Blockpraktikum zur Statistik mit R

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1 Blockpraktikum zur Statistik mit R 08. Oktober 2010 Till Breuer, Sebastian Mentemeier und Matti Schneider Institut für Mathematische Statistik Universität Münster WS 2010/11

2 Gliederung 1 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen 2 Zwei-Stichproben-Fall Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests 2 / 19

3 Gliederung Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen 1 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen 2 Zwei-Stichproben-Fall Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests 3 / 19

4 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Ein-Stichproben-Fall Es wird ein einziges Merkmal X auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe (X 1,..., X n ) bzgl. interessierender Fragestellungen getestet, z. B. auf die Lage von Mittelwert oder Median im Vergleich zu vermuteten Werten - hierbei wird unterschieden zwischen parametrischen Verfahren verteilungsfreien Verfahren die Klasse der zugrundeliegenden Verteilung. 4 / 19

5 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Student scher t-test (Ein-Stichproben-Fall) Annahmen: Hypothesen: X 1,..., X n u. i. v. mit X N (µ, σ 2 ) bzw. beliebig verteilt mit ex. Varianz und großem n (a) H: µ = µ 0 vs. K: µ /= µ 0, (two.sided) (b) H: µ µ 0 vs. K: µ > µ 0, (greater) (c) H: µ µ 0 vs. K: µ < µ 0. (less) Teststatistik: T (X) = n X µ 0 S(X) Verteilung t(n 1) (Student sche t-verteilung mit n 1 unter µ 0 : Freiheitsgraden) Ablehnungs- (a) T (X) > q 1 α/2 (t(n 1)), bereich: (b) T (X) > q 1 α (t(n 1)), (c) T (X) < q 1 α (t(n 1)) = q α (t(n 1)). R-Befehl: t.test(x, mu = µ 0, alternative="...") 5 / 19

6 Gliederung Ein-Stichproben-Fall Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen 1 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen 2 Zwei-Stichproben-Fall Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests 6 / 19

7 Vorzeichen-Test Ein-Stichproben-Fall Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen Annahmen: X 1,..., X n u. i. v. mit stetiger Verteilungsfunktion Hypothesen: (a) H: x med = µ 0 vs. K: x med /= µ 0, (b) H: x med µ 0 vs. K: x med < µ 0. (c) H: x med µ 0 vs. K: x med > µ 0, Teststatistik: A = n i=1 1 {Xi <µ 0 } Verteilung unter µ 0 : B(n, 0.5) Ablehnungs- (a) min(a, n A) q α/2 (B(n, 0.5)), bereich: (b) n A q α (B(n, 0.5)), (c) A q α (B(n, 0.5)). R-Befehle: (a) binom.test(min(a,n-a),n, alternative="two.sided") (b) binom.test(n-a,n,alternative="less") (c) binom.test(a,n,alternative="less") 7 / 19

8 Ein-Stichproben-Fall Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen Annahmen: Hypothesen: Teststatistik: Verteilung unter µ 0 : Ablehnungsbereich: R-Befehl: X 1,..., X n u. i. v. mit stetiger Verteilungsfunktion, symmetrische Verteilung (a) H: x med = µ 0 vs. K: x med /= µ 0, (two.sided) (b) H: x med µ 0 vs. K: x med > µ 0, (greater) (c) H: x med µ 0 vs. K: x med < µ 0. (less) W + = n i=1 rg D i Z i mit D i = X i µ 0, Z i = 1 {Di >0} Wilcoxon sche Rangstatistik, für großes n approximativ N ( n(n+1) 4, n(n+1)(2n+1) 24 ) (a) W + < w α/2 + oder W + > w 1 α/2 + (b) W + < w α + (c) W + > w 1 α/2 + wilcox.test(x, mu = µ 0, alternative="...") 8 / 19

9 Gliederung Ein-Stichproben-Fall 1 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen 2 Zwei-Stichproben-Fall Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests 9 / 19

10 Ein-Stichproben-Fall χ 2 -Anpassungstest für kategoriale Merkmale Annahmen: X 1,..., X n u. i. v. mit Werten in {1,..., k} Hypothese: H: P(X 1 = i) = p i für i = 1,..., k K: P(X 1 = i) /= p i für ein i (h i np i ) 2 np i Teststatistik: χ 2 = k i=1 mit h i = {j X j = i} Verteilung approximativ χ 2 k 1 ; unter H: Approximation anwendbar, wenn np i 1 für alle i, np i 5 für min. 80% der i Ablehnungsbereich: χ 2 > q 1 α (χ 2 k 1 ) R-Befehl: chisq.test(x, p), mit p=(p 1,..., p k ) 10 / 19

11 Ein-Stichproben-Fall Kolmogoroff-Smirnoff-Test Annahmen: X 1,..., X n u. i. v. mit stetiger Verteilungsfunktion F Hypothesen: (a) H: F = F 0 vs. K: F /= F 0 (two.sided) (b) H: F F 0 vs. K: F > F 0 (greater) (c) H: F F 0 vs. K: F < F 0 (less) Teststatistik: (a) sup t R F n,x (t) F 0 (t), (b) sup t R F n,x (t) F 0 (t) bzw. (c) inf t R F n,x (t) F 0 (t) Verteilung: tabelliert Ablehnungsbereich: falls die Statistik zu groß wird R-Befehl: ks.test(x, "F", θ, alternative="...") wobei F eine Verteilungsfunktion sein muss, etwa pnorm, und θ die zugehörigen Parameter, z.b. µ, σ 2 11 / 19

