Ð ÖØ¹ÄÙ Û ¹ ÍÒ Ú Ö ØØ Ö ÙÖ ÙÐØØ Ö Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ Ø ÐÙÒ Ö Ò Û Ò Ø Å Ø Ñ Ø À Ö ÇÖ Ö Ë Ñ ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÖ Ð Ä ÕÙ ¹Î ÔÓÖ ÐÓÛ Û Ø È Ò

Transkript

1 Ð ÖØ¹ÄÙ Û ¹ ÍÒ Ú Ö ØØ Ö ÙÖ ÙÐØØ Ö Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ Ø ÐÙÒ Ö Ò Û Ò Ø Å Ø Ñ Ø À Ö ÇÖ Ö Ë Ñ ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÖ Ð Ä ÕÙ ¹Î ÔÓÖ ÐÓÛ Û Ø È Ò ÒÒ Ð ÓØÓÖ Ð ÖØ Ø ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö ÙÐØØ Ö Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö Ð ÖØ ÄÙ Û ÍÒ Ú Ö ØØ Ö ÙÖ Ñ Ö Ù Ö ÙÖ Ñ Ö Ù ¾¼¼

2 Ò ÙØ Ø Ö ØÙÑ Ö ÈÖÓÑÓØ ÓÒ ÈÖÓ º Öº Âº ÐÙÑ ÈÖÓ º Öº º ÃÖ Ò Ö ÈÖÓ º Öº º ÊÓ º½¾º¾¼¼

3 ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò ÈÖÓ º Öº º ÃÖ Ò Ö Ò ÈÖÓ º Öº º ÊÓ ÓÖ Ø Ú ÖÝ ÒØ Ö Ø¹ Ò ØÓÔ Ó Ø Ø Ò ÓÖ Ø Ö ÙÔÔÓÖØ ÙÖ Ò Ø Ð Ø Ý Ö º ÐÐ ÑÝ ÒÙÑ ÖÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Û Ö Û ÐÐ Ò ÐÝ Ò Ñ Ð º Á Ð ÖÒ ÐÓØº ÌÓ ÐÐ ÑÝ ÓÖÑ Ö Ò ÙÖÖ ÒØ ÓÐÐ Ù Ó Ø Ø ÐÙÒ Ö Ò Û Ò Ø Å Ø Ñ Ø Ì Ò ÓÖ ÐÐ Ø ÖÙ Ø ÙÐ Ù ÓÒ ÔÖÓÚ Ò Ù ÙÐ ÒØ ÓÖ ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ö Ò Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ñ ÒÙ Ö ÔØ Ò ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö ÐÔ ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ø º Á Ú Ö Ø Ø Ñ Ö º ÌÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò Ö Ò ÓÖ ÝÓÙÖ ÙÔÔÓÖØ ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ò Ö Ò Á Ø Ò ÝÓÙº ÈÖ Ñ Ö ÐÝ Ø ÓÐ ÓÖ Ë ÑÓÒ º Ì ÛÓÖ Ò ÙÔÔÓÖØ Ý Ø ¹ ÆÊË Ö Ö ÙÒ Ø Å ÖÓ¹Å ÖÓ ÅÓ ÐÐ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ä ÕÙ ¹Î ÔÓÖ ÐÓÛ º

4

5 ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÙÐØ Ò Ò Û ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø ÅÓ Ð ½ ¾º½ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ê Ð Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÅÓØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ì Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ñ Ò ÓÒÐ ÓÖÑ Ó Ø ÆËÃ¹ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÁÒÐÙ Ò Ö Ú ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ì Á ÓØ ÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ËÙÖ Ì Ò ÓÒ Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÁÒØ Ö Ï Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼ Ê Ð Ø Ä Ò Ø Ë Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½½ ÖØ Ð ÒÐ Ö Ñ ÒØ Ó Ø ÁÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÙÑÑ ÖÝ Ó Ì ÓÖ Ø Ð Ê ÙÐØ ½ º½ ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ËÓÐÙØ ÓÒ Ò ËÙÖ Ì Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ü Ø Ò Ó ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÑÓ ËÝ Ø Ñ º º º¾º¾ ÈÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ø ÙÒÑÓ ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º Ò Ö Ð ËÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ËÓÐÙØ ÓÒ Ò Ò Ñ Ö º½ ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø Ù Ð Ò ÖÓÔ º º º º º º º º º º º º º º½º¾ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ËÙÖ Ì Ò ÓÒ Ò ÁÒØ Ö Ï Ø º º º º º º º¾ ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ù Ð Ê Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Î Ö Ø Ò ÓÒØ Ò Ö Ï ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ø ÇÖ Ö ÙÖ Ø Ë Ñ

