Raumzeiger. Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik. Arcisstraße 21 D München

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1 Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik Technische Universität München Arcisstraße 21 D München eat@ei.tum.de Internet: Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel Tel.: +49 (0) Fax: +49 (0) Raumzeiger 1

2 1 Raumzeiger Vordergründig wird in dieser Veranstaltung die Pulsweitenmodulation anhand eines 2 Punkt Spannungszwischenkreis Umrichters verdeutlicht. Dieser Umrichtertyp ist gegenüber den Stromzwischenkreisumrichtern und den Direktumrichtern deutlich verbreiteter. Für kleinere und mittlere Leistungen besitzt der Umrichter im Eingang eine ungesteuerte B6- Brücke. Um eine möglichst saubere Gleichspannung im Zwischenkreis zu gewährleisten, wird diese durch einen Zwischenkreiskondensator gestützt. Die Schalter des Wechselrichters sind in den häufigsten Fällen IGBT s. Aber bevor die Frage gestellt wird, wie ein Frequenzumrichter funktioniert muss erst einmal geklärt werden, welche Nutzen er hat. In der Vergangenheit wurden hauptsächlich Asynchronmaschinen direkt am starren Versorgungsnetz betrieben. Die von den Maschinen abgegebene Leistung bzw. deren verursachte Verluste waren meist in allen Betriebspunkten, einer dahinter geschalteten Anlage gleich. Für den Fall, dass der hinter der Maschine folgende Prozess weniger Leistung benötigte, wurde oft die überflüssige Energie in Form von Wärme umgesetzt. Eine Möglichkeit die Anlage insgesamt energieeffizienter zu betreiben bestand demnach nur darin, im ersten Glied der Kette zu beginnen. D.h. um die Maschine anders betreiben zu können mussten die Eingangsgrößen der Maschine verändert werden, welche die Spannung und die Frequenz sind. Demnach reicht ein kurzer Anruf beim EVU um die Parameter des Netzes zu ändern? Nein leider nicht! Ab diesem Punkt kommen die Frequenzumrichter ins Spiel, welche dafür sorgen den Antrieb immer im effizientesten bzw. in einem beliebigen Betriebspunkt versorgen zu können. In einem weiteren Schritt wurden die Umrichter nicht nur dazu verwendet die Maschinen effizient zu betreiben, sondern diese mit einer hohen Dynamik zu regeln, was üblicherweise bei Servoantrieben der Fall ist. Bei der Regelung von Maschinen wird oft eine vereinfachte Darstellung gewählt, welche einige Punkte voraussetzt, die im folgenden beschrieben werden. Das EVU liefert eine sinusförmige Spannung, wobei die drei Spannung jeweils um 120 phasenverschoben sind und die Frequenz 50Hz beträgt. Diese Spannung wird erzeugt, indem ein Synchrongenerator mit konstanter Winkelgeschwindigkeit angetrieben wird. Demnach muss eine Maschine mit gleicher Topologie wiederrum eine konstante Drehgeschwindigkeit bei Speisung mit dieser Spannung liefern. Abbildung 1.1: Maschine mit einer Wicklung 2

3 Das Bild zeigt den Stator einer Maschine mit nur einer Phase. Es wird deutlich, dass die Wicklungsanordnung über den Rotor räumlich sinusförmig verteilt ist. D.h. aus einer zeitlich sinusförmigen Größe in Verbindung mit einer räumlich sinusverteilten Größe ergibt sich eine konstante räumlich/zeitliche Bewegung. Diese sinusförmig räumliche Verteilung der Maschine wird sich zunutze gemacht, um mittels der Raumzeiger die Zustände der Maschine zu beschreiben. Da beispielsweise ein zeitlich verschobenes Strom-Spannungsverhältnis auch eine räumliche Verschiebung gleichen Winkels verursacht, führt es oftmals beim Verständnis der zwei verschiedenen Betrachtungsweisen zwischen zeitlicher und räumlicher- Darstellung zu Verwirrungen. Diese oben aufgeführte Korrelation ergibt sich genau aus der sinusförmig- verteilten Wicklung in Verbindung mit einer sinusförmigen Spannung. In der nächsten Darstellung wird die Maschine um den Raumzeiger des Flusses und des Stroms erweitert. Abbildung 1.2: Machine mit einer Wicklung und Raumzeigern Damit die Darstellung bei drei Phasen nicht die Übersicht verliert, wird nun folgende Darstellung gewählt. Abbildung 1.3: Machine mit drei Wicklungen 3

