Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

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1 Modul: Stochastik Ablauf Vorstellung der Themen Lernen Spielen Wiederholen Zusammenfassen Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung 1

2 Stochastik Der Begriff Stochastik stammt aus dem Griechischen und heißt soviel wie Kunst des Mutmaßens. 2

3 Einsatzgebiete der Stochastik Mit Hilfe der Stochastik kann man etwa die Wahrscheinlichkeit für Lottogewinne berechnen oder die Größe des möglichen Fehlers bei Meinungsumfragen bestimmen. Die Stochastik ist auch für die Finanzmathematik von Bedeutung und hilft mit ihrer Methodik beispielsweise bei der Preisfindung für Optionen. 3

4 Zufall oder Wahrscheinlichkeit In der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt man sich mit Experimenten, dessen Ergebnisse nicht genau vorhersagbar sind. Man nennt diese Versuche auch Zufallsexperimente Welche Zufallsexperimente kennen Sie? Brainstorming 4

5 Zufallsexperimente Beispiele Werfen einer Münze Würfelspiele Roulette Lotto Fussballwetten Poker 5

6 Woher kommen die Daten? Messen Wiegen Zählen Befragen Wie schwer ist der Mond? (Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff) Schätzen 6

7 Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeit als Grad persönlicher Überzeugung (engl. "degree of belief"). Er unterscheidet sich damit von den objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassungen wie dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit interpretiert. 7

8 Wichtige Begriffe: Prognose Die Prognose ist dabei ein Maß für die Unsicherheit zukünftiger Ereignisse, ein Maß für den Grad an persönlicher Überzeugung Wettervorhersage Wahlergebnisse 8

9 Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes Er fordert die Gültigkeit der folgenden Prinzipien: Transitivität: Wenn Wahrscheinlichkeit A größer ist als Wahrscheinlichkeit B, und Wahrscheinlichkeit B größer als Wahrscheinlichkeit C, dann muss Wahrscheinlichkeit A auch größer als Wahrscheinlichkeit C sein: A>B>C 9

10 Paradoxieproblem: Ein Mann, der die Transitivität der Wahrscheinlichkeit nicht versteht, hat in einem Rennen auf Pferd A gesetzt. Er glaubt jetzt aber, Pferd B sei besser, und tauscht seine Karte um. Er muss etwas dazuzahlen, aber das macht ihm nichts aus, weil er jetzt eine bessere Karte hat. Dann glaubt er, Pferd C sei besser als Pferd B. Wieder tauscht er um und muss etwas dazuzahlen. Jetzt glaubt er aber, Pferd A sei besser als Pferd C. Wieder tauscht er um und muss etwas dazuzahlen. Immer glaubt er, er bekäme eine bessere Karte, aber jetzt ist alles wieder wie vorher, nur ist er ärmer geworden. 10

11 Negation: Wenn wir über die Wahrheit von etwas eine Erwartung haben, dann haben wir implizit auch eine Erwartung über dessen Unwahrheit. Negation 11

12 Konditionierung Konditionierung: Wenn wir eine Erwartung haben über die Wahrheit von G, und auch eine Erwartung über die Wahrheit von F im Falle, dass G wahr wäre, dann haben wir implizit (genauso) auch eine Erwartung über die gleichzeitige Wahrheit von G und F. 12

13 Schlüssigkeit Schlüssigkeit (soundness): Wenn es mehrere Methoden gibt, bestimmte Informationen zu benutzen, dann muss die Schlussfolgerung immer dieselbe sein. 13

14 A-priori-Wahrscheinlichkeit Die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist in den Naturwissenschaften ein Wahrscheinlichkeitswert, der aufgrund von Vorwissen (zum Beispiel symmetrische Eigenschaften eines Würfels) gewonnen wird. A-priori-Wahrscheinlichkeiten spielen insbesondere beim Bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff eine wichtige Rolle. Die älteste Methode für die Bestimmung von A-priori- Wahrscheinlichkeiten stammt von Laplace: Sofern es keinen expliziten Grund gibt, etwas anderes anzunehmen, wird allen elementaren Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Zum Beispiel sind bei einem Münzwurf die elementaren Ereignisse "Kopf" und "Zahl". Solange man keinen Grund hat, anzunehmen, die Münze sei manipuliert, wird man also beiden Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit ½ zuordnen. 14

