Das Hubbard-Modell: Diagonalisierung mit Hilfe des Lanczos-Verfahrens Computational Physics-Praktikum WS 2007/08

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1 Das Hubbard-Modell: Diagonalisierung mit Hilfe des Lanczos-Verfahrens Computational Physics-Praktikum WS 2007/08 Johannes Märkle,Philipp Buchegger Betreuer Dr. Thomas Dahm Tübingen, den 25. Januar 2008 Einleitung Im folgenden Praktikumsversuch wurde ein quantenmechanisches Vielteilchensystem bestehend aus N Atomen und M Elektronen mit besonderem Augenmerk auf die Grundzustandsenergie des Systems simuliert. Dabei bedienten wir uns der Hartree-Fock Näherung und vereinfachten zusätslich das Problem mithilfe des Hubbard Modells in einer Dimension, so dass eine exakte Diagonalisierung des Hamilton Operators mithilfe des Lanczos Verfahrens möglich wurde. Das Hubbard Modell Da sich die Orbitale der M Elektronen teilweise überlappen und eine zusätsliche Coulombabstoÿung das analytische Lösen dieses Problems sich somit als ausgesprochen schwierig erweist, werden diese Wechselwirkungen durch ein recht schlichtes Modell vereinfacht: Wir gingen davon aus, dass die einzelnen Wellenfunktionen zu den jeweiligen Atomen orthogonal zueinander seien. Stattdessen wurde der Überlapp der Orbitale durch einen Hopping-Term im Hamiltonoperator realisiert, was ein springen der Elektronen zwischen den direkten Nachbarn ermöglichte. Der Coulombterm wurde dabei zudem lediglich für Elektronen an gleichen Atomen (jeweils spin up und spin down nach pauli Prinzip) berücksichtigt. Der Hamiltonoperator ergibt sich dann zu: H = t <l,j>,σ c l,σ c j,σ + U j n j, n j, (1) Wobei der Operator c l,σ c j,σ jeweils in einem Zustand j ein Elektron vernichtet und in einem Zustand l ein Elektron erzeugt. Wie oben beschrieben läuft die Summe über die Erzeuger und Vernichter dabei nur über direkte Nachbarn, so dass nur Sprünge zu benachbarten Atomen (mit Spinerhaltung) erlaubt werden. Die Operatoren n j, n j, stehen für die Teilchenzahloperatoren für die Zustände mit spin up und spin down. Das Produkt zwischen beiden sorgt dafür, dass nur Elektronen in zweifach besetzten Atomen ein Coulombpotential spüren, da andernfalls einer der beiden Eigenwerte zu den Besetzungszahloperatoren null wird. Der Wert t wird der Einfachheithalber O.b.d.A. im Folgenden auf t = 1.0 gesetzt. Lanczos Verfahren Das Lanczos Verfahren zeichnet sich dadurch aus, dass es ausreicht die Wirkungsweise des Hamiltonoperators auf einen beliebig vorgegebenen Zustand zu kennen, um nach nur wenigen Iterationen gehaltvolle Aussagen über den gröÿten und kleinsten Eigenwert treen zu können. Dabei ist die Darstellung des Hamiltonoperators bezüglich einer vollständigen Basis prinzipiell zu keiner Zeit von Nöten. Johannes Märkle,Philipp Buchegger 1

2 Durch iteratives Anwenden des Hamiltonoperators auf einen Startvektor und anschlieÿendes orthonormalisieren, lässt sich eine orthonormale Basis nden in der der Hamiltonoperator lediglich Diagonal- und Nebendiagonalelemente besitzt (er ist in dieser nicht vollständigen Basis folglich auch dünn besetzt) und eine niedrigere Dimension (je nach Anzahl der Iterationen) aufweist. In dieser Form ist er mit wesentlich geringerer Laufzeit diagonalisierbar. Aufgaben Die einzelnen Aufgaben benden sich in der main Methode. Um sich Ergebnisse von Teilaufgaben ausgeben zu lassen, muss die Aufgabennummer mit #denea1 (Beispiel für Aufgabe 1) in der mainle deniert werden. Diese werden dann zur Laufzeit von den benötigten, erstellten Objekten ausgeführt. Die wesentlichen Ergebnisse werden dann zur Verizierung in der Konsole, oder als Textdatei ausgegeben. Aufgabe 1 Zuerst sollten die Basiszustände für gegebenes N und M berechnet werden. Zu jeder Spineinstellmöglichkeit ergeben sich für ununterscheidbare Teilchen ( N M) Kombinationen zur Verteilung der M Teilchen. Für M Elektronen erwartet man folglich eine ( N 2 M) dimensionale Basis. Zur Berechnung der Basis wurden jeweils für Spin up und down, die mit Einsen und Nullen dargestellten Besetzungen der N Atome, mit ihrem integer Wert identiziert, und Zustände deren Einsen aufsummiert den Wert M ergaben der Basis hinzugefügt. Zusätslich zu dem integer Wert des Zustandes wurde die Binärdarstellung und ein noch zu füllendes Feld neighbors in einem Objekt state abgespeichert. In einem zweiten Schritt wurden dann die Nachbarn zu jedem state gesucht und der Vektor neighbors damit befüllt. Danach wurden die gefundenen Zustände und Nachbarn auf Richtigkeit für N=4 und N=3 überprüft. Aufgabe 2 Als nächstes schrieben wir eine Routine hubbard::h(psi *phi, psi *psi), die aus einem Zustand (als Klasse psi realisiert) H berechnet und den neuen Zustand in phi abspeichert. Getestet wurde diese Methode für zwei Zustände mit N=4, M=2 und N=3,M=1. 2 a) (2) (3) 2 b) (4) Johannes Märkle,Philipp Buchegger 2