12 Shapiro-Wilk-Test Ein-Stichproben-Fall Annahmen: X 1,..., X n u. i. v. mit stetiger Verteilungsfunktion F Hypothese: H: F ist eine Normalverteilung K: F ist keine Normalverteilung Teststatistik: W = ( n i=1 a i X (i) ) 2, dabei ist n i=1 (X i X) 2 at = (a 1,..., a n ) durch a t m = t V 1, wobei m und V Erwartungswertvektor bzw. Kovarianzmatrix eines geordneten (m t V 2 m) 1/2 Vektors von n u. i. v. N (0, 1)-Variablen sei Verteilung: Shapiro-Wilk-Verteilung Ablehnungsbereich: kleines W R-Befehl: shapiro.test(x) 12 / 19

13 Gliederung Zwei-Stichproben-Fall 1 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen 2 Zwei-Stichproben-Fall Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests 13 / 19

14 Zwei-Stichproben-Fall Zwei-Stichproben-Fall In diesem Fall wird ein Merkmal unter zwei Bedingungen untersucht oder man betrachtet zwei Merkmale, die am selben Merkmalsträger erhoben werden: 1 Zwei unabhängige Zufallsstichproben (X 1,1,..., X 1,n1 ), (X 2,1,..., X 2,n2 ), n 1, n 2 N, wobei sich die Randbedingungen bei der Entnahme der Stichproben in genau einer Randbedingung unterscheiden. 2 Ein Merkmal unter zwei verschiedenen Bedingungen am selben Merkmalsträger: (X 1,1, X 1,2 ),..., (X n,1, X n,2 ) (verbundene Stichproben, matched pairs). 3 Zwei Merkmale X und Y am selben Merkmalsträger (unter jeweils gleichen Bedingungen): (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) (verbundene Stichproben). 14 / 19

15 Zwei-Stichproben-Fall Reduktion auf das Ein-Stichproben-Problem Das Problem (2) der Messung eines Merkmals unter verschiedenen Bedingungen am selben Merkmalsträger wird im Falle intervallskalierter Merkmale häufig durch Differenzbildung auf das Ein-Stichprobenproblem zurückgeführt. Dies wird in R in den Befehlen t.test und wilcox.test über den Parameter paired (=TRUE / FALSE) gesteuert. Wir konzentrieren uns im Folgenden auf den Fall (1). 15 / 19

16 Zwei-Stichproben-Fall Exakter Test von Fisher Annahmen: unabhängige Zufallsstichproben X 1,..., X n u. i. v. B(1, θ X ), Y 1,..., Y m u. i. v. B(1, θ Y ) Hypothesen: (a) H: θ X = θ Y vs. K: θ X /= θ Y, (two.sided) (b) H: θ X θ Y vs. K: θ X > θ Y, (greater) (c) H: θ X θ Y vs. K: θ X < θ Y. (less) Teststatistik: (U, V ) = ( n i=1 X i, m j=1 Y j ) Verteilung: U hat unter θ X = θ Y eine H(n, m, U + V )-Verteilung Ablehnungs- (a) U > c α (H(n, m, U + V )) (α-fraktil) bereich: (b) U < q α (H(n, m, U + V )) (α-quantil) (c) U zu groß oder zu klein R-Befehl: fisher.test(t, alternative="...") wobei T die Kontingenztafel von X und Y ist d. h. T<-matrix(c(U,V,n-U,m-V),2) 16 / 19

17 Zwei-Stichproben-Fall Student scher t-test im Zwei-Stichproben-Fall Annahmen: Hypothesen: Teststatistik: unabhängige Zufallsstichproben, gl. Varianz X 1,..., X n u. i. v. N (µ X, σ 2 ) Y 1,..., Y m u. i. v. N (µ Y, σ 2 ) (a) H: µ X = µ Y vs. K: µ X /= µ Y, (two.sided) (b) H: µ X µ Y vs. K: µ X > µ Y, (greater) (c) H: µ X µ Y vs. K: µ X < µ Y. (less) T (X) = ( nm n+m )1/2 X Y n 1 m+n 2 S(X)2 + m 1 S(Y )2 m+n 2 Verteilung unter µ X = µ Y : Ablehnungs- (a) T (X) > q 1 α/2 (t(n + m 2)), bereich: (b) T (X) > q 1 α (t(n + m 2)), (c) T (X) < q α (t(n + m 2)). R-Befehl: t(n + m 2) (Student sche t-verteilung mit n + m 2 Freiheitsgraden) t.test(x, y, alternative="...", var.equal=true) 17 / 19

18 Gliederung Zwei-Stichproben-Fall Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests 1 Ein-Stichproben-Fall Parametrische Testverfahren zu Lagealternativen Verteilungsfreie Testverfahren zu Lagealternativen 2 Zwei-Stichproben-Fall Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests 18 / 19

19 Zwei-Stichproben-Fall Kolmogoroff-Smirnoff-Test Nichtparametrische Zwei-Stichproben-Anpassungstests Annahmen: X 1,..., X n u. i. v. mit stetiger Verteilungsfunktion F Y 1,..., Y m u. i. v. mit stetiger Verteilungsfunktion G Hypothesen: (a) H: F = G vs. K: F /= G (two.sided) (b) H: F G vs. K: F > G (greater) (c) H: F G vs. K: F < G (less) Teststatistik: (a) sup t R F n,x (t) G m,y (t), (b) sup t R F n,x (t) G m,y (t) bzw. (c) inf t R F n,x (t) G m,y (t) Verteilung: tabelliert Ablehnungsbereich: falls die Statistik zu groß wird R-Befehl: ks.test(x, y, alternative="...") 19 / 19