Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra. Note:

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1 Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra Prof. Dr. Stefan Schmidt erreichte Punktzahl: Teil 1: Teil 2: Note: Klausur zur Vorlesung: Lineare Algebra und Analytische Geometrie Hinweise: Erlaubtes Hilfsmittel ist ein computer- oder handgeschriebenes A4-Blatt. In der Klausur gibt es insgesamt 200 Punkte zu erreichen, 100 davon gibt es auf Teil I (Praxis), die anderen 100 auf Teil II (Theorie). Die Prüfung gilt als bestanden, wenn 50 Punkte erreicht wurden. 100 erreichte Punkte ergeben die Note 1.0. Durch 2 Zusatzaufgaben können zusätzlich 10 Punkte erreicht werden. Die Lösungswege sind ohne Lücken anzugeben. Jede Aussage ist zu begründen. 1

2 Punktzahl Teil 1: Teil I Praxis Aufgabe 1 (10 Punkte): Betrachten Sie Teilmengen A, B, C einer Grundmenge U und setze X c := {u U u / X} für jede Teilmenge X von U. Seien dann folgende Mengen ausgezeichnet: M 1 = A c B c C c M 2 = (A B C) (A c B c C c ) M 3 = ((A B) c C) c M 4 = ((A c B c ) c C c ) c M 5 = (A B c ) (B C c ) (C A c ) Vereinfachen Sie jede der Mengen und schraeren Sie sie dann im VENN-Diagramm (siehe nächste Seite). Aufgabe 2 (10 Punkte): Für P := {Quarter, Dollar} und Q := {Nickel, Dime} sei µ N P Q tabellarisch gegeben: Nickel Dime Quarter 1 2 Dollar 4 8 Seien γ := r µ die ROW-MAP zu µ und f := f γ die Linearkombinationsabbildung bezüglich N Q add über (N, +,, 0, 1). Auÿerdem sei β N Q gegeben durch: y Nickel Dime βy Bestimmen Sie f und nden Sie zur Gleichung fx = β die Lösungsmenge f 1 {β}. 2

3 Zu schraerende VENN-Diagramme (Aufgabe 1): M 1: M 2 : M 3: M 4 : M 5 : 3

4 Aufgabe 3 (8 Punkte): Sei M ={Apfel, Birne, Zitrone, Banane} und α, β N M seien gegeben durch: x Apfel Birne Zitrone Banane αx βx (a) Vervollständigen Sie die Tabelle: x Apfel Birne Zitrone Banane (α + β)x (α β)x (α β)x (b) Geben Sie supp α und supp β an. Aufgabe 4 (14 Punkte): (a) Ausgehend vom Rechenbereich R = (R, +,, 0, 1) überführen Sie die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix und verizieren Sie : a 1 a 2 a b 1 b 2 b c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c =

5 (b) Wenden Sie (a) an, um folgendes Gleichungssystem zu lösen: x 1 + 2x 3 = 1 x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 3 Aufgabe 5 (8 Punkte): Betrachte das Netzwerk N R: Bestimme χ R χ R =: χ 2 R in Mat P N für P = [4] und interpretiere das Ergebnis. Aufgabe 6 (10 Punkte): Ein ungerichtetes Netzwerk bzw. ungerichteter ( Multigraph ) ist erklärt als Tripel G ( = (V, ) E ϱ) mit V als Kantenmenge, E als Knotenmenge und ϱ : E V V als Strukturabbildung - wobei [2] I := {P 2 V #P I} für I N. G heiÿt endlich, falls V und E endlich sind. In diesem Fall sei span : 2 E 2 E diejenige Abbildung, welche jeder Kantenmenge X E durch span X die Menge aller Kanten e E zuordnet, für die gilt: e X oder zu e existiert eine kreisfreie Teilmenge U von X derart, dass U {e} einen Kreis enthält. Sei G gegeben durch : Finde eine Folge von Basen T 2, T 3, T 4, T 5 derart, dass es zu jedem i [5] Kanten c i T i und e i T i+1 mit (T i {c i }) {e i } = T i+1 gibt, falls T 1 durch und T 6 durch gegeben sind. 5

