Einführung in die planungsbezogene EDV Einheit 7 Autoren: Riedl, Reinberg VU Makros Reinhardt, Hubmann. Einführung in die planungsbezogene EDV

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1 Einführung in die planungsbezogene EDV VU WS 2010/2011 Arbeitsunterlagen E i n h e i t 7 Lehrveranstaltungsleiter: Autoren: Univ. Ass. Dipl. Ing. Robert KALASEK Wiss. Oberrat Dipl. Ing. Leopold RIEDL Dipl. Ing. Sebastian REINBERG Jakob HUBMANN Univ. Ass. Dipl. Ing. Verena RIEDL Univ. Ass. Mag. Philip REINHART Florian STROHMAYER BSc. Fachbereich für Stadt und Regionalforschung Seite 1

2 Thema: Das Spiel des Lebens und der Makro Rekorder 1970 hat der britische Mathematiker John H. Conway das Game of Life erfunden, eine Simulation, die mit sehr einfachen Regeln überraschend komplexe Strukturen entwickelt [Scientific American 1970/10]. Das "Game of Life" spielt sich auf einem (theoretisch) unendlich großen Gitter mit quadratischen Zellen ab. Eine Zelle ist entweder tot oder lebendig. Zellen verändern sich nach den beiden folgenden Regeln, die sich jeweils auf die 8 Nachbarzellen (horizontal, vertikal und diagonal) beziehen: Regel 1: Eine tote Zelle mit genau 3 lebenden Nachbarn wird selbst lebend. Andernfalls bleibt sie tot. Regel 2: Eine lebende Zelle bleibt am Leben, wenn sie 2 oder 3 lebende Nachbarn hat. Andernfalls stirbt sie (entweder aus "Einsamkeit" oder aufgrund von "Überbevölkerung"). Das ganze Gitter entwickelt sich in einzelnen, diskreten (d.h. sprunghaften) Schritten vom Zeitpunkt t zum nachfolgenden Zeitpunkt t+1. In jedem Zeitschritt verändern sich alle Zellen gleichzeitig nach den beiden Regeln. Ein tatsächlich unendlich großes Gitter kann natürlich nicht angesprochen werden. Ersatzweise wird ein quadratisches Gitter mit fester Länge und Breite verwendet. Der linke und der rechte Rand des Gitters sollen als horizontal benachbart behandelt werden, ebenso der obere und der untere Rand als vertikal benachbart. Aus topologischer Sicht arbeitet das Programm somit auf einem Torus ("Schwimmreifen"; siehe dazu die Abb. auf der nächsten Seite). (nach Quellen / Informationen zum Thema Eine, wirklich gelungene und gut illustrierte deutschsprachige Beschreibung des "Game of Life" (und davon abgeleitete Varianten) findet Ihr im Internet unter der Adresse [Quelle: Leop.Riedl] Seite 2

3 Das "Game of Life" ist ein Spezialfall eines sog. "Zellulären Automaten". Für mögliche Anwendungen von zellulären Automaten in der Geographie und Raumplanung sei hier auf und die darin zitierten Quellen verwiesen. Weitere interessante, wissenschaftliche Texte auf englisch zu diesem Thema findet ihr im Web z.b. unter den Adressen und Ebenfalls lohnt es sich, in einer Suchmaschine (z.b. Google) die Suchbegriffe "Zelluläre Automaten" (engl. "cellular automata") oder "Game of Life" einzugeben und einfach ein bisschen drauflos zu surfen... Das Leben auf einem Schwimmreifen: die Torus Welt Die Abbildung links zeigt, wie aus einem Rechteck (1) durch Verkleben der jeweils gegenüberliegenden Ränder in zwei Schritten (2, 3) ein Torus entsteht. Das Ergebnis ist eine geometrische Fläche, auf der man sich beliebig lang in einund dieselbe Richtung bewegen kann, ohne dabei an einen Rand zu stoßen. Diese Fläche ist zwar nicht unendlich groß, aber immerhin randlos, also in gewisser Weise doch unbegrenzt. ast123h/lectures/lec16.html Umsetzung der Torus Welt mit Excel Lebende Zellen werden durch den Wert 1 repräsentiert und tote Zellen durch den Wert 0 (siehe nächste Seite). Das Quadratgitter der Welt wird am Rand um jeweils eine Zelle erweitert (siehe nebenstehende Abbildung). In diese äußeren Randzellen werden Bezüge zu den jeweils gegenüber liegenden inneren (!) Randzellen eingegeben. In den äußeren Eckzellen müssen die Bezüge natürlich diagonal zu den gegenüberliegenden inneren Randzellen der Welt eingegeben werden. Als ersten Arbeitsschritt wollen wir nun die Datei E7_VO_GameOfLife_oF.xlsx mit den Grundelementen des Lebens füllen. und das ganze unter neuem Namen abspeichern!!! o Funktionen / Bezüge o Bedingte Formatierungen o Namen Seite 3

