Beispiele: Beweise dass A, C, O und E auf einem gemeinsamen Kreis liegen oder Zeige, dass AE und AC gleich lang sind.
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- Paulina Förstner
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1 Item 6 In der nebenstehenden Figur sehen wir zwei parallele Tangenten an einen Kreis mit Mittelpunkt O sowie eine dritte Tangente mit Berührpunkt C, die die beiden ersten in A und B schneidet. Formuliere so viele verschiedene Aufgaben wie möglich, die zu dieser Figur gestellt werden könnten. Du musst diese nicht selbst lösen! Beispiele: Beweise dass A, C, O und E auf einem gemeinsamen Kreis liegen oder Zeige, dass AE und AC gleich lang sind. Wenn du mehr Platz brauchst, frage nach zusätzlichen Aufgabenblättern für diese Aufgabe. Fluency: Each relevant response is given one point. Flexibility: The number of different categories of relevant responses. Each flexibility category is given one point. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 Responses that include problems related to triangles. (For example: show that ECO is an isosceles triangle) Responses that include problems related to quadrilaterals. (For example: show that OCAE is a kite) Responses that include problems related to length of sides. (For example: show that AE = AC) Responses that include problems related to measurement of angles. (For example: show that m ( EOA) = m ( COA)) Responses that include problems related to areas. (For example: show that S.A of AEO = S.A of ACO) Responses that include problems related to congruency. (For example: show that AEO ACO) Responses that include problems related to similarity. (For example: show that AEO ACO) Responses that include problems related to ratio & Proportional. (For example: show that OA OB = AC BC ) Responses that include problems that related to transformational Geometry. Responses that include problems that related parallelism perpendicularity.
2 C11 C12 Responses that include problems that related to special lines and points for triangle (For example: M is centroid point to ABC). Others Elaboration: It is graded by the number new formulated problem. Each correct problem is given one point. Originality/Novelty: It is the statistical infrequency of responses in relation to peer group. Each response is given zero, one, two, three or four points according to the following table: Grading originality points for the geometric creativity test The number of students who registered the response 1 Student 2 Student 3 Student 4 Student 5 Student Originality score
3 Student 1 Zeige, dass: DCE ein rechter Winkel ist. ( DCE ist ein rechter Winkel) 1 C4 1 3 (DEC) = 1 2 (DOC) C4, (CDE) = 1 2 (COE) 1 C4 1 4 ACOE Drachenviereck ist. (ACOE ist Drachenviereck) 1 C2 1 2 DBCO Drachenviereck ist. (DBCO ist Drachenviereck) 1 C2 1 0 EOA OCA EOA OCA) 1 C6 1 0 ODB BOC ODB BOC) 1 C6 1 0 DBAE ein Trapez ist. (DBAE ist ein Trapez) 1 C2 1 3 Score
