ν m n mit Brechungsindex n und m N. (2.2)

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1 2 Resonator Um dem Resonator später als Frequenzlineal nutzen zu können, müssen wir uns zunächst mit seinen Eigenschaften vertraut machen. 2.1 Physik des Resonators Ein Spiegel-Resonator (im Englischen: cavity ) besteht aus zwei auf der optischen Achse liegenden teildurchlässigen Spiegeln S 1 und S 2 im Abstand L. Koppelt man einen Lichtstrahl ein, so kommt es zu konstruktiver Interferenz, wenn der Gangunterschied zwischen hin- und rücklaufendem Strahl ein Vielfaches der Wellenlänge ist. Ein Resonator heißt optisch-stabil, wenn ein paraxialer Lichtstrahl im Resonator auch nach vielen Reflexionen an den Spiegeln den Resonator nicht verlässt. Wir verwenden in diesem Versuch einen konfokalen Resonator, weil er auch bei kleinen Längenänderung stabil bleibt. Die Krümmungsradien R 1 und R 2 der beiden Spiegel entsprechen genau der Länge L des Resonators: R 1 = R 2 = L. Der Gangunterschied zwischen durchlaufendem und reflektiertem Strahl ist beim konfokalen Resonator 4L. 4L = mλ mit λ = c (2.1) ν m = m c 4Ln ν m n mit Brechungsindex n und m N. (2.2) Der Abstand zweier Transmissionslinien heißt freier Spektralbereich ν FSR und beträgt: ν FSR = ν m+1 ν m = c 4Ln (2.3) Diese Transmissionslinien haben aufgrund von Beugungsverlusten und Auskopplung eine endliche Halbwertsbreite δν. Die Finesse F des Resonators ist ein Maß für die Anzahl der Umläufe eines Photons im Resonator und wird über den Quotienten von freiem Spektralbereich und Halbwertsbreite Abbildung 2.1: konfokaler Resonator mit Lichtweg 11

2 2 RESONATOR Abbildung 2.2: Freier Spektralbereich ν und Halbwertsbreite δν berechnet: F = ν FSR (2.4) δν Literaturhinweise: [Mesch] Abschnitt 5.4 Fabry-Perot-Interferometer und Abschnitt 5.5 Optische Resonatoren, [Dem] Abschnitt 5.2 Optische Resonatoren Im Internet findet man einige schöne Java-Applets zum Thema Resonator auf Seite Frequenzmodulation der Laserdiode Das Lichtfeld der Laserdiode lässt sich durch E(t) = E 0 cos(ω 0 t) (2.5) = E 0 2 (eiω 0t + e iω 0t ) (2.6) beschreiben. Die Kreisfrequenz ω 0 ist zum Strom I proportional. Moduliert man den Strom periodisch mit der Modulationsfrequenz ω M : so bewirkt dies eine Frequenzmodulation des Diodenlasers: I(t) = I 0 + I M sin ω M t (2.7) E(t) = E 0 2 ei(ω 0t+M sin ω M t) + c.c. (c.c. = komplex konjugiert) (2.8) Der Modulationsindex M ist eine dimensionslose Größe und hier proportional zu I M. Die momentane Phase ist ψ(t) = ω 0 t+m sin ω M t. Man erhält die Kreisfrequenz durch Ableiten der Phase nach der Zeit: 12 ω(t) = dψ dt = ω 0 + Mω M cos ω M t = ω 0 + β cos ω M t (2.9)

3 2.2 Frequenzmodulation der Laserdiode Abbildung 2.3: Schema des FM-Spektrums bei konstanter Modulationsfrequenz und wachsendem Modulationsindex wobei β = ω M M Frequenzhub heißt. Es gilt wegen (Gleichung 2.13 (siehe Kurzerklärung) mit x = e iω M t und z = M): e im sin ω M t = J n (M)e inω M t n= (2.10) wobei J n die n-te Besselfunktion ist. Man erhält also: E(t) = E 0 2 ei(ω 0t) n= J n (M)e inω M t + c.c. (2.11) Das Lichtfeld setzt sich also aus Komponenten ω 0 ± nω M zusammen. Man nennt J 0 den Träger und J n das Seitenband n-ter Ordnung. Wir interessieren uns für die Intensitäten der einzelnen Frequenzkomponenten, welche zu J 2 n proportional sind. J 2 n ist in Abb aufgetragen. 13