15 Beispiel : Werfen einer Münze Man weiß nicht welche Seite oben liegen wird Ergebnismenge: S= {Z, W} 15

16 1. Aufgabe: Münzwurfspiel Wahrscheinlichkeiten 1. Bilden Sie dreier Gruppen und notieren Sie alle möglichen Wurfergebnisse, wenn Sie mit drei Münzen werfen Schreibweise: Ergebnismenge: S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_), (_,_,_),(_,_,_), (_,_,_)} S={(z,z,z),(w,w,w),(z,w,w),(z,z,w), (w,z,z)} 16

17 2.Wurfspiel in Dreier Gruppen Jeder Spieler wirft abwechselnd einmal eine Münze, bis alle Spieler pro Runde nacheinander als Ergebnis Zahl erhalten Schreibweise: Ergebnismenge: S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_), (_,_,_),(_,_,_),(_,_,_), (_,_,_), (_,_,_) (_,_,_),(_,_,_)} Fertig: Vergleichen Sie die Anzahl der Versuche mit den anderen Kleingruppen 17

18 Würfelspiele Beim Würfelspiel gibt es nun mehr mögliche Ergebnismengen als bei einer Münze Schreibweise: Ergebnismenge: S={(_,_,_,_,_,_), (_,_,_),(_,_,_), (_,_,_),(_,_,_),(_,_,_), (_,_,_), (_,_,_) (_,_,_),(_,_,_)} 18

19 Würfelspiele Wahrscheinlichkeiten 1. Bilden Sie dreier Gruppen und notieren Sie alle möglichen Würfelergebnisse (S) bei zwei Würfeln 2. Das Ereignis (E) Pasch kann dabei wie oft vorkommen? 3. Wie viele Möglichkeiten gibt es mit drei Würfeln? Warum? 6x6x6=216 S={(_,_),(_,_),(_,_), (_,_),(_,_),(_,_),(_,_), (_,_),(_,_),..., (_,_) (_,_),(_,_)} 36 Möglichkeiten E={(_,_),(_,_),(_,_), (_,_),(_,_),(_,_)} 19

20 2. Aufgabe: Würfelspiele Wahrscheinlichkeiten 1. Bilden Sie dreier Gruppen und notieren Sie alle möglichen Wurfergebnisse 2. Jeder Spieler wirft abwechselnd einmal den Würfel, bis alle Spieler pro Runde nacheinander als Ergebnis die Zahl 6 erhalten (Zeit ca. 1o Minuten) Schreibweise: Ergebnismenge: S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_), (_,_,_),(_,_,_),(_,_,_), (_,_,_), (_,_,_) (_,_,_),(_,_,_)} Fertig: Vergleichen Sie die Anzahl der Gewinner mit den anderen Kleingruppen 20

21 Auswertung: Gesamtwürfe Anzahl Gesamtwürfe E 1 = E 2 = E 3 = E 4 = E 5 = E 6 = Gesamt = Wie ist die Verteilung? Entspricht die Verteilung E den Wahrscheinlichkeiten von P? P 1 ={ 1 / 6 von den Gesamtwürfen} 21

22 Relative Häufigkeiten Die Relative Häufigkeit, oder bedingte Häufigkeit ist die absolute (tatsächliche) Häufigkeit dividiert durch die Anzahl der Ereignisse. Berechnen Sie die prozentualen (relativen) Häufigkeiten der Würfelereignisse mit der Grundgesamtheit. 22

23 Permutation Unter einer Permutation (von lat. permutare (ver)tauschen ) versteht man die Veränderung der Anordnung einer Menge durch Vertauschen ihrer Elemente. Beispiel: Wieviel Möglichkeiten der Anordnung von: A,B,C gibt es? 3x2x1=6 Wieviel Möglichkeiten der Anordnung der Zahlen (1,2,3,4,5,6) gibt es? 6x5x4x3x2x1 23

24 Permutation Beispiel: Man hat die Buchstaben A,B,C,D,E,F,G Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Buchstaben hintereinander anzuordnen? Es gibt 7 verschiedene Buchstaben (Stellen) Für die erste Stelle gibt es 7 Möglichkeiten Für die zweite Stelle 6 Und so weiter Also: 7*6*5*4*3*2*1=5040 Möglichkeiten 7! Fakultät=

25 Permutation Fakultät! allgemein: n! Beispiel: A,B,D,E,G,N,S,T,U 9 Stellen= 9! 2 Möglichkeiten sind z.b. BUNDESTAG oder ANGSTBUDE 25

