Vorbesprechung & Mathematische Grundlagen

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1 IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte Vorbesprechung & Mathematische Grundlagen Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 1 / 29

2 Organisatorisches Für Studierende die den Kurs Ökonomische Entscheidungen und Märkte besuchen oder bereits absolviert haben. Lehrbuch: Pindyck, Robert S. and Daniel L. Rubinfeld: Microeconomics, Prentice Hall International. Deutsche Ausgabe: Mikroökonomie Aufnahme Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 2 / 29

3 Ablauf der Lehrveranstaltung Vorbereitung: Kapitel im Lehrbuch lesen, HÜ vorbereiten & zu Beginn der LVA in Liste eintragen Besprechung der HÜ-Beispiele, Vertiefung und Erweiterung der Kursinhalte. Unterlagen zur LVA auf meiner Website: team/nicole-schneeweis/ Leistungsüberprüfung: Hausübungspunkte (max. 50) und Klausur (max. 125). Es gibt eine Nachklausur! Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 3 / 29

4 Anforderungen für einen positiven Schein Mindestens 25 Hausübungspunkte (von 50) Mindestens 63 Klausurpunkte (von 125) Punkte Note von bis Sehr Gut Gut Befriedigend Genügend Nicht Genügend Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 4 / 29

5 Anwesenheit Ihre Anwesenheit in der Lehrveranstaltung wird nicht kontrolliert. Restriktion: 25 Hausübungspunkte Sie müssen anwesend sein wenn Sie Hausübungsbeispiele ankreuzen! Wenn sich herausstellt, dass Sie das Beispiel nicht (selbst) vorbereitet haben oder Sie nicht anwesend sind, werden Ihnen die Hausübungspunkte dieser Einheit gestrichen und Sie bekommen weitere 5 Hausübungspunkte abgezogen. Wenn Sie grobe Fehler machen, werden Ihnen die Punkte für dieses Beispiel abgezogen. Wenn Sie kleine Fehler machen, bekommen Sie keinen Abzug, denn Nobody is perfect! Die Beispiele können ausnahmslos nicht schriftlich abgegeben werden. Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 5 / 29

6 Kontakt und Fragen Aktuelle Adresse im KUSSS? Fragen Während oder nach der LVA an mich Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 6 / 29

7 Fragen??? Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 7 / 29

8 Konstruktion eines Modells Ökonomie beruht auf Theorien & Modellen. Ein Modell ist die vereinfachte, mathematische Darstellung der Wirklichkeit. Beispiel aus dem Alltag: Landkarte Die groÿe Kunst liegt im Weglassen der richtigen irrelevanten Einzelheiten. Was brauchen wir dazu? Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 8 / 29

9 Mathematische Grundlagen = Tipp: Rechnen mit Potenzen & Wurzeln (Lineare) Funktionen Dierentiation Partielle Dierentiation Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 9 / 29

10 Potenzen & Wurzeln Ganzzahlige Potenzen a n = a a... a a }{{} n Faktoren a R, n N Denition: a 0 = 1 für a 0 a n = ( ) n 1 = 1 a a n Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 10 / 29

11 Potenzen & Wurzeln Gebrochene Potenzen n am = a m n = Tipp: Verzichten Sie auf Wurzeln Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 11 / 29

12 Potenzen & Wurzeln Rechenregeln a r a s = a r+s a r : a s = a r s (a r ) s = a r s (a b) n = a n b n ( a b ) n = a n b n Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 12 / 29

13 Funktionen Eine Funktion f : ordnet jeder Zahl x aus dem Denitionsbereich von f eine reelle Zahl f (x) zu bzw. drückt die Abhängigkeit einer Gröÿe f vom Wert der Gröÿe x aus, daher f (x). Beispiele: das Einkommen y in Abhängigkeit von den Arbeitsstunden x: y = f (x) die nachgefragte Menge Q D in Abhängigkeit vom Preis des Gutes P: Q D = f (P) Graphisch: mögliche x-werte auf der horizontalen Achse (Abszisse) und entsprechenden Funktionswerte f (x) auf der vertikalen Achse (Ordinate) Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 13 / 29