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5 Die Rückkopplung des Modells = dem Spiel das Leben einhauchen Um nun eine Generation an die andere zu knüpfen, müssen die Werte der Zellen der Generation t+1 über die Zellen der Generation t kopiert werden. Dadurch wird eine weitere Generation also die Generation t+2 berechnet. Allfällige weitere Wiederholungen dieses Kopierens erzeugen danach sukzessive die Generationen t+3, t+4, usw.... Die folgenden Schritte sind für einen einzelnen Kopiervorgang notwendig: (1) Register Start / Bearbeiten / Suchen und Auswählen / Gehe zu / Generation_t_plus_1 (2) Kopieren (3) / Gehe zu / Generation_t (4) Zwischenablage / Einfügen / Werte einfügen (5) Esc Taste drücken zum Beenden des Kopierens (dadurch verschwindet die spezielle, punktierte Markierung während des Kopierens wieder). (6) Eine Zelle außerhalb der Spielfläche auswählen, um wieder freien Blick auf die Welt zu erlangen (z.b. die Zelle A1 ganz links oben in der Ecke). Diese sechs Schritte müssen für die Berechnung jeder weiteren Generation wiederholt und ident durchgeführt werden. Zur mehrmaligen Anwendung dieser Befehle wäre es angenehm und wünschenswert, wenn sie zu einem einzigen Befehl zusammengefasst werden könnten. Genau diese Aufgabe erfüllt der Makro Rekorder, welcher eine Folge von interaktiv eingegebenen Befehlen in Programmbefehle der Programmiersprache Visual Basic übersetzt. Und das funktioniert so: (1) Mit Ansicht/ Makro /Makro Aufzeichnen... den Namen und den Tastatur Shortcut für den späteren Aufruf festlegen (z.b. Strg + n wichtig ist hier v.a. nicht einen Shortcut zu wählen der bereits mit einer anderen häufig benutzten Funktion belegt ist wie z.b. Strg+c / Strg+v) und den Rekorder mit OK einschalten. Es erscheint automatisch eine kleine Symbolleiste, mit der die Aufzeichnung des Makros wieder beendet werden kann (siehe Abbildung unten). (2) Nun die obigen Schritte (1) bis (6) ausführen. ACHTUNG: Unbedingt mit Konzentration vorgehen, weil der Rekorder gnadenlos auch falsche und fehlerhafte Befehle aufzeichnet! (3) Den Makro Rekorder wieder ausschalten durch Klick auf die Schaltfläche Aufzeichnung beenden ganz links in der Statusleiste. Ab nun steht die eingegebene Folge von Befehlen über den Tastatur Shortcut Strg+n en bloc zur Verfügung. Das Makro wird automatisch in der aktuellen Excel Datei mitgespeichert. Seite 5

6 Makros anpassen: Das automatisch aufgezeichnete Programmstück kann danach auch noch zur Kontrolle eingesehen und ggf. nachträglich verändert und angepasst werden. o Register Start / Makros / Makros anzeigen o Makro auswählen und [BEARBEITEN] drücken o Es erscheint der Visual Basic Editor mit dem aufgezeichneten Programm Mit etwas Phantasie könnt ihr nun leicht erkennen, welchen zuvor interaktiv eingegebenen Befehlen die einzelnen Programmzeilen entsprechen. Alternativ kann die Bearbeitung von Makros in Excel auch über die Registerkarte Entwicklertools erfolgen. Diese ist allerdings nicht standardmäßig eingeblendet und muss erst aktiviert werden. o o Office Schaltfläche / Excel Optionen Entwicklerregisterkarte in der Multifunktionsleiste anzeigen aktivieren Das Register Entwicklertools ist nun in der Excel Oberfläche enthalten und ermöglichst u.a. den Zugriff auf Excel Makros. Seite 6

7 Anmerkung zum Makro: Im Visual Basic Editor erkennt ihr den Vorteil, der euch aus dem Vergeben von Namen für die Bezüge zu Generation_t und Generation_t_plus_1 erwächst. Das Makro funktioniert auch dann noch in gewünschter Weise, wenn ihr die Bezüge verändert, die hinter diesen Namen stehen (z.b. um eine größere Spielfläche zu erhalten), weil es nur über die abstrakte Ebene der Namen auf Tabelleninhalte zugreift und nicht direkt über konkrete Bezugsadressen (wie $C$9:$V$28 für Generation_t). Dadurch wird die Wiederverwendbarkeit des Makros gesteigert. Es kann sogar in anderen Excel Arbeitsmappen eingesetzt werden, wenn die vergebenen Namen gleich sind (siehe dazu Excel Hilfe). Besonders Mutige trauen sich auch das Programm etwas zu verändern. Eine gute Idee ist z.b., während der Ausführung des Makros die Bildschirmaktualisierung auszuschalten. Durch diese Maßnahme wird das unangenehme Flackern des Bildschirms durch den permanenten Wechsel der Markierungen bei der repetativen Ausführung des Makros weitgehend vermieden. Dazu muss nur die zusätzliche Zeile Application.ScreenUpdating = False am Beginn des Makros eingegeben und die folgende Zeile an sein Ende gestellt werden: Application.ScreenUpdating = True Gesamtverhalten des GameOfLife beobachten Nun kann s ans ausprobieren gehen. In der folgenden Abbildung ist zu beobachten, dass sogar die sehr einfachen und nur lokal wirkenden Regeln des Game of Life ein sehr komplexes, globales Verhalten des Systems zur Folge haben. Besonders interessant sind vor allem zwei Umstände: o Manche Strukturen sind selbst reproduzierend. Die 5 zellige Anordnung ganz links oben (Abb. S. 7) (t=0) wiederholt sich alle 4 Generationen um eine Zelle schräg nach rechts unten versetzt (siehe t=4). Sie wandert also. o Es existieren stabile Strukturen. So bleibt das 4er Quadrat knapp oberhalb der Mitte der Miniwelt in den Generationen 8 bis 15 unverändert es schläft quasi, bevor es durch andere Strukturen in der Generation 16 wieder wachgeküsst wird und sich in der Folge wieder auflöst. Seite 7

8 Die ersten 20 Jahre des Game of Life [Quelle: eigene Darstellung] EXCEL MAKROS und SICHERHEIT: Achtung!!! Makros sind zwar praktisch, stellen aber auch ein erhebliches Sicherheitsrisiko dar, da über nicht nur auf Excel sondern auch auf viele Funktionen des Betriebssystems zugegriffen werden kann. In der Standardeinstellung von Excel sind Makros nach dem öffnen von Dateien daher sinnvollerweise einmal deaktiviert (Details siehe Makrosicherheit in der Excel Hilfe). Dies erkennt man an der Sicherheitswarnung unterhalb der Multfunktionsleiste. Will man diese dennoch nutzen weil man sich sicher ist, dass sie nützlich und unschädlich sind, wählt man unter den [OPTIONEN] den Punkt Diesen Inhalt aktivieren und die Automatisierung kann beginnen. Seite 8