26 Permutation Neues Beispiel: A,B,E,E,E,G,G,H,H,I,L, N,N,O,R,S,T,U Hier treten Buchstaben mehrfach auf: E,E,E;G,G;H,H;N,N Die doppelten Buchstaben sind nicht zu unterscheiden. 18! wäre bei 18 Buchstaben die Gesamtmenge an Möglichkeiten, enthält aber auch die doppelten Buchstaben. Idee: Abziehen dieser Möglichkeiten 26

27 Permutation- Abziehen doppelter 18! : Gesamtmenge an Möglichkeiten E,E,E : 3! Mehrfache: G,G : 2! Mehrfache: H,H : 2! Mehrfache: N,N : 2! Mehrfache 18! 3! 18! 3!2! 18! 3!2!2! 18! 3!2!2!2! 27

28 Permutation Es gibt also 18! 3!2!2!2! Möglichkeiten die 18 Buchstaben anzuordnen. 2 sind z.b. NAHERHOLUNGSGEBIET und HUNGERLOHNABSTEIGE 28

29 Permutation Berechnen Sie die unterschiedliche Möglichkeiten ihren Vornamen umzustellen. Beispiel: Rainer R,a,i,n,e,r, 6 Stellen R ist doppelt 6! : 2!= 6*5*4*3*2*1=720 Geteilt durch 2!=2 720/2=360 Möglichkeiten 29

30 Vorlage: Berechnung Permutation Dein Name: _ Anzahl der Stellen= Doppelte Stellen:,,, Berechnung: 30

31 Variation Aufgabe: 18 Auszubildende eines Stahlbetriebes sollen in zweier Gruppen in verschiedene Abteilungen eingeteilt werden Jeder Azubi erhält eine andere Aufgabe Wieviel Möglichkeiten gibt es diese zweier Gruppen zu bilden? =18x17! Man kann nicht mit sich selber eine Gruppe bilden! 31

32 Kombinationen Es gibt also 1817 (=306) mögliche Kombinationen Allgemeine Formel für n! die Bildung von k-er Gruppen aus n Elementen: ( n k )! 32

33 Die Formel Diese Formel sagt genau das gleiche aus, da man n! 18x17x16 x[ ]x1 durch 18x17x16 x[...] x1 teilt und somit nur noch ( n k)! 2019 übrig bleibt 33

34 Der Ausbilder Der Ausbilder war so begeistert von den Resultaten der Zwischenprüfungen, dass er unter seinen 20 Schülern 4 Preise verlosen möchte. Dafür schreibt er jeden Namen der Kursteilnehmer auf jeweils eine Kugel und tut sie in einen Beutel. 34

35 Die Verlosung Er zieht nun für den ersten Preis einen Kugeln aus dem Beutel, notiert sich den gezogenen Namen und legt die Kugel wieder zurück. Es ist also möglich, dass z.b. Juli alle 5 Preise gewinnen könnte. Wie viele mögliche Variationen gibt es nun für den Gewinn der Preise, wenn der Ausbilder die Kugeln zurücklegt? 35

36 Variation Gewinnspiel Man hat 5 Stellen zu besetzen: _ Für jede Stelle gibt es 20 Möglichkeiten. Also = Allgemein also: n k 20 5 =

37 Herr Glücklich hat schon wieder vergessen, wie viele mögliche Kombinationen es beim normalen Zahlenlotto gibt. Dabei will er genau das morgen mit seinem Kurs besprechen. Lotto 37

38 49! (49 6)! Das Lottoglück Beim Zahlenlotto spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle. Es werden aus 49 Zahlen 6 gezogen. Im Prinzip hätte man wie viele Möglichkeiten? Diese enthalten aber noch gleichwertige Kombinationen, da die Reihenfolge ja keine Rolle spielt. 38

39 Lottokombinationen Diese enthalten aber noch gleichwertige Kombinationen, da die Reihenfolge ja keine Rolle spielt. z.b und

40 Der Lottogewinn Diese mehrfachen Möglichkeiten müssen also noch eliminiert werden. Die Anzahl dieser Mehrfachen ist in diesem Fall 6!, da wir 6 Stellen zu besetzen haben. Die Rechnung muss also lauten: 6! ( 49 49! 6 )! =

41 Kombination Oder allgemein: n! k!( n k )! Auch darstellbar als: (n über k) n k 41

42 n k N über k Um sich Tipparbeit mit dem Taschenrechner zu ersparen, hat dieser die ncr Taste. n k tippt man als n ncr k in den Taschenrechner 42

43 Zusammenfassung: 43

44 Vielen Dank Bemerkungen zum Unterrichtsverlauf 44