Technische Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik. Hausaufgabe

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1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Hausaufgabe im Fach Grundlagen der Schaltungstechnik GST (WS11/1) Bearbeiter Mat.-nr. adresse Aufgabe erreichte Punkte mögliche Punkte Kommentar 1. Aufgabe. Aufgabe 3. Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe 9. Aufgabe Gesamt

2 Hausaufgabe Abgabetermin: Donnerstag, den , 1:30 Uhr (nach der Vorlesung) Durch die freiwillige Abgabe der korrekten Lösung dieser Hausaufgabe bis zum oben genannten Termin können Sie Bonuspunkte für die Klausur am Ende dieses Semesters verdienen (ca. 5 bis 10 Prozent der Gesamtpunkte). Zur Detektion von kleinen Strömen (z.b. Fotoströme) kommen in der Messtechnik häufig Transimpedanzverstärker (TIA) zum Einsatz. Diese wandeln einen Eingangs- oder Fotostrom in eine proportionale Ausgangsspannung um (Abbildung 1). ausgeprägt ist, siehe Abbildung. Ist Q 0.707, tritt Peaking (Resonanzüberhöhung) auf, unterhalb dieses Wertes nicht. Peaking, Polstellenlagen in der komplexen Ebene und Zeitbereichsverläufe hängen unmittelbar zusammen und sind in dieser Hausaufgabe zu untersuchen. Dabei soll die Fotodiode aus Abbildung 1 als Stromquelle I ph mit Sperrschichtkapazität C ph und der Verstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle Vu d mit Innenwiderstand R i modelliert werden, so dass das in Abbil- Transimpedanzverstärker U aus Abbildung 1: Vereinfachtes Schaltbild eines Transimpedanzverstärkers Ein Transimpedanzverstärker hat sehr häufig die Eigenschaft, dass er mindestens ein quadratisches Nennerpolynom in Abhängigkeit von s und damit eine DGL. Ordnung besitzt, d.h. eine Übertragungsfunktion der Form H s s Q 0 Hs 0 0 aufweist. Die Größen 0 und Q sind aus dem Filterentwurf bekannt, wobei 0 als Cut-Off-Frequenz bezeichnet wird, die allerdings im Fall eines komplexen Polpaares nicht der 3 db Grenzfrequenz, sondern der Resonanzfrequenz des Filters entspricht. Q ist die Polgüte oder Quality-Factor und gibt an, wie stark ein Peak im Frequenzgang Polstelle Im{s} 5 0 Bode Diagramm Q = Q = 5 w 0 j 1 w 1-4 Q 0 Re{s} Amplitude (db) Q = Q = 0.8 Q = w 0 Q Frequenz (Hz) Abbildung : Zusammenhang zwischen Polstellenlagen und Frequenzgang GST WS11/1 Hausaufgabe 1

3 dung dargestellte Netzwerk entsteht.zusätzlich soll als Last eine Kapazität C L genutzt werden. C f und R f stellen C f _ R f I ph C ph u d R i V ud ua + C L Abbildung 3: Ersatznetzwerk der Transimpedanzverstärkerschaltung aus Abbildung 1 das Rückkopplungsnetzwerk dar, über das das Verstärkungs- und Frequenzverhalten eingestellt werden kann. Folgende Werte sind dabei für das Netzwerk bekannt: Cph 5pF C f 10fF CL 100pF Ri 1kΩ V Stellen Sie das Superknotenanalyse-Gleichungssystem des Netzwerks aus Abbildung 3 auf und bestimmen Sie mit Hilfe von Mathematica die Lösung für die Ausgangsspannung u a symbolisch.. Berechnen Sie numerisch den Wert für den Widerstand R f, so dass eine Transimpedanz von R T = u a I ph = mit der Annahme v erreicht wird. 3. Simulieren Sie mit Hilfe von PSpice den Frequenzgang und das transiente Verhalten der Schaltung bei Anregung mit einer Pulsquelle IPULSE (I1=0, I=1m, TD=0, TR=1n, TF=1n, PW=0.5u, PER=1u). Erklären Sie die Zusammenhänge zwischen dem Peak im Frequenzbereich und den Resonanzen im Zeitbereich. Bestimmen Sie die Frequenz der Resonanzen im Zeitbereich res. 4. Bringen Sie die Übertragungsfunktion für R T auf die Form aus Abbildung 4 in Leitwertformulierung und ua H0 Hs I 1 1 ph 1 s s Q 0 0 Abbildung 4: Normalform für ein System zweiter Ordnung bestimmen Sie die Größen H 0, 0 und Q symbolisch und numerisch. 5. Bestimmen Sie die Polstellen des Systems numerisch und tragen Sie diese qualitativ mit markanten Werten in eine komplexe Ebene ein (für Imaginärteil und Realteil gleichen Massstab verwenden). Vergleichen Sie den Imaginärteil der Polstellen mit res aus Aufgabe 3. Geben Sie numerisch die Lösung der homogenen Differentialgleichung an. Bestimmen Sie numerisch die Frequenz peak und den Wert H peak, an dem der Frequenzgang ein Maximum annimmt sowie die -3dB-Grenzfrequenz 3dB, an der der Wert des Amplitudenganges um -3dB gegenüber der DC-Verstärkung abgesunken ist. 6. Bestimmen Sie ein C f = C fopt, so dass Q = 1 ist. Berechnen Sie wieder die Polstellen numerisch und tragen Sie diese in die komplexe Ebene aus Aufgabe 5 ein. Simulieren Sie erneut den Frequenzgang und das GST WS11/1 Hausaufgabe

