18. April Solitäre Lösungen des Toda-Gitters. Deniz Stiegemann

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Miriam Berger
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1 der April 2012

2 der 2-- Gliederung 1 2 der 2--

3 der 2-- Russell ( ) im Jahr 1834: Ein Boot wird von Pferden durch einen Kanal gezogen.

4 der 2-- Russell ( ) im Jahr 1834: Ein Boot wird von Pferden durch einen Kanal gezogen. Plötzlich hält das Boot an.

5 der 2-- Russell ( ) im Jahr 1834: Ein Boot wird von Pferden durch einen Kanal gezogen. Plötzlich hält das Boot an. Das Wasser bewegt sich jedoch noch weiter.

6 der 2-- Russell ( ) im Jahr 1834: Ein Boot wird von Pferden durch einen Kanal gezogen. Plötzlich hält das Boot an. Das Wasser bewegt sich jedoch noch weiter. Es entsteht eine einzelne Welle, eine Erhöhung, die sich durch das Wasser bewegt und dabei über mehrere Kilometer stabil bleibt.

7 der 2-- Russell ( ) im Jahr 1834: Ein Boot wird von Pferden durch einen Kanal gezogen. Plötzlich hält das Boot an. Das Wasser bewegt sich jedoch noch weiter. Es entsteht eine einzelne Welle, eine Erhöhung, die sich durch das Wasser bewegt und dabei über mehrere Kilometer stabil bleibt. Er nennt dieses Phänomen Wave of Translation.

8 der 2-- Scott Russell führt durch und macht dabei weitere Entdeckungen: Die Welle wird kaum gedämpft. Es scheint keine tiefen Varianten dieser Wellen zu geben. Andere Wissenschaftler halten das Phänomen für einen Spezialfall bereits bekannter Wellen.

9 KdV-Gleichung der 2-- Später: Rayleigh und Boussinesq; Korteweg, de Vries (1895): u τ + u u ξ + µ 3 u ξ 3 = 0 (1)

10 von der 2-- KdV-Gleichung: Voraussetzungen: Dispersion (z.b. 3 u ξ 3 ) u τ + u u ξ + u µ 3 ξ 3 = 0 Nichtlinearität (z.b. u u ξ ) Zabusky und Kruskal (1965): Soliton

11 der 2-- Gezeitenwellen können die Gestalt von annehmen; große Wellen dieser Art treten besonders auf dem Amazonas in Erscheinung.

12 der 2-- Gezeitenwellen können die Gestalt von annehmen; große Wellen dieser Art treten besonders auf dem Amazonas in Erscheinung. Falaco- sind langlebige Strudel im (sonst ruhigen) Wasser.

13 der 2-- Gezeitenwellen können die Gestalt von annehmen; große Wellen dieser Art treten besonders auf dem Amazonas in Erscheinung. Falaco- sind langlebige Strudel im (sonst ruhigen) Wasser. In der Lichtwellenleitertechnik wird versucht, Soliton-Pulse elektromagnetischer Felder zu erzeugen, um die Signalübertragung über große Entfernungen zu verbessern.

14 Allgemeine der 2-- mit mÿ n = φ (y n+1 y n ) φ (y n y n 1 ) (2) m r n = φ (r n+1 ) 2φ (r n ) + φ (r n 1 ) (3) d dt χ(ṡ n) = s n+1 2s n + s n 1 (4) r n = 1 m χ(ṡ n)

15 der 2-- Mit φ(r) = a b e br + ar: ( ) mÿ n = a e b(y n+1 y n) e b(yn y n 1) (5) ( ) m r n = a 2e brn e br n 1 e br n+1 ṙ n = s n+1 2s n + s n 1 m ( ) ṡ n = a e brn 1 (6) (7a) (7b) s n ṡ n + a = b m (s n+1 2s n + s n 1 ) (8)

16 der 2-- s n (t) = ± βm tanh(αn ± βt) + const (9) b löst duales Problem, wobei α 0 eine Konstante ist und ab β = sinh α. (10) m Andere Darstellungen: e brn 1 = m ab β2 sech 2 (αn ± βt), (11) r n (t) = 1 ( m ) b ln ab β2 sech 2 (αn ± βt) + 1, (12) y n (t) = 1 b ln 1 + e2(α(n 1)±βt) 1 + e 2(αn±βt) + const. (13)

