III. Lineare Dgln. 1 Lineares System von n Dgln, Existenz und Eindeutigkeit. y = A(t)y + b(t), y(t 0 ) = y 0 ( )

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1 III. Lineare Dgln 1 Lineares System von n Dgln, Existenz und Eindeutigkeit ( ) y = A(t)y + b(t) y(t) := ( y 1 (t),...,y n (t) ), A(t) := ( a i j (t) ) n,n, y (t) := ( y 1 (t),...,y n(t) ) b(t) :=( b 1 (t),...,b n (t) ) Bei linearen Systemen bezeichnen wir die unabhängige Variable mit t. Existenz und Eindeutigkeitssatz Seien A(t) & b(t) Matrizen von reellwertigen Funktionen, die in einem (beliebigen) Intervall I stetig sind, und t 0 I. Dann hat das AWP y = A(t)y + b(t), y(t 0 ) = y 0 für jedes feste y 0 R n genau eine Lösung, sie existiert in ganz I. Die Lösung y(t) hängt in jedem kompakten Teilintervall J von I stetig von A(t), b(t) & y 0 ab. Die rechte Seite ist für kompaktes J I Lipschitz stetig, die Konstante ist die maximale Matrixnorm L = sup t J A(t). Homogene lineare Systeme Falls b(t) 0 in ( ), so heißt das System homogen, andernfalls inhomogen. Wir betrachten jetzt ( ) y = A(t)y mit A(t) stetig in I. Satz 1 Die Lösungen y(t) von ( ) bilden einen n dimensionalen reellen Vektorraum, den Lösungsraum von ( ). Für jedes beliebig gewählte, feste t 0 I ist die Abbildung y 0 y(t,t 0,y 0 ) := Lösung vom AWP y = A(t)y, y(t 0 ) = y 0 eine lineare Bijektion zwischen dem R n und dem Lösungsraum von ( ). Man muß offenbar nur den zweiten Teil zeigen. Sei t 0 fest. Für beliebige λ, µ R & y 0, ȳ 0 R n folgt λ y 0 + µ ȳ 0 y(t,t 0,λ y 0 + µ ȳ 0 ) = λ y(t,t 0,y 0 ) + µ y(t,t 0,ȳ 0 ), denn in der Gleichung steht links wie rechts eine Lösung von ( ) mit dem Anfangswert λ y 0 + µ ȳ 0. Damit ist die Abbildung linear, der Rest sollte klar sein. Insbesondere wird 0 R n auf die Lösung y 0 abgebildet. Aus Satz1. ergeben sich (lineare Algebra) wichtige Konsequenzen: (i) Jede Linearkombination c 1 y c k y k von Lösungen y i von ( ) löst ( ).

2 (ii) Ist y(t) Lösung von ( ) mit y(t 0 ) = 0, so ist y(t) 0 in I. (iii) m Lösungen y 1,...,y m von ( ) heißen linear abhängig, falls Konstanten c 1,...,c m mit m c i > 0 existieren, so daß m c i y i = 0; andernfalls heißen sie linear unabhängig. (iv) Für m > n sind m Lösungen immer linear abhängig. (v) n linear unabhängige Lösungen von ( ). Jedes System von n linear unabhängigen Lösungen von ( ) wird Fundamentalsystem (von Lösungen) von ( ) genannt. Wenn y 1,...,y n ein Fundamentalsystem von ( ) bilden, so läßt sich jede Lösung y von ( ) eindeutig als Linearkombination y = n c i y i darstellen. (vi) n Lösungen y 1,...,y n von ( ) lassen sich zu einer Matrix Y vermöge Y(t) := ( y 1 (t),...,y n (t) ) zusammenfassen. Dann nimmt ( ) die äquivalente Matrixform ( ) Y = A(t)Y an, wobei Y := ( y 1,...,y n) ist. Die Lösung Y(t) von ( ) ist dann durch die Vorgabe einer Matrix Y(t 0 ) = C := (c i j ) n,n (Anfangsbedingung) eindeutig bestimmt und zwar gilt: Y(t) Fundamentalsystem C regulär. Falls Y(t) ein Fundamentalsystem ist, so erhält man alle Lösungen in der Form y(t) = Y(t)c, c R n, i.e., y(t) = n (vii) Ein spezielles Fundamentalsystem X(t) erhält man aus dem AWP welches den n AWPs X (t) = A(t)X(t), X(t 0 ) = I n, c i y i (t). x i = A(t)x i, x i (t 0 ) = e i := (0,...,0,1,0,...,0), i = 1,...,n, äquivalent ist. Mit Hilfe des Fundamentalsystems X(t) läßt sich die Lösung eines jeden AWP für ( ) mit AB y(t 0 ) = y 0 sofort in der Form angeben. y(t) = X(t)y 0 (viii) Sei Y(t) Lösung von ( ) und C eine konstante (n,n) Matrix, dann ist auch Z(t) := Y(t)C eine Lösung von ( ), denn Z (t) = Y (t)c = A(t)Y(t)C = A(t)Z(t). Falls Y(t) ein Fundamentalsystem und C eine reguläre Matrix sind, so ist auch Z(t) ein Fundamentalsystem, und ein jedes solches hat eine Darstellung Y(t) C mit regulärem C. Mit dem speziellen Fundamentalsystem X(t) aus (vii) gilt für jedes Y(t), welches ( ) genügt, Y(t) = X(t)Y(t 0 ). Denn X(t)Y(t 0 ) ist eine Lösung, die wegen X(t 0 )Y(t 0 ) = I n Y(t 0 ) = Y(t 0 ) auch den richtigen Anfangswert hat.

