Perfekte Zahlen et. al.

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1 Perfekte Zahlen et. al. Pascal Appel Proseminar: Implementierung mathematischer Algorithmen 16. Januar 2014

2 Inhaltsverzeichnis I 1 1 Perfekte Zahlen 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen? 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Euklid Darstellungsart von Eaton Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot Summe der ersten natürlichen Zahlen Vergleich der Darstellungsarten 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen Was sind Abundante und Defiziente Zahlen? Beispiele Verallgemeinerung abundanter und defizienter Zahlen 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen Was ist eine x-fach vollkommene Zahlen? Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen

3 Inhaltsverzeichnis II 2 2 Befreundete und Gesellige Zahlen 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? Was sind Befreundete und Gesellige Zahlen? Beispiele 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah 3 3 Fazit 4 4 Quellenverzeichnis

4 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen? 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen? Definition 1.1 (Vollkommene Zahlen) Eine natürliche Zahl n wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe σ (n) aller ihrer (positiven) Teiler außer sich selbst ist. Äquivalent ist eine vollkommene Zahl n eine Zahl, die halb so groß ist wie die Summe ihrer positiven Teiler (sie selbst eingeschlossen), d. h. σ(n) = 2n. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE]

5 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen? 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen? Beispiel hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Es gilt: = hat die Teiler 1, 2, 4, 7, 14 und 28. Es gilt: = hat die Teiler 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 und 496. Es gilt: = hat die Teiler 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064 und Es gilt: = 8128

6 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen? 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen? Die ersten 10 vollkommenen Zahlen sind: Im Folgenden betrachte ich nur die ersten 7 vollkommenen Zahlen, da sonst der Rechenaufwand zu groß wäre.

7 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Euklid [1] Abbildung: Euklid von Alexandria griechischer Mathematiker 3. Jahrhundert v. Chr.

8 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Euklid [2] Abbildung: Leonhard Euler Schweizer Mathematiker

9 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Euklid Satz 1.1 (Darstellungsart von Euklid) Für n N gilt: 2 n 1 (2 n 1) ist eine vollkommene Zahl, vgl. Vortrag Dame falls 2 n 1 eine Primzahl (Mersenne-Primzahl) ist.

10 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Euklid Beispiel Für n = 2: = 6 = (2 2 1) 2 Für n = 3: = 28 = (2 3 1) 3 Für n = 5: = 496 = (2 5 1) 4 Für n = 7: = 8128 = (2 7 1)

11 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Euklid 1 %% Darstellungsart von Euklid 2 clc, clear ; 3 tic 4 i =1; max =7; n =2; nichtprim =0; zeit_euklid = zeros (1, max ); 5 while i< max +1 6 p =2^n -1; 7 for x =2:1:p -1 8 if mod (p,x )==0 9 nichtprim =1; 10 end 11 end 12 if nichtprim ==0 13 euklid =2^(n -1)*(2^ n -1); 14 fprintf ( %25.0 f\n, euklid ); 15 zeit_euklid ( i)= toc ; 16 i=i +1; 17 end 18 n=n +1; nichtprim =0; 19 end

12 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Eaton Satz 1.2 (Darstellungsart von Eaton, 1995/96) Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung n = k(k + 1) 2 mit k = 8j + 2 und einer nicht-negativen ganzen Zahl j. Umgekehrt erhält man nicht zu jeder natürlichen Zahl j eine vollkommene Zahl.

13 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Eaton Beispiel Für j = 0: k = 2 und n = 28 (vollkommen) 2 Für j = 1: k = 10 und n = 496 (vollkommen) 3 Für j = 2: k = 18 und n = 1540 (nicht vollkommen)

14 1.2 Darstellungsarten Darstellungsart von Eaton 1 %% Darstellungsart von Eaton 2 clc, clear ; 3 perfekt =[6,28,496,8128, , , ]; 4 tic 5 i =1; max =7; j =0; zeit_eaton = zeros (1, max ); 6 fprintf ( %25.0 f\n, 6); 7 zeit_eaton (i)= toc ; 8 i=i +1; 9 while i< max k =8* j +2; 11 eaton =1+(9/2)* k*( k +1); 12 for x =1:1:7 13 if eaton == perfekt ( x) 14 fprintf ( %25.0 f\n, eaton ); 15 zeit_eaton (i)= toc ; 16 i=i +1; 17 end 18 end 19 j=j +1; 20 end

15 1.2 Darstellungsarten Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot. Satz 1.3 (Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.) Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung k n = (2i 1) 3 i=1 mit einer geeigneten natürlichen Zahl k.