6 ÇÆÌ ÆÌË º½ Ë Ñ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ï ÐÐ Ð Ò Ë Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ð Ü Ø ÓÒ Ë Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º½ Ì Ê Ð Ü Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ì Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ê Ð Ü Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º Ì ÓÑÔÐ Ø ÆÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø Ø Ö Ö ÒØ Ë Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö ÇÖ Ö Ë Ñ Ì ÔÔÖÓ º½ Ë ÑÔÐ Ð Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ì ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Å Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø Ú ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ËÝ Ø Ñ Û Ø À Ö ÇÖ Ö Ì ÖÑ º º º º º º º º º º º¾º ÆÓÒ¹ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º¾º ËÓÙÖ Ì ÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÄÓ Ð ÙÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º½ ½ ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º¾ ¾ ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Ë ÑÔÐ Ü ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º½ ÆÓÒÐ Ò Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ½ º º º º º º º º º º ½¼ º º¾ ÆÓÒÐ Ò Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ¹ Ô Ö ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ½ º º º º ½½½ º ËÙÑÑ ÖÝ Ó Ì ÓÖ Ø Ð Ê ÙÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º L ¹ËØ Ð ØÝ Ó Ø Ä ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ ÅÓ Ð ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º ½½ º Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ ½ ÓØ ÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾ ¾ ÓØ ÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º ÓØ ÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º º ¾ ÙÐÐ ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½¼ ÁÒ Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ À Ö ÇÖ Ö Ì Ñ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ½¾ º½ Ò Ö Ð ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÜÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÁÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º Ë Ñ ¹ÁÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ËÓÐÚ Ò ÆÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º ½ Å ÔØ ÓÒ Ò È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ½ º½ Ê Ò Ñ ÒØ Ó Ë ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ L ÈÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÔØ ÓÒ ÈÖÓ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º Ê Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÁÒ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ê Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Ó Ë ÑÔÐ Ð Å º º º º º º º º º º º º º ½ º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

7 ÇÆÌ ÆÌË º ÄÓ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÆÙÑ Ö Ð Ê ÙÐØ ½ º½ Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ø ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ì Ø ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ì Æ ÓÖ ÖØ Ð Î Ó ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö ÒØ ÓÒØ Ø Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÁÑÔÐ Ø Ú Ö Ù ÜÔÐ Ø Ì Ñ ËØ ÔÔ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º ÔØ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º È Ö ÐÐ Ð ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ù Ð Ò Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½¼ Ì Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÅÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½½ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ú ÔÓÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º½¾ Ç ÐÐ Ø Ò Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ½ º½ ÆÓØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ ËØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ø ÓÒ Ó ÆÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÈÖÓ ÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ÐÙ ÈÖÓÔ ÖØ ½ º½ Ñ Ò ÓÒÐ Ë Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ËÓ ØÛ Ö È ¾¼½ º½ ÓÑÑÙÒ ØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¾ º¾ ÌÖ Ò ½ ¾ µ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÙÒØ ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Ç ËÓÐÚ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¼ º º½ ÜÔÐ ØÊÙÒ ÃÙØØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¼ º º¾ ÁÑÔÐ ØÊÙÒ ÃÙØØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½½ º º Ë Ñ ÁÑÔÐ ØÊÙÒ ÃÙØØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¾ º º ÇØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¾ º Ä Ò Ö ËÓÐÚ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¾ º ÖÖÓÖÁÒ ØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ü ÑÔÐ Ó Í º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º½ Ü ÑÔÐ ½ Ä Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º¾ Ü ÑÔÐ ¾ Á ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ò ¾ º º º º º º º ¾½

