Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure III/A

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1 Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure III/A Florian Franzmann 5. August 005 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 3. Lösungsformel für quadratische Gleichungen Invertieren einer -Matrix Kreuzprodukt Dyadisches Produkt Rechenregeln des Vektorprodukts Additionstheoreme Normale Normalenvektor Normaleneinheitsvektor Hesse-Normalform Hauptachsentransformation Normen 6. Euklidische Norm Spektralnorm Differentiation 7 3. Lipschitz-Bedingung Differentiationsregeln Quotientenregel Logarithmische Differentiation l Hospital sche Regel Ableitungsoperatoren siflfran@hawo.stw.uni-erlangen.de

2 Inhaltsverzeichnis 3.3. Laplace-Operator Divergenz-Operator Gradient-Operator Rotations-Operator Jacobi-Matrix Hesse-Matrix Zusammengesetzte Operationen Richtungsableitung Wegableitung Taylor-Polynom Eindimensional Zweidimensional Eindeutigkeit von Funktionen Satz über implizite Funktionen Zweidimensionaler Fall Mehrdimensionaler Fall Kugelkoordinaten Definition Ableitung in Kugelkoordinaten Satz von Heine-Borell Extremwerte unter Nebenbedingungen (Lagrange-Multiplikatoren) Funktion zweier Variablen und eine Nebenbedingung ϕ Allgemeiner Fall Numerik 4. Banachscher Fixpunktsatz Newton-Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Integration 3 5. Integrationsregeln Partielle Integration Substitutionsregel Logarithmische Integration Bogenlänge Differentialgleichungen 4 6. Notwendiges und hinreichendes Mehrdeutigkeitskriterium Methode der Phasenkurve Exakte Differentialgleichungen Methode des integrierenden Faktors Numerik Eulersches Polygonzugverfahren

3 Tabellenverzeichnis 6.4. Fixpunktiteration Differentialgleichungssysteme Wronsky-Determinante Fragen 6 Tabellenverzeichnis Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel Grundlagen. Lösungsformel für quadratische Gleichungen ax + bx + c = 0 x, = b ± b 4ac a x, = b ± j (b 4ac) a falls b 4ac 0 falls b 4ac < 0. Invertieren einer -Matrix a a a a = a a a a a a a a.3 Kreuzprodukt a b = a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b 3

4 Grundlagen Tabelle : Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel 0 π 6 π 4 π 3 π 3 π π ϕ I II III IV sin ϕ cos ϕ nicht tan ϕ definiert cot ϕ nicht definiert 3 nicht definiert 0 nicht definiert Dyadisches Produkt a x = a x T = Eigenschaften:. ( a x) c = ( x c) a. Sp( a x) = a x 3. ( a x) T = x a a x a x a x 3 a x a x a x 3 a 3 x a 3 x a 3 x 3 4. Linearität: a ( x + y) = a x + a y.5 Rechenregeln des Vektorprodukts a b = ( b a) a ( b c) = ( a b) c a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ( a b) ( c d) = a ( b ( c d)) 4

5 .6 Additionstheoreme.6 Additionstheoreme sin α sin β = cos α cos β = (cos(α β) cos(α + β)) (cos(α β) + cos(α + β)) sin α = ( cos α) cos α = ( + cos α) sin(α ± β) = sinαcos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos αcos β sin α sin β sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α.7 Normale.7. Normalenvektor Die Ableitung eines in einem Punkt steht senkrecht auf der Äquipotentialfläche durch diesen Punkt..7. Normaleneinheitsvektor Gegeben: Ebene ax + by + cz = d. Gesucht: Normaleneinheitsvektor n 0. n 0 = ± n n = ± a + b + c a b c mit n = a b c.8 Hesse-Normalform E = { x R 3 : n,x = n,p 0 } 5

