Biostatistik, Sommer 2017
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- Alma Buchholz
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1 1/57 Biostatistik, Sommer 2017 : Gepaarter, Ungepaarter t-test, Welch Test Prof. Dr. Achim Klenke Vorlesung:
2 2/57 Inhalt 1 Gepaarter t-test Ungepaarter t-test Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Vergleich: Gepaarter vs ungepaarter t-test
3 3/57 Grundproblem Gepaarter t-test Bei n Individuen soll eine Messgröße x unter zwei Versuchsbedingungen gemessen werden. Unterscheiden sich die Mittelwerte der Messungen?
4 4/57 Modellierung Gepaarter t-test Unter Versuchsbedingung 1 sind die Messwerte x (1) 1,..., x (1) n unabhängig mit Erwartungswert µ 1. Unter Versuchsbedingung 2 sind die Messwerte x (2) 1,..., x (2) n unabhängig mit Erwartungswert µ 2. Annahme (Hoffnung!!!): Die Differenzen x (2) 1 x (1) 1,..., x (2) n x (1) n sind (ungefähr) normalverteilt mit unbekannter Varianz σ 2 (und Erwartungswert µ 2 µ 1 ). Nullhypothese (H 0 ): µ 1 = µ 2. Alternative (H 1 ): µ 1 µ 2 (beidseitig) µ 1 < µ 2 (rechtsseitig) µ 1 > µ 2 (linksseitig).
5 5/57 Verfahren Gepaarter t-test Unter der Nullhypothese sind die Differenzen x k = x (2) k x (1) k unabhängig und normalverteilt mit unbekannter Varianz σ 2 und Erwartungswert µ = µ 2 µ 1 = 0. Also verfahren wir jetzt wie im bekannten t-test: Teststatistik T (x) = x s n 1 / n, wobei ist und x = 1 n n x k = 1 n k=1 s 2 n 1 = 1 n 1 n k=1 (x (2) k x (1) k ) n (x k x) 2. k=1
6 6/57 Gepaarter t-test Linksseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 < µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t n 1;1 α. p-wert p(x) = t n 1 (T (x)) = 1 t n 1 ( T (x)). t n 1 Verteilungsfunktion der t n 1 -Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2 - x1, alternative = "less")
7 7/57 Gepaarter t-test Rechtsseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 > µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t n 1;1 α. p-wert p(x) = t n 1 ( T (x)) = 1 t n 1 (T (x)). t n 1 Verteilungsfunktion der t n 1 -Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2 - x1, alternative = "greater")
8 8/57 Gepaarter t-test Beidseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t n 1;1 α/2. p-wert p(x) = 2(1 t n 1 ( T (x) )). t n 1 Verteilungsfunktion der t n 1 -Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2 - x1, alternative = "two.sided")
9 9/57 Gepaarter t-test Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Zugvögel werden einer Beleuchtung mit bestimmter Farbe (grün oder blau) ausgesetzt. Ist die Genauigkeit der Orientierung (magnetischer Kompass) abhängig von der Farbe? Nullhypothese: Alternative: Nein. Doch.
10 10/57 Gepaarter t-test Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Versuchsanordnung Es werden n = 17 Trauerschnäpper in Käfigen einer Beleuchtung mit blauem Licht ausgesetzt (Versuchsbedingung 1) und jeweils in mehreren Durchgängen ihre Flugrichtung ermittelt. Die Flugrichtung wird als Punkt auf einem Kreis dargestellt. Aus allen Punkten auf dem Kreis wird der Schwerpunktvektor ermittelt. Danach der gleiche Versuch mit grünem Licht (Bedingung 2).
11 11/57 Gepaarter t-test Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Bestimmung des Schwerpunktvektors Je variabler die Richtungen, desto kürzer der Pfeil!
12 12/57 Gepaarter t-test Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Ansatz des Tests Für jeden Vogel i = 1,..., 17 bezeichnen wir mit x (1) i die Länge des Schwerpunktvektors bei blauem Licht und mit x (2) i die Länge des Schwerpunktvektors bei grünem Licht. x i = x (2) i x (1) i. Festlegung des Niveaus: α = 5%. Schwerpunktvektoren sind Mittelwerte vieler zufälliger Beobachtungen, also etwa normalverteilt (zentraler Grenzwertsatz). Also: Gepaarter t-test mit beidseitiger Alternative und Niveau 5%. Verwerfe H 0, falls T (x) > t n 1;1 α/2 = t 16;0.975 = 2.12.
