x, y 1 ), (x, y 2 ) G gilt: f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2. Beispiel 22. Oenbar erfullt die Funktion f(x, y) = y eine Lipschitz- Bedingung in R 2 mit L = 1. Dagegen erfullt f(x, y) = y langs y = 0 keine Lipschitz-Bedingung, da f(0, y) f(0, 0) y 0 = 1 fur y 0. y Bemerkung 8. Ist f : G R stetig partiell nach y dierenzierbar, dann erfullt f in jedem Quader Q = {(x, y) R n+1 : x a, y y 0 b}, der ganz in G liegt, eine Lipschitz-Bedingung mit der Konstanten L = max{ f y (x, y) : (x, y) Q}. Durch Integration lasst sich das Anfangswertproblem (18) in die aquivalente Intergralgleichung y(x) = y 0 + f(ξ, y(ξ)) dξ (20) umwandeln. Diese Integralgleichung ermoglicht es, schnell Abschatzungen zu erhalten: Satz 10. (Gronwall-Lemma) Sei ϕ : [a, b] R stetig und L 0. Gilt mit einer Konstante C > 0 0 ϕ(x) C + L dann ist Aus 0 ϕ(x) L folgt stets ϕ(x) = 0 fur alle x. a ϕ(t) dt, x [a, b] (21) ϕ(x) Ce L(x a), x [a, b]. (22) a ϕ(t) dt, fur a x b

38 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN Beweis: Wegen ϕ 0, C > 0 und L 0 ist und aus (21) folgt C + L [ C + L a ϕ(t) dt] C + L a ϕ(t) dt = a ϕ(t) dt > 0 Lϕ(x) C + L L. ϕ(t) dt a Beidseitige Integration von a bis x ergibt ( ) ln C + L ϕ(t) dt ln C L(x a) C + L a und nochmalige Anwendung von (21) ergibt ϕ(x) C + L a ϕ(t) dt Ce L(x a). a ϕ(t) dt Ce L(x a) Aus der Voraussetzung folgt (21) fur beliebiges C > 0. Durch den Grenzubergang C 0 in (22) ergibt sich ϕ(x) = 0 fur jedes x [a, b]. # 2. Eindeutigkeit der Lösung des AWPs Satz 11. (Eindeutigkeitssatz) Die Funktion f erfulle auf dem Gebiet G eine Lipschitz-Bedingung (bzgl. y). Sind y 1 (x) und y 2 (x) auf dem Intervall I zwei Losungen des AWP so gilt y 1 (x) = y 2 (x) fur alle x I. y (x) = f(x, y), y( ) = y 0, (x, y) G, Beweis: Aus y 1(x) y 2(x) = f(x, y 1 (x)) f(x, y 2 (x)) folgt durch Integration y 1 (x) y 2 (x) = f(ξ, y 1 (ξ)) f(ξ, y 2 (ξ)) dξ und mit der Lipschitzbedingung fur ϕ(x) = y 1 (x) y 2 (x) die Abschatzung 0 ϕ(x) L y 1 (ξ) y 2 (ξ) dξ = L ϕ(ξ) dξ.

3. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 39 Aus dem Gronwallschen Lemma folgt nun, dass ϕ(x) = 0 bzw. y 1 (x) = y 2 (x) fur alle x I gilt. # Damit konnen wir nun den folgenden Existenz- und Eindeutigkeitssatz beweisen: 3. Existenz und Eindeutigkeit Satz 12. (Satz von Picard und Lindelöf) Die Funktion f(x, y) sei stetig auf dem Quader Q = {(x, y) R n+1 : x a, y y 0 b}. Ferner gelte mit Konstanten M, L > 0 f(x, y) M, fur alle (x, y) Q, f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2, fur alle (x, y 1 ), (x, y 2 ) Q. Dann gilt: Das Angangswertproblem (18) besitzt eine eindeutig bestimmte Losung y(x), die zumindest im Intervall [ ε, + ε], ε := min ( a, b M ) deniert ist. Beweis: Durch Integration lasst sich das Anfangswertproblem (18) in die aquivalente Intergralgleichung (20) umwandeln. Die Losung des AWP wird nun durch das Verfahren der sukzessiven Approximation iteriert. y 0 (x) := y 0, y k+1 (x) := y 0 + f(ξ, y k (ξ)) dξ, k = 0, 1, 2,.... Zunachst sieht man, dass alle Iterierten y k (x) auf dem Intervall x ε erklart sind und ganz im Quader verlaufen: Es gilt y k+1 (x) y 0 = f(ξ, y k (ξ)) dξ M x b, wenn x ε. Die Lipschitz-Bedingung ergibt: y k+1 (x) y k (x) = (f(ξ, y k (ξ)) f(ξ, y k 1 (ξ))) dξ L y k (ξ) y k 1 (ξ) dξ

