Vorlesung Variationsrechnung und optimale Steuerung. 6. Foliensatz, Version vom Michael Karow

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1 Vorlesung Variationsrechnung und optimale Steuerung 6. Foliensatz, Version vom Michael Karow

2 Thema der nächsten Vorlesungen: Zeitoptimale -Steuerung für lineare zeitinvariante DGL bei beschränkter Steuerung. Gegeben: A R n n, B R n m, x R n und Ω R m kompakt und konvex, innerer Punkt von Ω (Steuerbereich). Aufgabe: Bestimme u PC([,t ],R m ) L ([,t ],R m ) so dass 1) u(t) Ω für alle t [,t ], 2) x(t ) =, R n x x n R x 3) t minimal, t t * wobei x 4) x() = x, 5) t x(t) stetig, 6) ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) an allen Stellen t, an denen u stetig ist. 11 R m R m m R m R Ω u t t * 11 Kompakte konvexe Steuerbereiche Ω und unstetige Steuerungen.

3 Definitionen Im Folgenden ist der Steuerbereich Ω R m stets konvex, kompakt und Abschluss einer nicht leeren offenen Menge welche enthält. Wichtigstes Beispiel ist der Einheitswürfel Ω = {u R m u i 1, i = 1,...,m }. Die zulässigen Steuerungen sind aus L ([,t],ω) = {u : [,t] Ω u messbar}. Die zugrunde liegende Norm ist u = inf{c u(s) 2 c für fast alle s [,t] } E Ω (x,t) bezeichnet die vom Zustand x aus mit Steuerungen in Ω zum Zeitpunkt t erreichbaren Zustände (Erreichbarkeitsmenge): { E Ω (x,t) = x R n x = e At x + Bemerkung: t } e A(t s) Bu(s)ds, u L ([,t],ω) Der Raum L ([,t],ω) wird eingeführt, damit E Ω (x,t) abgeschlossen ist. In der Praxis werden nur Steuerungen aus PC([, t], Ω) gebraucht.

4 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen I Erreichbarkeitsmenge: { E Ω (x,t) = x R n x = e At x + t } e A(t s) Bu(s)ds, u L ([,t],ω) Insbesondere ist Hieraus folgt sofort: E Ω (,t) = { t } e A(t s) Bu(s)ds u L ([,t],ω) Fakt 1: E Ω (x,t) = e At x +E Ω (,t) e At x +C(A,B), wobei C(A,B) = range[b AB A 2 B...A n 1 B]. Fakt 2: ist relativ innerer Punkt von E Ω (,t) (bzgl. C(A,B)). Beweisidee: Sei ξ C(A,B). Wir wissen bereits, dass ξ = t e A(t s) Bu ξ (s)ds, wobei u ξ (s) := B e A (t s) z, Γ(t)z = ξ. Zu zeigen ist: wenn ξ 2 hinreichend klein, dann ist u ξ (s) Ω für s [,t]. Dies folgt aus z 2 ξ 2 λ min (Γ(t)), wobei λ min den kleinsten von verschiedenen Eigenwert bezeichnet.

5 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen II Lemma 1. E Ω (,t) enthalten in einer Kugel um R n mit Radius R t = 1 A (e A t 1) B c Ω, wobei A = max v Av 2 v 2, c Ω = max{ u 2 u Ω}. Beweis: Wir haben t t e A(t s) Bu(s)ds e A(t s) Bu(s) ds t t e A(t s) B u(s) 2 ds e A (t s) ds B c Ω = R t

6 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen III Fakt 3: E Ω (x,t) ist kompakt. Beweis: Die Beschränktheit von E Ω (x,t) folgt aus Lemma 1 und Fakt 1. Zur Abgeschlossenheit: Sei x E Ω (x,t). Dann gibt es eine Folge x j und Steuerungen u j L ([,t],ω), so dass x j = e At x + t e A(t s) Bu j (s)ds und lim j x j = x. Nach dem Satz von Banach-Alaoglu über schwach- Kompaktheit (Funktionalalysis) gibt es ein u L ([,t],ω), so dass x = e At x + Also ist x E Ω (x,t), t e A(t s) Bu (s)ds.