4 2 RESONATOR Abbildung 2.4: Aufbau für die Resonatorexperimente. λ/2: λ/2 Plättchen, PBS: Polarising Beam Splitter, PD: Photodiode Testfragen: Der Resonator Wieso braucht man zwei Spiegel, um den Resonator einzukoppeln? Warum sollte bei einem Resonator die Finesse möglichst groß sein? Welche Wellenlängenänderung ergibt sich aus einer Frequenzänderung von 9, 2 GHz? 2.3 Aufbau Der Strahl ist schon in den Resonator eingekoppelt, wie Abb. 2.4 zeigt. Falls sich der Aufbau des Resonators einmal verstellen sollte, findet ihr in den Kurzerklärungen, wie man den Strahl am besten wieder einkoppelt. Für diesen Versuchsteil benötigen wir maximale Strahlausbeute zum Resonator. An einem Spiegel des Resonators ist ein Piezo-Element befestigt, über das man die Länge des Resonators verändert. Die Länge des Piezo-Elements ist der anliegenden Spannung proportional. Der Piezo darf nur mit positiver Spannung betrieben werden, damit seine Polarität erhalten bleibt. Der Hochvoltverstärker (Abb. 2.5) liefert diese Spannung (Vorsicht Hochspannung!). Über ein offset -Drehpotentiometer wird die Spannung auf ca. +80 V eingestellt (Einstellung 8). Damit stellt man sicher, dass sie auch bei aufmodulierter Span- 14

5 2.3 Aufbau Abbildung 2.5: Hochvoltverstärker nung nicht negativ wird. Man moduliert der Ausgangsspannung des Hochvoltverstärkers über den Frequenzgenerator eine Rampe auf (HV IN), um diese Spannung kontinuierlich und periodisch durchfahren zu können. Das Piezo-Element ist natürlich etwas träge und kann zu schnellen Spannungsänderungen nicht folgen. Daher sollte die Frequenz des aufmodulierten Signals kleiner als 100 Hz sein. Diese Spannungsrampe (HV OUT) wird an das Piezo-Element im Resonator angeschlossen Die Temperaturregelung Über die Temperaturregelung wird der Widerstand des NTCs an der Laserdiode gesteuert. Dabei vergleicht eine Elektronik einen einstellbaren Referenzwiderstand mit dem NTC- Widerstand. An dem Temperaturregelung-Einschub (siehe Abb. 1.3) ist der Referenzwiderstand über eine Grobeinstellung und eine Feineinstellung einzustellen. Bei der Grobeinstellung 12 ist der vorgeschaltete Widerstand Null, bei 11 sind es 5 kω, bei kω, bei 9 15 kω, u.s.w.. Das Drehpotentiometer hat einen Maximalwiderstand von 5 kω, den es bei Einstellung 0,0 annimmt. Bei Einstellung 10,0 ist der Widerstand des Potentiometers 0 kω. Die Abhängigkeit des NTC-Widerstands von der Temperatur ist bekannt (siehe Abb. 2.6 und Abb. 2.7). Bitte lasst die Grobeinstellung auf 8 (entspricht 20 kω), da bei größeren Widerständen (also bei kleinerer Grobeinstellung) die Diode auf Minusgrade gekühlt wird. 15

6 2 RESONATOR Abbildung 2.6: Diagramm NTC-Widerstand gegen Temperatur am NTC Abbildung 2.7: Temperatur gegen Feineinstellung bei Grobeinstellung 8 des Vergleichwiderstandes 16

7 2.4 Durchführung 2.4 Durchführung Aufgaben: Der Resonator 1. Zu bestimmen ist (2.4.1) der freie Spektralbereich ν FSR aus dem freien Spektralbereich die Länge des Resonators die Halbwertsbreite δν als Funktion des Laserstroms die Finesse F des Resonators 2. Miss die Strom-Frequenz-Charakteristik und die Temperatur- Frequenz-Charakteristik der Laserdiode (2.4.2)! 3. Charakterisiere die Frequenzmodulation (2.4.3)! Die Amplitude des aufmodulierten Signals am Frequenzgenerator ist am besten so einzustellen, dass etwa drei Transmissionspeaks zu sehen sind. Man kann die Länge des Resonators ändern, indem man vorsichtig an der Scheibe (hinterer Spiegelhalter) dreht. Wieso werden die Peaks dann kleiner und breiter? Freier Spektralbereich, Halbwertsbreite, Finesse Um den freien Spektralbereich bestimmen zu können, braucht man eine Referenzfrequenz. Die Idee dabei ist, dem Laser eine Radiofrequenz aufzumodulieren. Der Abstand zwischen Träger und n-tem Seitenband entspricht der n-fachen Modulationsfrequenz (siehe 2.2). Erhöhe mit RF-Adj (s. Abb. 2.8) die Leistung des VCO und beobachte am Signal der hinter dem Resonator stehenden Photodiode die Entstehung der Seitenbänder. Diese Transmissionspeaks sind in Abb. 2.9 skizziert. Den Abstand der Seitenbänder benutzen wir zur Eichung der Frequenzachse. Die benötigte Radiofrequenz RF bekommt man über das VCO- System Strom- und Temperatur-Frequenz-Charakteristik Strom-Frequenz-Charakteristik: Wir benutzen nun den Resonator als Spektralanalysator. Verändert man den Strom manuell um I, so kommt es zu einer Frequenzänderung von ν. Diese kann man messen, indem man die Transmissionspeaks abzählt, die eine markierte Stelle passieren. Sind es r Linien, so ist die Frequenzdifferenz ν = r ν FSR. Eleganter ist natürlich, den Strom nicht von Hand zu verändern, sondern ihn zu modulieren und die Transmissionspeaks und die Modulation 17