9 (UE1) Übungsaufgabe 1 Ein Makro für die Initialisierung Eine sehr praktische Komplettierung des Systems ist die Definition eines zweiten Makros für eine erneute Initialisierung des Spiels. Die Formel mit der ZUFALLSZAHL und der WENN Funktion wurde ja durch die erste Rückkopplung des Spiels einfach überschrieben und ging somit unwiderruflich verloren. So geht s: (1) Entwicklertools / Makro aufzeichnen (benennen und Tastatur Shortcut definieren: z.b. Strg+i) (2) Suchen und Auswählen / Gehe zu... Generation_t (3) Formelbearbeitungszeile aktivieren und die gewünschte Formel eingeben (Wenn, Zufallszahl; siehe weiter vorne in dieser Unterlage) (4) Strg Eingabetaste zum Eingeben der Formel in den gesamten ausgewählten Zellbereich (5) Zelle A1 markieren (6) Aufzeichnen beenden Nun könnt ihr jederzeit mit Strg+i ein neues Spiel des Lebens beginnen... (UE2) Übungsaufgabe 2 Verallgemeinerung des "Game of Life" Conways klassische Regeln des "Spiels des Lebens" können auch als ein Spezialfall eines allgemeinen Regelwerkes betrachtet werden (siehe dazu auch die Informationen auf der Seite Dabei wird die Übergangsfunktion von einer Generation t zur nachfolgenden Generation t+1 in Form einer Matrix mit 2 Zeilen und 9 Spalten festgelegt. Die Zeilen stehen für den Zustand einer Zelle zum Zeitpunkt t (0 oder 1) und die Spalten stehen für die Anzahl der lebenden Zellen in der Umgebung (0 bis 8). Das Ergebnis (=der Zustand der Zelle zum Zeitpunkt t+1) wird als Wert in der Matrix an der entsprechenden Stelle eingetragen 1. Die klassischen Regeln des Spiels lassen sich also wie in der Abbildung rechts angeben. Zuvor tote Zellen werden bei genau 3 lebenden Nachbarn geboren (0 1), lebende Zellen überleben bei 2 oder 3 Nachbarn (1 1) und der Rest ist/bleibt tot ( 0). Die Regeln des klassischen "Spiel des Lebens" Die Formel zur Berechnung der Generation t+1 (WENN in Matrixschreibweise (Life23/3) Funktionen) müsst ihr entsprechend adaptieren wahrscheinlich ist eine INDEX Funktion hier sehr hilfreich. Nachdem ihr die neue Formel eingegeben und überprüft habt (das Verhalten des Systems sollte bei obiger Übergangsmatrix dasselbe sein wie zuvor!), könnt ihr nun durch Veränderung der Übergangmatrix mit dem Spiel experimentieren. Freunde des Wassersports könnten sich z.b. an den nebenstehenden Regeln erfreuen, unter denen durchaus bemerkenswerte wandernde Strukturen wie "Schwimmer" und "Segler" existieren. Weitere Ausführungen dazu findet ihr unter Welt Alternative Regeln des klassischen Spiels in Matrixschreibweise (Life35/3) 1 Wandernde Strukturen in "Life35/3"; oben: zwei "Schwimmer" 1 Kurzschreibweise für die Regeln: LifeX/Y mit X=Liste von lebenden Nachbarzellen zum überleben und Y=Liste von lebenden Nachbarzellen für eine Geburt (Für das klassische GameOfLife also Life23/3). Seite 9

10 (VO) Thema: Kürzeste Wege Matrix Nun zu einer etwas mathematisch technischeren Fragestellung aus dem Gebiet der Graphentheorie, die mit ähnlichen Makros wie das "Spiel des Lebens" gelöst werden kann. Im Rahmen von regionalanalytischen Untersuchungen wird oft eine sog. "Kürzeste Wege Matrix" benötigt. Diese quadratische Matrix (i,j = 1,..,n mit n = Anzahl der Knoten des Graphen) enthält für jedes Paar (i,j) von Knoten die Länge der kürzesten Wegeverbindung vom Knoten i zum Knoten j über ein Netzwerk von gerichteten und bewerteten Kanten. 2 Definition²: Ein Graph ist eine abstrakte mathematische Struktur. Er besteht aus einer Menge von Knoten V und einer Menge von Kanten E zwischen diesen Knoten (E VxV). Zur leichteren Vorstellung: Als Knoten kann man sich beispielsweise Siedlungen oder Straßenkreuzungen vorstellen und als Kanten Verbindungsstraßen zwischen diesen Knoten. Manche Kanten können möglicherweise nur in eine Richtung befahren werden ( Einbahnen; gerichteter Graph) und als Bewertung (oder Gewicht) einer Kante ist der zu ihrer Überwindung notwendige Zeitaufwand in Minuten oder auch die (Treibstoff /Maut /Versicherungs,...)Kosten in vorstellbar (das Ganze sollte euch übrigens aus einer der vergangenen Einheiten ein bisschen bekannt vorkommen). Beispiel: Unser Beispielgraph enthält 15 Knoten (nummeriert mit 1,...,15), welche durch 21 (teilweise gerichtete) Kanten mit einander verbunden sind (Angabe in Datei E7_VO_Wege_mit_Floyd_oF.xlsx). Jede Kante ist mit einem Gewicht versehen, welches in der Folge als Länge der Kante bezeichnet wird. Eine weit verbreitete Art der Codierung (Definition, Anschreibung) eines Graphen ist die Angabe in Form einer Kantenliste (hier: eine kurze EXCEL Datenbank; für die Beschreibung der Attribute, insbesondere des Merkmals EINBAHN siehe die Abb. rechts). 2 Für den vertieften, fachlichen und planungsbezogenen Hintergrund sei hier ausdrücklich auf die Vorlesung "Methoden der Regionalanalyse" im 3. und die zugehörigen Übungen im 4. Semester hingewiesen. Seite 10