8 ÇÆÌ ÆÌË

9 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ï Ò Ø Ñ Ô Ñ Ú Ð Ð Ò Ø ½ Ø ÒØÙÖÝ Ò Ò Ö Ó ÖÚ ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ø Ð Ó Ô ÔÖÓÔ ÐÐ Ö Ù Ý Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖ º ÁÒ ½ ½ ÄÓÖ Ê ÝÐ ÄÓÖ ÂÓ Ò Ï ÐÐ Ñ ËØÖÙØØµ ÜÔÐ Ò Ò ÖØ Ð ÇÒ Ø ÔÖ ÙÖ Ú ÐÓÔ Ò Ð ÕÙ ÙÖ Ò Ø ÓÐÐ Ô Ó Ô Ö Ð Ú ØÝ Ø Ø Ñ ÐÐ Ú ÔÓÖ Ù Ð Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÙÖ Ó Ø ÔÖÓÔ ÐÐ Ö Ð Ö Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Øº À Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÐÐ Ô Ó Ù Ð Ø Ó ÐÐ Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ë Ø ÓÒ º º½ Ò ½ º ÙÖ ½º ÓÛ Ø Ò Ó Ú Ø Ø ÓÒ Ñ ÓÒ Ø ÙÖ Ó ÑÓ ÖÒ Ô ÔÖÓÔ ÐÐ Öº ËÑ ÐÐ Ú ÔÓÖ Ù Ð Ò Ð ÕÙ Ö Û Ò Ø ÔÖ ÙÖ Ó Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò Ð ÕÙ ÖÓÔ ÐÓÛ ÖØ Ò Ú ÐÙ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ù Ý ÓÔ Ö Ø Ò Ô ÔÖÓÔ ÐÐ Ö Ø ÓÛ ÓÖ ØÖÓÒ ÓÙÒ Ð º Ì Ø ÐÐ Ú Ø Ø ÓÒº ÖÓÑ Ø Ô Ý Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ø Ù ÓÑÔÓ ÒØÓ Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ò ÓØ Ô Ò ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ú ÔÓÖ Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ì Ù Û Ú ÝÒ Ñ Ð Ô ÓÙÒ ÖÝ Ò Ò Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ò Ö ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö º Ú Ø Ø ÓÒ Ù Ð Ò Ú ÕÙ Ø Ö ÒØÐÝ º º Ø Ý Ò ÔÔ Ö ÑÑ Ø ÐÝ ÓÖ ÖÓÛ ÙÒØ Ð Ø Ý Ö ÙÔ ÒØÓ Ò Ò Ñ Ð Ó Ñ ÐÐ Ö Ù ¹ Ð º Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ò Ó Ù Ð Ò Ð Ó Ò ØÓ Ó ÐÐ Ø º ÓÖ Ò Ø Ò Ò Û ÓÙÒ Ð Ù Ð Ñ Ý Ó ÐÐ Ø Û Ø Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ó Ø ÙÒ¹ ÖÐÝ Ò ÓÙÒ Ð º ÁÒ ØÖÓÒ ÓÙÒ Ð Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ð Ö ÒÓÙ Ù Ø Ø Ø Ù Ð ÓÐÐ Ô ØÓ Ø ÒÝ ÚÓÐÙÑ Ò Ô Ö Ó ÝÐ º Ø Ñ Ù Ð ÓÐÐ Ô Ù ØÓ Ø ÓÑÔÖ ÓÒ Ú ÖÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÔÖ ÙÖ Ò Ó ÖÚ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ù Ð º ÙÖ Ò Ø ÓÐÐ Ô Ó Û Ú Ò Ð Ó Ð Ø Ò Ñ ØØ º Ì Ð ØØ Ö Ô ÒÓÑ ÒÓÒ ÐÐ ÓÒÓÐÙÑ Ò Ò Ò Û Ö Ø ÓÚ Ö Ý Àº Ö ÒÞ Ð Ò Àº Ë ÙÐØ Ò ½ º Ì ÙÔÔ Ö ÕÙ Ò Ó Ô ØÙÖ Ò ÙÖ ½º½ ÓÛ ÓÐÐ Ô Ò Ù Ð Ò Ô Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø ØÖÓÒ ÓÙÒ Ð º Ì Ñ Ü Ñ Ð Ö Ù Ó Ø Ú Ø Ø ÓÒ Ù Ð ½ Ø Ô ØÙÖ µ Ñ ÖÓÑ Ø Ö º Ì ÐÓÛ Ö Ô ÖØ Ó Ø ÙÖ ÓÛ Ø ÒØ ÓÙØ Ó Û Ú Û ÔÖÓÔ Ø ÓÙØ ¼¼ Ñ ÖÓÑ Ø Ö Ò ¼º Ñ ÖÓ ÓÒ º Ì ÔÖÓ Ó Ø Ù Ð ÓÐÐ Ô Ò Ø Ñ ÓÒ Ó Ó Û Ú Ò Ð Ø

