Walter Schneider. Mathematik für die berufliche Oberschule

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1 Springer-Lehrbuch

2 Walter Schneider Mathematik für die berufliche Oberschule

3 Walter Schneider Berufliche Oberschule Passau Passau, Deutschland ISSN ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Vorwort Dieses Mathematiklehrbuch ist aus der Idee entstanden, die gesamte Mathematik der Beruflichen Oberschule (FOS/BOS) in Bayern für die Ausbildungsrichtungen Technik (T) und Nichttechnik (NT) der Jahrgangsstufen kompakt in einem Band zusammenzufassen. Damit deckt dieses Buch die Bereiche: Analysis, Analytische Geometrie sowie Wahrscheinlichkeitstheorie ab und kann daher auch an Gymnasien verwendet werden. Ich gebe zu, dass die Stoffbündelung für beide Ausbildungsrichtungen nicht immer einfach war, insbesondere bedingt durch die unterschiedliche inhaltliche Tiefe für Techniker und Nichttechniker. Alle Inhalte dieses Buches werden daher nur im Technikzweig einschließlich der 13. Jahrgangsstufe gelehrt. Für die zweijährige FOS bzw. einjährige BOS müssen einzelne Abstriche gemacht werden, die ich kurz skizzieren möchte. Teil I Analysis: In der NT12 wird man im Wesentlichen nur mit Polynomen konfrontiert, was z. T. beträchtliche Auswirkungen auf die Differenzial- und Integralrechnung hat, da man in diesem Fall mit wenigen einfachen Regeln auskommt. In der T12 wird lediglich auf Arkusfunktionen, spezielle Integrationstechniken sowie Differenzialgleichungen verzichtet. Dies ist analog zur NT13, wo jedoch zusätzlich trigonometrische Funktionen fehlen. Teil II Analytische Geometrie: Dieser Teil wird mit Ausnahme der linearen Gleichungssysteme nur in der T12 als auch in der NT13 gelehrt. Das Thema der Produkte von Vektoren mit den entsprechenden Auswirkungen auf das Kapitel der Geraden und Ebenen fehlt jedoch in der NT13. Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie: Dieser Teil wird nur in der T13 sowie in der NT12 gelehrt. Die Themen Testen und Kombinatorik sind jedoch in der NT12 etwas abgespeckt, und es fehlt das Thema der Normalverteilung. Durch einen vom Aufbau her hochschulüblichen Mathematikstil: Definition Satz Beweis möchte ich den Leser auf die Hochschulmathematik einstimmen. Dabei gehe ich mit formalen Beweisen eher sparsam um, und versuche stattdessen meist anschaulich zu argumentieren. Die Definitionen und Sätze sind in einer verständlichen Sprache gehalten und sind eigens grafisch hervorgehoben. Sollten mathematisch exakte Formulierungen nicht immer eingehalten werden, so ist dies unter dem Aspekt der Schülerfreundlichkeit zu V

5 VI Vorwort sehen. Meist ausführlich durchgerechnete Beispielaufgaben dienen zum Stoffverständnis und zur eigenen Leistungskontrolle. Dabei wurde die Anzahl der Beispiele bewusst in einem vernünftigen Rahmen gehalten, um das Buch nicht zu einer Aufgabensammlung werden zu lassen. Dabei denke ich gerne an die Bemerkung meines ehemaligen Mathematikprofessors: Man hat einen Satz erst dann verstanden, wenn man seinen Beweis verstanden hat. Darum wäre auch meine Bitte, sich nicht nur an den Beispielen zu orientieren (was erfahrungsgemäß leider allzu oft passiert), sondern erst in aller Ruhe die Definitionen und Sätze zu durchdringen. Die Aufgaben sollten dann im Prinzip ein Selbstläufer (Wunschdenken!) sein, wobei ich natürlich keinesfalls die Bedeutung von Übungsaufgaben anzweifle. In diesem Zusammenhang verweise ich auch auf den Anhang, in dem ein Auszug aus den diesjährigen Prüfungsaufgaben in Bayern für Technik und Nichttechnik (Jahrgangsstufen 12 und 13) zusammengestellt sind. Gerade für diejenigen, die einen Wechsel ihrer Ausbildungsrichtung ins Auge fassen (z. B. Beginn eines technischen Studiums nach abgeschlossener Fachoberschule Zweig Wirtschaft oder auch Gymnasium), gibt der Vergleich von Prüfungen Aufschluss darüber, in welchen Bereichen evtl. Defizite vorhanden sind. Viele Grafiken (insbesondere die Funktionen in der Analysis) wurden in Geogebra, einer beliebten Software an Schulen, erstellt. Da dieses frei verfügbare Programm bei etwas anspruchsvolleren Problemstellungen an seine Grenzen stößt, kann ich jedem Studierwilligen folgende, an Hochschulen übliche Mathematiksoftware (auch als Studentenversionen für den kleinen Geldbeutel erschwinglich) empfehlen: Maple, Mathematica (Computer-Algebra-Systeme, die v. a. in der reinen Mathematik verwendet werden) sowie Matlab (numerisches Mathematikprogramm, das v. a. für angehende Ingenieure das Standardtool ist). Auch wenn der Titel des Buches vorrangig Schüler an beruflichen Oberschulen bzw. Gymnasien und deren Lehrer anspricht, so darf der Leserkreis keineswegs darauf beschränkt werden. Gerade auch für Berufstätige, die ihre (evtl. länger zurückliegende) Schulmathematik auffrischen bzw. erweitern möchten oder auch für Studienanfänger zum Studieneinstieg bzw. als Begleitlektüre für bestimmte Vorlesungen, findet in diesem Buch einen wertvollen Begleiter. Nicht zuletzt dient dieses Lehrbuch auch Professoren und Lehrenden an Hochschulen als kleine Hilfestellung für die Verzahnung zwischen Schul- und Hochschulmathematik. Gerade auch für die in letzter Zeit immer populärer werdenden Brückenkurse kann dieses Buch wertvolle Impulse geben. Mein Dank gilt der angenehmen und konstruktiven Zusammenarbeit mit dem Springer Verlag, allen voran Herrn Dr. Heine und Frau Dr. Denkert, die mir bei der Konzeption und der didaktischen Umsetzung dieses Buches wertvoll zur Seite standen. Möge dieses Buch einer breiten Leserschaft viel Freude bereiten! Neukirchen, im Dezember 2014 Walter Schneider

