Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Jens Struckmeier Fachbereich Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2/2 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure / 2 Inhalte der Vorlesung Differentialgleichungen I. Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen. 2 Elementare Lösungsmethoden. 3 Existenz und Eindeutigkeit bei Anfangswertaufgaben. 4 Lineare Systeme. Ordnung, Systeme mit konstanten Koeffizienten. 5 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung. 6 Laplace Transformation bei Differentialgleichungen. 7 Stabilität von Lösungen. 8 Randwertaufgaben, Variationsrechnung. 9 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben. Numerische Verfahren für Randwertaufgaben. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 2 / 2

2 Kapitel. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung und Beispiele Definition: Ein Gleichungssystem der Form mit F(t, y(t), y (t),..., y (m) (t)) = F : [a, b] } R n {{ R n } R n (m+) fach heißt implizites gewöhnliches Differentialgleichungssystem der Ordnung m. Läßt sich das System nach y (m) (t) auflösen, so ergibt sich das explizite System der Form: y (m) (t) = f(t, y(t), y (t),..., y (m ) (t)) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 3 / 2.. Einführung und Beispiele Im Folgenden suchen wir stets eine C m Funktion y : [a, b] R n, die das Differentialgleichungssystem erfüllt: für t [a, b] gilt also beziehungsweise F(t, y(t), y (t),..., y (m) (t)) = y (m) (t) = f(t, y(t), y (t),..., y (m ) (t)) Spezialfall: Hängen die Funktionen F bzw. f nicht explizit von (der Zeit) t ab, so nennt man das System autonom, d.h. F(y(t), y (t),..., y (m) (t)) = oder y (m) (t) = f(y(t), y (t),..., y (m ) (t)) Lösungen nennt man dann auch Trajektorien der DGL. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 4 / 2

3 Autonome DGL, Anfangswert und Randwertaufgabe. Beispiel: Die skalare autonome Gleichung erster Ordnung y (t) = y(t) hat auf jedem Intervall [a, b] R unendlich viele Lösungen der Form y(t) = C e t mit C R Anfangswertaufgabe { y (t) = f (t, y(t)), a t b, y R n Randwertaufgabe { y(a) = y a (Anfangswert) y (t) = f (t, y(t)), a t b, y R n r(y(a), y(b)) = (Randwert) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 5 / 2 Beispiel : Populationsmodell I Sei N(t) die Größe einer Population, zum Beispiel Bakterien auf einem Nährboden. Die Änderung der Population in kleinen Zeitabschnitten wird bestimmt durch die Geburtenrate b und die Sterberate d. Dann gilt N (b d)n(t) t Im Grenzwert t erhält man die Differentialgleichung dn dt = αn(t) mit α = b d Mit dem Anfangswert N(t ) = N ergibt sich die eindeutige Lösung N(t) = N e α(t t ) Die Population besitzt also ein exponentielles Wachstum. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 6 / 2

4 Beispiel 2: Populationsmodell II. Bei exponentiellem Wachstum gilt für α > lim N(t) = t und das ist unrealistisch (zum Beispiel: Weltbevölkerung). Suche also ein Modell mit lim N(t) = K < t Verhulst: Wachstumsrate ist eine mit N(t) linear fallende Funktion dn dt = λn(t)(k N(t)) Die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe lautet dann N(t) = K N N + (K N )e λk(t t ) und man spricht hier vom logistischen Wachstum. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 7 / 2 Beispiel 3: Das Regelkreisglied. Mechanisches Feder Dämpfer System mit Anregung y e (t) = vorgegebene Eingangsgröße y a (t) = Ausgangsgröße K F (t) = K(y e (t) y a (t)) = Federkraft K D (t) = r y a(t) = Dämpferkraft wobei K die Federkonstante und r den Dämpfungskoeffizienten bezeichnet. Modellierung als gewöhnliche Differentialgleichung liefert y a(t) = λy a (t) + λy e (t) mit λ = K r Die Lösung des Anfangswertproblems bei Vorgabe von y e (t), t t ist y a (t) = y a (t )e λ(t t ) + λ t t y e (τ)e λ(τ t) dτ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 8 / 2

5 Beispiel 4: Die Newtonsche Abkühlung. Für die Temperatur T (t) eines homogenen Körpers gilt (vereinfacht) die Differentialgleichung dt dt = k F c m (T a(t) T (t)) Dabei ist T a (t) = Umgebungstemperatur m = Masse des Körpers F = Oberfläche c = spezifische Wärme k = Proportionalitätsfaktor Die Gleichung ist identisch mit der des Regelkreisglieds und insbesondere gilt T (t) T a (t) für t. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 9 / 2 Beispiel 5: Der elektrische Schwingkreis. Gegeben seien der Ohmsche Widerstand R, die Induktivität L, die Kapazität C. Für die Spannungsabfälle gilt U R = R I, sowie bei vorgegebener Spannung U(t) U L = L di dt, I = C du C dt U R + U L + U C = U(t) Wir ersetzen in U R und U L die Variable I durch C du C /dt, und erhalten R C du C dt + L C d 2 U C dt 2 + U C = U(t) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure / 2

6 Beispiel 5: Der elektrische Schwingkreis (Fortsetzung). Der Schwingkreis wird modelliert durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung: LC d 2 U C dt 2 + RC du C dt + U C = U(t) Typisch ist die Vorgabe einer Wechselspannung, also U(t) = U cos(ωt). Beobachtung: Anfangswertproblem mit Vorgabe von U C (t ) = C und du C dt (t ) = C 2 Es existiert auch eine Darstellung als System erster Ordnung, y = y 2 y 2 = R L y 2 LC y + LC U wobei y := U c und y 2 := du C /dt. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure / 2 Das Richtungsfeld einer skalaren Gleichung erster Ordnung. Gegeben sei die Differentialgleichung y (t) = f (t, y(t)) mit y(t) R Betrachte an jedem Punkt (t, y) R 2 den Richtungsvektor v = (, y ) T in der Tangentenrichtung y = f (t, y). Definition: Ein Tripel (t, y, y ) R 3, das die Gleichung y = f (t, y) erfüllt, nennt man ein Linienelement der Differentialgleichung. Beispiele: Richtungsfeld der Differentialgleichung y = y. Erraten der Lösung aus einer Skizze des Richtungsfelds: Betrachte die Differentialgleichung y = t y Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 2 / 2

7 Ein Beispiel zum Richtungsfeld. Die Linienelemente der Differentialgleichung y = t y sind gegeben durch die Tripel ( ) t, y, t y R 3. Der Richtungsvektor v im Punkt (t, y) ist gegeben durch und es gilt v = (, y ) T = v r = (t, y) T (, t ) T y mit dem Ortsvektor r Die Lösungen sind (geometrisch gesehen) Kreise in der (t, y) Ebene y(t) = ± r 2 t 2 ( r < t < r) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 3 / 2 Kapitel. Gewöhnliche Differentialgleichungen.2 Elementare Lösungsmethoden In diesem Abschnitt wollen wir uns mit einfachen Methoden zur Berechnung von Lösungen der folgenden einfachen gewöhnlichen Differentialgleichungen beschäftigen. Separierbare Differentialgleichungen Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Bernoullische Differentialgleichungen Riccatische Differentialgleichungen Exakte Differentialgleichungen Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 4 / 2