6 Aufgabe 7 (8 Punkte): Vergleiche die Anzahl der Elemente von Mat 3 Z 2 (d.h. des Ringes der Matrizen über Z 2 ) mit derjenigen von GL(3, 2). Aufgabe 8 (8 Punkte): Zeige, dass folgender Verband (gegeben durch sein Hassediagramm) nicht modular ist: Vergleiche dann die Terme (x z) u und x (z u). Aufgabe 9 (12 Punkte): Zwei Linienrichter stehen etwas ungünstig zur Position b des Fuÿballs. Der eine von ihnen steht auf Position p = ( 20, 11) und sieht den Ball in Richtung u = (10, 5), der andere steht auf Position q = (25, 13) und sieht den Ball in Richtung w = ( 15, 10). Der Torraum deckt die Fläche T = [0, 5] [ 2, 0] ab. Entscheide: Tor oder kein Tor? Das heiÿt: Liegt b in T oder nicht in T? 6

7 Aufgabe 10 (12 Punkte): Sei S ein Semiring. Für eine endliche, nichtleere Menge P heiÿt α S P P Trigonalmatrix, falls das Supportnetzwerk N (P, supp α) fast azyklisch ist. Welche der folgenden Matritzen sind Trigonalmatritzen? Zeichne hierzu das jeweilige Supportnetzwerk. (1): ( ) (2): ( ) (3): (4): (5): (6): Zusatzaufgabe 1 (5 Punkte): (a) Stellen Sie folgendes Netzwerk als Kreuztabelle dar: (b) Stellen Sie folgende Kreuztabelle als Netzwerk dar: p v w q p x x v x w x x q x Zusatzaufgabe 2 (15 Punkte): ( 0 1 Zeige: Im reellen Matrizenring ist 1 0 ) trigonalisierbar, nicht aber ( ). 7

8 Erweiterungsaufgabe (20 Punkte): Sei α R 3,3 := R [3] [3] und sei ϕ : R 3 R 3, x x α- a) Zeige für λ Rund α = Interpretiere geometrisch! cos λ sin λ 0 sin λ cos λ, dass ϕ eine eigentliche Bewegung ist in E 3. b) Begründe, dass ((1, 0, 0), (0, cos λ, sin λ), (0, sin λ, cos λ)) positiv orientierte ON-Basis von E 3 ist für jedes λ R. c) Überprüfe für λ R, dass α = cos λ sin λ 0 sin λ cos λ Permutationsmatrix β = (d.h. α β = β α ) ähnlich zu α = cos λ sin λ 0 sin λ cos λ ist via 8

9 Teil II Theorie Aufgabe 1 (10 Punkte): Sei M = (M,, e) Monoid. Eine Involution (verallgemeinerte Spiegelung) von M sei deniert als involutorischer Automorphismus ϕ von M (d.h. für alle x, y M gilt ϕ(x y) = ϕx ϕy und ϕe = e, sowie ϕ(ϕx) = x). Zeige: Ist ϕ Involution und α Automorphismus vonm, so ist auch α 1 ϕ α eine Involution von M. Aufgabe 2 (10 Punkte): Sei S = (S, +,, 0, 1) Semiring und sei P endliche, nichtleere Menge. Begründe supp(u + w) supp u supp w und supp(u w) supp u supp w für alle u, w S P P Aufgabe 3 (10 Punkte): Sei M Modul über einem Ring mit S. Dann bezeichne LM := {U M U bildet Unterraum von M} und LM := (LM, ) sei der sogenannte Unterraumverband von M. Anmerkung: Ist S Divisionsring, so nennt man LM auch die zu M gehörige projektive Geometrie. Überprüfe, dass LM modular ist, d.h. es gilt: X, Y, Z LM(X Z (X + Y ) Z = X + (Y Z)) 9

