Ferienkurs Quantenmechanik. Drehimpuls, Spin und H-Atom

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1 Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester 215 Seite 1 Fabian Jerzembeck und Sebastian Steinbeiÿer Fakultät für Physik Technische Universität München Drehimpuls, Spin und H-Atom Häug hängt unser Potential in der Schrödingergleichung nur vom Abstand unseres Teilchens, zum Beispiel zu einem Atomkern, ab. Dann nimmt unsere stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimesnsionen die folgende Form an: ] [ 2 2m + V r Ψ r = EΨ r mit r = x 2 + y 2 + z 2 und = 2. Diese Symmetrie können wir nutzen, indem wir das Problem in Kugelkoordinaten betrachten. Für den Laplaceoperator ergibt sich: = 1 r sin ϑ r 2 r r r 2 sin ϑ ϑ ϑ r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 Das sieht zugegebenermaÿen noch nicht besser aus. Durch Einführung des quantenmechanischen Drehimpulsoperators können wir es aber weiter vereinfachen. Anschlieÿend führen wir eine allgemeine Diskussion der Drehimpulsalgebra durch und verwenden diese, um die Ergebnisse des Stern-Gerlach-Experiments zu interpretieren. Dazwischen schieben wir eine sehr knapp gehaltene Darstellung des Wassersto- Problems ein. Zum Abschluss werfen wir einen kurzen Blick auf die Kopplung von Drehimpulsen. 1 Drehimpuls Analog zum klassischen Drehimpuls denieren wir uns den hermiteschen Drehimpulsoperator: 1

2 Seite 2 Denition 1 L r p = i r = L L i = ɛ ijk x j p k mit den Komponenten: L x = yp z zp y = i y z z y Das Betragsquadrat lautet: L y = zp x xp z = i z x x z L z = xp y yp x = i x y y x L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z Beispiel 1 Für die Komponenten können wir Vertauschungsrelationen ausrechnen: [L x, L y ] = [yp z zp y, zp x xp z ] = [yp z, zp x ] [zp y, zp x ] [yp }{{} z, xp z ] +[zp }{{} y, xp z ] = y[p z, zp x ] + [y, zp x ] p }{{} z + z [p y, xp z ] +[z, xp }{{} z ]p y = yz [p z, p x ] +y [p z, z] p x + x [z, p z ] p y + [z, x] p z p y = i xp y yp x = i L z }{{} [L x, L z ] = = i L z [L y, L z ] = = i L x }{{} i }{{} i }{{} Satz 1 In kompakter Notation: [L i, L j ] = ɛ ijk i L k Daraus folgt dann direkt: Weiterhin haben wir: [L 2, L i ] = wobei wir verwenden, dass gilt: [L i, x j ] = ɛ ijk i x k [L i, p j ] = ɛ ijk i p k ɛ ijk ɛ imn = δ jm δ kn ɛ ijk ɛ ijn = δ kn ɛ ijk ɛ ijk = 6 2

3 Seite 3 Wir können nun gemeinsame Eigenfunktionen von L z und L 2 konstruieren die Operatoren vertauschen Tag 1, die, wie wir im Folgenden sehen werden, auch Eigenfunktionen vom Hamiltonoperator mit einem radialsymmetrischen Potential sind. 1.1 Drehimpuls in Kugelkoordinaten In Kugelkoordinaten, d.h. mit: x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ z = r cos ϑ können wir zb die L z -Komponente des Drehimpulses ausdrücken als L z = i x y y = x { [ ] [ ] } r ϑ ϕ r ϑ ϕ i x y r + y ϑ + y y ϕ x r + x ϑ + = x ϕ { [ ] [ ] [ ] } r r ϑ ϑ i x y y x r + ϕ ϕ x y y x ϑ + x y y x ϕ }{{}}{{}}{{} I II III Mit r = x 2 + y 2 + z 2 folgt r x = x r, r y = y r, also I = xy r y x r =. Aus cos ϑ = z r folgt II = x ϑ y y 1 x 1 z 1 2y y 1 2 r 3 z2 r 2 Mit tan ϕ = y x folgt III = x ϕ y y ϑ = x z x y arccos y z r x arccos r 1 z2 r z r 3 2x = xyz r r 2 z 2 = xyz r r 2 z 2 = ϕ = x y x y arctan y y x x arctan = x 1 1 x 1 + y2 x y 1 y 1 + y2 x 2 x 2 x 2 = y2 x y2 = 1 x 2 3