40 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN Wir wollen nun die rechte Seite abschatzen. Es ist und damit y 2 (x) y 1 (x) L y 1 (x) y 0 (x) M x y 1 (ξ) y 0 (ξ) dξ L M Durch induktive Fortsetzung erhalt man ξ dξ = M L x 2 2 y k (x) y k 1 (x) M L k 1 x k. k! Damit besitzt die unendliche Reihe y 0 + (y k (x) y k 1 (x)) (23) ein absolut konvergente Majorante, namlich y 0 + M (Lε) k = y 0 + M ( e Lε 1 ). L k! L k=1 k=1 Folglich ist die Reihe (23) absolut und gleichmaig konvergent gegen eine stetige Funktion y(x). Oder anders ausgedruckt, wenn man die Folge der Partialsummen der Reihe (23) betrachtet: n s n := y 0 + y k (x) y k 1 (x) = y 0 + y n (x) y n 1 (x) + y n 1 (x) y n 2 (x) ±... y 1 y 0 k=1 = y 0 + y n (x) y 0 = y n (x). Die Funktionenfolge {y k (x)} k 1 konvergiert auf dem Intervall x ε absolut und gleichmaig gegen y(x). Die Eindeutigkeit der Losung ergibt sich bereits aus dem Eindeutigkeitssatz. # Aus dem Satz von Picard und Lindelof ergibt sich nun der. Satz 13. (Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Die Funktion f(x, y) sei auf dem Gebiet G R n+1 stetig und erfulle dort eine lokale Lipschitz- Bedingung bzgl. y, d.h. es gibt zu jedem Punkt von G eine Umgebung U, in der f(x, y) eine Lipschitz-Bedinung bzgl. y erfullt (die Lipschitz- Konstante hangt also von der Umgebung U ab). Dann gibt es zu jedem (, y 0 ) G fur das Anfangswertproblem y = f(x, y), y( ) = y 0, eine eindeutige Losungskurve y = y(x), die sich beidseitig bis an den Rand von G erstreckt.

3. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 41 ohne Beweis. Bemerkung 9. Der Satz von Picard und Lindelof lasst sich folgendermaen modizieren: Erfullt f(x, y) auf [a, b] R n ( " Vertikalstreifen\) eine Lipschitz-Bedingung, so besitzt das AWP (18) mit [a, b] eine eindeutig bestimmte Losung, die auf ganz [a, b] erklart ist (globale Existenz). Zur Erlauterung des Unterschieds zwischen der Aussage des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der globalen Existenz einer Losung: Der Ausdruck " beidseitig bis zum Rand des Gebietes G\ besagt, dass die Losung nicht innerhalb von G beginnt oder endet, sie besagt aber nicht, dass fur alle x in G eine Losung geben muss. Oder anders gesagt, wachst die Losung des AWP stark, so " verschwindet sie gegen Unendlich\ und verlat damit das Gebiet G. Wir wollen das mit den folgenden 2 Beispielen weiter erlautern: Beispiel 23. Das AWP y = sin y, y( ) = y 0, besitzt fur alle x R genau eine Losung. Diese berechnen sich aus der trennbaren Dierentialgleichung y = sin y, die die singularen Losungen y(x) = kπ, k Z, besitzt (Nullstellen von sin y) und die allgemeine implizite Losung: tan y(x) = e x c, c R. 2 Diese implizite Losung lasst sich lokal auosen zu y(x) = 2 arctan e x c, kπ < y < (k + 1)π. Das die Losung fur alle x R existiert und eindeutig ist, ergibt sich daraus, dass fur die partielle Ableitung nach y von f(x, y) = sin y gilt f y = cos y 1 und daher ist L = 1 die Lipschitz-Konstante bzgl. y fur alle (x, y) R 2. Beispiel 24. Gegenbeispiel: Das AWP besitzt die Losung y = y 2, y(0) = y 0 > 0, y(x) = y 0 1 y 0 x,