4 Student 2 Beweise, dass AEO ACO EOA OCA) 1 C6 1 0 Beweise, dass DBO BCO ODB BOC) 1 C6 1 0 Zeige, dassoe, OC und OD gleich Lang sind. (OE = OC = OD) 1 C3 1 2 Zeige, dass ABO ECD 1 C6 1 4 Score
5 Student 3 Gib die Bewegung an die das OCA auf AOE überführt. 1 C9 1 4 Gib die Bewegung an die das DBO auf BCO überführt. 1 C9 1 4 Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind. (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige, dassoc und OD gleich Lang sind. (OC = OD) 1 C3 1 0 Zeige, dass EOA genau so groß ist wie AOC. ( EOA genau so groß ist wie AOC) 1 C4 1 2 Zeige, dass BOD genau so groß ist wie BOC. ( BOD genau so groß ist wie BOC) 1 C4 1 2 Score
6 Student 4 Zeige, dass OCA OAE. EOA OCA) 1 C6 1 0 Zeige, dass OBC ODB. ODB BOC) 1 C6 1 0 Zeige, dass ODBC ähnlich zu OCAE ist. (ODBC ist ähnlich zu OCAE) 1 C7 1 1 Zeige, dass BD = BC. (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige, dass ODBC Drache ist. (DBCO ist Drachenviereck) 1 C2 1 0 Zeige, dass OCAE Drache ist. (ACOE ist Drachenviereck) 1 C2 1 2 Score
7 Student 5 Zeige, dass BD und BC gleich Lang sind. (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige, dassoc,od und OE gleich Lang sind. (OE = OC = OD) 1 C3 1 2 Beweise, dass O, D, B, C auf einem gemeinsamen Kreis legen. (O, D, B, C legen auf einem gemeinsamen Kreis) 1 C Beweise, dass DBO BCO. ODB BOC) 1 C6 1 0 Beweise, dass OCA AEO. EOA OCA) 1 C6 1 0 Score
8 Student 6 Beweise, dass CO und DO gleich Lang sind. (OC = OD) 1 C3 1 0 Beweise, dass ODBC = symmetrische Drache ist. 1 C2 1 0 Beweise, dass: OCB ODB. 1 C7 1 4 Beweise, dass: (DOB) = (BOC) ( BOD genau so groß ist wie BOC) 1 C4 1 2 Beweise, dass: (EAO) = (AOC) ( EOA genau so groß ist wie AOC) 1 C4 1 2 Ist AOE AOC? Beweise. 1 C7 1 4 Beweise, dass: BO = Symmetrieachse von ODBC. 1 C9 1 4 Beweise, dass: AO = Symmetrieachse von AEOC. 1 C9 1 4 Score
9 Student 7 Zeige, dass CO und DO gleich Lang sind. (OC = OD) 1 C3 1 0 Zeige, dass OCBD und OEAC ähnlich Figuren sind. (ODBC ist ähnlich zu OCAE) 1 C7 1 1 Zeige, dass AOB rechtwinklig ist. ( AOB rechtwinklig ist) 1 C1 1 0 Score
10 Student 8 Zeige, dass OD = OC (OC = OD) 1 C3 1 0 Zeige, dass BD = BC (BC = BD) 1 C3 1 0 Score
11 Student 9 No response Score
12 Student 10 Zeige, dass das ACO und OEA kongruent sind. EOA OCA) 1 C6 1 0 Zeige, dass ODB ein rechter Winkel ist. (Dreieck ist DBO rechtwinklig) 1 C4 1 3 Score
13 Student 11 Zeige, dass OC und OD gleich Lang sind. (OC = OD) 1 C3 1 0 Zeige, dass OBC und OCA ähnlich sind. ( OBC und OCA ähnlich sind) 1 C7 1 3 Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind. (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige, dass OEAC und OCBD ähnlich sind. (ODBC ist ähnlich zu OCAE) 1 C7 1 1 Zeige, dass OEA und OAC kongruent sind. EOA OCA) 1 C6 1 0 Zeige, dass ODB und OCB kongruent sind. ODB BOC) 1 C6 1 0 Score
14 Student 12 Weshalb ist BOA ein rechter Winkel? ( AOB rechtwinklig ist) 1 C4 1 0 Was passiert, wenn C am Kreis entlang wandert und auf D bzw. E zu liegen kommt? Zeichne und Konstruiere für beliebige DB und AE. 1 C Finden Sie möglichst viele rechte Winkel. 1 C4 1 4 Score
