Beispiel Wahlentscheidungen: Vierstufenmodell der Verkehrsplanung

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1 Beispiel Wahlentscheidungen: Vierstufenmodell der Verkehrsplanung Simultanes Verfahren Verkehrs erzeugung Aktivitätenwahl Verkehrs erzeugung Verkehrs verteilung Verkehrs verteilung Wege/Zielwahl Verkehrs aufteilung Verkehrsmittel wahl Verkehrs aufteilung Verkehrs umlegung Routenwahl Verkehrs Umlegung Ziel j Start i V ij Einteilung in Verkehrsbezirke Quell und Zielverkehr Verkehrsstrom matrix verkehrsmittelfeine Verkehrsstrom matrix Strecken belastung im Verkehrsnetz Quell und Zielverkehr Verkehrsstrommatrix Verkehrsmittelwahl Streckenbelastung im Verkehrsnetz

2 Entscheidung bei zwei Alternativen Kosten K MIV(t 2 ) fallender Nutzen MIV(t ) MIV(t ) ÖV komplexe Reisezeit T

3 Zufallsnutzen: Die Entscheidung wird unsicher P(ÖV gewählt) t 2 Einzelentscheidung Kollektivebene/ Zufallsnutzen t t,,2,4 Kosten K MIV (Euro) Auf Individualebene lautet die Entscheidung nur ja () oder Nein (); Auf Kollektivebene bzw. bei Zufallselementen in der Nutzenfunktion ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit zwischen und.

4 Komponenten von Modellen der diskreten Wahltheorie Exogene Variable ("Charakteristika") ( Kompl. Reisezeiten T ni Kosten K ni Geschlecht g τ i Alter i... ) Alternativenmenge A i Menge der verfügbaren Verkehrsmittel Teilmodell "Nutzenfunktionen". "independent identically distributed" Zahl I der Alternativen ε ni binäres Probit Modell Teilmodell "Zufallsnutzen" ~ Gauß Probit Modelle Deterministischer Nutzen V ni Gesamtnutzen U ni = V ni + ε ni ε ni ~ i.i.d Gumbel Logit Modelle I=2 I>2 I=2 I>2 multinomiales binäres Probit Modell Logit Modell ε ni ~ korreliert Gumbel ε ni ~ korreliert beliebig multinomiales Logit Modell Nested Logit Modell GEV Modell..

5 Dichten und Verteilungsfunktion der Gaußverteilung f Gauss Dichtefunktion f (ε)=f 2 (ε) Faltung (f *f 2 )(ε) Zufallsnutzen ε Auswahlwahrscheinlichkeit P P Verteilungsfunktion F Mittlere Nutzendifferenz V V 2 (Einheiten σ ε ) Probit-Modell: Links: Dichte der normalverteilten Zufallsnutzen ǫ und ǫ 2 sowie die Dichte der Nutzendifferenz ǫ. Rechts: Verteilungsfunktion der Zufallsnutzen und resultierende Auswahlwahrscheinlichkeit für Alternative in Abhängigkeit der deterministischen Nutzendifferenz V V 2.

6 Dichtefunktionen von Gumbelverteilungen fgumbel(x,,) fgumbel(x,,2) fgumbel(x,,).5 f Gu (x) x

7 Multinomiales Probitmodell Auswahlwahrscheinlichkeit P I=2 I=3 I=5 I= I= V V i (Einheiten σ) Multinomiales Probitmodell mit gleichen Nutzen V k für k 2 als Funktion der Nutzendifferenz V V k.

8 Gumbelverteilung als Grenzverteilung I F(x) f(x) X Gu(ln, max(x,x 2 ) Gu(ln 2, max(x,..., X 2 ) Gu(ln 2, max(x,..., X ).2 X max(x,x 2 ) max(x,..., X 2 ) max(x,..., X ) Gu(ln K, ) x x

9 Gumbelverteilung als Grenzverteilung II F(x).8.6 f(x) X max(x,x 2 ) max(x,..., X 2 ) max(x,..,x ) Gu(ln K, ) X max(x,x 2 ) max(x,..., X 2 ) max(x,.., X ) Gu(ln K, ) x x Hier ist das Maximum von Zufallsvariablen gezeigt, welche im Interval.98 x.5 gleichverteilt sind (konstante Dichte) und erst danach exponentiell (Exponent λ = ) abfallen.

