Mögliche inhaltliche Ergänzungen zur Teilbarkeit

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1 Vorbemerkungen: Mögliche inhaltliche Ergänzungen zur Teilbarkeit nach U.Wagner, OHG Tuttlingen Es ist keineswegs an alle Inhalte gedacht eine sehr beschränkte Auswahl ist sinnvoll. Insbesondere das Thema besondere Eigenschaften von Zahlen ermitteln ist reizvoll, hierzu braucht man als einzige weitere Fähigkeit das systematische Bestimmen von Teilermengen mit Ergänzungsteiler, was aber ohnehin sinnvoll ist. Ob man Zahlen und ihren Eigenschaften dann noch griffige Namen gibt, ist Geschmackssache. Die Schüler suchen (stink)reiche Zahlen aber lieber als abundante bzw. Chefzahlen lieber als superabdundante oder hochzusammen-gesetzte. Innerhalb der Teilbereiche von oben nach unten mit sinkender Verbindlichkeit aber größeren Chancen für Binnendifferenzierung angeordnet. Teilbarkeitsregeln: Kennen obligatorische: 2,3,5,6,9,10 weitere: 4,8,11,15,20,25 Summen- und Differenzregel Transitivitätsregel ( Fischregel ; lässt sich am einfachsten erklären und zeichnen mit drei Fischen: wenn der große Fisch den mittleren frisst und dieser den kleinen, dann frisst auch der größere a den kleinen) Anwenden Begründung nachvollziehen Begründung durchführen Primzahlen Kennen bis 50 bis 100 Sieb des Erathostenes Primfaktoren bestimmen (mit/ohne Hochzahldarstellung) - 1 -

2 Primzahlprüfung durchführen Primzahlprüfung mit Primzahlen ( bis zur Mitte ) verstehen Euklid-Beweis zum Nichtabbrechen der Primzahlfolge Primzahlformeln prüfen Eigenschaften von Zahlen Besondere Zahlen erkennen Prim(a)zahlen Quadratzahlen Dreieckszahlen Zweierpotenzen Kubikzahlen en ( Fibonacci-Zahlen ) Entdeckung von besonderen Zahlen im Pascal-Dreieck Besondere Eigenschaften ermitteln Teileranzahlen (mit Ergänzungsteiler und/oder Primfaktorzerlegung) bestimmen Chefzahlen ermitteln (größte Teileranzahl bis dato: hochzusammengesetzte oder superabundante Zahlen: 1,2,4,6,12,24,36,48,60,120, ) besondere Chefzahlen prüfen (erst vom Doppelten übertrumpft: 1,2,6,12,60,360,2520) Siegerzahlen ermitteln (größte Teileranzahl im zweistelligen Bereich: 60,72,84,90,96) (echte) Teilersummen berechnen und Auffinden von armen ( defizienten ) Zahlen (Teilersumme kleiner als Zahl) reichen ( abundanten ) Zahlen (Teilersumme größer als Zahl) perfekten ( vollkommenen ) Zahlen (Teilersumme gleich Zahl: 6,28) mit Teilersumme (mit Euklid/Euler-Formel weitere: 2 p 1 (2 p 1), fast perfekte Zahlen) befreundete Zahlen (Teilersummen sind wechselseitig gleich Zahl: 220 und 284) bettelarme und stinkreiche Zahlen (Teilersumme liegt um mindestens 50% neben der Zahl) - 2 -