4 Seite 4 Insgesamt erhalten wir für die L z -Komponente des Drehimpulses in Polarkoordinaten: L z = i ϕ. Ähnliche Rechnungen ergeben: L x = i sin ϕ cot ϑ cos ϕ ϑ ϕ L y = i cos ϕ cot ϑ sin ϕ ϑ ϕ und somit erhalten wir: [ 1 L 2 = 2 sin ϑ ϑ sin ϑ + 1 ϑ 2 sin 2 ϑ ϕ 2 Dies entspricht, bis auf den Vorfaktor, dem Winkelanteil des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten. Wir können also den Hamiltonoperator für das radialsymmetrische Potential schreiben als: H = 2 2mr 2 r r 2 + L2 r 2mr + V r 2 Da L 2 und L z nur auf den Winkelanteil der Wellenfunktion wirken, sehen wir dass = [H, L 2 ] = [H, L z ] Da [L 2, L z ] = gilt, gibt es einen Satz von simultanen Eigenvektoren von H,L 2 und L z! Sind diese bekannt, so lässt sich ein radialsymmetrisches Problem mittels Separationsansatz auf eine noch zu lösende Radialgleichung reduzieren. ] 1.2 Drehimpulsalgebra Um diese Eigenvektoren zu bestimmen, könnten wir im Ortsraum verbleiben und die erhaltenen Dierentialgleichungen lösen 1 Im Hinblick auf die zugrunde liegende grundsätzliche Struktur werden wir eine abstrakte, basisunabhängige Diskussion in Dirac- Schreibweise durchführen. Zu diesem Zweck setzen wir einen beliebigen Drehimpulsoperator J voraus, der die kanonischen Vertauschungsrelationen [J x, J y ] = i J z und [ J 2, J z ] = erfüllt. Unser Ziel 1 Dies muss auch getan werden, um eine explizite Darstellung der Kugelächenfunktionen zu erhalten. 4

5 Seite 5 ist es, das Spektrum d.h. alle möglichen Eigenwerte von J 2 und J z zu bestimmen. Damit lautet unser Ansatz für die gemeinsamen normierten Eigenvektoren λ, m : J 2 λ, m = 2 λ λ, m J z λ, m = m λ, m, wobei λ und m reell angenommen werden können Hermitizität. Als erstes erklären wir sog. Auf- und Absteigeroperatoren durch Es gelten die Kommutatorrelationen: J + = J x + ij y = J J = J x ij y = J + 1 [J +, J ] = 2 J z, [J z, J ± ] = ± J ±, [J 2, J ± ] =. Auÿerdem lässt sich J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z ausdrücken als: J 2 = 1 2 J J + + J + J + J 2 z. Nun beobachten wir, dass J ± die Auf- und Absteigeoperatoren für die z-komponente des Drehimpulses sind: J z J ± λ, m = J ± J z λ, m ± J ± λ, m = m ± 1 J ± λ, m J 2 J ± λ, m = J ± J 2 λ, m = λj ± λ, m, Das heiÿt J ± λ, m ist wieder ein Eigenzustand zu den Eigenwerten m ± 1 und λ unverändert, zweite Rechnung, ist also ein Vielfaches von λ, m ± 1. Diese Feststellung rechtfertigt die Namensgebung von J ±. Werfen wir weiter einen Blick auf λ, m Jx 2 + Ly 2 λ, m = λ, m J 2 Jz 2 λ, m = 2 λ m 2!, folgt sofort die Einschränkung m 2 λ. Halten wir λ fest, so muss ein max m =: j und ein min m =: j geben. Ein weiteres Aufsteigen von einem EV mit maximaler z-komponente ist nicht möglich, was J + λ, m = j = bedeutet. Durch eine geschickte Umformung: erhalten wir: J J + = Jx 2 + Jy 2 i J y J x J x J y = J 2 Jz 2 J }{{}}{{} z J 2 Jz 2 [J y,j x]= i J z = J J + λ, m = j = J 2 J 2 z J z λ, m = j = λ j 2 j λ, m = j, 5