8 Typ A: Separierbare Differentialgleichungen. Gegeben sei die Anfangswertaufgabe { y (t) = f (t) g(y) y(t ) = y in einem Bereich D R 2 der (t, y) Ebene. Gilt g(y), so lassen sich die Variablen t und y trennen: y g(y) = f (t) Integration unter Verwendung der Substitutionsregel ergibt y y dη t g(η) = f (τ)dτ t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 5 / 2 Separierbare Differentialgleichungen. Bezeichnen wir mit H(y) eine Stammfunktion von /g(y), also dy H(y) = g(y) so folgt wegen gerade y y dη t g(η) = f (τ)dτ t H(y) = H(y ) + t t f (τ)dτ Da g(y), ist die Stammfunktion H(y) injektiv und daher invertierbar: t ) y(t) = H (H(y ) + f (τ)dτ t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 6 / 2

9 Ein Beispiel für eine separierbare Differentialgleichung. Wir betrachten die Anfangswertaufgabe { y (t) = t/y Trennung der Variablen ergibt y(t ) = y y y = t y ηdη = t τdτ y t Damit folgt y 2 2 y 2 2 = 2 (t2 t 2 ) y 2 + t 2 = y 2 + t 2 = r 2 Wir erhalten also als Lösung einen Kreis um den Ursprung in der (t, y) Ebene mit Radius r 2. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 7 / 2 Typ B: Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen. Eine Differentialgleichung der Form y (t) = f ( y t ) läßt sich mit Hilfe der Substitution u(t) := y(t) t auf eine separierbare Gleichung zurückführen. Wir schreiben f (u) = y (t) = (tu(t)) = u(t) + tu (t) Auflösung nach u (t) ergibt die separierbare Gleichung u (t) = f (u) u t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 8 / 2

10 Ein Beispiel für eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung. Gesucht ist die Ortslinie aller Punkte, für die der Tangentenabschnitt auf der y Achse gleich dem Abstand des Punktes vom Ursprung ist. Das Problem wird modelliert durch die zugehörige Differentialgleichung y ty = t 2 + y 2 y = y ( y ) 2. t + t Wir verwenden die Substitution u = y/t: + u u 2 = t Eine Trennung der Variablen liefert zunächst du dt = + u 2 t und damit ln (u + ) + u 2 = ln t + C Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 9 / 2 Fortsetzung des Beispiels. Aus der Beziehung (siehe Skript Analysis II, Seite 37) arsinh(u) = ln (u + ) + u 2 folgt u = sinh( ln t + C ) und damit durch Rücksubstitution y t = ( e C 2 t Wählt man C = e C, so erhalten wir te C 2y = C t2 C und es ergibt sich als Lösung die Parabelschar t 2 = C 2 2Cy ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 2 / 2

11 Typ C: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung sind von der Form y (t) + a(t)y(t) = h(t). Man nennt die Funktion h(t) die Inhomogenität der Gleichung. Die Differentialgleichung heißt homogen, falls h(t) = gilt. Die allgemeine Lösung läßt sich stets in der Form schreiben. y(t) = y p (t) + y h (t) Dabei ist y p (t) eine spezielle (oder partikuläre) Lösung, und y h (t) ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y h (t) + a(t)y h(t) = Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 2 / 2 I. Berechnung der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung. Eine Trennung der Variablen y h (t) + a(t)y h(t) = y h y h = a(t) ergibt mit Hilfe einer Integration dyh y h = a(t)dt die allgemeine Lösung y h (t) = C exp ( t ) a(τ)dτ t mit einer beliebigen Integrationskonstanten C R. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 22 / 2

12 II. Berechnung einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Dazu verwendet man die Methode der Variation der Konstanten ( t ) y p (t) = C(t) exp a(τ)dτ Einsetzen in die inhomogene Gleichung ergibt ( t ) C (t) exp a(τ)dτ a(t)y p (t) + a(t)y p (t) = h(t) t Durch Integration der Differentialgleichung für C(t) erhalten wir C(t) = t t h(τ) exp t ( τ t ) a(ξ)dξ dτ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 23 / 2 Spezialfälle zur Berechnung einer speziellen Lösung. Für lineare Gleichungen der Form y (t) + a y(t) = h(t) mit a R und speziellen Inhomogenitäten h(t) macht man folgende Ansätze: Inhomogenität h(t) m k= b k t k Ansatz für y p (t) m k= c k t k b cos(ωt) + b 2 sin(ωt) c sin(ωt γ) be λt ce λt für λ a cte λt für λ = a Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 24 / 2

13 Ein Beispiel für einen solchen Spezialfall. Wir betrachten die Differentialgleichung y (t) + y(t) = sin t Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet ( t ) y h (t) = C exp dτ = C exp (t t) t Bei der Variation der Konstanten ist der Ansatz y p (t) = C(t) exp (t t) Ein Einsetzen des Ansatzes ergibt schließlich C(t) = t t sin(τ) exp (τ t ) dτ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 25 / 2 Fortsetzung des Beispiels. Nach der Tabelle auf Seite 24 suchen wir eine spezielle Lösung der Form y p (t) = C sin(t γ) Ein Einsetzen von y p (t) in die Differentialgleichung ergibt Mit Hilfe der Additionstheoreme folgt Wir erhalten also C cos(t γ) + C sin(t γ) = sin t C(cos t cos γ + sin t sin γ) + C(sin t cos γ cos t sin γ) = sin t C cos t (cos γ sin γ) }{{} = +C sin t (sin γ + cos γ) = sin t }{{} /C Daraus folgt γ = π/4 und C = / 2 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 26 / 2

14 Typ D: Bernoullische Differentialgleichungen. Bernoullische Differentialgleichungen sind von der Form y (t) + a(t)y(t) + b(t)(y(t)) α = mit α, Sie lassen sich mit der Substitution u(t) := (y(t)) α stets auf lineare Differentialgleichungen zurückführen: u (t) + ( α)a(t)u(t) = (α )b(t) Probleme ergeben sich bei der Rücksubstitution y = u α Zum Beispiel kann y(t) (in endlicher Zeit) singulär werden. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 27 / 2 Ein Beispiel für eine Bernoullische Differentialgleichung. Wir betrachten die Differentialgleichung Die Substitution u(t) = /y(t) ergibt Die allgemeine Lösung u(t) lautet dann u(t) = y (t) = y(t) + ty 2 (t) u (t) + u(t) = t C e t }{{} allg. Lsg. homog. Glchg. + t }{{} spez. Lsg. inhomog. Glchg. Nach Rücksubstitution erhalten wir die allgemeine Lösung y(t) in der Form y(t) = t + C e t mit der Konstanten C Mit y() = 2 existiert die Lösung nur auf dem Intervall [ , ]. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 28 / 2