6 Normen.9 Hauptachsentransformation Gegeben: Quadrik der Form ax + bx + cx 3 +dx x + ex x 3 + fx x 3 +gx + hx + kx 3 + l = 0 Gesucht: Zugehörige Hauptachsentransformation. In Vektorschreibweise lautet die Fläche x A x + b x + c = 0 mit a d e g A = d b f, b = h und c = l e f c k Berechne die Eigenvektoren und Eigenwerte von A. Transformation auf die Hauptachse mit x = T y, T = ( v, v, v 3 ), v, v, v 3 Eigenvektoren. Die Normalform der Fläche ist λ 0 0 y D y + b T y + c = 0 mit D = 0 λ λ 3 Normen Eine Abbildung A A heißt Norm genau dann, wenn gilt. A = 0 A = 0. λ A = λ A 3. A + B A + B. Euklidische Norm v := v + + v n. Spektralnorm λ max (A) ist definiert als als größter Eigenwert von A. 6

7 3 Differentiation 3. Lipschitz-Bedingung Aus f(x,y ) f(x,y ) N y y x,y,y G N unabhängig von x,y,y folgt, daß y = f(x,y) eindeutige und stetige Funktion von y 0 ist. 3. Differentiationsregeln 3.. Quotientenregel ( u ) vu uv = v 3.. Logarithmische Differentiation v 3..3 l Hospital sche Regel 3.3 Ableitungsoperatoren 3.3. Laplace-Operator y = u(x) v(x) mit u(x) > 0 ( y = u(x) v(x) v (x) ln u(x) + v(x) ) u (x) u(x) u(x) lim x a v(x) = lim u (x) x a v (x) f := n i= f x i = f 3.3. Divergenz-Operator Definition divf := n i= f i x i = Sp(J v ) = f Rechenregeln (φ v) = ( φ) v + φ( v) ( v w) = w ( v) v ( w) 7

8 3 Differentiation Gradient-Operator Definition gradf = f = (f x,,f xn ) T Rechenregeln (A + B) = A + B (A B) = A B + A B Hierbei bedeutet eines der Produkte, oder und A bedeutet, daß nur auf A angewandt wird. Damit folgt: (φψ) = φ( ψ) + ( φ)ψ (φ v) = v ( φ) + φ( v) ( v w) = ( v) T w + ( w) T v Rotations-Operator Definition rotv = v 3 x v x 3 v x 3 v 3 x v x v x = V Rechenregeln (φ v) = ( φ) v + φ( v) ( v w) = ( w) v + v w ( v) w w v Hierbei ist v w die Richtungsableitung von v in Richtung von w, d.h. w = w Jacobi-Matrix f = f x = J f = f x... f m x f x n f m x n = f 8

9 3.4 Richtungsableitung Hesse-Matrix Hess φ ( x) = φ x = φ x φ x x φ x 3 x φ x x φ x φ x 3 x φ x x 3 φ x x 3 φ x 3 = grad(gradφ) = φ Zusammengesetzte Operationen ( v) = 0 ( φ) = 0 ( v) = ( v) v 3.4 Richtungsableitung Falls c = : U = c gradu c 3.5 Wegableitung Gegeben: Kurve Γ = x(t) und Funktion f. Gesucht: Wegableitung von f entlang Γ. 3.6 Taylor-Polynom 3.6. Eindimensional T n f(x) = R n (x) = mit ξ = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < d f(x(t)) = f(x(t)),ẋ(t) dt n k=0 k! f(k) (x 0 )(x x 0 ) k + R n (n + )! f(n+) (ξ)(x x 0 ) n+ 9

10 3 Differentiation 3.6. Zweidimensional T n f(x,y) = f(a,b) + x f(a,b)(x a) + f(a,b)(y b) y + ( )! x f(a,b)(x a) + f(a,b)(x a)(y b) + f(a,b)(y b) xy y + + R n 3.7 Eindeutigkeit von Funktionen Ist f : U R n (U R n offen) stetig differenzierbar und f (x 0 ) invertierbar, so gibt es Umgebungen V von x 0 und Ṽ von y0, so daß f : V Ṽ bijektiv ist. 3.8 Satz über implizite Funktionen 3.8. Zweidimensionaler Fall Sei f(x,y) eine stetig differenzierbare reelle Funktion zweier reeller Variablen. Der Definitionsbereich D R sei eine offene Menge. Dann folgt aus f(x 0,y 0 ) = 0 y f(x 0,y 0 ) 0. Es existiert ein Intervall U um x 0 und V um y 0 mit der Eigenschaft, daß zu jedem x U genau ein y V existiert mit f(x,y) = 0. Daraus folgt, daß es eine lokale Auflösung von f(x,y) = 0 nach y = g(x) gibt.. g(x) ist stetig differenzierbar und es gibt für jedes x U g (x) = g (x) = f f x y f x f(x,g(x)) y f(x,g(x)) ( x y f y ( f y ) f x ) 3 ( ) f y 3.8. Mehrdimensionaler Fall Sei f( x, y) = f(x,...,x m,y,...,y n ) = f (x,...,y n ). f n (x,...,y n ) 0