7 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen IV Erreichbarkeitkeitsmenge: { E Ω (x,t) = x R n x = e At x + t } e A(t s) Bu(s)ds, u L ([,t],ω) Fakt 4: E Ω (x,t) ist konvex. Beweis: Sei x k = e At x + t ea(t s) Bu k (s)ds, k = 1,2, u k L ([,t],ω) und α [,1]. Wegen Konvexität von Ω ist u = αu 1 +(1 α)u 2 L ([,t],ω) und daher αx 1 +(1 α)x 2 = e At x + t e A(t s) Bu(s)ds E Ω (x,t).

8 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen V Lemma 2: Sei x die Lösung von ẋ = Ax+Bu, x() = x. Dann gilt für t,τ, x(t+τ) = e Aτ x(t)+ τ e A(τ s) Bu(t+s)ds. Beweis: Es ist x(t+τ) = e A(t+τ) x + = e Aτ (e At x + = e Aτ x(t)+ τ t+τ t e A(t+τ s) Bu(s)ds ) e A(t s) Bu(s)ds + e A(τ s) Bu(t+s)ds. t+τ t e A(t+τ s) Bu(s)ds Aus Lemma 2 folgt unmittelbar Fakt 5: E Ω (x,t+τ) e Aτ E Ω (x,t)+e Ω (,τ). Fakt 6: Wenn E Ω (x,t), dann E Ω (x,t+τ) für alle τ. Beweis: Setze die Steuerung u, welche nach zur Zeit t nach steuert, durch die -Steuerung fort (Steuerung abschalten, sobald erreicht).

9 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen VI Lemma 3: Sei x die Lösung von ẋ = Ax+Bu, x() = x. Dann gilt für t,τ, ( x(t+τ) x(t) 2 (e A τ 1) x(t) 2 + B u ), A wobei A = max v Av 2 v 2. τ Beweis: Aus Lemma 2 folgt x(t+τ) x(t) = (e Aτ I)x(t) + e }{{} A(τ s) Bu(t+s)ds a }{{} Mit der Potenzreihe der Exponentialfunktion folgt e Aτ I e A τ 1, also a (e A τ 1) x(t). Im Beweis von Lemma 1 wurde schon gezeigt, dass b (e A t 1) B u / A b. Lemma 3 impliziert Fakt 7: Die Abbildung t E Ω (x,t) ist stetig bezüglich der Hausdorff-Metrik, genauer ( d H (E Ω (x,t+τ),e Ω (x,t)) (e A τ 1) ρ t + B c ) Ω, A ρ t = max{ x 2 x E Ω (x,t)}, c Ω = max{ u 2 u Ω}. (Zur Definition der Hausdorff-Metrik siehe nächste Seite)

10 Die Hausdorff-Metrik Definition. Seien M 1,M 2 nicht leere kompakte Teilmengen von R n. Der Hausdorff-Abstand d H (M 1,M 2 ) von M 1 und M 2 ist die kleinste Zahl d, so dass gilt: (1) zu jedem x 1 M 1 gibt es ein x 2 M 2 mit x 1 x 2 2 d, und (2) zu jedem x 2 M 2 gibt es ein x 1 M 1 mit x 1 x 2 2 d. In der Literatur findet man die gleichwertige Definition: { d H (M 1,M 2 ) = max max min x 1 x 2 2,max min x 1 x 2 2 x 1 M 1 x 2 M 2 x 2 M 2 x 1 M 1 }.