15 Typ E: Riccatische Differentialgleichungen. Riccatische Differentialgleichungen sind von der Form y (t) + a(t)y(t) + b(t)y 2 (t) = c(t) Sie lassen sich nur in speziellen Fällen in geschlossener Form lösen: Ist eine spezielle Lösung y p (t) bekannt, so liefert die Substitution u(t) := y(t) y p (t) beziehungsweise die lineare Gleichung y(t) = y p (t) + u(t) u (t) [a(t) + 2b(t)y p (t)]u(t) = b(t) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 29 / 2 Ein Beispiel für eine Riccatische Differentialgleichung. Wir betrachten die Gleichung y (t) = 2t + 3ty(t) ty 2 (t), die y p (t) = als spezielle Lösung besitzt. Die Substitution u(t) = /(y(t) ) bzw. y(t) = + /u(t) liefert u (t) = u 2 y = u 2 ( 2t + 3ty(t) ty 2 (t)) ( = u 2 2t + 3t + 3t u t 2t u t ) u 2 = tu(t) + t Die allgemeine Lösung dieser linearen Gleichung ist ) u(t) = + C exp ( t2 2 und daher gilt y(t) = + ( + C exp t2 2 ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 3 / 2

16 Typ F: Exakte Differentialgleichungen. Gegeben sei die Differentialgleichung g(t, y(t)) + h(t, y(t)) y (t) = Definition: Existiert eine Funktion Φ(t, y) mit Φ(t, y) t = g(t, y) und Φ(t, y) y = h(t, y), so nennt man die Differentialgleichung g + hy = exakt. Dann folgt dφ(t, y(t)) dt = Φ(t, y(t)) t + Φ(t, y(t)) y und die Lösungen der Gleichung sind gegeben durch y (t) = Φ(t, y(t)) = C R Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 3 / 2 Analysis III: Integrabilitätsbedingung bei Vektorfeldern. Definieren wir ein Vektorfeld F (t, y) durch F (t, y) := (g(t, y), h(t, y)) T, so heißt Differentialgleichung exakt, falls F ein Potential besitzt: g(t, y) = Φ t (t, y), h(t, y) = Φ y (t, y) Φ C Dies geht nur mit einer zusätzlichen Eigenschaft des Potentials F, der Integrabilitätsbedingung Satz: Sind die beiden Funktionen g(t, y) und h(t, y) stetig differenzierbar und ist der Definitionsbereich einfach zusammenhängend, so besitzt das Vektorfeld F ein Potential Φ genau dann, wenn im Definitionsbereich die Bedingung erfüllt ist. h g (t, y) = (t, y) t y Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 32 / 2

17 Berechnung des Potentials einer exakten DGL. Das Potential Φ(t, y) einer exakten Differentialgleichung kann mit Kurvenintegralen berechnet werden: Φ(t, y) = F (τ, η)d(τ, η) c (t,y) Dabei ist c (t,y) eine C Kurve, die den festen Punkt (t, y ) mit dem variablen Punkt (t, y) verbindet. Beispiel: Im Zweidimensionalen (D = R 2 ) kann man den Hakenweg (t, y ) (t, y ) (t, y) wählen und erhält für das Potential die Darstellung Φ(t, y) = t t g(τ, y )dτ + y y g(t, η)dη Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 33 / 2 Ein Beispiel für eine exakte Differentialgleichung. Gegeben sei die Differentialgleichung Es gilt ( + 2ty + y 2 ) + (t 2 + 2ty)y = ( (t, y) R 2 ) t (t2 + 2ty) = y ( + 2ty + y 2 ) = 2(t + y) und die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt, d.h. die Gleichung ist exakt. Erster Schritt zur Berechnung des Potentials Eine Integration bezüglich t ergibt Φ t = g = + 2ty + y 2 Φ(t, y) = t( + y 2 ) + t 2 y + C(y) Beachte: Integrationskonstante kann von y abhängen! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 34 / 2

18 Fortsetzung des Beispiels. Nach dem ersten Schritt gilt Φ(t, y) = t( + y 2 ) + t 2 y + C(y) Zweiter Schritt: Die Funktion C(y) kann aus der Integrabilitätsbedingung bestimmt werden. Es muss gelten Φ y = h = t2 + 2ty Einsetzen des Ergebnisses aus dem ersten Schritt liefert 2ty + t 2 + C (y) = t 2 + 2ty C(y) = const. Die Lösung der Differentialgleichung ist gegeben durch die implizite Gleichung t( + y 2 (t)) + t 2 y(t) = C Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 35 / 2 Die Methode des integrierenden Faktors. Gegeben sei die nicht exakte Differentialgleichung g(t, y) + h(t, y) y = Wir suchen nun eine Funktion m(t, y) so, dass die Gleichung eine exakte Differentialgleichung ist. m(t, y)g(t, y) + m(t, y)h(t, y) y = Bedingung: Die Integrabilitätsbedingungen müssen erfüllt sein, d.h. (m h) (m g) = t y Daraus ergibt sich die Bedingung: ( h m t g m ) + m y ( h t g ) = y Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 36 / 2

19 Zwei einfache Sonderfälle. Die Bedingung ( h m t g m ) ( h + m y t g ) = y wird in den beiden folgenden Spezialfällen deutlich einfacher.. Fall: Wir nehmen an, dass m = m(t) nur von t abhängt. [( dm h dt = t g ) ] /h m(t) y }{{} Bed.: hängt nur von t ab 2. Fall: Wir nehmen an, dass m = m(y) nur von y abhängt. [( dm h dy = t g ) ] /g m(y) y }{{} Bed.: hängt nur von y ab Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 37 / 2 Beispiel mit integrierendem Faktor. Gegeben sei die nicht exakte Gleichung ( ty) + (ty t 2 )y = Es gilt: ( h t g ) /h = y t y ty t 2 = t Unser Ansatz lautet dm dt = t m(t) m(t) = t Damit ist die Differentialgleichung ( ) t y + (y t)y = (t ) exakt und die (implizite) Lösung ist gegeben durch Φ(t, y(t)) = ln t ty(t) + 2 y 2 (t) = const. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 38 / 2

20 Kapitel. Gewöhnliche Differentialgleichungen.3 Elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen zweiter Ordnung Typ A: Gegeben sei eine Gleichung zweiter Ordnung der Form y (t) = f (t, y (t)) Beachte: die rechte Seite der DGL hängt nicht von y(t) ab. Setzen wir z(t) := y (t), so erhalten wir eine Gleichung erster Ordnung: z (t) = f (t, z(t)) Läßt sich diese Gleichung lösen, so folgt y(t) = y(t ) + t t z(τ)dτ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 39 / 2 Ein Beispiel zu Typ A. Die sogenannte Kettenlinie ist die Lösung der Gleichung y (t) = k + (y (t)) 2 Die Subtitution z(t) := y (t) ergibt die Gleichung erster Ordnung z (t) = k + z 2 (t) Mittels Trennung der Variablen findet man dz + z2 (t) = k dt und daher z(t) = sinh(kt + c ) mit der Integrationskonstanten c. Integration von z(t) ergibt die Kettenlinie y(t) in der Form y(t) = k cosh(kt + c ) + c 2 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 4 / 2