3 3 Wronski Determinante (Josef Hoëné de Wronski, Paris) Sei Y(t) = (y 1 (t),...,y n (t)) eine Lösung von ( ), so nennt man die Determinante W(t) := dety(t) der Matrix Y(t) die Wronski Determinante vom Lösungssystem y 1 (t),...,y n (t). Es gilt Satz Sei die Matrix A(t) im Intervall I stetig und Y(t) = (y 1 (t),...,y n (t)) sei Lösung von ( ). Dann genügt die Wronski Determinante W (t) := det Y(t) in I der Dgl. W (t) = spur(a(t))w(t), wobei spura(t) := a 11 (t) + + a nn (t) die Spur von A(t) ist. Ferner gilt W(t) = W(t 0 )e t0 spura(s)ds,t0 I, und für die Lösung X(t) von ( ) hat man detx(t) = e t0 spura(s)ds. Bemerkung: die Wronski Det. läßt sich allein aus dem AW Y(t 0 ) bestimmen. Wissen aus LA: Falls H(t) eine (n n) Matrix mit den Spalten h 1 (t),...,h n (t) ist, so gilt: Daher haben wir (deth(t)) = (detx(t)) = n n det(h 1,...,h i 1,h i,h i+1,...,h n ). det(x 1,...,x i 1,x i,x i+1,...,x n ) und für t = t 0 wegen x i (t 0 ) = e i, i.e., x i (t 0) = A(t 0 )e i erhalten wir Da nach (vii) Y(t) = X(t)Y(t 0 ) gilt, haben wir (detx(t 0 )) = n det(e 1,...,e i 1,A(t 0 )e i,e i+1,...,e n ) = n a ii(t 0 ) = spura(t 0 ), W (t) = dety(t) = det(x(t)y(t 0 )) = detx(t) dety(t 0 ) = detx(t)w(t 0 ), also W(t) = (detx(t)) W(t 0 ) und für Da diese Überlegung t 0 I möglich ist = Der Rest folgt nun nach TdV t = t 0 = W (t 0 ) = (detx(t 0 )) W (t 0 ) = spura(t 0 ) W(t 0 ). W(t) genügt in I der Dgl W = (spura(t)) W. W (t) W (t 0 ) dw t W = spura(s)ds t 0 ln W(t) ln W(t 0 ) = spura(s)ds t 0 W (t) = W(t 0 )e t0 spura(s)ds

