Gesamtcholesterin Region A Region B <170 (optimal) 80 >=170 (Risiko)

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1 GRUNDAUFGABEN ZU DEN 1-STICHPROBENVERGLEICHEN 1. In einer Studie wurde ein Blutparameter am Beginn und am Ende einer Therapie bestimmt. Es ergab sich, dass bei 35 Probanden eine Veränderung des Parameters eintrat, und zwar lag der Wert bei 15 Probanden vorher im Normbereich und nachher außerhalb und bei 0 Probanden vorher außerhalb und nachher im Normbereich. a. Weicht der Anteil der Veränderungen von vorher außerhalb in nachher innerhalb signifikant von 0,5 ab (alpha = 5%)? b. Welcher Anzahl von Probanden mit einer Veränderung müsste man haben, um mit dem Test die beobachtete Abweichung des Anteils von 0,5 mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen?. Im Rahmen einer Untersuchung des Ernährungsstatus von Schulkindern aus den Regionen A und B wurde u.a. das Gesamtcholesterin (in mg/dl) stichprobenartig erfasst. a. Man prüfe für die Region A auf 5%igem Niveau, ob der Anteil von Schulkindern in der optimalen Kategorie signifikant über p0 = 0,5 liegt. b. Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem Binomialtest auf dem Niveau alpha = 5% eine Überschreitung des Referenzwertes p0 = 0,5 um 0,1 mit 80%iger Sicherheit erkennen zu können? Gesamtcholesterin Region A Region B <170 (optimal) >=170 (Risiko) Von einer Messstelle wurden die folgenden Werte der Variablen X (SO -Konzentration der Luft in mg/m3) gemeldet: 3, 41, 33, 35, 34. a. Weicht die mittlere SO -Konzentration signifikant vom Wert µ o =30 ab? (alpha=5%) b. Welcher Mindeststichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem Test eine Abweichung vom Referenzwert µ o um 5% (des Referenzwertes) mit einer Sicherheit von 95% erkennen zu können? 4. In einer Studie mit 5 Probanden wurde eine bestimmte Zielgröße X am Studienbeginn (Xb) und nach erfolgter Behandlung - am Studienende (Xe) gemessen. a. Man erfasse die Wirkung der Behandlung durch die Differenz Y= Xe - Xb und prüfe, ob der Mittelwert von Y signifikant von Null abweicht (alpha=5%). b. Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um die halbe beobachte Differenz der mittleren Wirkungen mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen? Proband Xb Xe Musterbeispiele_STAT4_mit_Loesungen 1

2 LÖSUNGEN MIT R Aufgabe 1 (Grundaufgabe T1, Veränderungsmessung) Wir bezeichnen die Zufallsvariable Veränderung des Blutparameters auf Grund der Therapie mit X. X ist eine zweistufige Zufallsvariable mit den Werten vorher außerhalb nachher innerhalb bzw. vorher innerhalb nachher außerhalb. Die Anzahl der Veränderungen von vorher außerhalb nachher innerhalb ist binomialverteilt mit den Parametern p = P(Veränderung von vorher außerhalb nachher innerhalb ) und n = 35. In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob p von 0,5 abweicht, d.h. es geht um einen Vergleich einer Wahrscheinlichkeit mit einem Sollwert. Die Alternativhypothese lautet H1: p <> 0,5, die Nullhypothese ist H0: p=0,5. Die Testentscheidung wird mit dem Binomialtest auf dem Testniveau alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den Stichprobenumfang n=35 sowie die Anzahl m = 0 der Probanden mit einer Veränderung von vorher außerhalb nachher innerhalb. Probanden mit einer Veränderung) gefragt, um mit dem in 1a) durchgeführten Binomialtest die beobachtete Abweichung delta= 0/35-0,5 mit der Sicherheit 1-ß= 0,9 als signifikant zu erkennen. Approximative Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs mit der Formel ((Die Formel liefert vertretbare Näherungswerte, wenn n >0 und 10<= np0 < n-10 ist.): nmin dest 1 4 ( z z ) 1 α / + 1 β > # 1a > n <- 35 > m <- 0 > soll=0.5 > # H0: p=0.5 versus H1: p<>0.5 > binom.test(m, n, p=soll, alternative="two.sided", conf.level=0.95) Exact binomial test data: m and n number of successes = 0, number of trials = 35, p-value = alternative hypothesis: true probability of success is not equal to probability of success Wegen p-value = >= 0.05 kann H0: p=0.5 nicht abgelehnt werden! > # 1b (Approximation) > delta <- abs(m/n-0.5) > power <- 0.9 > n_mindest <- 1/4/delta^*(qnorm(1-alpha/)+qnorm(power))^ > print(cbind(delta, alpha, power, n_mindest)) delta alpha power n_mindest [1,] Musterbeispiele_STAT4_mit_Loesungen

