Übungen zur Linearen Algebra 2

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1 Übungen zur Linearen Algebra Lösungen Sommersemester 00 Universität Heidelberg Mathematisches Institut Lösungen Blatt 7 Dr D Vogel Michael Maier Aufgabe a) Für alle v R gilt v = φ(v), da φ orthogonal ist = (0 + } a ) a = = ( + ( + a) ) ( + a) a = = 00 b) Nach Aufgabe b) von Blatt 6 wissen wir, falls φ von Typ V oder VI ist, so liegt φ(u) det(φ)u in der Drehebene E Damit ergibt sich für die Drehachse A: v := 7 =, w := 0 = E = Lin(v,w) E = A = Lin(e ) Um den Drehwinkel α zu bestimmen, berechnen wir das Bild eines Vektors aus E: φ( 0 ) = φ(π E ( )) = π E (φ( )) = π E ( 7 ) = 7 alternativ: φ( 0 ) = φ( e ) = φ( ) φ(e ) = 7 e = 7 7 0, λ := cos(α) = = 7 λ = sin(α) = 9 = 4 0

2 7 Damit ergibt sich mit Aufgabe e) und indem man das GSV auf ( 0, ) anwendet direkt: M (e,e,e ) (e,e,e ) (φ) = Da dies einen orthogonalen Endomorphismus mit den gewünschten Eigenschaften liefert, war nach der Eindeutigkeitsüberlegung aus den Übungsgruppen die Abbildung von Typ V Aufgabe 6 a) γ(φ(αv + w),αv + w) φ = lin γ(αφ(v) + φ(w),αv + w) γ semilin im Arg = αγ(φ(v),αv + w) + γ(φ(w),αv + w) }{{} αα γ(φ(v),v) + αγ(φ(v),w) + αγ(φ(w),v) + γ(φ(w),w) = α γ lin im Arg = b) Aus Teil a) erhalten wir für α = bzw α = i und v,w V folgende beiden Gleichungen: I : 0 = γ(φ(v+w),v+w) = γ(φ(v),v) +γ(φ(v), w)+γ(φ(w), v)+γ(φ(w), w) }{{}}{{} II : 0 = γ(φ(iv+w),iv+w) = γ(φ(v),v) +iγ(φ(v), w) iγ(φ(w), v)+γ(φ(w), w) }{{}}{{} I iii : 0 = γ(φ(v),w) w:=φ(v) = φ(v) φ(v) = 0 v bel φ = 0 c) Ist φ selbstadjungiert, so gilt für v V : γ(φ(v),v) = γ(v,φ ad (v)) = γ(v,φ(v)) = γ(φ(v),v) γ(φ(v),v) R Umgekehrt gilt für v V, dass γ(φ(v),v) = γ(v,φ(v)) = γ(v,φ(v)) = γ(φ ad (v),v) γ((φ φ ad )(v),v) = 0 b) φ φ ad = 0 d) Aussage b) ist im Allgemeinen falsch ZB ( im -dimensionalen ) Euklidischen 0 Standardraum erfüllt der zu T( π) = gehörige Endomorphismus 0 die Eigenschaft - er ist jedoch ungleich der Nullabbildung

3 Aufgabe 7 a) Um zu zeigen, dass rang(a) = rang(a t A), zeigen wir die stärkere Aussage Kern(A) = Kern(A t A) Dabei ist klar Sei x Kern(A t A), so folgt A t Ax = 0 x t A t Ax = 0 Ax = 0 Ax = 0 x Kern(A) (dabei bezeichnet die Norm zum Standardskalarprodukt des R m b) A t A M(n n, R) ist symmetrisch und positiv semidefinit und nach Folgerung 84 gibt es ein T = (t t n ) O(n), so dass A t A = T λ λ n T t, wobei λ,,λ n die (nach 8) reellen Eigenwerte von A t A sind Diese sind alle nicht-negativ, da A t A positiv semidefinit ist Ohne Einschränkung gilt also λ λ λ n, denn die Vertauschungsmatrizen sind orthogonal Da der Rang der Diagonalmatrix gerade die Anzahl der λ j 0 ist und dies gleich dem Rang von A t A und damit A (siehe a)) sein muss, gilt λ λ λ r > λ r+ = 0 Seien σ := λ σ r := λ r > 0 σ σ und D := r M(m n, R) Für j =,,r definieren wir s j := σ j At j (t j ist j-te Spalte von T) Dann gilt für j,k {,,r}: s j,s k = (σ j At j ) t (σ k At k) = (σ j σ k ) t t j }{{} A t A t k = (σ j σ k ) t t jt D T t t k = δ }{{}}{{} jk =TD T t =e k (s,,s r ) ist also ein ONS und wir ergänzen über s r+,,s m zu einer ONB Sei S := (s s m ) O(m) zz At j = SDT t t j für j =,,n =e t j Fall : j r SD T t t }{{} j = Sσ j e j = σ j (σ j At j ) = At j =e j Fall : r < j SD T t t j }{{} =e j = 0 = SD T t t j = A t At j a) = At j

4 c) Algorithmus: Eingabe: A M(m n, R) σ Ausgabe: S O(m),T O(n) und D = mit A = SDT t σ r M(m n, R) Durchführung: Bestimme die Hauptachsentransformation T λ T t von A t A (Algo 8), wobei die Eigenwerte der Größe nach angeordnet werden Bilde σ := λ,,σ r := λ r bis λ r+ = 0 und dazu s := σ At,, s r := σr At r R m (t j ist j-te Spalte von T) Bestimme durch das GSV eine ONB (s,,s m ) des R m aus (s,,s r,e,,e m ) Diese bilden die Spalten von S O(m) λ n Aufgabe 8 a) a a a n a 0 0 a 0 0 a a a n 0 a a a 0 = a a 0 a a nn a n a nn a n a nn 0 0 a nn Für den (, )-Eintrag ergibt sich dann: n a j a }{{ j = a } a a = = a n = 0 a j 0 j= Für den (, )-Eintrag ergibt sich daraus: n j= a j a j }{{} a j 0 = a a + a a }{{ a } = = a n = 0 So ergibt sich induktiv die Behauptung, indem man die Diagonale weiter verfolgt 4

5 b) Wir gehen nach dem Algorithmus 8 vor: χ char A (t) = t(t ) Eig(A, ) = Kern(E A) = Lin(, ) und 0 Eig(A, 0) = Kern( A) = Lin( ) GSV: (, 4 ) ONB von Eig(A, ) und 0 ( ) ONB von Eig(A, 0) 4 A = 4 0 Die Signatur von A ist also (, 0) t Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Lineare Algebra finden Sie unter folgendem Link