4 Folgerung: W (t) entweder 0 oder überall 0 in I. Y(t) FS W(t 0 ) 0, i.e., W(t 0 ) 0 ist notwendig und hinreichend dafür, daß y 1,...,y n ein FS von y = A(t)y. Bemerkung: Im allgemeinen ist es nicht möglich, die Lösungen eines homog. Systems y = A(t)y in geschl. Form anzugeben. Jedoch läßt sich, falls eine Lösung bekannt ist, das System auf ein System von n 1 Dgln reduzieren. Reduktionsverfahren von d Alembert. siehe z.b. Walter, Dgln. 4 Inhomogene Systeme Betrachten y = A(t)y + b(t), A(t) und b(t) stetig in I. Satz 3 Falls ȳ die inhomogene Gleichung in I löst, so erhält man alle Lösungen y der inhomogenen Gleichung in der Form y = ȳ + x, wobei x alle Lösungen y der homogenen Gleichung durchläuft. Analog zum Fall n = 1. Beruht darauf, daß die Differenz zweier Lösungen der inhomogenen Gleichung die homogene Gleichung x = A(t)x lösen muß. Wie findet man eine Lösung der inhomogenen Gleichung y = A(t)y + b(t)? Wieder nach Lagrange s Methode der Konstantenvariation: Sei Y(t) = (y 1 (t),...,y n (t)) ein FS von y = A(t)y. Nach 1. (vi) erhält man alle Lösungen von y = A(t)y in der Form y(t) = Y(t)c, wobei c = (c 1,...,c n ) alle konstanten Vektoren aus R n durchläuft. Die c i werden nun wieder variiert, i.e., setzen z(t) =Y(t) c(t) und damit in inhomg. Gleichung = z (t) =Y c + Y c = A(t)Y c + Y c =A(t)Y c + b(t), = Y(t)c (t) =b(t) Dgl. die zu lösen ist Da Y FS = dety = W 0 = Y 1 und daher c (t) = Y(t) 1 b(t) = c(t) = c(t 0 ) + Y(s) 1 b(s)ds. t 0 Für den AW z(t 0 ) = 0 = c(t 0 ) = 0 und Man hat z(t) = Y(t) Y(s) 1 b(s)ds. t 0 Satz 4 (Ex und Ein für s AWP) AWP y = A(t)y + b(t), y(t 0 ) = y 0, wobei A(t) und b(t) stetig in I und t 0 I. Das AWP hat genau eine Lösung y(t) = X(t)y 0 + X(t) X 1 (s)b(s)ds, t 0

5 wobei X(t) das FS von X = A(t)X mit X(t 0 ) = I n ist. Klar aus Entwicklung zuvor, denn X(t)y 0 ist Lösung der hom. Gleichung y = A(t)y mit AW y 0 und der zweite Summand ist eine Lösung der inhomogenen Gleichung mit AW 0. 5 Systeme mit konstanten Koeffizienten Betrachten die homogene Gleichung y = Ay, A = (a i j ) n,n konst. Matrix Betrachten den Ansatz wobei c = (c 1,...,c n ) konstant und λ konst. = y = cλe λt und somit aus DGl y = ce λt cλe λt = Ace λt cλ = Ac (A λi n )c = 0 Letzteres hat eine nichttriviale Lösung homogenes lineares Gleichungssystem c 0 R n det(a λi n ) = 0 a 11 λ a 1... a 1n. a det(a λi n ) = λ..... a n1... a nn λ P n (λ) := det(a λi n ) charakt. Pol. von A ist vom Grade n, es hat genau n (reelle oder komplexe NST), wobei jede NST entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt. Die NST sind die Eigenwerte von A. Ein zur NST λ gehörender Vektor c 0 heißt Eigenvektor und ist durch Lösung des Gl. Syst. für dieses λ zu erhalten, ist nur bis auf multipl. Konst. eindeutig, kann normiert werden. σ(a) := Menge der Eigenwerte von A, wird auch Spektrum von A genannt. Spektralanalyse! Satz 5 Seien A C n n eine Matrix, c C n, c 0 ein Vektor und λ C = y(t) = ce λt Lösung von y = Ay λ Eigenwert von A und c zugehöriger EV, y i (t) = e λ it c i, i = 1,..., p linear unabhängig c i, i = 1,..., p linear unabhängig c i, i = 1,..., p linear unabhängig, falls λ i, i = 1,..., p alle verschieden Falls A n linear unab. EV hat (z.b. falls A n versch. EW λ i hat), so erhält man ein FS von y = Ay.