10 Auswahlwahrscheinlichkeiten der MNL und MNP Modelle Auswahlwahrscheinlichkeit P Logit, I=2 Probit, I=2 Logit, I=4 Probit, I=4 Logit, I= Probit, I= Logit, I=5 Probit, I= V V i (Einheiten σ) Multinomial-Logitmodell mit gleichen Nutzen V k für k 2 als Funktion der Nutzendifferenz V V k. Zum Vergleich sind für zwei Fälle auch die Probit-Wahrscheinlichkeiten geplottet.

11 Auswahlwahrscheinlichkeiten in den trinomialen Probit- und Logitmodellen V 2 V 3 (Einheiten σ ε ) V V 3 (Einheiten σ ε ) P V 2 V 3 (Einheiten σ ε ) V 3 = P V V 3 (Einheiten σ ε ) Bei auf die Zufallsnutzen-Standardabweichung skalierten Nutzenfunktionen gibt es bei beiden Modellen kaum Unterschiede zwischen Probit (links) und Logit (rechts)!

12 Parameterschätzung bei binomialen Logit-und Probitmodellen β 2 β β β 22 Beispiel der Übung 2/ Nr. 7: Nahezu identische Schätzer bei beiden Modellen (falls man die Nutzenfunktionen auf eine Zufallsnutzen-Standardabweichung σ ǫ skaliert). Wieder Probit (links) und Logit (rechts)

13 Parameterschätzung bei trinomialen Logit-und Probitmodellen β β β β 26 Analoges gilt für den trinomialen Fall (die nichtmotorisierten Alternativen wurden in Fuß und Rad aufgespalten).

14 Ausführliches Beispiel für den binomialen Fall: Auswertung einer Umfrage in der Vorlesung Klasse i Klassenmitte r i h i (Fuß/Rad) h 2i (ÖPNV/Kfz) i = : -2 km.km i = 2: 2-5 km 3.5km i = 3: 5- km 7.5km 2 3 i = 4: -2 km 5.km 6 6 n i Deterministische Nutzenfunktion: V ki (β,β 2 ) = (β r i +β 2)δ k.

15 Ergebnisse I: Likelihood-Funktion des binomialen Logit-Modells Likelihood β.5 Der Quotient L(β,β 2 )/L max, welcher direkt die zweidimensionale Dichtefunktion der tatsächlichen Parameterwerte angibt. Der Rand der Konfidenzregion bezüglich des Trivialmodells V ki = zur Fehlerwahrscheinlichkeit α = 5% entspricht einer Log-Likelihood-Differenz von /2χ 2 2, α 3, also L(β,β 2 )/L max = e 3 (dick umrandet) β

16 Ergebnisse II: Log-Likelihood 2.5 Log Likelihood β ln (L) β 45 5 Log-Likelihood l(β,β 2 ) um den Punkt (β =.328, β 2 =.997) der geschätzten Modellparameter

17 Ergebnisse IIa: Log-Likelihood bei mehr Daten β 2 ln (L) β 4 Alle Teilnehmerzahlen um den Faktor erhöht bei gleichen relativen Häufigkeiten

18 Ergebnisse III: Aussage des binomialen Logit-Modells Anteilswerte k= (Fu3+Rad) Alternative (Fu3+Rad) Alternative 2 (OV+MIV) Daten (Fu3+Rad) Daten (OV+MIV) Reiseweite (km) Vergleich des kalibrierten Modells (β =.353, β 2 =.975) mit den Daten. Dargestellt ist die Modellvorhersage (Kurven) mit den entsprechenden relativen Häufigkeiten f k i = h ki /n i für k = und k = 2.

19 Ergebnisse IV: Sensitivität gegenüber Datenänderungen Anteilswerte k= (Fu3+Rad) Alternative (Fu3+Rad) Alternative 2 (OV+MIV) Daten (Fu3+Rad) Daten (OV+MIV) Reiseweite (km) Sachverhalt wie in vorhergehender Abbildung, aber mit dem Entfernungsmittel x 2 = 3km statt 3.5km. Die dazugehörigen kalibrierten Werte sind β =.354 und β2 =.897.

