Vom Zauber der Zahlen

Transkript

1 Vom Zauber der Zahlen Gedanken und Spielereien aus der Welt der Arithmetik Meisterklasse Mathematik - Dresden 2018 Olaf Schimmel (Ulf-Merbold-Gymnasium Greiz) os@mathoid.de

2 Gliederung 1. Prim- und Mirpzahlen 2. Arm, reich oder sogar perfekt? 3. Zauberei (I) 4. Fröhliche und glückliche Zahlen 5. Eine interessante Zahlenfolge 6. Zauberei (II) 7. Brüche in Ägypten

3 Kann man mit Zahlen zaubern? 6174

4 1 Primzahlen Welche Definition ist korrekt? Jede natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl. Jede natürliche Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, heißt Primzahl. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43;

5 Primzahlzwillinge: Primzahlen mit dem Abstand 2. Beispiele: (3; 5) (5; 7) (11; 13) (17; 19) (29; 31) (41; 43) (59; 61) (71; 73) (101; 103) (107; 109) (137; 139) (149; 151) Offene Frage: Gibt es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillige?

6 Gibt es Formeln für Primzahlen? Mersennesche Primzahlen: M n =2 n 1 M wurde im Dezember 2017 entdeckt. Es ist erst die 50. Primzahl dieser Reihe. Sie hat Ziffern. Fermatsche Primzahlen: F n =2 (2n) +1 3; 5; 17; 257; 65537; F5 = = 641 * Fazit: Leider findet man nicht für jedes n Primzahlen.

7 Eine natürliche Zahl ist eine Mirpzahl, wenn sie eine Primzahl von rechts nach links gelesen und von links nach rechts gelesen eine andere Primzahl ist. Beispiele: 13 ist eine Mirpzahl, denn 31 ist eine Primzahl. 13 ist die kleinste Mirpzahl. 11 und 101 sind keine Mirpzahlen.

8 2 Arm, reich oder perfekt? Wenn wir die Summe aller Teiler einer Zahl n bilden, die kleiner als die Zahl n sind, erhalten wir die Teilerfunktion T(n). T (26) = = 16 Die Werte der Teilerfunktion entscheiden darüber, ob eine Zahl arm, reich oder sogar perfekt (vollkommen) ist.

9 Arme Zahlen Eine Zahl heißt arme Zahl, wenn T(n) < n T(10)=1+2+5 = 8 < 10 T(45)= = 33 < 45 T(64)= = 63 < 64 Primzahlen sind immer arme Zahlen. Jede Zweierpotenz ist eine arme Zahl. Für sie ist die Summe der Teiler immer um 1 kleiner als die Zahl selbst.

10 Reiche Zahlen Eine Zahl heißt reiche Zahl, wenn T(n) > n. T(12) = = 16 > 12 T(60) = = 88 > 60

11 Perfekte Zahlen Eine Zahl heißt perfekte Zahl, wenn T(n) = n. T(6) = = 6 V =2 n 1 (2 n 1) T(496) = = 496 Bemerkung: Es ist nicht bekannt ob es endlich oder unendlich viele perfekte Zahlen gibt.

12 Auf geht s zum ersten Arbeitsblatt.

13 3 Lösungen (I) Aufgabe 1 a) Es gibt 31 Zwillingspaare. b) Die größte Lücke ist 20. (von 887 bis 907) c) Es gibt 28 dreistellige MIRP-Zahlen.

14 Aufgabe 2 Tafel Aufgabe 3 arm: 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 19; 21; 22 23; 25; 26; 27; 29; 31; 32; 33; 34; 35; 37; 38; 39 perfekt: 28 reich: 12; 18; 20; 24; 30; 26; 40

15 3 Zauberei I Nennen wir die unbekannten Zahlen: a,b,c,d Dann sind die genannten Summen: a + b + c a + b + d a +c + d b +c + d Summe: 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a+b+c+d)

16 Was macht also der Zauberer? 1. Er addiert die genannten Summen. Ergebnis: 3(a+b+c+d) 2. Er dividiert das Ergebnis durch 3. Ergebnis: a+b+c+d 3. Er subtrahiert die einzelnen Summen von seinem Ergebnis und erhält der Reihe nach die gemerkten Zahlen. Ergebnis: a+b+c+d - (b+c+d) = a usw.

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18 4 Fröhliche und glückliche Zahlen Was heißt es für eine Zahl, fröhlich zu sein? Eine Zahl heißt fröhlich, wenn die fortgesetzte Summe der Quadrate ihrer Ziffern nach endlich vielen Schritten auf 1 führt. Beispiel 1: 79! = 130! = 10! =1

19 Beispiel 2: Ausgangszahl 4 4! 16! 37! 58! 89! 145! 42! 20! 4 Beispiel 3: Ausgangszahl 5 5! 25! 29! 85! 89! 145! 42! 20! 4 Beispiel 4: Ausgangszahl 7 7! 49! 97! 130! 10! 1

20 Glückliche Zahlen Wir verwenden ein Aussiebungsverfahren, um sie zu erhalten: 1. Schreibe alle natürlichen Zahlen von 1 bis n auf. 2. Streiche alle geraden Zahlen. 3. Die kleinste im vorherigen Schritt nicht gestrichene Zahl ist 3. Streiche von den nicht gestrichenen Zahlen jede 3. Zahl. 4. Die kleinste im vorherigen Schritt nicht gestrichene Zahl ist 7. Streiche nun jede 7. Zahl. usw.

21 Die Zahlen, die auf diese Weise nicht gestrichen werden, sind die glücklichen Zahlen. Die ersten glücklichen Zahlen sind: 1; 3; 7; 9; 13; 15; 21; 25; 31; 33; 37;

22 5 Eine interessante Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, Die Fibonacchi-Folge entsteht, durch folgende Vorschrift: a 1 := 1 a 2 := 1 a n := a n 2 + a n 1

23 Beispiele:

24 Fn+1 Fn+1 / Fn Fn / Fn+1 1 1,0000 1, ,0000 0, ,6667 0, ,6000 0, ,6250 0, ,6154 0, ,6190 0, ,6176 0, ,6182 0, ,6180 0, ,6181 0,6180

25 Auf geht s zum zweiten Arbeitsblatt.

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27 Aufgabe 6 Fröhliche Zahlen 35! 34! 25! 29! 85! 89 36! 45! 41! 17! 50! 25! 29! 85 37! 58 38! 73! 58 39! 90! 81! 65! 61! 37 44! 32! 13! 10! 1

28 6 Zaubertrick II z 1 = a z 2 = b z 3 = a + b z 4 = a +2b z 5 =2a +3b z 6 =3a +5b z 7 =5a +8b z 8 =8a + 13b z 9 = 13a + 21b z 10 = 21a + 34b 10 X i=1 z i = 55a + 88b = 11(5a +8b) = 11 z 7

29 7 Brüche in Ägypten Im alten Ägypten wurden Brüche als Summen von Brüchen mit dem Zähler 1 geschrieben. 5 6 = = Lässt sich jeder gemeine Bruch so zerlegen und wenn ja wie geht man vor?

30 So herum geht es leicht: = = und anders herum? 4 7 = Das kann jeder. ;-)

31 Wir wollen aber weniger als vier Brüche und verschiedene Nenner. Geht das auch? 4 7 = Nun berechnen wir die Klammer. 4 7 = =

32 Schreibe als Summe von Stammbrüchen: Spalte immer zuerst den größten enthaltenen Stammbruch ab.

33 (: Vielen Dank :)