6 Wissen, die Lösung y 1,...,y p lin. unabh. y i (0) = c i,i = 1,..., p linear unabhängig Vollst. Ind. Aussage, daß p zu versch. EW gehörende EV lin. unabh., ist richtig für p = 1. Zeigen ( p p + 1) seien c 1,...,c p lin. unabh. Sei c ein weiterer EV zum EW λ λ i, i = 1,..., p. indirekt, Ann.: c,c 1,...,c p lin. abh., i.e., α i : p y(t) = ce λt genügt y = Ay, i.e., λ ce λt = Ace λt λ c = Ac = λ α i > 0 & c = ( p α i c i ) p =A α i c i. ( p α i c i ) p (λ α i ) c i = p i = 1,..., p : λ α i =λ i α i λ λi α i =0 Widerspruch, Behauptung gilt auch mit c p+1 := c, λ p+1 := λ α i (Ac i ) = p (α i λ i ) c i 6 Reelle Lösungen Die konstante Matrix A sei reell. Satz 5 gilt auch hier. Problem: charakt. Polynom P n (λ) = det(a λi n ) kann komplexe Lösungen haben. Beispiel: ( ( ) ) 0 1 det λi 1 0 = λ + 1. Führt auf komplexe Lösungen y(t) = ce λt. Sei λ = µ + iν & c = a + ib mit µ,ν R & a,b R n Haben y(t) =(a + ib)e (µ+iν)t =e µt (a + ib) ( cos(νt) + i sin(νt) ) =e µt ( a cos(νt) b sin(νt) ) + ie µt ( a sin(νt) + b cos(νt) ) = Re y(t) + i Im y(t) =: z(t) =: z(t) Behauptung: z(t) & z(t) sind reelle Lösungen von y = Ay Sei y(t) eine Lösung, sei ȳ(t) die konjugierte Funktion, mit also ist auch ȳ eine Lösung. Es sind y = Ay = ȳ = Āȳ, wissen A = Ā y(t) + ȳ(t) z(t) = Re y(t) = y(t) ȳ(t) z(t) = Im y(t) = somit auch Lösungen. Zusammenfassend gilt

7 Satz 6 (reeller Fall) Betrachten Dgl y = Ay, A reell. = Sei λ = µ + iν (echt) komplexer EW von A mit EV c = a + ib, so ergeben sich aus y(t) = ce λt die reellen Lösungen z(t) = Re y(t) =e µt ( a cos(νt) b sin(νt) ) z(t) = Im y(t) =e µt ( a sin(νt) + b cos(νt) ) ; Seien die echt komplexen EW λ 1, λ 1,...,λ p, λ p & die reellen EW λ 1,..., λ q von A alle paarweise verschieden, weiter seien c 1,...,c p EV zu λ 1,...,λ p & c 1,..., c q EV zu λ 1,..., λ q, weiter seien y i (t) := c i e λ it, i = 1,..., p komplexe und ỹ i (t) := c i e λ i t, i = 1,...,q reelle Lösungen von y = Ay z i (t) = Re y i (t), z i (t) = Im y i (t), i = 1,..., p & ỹ i (t), i = 1,...,q sind p + q lin. unabh. reelle Lsg. von y = Ay. Hat A Beispiel: n lin. unabh. EV, so bilden die Lsgn. dazu ein reelles FS. y 1 = y 1 y ( ) y = y 1 λ 0 1 = P 3 (λ) = λ 1 y 3 = 4y 1 y y λ = (1 λ) }{{} (λ + λ + ) }{{} λ 3 = 1 λ 1 = 1 + i 1 7 λ = 1 i 1 7 setzen ω := 1 7 = λ1 = 1 + iω, λ = 1 iω & λ 3 = 1 EV c 1 zu λ 1 aus 3 iω 0 c 3 1,1 + iω 1 iω 1 c,1 = 0 = c 1 = 4 1 iω c 3,1 4 EV c 3 zu λ 3 = 1 aus 0 0 c 1, c,3 = 0 = c 3 = 0 4 c 3,3 3 ω Mit a = Re c 1 = & b = Im c 1 = =