10 ½¼ À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÙÖ ½º½ ÓÐÐ Ô Ò Ù Ð ÙÔÔ Ö ÕÙ Ò Ó Ô ØÙÖ µ Ò ÒØ ÓÙØ Ó Û Ú ÐÓÛ Ö ÕÙ Ò µº Ì Ô ØÙÖ Ö Ø Ò ÖÓÑ º Ö Ö ÖÓÑ Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÙÒ Ö ØÓÓ º Ê Ö Ò ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ó Ò Ð Ù Ð Ò Ù Ð Ò Ñ Ð Ö Ó ÒØ Ö Ø Ù Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÓÒ ÁÒ Ù ØÖ Ð ÁÒØ Ö Øº ÌÙÖ Ò ÔÙÑÔ Ô ÔÖÓÔ ÐÐ Ö Ò ÒÓÞÞÐ Ø Ñ Ý Ø Ö ÙÐØ Ò Ó Û Ú Ò Ù Ö ÐÓ Ó ÒÝ Û Ò Ø Ø Ó Ú Ø Ø ÓÒ ÓÙÖ º Å Ð ÁÒØ Ö Øº Ì ØÖÙØ Ú Ú ÓÖ Ó Ú Ø Ø ÓÒ Ò Ð Ó Ó Ò ¹ Ð Ù º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ý ØÓÒ Ò ØÖÓÝ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ ÙÐØÖ ÓÙÒ Û Ù Ú Ø Ø ÓÒ ½ º Ñ Ð ÁÒØ Ö Øº Ì Ñ Ð Ø Ó ÙÐØÖ ÓÙÒ Ö Ö ÙÐØ Ó Ú Ø Ø ÓÒ Ò Ö ÒÚ Ø Ø Ò Ø Ð Ó ÓÒÓ Ñ ØÖÝº ÅÓ Ø Ó Ø ÓÚ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ò Ø Ô ØÙÖ Ó Ø ÓÐÐ Ô Ò Ù Ð Ö Ø Ò ÖÓÑ Êº Ð Ö ÓÑ Ô Ð Ó º Ø Ø Ø Ñ Ó Ø ÛÖ Ø Ò Ò ÒØ Ò Ú ÛÓÖ ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ò ÓÒ Ø Ñ ÖÓ Ò Ñ ÖÓ Ð µ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ò ÖÖ ÓÙØ Û Ø Ò Ø ÔÖÓ Ø Ó Ø ¹ ÆÊË Ö Ö ÖÓÙÔ Å ÖÓ¹Å ÖÓ ÅÓ ÐÐ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ä ÕÙ ¹Î ÔÓÖ ÐÓÛ º Ì ÛÓÖ Ð Ó ÙÔÔÓÖØ Ý Ø Ö Ö ÖÓÙÔº Ì ÔÖ Ò Ó Ó Û Ú Ò Ø Ô Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø ÓÑÔÖ Ð¹ ØÝ Ó Ø Ù Ñ Ý Ú Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ù Ò ÓÒ Ø Ú Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ º Ì Ù Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð ÑÓ Ð ÓÙÐ Ø Ø Ø Ó ÓÑÔÖ Ð ØÝ ÒØÓ ÓÙÒØº Ì Ñ Ò Ö Ò ØÛ Ò Ø Ü Ø Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ÑÓ Ð ÓÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ô ¹ ÒÓÑ Ò ÓÒ Ø Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö ØÛ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô º Ì Ö Ø ÖÓÙÔ Ó ÑÓ Ð Ù ÖÔ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö º Ì Ñ Ò Ø ÒØ Ö ÒÓ Ô Ø Ð Ð Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ò Ò Ö Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö º Ì Ø Ð Ó ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Û Ú Ø Ð Ó Ù ÒØ Ö ÑÓ Ð º À Ö Ø ÒØ Ö Ñ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Þ Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ú ÖÝ Ö Ô ÐÝ ÙØ ÑÓÓØ ÐÝ Û Ø Ò Ø ÒØ Ö Ð Ö ÓÒ ØÛ Ò Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø Ø º