16 1.2 Darstellungsarten Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot. Beispiel = =

17 1.2 Darstellungsarten Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot. 1 %% Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Potenz 2 clc, clear ; 3 perfekt =[6,28,496,8128, , , ]; 4 tic 5 i =1; max =7; sumungnat =0; j =1; zeit_sumungnat = zeros (1, max ); 6 fprintf ( %25.0 f\n, 6); 7 zeit_sumungnat ( i)= toc ; 8 i=i +1; 9 while i< max sumungnat = sumungnat +(2* j -1)^3; 11 for x =1:1:7 12 if sumungnat == perfekt ( x) 13 fprintf ( %25.0 f\n, sumungnat ); 14 zeit_sumungnat ( i)= toc ; 15 i=i +1; 16 end 17 end 18 j=j +1; 19 end

18 1.2 Darstellungsarten Summe der ersten natürlichen Zahlen Satz 1.4 (Summe der ersten natürlichen Zahlen) Jede gerade vollkommene Zahl n hat die Darstellung k k(k + 1) n = i = 2 i=1 mit einer geeig. nat. Zahl k, d. h. k ist Mersenne-Primzahl. Jede gerade vollkommene Zahl ist also auch eine Dreieckszahl. vgl. Vortrag Heß

19 1.2 Darstellungsarten Summe der ersten natürlichen Zahlen Beispiel = = = = = =

20 1.2 Darstellungsarten Summe der ersten natürlichen Zahlen 1 %% Summe der ersten nat. Zahlen 2 clc, clear ; 3 perfekt =[6,28,496,8128, , , ]; 4 tic 5 i =1; max =7; sumnat =0; j =1; zeit_sumnat = zeros (1, max ); 6 while i< max +1 7 sumnat = sumnat +j; 8 for x =1:1:7 9 if sumnat == perfekt ( x) 10 fprintf ( %25.0 f\n, sumnat ); 11 zeit_sumnat ( i)= toc ; 12 i=i +1; 13 end 14 end 15 j=j +1; 16 end

21 1.2 Darstellungsarten Vergleich der Darstellungsarten Matlab

22 1.2 Darstellungsarten Vergleich der Darstellungsarten Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten

23 1.2 Darstellungsarten Vergleich der Darstellungsarten Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten (Zoom)

24 1.2 Darstellungsarten Vergleich der Darstellungsarten Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten (Zoom auf Beginn)

25 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen Existieren ungerade vollkommene Zahlen???

26 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen Existieren ungerade vollkommene Zahlen??? Vermutung: NEIN

27 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen Eigenschaften einer solchen ungeraden vollkommenen Zahl z: z hat die Form 12k + 1 oder 36k + 9 z besitzt mindestens 6 Primfaktoren z besitzt mindestens 9 Primfaktoren, falls sie durch 3 teilbar ist falls z < , ist z ganzzahlig durch p 6 teilbar (p ist prim und p > ) und besitzt mindestens 8 bzw. 11 Primfaktoren Zum heutigen Zeitpunkt ist bekannt: z > [OddPerfect]

28 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen Was sind Abundante und Defiziente Zahlen? Definition 1.2 (Abundante Zahlen) Ist die Summe der echten Teiler σ (n) einer natürliche Zahl n größer als die Zahl selbst, so nennt man diese Zahl abundant. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.1] Definition 1.3 (Defiziente Zahlen) Ist die Summe der echten Teiler σ (n) einer natürliche Zahl n kleiner als die Zahl selbst, so nennt man diese Zahl defizient. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.1]

29 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen Beispiele Beispiel Teiler der 12: = 16 > 12 (kleinste abundante Zahl) 2 Teiler der 14: = 10 < 14 (defiziente Zahl) 3 Teiler aller Primzahlen p: 1 < p (defiziente Zahl)

30 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen Verallgemeinerung abundanter und defizienter Zahlen Definition 1.4 (n-abundante bzw. n-defiziente Zahlen) Ist die Differenz n zwischen der Summe der echten Teiler σ (x) einer natürliche Zahl x und der Zahl selbst gleich n, so nennt man x n-abundant. gleich -n, so nennt man x n-defizient. 0-abundante bzw. 0-defizient sind vollkommene Zahlen. [TKS]

31 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen Verallgemeinerung abundanter und defizienter Zahlen Matlab Graphische Darstellung n-abundanter bzw. n-defizienter Zahlen Existieren mehr abundante oder defiziente Zahlen? Zusammenhang n-abundante bzw. n-defiziente Zahlen und vollkommene Zahlen

32 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen Was ist eine x-fach vollkommene Zahlen? Definition 1.4 (x-fach vollkommene Zahlen) Eine x-fach vollkommene Zahl n ist eine Zahl, deren Summe ihrer echten Teiler σ (n) das x-fache der Zahl selbst ergibt. Die vollkommenen Zahlen sind die 1-vollkommenen Zahlen. Alle x-vollkommenen Zahlen mit x 2 sind insbesondere abundante Zahlen. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 4]

33 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen Beispiel besitzt Teiler 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 und 60. σ (120) = = = 2 120, d. h. 120 ist 2-vollkommen.