8 3 ω z 1 (t) =e 1 t cos(ωt) 0 sin(ωt) 4 0 ω z (t) =e 1 t 0 cos(ωt) + 3 sin(ωt) z 3 (t) = e t 0 ist FS von (*). 7 Lineare Transformation Sei y = Cz, C = ((c i, j )) n,n, detc 0 = C 1 & z = C 1 y Sei y(t) Lsg. von y = Ay & z(t) := C 1 y(t) = z = C 1 y = C 1 Ay Falls A n lin. unabh. EV c 1,...,c n hat, so sei C := (c 1,...,c n ) = C} 1 {{ AC} z = Bz =:B = B = C 1 AC =C 1 (Ac 1,...,Ac n ) =C 1 (λ 1 c 1,...,λ n c n ) =C 1 Cdiag(λ 1,...,λ n ) =diag(λ 1,...,λ n ) FS davon ist sofort gegeben durch z = Bz z 1 = λ 1 z 1. = λ n z n z n = FS von y = Ay durch Z(t) = ( z 1 (t),...,z n (t) ) = diag(e λ 1t,...,e λ nt ) Y(t) = CZ = (c 1 e λ 1t,...,c n e λ nt ) Also, falls alle n EW von A verschieden sind oder allg., wenn A n lin. unabh. EV hat, so haben wir das Problem gelöst. Verbleibt das Problem mehrfacher EW von A, i.e., mehrfacher NST von P n (λ). Möglich sind mehrere EV zum selben EW und verallgemeinerte EV Beispiel: A = 0 1 1, P n (λ) = (1 λ) 3, e 1 & e sind EV zum EW 1, es gibt keine weiteren lin unabh. EV Jordan Normalform

9 Satz (bekannt) Sei A = ((a i, j )) n,n eine komplexe Matrix, so gibt es eine (komplexe) Basistransformation C, detc 0, so daß nach Basiswechsel B := C 1 AC Jordan Normalform hat, i.e., λ i J λ B = 0 J , wobei J i 1. i = ,. λ 0 0 J i 1 k 0 0 λ i i = 1,...,k, r r k = n & P n (λ) = ( 1) n (λ λ 1 ) r1 (λ λ k ) r k (r i,r i ) r i heißt die Vielfachheit des EW λ i. Beispiel: A = I n = k = n, r i = 1 & λ i = 1. Einem Jordan Kasten J mit r Zeilen & Diagonalelement λ entspricht das DGl Syst. x = Jx x 1 = λx 1 + x, x = λx + x 3,. x r 1 = λx r 1 + x r, x r = λx r. Dieses ist von unten her auflösbar, ein FS wird z.b. 1 1 t! t t X(t) = e λt t (r 1)! tr 1 (r )! tr Satz 7 Zu einer r fachen Nullstelle λ von det(a λi n ) existieren r lin. unabh. Lösungen y 1 = p 1 (t)e λt,...,y r = p r (t)e λt, wobei jede Komponente von p m (t) = (p 1,m (t),..., p n,m (t)) ein Polynom in t mit deg < m ist. = erhalten n Lösungen, die FS bilden. Bemerkung: Falls A reell ist, erhält man wie im Satz 6 n reelle Lösungen. 8 Lineare Dgl. höherer Ordnung (Lu)(t) := n k=0 a k(t)u (k) (t) = b(t), a n 1 ist äquivalent zu y 1 = y. y n 1 y n = y n = (a 0 y a n 1 y n ) + b(t)

10 oder y = Ay + b(t), wobei y = (y 1,...,y n ) = (u,u,...,u (n 1) ), b = (0,...,0,b(t) & A(t) = a 0 a 1 a n 1 Ex. & Eind. Satz a k (t), b(t) stetig für t I, t 0 I = AWP Lu = b, u (k) (t 0 ) = y k,0, k = 0,...,n 1 hat genau eine Lösung. Konstante Koeffizienten homogen P n (λ) = n k=0 a kλ k, allgemeine homogene Lösung u(t) = i p i (t)e λ it, deg p i < r i, wobei λ i NST mit Vielfachheit r i spezieller inhomogener Ansatz ist b(t) = m i=0 c i(t)e α it, so gibt es einen linearen Diff Op K der Ordnung (1 + degc k ) mit K b 0, jede inhomogene Lösung ist homogene Lsg. von KLu = 0, insbes. addieren sich die Vielfachheiten. Ansatz ū = m k=0 tρ iq i (t)e α it, wobei degq i degc i und ρ i ist die Vielfachheit von α i als NST von P n (λ) (i.e., 0, wenn nicht NST). Bsp.: te at cos(bt), Ansatz (reell) (ct + d)e (a+ib)t + ( ct + d)e (a ib)t