11 Eine alternative Art der Beschreibung eines Graphen ist seine sog. Adjazenzmatrix, welche schon in einer der vorangegangenen Übungseinheiten von euch mit Hilfe von DB Funktionen, mehrzeiligen Suchkriterien und einer Mehrfachoperation berechnet wurde (für Details siehe die zugehörige Unterlage; nebenbei: Der hier verwendete Beispielgraph ist auch derselbe). Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist eine quadratische Matrix. Sie enthält an der Stelle (i,j) die Länge der Kante(i,j), falls der Knoten j vom Knoten i aus direkt über mit Kante verbunden ist, andernfalls den Wert unendlich. 3 Die Hauptdiagonale (i=j) enthält den Wert 0. Der Informationsgehalt einer Adjazenzmatrix ist jener der Listenform. Sie ist eben lediglich eine alternative Form der Angabe eines Graphen. Berechtigte Frage: Warum berechnen wir sie überhaupt, wo sie doch mehr Speicherplatz benötigt? 4 Antwort: weil sie für viele Anwendungen praktischer ist. Unter anderem ist die Adjazenzmatrix der Ausgangspunkt für die Berechnung der Kürzeste Wege Matrix nach dem Algorithmus von Floyd Zuerst einmal zum Algorithmus in seiner abstrakten Form (nach Wikipedia 5 ; a[i,j] ist die Adjazenzmatrix des Graphen). Die Matrix d[i,j] der kürzesten Distanzen in einem Netzwerk (kurz auch KW Matrix genannt) errechnet sich wie folgt ( n = Anzahl der Knoten ): (1) Für alle i,j : d[i,j] = a[i,j] (2) Für k = 1 bis n (3) Für alle Paare i,j (4) d[i,j] = min (d[i,j], d[i,k] + d[k,j]) Im Schritt (1) wird also die Distanzmatrix d mit der Adjazenzmatrix a initialisiert. Danach wird für alle Knotenpaare i,j überprüft, ob die Distanz zwischen i und j verringert werden kann, wenn über einen bestimmten Knoten k gegangen wird (Schritte (3) und (4)), wobei k selbst der Reihe nach alle Werte von 1 bis n durchläuft (Schritt (2)). Da in der inneren Schleife immer 3 Knoten gleichzeitig betrachtet werden (i,j,k), wird dieses Verfahren zur Berechnung der KW Matrix auch "Tripel Algorithmus" genannt. Dass der Floyd Algorithmus tatsächlich das gewünschte Ergebnis liefert (nämlich eine Matrix der kürzesten Distanzen zwischen allen Knoten i und j), kann mathematisch mittels vollständiger Induktion nach k bewiesen werden. In der Online Enzyklopädie Wikipedia (siehe Link in der Fußnote) findet ihr eine mehr informelle Argumentation. 3 Für unendlich wird in der Praxis eine "sehr große" Zahl verwendet (hier 999). Diese Zahl muß jedenfalls größer sein als der sog. Durchmesser des Graphen (i.e. die längste Verbindung im Graphen zwischen 2 Knoten) 4 Speicherbedarf: Liste: 21 Zeilen * 4 Spalten = 84 Zellen; Matrix: 15 Zeilen * 15 Spalten = 225 Zellen! 5 Siehe auch Domschke (1981): "Logistik: Transport", Oldenburg Verlag München, Wien, Seite 65ff; und Seite 11

12 Umsetzung mit EXCEL Wir werden dabei in 4 Schritten vorgehen: (a) Vorbereitende Arbeiten: Einrichten und Benennen bestimmter Zellbereiche (b) Initialisierung mit der Adjazenzmatrix mittels eines aufgezeichneten Makros (c) Das Herzstück: die Schritte (3) und (4) des Algorithmus mit Hilfe von Tabellenfunktionen implementieren (2 Möglichkeiten) (d) Iteration über alle Zwischenknoten k mit Hilfe eines aufgezeichneten Makros (plus händischer Nachbesserung) (a) (a1) (a2) (a3) (a4) (b) Vorbereitende Arbeiten Benennen der "Adjazenzmatrix" (in der ausgeteilten Tabelle bereits geschehen) Einfügen eines neuen Tabellenblattes (Befehl: Untere Taskleiste/ Tabellenblatt) und Umbenennen auf z.b. "Floyd" (oder sonstwas Sinnvolles; rechte Maustaste auf das Registerblatt "Ohrwaschl" unten; in der ausgeteilten Tabelle bereits geschehen) Einrichten von zwei (!!) 15x15 Zellen große Bereiche für die d ij Matrizen plus eine zusätzliche Zeile und Spalte für die Knotennummern im neu angelegten Tabellenblatt (s. die Abbildungen auf der nächsten Seite; ist in der ausgeteilten Tabelle bereits geschehen). Benennen der beiden Bereiche mit "dijalt" und "dijneu". Einrichten einer Zelle zur Aufnahme des Zwischenknotens k (in der ausgeteilten Tabelle bereits geschehen) und Benennen mit "k". Initialisierung der Adjazenzmatrix Der Ausgangspunkt des Kürzeste Wege Algorithmus ist die zuvor berechnete und benannte "Adjazenzmatrix", deren Werte über die Matrix "dijalt" kopiert werden sollen. Da möglicherweise dieser Schritt öfters durchgeführt werden soll (z.b. zum Testen oder weil sich der Graph und somit die Adjazenzmatrix verändert hat), erscheint die Aufzeichnung der dafür notwendigen Einzelschritte/ befehle in einem Makro zweckmäßig: (b1) Entwicklertools / Makro aufzeichnen (Makroname: Init, Tastaturschlüssel Strg+i), (b2) Start/ Suche und Auswählen / Gehe zu "Adjazenzmatrix", (b3) Kopieren, (b4) Suche und Auswählen / Gehe zu "dijalt", (b5) Einfügen / Werte einfügen, (b6) Esc Taste drücken zum Beenden des Kopiervorganges, (b7) Suche und Auswählen / Gehe zu "k", (b8) Den Wert "1" eingeben (als Startwert für k), (b9) Aufzeichnen des Makros beenden. Seite 12