13 13/57 Gepaarter t-test Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Daten und Durchführung Differenzen x i : Mittelwert und Streuung: x = s n 1 = x t-statistik T (x) = s n 1 / n = / Also ist T (x) = 2.34 > 2.12 = t 16; p-wert: p(x) = 2(1 t n 1 ( T (x) )) = 2(1 t 16 (2.34)) = 2( ) =
14 14/57 Gepaarter t-test Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Fazit Mit Hilfe des zweiseitigen gepaarten t-tests können die Hypothese, dass die Farbe des Lichtes keine Rolle für die Orientierungsgenauigkeit der Trauerschnäpper spielt, zum Niveau 5% verwerfen. Der p-wert beträgt 3.4%.
15 15/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions (c): public domain
16 16/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Die Daten 77 Backenzähne gefunden in den Chiwondo Beds, Malawi, jetzt in den Sammlungen des Hessischen Landesmuseums, Darmstadt
17 17/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Zuordnung Die Zähne wurden zwei Arten zugeordnet: Hipparion africanum 4 Mio. Jahre, 39 Zähne Hipparion libycum 2,5 Mio. Jahre, 38 Zähne
18 18/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Geologischer Hintergrund Vor 2,8 Mio. Jahren kühlte sich das Klima weltweit ab. Das Klima in Ostafrika: warm-feucht kühl-trocken Hipparion: Laubfresser Grasfresser
19 19/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Frage Hipparion: Laubfresser Grasfresser andere Nahrung andere Zähne? Messungen: mesiodistale Länge Lässt sich die Nullhypothese, dass die Zähne gleich sind, zum Niveau 1% verwerfen?
20 20/57 Die Theorie Ungepaarter t-test Annahme: Wir haben zwei unabhängige Stichproben x 1,1,..., x 1,n1 und x 2,1,..., x 2,n2. Die x 1,i stammen aus einer Normalverteilung mit (unbekanntem) Mittelwert µ 1 und unbekannter Varianz σ 2 > 0, die x 2,i aus einer Normalverteilung mit (unbekanntem) Mittelwert µ 2 und derselben Varianz σ 2.
21 21/57 Die Theorie Ungepaarter t-test Seien x 1 = 1 n 1 x 1,i und x 2 = 1 n 2 n 1 n 2 i=1 die jeweiligen Stichprobenmittelwerte, s 1 = 1 n 1 (x 1,i x 1 ) n 1 1 2, i=1 i=1 s 2 = 1 n 2 (x 2,i x 2 ) n 2 1 2, i=1 die (korrigierten) Stichprobenstreuungen. x 2,i
22 Die Theorie Ungepaarter t-test Wir möchten die Hypothese H 0 : µ 1 = µ 2 prüfen. Wenn µ 1 = µ 2 gilt, so sollte x 1 = x 2 bis auf Zufallsschwankungen gelten, denn E[x 1 ] = µ 1, E[x 2 ] = µ 2. Was ist die Skala der typischen Schwankungen von x 2 x 1? Var(x 1 x 2 ) = σ 2( 1 n n 2 ) Problem (wie bereits im ein-stichproben-fall): Wir kennen σ 2 nicht. Wir schätzen es im zwei-stichproben-fall durch die gepoolte Stichprobenvarianz s 2 = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 und bilden die Teststatistik T (x) = x 2 x 1. 1 s n n 2 22/57
23 23/57 Die Theorie Ungepaarter t-test Wenn µ 1 = µ 2 gilt, so ist t n1 +n 2 2-verteilt. T (x) = x 2 x 1 s 1 n n 2
24 24/57 Ungepaarter t-test Die Theorie Linksseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 < µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t n1 +n 2 2;1 α. p-wert p(x) = t n1 +n 2 2(T (x)) = 1 t n1 +n 2 2( T (x)). t n1 +n 2 2 Verteilungsfunktion der t n1 +n 2 2-Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2, x1, var = TRUE, alternative = "less")
25 25/57 Ungepaarter t-test Die Theorie Rechtsseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 > µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t n1 +n 2 2;1 α. p-wert p(x) = t n1 +n 2 2( T (x)) = 1 t n1 +n 2 2(T (x)). t n1 +n 2 2 Verteilungsfunktion der t n1 +n 2 2-Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2, x1, var = TRUE, alternative = "greater")