21 .3 Elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen zweiter Ordnung Typ B: Gegeben sei eine autonome Gleichung zweiter Ordnung y (t) = f (y(t), y (t)) Nimmt man an, dass die Lösung auf einem Intervall streng monoton ist, so existiert die Umkehrabbildung t = t(y) und dt dy = y (t(y)) Die Substitution v(y) := y (t(y)) ergibt die Differentialgleichung erster Ordnung dv dy = y (t(y)) dt dy = f (y, v(y)) v(y) Ist die Lösung v(y) bekannt, so erhält man y(t) durch Auflösen von dt dy = v(y) t t = y y dy v(y) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 4 / 2.3 Elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen zweiter Ordnung Typ C: Betrachte den Spezialfall einer autonomen Gleichung der Form y (t) = f (y(t)) Man berechnet y y = f (y)y 2 (y ) 2 = f (y)dy =: F (y) + C y = ± 2(F (y) + C) Die Funktion y(t) sei auf einem gewissen Bereich invertierbar dt dy = ± 2(F (y) + C) Dann erhält man y(t) durch Auflösen von dy t = t(y) = ± 2(F (y) + C) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 42 / 2

22 Kapitel 2. Theorie der Anfangswertaufgaben Wir betrachten in diesem Abschnitt stets das Anfangswertproblem { y (t) = f(t, y(t)) y(t ) = y mit der rechten Seite f : D R n, definiert auf der offenen Menge D R R n, und dem Anfangswert y D. Die Fragen, die wir beantworten wollen, sind Existiert eine Lösung y(t) in einer Umgebung t t < ε der Anfangszeit? 2 Ist die Lösung, falls sie existiert, eindeutig bestimmt? 3 Wie weit lässt sich die Lösung in der Zeit fortsetzen? 4 Wie verändert sich die Lösung bei einer Störung der Anfangsdaten (t, y ) oder der rechten Seite f (t, y)? Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 43 / 2 Kapitel 2. Theorie der Anfangswertaufgaben 2. Existenz und Eindeutigkeit für Anfangswertaufgaben Beispiel: Wir betrachten das Anfangswertproblem y (t) = y(t), y() = Diese Gleichung besitzt beliebig viele Lösungen. Für α, β > sind die Lösungen 4 (t + α)2 : < t α y(t) = : α < t β 4 (t + β)2 : β < t < Man beachte die folgenden Eigenschaften der rechten Seite. Die rechte Seite ist stetig und beschränkt auf D = R [ a, a], a >, 2 Die rechte Seite ist auf D nicht Lipschitz stetig, 3 Die rechte Seite ist bei y = nicht differenzierbar. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 44 / 2

23 Der Existenzsatz von Peano. Satz: (Existenzsatz von Peano (89)) Die rechte Seite f(t, y) sei auf einem Gebiet D R n+ stetig und es gelte (t, y ) D. Dann existiert ein ε >, so dass das Anfangswertproblem { y (t) = f(t, y(t)) y(t ) = y im Intervall t t < ε eine Lösung besitzt. Konstruktiver Beweis mittels des Eulerschen Polygonzug Verfahrens: Rekursive Berechnung einer (diskreten) Näherungslösung t i+ := t i + h i, y i+ := y i + h i f (t i, y i ) mit den Startwerten (t, y ) und den Schrittweiten h i. Näherungslösungen konvergieren gegen eine Lösung für h i. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 45 / 2 Fortsetzbarkeit der lokalen Lösung. Bemerkung: Jede Lösung eines Anfangswertproblems lässt sich auf ein maximales Existenzintervall t min < t < t max fortsetzen. Der Graph (t, y(t)) der Lösung kommt dabei für t t min bzw. t t max dem Rand von D beliebig nahe, d.h. jeder Häufungspunkt von (t, y(t)) für t t min bzw. t t max liegt auf dem Rand D. Beispiel: Die Lösung y(t) = exp(t) des Anfangswertproblems y = y, y() = ist auf ganz R definiert. Also ist t min = und t max =. Es ist D = R 2 und lim (t, y(t)) = (, ) D t t min lim (t, y(t)) = (, ) D t t max Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 46 / 2

24 Weitere Beispiele zur Fortsetzbarkeit. Beispiel: Das Anfangswertproblem y = t, y() = r >, D = R (, ) y besitzt die Lösung y(t) = r 2 t 2. Dabei ist t min = r, t max = r und lim t t min (t, y(t)) = ( r, ) D Für das Anfangswertproblem y = y 2, y() =, D = R 2 erhält man mittels Trennung der Variablen die Lösung y(t) = t, = t min < t < t max = Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 47 / 2 Der Existenz und Eindeutigkeitssatz von Picard Lindelöf. Satz: (Picard Lindelöf) Die rechte Seite f(t, y) sei stetig auf dem Quader Q := {(t, y) R n+ : t t a y y b} Ferner gelte mit den beiden Konstanten M, L > f(t, y) M (t, y) Q f(t, ŷ) f(t, y) L ŷ y (t, ŷ), (t, y) Q (Lipschitz Bedingung) Dann besitzt das Anfangswertproblem y (t) = f(t, y(t)), y(t ) = y eine eindeutig bestimmte Lösung y(t), die mindestens im Intervall [t ε, t + ε] mit ( ε := min a, b ) M definiert ist. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 48 / 2

25 Beweisidee zum Satz von Picard Lindelöf. Durch Integration der Differentialgleichung folgt y(t) = y(t ) + t t f(τ, y(τ)) dτ Lösung dieser Fixpunktgleichung mit Hilfe einer Fixpunktiteration: y () (t) = y(t ) = y y (k+) (t) = y (k) (t ) + t t f(τ, y (k) (τ))dτ Die Iteration liefert in jedem Schritt eine genauere Näherungslösung: Verfahren der sukzessiven Approximation Beweis läuft damit analog zum Beweis des Fixpunktsatzes (Analysis II) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 49 / 2 Lipschitz Bedingung und globale Existenz. Bemerkungen: Erfüllt die rechte Seite f(t, y) auf [t, t 2 ] R n die Lipschitz Bedingung f(t, ŷ) f(t, y) L ŷ y, so besitzt das Anfangswertproblem mit t [t, t 2 ] eine eindeutig bestimmte Lösung, die auf ganz [t, t 2 ] erklärt ist. Man nennt dies Globale Existenz. Ein lineares Anfangswertproblem y (t) = A(t)y(t) + h(t) y(t ) = y mit stetigen Funktionen A : R R (n,n), h : R R n besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung, die auf ganz R definiert ist. Ist f(t, y) auf dem Quader Q eine C Funktion, so erfüllt f(t, y) dort die Lipschitz Bedingung. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 5 / 2