6 Inhaltsverzeichnis Teil I Analysis 1 Mengen Grundbegriffe Mengenverknüpfungen Zahlenmengen Natürliche, ganze und rationale Zahlen Reelle Zahlen Elementare Rechentechniken in der Menge der reellen Zahlen Zusammenfassen, Faktorisieren und Binomische Formeln Bruchterme Quadratwurzeln Potenzen und n-te Wurzeln Logarithmen Gleichungen und Ungleichungen Der Funktionsbegriff Definition und Beispiele Eigenschaften reeller Funktionen Schnittpunkte mit Koordinatenachsen Symmetrie Monotonie Beschränktheit Transformation und Verknüpfung von Funktionen Transformation von Funktionen Summe, Differenz, Produkt, Quotient von Funktionen Verkettung von Funktionen Die Umkehrfunktion VII

7 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Elementare Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Wurzelfunktionen Abschnittweise definierte Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktionen Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen Arkusfunktionen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Grenzwert einer Funktion für x! Grenzwert einer Funktion für x! x Stetigkeit von Funktionen Lokale Stetigkeit Globale Stetigkeit Stetigkeitssätze Differenzialrechnung Die Ableitung einer Funktion Differenzen- und Differenzialquotient Differenzierbarkeit Die Ableitungsfunktion Ableitungsregeln Sätze der Differenzialrechnung Mittelwertsatz Regeln von L Hospital Ableitung der Umkehrfunktion Kurvendiskussion Monotonieverhalten Krümmungsverhalten Extrema Wendepunkte Ablauf einer Kurvendiskussion Aufstellen von Funktionstermen Anwendungen in Natur, Technik und Wirtschaft Optimierungsprobleme Newton-Verfahren

8 Inhaltsverzeichnis IX 7 Integralrechnung Das unbestimmte Integral Der Begriff der Stammfunktion Integrale elementarer Funktionen Elementare Rechenregeln Das bestimmte Integral Die Riemannsche Summe Integralfunktionen Flächenberechnungen Uneigentliche Integrale Integrationstechniken Partielle Integration Substitution Partialbruchzerlegung Ergänzende Anwendungen der Integralrechnung Rotationsvolumina Anwendungen in Physik und Technik Gewöhnliche Differenzialgleichungen Einführendes Beispiel Grundbegriffe Separierbare DGL 1. Ordnung Lineare DGL 1. Ordnung Teil II Lineare Algebra und Analytische Geometrie 9 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Einführung: (2 2)- und (3 3)-Systeme Der Matrixbegriff Der Gauß-Algorithmus Überbestimmte und unterbestimmte Systeme Determinanten Anwendungen linearer Gleichungssysteme Vektoren im R 2 und R Grundbegriffe Elementare Rechenoperationen Addition und Subtraktion Multiplikation mit Skalar Lineare Abhängigkeit von Vektoren Basis und Dimension

9 X Inhaltsverzeichnis 10.5 Teilverhältnisse Produkte von Vektoren Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt Geraden und Ebenen im R Geraden im R Ebenen im R Untersuchung von Lagebeziehungen Lagebeziehung zweier Geraden Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Lagebeziehung zweier Ebenen Lagebeziehung dreier Ebenen Geraden- und Ebenenscharen Abstandsberechnungen Projektion und Spiegelung Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie 12 Zufallsexperimente und Ereignisse Zufallsexperimente Ereignisse Verknüpfung von Ereignissen Wahrscheinlichkeiten Absolute und relative Häufigkeiten Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente Baumdiagramm und Pfadregeln Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten Kombinatorik Das allgemeine Zählprinzip Permutationen Variationen Kombinationen Zufallsvariablen und Verteilungen Der Begriff der Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsvariablen

10 Inhaltsverzeichnis XI 15.3 Merkmale von Zufallsvariablen Erwartungswert Varianz Die Binomialverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Der Standardisierungsprozess Lokale Näherungsformeln Globale Näherungsformeln Die Normalverteilung Testen von Hypothesen Grundlegende Begriffe Signifikanztest Rechtsseitiger Test Linksseitiger Test Zweiseitiger Test Alternativtest Anhang Literatur Sachverzeichnis