6 Seite 6 was λ = jj + 1 bedeutet. Die selbe Rechnung mit j und J + J führt auf λ = j j 1. Gleichsetzen unter Berücksichtigung von j < j bedingt, dass j = j. Nun benötigen wir einen letzten cleveren Kni: Den EV λ, m = j können wir durch ganzzahliges Anwenden des Absteigeoperators J auf λ, m = j erzeugen. Insgesamt brauchen wir j j = 2j Schritte. M.a.W. impliziert dies, dass 2j eine positive ganze Zahl sein muss, was nur durch j =, 1, 1, 3, 2,... erfüllt wird. Gleichzeitig sind damit 2 2 auch die möglichen m zu m = j, j + 1,..., j 1, j festgelegt. Zu guter Letzt benennen wir die EV um zu j, m mit λ = jj + 1 und fassen zusammen: Satz 2 Die Eigenwerte eines beliebigen Drehimpulsoperators also alle Operatoren, die die geforderte Kommutatorrelationen erfüllen sind diskret und können die folgenden Werte annehmen: ˆ 2 jj + 1 für J 2 mit j =, 1, 1, 3, 2,..., 2 2 und ˆ m für J z mit m = j, j + 1,..., j 1, j, d.h. 2j + 1 Werte. Die zugehörigen Eigenvektoren sind die Zustände j, m. Die Auf-/Absteigeoperatoren wirken wie: J ± j, m = j mj ± m + 1 j, m ± 1 2 Speziell führt eine etwas konkretere Betrachtung im Ortsraum auf die Kugelächenfunktionen: 6

7 Seite 7 Satz 3 Die Drehimpulseigenzustände im Ortsraum sind die Kugelächenfunktionen ϑ, ϕ l, m = Y lm mit L 2 Y lm ϑ, ϕ = 2 ll + 1Y lm ϑ, ϕ L z Y lm ϑ, ϕ = my lm ϑ, ϕ. In expliziter Darstellung können sie bereits korrekt normiert als l m! 2l + 1 Y lm ϑ, ϕ = l + m! 4π P l m cos ϑe imϕ geschrieben werden, wobei die Pl m cos ϑ die zugeordneten/assoziierten Legendrepolynome sind. Als normierte Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten von hermiteschen Operatoren bilden sie ein vollständiges Orthonormalsystem auf der Zwei-Sphäre S 2 : ˆ dωylmϑ, ϕy l m ϑ, ϕ = δ ll δ mm l l= m= l Y lmϑ, ϕ Y lm ϑ, ϕ = δϕ ϕ δcos ϑ cos ϑ Y lm π ϑ, π + ϕ = 1 l Y lm ϑ, ϕ Y l, m ϑ, ϕ = 1 m Y lmϑ, ϕ Parität: r r Dabei ist l =, 1, 2,... die Drehimpuls-/Orbitalquantenzahl und m = l,..,,..l die Magnetquantenzahl. Explit lauten die ersten Kugelächenfunktionen Y ϑ, ϕ = 1 4π 3 Y 1 ϑ, ϕ = 4π cos ϑ 3 Y 1,±1 ϑ, ϕ = sin ϑe±iϕ 8π 5 Y 2 ϑ, ϕ = 16π 3 cos2 ϑ 1 15 Y 2,±1 ϑ, ϕ = sin ϑ cos ϑe±iϕ 8π 15 Y 2,±2 ϑ, ϕ = 32π sin2 ϑe ±2iϕ 7

8 Seite 8 2 Matrixexponential und Drehungen Es sei H ein hermitescher Operator. Dann wissen wir, dass U = e ih unitär ist. Um U zu bestimmen, verwenden wir, analog zur Exponentialreihe e x = x n das sogenannte n! n= Matrixexponential: e A = n= wobei A n das n-fache "normale"matrixprodukt meint. Lässt sich nun A diagonalisieren jede hermitesche Matrix ist unitär diagonalisierbar!, so besteht die Hauptdiagonale aus den Eigenwerten und es gilt: 11 e A = exp a... a nn A n n! = was insbesondere in der Quantenmechanik von Bedeutung ist, z.b. wenn die hermitesche Matrix A = Ĥ der Hamiltonoperator ist. Dann nämlich entsprechen die Diagonalelemente von Ĥ den gesuchten Energieeigenwerten E n des Problems. Eine mögliche Anwendung des Matrixexponentials sind die Erzeugung von Drehungen, die wir uns jetzt anschauen wollen: Drehungen sind lineare Transformationen, die sich somit durch Matrizen mit Determinante 1 darstellen lassen. Da sie normerhaltend sind, lässt sich einfach zeigen, dass für eine Drehmatrix R gelten muss R t R = 1 spezielle orthogonale Matrizen!. Am intuitivsten ist wohl die Euler Parametrisierung, welche eine Drehung um die z- Achse um den Winkel θ wie folgt darstellt: R 3 3 z θ = e a e ann cos θ sin θ sin θ cos θ = Rz 2 2 θ 1 1 Insbesondere ist R z = 1 Analoges gilt und ähnliche Darstellungen ndet man für Drehungen um die x-/y-achse. Eine alternative und mathematisch vorteilhaftere! Darstellung von Drehungen um die Achse n und den Winkel ϕ bekommen wir mit Hilfe der Denitionen: ϕ = ϕ n, Λ = Λ 1 Λ 2 Λ 3, Λ i jk = ɛ ijk 1 1 Λ 1 = 1, Λ 2 =, Λ 3 =