10 Aufgabe 4 (10 Punkte): Sei L = (L, ) ein vollständiger Verband, welcher modular ist (d.h. x u (x z) u = x (z u)). Auÿerdem sei (z, u) ein komplementäres Paar in L (d.h. u z = 0 L und u z = 1 L ). (1) Zeige für L u := {x L x u}, dass die Abbildung ε : L L u, x (x z) u eine Retraktion von ι : L u L, x x ist (d.h. ε ι = id Lu ). Anmerkung: Die zugehörige Projektion ist dann ι ε. (2) Begründe für alle x, y L : (x z) u y x (y u) z. Aufgabe 5 (15 Punkte): Vorbereitung: Ane Geometrie im modularen Verband Situation: Sei L = (L, ) modularer vollständiger Verband und besitze h L ein Komplement in L. Wir betrachten das geometrische Setup G := (L, h). Geometrische Interpretation: Die Elemente aus L heissen (geometrische) Räume, 0 L ist der leere Raum (Nullraum) und 1 L ist der ganze Raum (Einsraum); x y besagt, dass x mit y inzidiert, d.h. x liegt in bzw. auf y. Ein Raum x ist an bzgl. G, falls x h = 1 L oder x = 0 L gilt; ist x h = 1 L, so ist x ein echter aner Raum, und ist x Komplement von h in L, so ist x aner Punkt bezüglich G. Der Raum h heiÿt die Fernhyperebene und jedes t h nennen wir Fernraum bzgl. G; ist x aner Raum, so ist t = x h der Fernraum zu x bzgl. G. Ein Paar (x, y) von anen Räumen ist parallel, in Zeichen x y, falls x = 0 L = y oder x h = y h und x 0 L y gilt. Somit sind zwei echte ane Räume genau dann parallel, wenn ihre Fernräume gleich sind. 10

11 Denition: Bezeichnet AffG die Menge der anen Räume bzgl. G, so ist die ane Geometrie zu G gegeben durch AffG := (AffG,, ). Zeige das euklidische Parallelenpostulat: Zu jedem anen Raum x und jedem anen Punkt p existiert genau ein aner Raum y x mit p y. Aufgabe 6 (20 Punkte): Sei S ein Semiring und P eine endliche, nichtleere Menge. Ferner seien α, α S P P und n N. Zeige dann: (1) Ist α Trigonalmatrix, so ist auch α n Trigonalmatrix. Ist α ähnlich zu α via β GL P S (d.h. α β = β α ), so ist auch α n ähnlich zu (a ) n via β. (2) Sei nun S ein kommutativer Ring. Ist α Trigonalmatrix, so ist det α = p P α(p, p). Ist α ähnlich zu α, so ist det α = det α. Aufgabe 7 (5 Punkte): Sei M Modul über einem Ring S und sei ϕ EndM. Es ist U LM ein ϕ- invarianter Unterraum, falls ϕu U gilt. Begründe folgende Aussage: Eig(ϕ, s) := {v M ϕv = s v} ist ϕ-invariant für alle s S. 11

12 Aufgabe 8 (20 Punkte): Ein Semiring heisse halbierbar, falls in ihm 2 := ein multiplikatives Inverses besitzt. Sei M Modul über einem halbierbaren Ring S. Begründe für jede Abbildung ϕ : M M die Äquivalenz der folgenden Aussagen: i) ϕ ist Schrägspiegelung von M, d.h. ϕ ist involutorischer Automorphismus von M (d.h. ϕ EndM mit ϕ ϕ = id M ). ii) Es existiert ein komplementäres Paar (U, W ) von Unterräumen in M (d.h. U, W LM mit U + W = M und U W = { 0 }) derart, dass für alle u U und w W gilt. ϕ(u + w) = u w Zusatzaufgabe (20 Punkte): Betrachte den euklidischen Vektorraum E N := (R N, b) für eine endliche, nichtleere Menge N (mit b(x, y) = x y = x i y i für x, y R N ). i N Zeige, dass für jeden Automorphismus ϕ des R N folgende Aussage gilt: ϕ ist winkeltreu bzgl. E N (d.h. (ϕx, ϕy) = (x, y) für alle x, y R N { 0 }, wobei cos (x, y) := erhält ϕ die Norm eines u R N { 0 }, (d.h. ϕu = u ), so ist ϕ normtreu (d.h. ϕx = x ). x y x y ) und Erweiterungsaufgabe (20 Punkte): Sei N endliche, nichtleere Menge, und bezeichne U := {x R N x = 1} die Einheissphäre des euklidischen Vektorraumes E N. Zeige für die orthogonale Gruppe O(E N ) aller orthogonalen Abbildungen von E N in sich, dass O(E N ) = Aut(R N, U) gilt. 12