15 Student 13 Verschiebt man die Tangente AB (es bleibt eine Tangente des Kreises!) ergibt sich trotzdem immer noch ein rechtwinkliges ABO? 1 C1 1 4 Berechne den Flächeninhalt von ABO. Gibt es einen maximalen bzw. minimalen Flächeninhalt? Beschreibe, wie sich der Flächeninhalt von ABO ändert, wenn sich die Lage der Tangente ändert. 1 C5 1 4 Score
16 Student 14 Welche geometrischen Figuren (außer dem Kreis) erkennst du? 1 C1, Wo liegen die Punkte, wenn sich der Kreis um: dreht (auf bzw. zwischen der paralleler Tangenten) und alle Punkte sich mitdrehen!? 1 C Markiere: Radius Durchmesser 1 C Beweise, dass: ODB OBC ODB BOC) 1 C6 1 0 und OCA OAE EOA OCA) 1 C6 1 0 Welche weiteren Dreiecke entstehen, wenn du im linken Halbkreis ein Dreieck einzeichnest, deren Grundseite DE ist? Warum 1 C1 1 4 Was wird aus der Strecke AB, wenn Punkt A auf der Tangente wandert? 1 C Was geschieht mit dem Kreis, wenn Tangenten sich annähern, aber Tangenten bleiben sollen? 1 C Score
17 Student 15 Zeige, dass BCO ein rechtwinkliges Dreieck ist. ( BCO ist ein rechtwinkliges Dreieck) 1 C1 1 3 Zeige, dass OA OB. ( AOB rechtwinklig ist) 1 C Zeige, dass Dreieck DBO rechtwinklig ist. (Dreieck ist DBO rechtwinklig) 1 C1 1 3 Zeige, dass: DBO BCO ODB BOC) 1 C6 1 0 Zeige, dass Dreieck OEA rechtwinklig ist. 1 C1 1 4 Zeige, dass OCAE ein Drache ist. (ACOE ist Drachenviereck) 1 C2 1 2 Zeige, dass DBCO ein Drache ist. (DBCO ist Drachenviereck) 1 C2 1 0 Zeige, dass DBAE ein Trapez ist. (DBAE ist ein Trapez) 1 C2 1 3 Score
18 Student 16 Zeige, dass DBO ähnlich zu BCO 1 C7 1 4 Beweise, dass D, B, C und O auf einem Kreis legen. (O, D, B, C legen auf einem gemeinsamen Kreis) 1 C Zeige, dass ABO rechtwinklig ist. ( AOB rechtwinklig ist) 1 C1 1 0 Wo müsste C auf dem Kreis Liegen, damit gilt : AC = BC 1 C3 1 4 Score
19 Student 17 Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind. (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige, dass BCO DBO. ODB BOC) 1 C6 1 0 Zeige, dass ABO rechtwinklig ist. ( AOB rechtwinklig ist) 1 C1 1 0 Zeige, dass BCO ähnlich zu CAO ist. ( OBC und OCA ähnlich sind) 1 C7 1 3 Zeige, dass BDO ähnlich zu CAO ist. 1 C7 1 4 Score
20 Student 18 Zeige, dass CB = BD (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige, dass DE = 2. OC (DE = 2 OC) 1 C3, Zeige, dass Fläche ODB = Fläche BCO 1 C5 1 4 Zeige, dass Fläche OAC = Fläche OCA 1 C5 1 4 Zeige, dass AOB = 90 ( AOB rechtwinklig ist) 1 C4 1 0 Zeige, dass A'B' AB 1 C Zeige, dass OC = Höhe von OBA (OC = Höhe von OBA) 1 C Score
21 Student 19 Zeige, dass DB und BC gleich Lang sind. (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige, dass ECD rechtwinklig ist. ( DCE ist ein rechter Winkel) 1 C1 1 3 Zeige, dass (BOA) = 90 ( AOB rechtwinklig ist) 1 C4 1 0 Score
22 Student 20 Zeige: OBD OCB ODB BOC) 1 C6 1 0 EAO ACO EOA OCA) 1 C6 1 0 CO AB (OC = Höhe von OBA) 1 C DBO = CBO ( BOD genau so groß ist wie BOC) 1 C4 1 2 EA = AC 1 C3 1 4 Score