11 ½º½º ÅÇÌÁÎ ÌÁÇÆ ½½ Ì ÑÓ Ð Ø Ø Û ÓÒ Ö ÐÓÒ ØÓ Ø Ð Ó Ù ÒØ Ö ÑÓ Ð Ò Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ó ØÓ ÃÓÖØ Û ¾ ½ ¼½µº À Ö ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û Ø Ø Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ö Ú Ø ÆËÃ ÑÓ Ðµ ÓÒÐÝ Ò Ø ÓØ ÖÑ Ð ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T) + p(ρ) = (τ + K), ½º½µ Û Ø Ù Ø Ð Ò Ø Ð Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ ρ ÒÓØ Ø Ò ØÝ Ò u Ø Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø Ù º ÓÖ Ø ÔÖ ÙÖ p Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÑÙ Ø Ó Ò Ø Ø Ø Ô Ð ØÝ Ó Ö Ò Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ú ÔÓÖ Û ÐÐ Ò Ø Ð ÕÙ Ô º Ì ÑÔÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ø Ò ÓÑÔÐ Ø Ø Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÒÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø ÑÓ Ð Ø Ø Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø Ô º ÁÒ Ø ÑÓ Ð Ø Ò ØÝ Ø Ð Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Öº ÄÓÛ Ò ØÝ Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ø Ú ÔÓÖ Ô Ò Ú ÐÙ Ó Ø Ò ØÝ Ø Ð ÕÙ Ô Û Ø Ò ÙÒÔ Ý Ð Ø Ó Ò ØÝ Ø Ø Ò ØÛ Òº ÁÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ τ ÒÓØ Ø Ù Ù Ð Ú ÓÙ Ô ÖØ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ö Ò ØÓ Ø Ð Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÃÓÖØ Û Ô ÖØ ØÓ Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Û Ú Ò Ý K = λ [(ρ ρ + ] )I ρ ρ ρ T. Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Ò Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Þ Ó Ø ÒØ Ö Ò Ø Ô Ò ÐØÝ Ø ÖÑ ÓÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ º Ì Ù Ø ÒØ Ö Ñ Ò Ñ Þ Ò ÓÑ Ò Û Ò Ø ÓÛ ÔÔÖÓ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Û Ø Ú Ò Ò Ú ÐÓ ØÝº Ì Ó Ù Ò Ò ØÝ Ö ÒØ ØÓ Ô Ò Ð Þ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó ØÓ Ú Ò Ö Ï Ð ½½ ½ µº Ì Ù Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ú Ö Ð Ú ÒØ ÓÚ Ö Ü Ø Ò ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð º ÓÖ Ò Ø Ò ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ð ÙÑÔ ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ó Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒµ ÓÖ Ü ÑÔÐ º Ì Ò Ó ÙÑÔ ÓÒ Ø ÓÒ ÒÓØ Ò ÖÝ ÓÖ Ù ÒØ Ö ÑÓ Ð Ù Ø Ö ÒÓ ÙÑÔ ÖÓ Ø ÒØ Ö º Ì ÆËÃ ÑÓ Ð ÑÔÐ ØÐÝ ÒÐÙ Ø Ô Ý Ð Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð Ò Ò ÜØÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ ØÓ ÒÐÙ Ø Øº ÌÓÔÓÐÓ Ð Ò Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÔÓ Ð Û Ø ÓÙØ Ô Ð ØÖ ØÑ ÒØ Ò Ø ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ ØÖ Ø ÒØ Ö Ý Ä Ú Ð Ë Ø ÓÖ ÎÓÐÙÑ Ó ÐÙ Ñ Ø Ó ÓÖ ÖÔ ÒØ Ö Ñ Ø Ó ¾ º ÙØ Ø Ö Ö Ø ÐÐ ÓÑ Ú ÒØ º Ù ØÓ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ñ ÐÐ Ù ÒØ Ö Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ø Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ø Ø Ñ Ø Ô Ò ÙÐÐÝ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÑÙ Ø Ó Ò ÜØÖ Ñ ÐÝ Ñ ÐÐ ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÑÓ Ø Ø Ò Ö Ñ ÒÒÓØ ÔÔÐ Ù Ó Ø ÔÖ Ò Ó Ø ÙÒÔ Ý Ð ÐÐ ÔØ µ Ö ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ô º ÙÖ ½º¾ ÓÛ Ø Ó Ø Ô Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ò Ø ÛÓÖ º ÁØ ÓÛ ÓÒØ Ò Ö ÐÐ Û Ø Ð ÕÙ Ò Û Ú ÔÓÖ Ù Ð Ò Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò Ð ÕÙ º Ø Ø ÓÐ µ ÓÒØ Ò Ö Û ÐÐ Ü ÓÒ Ø ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÑÔÓ Ò Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒØ Ò Ö Û ÐÐ Ñ Ý ÓÖ Ñ Ý ÒÓØ ÑÓÚ º ÁÒ Û Ö Ø ÓÒØ Ò Ö Û ÐÐ ÑÓÚ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u = 0 ØÓ Ö ÔÐ Ý u = u w Û Ö u w ÒÓØ Ø ÔÖ Ö Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø ÑÓÚ Ò Û ÐÐº Ï Ö