13 (c) Das Herzstück des Algorithmus Die Schritte (3) und (4) des Algorithmus nach Floyd werden nun mit Hilfe von "normalen" Tabellenfunktionen implementiert. Prinzipiell bestehen 2 Möglichkeiten: links: Lösung mit gemischten Bezügen (und Formeln); rechts: Lösung mit Mehrfachoperation (Denksport ) Es wird für jede Beziehung (i j) überprüft, ob der bislang gefundene Weg kürzer oder länger ist als der Weg von i nach j über einen bestimmten Zwischenknoten k. Also die Frage: Was ist kleiner, d(i j), oder d(i k)+d(k j)? Die Funktion =MIN(a;b;...) liefert die kleinste Zahl. ACHTUNG: bei der Lösung links braucht ihr gemischte Bezüge, weil i und j jeweils in einer festen Spalte, bzw. Zeile stehen (siehe Abb. Spalte $B und Zeile $23) Hinweis am Rande Zelle G42 "=FormelText(Bezug)" ist eine sogenannte benutzerdefinierte Funktion dazu mehr in einer der folgenden Einheiten!: hier für Interessierte der Programmcode. Für die in der Abb. oben verwendete Tabellenfunktion INDIREKT siehe die EXCEL Online Hilfe. Seite 13

14 (d) Iteration Laut Algorithmus müssen wir nun den vorangegangenen Schritt (c) für sämtliche Zwischenknoten k = 1,...,15 durchführen (und nicht nur für den Knoten 1). Dazu sind jeweils zwei zu wiederholende Einzelschritte notwendig: (d1) (d2) die Werte der neuen d ij Matrix über die alte d ij Matrix kopieren und den Wert von k um 1 erhöhen. Und das solange, bis alle Zwischenknoten abgearbeitet sind also insgesamt (15 1)=14 Mal! Der Punkt (d1) ist mittlerweile (fast) Routine, weil er im Prinzip technisch nichts anderes ist als die Rückkopplung im "Spiel des Lebens" bzw. der Initialisierungsschritt der Kürzeste Wege Berechnung, nämlich das Kopieren von Werten (!) eines Quellbereiches über einen Zielbereich. Der Quellbereich ist der als "dijneu" benannte Bereich und der Zielbereich ist "dijalt". Der Punkt (d2) ist nicht ganz so einfach zu lösen. Wir tragen beim Aufzeichnen des Matrix hier vorerst einmal den Wert "2" ein. Hier gleich das Ergebnis der Makro Aufzeichnung im Visual Basic Editor: Was jetzt noch fehlt ist das sukzessive Hochzählen des Wertes von k (also, 1,2,3,...,15). Dazu wird die in der Abbildung markierte Zeile ersetzt durch: ActiveCell.FormulaR1C1 = ActiveCell.Value + 1 Mit der Value Eigenschaft der aktive Zelle wird auf ihren aktuellen Wert zugegriffen, dieser um 1 erhöht und der aktiven Zelle wieder als Formel (und somit als Wert!) zugewiesen. Und fertig! Das Ergebnis steht im Bereich "dijneu". Ab jetzt kann die KW Matrix durch 1x STRG i und 14x STRG k berechnet werden. Seite 14

15 (UE3) Übungsaufgabe 3 Ende des Verfahrens abfragen Wird 1x zu viel STRG k gedrückt, dann schießt der Algorithmus quasi über sein Ziel hinaus, was sich in der "dijneu" Matrix durch das Auftauchen von Fehlerwerten manifestiert (Erklärung: Die Funktion INDEX bekommt als Zeile bzw. Spalte den Wert k=16 und die Matrix "dijalt" hat aber nur 15 Zeilen bzw. Spalten). Eine sehr einfache Lösung ist das Einfügen folgender Zeile ganz am Anfang des Programms, also gleich in die erste Zeile nach Sub Iter() und den darauf folgenden Kommentarzeilen): If Range("k").Value >= 15 Then Exit Sub Dadurch wird das Programm (die Sub = Abkürzung für Subroutine = Unterprogramm) bei einem Wert von k größer oder gleich 15 sofort verlassen (Exit). Außerdem seht ihr, wie auf den Wert von Zellen direkt zugegriffen werden kann, nämlich durch Range("Bezug_oder_Name_einer_Zelle").Value (UE4) Übungsaufgabe 4 "Alle 15 auf einen Streich" Wer noch etwas weiter denkt, findet nebenstehendes Programm wahrscheinlich ganz praktisch. Nach dem Aufruf des Makros Init wird die For...Next Schleife exakt 14x durchlaufen (für jedes k beginnend mit 2 bis 15 genau einmal). Dabei wird jedes Mal das Makro Iter durchgeführt. Also, die tastaturschonende Variante zur Kürzeste Wege Berechnung. (UE5) Übungsaufgabe 5 Berechnung der Nachfolgermatrix Wenn nicht nur die Distanz zwischen 2 Knoten auf dem kürzesten Weg gefragt ist, sondern auch der Weg selbst (im Sinne einer geschlossenen Kantenfolge über sämtliche Zwischenknoten), dann muss die sog. Nachfolgermatrix parallel zur KW Matrix aufgebaut werden. Definition: Die Nachfolgermatrix enthält an der Stelle i,j den Eintrag k, wenn auf dem kürzesten Weg vom Knoten i zum Knoten j zuerst der Knoten k aufgesucht werden muss (k ist also der direkte Nachfolger von i auf dem Weg nach j). Durch sukzessives Verfolgen kann somit der kürzeste Weg als Folge von Knoten k aufgebaut werden (so lange in der Spalte j nachschauen, bis das Ziel erreicht ist). Diese konkrete Anwendung ist auch Teil dieser Übungen siehe nächste Übungsaufgabe). Hier vorerst einmal das Erzeugen dieser Nachfolger NF Matrix. Hinweis: Dieser Übungsteil (UE5) ist relativ anspruchsvoll und soll eine Herausforderung für ambitionierte Übungsteilnehmer/innen darstellen. Die Übrigen können getrost direkt zum Übungsteil (UE6) übergehen, wo das Ergebnis dieses Übungsteils in der Angabe bereits vorberechnet mitgeliefert wird. Der Aufbau der NF Matrix funktioniert wie folgt: Seite 15