20 Ausführliches Beispiel für den multinomialen Fall: Detailliertere Auswertung der Umfrage Klasse Modus k = (Fuß) k = 2 (Rad) k = 3 (ÖPNV) k = 4 (Kfz) i = : -2 km, kein Rad 2 3 i = 2: -2 km, Rad 5 i = 3: 2-6 km, kein Rad 2 i = 4: 2-6 km, Rad 7 6 i = 5: 6- km i = 6: -2 km 5 Deterministische Nutzenfunktion: V ki (β) = β r i δ k +β 2 r i δ k2 +β 3 r i δ k3 +β 4 δ k +β 5 δ k2 +β 6 δ k3 +δ k2 { i hat Rad 6 i hat kein Rad.

21 Anteilswerte Multinomiales Beispiel: MNL-Ergebnis Fuß Rad ÖPNV MIV Reiseweite (km) Nutzenfunktion: V ki (β) = β r i δ k +β 2 r i δ k2 +β 3 r i δ k3 +β 4 δ k +β 5 δ k2 +β 6 δ k3 +Radlos-Strafkosten Geschätzte Werte: β =.4, β 2 =.5, β 3 =.27, β 4 = 3.2, β 5 = 3.25, β 6 = 2.72.

22 Nested-Logit Modell am Beispiel Shopping Person T Emma,ÖV (min) T Emma,MIV (min) T Zentr,ÖV (min) T Zentr,MIV (min) Wahl l =Emma 2=Zentr. Wahlm =ÖV 2=MIV Eine geschachtelte Revealed Choice-Befragung: Übergeordnete Entscheidung eines Ladentyps Bedingte Verkehrsmittelwahl

23 Nichtlineare Nutzenfunktion I: Schwelle: Daten Personenklasse Zeit Alternative (min) Zeit Alternative 2 (min) Wahl Alt. Wahl Alt

24 Nichtlineare Nutzenfunktion I: Schwelle: Modellierung ln L Prob(Alt ) Modell Daten β 4 (Schwellenbreite [Minuten]) T T 2 [min] β 3 (Schwellenhöhe [Minuten]) ( )] Tn V n V n2 = β +β 2 [ T n +β 3 tanh β 4 ˆβ =.43±.236, ˆβ2 =.29±.38, ˆβ3 = 5±8, ˆβ4 = 4±2.

25 Nichtlineare Nutzenfunktion II: Erhöhte ssensitivität: Daten Personenklasse Zeit Alternative (min) Zeit Alternative 2 (min) Wahl Alt. Wahl Alt

26 Nichtlineare Nutzenfunktion II: Erhöhte Sensitivität: Modell ln L Prob(Alt ) Modell Daten T T 2 [min] β 4 (Schwellenbreite [Minuten]) β 3 (Schwellenhöhe [Minuten]) ( )] Tn V n V n2 = β +β 2 [ T n +β 3 tanh β 4 ˆβ =.8±.25, ˆβ2 =.5±., ˆβ3 = 27±, ˆβ4 = ±6.

27 Nichtlineare Nutzenfunktion II: Test weitere Modelle.8 Modell Data V V2=beta+beta2*[dT *tanh(dt/beta4)].8 Modell Daten V V2=beta+beta2*[dT beta3*tanh(dt/)] Prob(Alt ).6.4 Prob(Alt ) Modell M Modell M T T 2 [min] T T 2 [min] Modell Daten Modell Daten.8 V V2=beta+beta2*dT+beta3*dT*abs(dT).8 V V2=beta+beta2*dT Prob(Alt ).6.4 Prob(Alt ) Modell M 3.2 Modell M T T 2 [min] T T 2 [min]

28 Log-Likelihoods des Nested-Logit-Beispiels β β β β 3 5 Log-Likelihood der bedingten Entscheidung (Wahl des Verkehrsmittels) Log-Likelihood der übergeordneten Entscheidung (Wahl des Ladentyps)

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