Invarianz-Entropie für Kontrollsysteme

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1 Invarianz-Entropie für Kontrollsysteme Christoph Kawan Institut für Mathematik, Universität Augsburg in Zusammenarbeit mit Fritz Colonius, Institut für Mathematik, Universität Augsburg im Rahmen des DFG-Schwerpunktprogramms Regelungstheorie digital vernetzter dynamischer Systeme Elgersburger Arbeitstagung Februar 2008

2 1 Problemstellung 2 Abschätzungen 3 Lineare Systeme 4 Invarianz-Entropie auf Kontrollmengen 5 Feedbacks

3 Kontrollsysteme Wir betrachten ein Kontrollsystem der Form ẋ(t) = f (x(t), u(t)), u U mit f : R d R m R d. Dabei ist die Menge U der zulässigen Kontrollfunktionen definiert als U = {u : R R m u messbar mit u(t) U f. ü.}, wobei der Kontrollwertebereich U R m kompakt ist. Die Lösungen werden mit ϕ(t, x, u) bezeichnet. Q R d sei eine kompakte schwach invariante Menge. Letzteres heißt: x Q : u U : t 0 : ϕ(t, x, u) Q.

4 Definition der Invarianz-Entropie (1. Version) Sei nun außerdem K Q kompakt. Dann wollen wir eine Größe definieren, die anzeigt, wie viel Information über den Zustand des Systems ausreicht, um so zu steuern, dass Trajektorien mit Anfangswerten in K die Menge Q nicht verlassen:

5 Definition der Invarianz-Entropie (1. Version) Sei nun außerdem K Q kompakt. Dann wollen wir eine Größe definieren, die anzeigt, wie viel Information über den Zustand des Systems ausreicht, um so zu steuern, dass Trajektorien mit Anfangswerten in K die Menge Q nicht verlassen: Definition Wir nennen eine Menge S U T -aufspannend für (K, Q), falls x K : u U : t [0, T ] : ϕ(t, x, u) Q. Mit rinv (T, K, Q) werde die minimale Anzahl von Elementen in einer T -aufspannenden Menge bezeichnet. Dann heißt h inv(k, Q) := lim sup T die strikte Invarianz-Entropie von (K, Q). 1 T ln r inv(t, K, Q).

6 Definition der Invarianz-Entropie (2. Version) Problem: rinv (T, K, Q) muss nicht endlich sein!

7 Definition der Invarianz-Entropie (2. Version) Problem: rinv (T, K, Q) muss nicht endlich sein! Definition Eine Menge S U heißt (T, ε)-aufspannend für (K, Q), falls x K : u U : t [0, T ] : d(ϕ(t, x, u), Q) < ε. Mit r inv (T, ε, K, Q) werde die minimale Anzahl von Elementen in einer (T, ε)-aufspannenden Menge bezeichnet. Dann heißt 1 h inv (K, Q) := lim lim sup ε 0 T T ln r inv(t, ε, K, Q). die Invarianz-Entropie von (K, Q).

8 Elementare Eigenschaften h inv (K, Q) hängt nicht von der Metrik ab, und es gilt h inv (K, Q) h inv(k, Q).

9 Elementare Eigenschaften h inv (K, Q) hängt nicht von der Metrik ab, und es gilt h inv (K, Q) h inv(k, Q). (Strikte) Invarianz-Entropie ist eine Invariante unter Konjugation.

10 Elementare Eigenschaften h inv (K, Q) hängt nicht von der Metrik ab, und es gilt h inv (K, Q) h inv(k, Q). (Strikte) Invarianz-Entropie ist eine Invariante unter Konjugation. Ist K = n j=1 K j, so gilt h inv (K, Q) = n max j=1 h inv(k j, Q).

11 Elementare Eigenschaften h inv (K, Q) hängt nicht von der Metrik ab, und es gilt h inv (K, Q) h inv(k, Q). (Strikte) Invarianz-Entropie ist eine Invariante unter Konjugation. Ist K = n j=1 K j, so gilt h inv (K, Q) = n max j=1 h inv(k j, Q). Für die Entropie des Systems ẋ(t) = s f (x(t), u(t)) gilt h inv,s (K, Q) = s h inv (K, Q).

12 Obere und untere Schranken Satz Es gilt stets h inv (K, Q) dim F (K) max xf (x, u). (x,u) Q U Setzen wir λ(k) > 0 voraus, so gilt außerdem h inv (K, Q) min Tr xf (x, u). (x,u) Q U

13 Invarianz-Entropie linearer Kontrollsysteme Satz Für das lineare Kontrollsystem ẋ = Ax + Bu(t), u U mit A R d d und B R d m gilt unter der Voraussetzung λ(k) > 0: h inv (K, Q) = Re(λ). In Dimension 1 gilt allgemein: λ spec(a) Re(λ)>0 h inv (K, Q) = dim F (K) max{0, a}. Im Beweis verwenden wir im Wesentlichen, dass sich die Invarianz-Entropie nach oben durch die topologische Entropie des linearen Flusses e At x und nach unten durch die Divergenz der rechten Seite abschätzen lässt.

14 Kontrollmengen Definition Eine Menge D R d heißt Kontrollmenge, wenn sie maximal ist mit folgenden Eigenschaften: Schwache Invarianz: Für alle x D existiert u U mit ϕ(t, x, u) D für alle t 0. Approximative Kontrollierbarkeit: Für alle x, y D und ε > 0 gibt es u U und t 0 mit d(ϕ(t, x, u), y) < ε.