9 Seite 9 Eine Drehung bekommen wir nun via: x Rϕ x Rϕ = e ϕ Λ 4 Die hermiteschen Operatoren iλ i sind die Erzeugenden Generatoren von Drehungen, da i Λ die Drehimpulsalgebra erfüllt: [i Λ i, i Λ j ] = ɛ ijk i 2 Λ k Drehungen der Ortswellenfunktion werden durch R erzeugt, wenn wir die Substitution i Λ L vornehmen zur genauen Herleitung, siehe Skript zur Vorlesung!. Der Operator DR = e i ϕ L ist normerhaltend, unitär und erfüllt innitesimal die Drehimpulsalgebra. Somit sind die Operatoren 1 L i Erzeugende von Drehungen analog zu den Operatoren 1 p i, welche Erzeugende von Translationen sind!. Ist nun ein quantenmechanischer Operator A invariant unter Drehungen, so gilt [ L, A] = und L und A sind simultan diagonalisierbar. Gilt nun A = H, so existieren nach dem Ehrenfest'schen Theorem simultane Eigenfunktionen von H, L 2 und L z, sofern das Potential V x invariant unter Drehungen ist für V = ist das trivial gegeben und somit ist die freie Schrödingergleichung ein einfacher Sonderfall!. 3 Das Wasserstoatom Wir betrachten jetzt die Schrödingergleichung für ein gebundenes Elektron d.h.: E < in einem radialsymmetrischen Potential V r = V r = Ze2, dem Coulombpotential. In Kugelkoordinaten lautet sie: r [ 2 r 2 ] + L2 2mr 2 r r 2mr Ze2 Ψ r = EΨ r 2 r Da gilt: [H, L z ] = [H, L 2 ] = [ L 2, L z ] = ist eine sinnvolle Basis gegeben durch E, l, m. Wir machen einen Separtionsansatz der Form: Ψ r = R El ry lm ϑ, ϕ. Mit der zusätzlichen Substitution R El r = u Elr r [ 2 d 2 u El ll Ze2 2m dr 2 2mr 2 r erhalten wir: ] u El r = Eu El r 9

10 Seite 1 Da die Wellenfunktion Ψ r normiert sein muss, gilt: ˆ ˆ ˆ 1 = r 2 drrelrr El r dωylmϑ, ϕy lm ϑ, ϕ = } {{ } =1 dru Elru El r Wir können also u El r als 1-dimensionale Wellenfunktion in dem eektiven Potential V eff r = Ze2 r + ll mr 2 interpretieren. Falls l kommt dadurch eine Drehimpulsbarriere zustande: V eff r Auÿer für s-zustände d.h.: l = ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen in der Nähe des Ursprungs anzutreen sehr klein. Dies ist auch der Grund dafür, dass nur s- Zustände eine Fermi-Kontaktwechselwirkung erfahre können. 3.1 Asymptotisches Verhalten Wir wollen jetzt die Funktion u El r bestimmen. Schauen wir uns zunächst das asymptotische Verhalten an: r : Für r dominiert der 1/r 2 -Term und die Dierntialgleichung reduziert sich auf: d 2 u El ll + 1 = u dr 2 r 2 El r 1

11 Seite 11 Die allgemeine Lösung lautet ur = Ar l+1 + Br l. Da die Wellenfunktion normierbar bleiben muss, kommt nur in Frage. u El r r l+1 r r : Für r reduziert sich unsere DGL auf: d 2 u El dr 2 = κ 2 u El κ 2 2mE 2 > Unsere Denition von κ macht Sinn, da wir von gebunden Zuständen dh E < sprechen. Die allgemeine Lösung dieser DGL ist ur = Ce κr + De κr. Zwecks Normierbarkeit kommt diesmal nur in Frage. u El r e κr r 3.2 Lösung und Hauptquantenzahl n Wir führen die folgenden dimensionslosen Gröÿen ein: ρ κr = 2m E r ρ 2 Ze2 κ E = Z e2 cκ c E = Zα 2mc 2 E Die Gröÿe α = e2 wird Feinstrukturkonstante genannt. Unter Beachtung von dρ = κdr c 2 wird die DGL nach Umformung zu: [ d 2 ll ρ ] dρ2 ρ 2 ρ 1 u El ρ = Zur Lösung machen wir einen Ansatz der Form u El ρ = ρ l+1 e ρ wρ der das bekannte asymptotische Verhalten berücksichtigt. Damit bekommen wir für wρ: ρ d2 wρ dρ 2 + 2l + 1 ρ dwρ dρ Wir machen einen Potenzreihenansatz der Form: wρ = + ρ 2l 2wρ = a k ρ k k= 11