34 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen I 1 %% Bestimmung x - fach vollkommener Zahlen 2 clc, clear ; 3 tic 4 max =100000; 5 x= zeros (1, max ); 6 for n =1:1: max 7 teiler = zeros (1,n); 8 j =1; 9 for i =1:1: n 10 if mod (n,i )==0 11 teiler ( j)=i; 12 j=j +1; 13 end 14 end 15 summe =0; 16 for k =1:1: n 17 summe = summe + teiler (k); 18 end 19 summe = summe -n; 20 if mod ( summe,n )==0

35 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen II 21 x(n)= summe /n; 22 end 23 if x( n )~=0 24 fprintf ( %10.0 f ist %2.0f- vollkommen.\n,n,x(n)) 25 end 26 end 27 toc

36 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen Abbildung: Ausgabe im Command Window Matlab benötigt zum Überprüfen der ersten natürlichen Zahlen über 18 Minuten.

37 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? Was sind Befreundete und Gesellige Zahlen? Definition 2.1 (Befreundete Zahlen) Zwei verschiedene natürliche Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler σ der ersten Zahl die zweite und die der zweiten Zahl die erste ist, nennt man ein befreundetes Zahlenpaar. Die kleinere von ihnen ist abundant und die größere ist defizient. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.2] Definition 2.2 (Gesellige Zahlen) Werden mehr als zwei natürliche Zahlen benötigt, um auf diese Weise wieder zur Ausgangszahl zurückzukommen, spricht man von geselligen Zahlen. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.2]

38 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? Beispiele Beispiel und 284 sind das kleinste Paar befreundeter Zahlen. Es gilt: σ (220) = 284 und σ (284) = , 14288, 15472, und sind gesellige Zahlen. Es gilt: σ (12496) = 14288, σ (14288) = 15472, σ (15472) = 14536, σ (14536) = und σ (14264) =

39 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? [3] Abbildung: Pythagoras von Samos antiker griechischer Philosoph 570 v. Chr v. Chr.

40 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? [4] Abbildung: Adrien-Marie Legendre französischer Mathematiker

41 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? Liste befreundeter Zahlen unterhalb von : Nr. erste Zahl zweite Zahl Jahr Entdecker ?? Pythagoras(?)/Thabit Paganini Euler Euler Euler Euler Brown um 1300/um 1300/1636 Ibn-al-Banna/Farisi/Pierre de Fermat Euler Euler Escott Gerardin/Poulet Bratley/McKay Lee um 1600/1638 Yazdi/Rene Descartes Bratley/McKay Bratley/McKay Lee Bratley/McKay [TUFR]

42 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? [5] Abbildung: Henri Cohen französischer Mathematiker *1947

43 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen? Man kennt heute insgesamt 53 Ketten geselliger Zahlen: 46 der Länge 4 1 der Länge 5 2 der Länge 6 2 der Länge 8 1 der Länge 9 1 der Länge 28 Die längste bekannte Kette ist 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, , , , , , , , , , , , , , , , , 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916,

44 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah [6] Abbildung: Thabit ibn Qurrah Abu l-hasan Thabit ibn Qurra ibn Marwan as-sabi al-harrani syrischer Mathematiker, Astronom, Astrologe, Magier, Physiker, Mediziner und Philosoph

45 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah Satz 2.1 (Satz von Thabit ibn Qurrah) Sind drei Zahlen p = 3 2 n 1 1, q = 3 2 n 1 und r = 9 2 2n 1 1 Primzahlen, so sind die beiden Zahlen a = 2 n p q und b = 2 n r befreundet. Leider liefert dieser Satz für n < nur in den Fällen n = 2, n = 4 und n = 7 die erforderlichen drei Primzahlen. [TUFR]

46 3 Fazit Mathematische Spielerei beschäftigt Mathematiker schon seit Jahrtausenden kann dieses Thema noch weiter ausführen

47 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

48 [Vollkommene Zahl, WikipediaDE] Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Zugriff [Perfect Number, WikipediaEN] Perfect Number, WikipediaEN, Zugriff [TUFR] TU Freiburg: Vollkommene, befreundete und gesellige Zahlen, cafe/vollkzahlen.html, Zugriff [OddPerfect] OddPerfect.org, Zugriff [TKS] Torsten-Karl Strempel: n-abundante bzw. n-defiziente Zahlen

49 [1] hirnwindungen.de: Euklid von Alexandria, hirnwindungen.de/wunderland/bilder/euklid.gif, Zugriff [2] Polotaia: Euler, Elenin und der 10-Franken-Schein - Interessante Aspekte, wp-content/uploads/2011/08/leonhard_euler.jpg, Zugriff [3] GWB - Geoinformationstechnologie Wissensbasis: Pythagoras von Samos, Zugriff [4] mathematik.ch: Legendre Adrien Marie, http: // Zugriff

50 [5] WikipediaDE: Henri Cohen, org/wikipedia/commons/f/f6/henri_cohen.jpg, Zugriff [6] Enzyklopädie des Islams: Thabit ibn Qurra, eslam.de/begriffe/t/images/thabit_ibn_qurra.gif, Zugriff