23 Student 21 Beweise, dass OC die Höhe des OBA ist. (OC = Höhe von OBA) 1 C Beweise, dass DB und BC gleich lang sind. (BC = BD) 1 C3 1 0 Beweise, dass DBCO und EOCA ähnlich sind. (ODBC ist ähnlich zu OCAE) 1 C7 1 1 Beweise, dass BOA rechtwinklig ist. ( AOB rechtwinklig ist) 1 C1 1 0 Beweise, dass OC und OE gleich lang sind. (OC = OE) 1 C3 1 2 Beweise, dass DO und OC gleich lang sind. (OC = OD) 1 C3 1 0 Beweise, dass der Punkt C Schnittpunkt im rechten Winkel von OC und CA ist. (OC = Höhe von OBA) 1 C4 1 0 Score
24 Student 22 Zeige, dass (OC) 2 = BC. CA 1 C1 1 4 Zeige, dass DO = OC 1 (OC = OD) C3 1 0 Sind OEA und ACO gleich groß? Wenn ja, Warum? 1 ( EOA genau so groß ist wie AOC) C4 1 2 Sind DB und CB gleich lang? (Zeige über Kongruenzsätze) 1 (BC = BD) C3 1 0 Score
25 Student 23 Zeige: DO = CO (OC = OD) 1 C3 1 0 Zeige:CO = EO 1 (OC = OE) C3 1 2 Zeige: DO = CO = EO 1 (OE = OC = OD) C3 1 2 Zeige: AEO ACO 1 EOA OCA) C6 1 0 Zeige: BCO BDO 1 ODB BOC) C6 1 0 Score
26 Student 24 Durch welche Bewegung lässt sich die Gerade mit den Punkten E & A auf der Geraden mit den Punkten D & B abbilden. 1 C9 1 4 Begründe, warum ED zu DB & EA die Orthogonale ist. 1 C Zeige, dass DB = BC ist. (BC = BD) 1 C3 1 0 Begründe, warum AB rechtw. zu DB steht, wenn man die Figur um O dreht, so dass OC parallel zu EA ist. 1 C9, Begründe, warum DOB + BOC + COA + AOE = 180 = DOE 1 C4 1 4 Begründe, warum Figur ODBC ein Drache ist. (DBCO ist Drachenviereck) 1 C2 1 0 Score
27 Student 25 Beweise, dass CO die Höhe zu BA im BAO ist. ( AOB rechtwinklig ist) 1 C Zeige, dass die Fläche des BAO sich verändert, wenn man die Tangente variabel an den Kreis legt, die Höhe CO aber nicht. 1 C5 1 4 Wann ist das Dreieck gleichschenklig, bzw. gleichseitig ( BAO). Was muss man verändern. Ist dies möglich? 1 C1 1 4 Score
28 Student 26 Zeige, dass BD gleich lang ist wie BC. (BC = BD) 1 C3 1 0 Welche Figuren sind ähnlich? 1 C7 1 4 Gibt es kongruent Figuren? Beweise! 1 C gilt dieser Zusammenhang für jede beliebige Tangente an einen Kreis? 1 C6 1 4 Welche Figur Bilden die Punkte D, B, C, O und O, C, A, E? 1 C2 1 4 Score
29 Student 27 Beweise, dass EO = DO 1 C3 1 4 DO = OC (OC = OD) 1 C3 1 0 EO = OC (OC = OE) 1 C3 1 2 EO = 1 2 ED 1 C3, OC = 1 2 ED (DE = 2 OC) 1 C3, ODB OCB ODB BOC) 1 C6 1 0 OEA OCA EOA OCA) 1 C6 1 0 (ACO) = 90 (OC = Höhe von OBA) 1 C4 1 0 (AOB) = 90 ( AOB rechtwinklig ist) 1 C4 1 0 (BCO) = 90 ( BCO ist ein rechtwinkliges Dreieck) 1 C4 1 3 (AOB) = (AOE) + (BOD) 1 C4 1 4 Score
30 Student 28 Zeige: DB = BC (BC = BD) 1 C3 1 0 Zeige: Figur OCBD... Drache (DBCO ist Drachenviereck) 1 C2 1 0 Zeige: ACO AED 1 C6 1 4 Zeige: BD OA oder in AOB = 90 ( AOB rechtwinklig ist) 1 C4 1 0 Score
31 Student 29 Beweise, dass OB die Winkelhalbierende von DOC ist. 1 C DB = BC (BC = BD) 1 C3 1 0 ODB BCO ODB BOC) 1 C6 1 0 Score
32 Student 30 Zeige, dass DB = BC (BC = BD) 1 C3 1 0 DBO OCA 1 C6 1 4 DBO OBC ODB BOC) 1 C6 1 0 EOA OCA EOA OCA) 1 C6 1 0 Score