12 Seite 12 Somit erhalten wir: ] [a k kk 1ρ k 1 + 2l + 1kρ k 1 a k + a k ρ 2l 2 2kρ k = k= Koezientenvergleich liefert: [ ] a k+1 [k + 1k + 2l + 1k + 1] + a k ρ 2l 2 2k ρ k = oder a k+1 a k = 2k + l + 1 ρ k + 2l + 2k + 1 Für groÿe k gilt dann: a k+1 2 a k k Das entspricht also ungefähr dem Verhältnis der Koezienten der Exponentialfunktion: e 2ρ 2ρ k = k! Damit wäre aber und somit wäre k= wρ e 2ρ r u El ρ e ρ r nicht normierbar! Nur wenn unsere Potenzreihe abbricht bekommen wir keine Schwierigkeiten! Betrachten wir die Rekursionsgleichung: a k+1 = 2k + l + 1 ρ k + 2l + 2k + 1 a k Wir sehen, dass ein N existieren muss, sodass 2N + l + 1 = ρ = Zα Das Problem ist nun prinzipiell gelöst. Wir denieren nun die Hauptquantenzahl n zu: Denition 2 2mc 2 E. n N + l + 1 = 1, 2, 3,... mit l =, 1,..., n 1 Damit gilt jetzt: [ ] 2mc 2 1/2 ρ = Zα = 2n E 12

13 Seite 13 und wir nden: Satz 4 Die Energieeigenwerte für das Wasserstoatom lauten: E n = 1 2 mc2 Z2 α 2 Da zu jedem n-wert l die Werte bis n 1 annehmen kann und für jeden l-wert m die Werte l bis l annehmen kann, ist jeder Energieeigenwert E n entartet und zwar n 1 2l + 1 = n 2 -fach. l= Die zugehörigen Eigenfunktionen in der Ortsbasis bezeichnen wir mit: n 2 Satz 5 Ψ nlm r = r nlm = R nl ry lm ϑ, ϕ Die normierten Radialwellenfunktionen erhalten wir durch Rücksubstitution in die Herleitung siehe Vorlesungsskript!. Sie lauten in der allgemeinen Form: Satz 6 [ ] n l 1!2κ R nl r = e κr 2κr l 3 1/2 L 2l+1 2nn + l! 3 n+l 2κr Hierbei verwenden wir die zugeordneten assoziierten Laguerre-Polynome : n l+1 L 2l+1 n+l 2κr = 1 2l+1 n + l! 2 k!k + 2l + 1!n l + k + 1! 2κrk k= Mit dem Bohr'schen Radius a B = a = a Z = 2 Zme 2 2 nden wir κ = Z me 2 na B und mit der Substitution lauten die ersten Radialwellenfunktionen explizit: R 1 r = 2a 3/2 e r a R 2 r = 22a 3/2 1 r 2a R 21 r = 1 r 2a 3/2 3 a e r 2a e r 2a R 3 r = 23a 3/2 1 2r 3a + 2r2 27a 2 R 31 r = a 3/2 r a R 32 r = a 3/2 r a 1 r 6a 2 e r 3a e r 3a e r 3a n = 1, l = : K-Schale, 1s-Orbital n = 2, l = : L-Schale, 2s-Orbital n = 2, l = 1 : L-Schale, 2p-Orbital n = 3, l = : M-Schale, 3s-Orbital n = 3, l = 1 : M-Schale, 3p-Orbital n = 3, l = 2 : M-Schale, 3d-Orbital 13