3 Mögliche ergänzende Aufgaben Vorbemerkungen: Vieles ist binnendifferenziert möglich. Einige Ideen findet man im Zahlenteufel von Enzensberger, der als Begleitlektüre sinnvoll einsetzbar ist. Produktives/Entdeckendes Üben: Wähle beliebige dreistellige Zahl, bilde neue Zahl durch Wiederholen (abcabc), dividiere nacheinander durch 13, 11 und 7 Wähle eine Zahl mit aufsteigenden Ziffern und lass sie wieder absteigen ( Palindrom ), dividiere sie durch 1111 (Anzahl entsprechend der aufsteigenden Zahlen) Färbe im Pascal-Dreieck Kästchen mit Vielfache von vier (fünf,...). Was fällt auf? Suche im Pascal-Dreieck nach Dreieckszahlen, Quadratzahlen usw. Welche zweistelligen Zahlen haben bis dato die meisten Teiler ( Chefzahlen )? (Werden erst von ihrem Doppelten abgelöst ( besondere Chefzahlen )?) haben insgesamt die meisten Teiler ( Siegerzahlen )? sind (bettel)arm, (stink)reich oder perfekt? Erstelle eine Übersicht (ein Diagramm)! Ergebnis ist (wie im wahren Leben): 22 reich (davon 8 stinkreich), 76 arm (davon 45 bettelarm und 2 perfekt) haben 1,2,3,4,5, Teiler? Erstelle eine Übersicht (ein Diagramm)! Ergebnis: 1 Teiler: 1 Zahl, 2T: 25Z (!), 3T: 4Z, 4T: 32Z (!), 5T: 2Z, 6T: 16Z, 7T: 1Z, 8T: 10Z, 9T: 2Z, 10T: 2Z, 11T: 0Z, 12T: 5Z Probiere die Teilerzahl aus der Primfaktorzerlegung zu bestimmen, beginne mit den Zweierpotenzen, multipliziere sie dann mit 3, dann noch einmal mit 2 usw. Welche dreistellige Zahl hat die meisten Teiler? Probiere mit der Primfaktorzerlegung eine Lösung (840 hat 32 Teiler). Warum haben die meisten Zahlen eine gerade Teilerzahl? Welche Zahlen haben drei Teiler? Haben alle Quadratzahlen drei (fünf, sieben) Teiler? - 3 -

4 Stelle eine Zahl mit 11 Teilern her! Jede Zahl (größer als 3) lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen (Goldbachsche Vermutung): Probiere aus! Jede Zahl (größer als 3) lässt sich als Summer höchstens dreier Dreieckszahlen darstellen: Probiere aus! Bei welchen Zahlen reichen zwei Dreieckszahlen? Erhält man mit n 2 + n + 17 (Eulerformel) immer eine Primazahl? Prüfe nach! Prüfe nach, ob die perfekten Zahlen 6 und 28 mit der Formel 2 p 1 (2 p 1) berechenbar Berechne damit weitere perfekte Zahlen. Berechne die Teilersumme von 220 und 284. War fällt auf? sind. Zusammenhänge entdecken: Bestimme die Teilersummen von Zweierpotenzen. Was fällt auf? Welche Primazahlen sind auch en? Welche Dreieckszahlen sind auch en? Welche Dreieckszahlen sind auch Quadratzahlen? Welche Zweierpotenzen sind auch Quadratzahlen? Sind alle Primzahlen bettelarm? Warum? Sind alle Quadratzahlen arm? Sind alle Chefzahlen stinkreich? Addiere benachbarte Dreieckszahlen. Was fällt auf? Subtrahiere benachbarte Quadratzahlen. Was fällt auf? Addiere die Quadrate benachbarter en. Was fällt auf? - 4 -

5 Anlage: Zahlenübersicht Zahl Prim- Teiler Eigenschaft faktor- Liste Anzahl (echte) Abwei- Status zerlegung Summe chung % (bettel)arm Quadratzahl, Kubikzahl,, bes. Chefzahl 2 2 1, % (bettel)arm Primazahl, Zweierpotenz,, bes. Chefzahl 3 3 1, % (bettel)arm Primazahl, Dreieckszahl, ,2, % arm Quadratzahl, Zweierpotenz, Chefzahl 5 5 1, % (bettel)arm Primazahl, ,2,3,6 4 6 ± 0 % perfekt Dreieckszahl, bes. Chefzahl 7 7 1, % (bettel)arm Primazahl ,2,4, % arm Zweierpotenz,K ubikzahl, ,3, % (bettel)arm Quadratzahl ,2,5, % arm Dreieckszahl , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,4,6, % reich Bes. Chefzahl , % (bettel)arm Primazahl, ,2,7, % arm ,3,5, % arm Dreieckszahl ,2,4,8, % arm, fast perfekt Quadratzahl, Zweierpotenz , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,6,9, % reich , % (bettel)arm Primazahl ,2,4,5,10, % reich ,3,7, % arm Dreieckszahl, ,2,11, % arm - 5 -