26 Ein Beispiel zum Verfahren der sukzessiven Approximation. Wir betrachten das Anfangswertproblem { y (t) = y(t) Dann gilt mit y () (t) = : y () (t) = y () (t) + y() = t Mit Induktion beweist man dann die Formel k y (k) (t) = j! tj Für k folgt demnach y(t) = lim k y (k) (t) = y () (τ)dτ = + t j= j= j! tj = exp(t) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 5 / 2 Kapitel 2. Theorie der Anfangswertaufgaben 2.2 Abhängigkeit von Parametern, Stabilität Wir betrachten wieder die Anfangswertaufgabe { y (t) = f(t, y(t)) y(t ) = y mit einer rechten Seite f(t, y), die auf einem Gebiet D R R n stetig differenzierbar sei. Nach dem Satz von Picard Lindelöf existiert dann für (t, y ) D eine eindeutig bestimmte lokale Lösung y(t; t, y ), die wir in D maximal fortsetzen können. Frage: Was passiert mit dieser Lösung y(t; t, y ), wenn man den Startwert (t, y ) ein wenig verschiebt? Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 52 / 2

27 Das Lemma von Gronwall. Satz: (Lemma von Gronwall) Gilt für eine auf t t ε stetige Funktion r(t) eine Abschätzung der Form r(t) α + β t t r(τ)dτ mit α und β >, so gilt für alle t t ε die Abschätzung r(t) α e β t t Beweis: Wir definieren für t t u(t) := e βt t t r(τ)dτ Damit ergibt sich für die Ableitung von u(t) die Beziehung u (t) = βu(t) + e βt r(t). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 53 / 2 Fortsetzung des Beweises. Aus der Voraussetzung r(t) α + β t t r(τ)dτ mit α und β >, erhalten wir unter Verwendung der Definition von u(t) gerade e βt r(t) e βt α + βu(t) und daher folgt u (t) = βu(t) + e βt r(t) αe βt Wir schreiben diese Ungleichung als αe βt u (t) und integrieren von t bis t. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 54 / 2

28 Fortsetzung des Beweises. Integration von u (t) αe βt über [t, t] ergibt mit u(t ) = u(t) α (e βt e βt) β Nun gilt r(t) α + βe βt u(t) α + αe βt ( e βt e βt) = αe β(t t ) Dies ergibt für t t die gewünschte Abschätzung. Für t < t folgt die Aussage mit einer Transformation durch Spiegelung, r(t) := r(2t t) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 55 / 2 Direkte Folgerung aus dem Gronwall Lemma. Satz: Für Anfangswerte y, z R n seien die Lösungen y(t; t, y ) und y(t; t, z ) auf dem Intervall t t ε definiert. Die Konstante L > sei eine Lipschitz Konstante der rechten Seite f(t, y) auf einem Quader Q = [t ε, t + ε] Q. Dann gilt für t t ε die Abschätzung y(t; t, y ) y(t; t, z ) e L t t y z Beweis: Die Aussage folgt direkt aus dem Lemma von Gronwall. y(t; t, y ) = y + t t f(τ, y(τ; t, y ))dτ Mittels Dreicksungleichung erhalten wir damit die gewünschte Form t y(t; t, y ) y(t; t, z ) y z + L y(τ; t, y ) y(τ; t, z ) dτ }{{} t r(t) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 56 / 2

29 Bemerkungen zum letzten Satz. Bemerkungen: Der Satz besagt, dass die Lösung einer Anfangswertaufgabe Lipschitz-stetig von den Anfangswerten y R n abhängt. Für eine lineare Differentialgleichung y (t) = Ly(t), y(t ) = y mit L > gilt in der obigen Abschätzung für t t stets Gleichheit: y(t; t, y ) y(t; t, z ) = e L(t t ) y z Für t < t wird der Fehler allerdings erheblich überschätzt, denn für t. y(t; t, y ) y(t; t, z ) = e L(t t ) y z Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 57 / 2 Eine Verallgemeinerung des letzten Satzes. Satz: Sind f(t, y), g(t, y) stetig differenzierbar auf einem Quader Q mit f(t, y) g(t, y) δ g(t, y) M f(t, y) f(t, ỹ) L y ỹ so gilt für die beiden Lösung y(t) und z(t) der Anfangswertprobleme y (t) = f(t, y(t)), y(t ) = y z (t) = g(t, z(t)), z(t ) = z mit (t, y ), (t, z ) Q die Abschätzung y(t) z(t) y z e L t t + M t t e L t t + δ L ( ) e L t t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 58 / 2

30 Anwendung: Parameterabhängige Anfangswertprobleme. Wir betrachten die Anfangswertaufgabe { y (t) = f(t, y(t), λ) y(t ) = y Beachte: Die rechte Seite hängt bei von einem Parameter λ R m ab. Dieses Problem kann auf den letzten Fall zurückgeführt werden: y (t) = f(t, y(t), z(t)), y(t ) = y z (t) =, z(t ) = λ Setzen wir w(t) = (y(t), z(t)) T, so gilt mit g(t, w(t)) = (f(t, w(t)), ) T und w = (y, λ) T, w = (y, λ) T die Abschätzung w(t; t, w ) w(t; t, w ) e L t t λ λ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 59 / 2 Genauere Beschreibung der Abhängigkeit von (t, y ). Satz: Die rechte Seite f(t, y) sei eine C Funktion auf einem Gebiet D R n+, ȳ(t) sei eine auf einem kompakten Intervall I R erklärte Lösung der Differentialgleichung y = f (t, y). Dann gilt: ) Es gibt einen Streifen um ȳ(t) S α := { (t, y) T : t I y ȳ(t) α } D mit α >, so dass die Lösung y(t; t, y ) des Anfangswertproblems für alle (t, y ) S α auf ganz I erklärt ist. Zusätzlich ist die Lösung y(t; t, y ) auf I S α eine C Funktion bezüglich aller Variablen. 2) Die so genannten Variationen Y(t) := y(t; t, y ) R n n w(t) := y(t; t, y ) R n y t sind die Lösungen der linearen Anfangswertprobleme Y (t) = f y (t, y(t; t, y )) Y(t), Y(t ) = I n w (t) = f y (t, y(t; t, y )) w(t), w(t ) = f(t, y ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 6 / 2

31 Kapitel 3. Lineare Differentialgleichungen 3. Systeme erster Ordnung Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem erster Ordnung y (t) = A(t) y(t) + h(t) mit den stetigen Funktionen A : R R n n und h : R R n. Das zugehörige Anfangswertproblem { y (t) = A(t) y(t) + h(t) y(t ) = y besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung y(t; t, y ), die für alle t R existiert. Satz: Die allgemeine Lösung ist gegeben durch y(t) = y p (t) }{{} + y h (t) }{{} spez. Lsg. inhomogen allg. Lsg. homogen Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 6 / 2 Das homogene Differentialgleichungssystem. Wir betrachten die homogene Anfangswertaufgabe { y (t) = A(t) y(t) y(t ) = y Die Lösung y(t; t, y ) ist ein Element des Vektorraums R n. Es existiert eine Basisdarstellung der Lösung y(t; t, y ): Sei v,..., v n eine Basis des R n. Dann gilt y(t; t, y ) = n α(t)v k k= Mit dem Anfangswert y(t ) = y gilt weiterhin y = n α(t )v k k= Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 62 / 2

