Willkommen zur sechsten Saalübung

Transkript

1 Willkommen zur sechsten Saalübung 1

2 Aufgabe 5.1 a) Kontextfreie Grammatik G = (N, {a, b}, S, P ), so dass L(G) die Sprache aller Palindrome über {a, b} ist.. 2

3 Aufgabe 5.1 a) Kontextfreie Grammatik G = (N, {a, b}, S, P ), so dass L(G) die Sprache aller Palindrome über {a, b} ist. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ}. 3

4 Aufgabe 5.1 b) Ableitung von baaab aus S. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ}. 4

5 Aufgabe 5.1 b) Ableitung von baaab aus S. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ} S bsb basab baaab. 5

6 Aufgabe 5.1 c) Ableitung von abaaaba aus S. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ}. 6

7 Aufgabe 5.1 c) Ableitung von baaab aus S. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ} S asa absba abasaba abaaaba. 7

8 Aufgabe 5.1 d) Beweisen, dass G jedes Palindrom erzeugt. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ}. 8

9 Aufgabe 5.1 d) Beweisen, dass G jedes Palindrom erzeugt. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ} Induktion: Induktionsanfang: ɛ, a, b sind ableitbar aus S. 9

10 Aufgabe 5.1 d) Beweisen, dass G jedes Palindrom erzeugt. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ} Induktion: Induktionsannahme: Für festes k sind alle Palindrome der Länge k und k + 1 ableitbar aus S. 10

11 Aufgabe 5.1 d) Beweisen, dass G jedes Palindrom erzeugt. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ} Induktion: Induktionsschritt: Alle Palindrome der Länge k+1 und k+2 sind ableitbar. Palindrome der Länge k + 1: Gilt nach Induktionsannahme. 11

12 Aufgabe 5.1 d) Beweisen, dass G jedes Palindrom erzeugt. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ} Palindrome der Länge k + 2: w = aw a oder w = bw b. w ist ebenfalls Palindrom, hat Länge k w ableitbar aus S. 12

13 Aufgabe 5.1 d) Beweisen, dass G jedes Palindrom erzeugt. N = {S}, P = {S asa bsb a b ɛ} Palindrome der Länge k + 2: w = aw a oder w = bw b. S asa aw a S bsb bw b 13

14 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ a) w L(G) N a (w) = N b (w).. 14

15 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ a) w L(G) N a (w) = N b (w). Alle aus S ableitbaren Wörter w erfüllen N a (w) = N b (w). In 0 Schriten abgeleitet: N a (S) = N b (S) = 0. 15

16 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ a) w L(G) N a (w) = N b (w). Induktionsannahme: Alle aus S in k Schritten ableitbaren Wörter w erfüllen N a (w) = N b (w). 16

17 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ a) w L(G) N a (w) = N b (w). In k + 1 Schritten: Stimmt für Ersetzungen S SS ɛ. 17

18 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ a) w L(G) N a (w) = N b (w). In k + 1 Schritten: Stimmt für Ersetzungen S asb bsa. 18

19 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ b) N a (w) = N b (w) w L(G).. 19

20 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ b) N a (w) = N b (w) w L(G). Induktionsanfang: Gilt für ɛ. 20

21 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ b) N a (w) = N b (w) w L(G). Induktionsannahme: Gilt für alle Wörter, die höchstens die Länge k haben. 21

22 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ b) N a (w) = N b (w) w L(G). Induktionsschritt: Gilt dann auch für alle Wörter, die höchstens die Länge k + 1 haben. Einziger interessanter Fall: w = k

23 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ b) N a (w) = N b (w) w L(G). w = bw a oder w = aw b: w nach Induktionsannahme ableitbar. S asb aw b. 23

24 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ b) N a (w) = N b (w) w L(G). w = bw b oder w = aw a: w 1 w 2 : w 1 w 2 = w i {1, 2} : N a (w i ) = N b (w i ). 24

25 Aufgabe 5.2 S asb bsa SS ɛ b) N a (w) = N b (w) w L(G). w 1, w 2 ableitbar nach Induktionsvoraussetzung. S SS w 1 S w 1 w 2 = w. 25

26 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. a) S R angeben.. 26

27 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. a) S R angeben. S R = S 27

28 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. b) S R nachrechnen.. 28

29 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. b) S R nachrechnen. (a, b) S ggt (a, b) = 1 a teilt a. c = a : (a, c) R (c, b) S (a, b) S R. 29

30 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. b) S R nachrechnen. (a, b) S R c : ggt (c, b) = 1 a teilt c. Jeder gemeinsame Teiler von a und b ist somit gemeinsamer Teiler von c und b. ggt (a, b) = 1 (a, b) S. 30

31 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. c) R S angeben.. 31

32 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. c) R S angeben. R S = N 0 N 0 32

33 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. d) R S nachrechnen.. 33

34 Aufgabe 5.3 arb gilt, wenn a ein Teiler von b ist. asb gilt, wenn ggt (a, b) = 1 gilt. d) R S nachrechnen. (a, b) N 0 N 0, c = 1: c = 1 : (a, c) S (c, b) R (a, b) R S. 34