11 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen VII Fakt 8: Der Erreichbarkeitskegel E Ω (x ) := t [{t} E Ω (x,t)] R R n ist abgeschlossen. Für den Rand gilt E Ω (x ) = t [{t} E Ω (x,t)]. Beweis: Wir zeigen, dass das Komplement von E Ω (x ) offen ist. Sei (ˆt,ˆx) E Ω (x ). Dann ist ˆx E Ω (x,ˆt). Weil E Ω (x,ˆt) abgeschlossen ist, gibt es eine Kugel B r (ˆx) um ˆx mit Radius r >, so dass E Ω (x,ˆt) B r (ˆx) =. Wegen der stetigen Abhängigkeit der Erreichbarkeitsmengen von t ist dann auch E Ω (x,t) B r/2 (ˆx) = für t (ˆt ǫ,ˆt+ǫ) und ǫ > hinreichend klein, also E Ω (x ) [(ˆt ǫ,ˆt+ǫ) B r/2 (ˆx)] =. Die Aussage über den Rand folgt ähnlich. R n x e At x t Bild: Erreichbarkeitskegel. Querschnitte sind die Erreichbarkeitsmengen.

12 Erreichbarkeitkeitsmenge. Grundtatsachen VIII Aus Fakt 8 folgt Fakt 9: Wenn x zu irgendeiner Zeit nach x 1 steuerbar ist, dann gibt es dafür eine minimale Zeit t und es ist x 1 E Ω (x,t ). R n x e At x x 1 E ( x, t) Ω * x 1 t * t x Diese Tatsache motiviert die Untersuchung von Steuerungen, welche zum Rand einer Erreichbarkeitsmenge steuern (extremale Steuerungen).

13 Randpunkte und Normalen konvexer Mengen Sei K R N konvex und x K. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. (a) x ist ein Randpunkt von K. (b) Es gibt ein ν R N \{}, so dass ν (x x ) für alle x K ( ) Der Vektor ν heißt äußere Normale von K an x. (*) ist äquivalent zu ν x = max x K ν x. K x x ν

14 Extremale Steuerungen Definition: u e L ([,t ],Ω) heisst extremale Steuerung, falls der zugehörige Endzustand x e (t ) = e At x + t e A(t s) Bu e (s)ds ein Randpunkt von E Ω (x,t ) ist (i.e. x e (t ) E Ω (x,t )). Da E Ω (x,t ) konvex ist, gibt es eine äussere Normale ν R n \{} an x e (t ). D.h. ν x e (t ) = max ν x. x E Ω (x,t )

15 Satz über extremale Steuerungen und das Maximumprinzip Satz: Sei u e L ([,t ],R m ) extremale Steuerung mit Zustand x e ( ). Sei ν R n \{} äussere Normale von E Ω (x,t) an x e (t ) und sei λ : [,t ] R n, λ = A λ, λ(t ) = ν (adjungierte DGL,Endwertproblem) Dann gilt für fast alle τ (,t ], (a) λ(τ) ist äussere Normale von E Ω (x,τ) an x e (τ) E Ω (x,τ). (b) (B λ(τ)) ist äussere Normale von Ω an u e (τ) Ω. Äquivalente Aussage λ(τ) Bu e (τ) = max û Ω λ(τ) Bû. (Maximumprinzip) T ν) (B T λ(τ)) e T u ( τ) (B T u e( t * ) Ω λ(τ) (, τ) E Ω x x ( ) e τ ν=λ( ) t * E Ω t * x ( ) e t * x (, ) x

16 Der Beweis des Maximumprinzips für extremale Steuerungen Beweis: Das Endwertproblem λ = A λ, λ(t) = ν hat die Lösung λ(τ) = ν e A(t τ). Für eine Steuerung u L ([,t ],Ω) mit zugehörigem Zustandsverlauf x u setze φ u (τ) = λ(τ) (x u (τ) x e (τ)). Direkte Rechnug ergibt φ u (τ) = ν e A(t τ) = τ τ e A(τ s) B(u(s) u e (s))ds = λ(s) B(u(s) u e (s))ds. ( ) Für τ = t hat man, da ν = λ(t ) äussere Normale ist, ν (x u (t ) x e (t )) = φ u (t ) = Da u(s) Ω beliebig, folgt, t τ ν e A(t s) B(u(s) u e (s))ds λ(s) B(u(s) u e (s))ds ( ) λ(s) B(û u e (s)) für alle û Ω und fast alle s. ( ) Also (b). Mit ( ) folgt, dass λ(τ) (x u (τ) x e (τ)) für u L ([,t],ω), also (a). Zu (***): Wenn die Menge Q := {s [,t ] Es gibt û s mit < λ(s) B(û s u e (s)) } positives Maß hätte, dann wäre im Widerspruch zu ( ), < t λ(s) B(u(s) u e (s))ds für u(s) := {ûs s Q, u e (s) sonst.