15 Kontrollmengen Definition Eine Menge D R d heißt Kontrollmenge, wenn sie maximal ist mit folgenden Eigenschaften: Schwache Invarianz: Für alle x D existiert u U mit ϕ(t, x, u) D für alle t 0. Approximative Kontrollierbarkeit: Für alle x, y D und ε > 0 gibt es u U und t 0 mit d(ϕ(t, x, u), y) < ε. Bemerkung Ist der Kontrollwertebereich U konvex und das System kontroll-affin, d.h. von der Form m ẋ = f 0 (x) + u i (t)f i (x), u U, i=1 so ist auch der Abschluss einer Kontrollmenge schwach invariant.

16 Invarianz-Entropie einer Kontrollmenge Satz Das System sei lokal akzessibel und D sei eine Kontrollmenge mit kompaktem Abschluss. Dann gilt für beliebige kompakte Mengen K 1, K 2 D mit nichtleerem Inneren: h inv (K 1, D) = h inv (K 2, D), h inv(k 1, D) = h inv(k 2, D) <.

17 Invarianz-Entropie einer Kontrollmenge Satz Das System sei lokal akzessibel und D sei eine Kontrollmenge mit kompaktem Abschluss. Dann gilt für beliebige kompakte Mengen K 1, K 2 D mit nichtleerem Inneren: h inv (K 1, D) = h inv (K 2, D), h inv(k 1, D) = h inv(k 2, D) <. Korollar 1 Für lineare Systeme gilt h inv(k, D) = h inv (K, D) = λ spec(a) Re(λ)>0 Re(λ).

18 Invarianz-Entropie einer Kontrollmenge Korollar 2 Für eindimensionale Systeme der Form ẋ = f 0 (x) + u(t)f 1 (x), u U gilt die Identität h inv(k, D) = h inv (K, D) = max { [ 0, min f 0 (x) f 1 (x) ]} x D f 1 (x) f 0(x).

19 Feedbacks Sei τ > 0, A = {A 1,..., A q } eine endliche Partition von Q und V = {v 1,..., v q } eine Menge von Kontrollen mit ϕ([0, τ], A j, v j ) Q für j = 1,..., q. Dann sagen wir Q sei von (A, V, τ) invariant überdeckt. Das Tripel (A, V, τ) definiert eine stückweise stetige Abbildung f : Q Q durch f (x) := ϕ(τ, x, v j(x) ) mit x A j(x). Für jedes N N nennen wir ein Wort [a 0, a 1,..., a N 1 ] mit a j {1,..., q} zulässig, falls ein x Q existiert mit x A a0, f (x) A a1, f 2 (x) A a2,..., f N 1 (x) A an 1.

20 Alternative Charakterisierung Sei W N (A, V, τ) die Menge aller zulässigen Worte der Länge N. Dann definieren wir h inv (A, V, τ) := 1 τ lim N #W N (A, V, τ). N

21 Alternative Charakterisierung Sei W N (A, V, τ) die Menge aller zulässigen Worte der Länge N. Dann definieren wir h inv (A, V, τ) := 1 τ lim N #W N (A, V, τ). N Satz Es gilt h inv(q) = inf h inv(a, V, τ), (A,V,τ) wobei das Infimum über alle Tripel (A, V, τ) genommen wird, die Q invariant überdecken.

22 Interpretation Der Satz liefert auch eine Interpretation der strikten Invarianz-Entropie einer Menge Q als Maß für die minimale Information über den Zustand des Systems, die pro Zeiteinheit an den Controller übertragen werden muss, um Invarianz von Q zu gewährleisten. Eine Größe dieser Art wurde bereits unter dem Namen topologische Feedback-Entropie von Nair, Evans, Mareels und Moran in Topological feedback entropy and nonlinear stabilization (IEEE Trans. Aut. Control, 49, 2004) eingeführt, allerdings für zeitdiskrete Kontrollsysteme und unter stärkeren Invarianzbedingungen für die Menge Q.

23 Schlussbemerkungen Die Charakterisierung mit Hilfe von Feedbacks liefert einen möglichen numerischen Zugang zur strikten Invarianz-Entropie via Berechnung von h inv (A, V, τ). Vgl. Junge, Froyland, Ochs: Rigorous computation of topological entropy with respect to a finite partition, Physika D 154, No.1-2, 68-84, (2001).

24 Schlussbemerkungen Die Charakterisierung mit Hilfe von Feedbacks liefert einen möglichen numerischen Zugang zur strikten Invarianz-Entropie via Berechnung von h inv (A, V, τ). Vgl. Junge, Froyland, Ochs: Rigorous computation of topological entropy with respect to a finite partition, Physika D 154, No.1-2, 68-84, (2001). Die vorgestellten Resultate lassen sich auch für Kontrollsysteme auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Dabei müssen zusätzlich Strukturen wie Riemannsche Metriken oder Volumenformen verwendet werden.

25 Schlussbemerkungen Die Charakterisierung mit Hilfe von Feedbacks liefert einen möglichen numerischen Zugang zur strikten Invarianz-Entropie via Berechnung von h inv (A, V, τ). Vgl. Junge, Froyland, Ochs: Rigorous computation of topological entropy with respect to a finite partition, Physika D 154, No.1-2, 68-84, (2001). Die vorgestellten Resultate lassen sich auch für Kontrollsysteme auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Dabei müssen zusätzlich Strukturen wie Riemannsche Metriken oder Volumenformen verwendet werden. Das mittelfristige Ziel ist ein besseres Verständnis des Informationsaustausch bei Regelung von vernetzten Systemen.