14 Funktionen Eine lineare Funktion f : ist eine spezielle Funktion der Form f (x) = k x + d. d ist der Ordinaten-Abschnitt und k die konstante Steigung dieser Funktion. Steigung... graphisch: Steigungsdreieck f (x) x rechnerisch: Ableitung f (x) = k, konstante Steigung Interpretation: Wie verändert sich f (x), wenn x um eine Einheit steigt? Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 14 / 29

15 Lineare Funktion Beispiel Funktion: f (x) = 5 + 3x Skizze, Steigung, Ableitung, Interpretation Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 15 / 29

16 Funktionen Allgemein: Die Ableitung einer Funktion f : an der Stelle x ist der Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x, f (x)) wird mit dem Symbol f (x) bezeichnet; ausgesprochen als f-strich von x oder f-strich an der Stelle x. = Nicht jede Funktion ist in jedem Punkt ableitbar! Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 16 / 29

17 Funktionen Abbildung 1: Ableitung intuitiv. Quelle aller Abbildungen in diesem Dokument ist: Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 17 / 29

18 Dierentiation Dierentiation ist das Finden der Ableitung wird durch Abbildung 2 graphisch dargestellt Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 18 / 29

19 Dierentiation Abbildung 2: Berechnung der Ableitung. Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 19 / 29

20 Dierentiation z. B. f (x) = x 2 f (x 0 ) = lim ε 0 f (x 0 + ε) f (x 0 ) ε (x 0 + ε) 2 x 2 0 ε = x x 0ε + ε 2 x 2 0 ε = 2x 0ε + ε 2 ε = 2x 0 + ε Grenzübergang: ε 0 f (x 0 ) = 2x 0 Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 20 / 29

21 Dierentiation Dierentiationsregeln Ableitung eines Vielfachen: c f (x) c f (x) Ableitung einer Summe: f (x) + g(x) f (x) + g (x) Produktregel: f (x) g(x) f (x) g(x) + f (x) g (x) Quotientenregel: f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) 2 Kettenregel: f (g(x)) f (g(x)) g (x) Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 21 / 29

22 Dierentiation Spezielle Funktionen Konstante Funktion: f (x) = c f (x) = 0 z. B.: f (x) = 8 f (x) = 0 Lineare Funktion: f (x) = k x + d = f (x) = k z. B.: f (x) = 3 x + 5 f (x) = 3 Potenzfunktion: f (x) = x n f (x) = n x n 1 z. B.: f (x) = x 5 f (x) = 5 x 4 Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 22 / 29

23 Dierentiation Abbildung 3: Landschaftsprol. Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 23 / 29

24 Dierentiation Abbildung 4: Landschaftsprol mathematisch. Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 24 / 29

25 Funktion und Ableitungsfunktion Beispiel Funktionen: 1. f (x) = x 2 2. f (x) = 5 x 2 Ableitungsfunktionen:??? Skizzen: f (x) und f (x)??? Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 25 / 29

26 Partielle Dierentiation Die partiellen Ableitungen einer Funktion werden berechnet, indem jeweils nach einer Variable dierenziert wird und alle übrigen Variablen konstant gehalten werden; z. B.: f (x, y) = x 2 + 8x + 3y partielle Ableitung nach x ist f x (x, y) = partielle Ableitung nach y ist f y (x, y) = Anmerkung: wird mit del angesprochen. f (x,y) f ( ) x = x = 2x + 8. f (x,y) f ( ) y = y = 15y 4. Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 26 / 29

27 Partielle Dierentiation Ein weiteres Beispiel zur partiellen Dierentiation: f (x, y, z) = x α y β z γ part. Ableitung nach x ist f x (x, y, z) = y β z γ part. Ableitung nach y ist f y (x, y, z) = y β 1 z γ part. Ableitung nach z ist f z (x, y, z) = z γ 1 f (x,y,z) x = f (x,y,z) y = f ( ) x = α x α 1 f ( ) y = β x α f (x,y,z) f ( ) z = z = γ x α y β Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 27 / 29

28 Partielle Dierentiation Beispiel Funktion: f (x, y, z) = x y 2 z Partielle Ableitungen: f (x,y,z) x, f (x,y,z) y, f (x,y,z) z??? Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 28 / 29

29 Fragen??? Nicole Schneeweis (JKU Linz) IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte 29 / 29