14 Seite 14 4 Spin Auÿer dem aus klassischen Systemen bekannten Bahndrehimpuls, besitzen quantenmechanische Objekte noch einen intrinsischen Drehimpuls, den Spin, ohne Entsprechung in klassischen Systemen. Wir fordern für die Gröÿe Spin, dass der korrespondierende Operator die gleiche Algebra erfüllt, die auch der Drehimpuls erfüllt 2. Dafür erinnern wir uns daran, dass ein Drehimpulsoperator L folgende Relationen erfüllt: [L i, L j ] = ɛ ijk i L k L 2 ψ = 2 ll + 1 ψ 5 m l = l,..., l 4.1 Spin 1 Nun wollen wir einen Operator S v konstruieren, der Spin 1 beschreibt s v = 1 m sv = 1,, 1. Das bedeutet nun, dass gelten muss: [S vi, S vj ] = ɛ ijk i S vk S 2 v ψ = 2 2 ψ Dies wird, was leicht nachgerechnet werden kann, erfüllt durch den Operator: S v = i Λ mit den Einträgen, deniert in 3. Durch nachrechnen veriziert man leicht, dass, wie gefordert, die Eigenwerte zu S vz = i Λ 3 gegeben sind durch 1,, 1. Physikalisch realisiert wird Spin 1 von sogenannten Vektor-Teilchen z.b. dem Photon, den Eichbosonen Z, W ± oder dem ρ-meson 3, was den Index v rechtfertigt. 4.2 Spin Teilchen mit Spin sind Skalare, wie z.b. das Higgs-Boson. Ihr Spin-Operator ist trivialer weise gegeben durch: S s = 1 S 2 s ψ = 2 ψ 2 Dies liegt daran, dass Drehimpuls und Spin aus der Sicht des Noether-Theorems den gleichen Ursprung haben, nämlich die Invarianz physikalischer Systeme unter globalen Lorentz- Transformationen. 3 Diese Teilchen heiÿen Vektor-Teilchen, da sie unter globalen Lorentz-Transformationen wie Vektoren transformieren. 14

15 Seite 15 was, wie gefordert, bedeutet s s = m ss = Spin 1 2 Im für uns wichtigen Fall besitzt ein Teilchen 2 Spinzustände, die wir mit Spin-up + und Spin-down bezeichnen. Dies bedeutet, in Anlehnung an obige Diskussion, s = 1 m 2 s = ± 1. Somit haben wir zwei Freiheitsgrade und können die Observablen 2 S x, S y und S z des Spinvektors S dementsprechend durch drei 2 2-Matrizen darstellen, welche die geforderten Relationen 5 erfüllen Formalismus Die Observable S z besitzt also die zwei Eigenwerte und +. Die zugehörigen orthogonalen Eigenvektoren werden mit + und bezeichnet. Falls wir unseren Spin- 2 2 Operator als 2 2-Matrix darstellen wollen, lauten die Eigenvektoren: + = 1 = 1 Ein allgemeiner Spinor ist im eine Superposition der beiden orthogonalen Eigenzustände, d.h. χ = = c c 2 mit der Normierungsbedingung c c 2 2 = c1 1, c 2 wobei die Koezienten komplex sind. Somit schreibt sich S z zu: S z = Satz 7 Als eine Form des Drehimpulses gelten/ fordern wir für den Spin die Vertauschungsrelationen [S i, S j ] = ɛ ijk i S k Damit können wir uns jetzt auch eine Darstellung für S x und S y konstruieren. Dies kann zum Beispiel durch des Auf-/Absteiger-Formalismus geschehen. Man erhält: S x = 1 S 2 1 y = i 2 i 4 Der Name entspringt wieder aus dem Verhalten unter globalen Lorentz-Transformationen. Es sei noch angemerkt, dass das Verschwinden des Kommutators [S si = 1, S sj = 1] = ɛ ijk S sk = 1 = trivial gegeben ist, da i = j = k die 1 hat keine Indizes! dafür sorgt, dass ɛ ijk ɛ iii =. 5 Im Skalaren-Fall hatten wir einen Freiheitsgrad und somit eine 1 1-Matrix, gegeben durch die triviale 1 und im Vektor-Fall hatten wir drei Freiheitsgrade und somit eine Darstellung mit drei 3 3-Matrizen, gegeben durch die Λ i. 15

16 Seite 16 Das lässt sich mit den Pauli-Matrizen kompakt schreiben als: S = 2 σ wobei σ = σ x, σ y, σ z t mit σ x = 1, σ 1 y = i 1, σ i z = 1 Für die Pauli-Matrizen gilt: σ 2 x = σ 2 y = σ 2 z = 1 [σ i, σ j ] = 2iɛ ijk σ k {σ i, σ j } = 2δ ij {tr}σ i = {det}σ i = 1 σ i σ j = δ ij + ɛ ijk σ k Wir sehen also, dass: S 2 = In Analogie zum Drehimpuls können wir auch für den Spin Auf-/Absteiger konstruieren, deren Wirkung auf einen Zustand dem der Drehimpuls Auf-/Absteiger entspricht siehe 1 und 2!: S ± = S x ± is y S ± s, m s = s m s s ± m s + 1 s, m s Transformation von Spinoren unter Drehungen Wir suchen die Eigenzustände von Spinprojektionen bezüglich beliebiger Raumrichtungen. Bisher haben wir nur diese in z-richtung kennengelernt das waren + und bzgl. σ z. Wir bezeichnen nun mit Ω, ± die gesuchten Zustände. Dabei gibt Ω eine beliebige Richtung im Ortsraum an und wir verwenden die Parametrisierung: sin ϑ cos ϕ Ω = sin ϑ sin ϕ cos ϑ Die zu erfüllende Eigenwertgleichung lautet somit: S Ω Ω, ± = ± 2 Ω, ± σ Ω Ω, ± = ± Ω, ± 16