11 3.9 Kugelkoordinaten eine stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen Menge D R m+n R n. Sei x = (x,...,x m ) T, y = (y,...,y n ) T. Falls folgt f( x 0, y 0 ) = 0 det f y ( x 0, y 0 ) = y f ( x 0, y 0 ) y n f ( x 0, y 0 ). y f m ( x 0, y 0 ).... y n f m ( x 0, y 0 ). Es gibt eine Umgebung U R m um x 0 und V R m von y 0, so daß gilt: Zu jedem x U gibt es genau ein y V mit und somit existiert g : U V, so daß f( x, y) = 0 f( x, g( x)) = 0 x U 0. g ist stetig differenzierbar und es gibt für jedes x U 3.9 Kugelkoordinaten g (x) = f y ( x, y) f x ( x, y) y = g( x) 3.9. Definition x x x 3 = r cos ϕ r sinϕ z r ϕ z = x + x arctan x x x Ableitung in Kugelkoordinaten Sei x = (x,y,z) T = (r cos ϕsin ϑ,r sin ϕsin ϑ,r cos ϑ) T. J f = (f x,f y,f z ) = (f r,f ϕ,f ϑ ) H f = (f x,f y,f z ) (r,ϕ,ϑ) ( ) (x,y,z) (r,ϕ,ϑ) ( ) (x,y,z) (r,ϕ,ϑ)

12 4 Numerik 3.0 Satz von Heine-Borell Ist f auf K stetig, so nimmt f auf k ein Minimum und ein Maximum an. 3. Extremwerte unter Nebenbedingungen (Lagrange-Multiplikatoren) 3.. Funktion zweier Variablen und eine Nebenbedingung ϕ Löse das Gleichungssystem ϕ(x,y) = 0 x (f(x,y) + λϕ(x,y)) = 0 (f(x,y) + λϕ(x,y)) = 0 y 3.. Allgemeiner Fall Gegeben: Funktion f(x,...,x n ) und Nebenbedingungen ϕ(x,...,x n ),..., ψ(x,...,x n ). Bilde Lagrange-Funktionen Φ(x,...,x n,λ,...,µ) = f(x,...,x n ) + λϕ(x,...,x n ) + + µψ(x,...,x n ) und löse das Gleichungssystem ϕ(x,...,x n ) = 0. ψ(x,...,x n ) = 0 Φ x (x,...,x n,λ,...,µ) = 0. Φ xn (x,...,x n,λ,...,µ) = 0 4 Numerik 4. Banachscher Fixpunktsatz Sei f : I I eine Funktion, die ein abgeschlossenes Intervall auf sich selbst abbildet. Für alle x,x I gelte die Ungleichung f(x ) f(x ) K x x K = max x I f (x) K sei von x, x unabhängige Konstante. Dann hat f genau einen Fixpunkt x I, gegen den die Iterationsfolge x n+ = f(x n ) konvergiert (x 0 I).

13 4. Newton-Verfahren 4. Newton-Verfahren Gesucht: f(x) = Jacobi-Verfahren x (µ+) i x k+ = x k Jf(x k ) f(x k ) = b i a ii n k= (k i) Das Verfahren konvergiert, falls max k 4.4 Gauß-Seidel-Verfahren a ik x (µ) a k ii i= a ik (i k) (i = ;;... ;n) a ii < oder n maxi k= a ii <. a ik (k i) Gegeben ist ein Gleichungssystem Ax = b. A wird aufgeteilt in eine Diagonalmatrix D, eine obere Dreiecksmatrix U und eine untere Dreiecksmatrix L, so daß gilt A = L + D + U Lege einen Startvektor x 0 fest und berechne 5 Integration 5. Integrationsregeln x k+ = (D + L) (b Ux k ) 5.. Partielle Integration u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx 5.. Substitutionsregel x = u(t) bzw. t = v(x). u und v seien zueinander Umkehrfunktionen. f(x)dx = f(u(t))u (t)dt bzw. f(u(t)) f(x)dx = v (u(t)) dt 5..3 Logarithmische Integration f (x) dx = ln f(x) + C f(x) 3