26 26/57 Ungepaarter t-test Die Theorie Beidseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t n1 +n 2 2;1 α/2. p-wert p(x) = 2(1 t n1 +n 2 2( T (x) )). t n1 +n 2 2 Verteilungsfunktion der t n1 +n 2 2-Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2, x1, var = TRUE, alternative = "two.sided")
27 27/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Die Daten als Tabelle Africanum Libycum
28 28/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Die Daten als Grafik H. libycum H. africanum x A = 25.9, s A = 2.2 x A s A x A + s A x L = 28.4, s L = 4.3 x L s L x L + s L mesiodistale Länge [mm]
29 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Die Daten n A = 39, x A = 25.9, s A = 2.2 n L = 38, x L = 28.4, s L = 4.3 Gepoolte Stichprobenstreuung (n A 1)sA 2 s = + (n L 1)sL 2 n A + n L = 2 = Es folgt T (x) = x L x A = 1 s n A /39 + 1/38 = n L 29/57
30 30/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Durchführung des Tests Nullhypothese µ 1 = µ 2, Alternative µ 1 µ 2 (beidseitig). Test verwirft zum Niveau α = 1%, wenn T (x) > t na +n L 2;1 α/2 = t 75; Tatsächliche Daten: T (x) = 3.22 > p-wert p(x) = 2(1 t na +n L 2( T (x) )) = 2(1 t 75 (3.22)) = 2( ) = Diesen p-wert sollte man nicht glauben, weil die Modellanahmen zu optimistisch waren.
31 31/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Fazit Der ungepaarte Zweistichproben-t-Test verwirft die Nullhypothese, dass die mesiodistale Länge der Backenzähne bei Hipparion africanum und Hipparion libycum gleichen Erwartungswert hätten, zu Gunsten der zweiseitigen Alternative zum Niveau 1%.
32 32/57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Rechnung mit R / Dateneingabe > africanum <- c( 30.0, 24.0, 26.0, 23.0, 23.0, 23.0, 29.0, 29.0, 26.5, 24.0, 24.5, 23.0, 27.0, 27.0, 27.0, 27.0, 27.0, 25.0, 24.5, 26.0, 27.0, 26.0, 25.0, 23.0, 23.5, 24.0, 25.0, 27.0, 25.0, 24.0, 26.5, 24.0, 28.5, 31.0, 28.0, 31.0, 27.5, 24.0, 25.0) > libycum <- c( 23.0, 25.0, 30.0, 26.0, 28.5, 28.5, 25.5, 24.0, 35.0, 23.0, 25.0, 27.0, 26.0, 26.0, 40.0, 32.0, 33.0, 30.0, 26.0, 35.0, 24.0, 32.5, 25.0, 26.0, 27.0, 30.0, 36.0, 25.0, 34.0, 29.0, 22.0, 26.0, 37.0, 25.5, 29.0, 30.5, 26.5, 27.0)
33 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Rechnung mit R / Statistik und p-wert > sa <- sd(africanum) > sl <- sd(libycum) > (na <- length(africanum)) [1] 39 > (nl <- length(libycum)) [1] 38 > (xa.quer <- mean(africanum)) [1] > (xl.quer <- mean(libycum)) [1] > (s <- sqrt(((na-1)*sa 2+(nl-1)*sl 2)/(na+nl-2))) [1] > (t <- (xl.quer - xa.quer)/(s*sqrt(1/na + 1/nl))) [1] > (p.wert <- 2*(1-pt(df=75, t))) [1] /57
34 data: libycum and africanum t = , df = 75, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y /57 Ungepaarter t-test Beispiel: Backenzähne von Hipparions Rechnung mit R / Automatischer Test Der Schalter var=true erzwingt, dass in beiden Stichproben die gleiche Varianz angenommen wird. > t.test(libycum, africanum, var=true, alternative="two.sided") Two Sample t-test
35 35/57 Die Theorie (Welch Test) Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Annahme: Wir haben zwei unabhängige Stichproben x 1,1,..., x 1,n1 und x 2,1,..., x 2,n2. Die x 1,i stammen aus einer Normalverteilung mit (unbekanntem) Mittelwert µ 1 und unbekannter Varianz σ 2 1 > 0, die x 2,i aus einer Normalverteilung mit (unbekanntem) Mittelwert µ 2 und möglicherweise anderer Varianz σ 2 2.