8 2 RESONATOR Abbildung 2.8: HF-Einschub Abbildung 2.9: Transmissionspeaks mit FM-Modulation 18

9 2.4 Durchführung Max Min Max Min Max Min Max J (1) (0.162) (0.090) (0.062) J (0.339) (0.120) (0.075) J (0.237) (0.089) (0.065) J (0.189) (0.085) 9.76 J (0.160) (0.08) J (0.140) 8.77 Tabelle 2.1: Modulationsindizes für die Minima und Maxima der Intensitäten der Besselfunktionen bis zur 5-ten Ordnung. In Klammern stehen die jeweiligen Amplituden (vgl. Abb. 2.10) mithilfe des Oszilloskops auszumessen. Zu bestimmen ist ν. Um wieviel Prozent kann I man die Laserfrequenz maximal mit dem Strom verändern? Temperatur-Frequenz-Charateristik: Nun wollen wir noch wissen, um wieviel man die Frequenz mit der Temperatur verändern kann. Die Temperatur der Laserdiode wird, wie in 1.1 und beschrieben, über einen NTC geregelt. Man kennt die Abhängigkeit des NTC-Widerstands von der Temperatur (siehe Abb. 2.6, Abb. 2.7 und??) und kann damit die Temperatur-Frequenz-Charakteristik über den freien Spektralbereich des Resonators bestimmen. Nun kann man wieder den Widerstand per Hand am Potentiometerdrehknopf (zur Temperaturfeineinstellung) ändern und damit die Temperatur der Laserdiode. Dadurch verändert man die Frequenz des Laserlichts. Die elegantere Möglichkeit ist (wie bei der Strom-Frequenz-Charakteristik) das Aufmodulieren einer Spannung. Hierbei entspricht eine Spannungsänderung von U = 10V einer Temperaturänderung von T = 0, 39K. Die Modulation sollte langsam erfolgen, damit die Temperaturregelung den Änderungen folgen kann Charakterisierung der Frequenzmodulation Zur Charakterisierung der Frequenzmodulation misst man die Intensitäten des Trägers und der Seitenbänder in Abhängigkeit des Modulationsindexes M (siehe 2.2). Stellt die Amplitude des Frequenzgenerators so ein, dass man nur ein Transmissionssignal beobachtet. An der Einstellung darf während dieser Messung nichts verändert werden. Das VCO-Signal kann man auch direkt am Oszilloskop anschauen und dabei auch die Amplitude verändern. Der Modulationsindex M ist zur Amplitude des VCOs proportional. Ist die Amplitude des VCOs ganz auf Null gedreht, so sieht man einen Peak (man befindet sich beim 1.Maximum der 0.Besselfunktion). Wenn man nun die Amplitude langsam vergrößert, so treten die ersten Seitenbänder hervor und der Peak 0.Ordnung wird kleiner. Der Träger (n = 0) hat sein erstes Maximum bei M = 0, sein 1. Minimum bei M = 2, 405, usw. In Tabelle 2.1 sind die Modulationsindizes für die Minima und Maxima der Intensität der Besselfunktionen angegeben. Vergleicht die Amplituden des VCO s und die jeweiligen Peakhöhen an den ersten 5 chahttp:// 19