32 Die Fundamentalmatrix. Betrachten wir die n Anfangswertprobleme (k =,..., n) { d dt yk (t) = A(t) y k (t) y k (t ) = v k und definieren damit die Fundamentalmatrix (das Fundamentalsystem) Y(t) := (y (t),..., y n (t)) R (n,n) so gilt der folgende Satz. Satz: Die Matrix Y(t) R (n,n) sei ein Fundamentalsystem. Dann gilt: a) Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet: y(t) = Y(t) c = n c k y k (t) mit c R n. k= b) Die Fundamentalmatrix ist für alle t R regulär. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 63 / 2 Beweis des Satzes. Da die Vektoren v,..., v n eine Basis bilden, ist die Matrix Y(t ) regulär, denn Y(t ) = (y (t ),..., y n (t )) = (v,..., v n ) Setzen wir so berechnet man y (t) = y(t) = Y(t) c = n k= n c k y k (t), k= c k d dt yk (t) = n c k A(t)y k (t) k= ( n ) = A(t) c k y k (t) = A(t)y(t) k= Damit ist y(t) = Y(t) c eine Lösung des Differentialgleichungssystems. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 64 / 2

33 Fortsetzung des Beweises. Sei y (t) eine beliebige Lösung des Differentialgleichungssystems. Setzen wir c := Y(t ) y (t ), so sind y (t) und y(t) = Y(t) c beide Lösungen des Anfangswertproblems { y (t) = A(t) y(t) y(t ) = y (t ) Da die Lösung aber eindeutig ist, folgt y (t) = y(t). Also gilt y (t) = Y(t) c Damit ist der erste Teil des Satzes gezeigt. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 65 / 2 Fortsetzung des Beweises. Wir zeigen nun, dass Y(t) für alle t R regulär ist. Für ein festes t t zeigen wir Für alle y R n gibt es ein c R n mit Y(t ) c = y, denn dann ist Y(t ) regulär. Betrachten wir das Anfangswertproblem { y (t) = A(t) y(t) y(t ) = y so existiert stets eine eindeutige Lösung, die nach Teil ) in der Form y(t) = Y(t) c mit einem c R n geschrieben werden kann. Für t = t gilt dann aber Y(t ) c = y Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 66 / 2

34 Die Wronski Determinante. Die C Funktion W (t) = det (Y(t)) nennt man die Wronski Determinante zum Fundamentalsystem der linearen Differentialgleichung y (t) = A(t) y(t) Die Wronski Determinante ist selbst Lösung einer skalaren linearen Differentialgleichung W (t) = Spur (A(t)) W (t) Mittels Trennung der Variablen erhält man die Lösungsdarstellung ( t ) W (t) = W (t ) exp Spur (A(τ)) dτ t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 67 / 2 Das inhomogene Differentialgleichungssystem. Wir betrachten jetzt die inhomogene Anfangswertaufgabe { y (t) = A(t) y(t) + h(t) y(t ) = y Zur Lösung der inhomogenen Gleichung verwenden wir wie bei einer skalaren Gleichung eine Variation der Konstanten y(t) = Y(t) c(t) Setzt man diesen Ansatz in die inhomogene Gleichung ein, erhalten wir y (t) = Y (t) c(t) + Y(t) c (t) = A(t) Y(t) c(t) + Y(t) c (t) = A(t) y(t) + Y(t) c (t) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 68 / 2

35 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Unser Ansatz y(t) = Y(t) c(t) löst also die inhomogene Gleichung, falls Y(t) c (t) = h(t) Da Y(t) regulär ist, können wir dies auch in der Form c (t) = Y (t) h(t) schreiben. Durch Integration erhält man c(t) = c + t t Y (τ) h(τ) dτ Satz: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet ( t ) y(t) = Y(t) c + Y (τ) h(τ) Insbesondere gilt mit c := Y(t ) y gerade y(t ) = y. t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 69 / 2 Kapitel 3. Lineare Differentialgleichungen 3.2 Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Fundamentalsysteme können explizit berechnet werden, falls A(t) = A Die Matrix A ist dann unabhängig von t und besitzt konstante Koeffizienten. Ansatz: Wir suchen eine Lösung in der Form y(t) = e λt v mit λ C und v C n. Setzen wir dies in die Gleichung ein, ergibt sich y (t) = λe λt v = λy! = Ay = e λt Av Also ist y(t) = e λt v genau dann eine Lösung, falls v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist, denn y = Ay Av = λv Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 7 / 2

36 Fundamentalsysteme bei konstanten Koeffizienten I. Ist v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ so besitzt die Anfangswertaufgabe { y (t) = A y(t) die Lösung y(t) = e λt v. y(t ) = v Fall : Alle Eigenwerte λ,..., λ n von A sind reell und es existiert eine Basis aus reellen Eigenvektoren v,..., v n. Dann ist eine Fundamentalmatrix gegeben durch und die allgemeine Lösung lautet Y(t) = (e λ t v,..., e λ nt v n ) y h (t) = n c k e λkt v k, k= c k R Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 7 / 2 Komlexwertige Fundamentalsysteme. Beispiel: Wir betrachten das System ( y ) ( = 4 y 2 ) ( y y 2 ) Die Eigenwerte und vektoren sind gegeben durch λ = + 2i, v = (, 2i) T λ 2 = 2i, v 2 = (, 2i) T Es existiert also eine Basis aus Eigenvektoren, aber die Eigenvektoren und Eigenwerte sind komplexwertig und ein komplexes Fundamentalsystem: Y(t) = (e λ t v, e λ 2t v 2 ) Wir suchen aber reellwertige Lösungen! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 72 / 2

37 Fundamentalsysteme bei konstanten Koeffizienten II. Fall 2: Die Systemmatrix A ist diagonalisierbar. Dann existiert eine Basis des C n aus (komplexen) Eigenvektoren v,..., v n. Die zugehörigen Eigenwerte λ,..., λ n müssen weder reell noch einfach sein. Ein komplexes Fundamentalsystem für C n ist gegeben durch Y(t) = (e λ t v,..., e λ nt v n ) Die allgemeine komplexwertige Lösung des homogenen Systems mit konstanten reellen Koeffizienten lautet y h (t) = n c k e λkt v k, k= c k C Bemerkung: Jede normale und damit jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 73 / 2 Komplexe und reellwertige Fundamentalsysteme. Frage: Kann man aus einem komplexen Fundamentsystem ein reellwertiges Fundamentalsystem konstruieren? Idee: Ist λ C \ R ein komplexer Eigenwert von A, so ist auch der komplex konjugierte Wert λ ein Eigenwert. Dementsprechend ist v ein Eigenvektor, falls v ein Eigenvektor ist. Fazit: Nicht reelle Eigenwerte und vektoren treten stets paarweise auf. Ersetze jedes komplexwertige Paar von Eigenvektoren y (t) = e λt v und y 2 (t) = e λt v durch y (t) = Re y 2 (t) = Im ( ) e λt v = ( e λt v + e λt v ) R n 2 ( ) e λt v = ( e λt v e λt v ) R n 2i Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 74 / 2