4 transiente Verhalten mit der Kapazität C fopt. Was stellen Sie gegenüber Aufgabe 3 fest? Bestimmen Sie mit der optimierten Kapazität C fopt die -3dB-Grenzfrequenz erneut. 7. Simulieren Sie den Frequenzgang und das transiente Verhalten der Schaltung parametrisch für 0.1 Cfopt... C fopt...10 C fopt und stellen Sie die Kurven für den Frequenzgang und das transiente Verhalten in je einem Diagramm dar. 8. Bestimmen Sie die Kapazität Q C f = C re, bei der die Polstellen gerade noch keinen Imaginärteil besitzen. Bestimmen Sie numerisch. Überprüfen Sie numerisch die Polstellen. Simulieren Sie den Frequenzgang re und das Zeitbereichsverhalten. Wie ist die Bandbreite und das Einschwingverhalten gegenüber C f = C opt zu bewerten? 9. Erklären Sie den Zusammenhang der Lage der Polstellen in der komplexen Ebene und maximale Bandbreite bei möglichst geringen Peak im Frequenzgang. Wie sieht das dazugehörige Zeitbereichsverhalten aus? Erklären Sie dies mit Hilfe der Lösung der homogenen Differentialgleichung. GST WS11/1 Hausaufgabe 3

5 Eine vollständige Lösung umfasst: 1.) Matrix-Gleichungssystem, symbolische Übertragungsfunktion.) Bestimmung von R f 3.) Simulation für Frequenzgang und Zeitbereich, res, Erklärung der Zusammenhänge 4.) Übertragungsfunktion in Normalform, die Größen H 0, 0 und Q symbolisch und numerisch 5.) Polstellen in der komplexen Ebene, Vergleich peak, H peak und 3dB res mit Aufgabe 3, Lösung der homogenen DGL, 6.) C f = C fopt, Polstellen in komplexer Ebene aus Aufgabe 5, Simulation des Frequenzgangs und Zeitbereichsantwort, Erklärung der Zusammenhänge und 3dB 7.) parametrische Simulation für Zeit- und Frequenzbereich 8.) C f = C re, Q re, Verifikation der Polstellen, dass nur Realteil vorhanden; Bewertung der Bandbreite und Einschwingverhalten 9.)Zusamenhänge zwischen Polstellen und maximaler Bandbreite und Zeitbereichsverhalten Drucken Sie bitte zusätzlich noch die zur Berechnung verwendeten Mathematica-Notebooks aus und versehen Sie alle Dokumente mit der jeweiligen Aufgabennummer, Ihrem Vor- und Zunamen sowie Ihrer Matrikelnummer. Füllen Sie bitte unbedingt das angefügte Deckblatt aus und heften Sie es vorn an Ihre Unterlagen an. Die Arbeit in Gruppen bis zu fünf Personen ist erlaubt und sogar erwünscht. Bitte geben Sie dann nur ein Exemplar ab. Hinweise zu Mathematica: Alle benötigten Befehle finden Sie in dem unten gezeigten Beispiel. Für weitere Befehle und Hinweise nutzen Sie den Mathematica Help-Browser. Auf unserer Homepage findet sich auch ein kleiner Mathematica Einführungskurs. Wichtig - zwei mfme 1 : Underscores _ dürfen nicht in Variablendeklarationen verwendet werden! Und noch ein Hinweis: MatrixForm darf nicht in der Zuweisung stehen (auch wenn es bequem erscheint und scheinbar zunächst funktioniert), also nicht AInv = Inverse[A]//MatrixForm, sondern nur so, wie nachfolgend angewendet. Ansonsten passiert bei der nächsten Operation mit der Matrix nichts. Lösen eines Gleichungssystems in MatrixForm a1 a In[1]:= A a3 a4 ; b b1 b1 ; Ainv InverseA; c Ainv.b; MatrixFormc Out[4]//MatrixForm= a b1 a4 b1 a a3a1 a4 a a3a1 a4 a1 b1 a a3a1 a4 a3 b1 a a3a1 a4 Lösen von Gleichungen symbolisch/numerisch In[5]:= sol1 Solvex c1 x c0 0, x Out[5]= x 1 c1 4c0 c1, x 1 c1 4c0 c1 1. most frequently made errors :-) GST WS11/1 Hausaufgabe 4

6 Lösen von Gleichungen numerisch In[6]:= Out[6]= sol NSolvex^5 x 3 0, x x , x , x , x , x Zugriff auf Elemente in den Lösungen In[7]:= elem1 x. sol11 Out[7]= 1 c1 4c0 c1 oder (bei Ergebnissen ohne Rule () Operator) In[8]:= Out[8]= elem c1 a b1 a a3 a1 a4 a4 b1 a a3 a1 a4 Einsetzen von Werten / Liste von Werten In[9]:= Out[9]= values c0 4, c1 elem1. values c0 4, c1 Out[10]= 1 3 Grenzwertbildung In[11]:= grenzwert Limit1 x n ^n, n Infinity Out[11]= x Falls Sie Fragen oder Hinweise zur Hausaufgabe haben, melden Sie sich bitte rechtzeitig vor dem Abgabetermin per an {ralf.sommer, dominik.krausse}@tu-ilmenau.de. GST WS11/1 Hausaufgabe 5