36 36/57 Die Theorie (Welch Test) Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Seien s 1 = 1 n 1 (x 1,i x 1 ) n 1 1 2, i=1 s 2 = 1 n 2 (x 2,i x 2 ) n 2 1 2, i=1 die (korrigierten) Stichprobenstreuungen.
37 37/57 Die Theorie (Welch Test) Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Unter der Hypothese µ 1 = µ 2 ist die Teststatistik T (x) = x 2 x 1 s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 ungefähr t-verteilt mit f Freiheitsgraden, wobei f aus den Daten geschätzt wird: ( ) s n 1 + s2 2 n 2 f =. s 4 1 n 2 1 (n 1 1) + s4 2 n 2 2 (n 2 1)
38 38/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Die Theorie (Welch Test) Linksseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 < µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t f ;1 α. p-wert p(x) = t f (T (x)) = 1 t f ( T (x)). t f Verteilungsfunktion der t f -Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2, x1, alternative = "less")
39 39/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Die Theorie (Welch Test) Rechtsseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 > µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t f ;1 α. p-wert p(x) = t f ( T (x)) = 1 t f (T (x)). t f Verteilungsfunktion der t f -Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2, x1, alternative = "greater")
40 40/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Die Theorie (Welch Test) Beidseitige Alternative Verwerfungsregel Nullhypothese (H 0 ): µ 2 = µ 1 Alternative (H 1 ): µ 2 µ 1. Verwirf H 0 zugunsten von H 1, falls T (x) t f ;1 α/2. p-wert p(x) = 2(1 t f ( T (x) )). t f Verteilungsfunktion der t f -Verteilung (Tabelle T4). Berechnung mit R t.test(x2, x1, alternative = "two.sided")
41 41/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Versuchsaufbau im Pflanzenphysiologischen Praktikum In vier Petrischalen werden jeweils exakt 100 Samen Gartenkresse ausgebracht. Gewässert wird mit (A) Aqua dest. (zur Kontrolle) (B) ABS Lösung (C) Saccharose-Lösung (D) Saccharose-ABS-Lösung Nach zwei Tagen wird gezählt, wie viele Samen gekeimt haben.
42 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Im Praktikum wird jeder Versuch dreimal durchgeführt. Versuch A B C D Keime Schale Keime Schale Keime Schale A B C D 42/57
43 43/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung A B C D (A) Aqua dest. (B) ABS (C) Saccharose (D) Saccharose- ABS Fragen Ist die Hemmung bei B schon vorhanden? Hemmt Saccharose (C)? Hemmt Saccharose mit ABS (D) stärker als Saccharose? Ist die Wirkung von Saccharose und ABS gleich?
44 44/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D Vermutung: Hemmung bei ABS+Saccharose (D) stärker als bei Saccharose (C). Test zum Niveau α = 1% soll Klarheit schaffen. Nullhypothese: (D) genauso wie (C) Alternative: (D) hemmt stärker.
45 45/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D, Welch Test Daten x C,1 = 45, x C,2 = 44, x C,3 = 45 x D,1 = 25, x D,2 = 27, x D,3 = 29 Idee: Daten etwa normalverteilt mit unbekannten Mittelwerten µ C und µ D und unbekannten Varianzen σ 2 C, σ2 D. Nullhypothese (H 0 ) µ C = µ D Alternative (H 1 ) µ C > µ D. Linksseitiger Zwei-Stichproben t-test mit unterschiedlichen Varianzen (Welch Test).
46 46/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D, Welch Test x C,1 = 45, x C,2 = 44, x C,3 = 45 x D,1 = 25, x D,2 = 27, x D,3 = 29 x C = 44.67, x D = 27. s C = 1 3 (x C,i x C ) 2 2 i=1 1 = 2 (( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 ) =
47 47/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D, Welch Test x C,1 = 45, x C,2 = 44, x C,3 = 45 x D,1 = 25, x D,2 = 27, x D,3 = 29 x C = 44.67, x D = 27. s D = 1 3 (x D,i x D ) 2 2 i=1 1 = 2 ((25 27)2 + (27 27) 2 + (29 27) 2 ) = 2.