17 Seite 17 Es liegt nun nahe, beliebige Eigenzustände mittels Drehungen zu generieren, wobei wir die Basis { +, } des Spinorraums C 2 festhalten. Allgemein wird durch Angabe einer normierten Richtung n mit einem Winkel ϑ eine Drehung im Ortsraum vollständig festgelegt. Dies übersetzt sich in eine entsprechende Drehung im Spinorraum, wo Drehungen Elemente der SU2 sind und analog zum SO3-Fall Drehungen im Ortsraum, siehe 4! wie folgt parametrisiert werden 6 D n θ = e i θ n S = e i θ 2 n σ Starten wir am Nord- oder Südpol festgelegt durch unsere ursprüngliche Quantisierungsachse, also die z-achse, so können wir mit einer Drehung um die z-achse um den Winkel ϕ und einer anschlieÿenden Drehung um die y-achse um den Winkel θ jeden Punkt auf der Oberäche der Einheitssphäre erreichen. Das übersetzt sich im Spinorraum zu einer unitären Drehmatrix D z ϕ D y θ =: D Ω. Damit können wir die Lösung formulieren: Satz 8 Winkel θ und ϕ sind gegeben durch: Die Eigenzustände eines Spin- 1 2 Teilchens in einer beliebigen Raumrichtung Ω, ± = D Ω ± mit der unitären 2 2-Drehmatrix: D Ω cos θ = 2 e i ϕ 2 sin θ 2 e i ϕ 2 sin θ 2 e +i ϕ 2 cos θ 2 e +i ϕ 2 Alternativ kann das Resultat durch Einsetzen in die Eigenwertgleichung auch einfach nachgerechnet werden. Wir fassen zusammen: Drehen wir im Ortsraum die Quantisierungsachse in dem wir z.b. die Richtung des Gradienten des inhomogenen Magnetfeldes im Stern- Gerlach-Experiment verändern, so müssen wir gleichzeitig eine Drehung im Spinorraum ausführen, um die korrekten Eigenzustände der Spinprojektion bzgl. der neuen Achse zu erhalten Das Stern-Gerlach-Experiment Das magnetische Moment eines geladenen Teilchens der Masse m mit Drehimpuls L beträgt klassisch: µ e L 2mc 6 Es gibt jedoch einen wichtigen Unterschied: SO3-Rotationen um 2π lassen die Wellenfunktion invariant. SU2-Rotationen um 2π transformieren α α. Erst eine Rotation um 4π lässt einen Spinor invariant! Dies liegt darin begründet, dass SO3 und SU2 nicht isomorph zueinander sind. Es gilt für die Lie-Gruppen: SO3 = SU2/Z 2. Für die zugehörigen Lie-Algebren jedoch gilt die Isomorphie: so3 = su2! 17