42 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN die nur fur x < 1 y 0 deniert ist. Das liegt daran, dass f(x, y) = y 2 zwar lokal eine Lipschitz-Bedingung erfullt: y 2 1 y 2 2 = y 1 + y 2 y 1 y 2 und die Lipschitz-Konstante wird aus der Abschatzung von y 1 +y 2 gewonnen. Das ist aber auf [a, b] R ( " Vertikalstreifen\) nicht moglich, da fur y 1, y 2 R der Betrag y 1 + y 2 beliebig gro werden kann. Bemerkung 10. Das zum Beweis benutzte Verfahren der sukzessiven Approximation stellt eine explizite Methode zur Approximation von Losungen des AWP (18) dar. 4. Picard-Iteration Beispiel 25. Die bekannte Losung des AWP y = xy, y(0) = 1, wird mittels Picard-Iteration approximiert (f(x, y) = xy, = 0, y 0 = 1) : y 0 (x) = 1, y 1 (x) = 1 + y 2 (x) = 1 + y 3 (x) = 1 + y 4 (x) = 1 + allgemein : 0 0 0 0 ξ y 0 (ξ) dξ = 1 + ξ y 1 (ξ) dξ = 1 + ξ y 2 (ξ) dξ = 1 + 0 0 0 ξ dξ = 1 + x2 2, ) ξ (1 + ξ2 dξ = 1 + x2 2 2 + x4 2 4, ) ξ (1 + ξ2 2 + x4 8 ξ y 3 (ξ) dξ = 1 + x2 2 + x4 2 4 + x6 2 4 6 + x 8 2 4 6 8. y n (x) = n k=0 x 2k 2 k k!. Man erkennt, dass y n (x) mit n gegen die Losung konvergiert. y(x) = e x2 2 = k=0 x 2k 2 k k! dξ = 1 + x2 2 + x4 2 4 + x6 2 4 6, 5. Stetige Abhängigkeit von den Anfangswerten und der rechten Seite Die stetige Abhangigkeit der Losung von den Anfangswerten besagt, dass sich zwei Losungen auf einem beschrankten Intervall [a, b] wenig unterscheiden, wenn nur die beiden Anfangswerte hinreichend nahe beieinander liegen.

5. STETIGE ABHANGIGKEIT VON DEN ANFANGSWERTEN UND DER RECHTEN SEITE 43 Satz 14. (Stetige Abhängigkeit von den Anfangswerten) Erfullt die stetige Funktion f(x, y) im Gebiet G R n+1 eine Lipschitz-Bedingung (bzgl. y) mit der Konstanten L > 0, dann gilt fur zwei in G verlaufende Losungen y 1 (x) und y 2 (x) die Abschatzung: y 1 (x) y 2 (x) y 1 ( ) y 2 ( ) e L x Beweis: Fur x und ϕ(x) := y 1 (x) y 2 (x) gilt unter Verwendung der Integralgleichung (20) y i (x) = y i ( ) + f(ξ, y i (ξ)) dξ, i = 1, 2, liefert die Dreiecksungleichung die Abschatzung 0 ϕ(x) = (f(t, y 1 (t)) f(t, y 2 (t))) dt + y 1 ( ) y 2 ( ) y 1 ( ) y 2 ( ) + L ϕ(t) dt, und die Abschatzung folgt mit C := y 1 ( ) y 2 ( ) aus dem Gronwall-Lemma. # Deutung: Eine " Storung\ (ungenaue Messung, Rundung) in den Anfangswerten y 1 ( ) y 2 ( ) ε panzt sich hochstens exponentiell fort: y 1 (x) y 2 (x) ε e L x. Die stetige Abhangigkeit von der rechten Seite bedeutet dagegen, dass eine kleine Anderung der rechten Seite f bei gleicher Anfangsbedingung auch nur eine kleine Anderung der Losung bewirkt.