17 Maximum- und Minimumprinzip Bemerkung: Wenn man als Endwert für λ die innere Normale ν wählt, dann wird das Maximumprinzip zum Minimumprinzip: λ(τ) Bu e (τ) = min û Ω λ(τ) Bû.

18 Extremale Steuerungen beim Einheitswürfel Wir betrachten extremale Steuerungen für Ω = {u R m u i 1 } Einheitswürfel Sei B = [b 1 b 2...b m ]. Die i-te Komponente des Vektors λ(τ) B ist σ i (τ) := (λ(τ) B) i = λ(τ) b i = ν τ e A(t τ) b i. (Schaltfunktion) Damit kann das Maximumprinzip für eine extremale Steuerung λ(τ) Bu e (τ) = max û Ω λ(τ) Bû geschrieben werden als σ i (τ)u i e(τ) = max σ i (τ)û i = σ i (τ). (wegen û i [ 1,1]). û Ω Es folgt i i i 1 wenn σ i (τ) > u i e(τ) = sign(σ i (τ)) = beliebig wenn σ i (τ) = 1 wenn σ i (τ) <. Diejenigen τ, für die σ i (τ) = heissen Schaltpunkte. Da σ i analytische Funktion ist, gilt: Weiterhin gilt: Entweder σ i oder σ i hat nur endlich viele Schaltpunkte. Wenn rang[b i Ab i A 2 b i... A n 1 b i ] = n, dann hat σ i nur endlich viele Schaltpunkte. Beweis: σ i impliziert = dk σ I dτ k () = ( 1) k ν A k b i, also ν span{b i Ab i A 2 b i... A n 1 b i }. Letzteres ist nicht möglich, wenn die Kalman-Matrix von (A,b i ) Rang n hat.

19 Normale Systeme und Bang-Bang-Steuerung Ein System (A, B) heisst normal, wenn für alle Spalten b i von B. rang[b i Ab i A 2 b i... A n 1 b i ] = n Zweck dieser Definition: ein normales System hat nur endlich viele Schaltpunkte. Eine Steuerung u mit u i (τ) { 1,1} mit Ausnahme von höchstens endlich vielen τ heisst Bang-Bang. Eine extremale Steuerung eines normalen Systems ist stets Bang-Bang.

20 Vollständige Nullsteuerbarkeit bei beschränktem Steuerbereich Satz: Angenommen, es gilt (a) rang[b AB A 2 B...A n 1 B] = n (Kalmanbedingung) (b) Re(λ) für alle Eigenwerte λ C von A. Dann gibt es zu jedem Startwert x R n ein minimales t und eine extremale Steuerung u L ([,t],ω), so dass x(t ) = e At x + t e A(t s) Bu(s)ds =. Bemerkungen: Die Existenz einer Nullsteuerung ist unmittelbar klar, wenn Re(λ) < für alle λ, Denn dann ist das ungesteuerte System aymptotisch stabil und man muss dem System nur noch den letzten kleinen Schubs nach geben. Im Fall Re(λ) = ist der Beweis schwieriger. Siehe Macki/Strauß. Wir haben E Ω (x,t ). Dies folgt aus der stetigen Abhängigkeit der Erreichbarkeitsmengen von t und der Minimalität von t.