3 Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=515 erforderlich, um mit dem auf 5%igen Signifikanzniveau geführten Test die Abweichung delta= vom Sollwert 0.5 mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen. Aufgabe (Grundaufgabe T, Vergleich einer Wahrscheinlichkeit mit einem Sollwert) Wir bezeichnen die Zufallsvariable Gesamtcholesterin mit X. X ist auf einer zweistufigen Skala mit den Werten <170 (optimal) bzw. >=170 (Risiko) dargestellt. Die Anzahl der Schulkinder mit einem optimalen X-Wert ist binomialverteilt mit den Parametern p = P(ein Schulkind in Region A hat einen optimalen X-Wert) und n = = 155 (Region A). In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob p größer als 0,5 ist; die Alternativhypothese lautet also H1: p>0,5; die Nullhypothese ist H0: p<=0,5. Die Testentscheidung wird mit dem Binomialtest auf dem Testniveau alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den Stichprobenumfang n=155 (Region A) sowie die Anzahl m = 95 der Schulkinder mit einem optimalen Cholesterinwert. Schulkinder) gefragt, um mit dem in a) durchgeführten Binomialtest die Überschreitung delta=0,1 des Sollwertes p0=0,5 mit der Sicherheit 1-ß= 0,8 als signifikant zu erkennen. Die Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs erfolgt näherungsweise mit der Formel (Die Formel liefert vertretbare Näherungswerte, wenn n >0 und 10<= np0 < n-10 ist.): nmin dest 1 4 ( z z ) 1 α + 1 β > # Aufgabe a > m <- 95 > n < > soll=0.5 > # H0: p<=0.5 versus H1: p>0.5 > binom.test(m, n, p=soll, alternative="greater", conf.level=0.95) Exact binomial test data: m and n number of successes = 95, number of trials = 155, p-value = alternative hypothesis: true probability of success is greater than probability of success Wegen p-value = <0.05 wird H0: p<=0.5 abgelehnt, d.h. der Anteil der Schulkinder mit einem optimalen Cholesterinwert liegt auf 5%igem Testniveau signifikant über 0,5. > # Aufgabe b (Approximation) > delta <- 0.1 > power <- 0.9 > n_mindest <- 1/4/delta^*(qnorm(1-alpha)+qnorm(power))^ > print(cbind(delta, alpha, power, n_mindest)) delta alpha power n_mindest [1,] Musterbeispiele_STAT4_mit_Loesungen 3