16 Schritt 1: Initialisierung der Nachfolgermatrix NF ij Damit der Ausgangspunkt des Algorithmus, die Adjazenzmatrix, in "dijalt" steht, zuerst einmal mit STRG i den Algorithmus neu initialisieren Die Matrix "NfijAlt" anlegen und benennen (rechts oben in der folgenden Abb.) Den Bereich "NfijAlt" auswählen und eine Formel gemäß folgender Überlegung eingeben: Wenn die in der Adjazenzmatrix an der Stelle (i,j) der Wert 0 oder unendlich steht, dann ist entweder i=j oder die beiden Knoten sind nicht direkt miteinander verbunden. Beides verschlüsseln wir z.b. mit " ". Sonst ist der Nachfolger von i nach j der Knoten j, da die Knoten offenbar direkt mit einander verbunden sind. 2x WENN Funktion + Achtung auf gemischte Bezüge!. Schritt 2: Die Aktualisierung der Nachfolgermatrix NF ij in der Iteration k Die Matrix "NfijNeu" anlegen und benennen (rechts unten in der obigen Abb.) Den Bereich "NfijNeu" auswählen und eine Formel gemäß folgender Überlegung eingeben: Wenn in der aktuellen Iteration k an der Stelle (i,j) eine Verkürzung der Distanz festgestellt wird ( Vergleich d ijalt >d ijneu ), dann ist der "neue" Nachfolger von i auf dem Weg nach j der "alte" Nachfolger von i auf dem Weg nach k (weil der Weg ja offenbar über k kürzer ist also wird von i aus erst einmal in Richtung k gegangen). Sonst bleibt der Nachfolger unverändert. WENN und INDEX Funktion + ACHTUNG wieder auf gemischte Bezüge! Schritt 3: Aufzeichnen des Initialisierungsschrittes in einem Makro Der Gehezu NfijAlt Schritt und die Eingabe der Formel müssen also wiederholt werden (wer die Formel nicht nochmals tippen will, der kopiert den Text der Formel VOR dem Aufzeichnen mit Strg+C in die Zwischenablage und fügt sie dann während der Aufzeichnung mit Strg+V wieder ein). Hier gleich das Ergebnis im VB Editor: Seite 16

17 Ihr seht, der Recorder zeichnet die Formel auf Englisch auf und in einer etwas anderen Art der Adressierung der Bezüge 6, was euch aber letztlich aber völlig egal sein kann, so lange es nur das richtige Ergebnis liefert. Schritt 4: Adaptieren des Makros Init Diese beiden Befehle des InitNF-Makros müssen auch im Init-Makro ausgeführt werden. Dazu gibt s 2 Möglichkeiten: (1) "billig": die beiden Zeilen an (vor!) das Ende des Init-Makros kopieren oder (2) "elegant": vor dem Ende des Init-Makros den Makro mit Call InitNF aufrufen. Schritt 5: Adaptieren des Makros Iter Es muss nun nicht nur die "dijneu" Matrix über die "dijalt" Matrix kopiert werden, sondern auch die "NFijNeu" Matrix über die "NFijAlt" Matrix, und zwar gleichzeitig (!!), weil die Matrizen ja mit einander verknüpft sind. Lösung: Legt zwei neue Namen fest, die jeweils beide Bereiche umfassen, also z.b. "dijalt" + "NFijAlt" "Alt" (=$C$5:$AG$19) "dijneu" + "NfijNeu" "Neu" (=$C$24:$AG$38) Und diese beiden Namen im Makro Iter anstelle von "dijalt" und "dijneu" verwenden (einfach ändern durch Überschreiben im Visual Basic Editor). Das Ergebnis der Kürzeste Wege Berechnung...sind die beiden unteren Matrizen in der folgenden Abbildung. 6 R1C1 (Row, Column) oder auf deutsch Z1S1 Schreibweise (Zeile, Spalte) Siehe Online Hilfe Seite 17

18 Abschließender Hinweis: Die bedingten Formatierungen zeigen an, wo sich im aktuellen Schritt (hier der letzte, also k=15) Verbesserungen ergeben haben. ACHTUNG: Wer's probieren will braucht relative Bezüge in der Bedingung! (UE6) Übungsaufgabe 6 Auswerten der Nachfolgermatrix Aus der in der vorigen Aufgabe erzeugten Nachfolgermatrix gemeinsam mit der schon zuvor berechneten Adjazenzmatrix kann nun ein kleines Kürzeste Wege Auskunftssystem generiert werden (Angabe in der Datei E7_UE_BSP1_kuerzeste_Wege_oF.xlsx). Gegeben: Gesucht: o Matrix der Nachfolgerknoten NF(i,j) NF(i,j) ist die Knotennummern des nächstfolgenden Knotens auf dem kürzesten Weg vom Knoten i zum Knoten j. o Adjazenzmatrix A(i,j) A(i,j) enthält die Länge der direkten Kante im Graph von i nach j, falls diese existiert, ansonsten den Wert unendlich (hier mit der "sehr" großen Zahl 999 verschlüsselt). o Der kürzeste Weg von einem gegebenen Knoten QUELLE zu einem gegebenen Knoten ZIEL als Folge von (Zwischen )Knoten und die zugehörige Entfernung. Seite 18

19 Beispiel: Wer vom Knoten 5 auf kürzestem Weg zum Knoten 4 gelangen will, geht am besten zuerst zum Knoten 10 (weil NF(5,4)=10) und von dort weiter nach 9 (weil NF(10,4)=9) und von dort weiter nach 13 (weil NF(9,4)=13), usw... Viel Spaß und gutes gelingen Seite 19