33 Originality Scores for Students Responses on Item 6 Student s Responses Frequency Originality Scores Zeige, dass: DBCO Drachenviereck ist. (DBCO ist Drachenviereck) 6 0 Zeige, dass: EOA OCA EOA OCA) 11 0 Zeige, dass: ODB BOC ODB BOC) 13 0 Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind. (BC = BD) 15 0 Zeige, dassoc und OD gleich Lang sind. (OC = OD) 9 0 Zeige, dass AOB rechtwinklig ist. ( AOB rechtwinklig ist) 11 0 Zeige, dass OC = Höhe von OBA (OC = Höhe von OBA) 5 0 Zeige, dass ODBC ähnlich zu OCAE ist. (ODBC ist ähnlich zu OCAE) 4 1 Zeige, dass: ACOE Drachenviereck ist. (ACOE ist Drachenviereck) 3 2 Zeige, dassoe, OC und OD gleich Lang sind. (OE = OC = OD) 3 2 Zeige, dass EOA genau so groß ist wie AOC. ( EOA genau so groß ist wie AOC) 3 2 Zeige, dass BOD genau so groß ist wie BOC. ( BOD genau so groß ist wie BOC) 3 2 Beweise, dass OC und OE gleich lang sind. (OC = OE) 3 2 Zeige, dass: DCE ein rechter Winkel ist. ( DCE ist ein rechter Winkel) 2 3 Zeige, dass: DBAE ein Trapez ist. (DBAE ist ein Trapez) 2 3
34 Beweise, dass O, D, B, C auf einem gemeinsamen Kreis legen. (O, D, B, C legen auf einem gemeinsamen Kreis) 2 3 Zeige, dass ODB ein rechter Winkel ist. (Dreieck ist DBO rechtwinklig) 2 3 Zeige, dass OBC und OCA ähnlich sind. ( OBC und OCA ähnlich sind) 2 3 Zeige, dass BCO ein rechtwinkliges Dreieck ist. ( BCO ist ein rechtwinkliges Dreieck) 2 3 Zeige, dass DE = 2. OC (DE = 2 OC) 2 3 Zeige, dass: (DEC) = 1 2 (DOC) 1 4 Zeige, dass: (CDE) = 1 2 (COE) 1 4 Zeige, dass ABO ECD 1 4 Gib die Bewegung an die das OCA auf AOE überführt. 1 4 Gib die Bewegung an die das DBO auf BCO überführt. 1 4 Beweise, dass: OCB ODB. 1 4 Ist AOE AOC? Beweise. 1 4 Beweise, dass: BO = Symmetrieachse von ODBC. 1 4 Beweise, dass: AO = Symmetrieachse von AEOC. 1 4 Was passiert, wenn C am Kreis entlang wandert und auf D bzw. E zu liegen kommt? Zeichne und Konstruiere für beliebige DB und AE. 1 4 Finden Sie möglichst viele rechte Winkel. 1 4 Verschiebt man die Tangente AB (es bleibt eine Tangente des Kreises!) ergibt sich trotzdem immer noch ein rechtwinkliges ABO? 1 4 Berechne den Flächeninhalt von ABO. Gibt es einen maximalen bzw. minimalen Flächeninhalt? Beschreibe, wie sich der Flächeninhalt von ABO ändert, wenn sich die Lage der Tangente ändert. 1 4 Welche geometrischen Figuren (außer dem Kreis) erkennst du? 1 4 Wo liegen die Punkte, wenn sich der Kreis um: dreht (auf bzw. zwischen der paralleler Tangenten) und alle Punkte sich mitdrehen!? 1 4 Markiere: Radius Durchmesser 1 4
35 Welche weiteren Dreiecke entstehen, wenn du im linken Halbkreis ein Dreieck einzeichnest, deren Grundseite DE ist? Warum 1 4 Was wird aus der Strecke AB, wenn Punkt A auf der Tangente wandert? 1 4 Was geschieht mit dem Kreis, wenn Tangenten sich annähern, aber Tangenten bleiben sollen? 