17 Visualisierung der 2-- Mathematica

18 dieser der 2-- : e brn 1 = m ab β2 sech 2 (αn ± βt) Geschwindigkeit c = β α = ab sinh α m α

19 dieser der 2-- : e brn 1 = m ab β2 sech 2 (αn ± βt) Geschwindigkeit c = β α = ab m sinh α α Stauchung y y = 2α/b

20 dieser der 2-- : e brn 1 = m ab β2 sech 2 (αn ± βt) Geschwindigkeit c = β α = ab sinh α m α Stauchung y y = 2α/b Masse M := m(y y ) = 2α b m

21 dieser der 2-- : e brn 1 = m ab β2 sech 2 (αn ± βt) Geschwindigkeit c = β α = ab sinh α m α Stauchung y y = 2α/b Masse M := m(y y ) = 2α b m Impuls P = Mc = 2mβ/b

22 dieser der 2-- : e brn 1 = m ab β2 sech 2 (αn ± βt) Geschwindigkeit c = β α = ab sinh α m α Stauchung y y = 2α/b Masse M := m(y y ) = 2α b m Impuls P = Mc = 2mβ/b Energie E = 2a b (sinh α cosh α α)

23 Periodische der 2-- e bpn 1 = (2Kν)2 ab/m [ ( ( n ) ) dn 2 2 λ ± νt K E ] K (14) mit der Wellenlänge λ und der Frequenz ν, wobei ν(λ) = 1 / ab 1 2K m sn 2 (2K/λ) 1 + E K. (15)

24 Reihendarstellung der der 2-- Eine periodische p n besitzt die Reihendarstellung ( e bpn 1 = m ) β 2 sech 2 (α(n λl) βt) 2βν. ab l= Die Parameter α und β sind festgelegt durch α = πk λk, (16) β = πkν K. (17)

25 Gewinnung der solitären aus einem Grenzfall der der 2-- Man erhält das Soliton aus der cn-welle für große Wellenlänge λ und großen elliptischen Modul k 1.

26 2-- der 2-- Im folgenden sei S n = m b ln (1 + A 1 e 2(α 1n β 1 t) + A 2 e 2(α 2n β 2 t) + e 2((α 1+α 2 )n (β 1 +β 2 )t) ). (18)

27 2-- der 2-- ist 2-- Gitters. Alternativ: Dabei gelten: s n = Ṡ n (19) y n = 1 m (S n 1 S n ) (20) β 2 1 = ab m sinh2 α 1, β 2 2 = ab m sinh2 α 2, A 1 A 2 = ab m (β 1 + β 2 ) 2 sinh 2 (α 1 + α 2 ) sinh 2 (α 1 α 2 ) ab m (β 1 β 2 ) 2. (21)

28 der : Stabilität Es sei α 1 > α 2 > 0. Dann erhält man im Grenzfall t ± aus der 2-- zwei einzelne { m e brn 1 = ab β2 1 sech2 (α 1 n β 1 + δ ± ) m ab β2 2 sech2 (α 2 n β 2 δ ±, (22) ) falls β 1 β 2 > 0, und { m e brn 1 = ab β2 1 sech2 (α 1 n β 1 + δ ± ) m ab β2 2 sech2 (α 2 n + β 2 δ ± ) falls β 1 β 2 < 0, wobei, (23) δ = 1 2 ln A 1, δ + = 1 2 ln A 2. (24)

29 2-- der 2-- bleiben nach Kollision stabil. Mögliche Bewegungsrichtungen (α 1 α 2 ): β 1 β 2 > 0: dieselbe Richtung; Überholen

30 2-- der 2-- bleiben nach Kollision stabil. Mögliche Bewegungsrichtungen (α 1 α 2 ): β 1 β 2 > 0: dieselbe Richtung; Überholen β 1 β 2 < 0: entgegengesetzte Richtungen; Kollision

31 der 2-- Vielen Dank für Eure/Ihre Aufmerksamkeit!

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