44 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN Satz 15. (Stetige Abhängigkeit von der rechten Seite) Erfullt die stetige Funktion f auf dem Gebiet G eine Lipschitz-Bedingung (bzgl. y) mit der Lipschitz-Konstanten L und unterscheidet sich g auf G von f nur um ε, d.h. f(x, y) g(x, y) < ε fur alle (x, y) G, dann gilt fur Losungen y(x) von y = f(x, y) und ỹ(x) von ỹ = g(x, ỹ) mit derselben Anfangsbdingung im Intervall die Abschatzung y( ) = ỹ( ) = y 0 x + δ y(x) ỹ(x) εδ e L x. 6. Beispiel Wir wollen die theoretischen Aussagen an folgendem Beispiel erlautern. Dazu betrachten wir das AWP: y = 1 y 2, y 1, mit den Anfangswerten: Welche allgemeinen Aussagen konnen wir machen? a) y(0) = 0 b) y(0) = 1. (1) Existenz (mindestens) einer Losung? Die rechte Seite f(x, y) = 1 y 2 ist in R [ 1, 1] stetig. Nach dem Satz von Peano gibt es folglich fur alle x R eine stetige Losung. (2) Eindeutigkeit der Losung? Dazu untersuchen wir die Lipschitz-Bedingung bzgl y, es gilt: 1 y1 2 1 y2 2 = 1 y1 2 (1 y 2 2) 1 y 2 1 + 1 y2 2 y 1 + y 2 = 1 y 2 1 + 1 y2 2 y 1 y 2 Folglich erfullt f(x, y) = 1 y 2 eine Lipschitz-Bedingung bzgl. y auf jedem Gebiet, dass vollstandig in R ( 1 + ε, 1 ε) mit 1 > ε > 0 liegt, mit der Lipschitz-Konstanten L = 1 2ε+ε 2 1. Hier ist nach dem Satz von ε Picard und Lindelof die Losung eindeutig bestimmt.

Ist dagegen y 1 = 1 so haben wir 1 + y 2 lim y 2 1 0 + 1 y2 2 = 6. BEISPIEL 45 und folglich erfullt f(x, y) langs y = 1 (und analog langs y = 1) keine Lipschitz-Bedinung. (3) Stabilitat: Da f(x, y) = 1 y 2 im Gebiet R ( 1+ε, 1 ε) mit 1 > ε > 0 einer Lipschitz-Bedingung bzgl. y genugt, hangt die Losung dort stetig von den Anfangswerten ab. Wir wollen nun diese theoretischen Aussagen an der Losung validieren. Als nachstes betrachten wir die Dierentialgleichung: y = 1 y 2 fur y 1. Wegen 1 y 2 > 0 fur 1 < y < 1 muss die Losung y(x) in R ( 1, 1) streng monoton wachsend sein! Nun zur Losung der Dierentialgleichung. Dies ist eine trennbare Dierentialgleichung und wir bestimmen zunachst die singularen Losungen (Nullstellen von 1 y 2 ) und erhalten y(x) = 1 und y(x) = 1 fur alle x R. Nun bestimmen wir die allgemeine Losung: dy = dx arcsin y = x + C, fur π 1 y 2 2 x + C π 2, C R. Hieraus erhalten wir die explizite Losung y = sin(x + C) fur π 2 x + C π 2, C R. Diese Losungen lassen sich auf ganz R wie folgt fortsetzen: 1, fur x π C, 2 y(x) = sin(x + C), fur π 2 C x π C, C R. 2 π 1, fur C x, 2 Die Losung des AWP y = 1 y 2, y( ) = y 0, y 0 1, ist damit 1, fur x π arcsin y 2 0 +, y(x) = sin(x + arcsin y 0 ), fur π 2 arcsin y 0 + x π arcsin y 2 0 +, π 1, fur arcsin y 2 0 + x. Weiterhin existieren fur y( ) = 1 bzw. y( ) = 1 auerdem noch die Losungen y(x) = 1 bzw. y(x) = 1. Insbesondere fur die Anfangsbedingung y(0) = 0 erhalten wir die Losung

46 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN 1, fur x π, 2 y(x) = sin x, fur π 2 x π, 2 π 1, fur x. 2 Dagegen gibt es fur die Anfangsbedingung y(0) = 1 zwei Losungen, namlich 1, fur x π, y 1 (x) = sin x, fur π x 0, 1, fur 0 x. und y 2 (x) = 1. Dass liegt daran, dass entlang y = 1 die Funktion f(x, y) = 1 y 2 keine Lipschitz- Bedinung (bzgl. y) erfullt.