4 Durch die speisenden Spannungen in alle drei Phasen, resultieren in allen Phasen weitere Zustandsgrößen, welche sich superponieren lassen. D.h. es werden räumlich die entsprechenden Zustandsgrößen in allen drei Phasen addiert. Die resultierenden Zeiger sind die Raumzeiger, welche für die weiteren Berechnungen herangezogen werden. Abbildung 1.4: Addition der Raumzeiger Aufgrund des symmetrischen Aufbaus des Stators, ergeben sich ebenfalls drei um 120 verschobene Ströme mit gleicher Amplitude. Um den räumlichen und zeitlichen Zusammenhang zu verdeutlichen, sollen für verschiedene Zeitpunkte die Momentanwert des Stromes addiert werden und ein resultierender Stromraumzeiger wird gebildet. Damit ebenfalls deutlich wird, dass nicht nur der Betrag, sondern auch die Geschwindigkeit des Zeigers konstant sind sollen, immer gleiche zeitliche Abstände für die Wahl der Momentanwerte angenommen werden. Für die folgende Aufgabe wird die Definition des Raumzeigers vorweggenommen: i s = 2 3 (i a + i b e j 2 3 π + i c e j 4 3 π ) (1.1) Durch die einzelnen Stromkomponenten in den Strängen resultiert ein Raumzeiger, welcher keine physikalische Größe dargestellt, sondern als Berechnungswerkzeug dient. Der Faktor 2/3 dient als Betragsnormierung. Hierauf wird später eingegangen. Im Vergleich zu der komplexen Darstellung von Phasoren, wird die imaginäre Achse bei der Raumzeigedarstellung dazu verwendet, einen 2 dimensionalen Zusammenhang herzustellen. Zeigen Sie, dass bei sinusförmiger Einspeisung ein Raumzeiger mit konstanter Amplitude resultiert, indem Sie den Betrag und die Phase des Stromraumzeigers für die WInkel 90, 120 und 180, der speisenden Spannung berechnen. 4

5 1 0 t t t -1 Abbildung 1.5: Phasenströme 5

6 Rechnung: 6

7 Abbildung 1.6: Ströme in Raumzeigerdarstellung 1.1 Raumzeigerdarstellung In der Raumzeigerdarstellung werden die Zustandsgrößen der Maschine in Abhängigkeit der räumlichen Orientierung dargestellt. In der Literatur gibt es 2 Darstellungsformen für den Raumzeiger. Zum einen kann er als ein komplexer Zeiger aufgefasst werden, oder als Vektor im 2 dimensionalen Raum. Beide Darstellungsweisen bieten ihre Vor- und Nachteile, wobei im Rahmen dieser Veranstaltung der Raumzeiger als eine komplexe Größe aufgefasst wird, da die Nachteile dieser Darstellung erst bei weiterführenden Betrachtungen ins Gewicht fallen. Bedingt durch die räumliche Verteilung der Wicklung in der Maschine ergeben sich für die Phasenspannungen a,b,c folgende räumliche Orientierungen. 7

8 b a c Abbildung 1.7: räumliche Orientierung der Spannungen Phasenspannungen Durch die Einspeisung dreier um 120 Grad zeitlich verschobenen Spannungen in die oben beschriebene Maschinentopologie ergibt sich ein rotierender Spannungszeiger, welcher im stationären Fall eine konstante Amplitude betrund eine konstante Drehgeschwindigkeit besitzt. Dieser Spannungszeiger wird im weiteren Verlauf mit u s gekennzeichnet und entspricht der Summe der drei Phasenspannungen u s = 2 3 (u a + u b e j 2 3 π + u c e j 4 3 π ) (1.2) Der Faktor 2/3 normiert den Raumzeiger u s auf die Beträge der Strangspannungen. Durch Zerlegung des Raumzeigers u s in Real und Imaginärteil ergeben sich die Spannungskomponenten bezogen auf die Koordinatenachsen α und β. Berechnung der orthogonalen Spannungskomponenten: 8

9 Unter der Voraussetzung, dass die Stromsumme identisch Null ist, bzw. der Sternpunkt nicht angeschlossen ist kann auch der Strom in orthogonalen Komponenten aufgedrückt werden. Analog zur obigen Spannungsraumzeigerdarstellung lassen sich die Strangströme ebenfalls in komplexe Stromraumzeiger überführen. i s = 2 3 (i a + i b e j 2 3 π + i c e j 4 3 π ) (1.3) Orthogonale Stromkomponenten: Wird weiterhin davon ausgegangen, dass sich aufgrund der ideal sinusförmig verteilten Wicklung ein sinusförmiger Strombelag ergibt, dann gilt derselbe Zusammenhang auch für den Flussraumzeiger Orthogonale Flusskomponenten: Ψ s = 2 3 (Ψ a + Ψ b e j 2 3 π + Ψ c e j 4 3 π ) (1.4) Die obigen Annahmen führen zu dem vereinfachten Ersatzschaltbild der Maschine mit nur noch zwei Induktivitäten, anstelle von dreien. Abbildung 1.8: Induktivitäten in αβ-koordinaten 9

10 1.2 Zusatzaufgabe1 Eine symmetrische induktive Last ist am Netz angeschlossen. Zeichnen Sie den Raumzeiger der Spannung und des Stroms. Geben Sie zusätzlich die zeitliche Abhängigkeit der Amplitude und des Winkels an. Abbildung 1.9: Strom-/Spannungsverlauf Ergänzen Sie diese Darstellung um den zeitlichen Stromverlauf Abbildung 1.10: Induktivitäten in αβ-koordinaten Zeichnen Sie die Raumzeiger und geben Sie eine Funktion für die rotierenden Raumzeiger an. 10

11 Es werden die Phasen a und c ausgeschaltet. Zeichnen Sie hierfür die Raumzeiger in das Raumzeigerdiagramm Geben Sie die zeitliche Abhängigkeit des Winkels und des Betrages beider Größen an. Abbildung 1.11: 11