38 Ein Beispiel zu komplexen/reellen Fundamentalsystemen. Ein komplexes Fundamentalsystem zu ( y ) ( = 4 y 2 ) ( y y 2 ) lautet mit Y(t) = (e λ t v, e λ 2t v 2 ) λ = + 2i, v = (, 2i) T λ 2 = 2i, v 2 = (, 2i) T Die beiden Eigenwerte treten paarweise auf: λ 2 = λ v 2 = v Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 75 / 2 Fortsetzung des Beispiels. Aus den beiden komplexen Vektoren ( ) z (t) = e (+2i)t 2i z 2 (t) = e ( 2i)t ( 2i ) berechnet man die beiden reellen Vektoren y (t) = Re ( z (t) ) und y 2 (t) = Im ( z (t) ) also y (t) = e t ( cos(2t) 2 sin(2t) ) y 2 (t) = e t ( sin(2t) 2 cos(2t) ) Damit lautet die allgemeine reelle Lösung des Systems ( c cos(2t) + c y h (t) = e t 2 sin(2t) 2c sin(2t) 2c 2 cos(2t) ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 76 / 2

39 Fundamentalsysteme bei konstanten Koeffizienten III. Fall 3: Die Systemmatrix A ist nicht diagonalisierbar Hier benötigt man die Jordansche Normalform einer Matrix: J = S AS J = J... J n wobei J i ein Jordan Kästchen zum Eigenwert λ i bezeichnet λ i. J i = λ.. i... λ i Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 77 / 2 Fundamentalsysteme für Jordan Kästchen. Ein System in der Form eines Jordan Kästchens z λ d z 2 dt. =. λ..... z r λ z z 2. z r kann unter Verwendung der Einheitsvektoren e,..., e n explizit gelöst werden t/! t 2 t r /(r )! /2! e λ t. t/!., e λ t.., e λ t,..., e λ t..... t/! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 78 / 2

40 Fundamentalsysteme für nicht diagonalisierbare Matrizen. Betrachten wir die Jordansche Normalform der Systemmatrix A J = S AS so besteht die Transformationsmatrix S aus Eigen und Hauptvektoren S = (v,..., v r v 2,..., v 2r 2... v m,..., v mr m ) v j : Eigenvektor zum Eigenwert λ j, j =,..., m v jk : Hauptvektor der Stufe (k ), k = 2,..., r j (A λ j I n )v jk = v j,k, k = 2,..., r j Wir setzen nun z(t) := S y(t). Dann gilt z (t) = S y (t) = S A y(t) = S AS z(t) z (t) = J z(t) Ein Fundamentalsystem für z = J z haben wir bereits berechnet. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 79 / 2 Fundamentalsysteme für nicht diagonalisierbare Matrizen. Eine Rücktransformation ergibt ein Fundamentalsystem für y = A y. Für ein einzelnes Jordan Kästchen ergibt sich: y (t) = e λ t v y 2 (t) = e λ t ( t! v + v 2) y r (t). = ( e λ t t r (r )! v + + t )! v,r + v r Vorgehen zur Bestimmung der Lösung: Bestimmung der Eigenwerte, Eigen und Hauptvektoren, 2 Berechnung der Lösungen nach obiger Formel, 3 Zusammenfügen dieser Einzelmatrizen zur Fundamentalmatrix. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 8 / 2

41 Ein Beispiel für nicht-diagonalisierbare Matrizen. Gesucht ist die allgemeine Lösung des Systems y d 2 y 2 = dt y y y 2 y 3 Das charakteristische Polynom ergibt λ = als dreifacher Eigenwert: p A (λ) = det (A λi 3 ) = ( λ) 3 Wir berechnen einen Eigenvektor für λ = : 2 v 2 v2 = 4 2 v 3 v = 6 Da rang (A λi 3 ) = 2 gilt, ist die geometrische Vielfachheit g(λ) =. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 8 / 2 Fortsetzung des Beispiels. Wir benötigen Hauptvektoren der Stufe und 2: 2 v v2 2 = 4 2 v 2 3 v2 = v 3 v 3 2 v 3 3 = 4 8 v3 = 2 Ein Fundamentalsystem ist daher gegeben durch: 6 6t y (t) = e λ t, y2 (t) = e λ t 4 8, y3 (t) = e λ t 8t 2 4t + 8t + 2 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 82 / 2

42 Ein zweites Beispiel für nicht-diagonalisierbare Matrizen. Gesucht ist die allgemeine Lösung des Systems y d y 2 = dt y 3 y y 2 y 3 Wieder ist λ = dreifacher Eigenwert von A, aber es gilt g(λ) = 2. Es existieren also zwei linear unabhängige Eigenvektoren: v = v =, v 2 = Es gilt: (A λi 3 ) 2 = Wir suchen daher einen zu v und v 2 linear unabhängigen Vektor v 22 (Hauptvektor der Stufe ). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 83 / 2 Fortsetzung des Beispiels. Wählen wir v 22 = (,, ) T, so folgt v 2 = (A λi 3 )v 22 = (,, ) T. Damit erhalten wir ein System von Eigen und Hauptvektoren in der Form v =, v 2 =, v 22 = und die Jordansche Normalform von A ist J = mit J = S AS Das zugehöriges Fundamentalsystem lautet dann y (t) = e t, y 2 (t) = e t, y 3 (t) = e t t t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 84 / 2

43 Kapitel 3. Lineare Differentialgleichungen 3.3 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Gegeben sei eine skalare, lineare Differentialgleichung n ter Ordnung: L[y] := y (n) (t) + a n (t)y (n ) (t) + + a (t)y(t) = h(t) wobei a k (t), k =,..., n stetige Funktionen auf R sind. Eine solche Gleichung läßt sich als ein System erster Ordnung schreiben: y y y 2 y 2 d dt.. y n = a a a n.. y n () wobei y k (t) := y (k ) (t), k =, 2,....n Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 85 / 2 Die homogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Definition: Ein Funktionensystem (y (t),..., y n (t)) heißt Fundamentalsystem der Differentialgleichung L[y] := y (n) (t) + a n (t)y (n ) (t) + + a (t)y(t) = h(t), falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: Die Funktionen y k (t) lösen die homogene Gleichung, d.h. L[y k ] =, k =,..., n Die Wronski Determinante W (t) = det y... y n y... y n.. y (n )... y n (n ) ist für mindestens ein t R ungleich Null, W (t ). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 86 / 2

44 Bemerkungen. Ist W (t ), so gilt auch W (t) für alle t R. Weiter löst W (t) die Differentialgleichung W (t) = a n (t)w (t), und daher gilt ( t ) W (t) = W (t ) exp a n (τ)dτ Ein Fundamentalsystem (y,..., y n ) läßt sich durch Lösung von n Anfangswertaufgaben (k =,..., n) bestimmen: L[y k ] = y (i) k (t) = { : i k : i = k Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet n y(t) = y p (t) + c k y k (t), k= t (i =,..., n ) wobei y p (t) eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 87 / 2 Das Reduktionsverfahren. Sei u(t) eine Lösung der homogenen Gleichung L[y] =. Produktansatz: Wir suchen eine weitere (linear unabhängige) Lösung in der Form y(t) = u(t) z(t) Die ersten Ableitungen lauten: y (t) = u (t)z(t) + u(t)z (t) y (t) = u (t)z(t) + 2u (t)z (t) + u(t)z (t) Allgemein gilt dann: y (k) (t) = k j= ( k j ) u (k j) (t) z (j) (t) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 88 / 2