6 , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,4,6,8, % (stink)reich Chefzahl 12, ,5, % (bettel)arm Quadratzahl ,2,13, % arm ,3,9, % (bettel)arm Kubikzahl ,2,4,7,14, 6 28 ± 0 % perfekt Dreieckszahl , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,5,6,10, % reich 15, , % (bettel)arm Primazahl ,2,4,8,16, % arm, fast Zweierpotenz 32 perfekt ,3,11, % (bettel)arm ,2,17, % arm ,5,7, % (bettel)arm ,2,3,4,6,9, 12,18, % (stink)reich Quadratzahl, Dreieckszahl, Chefzahl , % (bettel)arm Primazahl ,2,19, % arm ,3,13, % (bettel)arm ,2,4,5,8,10, % reich 20, , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,6,7,14, % reich 21, , % (bettel)arm Primazahl ,2,4,11,22, % arm ,3,5,9,15, % arm Dreieckszahl ,2,23, % arm , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,4,6,8, % (stink)reich Chefzahl 12,16,24, ,7, % (bettel)arm Quadratzahl ,2,5,10,25, % arm ,3,17, % (bettel)arm ,2,4,13,26, % arm - 6 -

7 , % (bettel)arm Primzahl ,2,3,6,9,18, % reich 27, ,5,11, % (bettel)arm Dreieckszahl, ,2,4,7,8,14, % reich 28, ,3,19, % (bettel)arm ,2,29, % arm , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,4,5,6, 10,12,15,20, % (stink)reich bes. Chefzahl, Siegerzahl 30, , % (bettel)arm Primazahl ,2,31, % arm ,3,7,9,21, % arm ,2,4,8,16, 32, % arm, fast perfekt Quadratzahl, Zweierpotenz Kubikzahl ,5,13, % (bettel)arm ,2,3,6,11, % reich Dreieckszahl 22,33, , % (bettel)arm Primazahl ,2,4,17,34, % arm ,3,23, % (bettel)arm ,2,5,7,10, % reich 14,35, , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,4,6,8, 9,12,18,24, 36, % (stink)reich Siegerzahl , % (bettel)arm Primazahl ,2,37, % arm ,3,5,15,25, % arm ,2,4,19,38, % arm ,7,11, % (bettel)arm ,2,3,6,13, % reich Dreieckszahl 26,39, , % (bettel)arm Primazahl - 7 -

8 ,2,4,5,8,10, % reich 16,20,40, ,3,9,27, % (bettel)arm Quadratzahl ,2,41, % arm , % (bettel)arm Primazahl ,2,3,4,6,7, % (stink)reich Siegerzahl 12,14,21,28, 42, ,5,17, % (bettel)arm ,2,43, % arm ,3,29, % (bettel)arm ,2,4,8,11, % reich 22,44, , % (bettel)arm Primazahl, ,2,3,5,6,9, % (stink)reich Siegerzahl 10,15,18, 30,45, ,7,13, % (bettel)arm Dreieckszahl ,2,4,23,46, % arm ,3,31, % (bettel)arm ,2,47, % arm ,5,19, % (bettel)arm ,2,3,4,6,8, % (stink)reich Siegerzahl 12,16,24,32, 48, , % (bettel)arm Primazahl ,2,7,14,49, % arm ,3,9,11,33, % arm ,2,4,5,10, 20,25,50, % reich Quadratzahl - 8 -