21 Zeitoptimale Steuerung: Raketenwagen 1 Situation: Raketenwagen bewegt sich auf der x-achse. Ortskoordinate: p(t) Geschwindigkeit: q(t) Schub: u(t) u> q u < DGL (alle Konstanten auf 1 gesetzt): ṗ = q, q = u. Matrix-Vektor-Form: [ṗ ] q p [ ][ ] 1 p = + q [ ] u 1 Steuerbeschränkung: u(t) 1. Ziel: Steuerung nach (p,q) = (,) in minimaler Zeit. Steuerung ist Bang-Bang. Es ist: p = u. Bei konstantem Schub u = 1: Bei konstantem Schub u = 1: Trajektorien (p(t), q(t)) sind Parabeln: p = t2 2 +c 1t+c 2 = 1 2 (t+c 1) 2 +c 2 c 2 q2 1 /2 = 2 +α p = t2 2 +c 1t+c 2 = 1 2 (t+c 1) 2 +c 2 +c 2 1 /2 = q2 2 +α u=1.5 u=

22 Zeitoptimale Steuerung: Raketenwagen 2 Noch einmal die Trajektorien: u=1.5 u= Die Parabelhälften, die bei einlaufen, sind im unteren Bild schwarz eingezeichnet. Sie bilden die sogenannte Schaltkurve. Schaltregel um optimal nach Null zu steuern: 1) Wenn (p, q) oberhalb der Schaltkurve: voller Rückwärtsschub u = 1. 2) Wenn (p, q) unterhalb der Schaltkurve: voller Vorwärtsschub u = 1. 3) Bei Erreichen der Schaltkurve: volle Schubumkehr. Das untere Bild zeigt die Steuerung nach bei gleichem Anfangsort aber verschiedener Anfangsgeschwindigkeit. Berechnung der Schaltstelle p ist Hausaufgabe u= 1 u= u=1 p * 2 3 u=

23 Zeitoptimale Steuerung: Harmonischer Oszillator 1 Situation: schwingende Feder oder linearisiertes Pendel. Ortskoordinate: p(t) Geschwindigkeit: q(t) Schub: u(t) p DGL (alle Konstanten auf 1 gesetzt): ṗ = q, q = p+u. Steuerbeschränkung: u(t) 1. Matrix-Vektor-Form: Ziel: Steuerung nach (p,q) = (,) in minimaler Zeit. Steuerung ist Bang-Bang. q [ṗ ] q u> p u< [ ][ ] 1 p = + 1 q Bei konstantem Schub u = 1: (p 1) 2 +q 2 = r 2 (Kreis um (1,)) Bei konstantem Schub u = 1: (p+1) 2 +q 2 = r 2 (Kreis um ( 1,)) Trajektorien (Kreise) (p(t), q(t)) werden im Uhrzeigersinn durchlaufen. [ ] u u= u=

24 Zeitoptimale Steuerung: Harmonischer Oszillator 2 Schaltfunktion: σ(τ) = ν e A(t τ) b = σ ( [ν 1 ν 2 ] [ ][ ]) cos(t τ) sin(t τ) sin(t τ) cos(t τ) 1 = ν 1 sin(t τ)+ν 2 cos(t τ) = ρ sin(φ+t τ) Intervalle zwischen den Umschaltzeiten haben Länge π. In diesen Zeitintervallen wird ein Halbkreis durchlaufen. Die Schaltlinie (schwarz) im Bild unten besteht aus Halbkreisen mit Radius 1. Schaltregel: 1) Wenn (p, q) oberhalb der Schaltkurve: voller Rückwärtsschub u = 1. 2) Wenn (p, q) unterhalb der Schaltkurve: voller Vorwärtsschub u = 1. 3) Bei Erreichen eines der inneren schwarzen Halkreise: volle Schubumkehr. Herleitung: Vom Ende her denken. Ohne Umschalten gelangt man zu auf jedem der beiden inneren schwarzen Halbkreise (die an grenzen). Die Schaltfunktion erzwingt ein letztes Umschalten bei t 1 [t π,t ]. Zwischen dem ersten Umschalten bei, sagen wir, t und dem letzten Umschalten bei t 1 werden Halbkreise (blau, rot) durchlaufen, weil das Intervall zwischen zwei Schaltpunkten Länge π hat. Diese Halbkreise enden jeweils auf einem der schwarzen Halbkreise u= 1 u=