20 Übungsbeispiel 2: Bevölkerungspyramiden zeichnen Gegeben: ist die Excel Arbeitsmappe E7_UE_BSP2_Pyramide.xlsx (siehe Abbildungen), bestehend aus 4 Tabellenblättern. Diese Datei enthält im ersten Tabellenblatt (Namens Bezirke ) in der Spalte C (Bezirksbezeichnung komplett) eine Liste aller politischen Bezirke Österreichs (98 Bezirke + 23 Wr.Gemeindebezirke = 121 Zeilen). In den nächsten beiden Blättern die, auf Bezirke aggregierten, Ergebnisse der Volkszählung 1981 differenziert nach Geschlecht (Blätter Volkszählung 1981 Männer bzw. Volkszählung 1981 Frauen ) und in 5 Jahres Altersklassen unterteilt (= Spalten B bis U im jeweiligen Tabellenblatt. Die Spalte A enthält den Bezirkscode 7 ). Außerdem gibt es noch das Tabellenblatt Pyramide in dem die Bevölkerungspyramide gezeichnet werden soll. 7 Hinweis: die Hunderterstelle des Bezirkscode ist der Bundeslandcode (1=Burgenland, 2=Kärnten,..., 9=Wien), vergleiche dazu auch die Lektion mit den Suchfunktionen und der Bundesländertabelle in der Einheit 4) Seite 20

21 Aufgabenstellung: Gesucht ist, für einen vom Benutzer frei zu wählenden Bezirk, die Bevölkerungspyramide (siehe die Abbildung auf der nächsten Seite). Dafür sind folgende Schritte von Nöten: (#) Aufteilen der Spalte C (Code + Name) in eine Spalte (A) die nur den Code enthält, sowie einer Spalte (B) wo nur der Name stehen soll. Außerdem soll eine neue Spalte eingefügt werden, wo der Bezirkscode und der Name der Gemeinde ohne die spitzen Klammern (<; >) kombiniert werden (siehe hierzu den Screenshot auf der vorigen Seite). Diese Liste soll als Gültigkeitsliste für das Feld I2 im Tabellenblatt Pyramide dienen. Am besten dafür einen Namen vergeben und diesen dann mit F3 in die Gültigkeitsdefinition (Zulassen: Liste) einfügen. (#) In den Tabellenblättern Volkszählung 1981 Männer und Volkszählung 1981 Frauen : Namen vergeben (z.b. Männer_Datenbank und Frauen_Datenbank ). (#) In Zelle A5 des Tabellenblattes Pyramide suchen, in welcher Zeile der jeweils ausgewählte Bezirk steht ( VERGLEICH). (#) Außerdem sollen die Legendeneinträge (Spalte F) mittels Textverknüpfung aus den Werten in der Spalte D berechnet werden. (#) Die Daten für Frauen und Männer aus der jeweiligen Datenbank holen (basieren auf der vom Benutzer getroffenen Auswahl in Zelle I2!). Um die richtige Darstellung zu erreichen, müssen die Werte der Männer negativ genommen werden! Die Pyramide soll schlussendlich so aussehen wie in der Abbildung unten (Achtung: Auf die Beschriftung der X Achse aufpassen!).hierfür muss der Abstand der Datenreihen sowie deren Überlappung modifiziert werden (Kontextmenü Datenreihen formatieren rechte Maustaste auf eine Datenreihe). Als Diagrammtyp ist ein Balkendiagramm zu wählen. Seite 21

22 Übungsbeispiel 3: Berechnen einer Teilliste und einer Teilmatrix 3a) Berechnen einer reduzierten Teilliste ohne Lücken: Aufgabenstellung: Die Datei zu dieser Übungsaufgabe heißt treffenderweise E7_UE_BSP3_Teilmatrix_oF.xlsx dort findet ihr, wie bereits gewohnt, die Angaben bzw. vorgefertigten Tabellenblätter auf die sich die Angabe bezieht. Angenommen, ihr wollt aus einer Originalliste (hier: Liste der 9 Bundesländer) eine Teilliste erstellen. Dazu tragt ihr in einer zusätzlichen Spalte Auswahl ein x ein, wenn der zugehörige Eintrag der Originalliste in die Ergebnisliste (Teilliste) übernommen werden soll (siehe die beiden Abbildungen unten). Einfacher, naiver Ansatz: Teilliste mit Lücken: Eine WENN Funktion mit einem Vergleich auf x in der Auswahlliste und einem relativen Bezug in die Originalliste bringt als Ergebnis die gewünschte Teilliste. Diese Teilliste weist jedoch Lücken in den Zeilen auf, welche kein x enthalten. Besserer Ansatz: Teilliste ohne Lücken: Wie eine solche lückenlose Teilliste erstellt werden kann (es gibt wie fast immer in Excel mehrere Umsetzungsmöglichkeiten) findet ihr in der Beispiellösung auf der nächsten Seite. Wobei es natürlich viel eleganter wäre sich selbst den Kopf zu zerbrechen und, ohne einen Blick auf die folgenden Seiten zu werfen, eine richtige und auch praktikable Lösung zu finden. Seht dies als einen Appell an euren Ehrgeiz! Einen kleinen, aber wichtigen, Hinweis gibt es trotzdem noch an dieser Stelle: Hinweis: Ihr werdet 3 Hilfsspalten (Spalten E, F, und G) benötigen. Diese könnt ihr jedoch im laufenden Betrieb (d.h. nachdem ihr die gewünschte Funktionalität ausreichend getestet habt!) ausblenden. Wie dies funktioniert ist euch ja schon bekannt, es gibt aber noch einen anderen Weg. Ein Rechtsklick mit der Maus auf den Spaltenkopf und das Ändern des Wertes im Menüeintrag Spaltenbreite auf 0 bewirkt genau das gleiche wie Ausblenden. Seite 22