3 (5) Aufgabe 3 Nun wurde der Erwartungswert von H in Abhängigkeit von U mithilfe der bisher implementierten Methoden für zwei Zustände des Raumes N=3 und M=1 berechnet. Einmal für den Grundzustand für U=0 G0, der eine gleichmäÿige Überlagerung aller Basiszustände darstellt, und einmal für den Zustand G0, bei dem gegenüber dem Grundzustand für U=0 alle Doppelbesetzungen entfernt wurden. Wie zu erwarten war, ist der Zustand G0 unabhängig von der Wahl von U, da ja der U-Term lediglich für Doppelbesetzte Atome einen Beitrag ungleich 0 liefert. Wir erhielten G0 H G0 =-2. Dies führt dazu, dass der Energieerwartungswert des Grundzustandes G0 sich mit steigendem U erhöhen wird, während für G0 der Wert konstant bleibt, so dass der Zustand G0 ab einem bestimmten Uc energetisch tiefer liegen wird, als der einstige Grundzustand G0. Wir erhielten U c = 6. In der unteren Abbildung sind beide Zustände in Abhängigkeit von U und zusätslich noch der exakte Grundzustand zu jeweiligem U aufgetragen U Hamilton-Jacobi <Ψ G0 H Ψ G0 > <Ψ Ḡ0 H ΨḠ0> Abbildung 1: Erwartungswerte in Abhängigkeit von U Johannes Märkle,Philipp Buchegger 3

4 3 a) 3 b) (6) (7) (8) (9) Zur späteren Überprüfung des noch zu implementierenden Lanczos Verfahren stellten wir im Folgenden den Hamiltonoperator auf und diagonalisierten ihn mithilfe des Jacobi Verfahrens. Daraus resultierte eine Grundzustandsenergie E 0 = 4. Aufgabe 4 Nun programmierten wir eine Methode zur Realisierung des Lanczos-Algorithmus. Dieses testeten wir an dem Beispiel aus Aufgabe 3 und erhielten nach nur wenig Iterationsschritten den gleichen Erwartungswert. Um zu testen, ob der gefundene Grundzustand richtig in die alte Basis rücktransformiert wurde, berechneten wir zusätslich den Erwartungswert von H bezgl. des rücktransformierten Zustandes G0 H G0 und verglichen unser Ergebnis mit der berechneten Grundzustandsenergie. Als nächstes wechselten wir in den Raum N=6, M=3 und U=t=1. Dort berechneten wir den Grundzustand und die Grundzustandsenergie für einen sehr speziell gewählten Anfangsvektor: 1 = 1 [ ; ; ; ; ] (10) 2 Das Konvergenzverhalten der Grundzustandsenergie ist in nachfolgender Abbildung über den Iterationsschritten des Lanczosverfahrens aufgetragen. Johannes Märkle,Philipp Buchegger 4

5 Iterationen Abbildung 2: Verlauf des Erwartungswertes Das Lanczosverfahren scheint erst gegen einen wesentlich höheren Energiewert zu konvergieren und springt nach 27 Iterationen gegen einen Wert in der Umgebung von Das liegt an der Tatsache, dass der Anfangsvektor orthogonal auf dem Grundzustand steht. In diesem Extremfall liefert das Lanczos-Verfahren nicht wie Anfangs erwähnt nach nur wenigen Iterationen einen befriedigindes Ergebnis für den kleinsten Eigenwert. Neben dem Fall, dass der Anfangsvektor ein Eigenzustand zum Hamiltonoperator ist (in diesem Fall würde das Lanczos Verfahren direkt abbrechen, da im 1.Schritt bereits durch die Norm des 0 Vektors geteilt werden würde) stellt dieser Fall den worst case dar. Aufgabe 5 Zuletzt berechneten wir die Grundzustandsenergie für N=6 u. M=3 mithilfe eines anderen, zufällig gewählten Startvektors und verglichen das Ergebnis mit dem Resultat aus der Molekularfeldnäherung. Das Ergebnis ist in nachfolgendem Schaubild aufgetragen E MF E Lanczos U Abbildung 3: Verlauf des Erwartungswertes Johannes Märkle,Philipp Buchegger 5