1 4 Zeige, dass Dreieck OEA rechtwinklig ist. 1 4 Zeige, dass DBO ähnlich zu BCO. 1 4 Wo müsste C auf dem Kreis Liegen, damit gilt : AC = BC 1 4 Zeige, dass BDO ähnlich zu CAO ist. 1 4 Zeige, dass Fläche ODB = Fläche BCO 1 4 Zeige, dass Fläche OAC = Fläche OCA 1 4 Zeige, dass A'B' AB 1 4 Zeige, dass EA = AC 1 4 Zeige, dass (OC) 2 = BC. CA 1 4 Durch welche Bewegung lässt sich die Gerade mit den Punkten E & A auf der Geraden mit den Punkten D & B abbilden. 1 4 Begründe, warum ED zu DB & EA die Orthogonale ist. 1 4 Begründe, warum AB rechtw. zu DB steht, wenn man die Figur um O dreht, so dass OC parallel zu EA ist. 1 4 Begründe, warum DOB + BOC + COA + AOE = 180 = DOE 1 4 Zeige, dass die Fläche des BAO sich verändert, wenn man die Tangente variabel an den Kreis legt, die Höhe CO aber nicht. 1 4 Wann ist das Dreieck gleichschenklig, bzw. gleichseitig ( BAO). Was muss man verändern. Ist dies möglich? 1 4 Welche Figuren sind ähnlich? 1 4 Gibt es kongruent Figuren? Beweise! gilt dieser Zusammenhang für jede beliebige Tangente an einen Kreis? 1 4 Welche Figur Bilden die Punkte D, B, C, O und O, C, A, E? 1 4 Zeige, dass EO = 1 2 ED 1 4 EO = DO 1 4 Zeige, dass (AOB) = (AOE) + (BOD) 1 4 Zeige: ACO AED 1 4 Zeige, dass: OB die Winkelhalbierende von DOC 1 4
36 ist. Zeige, dass DBO OCA 1 4
Schreibe so viele Dinge wie möglich auf, die passieren könnten, wenn man Geometrie nicht in der Ebene, sondern auf einer Kugel macht.
Item 12 Schreibe so viele Dinge wie möglich auf, die passieren könnten, wenn man Geometrie nicht in der Ebene, sondern auf einer Kugel macht. Zum Beispiel: Wenn wir zwei sich schneidende Geraden auf der
Responses that use equality of corresponding angles in the proof. Responses that use proportionality of corresponding sides in the proof.
Item 8 In der nebenstehenden Zeichnung ist ABC ein Dreieck. Die Strecke AB und die Strecke AC berühren den Kreis mit Mittelpunkt M in N und F, darüber hinaus schneiden sich die Strecken BF und CN in M.
Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse halb so lang wie die Hypotenuse.
Item 2 Schreibe so viele Verallgemeinerungen (Sätze, Definitionen, Eigenschaften, Folgerungen) wie du kannst auf, die mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun haben. Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck
Wenn du mehr Platz brauchst, frage nach weiteren Aufgabenblättern.
Item 4 Finde so viele Wege wie möglich, die Fläche der nachstehenden Figur zu berechnen. Wenn du mehr Platz brauchst, frage nach weiteren Aufgabenblättern. Fluency: Each relevant response is given one
Analyzing Students Responses on the GCT
Analyzing Students Responses on the GCT Item 1 Gib so viele geometrische Konzepte und Begriffe an, die mit dem Buchstaben P anfangen, wie dir einfallen. Ein Beispiel: Polygon. Wenn Du mehr Platz benötigst,
Wenn du mehr Platz brauchst, frage nach zusätzlichen Aufgabenblättern für diese Aufgabe.
Item 5 Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit der Grundseite BC. D ist der Mittelpunkt der Strecke AB, E ist der Mittelpunkt der Strecke ACund die Strecke BE schneidet die Strecke CD in M. Der Strahl
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