4 Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=15 erforderlich, um mit dem auf 5%igen Signifikanzniveau geführten Binomialtest die Überschreitung delta=0.1 des Sollwertes p0=0.5 mit einer Sicherheit von 80% als signifikant zu erkennen. Aufgabe 3 (Grundaufgabe T3, Vergleich eines Mittelwerts mit einem Sollwert) Wir nehmen an, dass X normalverteilt ist mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ. In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob µ von µ 0 =30 abweicht, d.h. es geht um den Vergleich eines Mittelwerts mit einem Sollwert. Die Alternativhypothese lautet H1: µ <> 30, die Nullhypothese ist H0: µ =30. Die Testentscheidung wird mit dem 1-Stichproben-t -Test auf dem Testniveau alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den Stichprobenumfang n sowie die Schätzwerte für µ und σ. Messwiederholungen) gefragt, um mit dem in 3a) durchgeführten t-test die Abweichung delta=1,5 (5% von µ 0 ) vom Sollwert µ 0 mit der Sicherheit 1-ß= 0,95 als signifikant zu erkennen. Die Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs erfolgt (näherungsweise) mit der Formel nmin dest σ ( z z ) 1 α / + 1 β oder einfacher mit der R-Prozedur power.t.test(). > # Aufgabe 3a > so <- c(3, 41, 33, 35, 34) > n <- length(so) > xquer <- mean(so) > s <- sd(so) > print(cbind(n, xquer, s)) n xquer s [1,] > t.test(so, alternative="two.sided", mu=30, conf.level=0.95) One Sample t-test data: so t = 3.16, df = 4, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to mean of x 35 Wegen p-value = <0.05 wird H0: µ<>30 abgelehnt, d.h. die mittlere SO-Konzentration weicht auf 5%igem Testniveau signifikant vom Sollwert 30 ab. > # Aufgabe 3b > so=c(3, 41, 33, 35, 34) > s <- sd(so) > soll <- 30 > delta <- 0.05*soll > print(cbind(soll, delta, s)) soll delta s [1,] > power.t.test(delta=delta, sd=s, sig.level=0.05, power=0.95, + type ="one.sample", alternative="two.sided") Musterbeispiele_STAT4_mit_Loesungen 4

5 One-sample t test power calculation n = delta = 1.5 sd = sig.level = 0.05 power = 0.95 alternative = two.sided Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=75 erforderlich, um mit dem auf 5%igen Signifikanzniveau geführten t-test die Abweichung delta=1,5 vom Sollwert 30 mit einer Sicherheit von 95% als signifikant zu erkennen. Aufgabe 4 (Grundaufgabe T4, Differenzen t-test) Wir nehmen an, dass die Wirkung Y=Xe Xb normalverteilt ist mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ. In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob µ von µ 0 =0 abweicht, d.h. es geht um den Vergleich eines Mittelwerts mit einem Sollwert. Die Alternativhypothese lautet H1: µ<>0, die Nullhypothese ist H0: µ=0. Die Testentscheidung wird mit dem 1-Stichproben-t -Test auf dem Testniveau alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den Stichprobenumfang n sowie die Schätzwerte yquer und s für µ bzw σ. Messwiederholungen) gefragt, um mit dem in 3a) durchgeführten t-test die halbe beobachtete Abweichung des Stichprobenmittelwerts yqer vom Sollwert 0 mit der Sicherheit 1-ß= 0,90 als signifikant zu erkennen. Die Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs erfolgt mit der R-Prozedur power.t.test(). > # Aufgabe 4a > xb <- c(67, 63, 44, 7, 3) > xe <- c(69, 71, 46, 6, 35) > y <- xe - xb > print(cbind(xb, xe, y)) xb xe y [1,] [,] [3,] [4,] [5,] > n <- length(y) > yquer <- mean(y) > s <- sd(y) > print(cbind(n, yquer, s)) n yquer s [1,] > t.test(y, alternative="two.sided", mu=0, conf.level=0.95) One Sample t-test data: y t = 1.914, df = 4, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to mean of x.8 Musterbeispiele_STAT4_mit_Loesungen 5

6 Wegen p-value = 0.181>=0.05 kann H0: µ<>0 nicht abgelehnt werden, d.h. die mittlere Wirkung weicht auf 5%igem Testniveau nicht signifikant vom Sollwert 0 ab. > # Aufgabe 4b > xb <- c(67, 63, 44, 7, 3) > xe <- c(69, 71, 46, 6, 35) > y <- xe - xb > soll <- 0 > s <- sd(y) > delta <- abs(mean(y)/- soll) > print(cbind(soll, delta)) soll delta [1,] > power.t.test(delta=delta, sd=s, sig.level=0.05, power=0.90, + type ="one.sample", alternative="two.sided") One-sample t test power calculation n = 59.3 delta = 1.4 sd = 3.71 sig.level = 0.05 power = 0.9 alternative = two.sided Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=60 erforderlich, um mit dem auf 5%igen Signifikanzniveau geführten t-test die halbe beobachtete Abweichung delta=1,4 der mittleren Wirkung vom Sollwert 0 mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen. Musterbeispiele_STAT4_mit_Loesungen 6