14 6 Differentialgleichungen 5. Bogenlänge L = b a k (t) dt 6 Differentialgleichungen 6. Notwendiges und hinreichendes Mehrdeutigkeitskriterium Seien f,g : R R stetige Funktionen und y 0 D(g) mit g(y 0 ) = 0 ein innerer Punkt. Das Anfangswertproblem y (x) = f(x)g(y) y(x 0 ) = y 0 ist genau dann eindeutig lösbar, wenn das Integral nicht existiert. y lim ε ±0 y 0 +ε g(t) dt 6. Methode der Phasenkurve Gegeben: y (t) = f(y(t),y (t)) Die Lösung y = y(t) sei auf einem gewissen Bereich streng monoton. Dann existiert die Umkehrabbildung t = t(y), und es gilt dt dy = y (t(y)) Wir setzen Hiermit folgt v(y) := y (t(y)) dv dy = y (t(y)) dt dy = v f(y,v) Wir erhalten somit eine Differentialgleichung erster Ordnung für die Phasenkurve v = v(y). Hieraus folgt dt dy = y v(y) = t t dy 0 = y 0 v(y) wodurch y implizit gegeben ist. 4

15 6.3 Exakte Differentialgleichungen 6.3 Exakte Differentialgleichungen Eine Differentialgleichung heißt exakt genau dann, wenn P(x,y) + Q(x,y)y = 0 P y (x,y) = Q x (x,y) Die Lösung der Differentialgleichung lautet dann Φ(x,y(x)) = c wobei 0 = P(x,y) + Q(x,y)y = Φ x + Φ y y = d dx (Φ(x,y(x))) 6.3. Methode des integrierenden Faktors Sei nicht exakt. Finde M(x,y), so daß exakt ist. Voraussetzung. Fall: M = M(x) Die Funktion P(x,y) + Q(x,y)y = 0 M(x,y)P(x,y) + M(x,y)Q(x,y)y = 0 (MP) (MQ) y x ( Q M x P M ) ( Q + M y x P ) y dm(x) dx einen integrierenden Faktor.. Fall: M = M(y) Die Funktion dm(y) dy einen integrierenden Faktor. = 0 = 0 ( ) Q x P y Q hängt nur von x ab. Dann liefert (( Q = x P ) ) M(x) y Q ( ) Q x P y P hängt nur von y ab. Dann liefert (( Q = x P ) ) M(y) y P 5

16 7 Fragen 6.4 Numerik 6.4. Eulersches Polygonzugverfahren y i+ = y i + h i f(t i,y i ) t i+ = t i + h i f(t,y) = y 6.4. Fixpunktiteration y (0) (t) = y 0 y (k+) (t) = y Differentialgleichungssysteme t t 0 f(τ,y (k) (τ)dτ. Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix des Gleichungssystems.. Gibt es mehrfache Eigenwerte λ i müssen folgendermaßen weitere linear unabhängige Hauptvektoren zu den Eigenvektoren v i bestimmt werden: A λe = v in 3. Das Fundamentalsystem ergibt sich zu { ( ) FS: e λx v,e λx (x v + v ),e λ x x v + x v + v 3,..., } e λx v,e λx (x v + ), Wronsky-Determinante Determinante der Matrix der Lösungsvektoren eines Fundamentalsystems. 7 Fragen. A5 Implizites Differenzieren 0 = f x + f z z x 0 = f y + f z z y = gradz(0,0) = 6

17 Wie kommt das zustande?. A6 Gibts ne Lösung zu b), c)? 3. A8 b) Was bedeutet die Aufgabenstellung? 4. A9 b) Wieso übernimmt f nur einen Parameter? 5. Gibts das Ergebnis der Evaluation irgendwo online? 7