18 Seite 18 Die potentielle Energie E pot eines Teilchens mit dem magnetischen Moment µ in einem Magnetfeld B beträgt: µ B Wenn wir ein inhomogenes Magnetfeld annehmen, wird das Potential µ B ortsabhängig. Durch solch ein inhomogenes Magnetfeld schicken wir nun einen Strahl aus Silberatomen: Eine Wechselwirkung der Atome mit dem Magnetfeld kann nun entweder durch das magnetische Moment des Kerns, oder das der Elektronen geschehen. Das magnetische Moment des Kerns ist aber vernachlässigbar da er viel schwerer ist als die Elektronen und die Masse im Nenner das magnetische Moment sehr klein werden lässt. Von den Elektronen spielt nur das 5s-Elektron eine Rolle. Die Momente der restlichen Elektronen heben sich gerade auf abgeschlossene Schalen/Orbitale tragen nicht zu den Quantenzahlen des Atoms bei!. Für die Quantenzahl l der 5s-Elektronen gilt aber l = und sie besitzen somit keinen Bahndrehimpuls! Klassisch würden wir erwarten, dass das magnetische Moment der Elektronen deshalb null ist und der Strahl somit geradlinig durch unser Magnetfeld iegt. Allerdings wird gerade dies nicht beobachtet! Die beobachteten 2 diskreten Werte von µ z können durch Einführung eines intrinsischen halbzahligen Eigendrehimpulses, dem Spin, erklärt werden. Dieser ist ebenfalls mit einem magnetischen Moment verknüpft und koppelt somit an das Magnetfeld. Der Spin besitzt kein klassisches Analogon und ist somit ein komplett neues Quantenphänomen. 4.4 Addition von Drehimpulsen Zum Schluss werden wir die Addition Kopplung von Drehimpulsen kurz skizzieren. Dies ist wichtig, da z.b. Elektronen in Atomen sowohl einen Bahndrehimpuls als auch einen Spin besitzen. Betrachten wir nun zwei beliebige Drehimpulse J 1 und J 2 und damit zwei verschiedene Hilberträume mit ihren jeweiligen Eigenzuständen j i, m i, i = 1, 2. Denieren wir nun einen Gesamtdrehimpuls J = J 1 + J 2 so kann der dazugehörige Gesamthilbertraum durch die Produktzustände j 1, m 1 j 2, m 2 aufgespannt werden 7. Da J 1 und J 2 vertauschbar sind, erfüllt der so denierte Gesamtdrehimpuls J die Drehimpulsalgebra, d.h. [J i, J j ] = ɛ ijk i J k so wie es sein sollte!. Damit sind die möglichen Eigenwerte von J 2 und J z bereits festgelegt. Gesucht sind noch die zugehörigen Eigenzustände, ausgedrückt in der oben erwähnten Produktbasis. Es kann nun gezeigt werden, dass insgesamt J 2, J z, J 2 1 und J 2 2 untereinander kommutieren. Deshalb identizieren wir die Eigenzustände mit j 1, j 2, j, m. Es muss an dieser Stelle betont werden, dass m 1z und m 2z im Allgemeinen keine guten Quantenzahlen mehr sind! 7 Die zugrunde liegende Struktur ist als Tensorraum bekannt. Die Vorlesung erlaubt aus Zeitgründen jedoch nicht hierauf tiefer einzugehen. Auftretende Fragen können hierzu gerne in den Übungen gestellt werden. 18

19 Seite 19 Ein wesentliches Resultat ist nun, dass für gegebene j 1 und j 2 für den Gesamtdrehimpuls die Werte j 1 j 2 j j 1 + j 2 möglich sind und wie erwartet gilt auch m { j,..., j}. Beispiel 2 Kopplung zweier 1 -Spins zu Singlet S = und Triplet S = 1: 2 Hier liegt es nahe, den Gesamtdrehimpuls als Gesamtspin S = S 1 + S 2 zu bezeichnen. In knapper aber übersichtlicher Notation S, m S erhalten wir: S = Singlet :, = 1 2 +,, + S = 1 Triplet : 1, 1 = +, + 1, = 1 +, +, + 2 1, 1 =, Dabei ist zu erkennen, dass der Singlet-Zustand antisymmetrisch und die Triplet- Zustände symmetrisch sind. 19

20 Seite 2 Beispiel 3 Kopplung von Spin- 1 und Drehimpuls: 2 Wir schreiben die Spineigenzustande als: mit: s, m s = 1 2, ±1 2 S 2 1 2, ±1 2 = , ±1 2 S z 1 2, ±1 2 = ± 2 1 2, ±1 2 Der Produktzustand aus Ort und Spin, sowie die Wellenfunktion ist dann gegeben durch: x 1 2, ±1 2 = x; 1 2, ±1 2 ψ ± x = x; 1 2, ±1 2 ψ = n,l,m x; 1 2, ±1 2 n; l, m; 1 2, ±1 2 n; l, m; 1 2, ±1 2 ψ = n,l,m ψ n,l,m x n; l, m; 1 2, ±1 2 ψ Nun entwickeln wir hier in einer physikalisch ungünstigen Basis l, m; s, m s. Sinnvoll wäre eine Entwicklung in der Basis j, m j, l, s. Die beim Basiswechsel auftretenden Entwicklungskoezienten l, m; s, m s j, m j, l, s nennt man Clebsch-Gordan Koezienten. Sie können - je nach Problem mit mehr oder weniger Aufwand - berechnet werden und sind für praktische Anwendungen tabelliert. 2