23 Anleitung: (#) In der Spalte E (Hilfsspalte1) bei 0 in der Zelle E4 beginnend immer DANN um 1 erhöhen, WENN in der Auswahlspalte ein x steht, SONST den Wert aus der Zelle darüber einfach übernehmen. Dadurch ergibt sich automatisch die Länge der Ergebnisspalte in der letzten Zeile der Hilfsspalte1, weil ja für jedes x die Zahl Eins addiert wurde. Wahrscheinlich ist es auch schlau hier einen Namen vergeben (#) In der Spalte F (lfd.nr) werden fortlaufende Nummern ( i ) von 1 bis 9 als Konstanten eingetragen. Dies dient zum Zählen der Insgesamt vorhandenen Einträge. Wer s elegant will, könnte dies wohl auch mit der Funktion Zeilen lösen und die Werte quasi Interpolieren. (#) Für die Berechnung der Zeilennummern in Spalte G wird eine Kombination aus WENN und VERGLEICH gute Dienste leisten. Konkret geht es hier um die Ermittlung der Nummern derjenigen Zeilen, in denen ein x steht. Dies erfolgt natürlich über die zuvor eingegeben laufende Nummer in der Spalte F. (#) Nach diesem kleinen Gehirn Verbieger, ist das Finden der Ergebnisliste mit WENN und INDEX für euch Excel Profis ja sicher geradezu ein Klax. Falls ihr trotz dieser äußerst anschaulichen und treffenden Anleitung noch keine Erfolge erzielen konntet, so hilft euch sicherlich der nachstehende Screenshot bei allen Problemen weiter. Oder ihr wendet euch einfach Vertrauensvoll an den freundlichen Tutor aus der Nachbarschaft. Seite 23

24 Zur besseren Orientierung und zur Überprüfung der formalen Richtigkeit, soll noch die eine oder andere bedingte Formatierung vergeben werden. In diesem Fall brauchen wir u.a. Formatierungsregeln, die das Format der Zelle aufgrund einer Bedingung bzw. einer Formel oder auch einer Funktion festlegen. Doch beginnen wir mal mit der einfachen Variante. (#) Lfd.Nr (F5:F13): Hervorheben genau der laufenden Nummer, welche die Länge der Ergebnisliste enthält. Also die Zelle wo der Zellwert gleich dem der Zelle E13 (=Länge.der.Ergebnisliste) ist. So, und nun wird s etwas kniffliger: (#) Originalliste (B5:E13): Hervorheben der Einträge, neben denen in der Spalte Auswahl ein x steht. Hierfür brauchen wir den Regeltyp: Formel zur Ermittlung der zu formatierenden Zellen verwenden. Dieser Regeltyp formatiert die Zellen aufgrund einer eingegebenen Bedingung. In unserem Fall ist es =C5= x. Wenn diese Bedingung wahr ist, so wird die Zelle entsprechend den Einstellungen formatiert. ACHTUNG: Bei der Erstellung einer solchen Regel ist dem Bezug der Referenz Zelle größte Aufmerksamkeit zu schenken! Standardmäßig wird hier ein absoluter Bezug gesetzt, in unserem Fall MUSS es jedoch ein relativer Bezug sein, da die Formel ja in allen Zellen auf die jeweils direkt angrenzende Zelle in Spalte C bezugnehmen soll und nicht immer nur auf die Zelle C5. Im Zweifels sowie im Ich versteh nur Bahnhofs Fall, hilft auch hier: einfach ausprobieren! Man kann ja zum Glück fast nix kaputt machen. Also: mutig ans Werk! (#) Die Formatierung der Ergebnisliste (I5:I13) ist ebenso mit dem Formel zur Ermittlung usw. Regeltypen durchzuführen. Allerdings bedarf es hier zweier Regeln, die denselben Bereich formatieren also quasi zwei Bedingungen. Werft noch mal einen Blick auf den Screenshot der vorigen Seite die Zellen sind dort nicht nur gelb, sondern auch umrandet (= mit Rahmen versehen)! Und zwar gemäß folgender zwei Bedingungen: Bedingung 1: Bedingung2: Hinweis (kleiner Trick): Ränder links, rechts und unten beim letzten Listeneintrag. Ränder links und rechts bei allen anderen Listeneinträgen. der obere Rand der Ergebnisliste ist einfach der untere Rand der Zelle darüber (I4) und ist vordefiniert, wurde also händisch mit dem Rahmenwerkzeug erstellt. Das ist vielleicht etwas geschummelt, aber wir gehen davon aus, dass wir nie eine leere Liste haben werden. Die beiden gesuchten Formatierungsregeln beziehen sich natürlich auf die Spalte mit den laufenden Nummern (Spalte F) und auf die letzte Zahl der Hilfsspalte 1 (= Länge.der.Ergebnisliste). Wie die beiden Regeln aber tatsächlich ausschauen, dürft ihr euch selbst ausknobeln. Viel Spaß dabei. Seite 24

25 3b) Berechnen einer reduzierten Teilmatrix ohne Lücken Dieses Beispiel ist eine kleine freiwillige Herausforderung und kann von all jenen Versucht werden, die sich gern mit Excel herumschlagen und vor etwaig auftretenden Hürden nicht halt bzw. kehrtmachen. Jede/r ist eingeladen sich daran zu probieren, es ist aber viel Eigeninitiative gefragt, u.a. wegen der Funktion BEREICH.VERSCHIEBEN von der ihr noch nichts gehört habt, die aber einen der Lösungswege darstellt. Ausgiebiges Denken, Herumprobieren und Nutzung der Excelhilfe ist hier also definitiv gefordert. Im Tabellenblatt Teilmatrix findet ihr die bereits allseits bekannte Kürzeste Wege Matrix ( Originalmatrix, siehe Abbildung unten). Mit Hilfe einer zum vorangehenden Beispiel analogen Vorgangsweise soll eine auf bestimmte Knoten reduzierte quadratische Teilmatrix ohne Lücken (siehe Abbilddung unten) berechnet werden. Die Auswahl der Knoten soll wieder anhand einer zusätzlichen Spalte Auswahl erfolgen. Der Rest ist Denksport! Have fun! Seite 25