48 48/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D, Welch Test t-statistik T (x) = Freiheitsgrade f = x C = 44.67, x D = 27. s C = , s D = 2. x D x C = + s2 D nd s 2 C n C ( s 2 C n C + s2 D nd ) 2 sc 4 + s4 nc 2 D (n C 1) nd 2 (n D 1) = =... =
49 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D, Welch Test t-statistik Freiheitsgrade T (x) = f = Der linksseitige Test zum Niveau α = 0.01 verwirft H 0, falls T (x) < t f,1 α = t 2.331; (Alternativ: Tabellenwert t 2;0.99 = 6.96) Wegen T (x) = 14.7 < 5.77 verwirft der Test zum Niveau 1% die Nullhypothese. p-wert p(x) = t ( 14.7) = Alternativ: Tabellenwert p(x) t 2 ( 14.7) = /57
50 50/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D, Ergebnis Mit Hilfe eines ungepaarten einseitigen t-tests bei unterschiedlichen Varianzen (Welch Test) wird die Nullhypothese (Saccharose hemmt die Keimung gleich gut wie eine Lösung mit Saccharose und ABS) auf dem Niveau 1% gegen die Alternative (S hemmt nicht so gut wie S+ABS) verworfen. Der p-wert beträgt p (bzw. p = , wenn man exakt mit dem Computer rechnet, statt den p-wert nach der Tabelle der t 2 -Verteilung anzunähern).
51 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen D, Berechnung mit R Ohne die Option var=true wird der Welch-Test durchgeführt. > xa <- c(90, 88, 91) > xb <- c(85, 87, 75) > xc <- c(45, 44, 45) > xd <- c(25, 27, 29) > t.test(xd, xc, alternative="less") # D.h. xd < xc?? Welch Two Sample t-test data: xd and xc t = , df = 2.331, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 95 percent confidence interval: -Inf sample estimates: mean of x mean of y /57
52 52/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen B Hemmt Saccharose (C) genauso gut wie ABS (B)? Zweiseitiger ungepaarter t-test bei unterschiedlichen Varianzen (Welch Test) zum Niveau α = 1%.
53 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen B, Daten t-statistik Freiheitsgrade x C = 44.67, x B = s C = , s B = T (x) = x B x C s 2 C Beidseitiger Test verwirft, falls n C f = s2 B n B = T (x) > t 2.032;0.995 t 2;0.995 = Wegen T (x) = 10.1 verwirft der Test zum Niveau 1%. p-wert 2(1 t (10.1)) 2(1 t 2 (10.1)) = /57
54 54/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen B, Ergebnis Der zweiseitige ungepaarte t-test bei unterschiedlicher Varianz (Welch Test) verwirft die Nullhypothese (Saccharose hemmt Keimung gleich gut wie ABS) gegen die beidseitige Alternative zum Niveau 1%. Der p-wert ist etwa 0.01.
55 55/57 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Versuch zur Keimhemmung Vergleich C gegen B, Berechnung mit R > t.test(xb, xc, alternative="two.sided") Welch Two Sample t-test data: xb and xc t = , df = 2.032, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y
56 Ungepaarter t-test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Beispiel: Backenzähne des Hipparions Berechnung ohne Annahme der gleichen Varianz Die Annahme, dass bei den Hipparions beide Stichproben gleiche Varianz haben, ist eigentlich durch nichts begründet. Sauberer wäre daher der Welch-Test. > t.test(libycum, africanum, alternative="two.sided") Welch Two Sample t-test data: libycum and africanum t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Der p-wert ist größer als bei Annahme gleicher Varianz ( ). 56/57
57 57/57 Vergleich: Gepaarter vs ungepaarter t-test Vergleich: Gepaarter vs ungepaarter t-test Wenn die Stichprobenlänge unterschiedlich ist, ergibt gepaart keinen Sinn. Wenn die Stichprobenlänge gleich ist: Sind die Stichproben unabhängig voneinander? Falls ja, dann ungepaart testen. Ein gepaarter Test würde sinnlose Abhängigkeiten unterstellen und hätte auch eine geringere Schärfe. Sind die Stichproben voneinander abhängig? (z.b. Messungen von denselben Individuen bzw. Objekten) Falls ja, dann ist ein gepaarter Test sinnvoll. Bei starker Abhängigkeitsstruktur hat der gepaarte t-test größere Schärfe (da der Test von Variabilität zwischen den Individuen bereinigt ist)
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