10 Abbildung 2.10: Intensitäten der Besselfunktionen rakteristischen Punkten (Minima und Maxima des Trägers und der Seitenbänder) mit den theoretischen Werten aus Tabelle 2.1. (Natürlich muss dazu die Amplitude normiert werden.) Druckt euch ein paar charakteristische Bilder aus. Kurzerklärungen Einkoppeln des Resonators Bevor man den Resonator einkoppelt, sollte der Strahlengang vorjustiert werden, d. h. die Richtung über Strahlteiler und Spiegel einstellen und den Strahl parallel zum optischen Tisch verlaufen lassen, so dass er die Photodiode trifft. Dazu steht eine Justierhilfe zur Verfügung. Dann kann man den Resonator einfügen. Um auf dem Ozilloskop einen Peak zu sehen, muss man natürlich den Resonator scannen. Besselfunktionen Bei der Betrachtung der Besselfunktionen kann man von der Funktion 20 e z 2 (x 1 x ) (2.12) ausgehen. Sie ist für x C\{0} analytisch. Entwickelt man diese Funktion in eine Laurentreihe e z 2 (x 1 x ) = x n J n (z) (2.13) n= so erhält man die Besselfunktionen (Der Faktor 1 2πi J n (z) = 1 2πi dient zur Normierung) z2 x e 4x x n 1 dx (2.14)

11 Kurzerklärungen Eine andere äquivalente Definitionen der Besselfunktion lautet: J n (z) = = { 1 π π 0 1 π π 0 r=0 sin(z sin x) sin nx dx n ungerade cos(z sin x) cos nx dx n gerade ( 1) r ( z 2 )n+2r r!(n + r)! } (2.15) (2.16) Die Besselfunktionen sind symmetrisch für gerades n (J n (M) = J n (M)) und antisymmetrisch für ungerades n (J n (M) = J n (M)). VCO-System Das VCO-System beinhaltet einen spannungsgeregelten Oszillator (Voltage Controlled Oscillator), einen Abschwächer (Attenuator (=ATT)) und einen Richtkoppler (Directional Coupler (DCp)) (Abb. 2.11). Der VCO muss mit +12 V versorgt werden. Dazu gibt es an der Hinterseite mehrerer Einschübe +12 V Anschlüsse. Über CON ist er mit einer Gleichspannung (im RF-Einschub) verbunden, welche die Frequenz des VCOs bestimmt. Man kann über das Drehpotentiometer VCO Tune diese Spannung und somit auch die Frequenz des VCOs verändern. Über den Eingang MOD IN kann dieser Spannung zusätzlich ein Signal aufmoduliert werden (wird hier nicht benötigt). Der Ausgang LO AUX des VCOs ist ein Referenzsignal, das man am VCO Einschub abgreifen und an den Frequenzzähler anschließen kann. Damit kann die Frequenz des VCOs sehr genau eingestellt und abgelesen werden. Die Ausgangsleistung des VCOs wird über einen Abschwächer ATT (im RF-Einschub) mit dem Drehpotentiometer RF Adj (s. Abb. 2.8) eingestellt. Man kann den VCO nicht völlig abschalten, nur die Amplitude verringern. Bevor das RF-Signal der Laserdiode aufmoduliert wird, durchläuft es einen Richtkoppler DCp Ḋieser lässt 99 % der RF- Leistung durch und koppelt zusätzlich über einen Ausgang 1 % ( = -20 db) aus. Das abgezweigte Signal wird nochmal verstärkt und an das Oszilloskop angeschlossen. Abbildung 2.11: VCO-System 21

12 LITERATUR Literatur [Davis] C. C. Davis, Lasers and Electro-Optics: Fundamentals and Engineering, Cambridge University Press (1995). [Dem] W. Demtröder Laserspektroskopie, Springer-Verlag, 4.Auflage (2000). 1.1, 2.1, 3.1 [Dem 3] W. Demtröder Experimentalphysik 3, Atome, Moleküle und Festkörper, Springer- Verlag, 2.Auflage (2000) 1.1, 2.1.3, 3.1 [Gerth] C. Gerthsen, H. Vogel Physik, Springer-Verlag, 18.Auflage (1995) [Hak-Wol] H. Haken, H. C. Wolf Atom- und Quantenphysik, Springer-Verlag, 7. Auflage (2000) 1.1, 2.1.2, 3.1 [Hecht] E. Hecht Optik, Addison-Wesley (1994) [Kneu] F.K. Kneubühl, M.W. Sigrist Laser, Teubner Studienbücher Physik (1999) 1.1 [May-Kuck] T. Mayer-Kuckuk Atomphysik, Teubner Studienbücher Physik (1985) 1.1, [Mesch] D. Meschede Optik, Licht und Laser, Teubner Studienbücher Physik (1999). 1.1, 2.1, [Sieg] Siegmann Laser, University Science Books (1986) [Winn] A. A. Winnacker Physik von Maser und Laser, BI, Mannheim (1984)