7. AUFGABEN ZUM NACHDENKEN 47 7. Aufgaben zum Nachdenken Typische Probleme mit die gewohnlichen Dierentialgleichungen 1. Ordnung beschrieben werden konnen, sind Wachstums- bzw. Zerfallsprobleme oder aber eben auch Abkuhlungs- bzw. Warmeprozesse. 7.1. Newtonsches Abkühlungsgesetz. Dieses beschreibt wie sich ein Korper abkuhlt, wenn der Warmeleitkoezient fur das Material gerade k ist: u = k(u a), u(0) = u 0. Dabei ist a die Umgebungstemperatur und u 0 die Temperatur des Korpers zum Startzeitpunkt (in der Regel t = 0.) Dieses Anfangswertproblem besteht aus einer linearen (inhomogenen) Dierentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koezienten und der Anfangsbedingung, die Losung ist: du u a = k dt ln u a = kt + c u(t) = a + e kt C Anfangsbedingung: u(0) = u 0 = a + e 0 C = a + C, also C = u 0 a, 7.2. Wann ist der Kaffee kühler? Annahmen: u(t) = a + (u 0 a)e kt Die Abkuhlung erfolgt nach dem Newtonschen Abkuhlungsgesetz. Die Temperatur einer Mischung von einer Flussigkeitsmenge p mit der Temperatur T 0 und einer Flussigkeitsmenge q mit einer Temperatur T 1 fuhrt sofort dazu, dass die Mischungsmenge p + q die Temperatur pt 0+qT 1 hat. p+q Die Temperatur der Milch ist geringer als die Zimmertemperatur (=Umgebungstemperatur). Wann ist der Kaee kuhler? (1) Der Kaee kuhlt zunachst 10 Minuten ab und die Milch wird dann hinzugegeben. (2) Die Milch wird sofort in den Kaee geschuttet und die Mischung kuhlt dann 10 Minuten ab. Was glauben Sie? Gehen wir mathematisch vor. Im Fall 1) ist ist die Temperatur des Kaees mit Milch nach t 1 = 10 Minuten: T (t 1 ) = a + (T 0 a ) e kt 1 wird der Kaee nun mit der Milch gemischt, so ist die resultierende Temperatur: p(a + (T 0 a)e kt 1 + qt 1. p + q

48 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN Dagegen gilt im 2. Fall, dass die Anfangstemperatur der Mischung gerade pt 0+qT 1 p+q ist und zum Zeitpunkt t 1 nun gerade a + (( pt0 + qt 1 p + q ) ) a e kt 1 ist. Welche Temperatur ist groer bzw. kleiner? Dazu betrachten wir die Dierenz: p(a + (T 0 a)e kt 1 (( ) ) + qt 1 pt0 + qt 1 a + a e kt 1 p + q p + q = q ( ) p + q T 1(1 e kt 1 + a(1 e kt 1 p ) p + q 1 = (1 e kt 1 ) (qt 1 qa) p + q = q p + q (1 e kt 1 )(T 1 a) Dieser Ausdruck ist negativ, wenn T 1 < a gilt, d.h. der Kaee ist bei Methode 1) (erst kuhlt der Kaee ab und dann wird die Milch dazugegeben) kuhler als bei der Methode 2), wenn die Temperatur der Milch kleiner als die Umgebungstemperatur ist. 7.3. Newton versus Stefan. Ein kompliziertes Abkuhlungsgesetz wurde (Jozef Stefan, slowenischer Physiker) entwickelt: u = C(u 4 a 4 ), u(0) = u 0. Was ist die Losung dieses Anfangswertproblems? Wegen u 4 a 4 = (u 2 a 2 )(u 2 + a 2 ) = (u a)(u + a)(u 2 + a 2 ) und der entsprechenden Partialbruchzerlegung: A u a + B u + a +Cu + D u 2 + a = 1 2 A(u+a)(u2 +a 2 )+B(u a)(u 2 +a 2 )+(Cu+D)(u 2 a 2 ) = 1 erhalt man nach Koezientenvergleich die Losung: Damit kann man nun integrieren: 1 4a A = 1 4a, B = 1 3 4a, C = 0, D = 1 3 2a. 2 1 1 4a 3 u a 1 1 4a 3 u + a 1 1 du = Ct + K 2a 2 u 2 + a2 1 1 ln u + a 4a3 2a 2 a arctan u a = Ct + K 3 ln u a 1 ln u a u + a 2 arctan u a = 4a3 Ct + K die allgemeine implizite Losung der Dierentialgleichung. Wie verhalt sich die Losungen der unterschiedlichen Modelle zueinander? Im folgenden sind Anfangswertproblem mit k = Ca 3 betrachtet worden:

7. AUFGABEN ZUM NACHDENKEN 49 ln(abs((y-2)/(y+2)))-2arctan(y/2) y = -64x + ln((pi-2)/(pi+2)) 4. 5 4. 0 3. 5 Lösungen zu den Anfangswertproblemen: y' = 64(2-y), y(0)=π, 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0 Newtonsches Abkühlungsgesetz y' = k(a-u) mit k=64=4a 3 C und a=2, und y' = 2(16-y 4 ), y(0)=π 0. 5 0. 0 3 0. 0 2 0. 0 1 0. 0 1 0. 0 2 0. 0 3 0. 0 4 0. 0 5 0. 0 6 0. 0 7 0. 0 8 0. 0 9 0. 1 0 0. 1 1 0. 1 2 x Stefansches Abkühlungsgesetz y'=c(a 4 -y 4 ) mit C=2 und a=2. 0. 5 a Umgebungstemperatur, Temperaturen in Kelvin (Der untere Ast beim Stefanschen Gesetz kommt vom plotten der impliziten L osung, oensichtlich ist aber nur der " obere Ast\ die Losung.) Oensichtlich stimmen beide Losungen nahe der Anfangsbedingung und fur u nahe a gut uberein. Um das zu sehen betrachten wir die Dierenz der rechten Seiten: 4a 3 C(u a) C(u 4 a 4 ) C u a 4a 3 u 3 u 2 a ua 2 a 3 C u a a 3 u 3 + a(a 2 u 2 ) + a 2 (a u) C (u a) 2 a 2 + au + u 2 + a 2 + au + a 2 = C (u a) 2 ((a + u) 2 + 2a 2 ) Die Nahe von u zu a geht in die Abschatzung quadratisch ein und nicht nur linear! Deshalb wahlt man auch k = a 3 C und beide male C bzw. k! Wie kommt man aber auf diese Variante? Dass liegt daran, dass die beste lineare Approximation aus der Taylorreihe kommt durch Vernachlassigung des Restglieds. In unserem Fall heit das: f(u) = f(u 0 ) + f (u 0 )(u u 0 ) + Restglied. u 4 a 4 = f(u) u 4 0 a 4 + 4u 3 0(u u 0 ). Wir wollen, dass die Naherung fur u nahe a gut ist, deshalb setzen wir u 0 = a und erhalten als lineare Funktion: also k = 4a 3 C. a 4 a 4 + 4a 3 (u a) = 4a 3 (u a),

50 3. THEORIE DER ANFANGSWERTAUFGABEN 8. Zusammenfassung Dierentialgleichung: y Anfangswertproblem mit der = f(x, y), und den Anfangswerten: y( ) = y 0. Wo betrachten wir die Dierentialgleichung? Im Gebiet x (a, b), y (c, d). G = (a, b) (c, d) R R, Existenz der Losung: Satz von Peano. Voraussetzung: f(x, y) stetig in G. lokale Aussage : Existenz fur x < ε. Eindeutigkeit der Losung: Lipschitz-Bedingung bzgl. y. f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2. Existenz und Eindeutigkeit: Satz von Picard und Lindelof Voraussetzungen: (1) f(x, y) stetig in G, (2) f erfullt eine Lipschitz-Bedingung bzgl. y (hinreichend lokale Aussage: Existenz und Eindeutigkeit fur x < ε. Folgerung: Existenz- und Eindeutigkeitssatz: Existenz und Eindeutigkeit im Gebiet. f(x,y) y C). Stabilitat des AWP: Stetige Abhangigkeit von den Anfangswerten und der rechten Seite. " Kleine Anderungen in den Anfangswerten oder der rechten Seite verursachen nur geringe Anderungen in der Losung.\ Sukzessive Approximation (Picard-Approximation) Das AWP ist aquivalent zur Integralgleichung Sukzessive Approximation: y n (x) = y 0 + y = f(x, y), y( ) = y 0, y(x) = y 0 + f(ξ, y) dξ. f(ξ, y n 1 ) dξ, n = 1, 2,..., y 0 (x) = y 0.

7. AUFGABEN ZUM NACHDENKEN 51