45 Fortsetzung des Reduktionsverfahrens. Einsetzen in L[y] = ergibt: L[y] = = n a k y (k) (t) = k= n k= k ( k a k j j= [ n ( ) ] k a k u (k) (t) z + k= } {{ } = ) n k= u (k j) (t) z (j) (t) k ( k a k j j= ) u (k j) (t) z (j) (t) = n j= b j z (j) (t) Setzt man w(t) := z (t), so ergibt sich eine homogene Differentialgleichung der Ordnung n : n j= b j+ w (j) (t) = Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 89 / 2 Fortsetzung des Reduktionsverfahrens. Ist w,..., w n ein Fundamentalsystem von so setzen wir n j= b j+ w (j) (t) = z k (t) = t t w k (τ)dτ, k =,..., n Mit dem ursprünglichen Ansatz ist dann die Funktionenmenge (u, z u,..., z n u) ein Fundamentalsystem das Ausgangsgleichung, also L[y] = mit L[y] := y (n) (t) + a n (t)y (n ) (t) + + a (t)y(t) = Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 9 / 2

46 Ein Beispiel zum Reduktionsverfahren. Die Differentialgleichung y + ty + y = besitzt die Lösung u(t) = e t2 /2 Unser Ansatz y = u z liefert: y = u z + u z y = u z + 2u z + u z Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt: y + ty + y = u z + 2u z + uz + t(u z + uz ) + uz = 2u z + uz + tuz Wir setzen w = z und erhalten für w die Gleichung erster Ordnung uw + (2u + tu)w = w = 2u + tu u w Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 9 / 2 Fortsetzung des Beispiels. Wir berechnen: 2u + tu u = 2te t2 /2 + te t2 /2 e t2 /2 w = tw Damit gilt: w(t) = e t2 /2 z(t) = Wir erhalten damit das Fundamentalsystem t e τ 2 /2 dτ y (t) = u(t) = e t2 /2 y 2 (t) = e t2 /2 t e τ 2 /2 dτ Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet also y h (t) = c e t2 /2 + c 2 e t2 /2 t e τ 2 /2 dτ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 92 / 2

47 Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Ist das Funktionensystem (y,..., y n ) ein Fundamentalsystem, so ist die Matrix Y(t) = y ()... y n (). y (n )... y n (n ) eine Fundamentalmatrix des zugehörigen Systems erster Ordnung. Die Methode der Variation der Konstanten ergibt dann das lineare Differentialgleichungssystem: y ()... y () n c... y (n 2)... y n (n 2) =. c n y (n )... y n (n ) c n h(t). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 93 / 2 Die Methode der Greenschen Funktion (Grundlösungsverfahren). Gegeben sei die inhomogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten L[y] := y (n) (t) + a n y (n ) (t) + + a y(t) = h(t) Satz: Sei w(t) die Lösung der Anfangswertaufgabe L[w] =, w (k) (t ) = { : k =,..., n 2 : k = n Dann ist eine spezielle Lösung y p (t) der inhomogenen Gleichung gegeben durch y p (t) = t t G(t, τ)h(τ)dτ G(t, τ) = w(t τ + t ) (Greensche Funktion) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 94 / 2

48 Lineare Gleichungen n ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Gegeben sei die homogene Gleichung L[y] := a n y (n) (t) + a n y (n ) (t) + + a y(t) = h(t) mit a i R, i =,..., n und a n =. Zur Berechnung eines Fundamentalsystems machen wir den Ansatz Daraus folgt y(t) = e λt ( n ) L[y] = a k λ k Unser Ansatz liefert eine Lösung, falls λ eine Nullstelle der so genannten charakteristischen Gleichung ist: k= e λt p(λ) := n a k λ k = k= Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 95 / 2 Die charakteristische Gleichung und Fundamentalsysteme. Satz: ) Ist λ k eine r k fache reelle Nullstelle von p(λ), so existieren die folgenden Lösungen der homogenen Gleichung y k (t) = e λ k t y k2 (t) = t e λ k t. y k,rk (t) = t r k e λ k t 2) Ist λ k eine r k fache komplexe Nullstelle, λ k / R, so sind die reellen Lösungen mit λ k = α k + iβ k gegeben durch und j =,..., r k. y kj (t) = t j e α k t cos(β k t) y lj (t) = t j e α k t sin(β k t) 3) Die Lösungen aus ) und 2) bilden ein Fundamentalsystem von L[y] =. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 96 / 2

49 Beispiele. Gegeben sei die homogene Gleichung vierter Ordnung y (4) + 2y + y = Die zugehörige charakteristische Gleichung lautet dann: λ 4 + 2λ 2 + = und besitzt die Nullstellen λ,2 = i, λ 3,4 = i. Ein Fundamentalsystem ist daher y (t) = cos t y 3 (t) = t cos t y 2 (t) = sin t y 4 (t) = t sin t Die homogene Gleichung y 2y + y = besitzt die charakteristische Gleichung λ 2 2λ + = mit der doppelten Nullstelle λ =. Die allgemeine Lösung ist daher y h (t) = c e t + c 2 te t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 97 / 2 Ein Beispiel für eine inhomogene Gleichung. Wir betrachten die inhomogene Gleichung y 2y + y = et t 2 Bei der Variation der Konstanten verwenden wir den Ansatz y p (t) = c (t)e t + c 2 (t)te t Gelöst werden muss dann das DGL System Man berechnet direkt c e t + c 2te t = c e t + c 2( + t)e t = et t 2 c (t) = ln t und eine spezielle Lösung ist daher ( y p (t) = c 2 = t ) ln t + e t Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 98 / 2

50 Noch einmal das Beispiel. Wir betrachten wieder die inhomogene Gleichung y 2y + y = et t 2 und verwenden die Methode der Greenschen Funktion: Die Lösung von w 2w + w =, w() =, w () = ist gegeben durch w(t) = (t )e t. Also gilt für die Greensche Funktion Daraus folgt G(t, τ) = w(t τ + ) = (t τ)e t τ y p (t) = t t τ eτ (t τ)e τ 2 dτ = e t ( + t ln t ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure 99 / 2 Spezieller Ansatz bei spezieller Inhomogenität. Bei Inhomogenitäten der Form h(t) = e µt m j= β j t j kann man spezielle Ansätze zur Bestimmung von y p (t) verwenden: Ist µ keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung p(λ), so ist eine spezielle Lösung mit den freien Parametern γ j y p (t) = e µt m j= γ j t j Ist µ eine r fache Nullstelle von p(λ), so ist eine spezielle Lösung y p (t) = e µt t r m j= γ j t j Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Differentialgleichungen I für Ingenieure / 2