12 ½¾ À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ solid wall liquid liquid vapour bubble(s) liquid solid wall u = 0, θ = const ÙÖ ½º¾ Ë Ø Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ô Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØº ÒØ Ö Ø Ò Ø ÝÒ Ñ Ò Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÖØ Ò Û Ø Ø Ø º Ì Ñ Ò Ó Ð Ó Ø ÛÓÖ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ó ØÛ Ö Ô ¹ ÓÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Ó Ò Ö Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ ÓÙÖ Ò Ö ÓÖ Ö Ö Ú ¹ Ø Ú º Ì Ö ÙÐØ Ò Ñ Ø Ó ÓÙÐ ÓÒ ÑÓ ÖÒ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ù ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò Ñ ÐÓ Ð Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ö ÓÖ Ö Ô Ò Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒº Ì Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð ÓÙÐ Ö Ø Þ Ù Ò Ø Ô º ÄÓ Ð ÔØ Ú ØÝ Ò ÅÈÁ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ö ÓÐÙØ ÐÝ Ò ÖÝ ÓÖ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ò Ø ÔÖÓ Ò Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð Ó Ø Ú Ò Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ º Ì Ö ÙÐØ Ò Ó ØÛ Ö Ô ÓÙÐ Ú Ò Ý ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ù Ø Ø Ø Ò ÐÝ ÔÔÐ ØÓ Ñ Ð Ö ÕÙ Ø ÓÒ º Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ô Ò ÓÙÒ Ò Ø ÔÔ Ò Üº ÙÖ ½º Ð Ó Ô ÔÖÓÔ ÐÐ Ö Ñ Ý Ú Ø Ø ÓÒ Ù Ð º Ì Ô ØÙÖ ÔÙ Ð ÙÒ Ö Ø Ë Ö Ð Ä Ò Úº ¾º º

13 ½º¾º Ê ËÍÄÌË Æ Æ Ï ÇÆÌÊÁ ÍÌÁÇÆË ½ ½º¾ Ê ÙÐØ Ò Ò Û ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ì Ø ÓÒ ÙÑÑ Ö Þ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ò Ø Ø Ø Ñ Ó Ø ÛÖ Ø Ò µ Ò Û ÓÒØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø º Ì Ñ Ò ÓÙ Ó Ø ÛÓÖ Ø Ö Ð Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÕÙ ¹µ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÖÚ Ò Ñ Ö º Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÑÓ Ð Ð Ó Ò Ú ÐÓÔ ÙØ ÒÓØ Ø Ø ÓÖ Ö Ð Ð ØÝ ÑÙ Ø Ò ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Ú Ö ÓÒº Ì Ü Ø Ò Ó ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÐÝ ÔÖÓÚ Ò ÓÖ ÑÓ Ý Ø Ñº Ì Ö Ø Ø Ô Ó Ø ÔÖÓÓ ÔØ ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð Ý Ø Ñ ½º½µ Ò Ë Ø ÓÒ º¾º¾º Ì ÓÒ Ø Ô Ò ÔÓ ÐÝ Ð Ó ÔØ ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð Ý Ø Ñ ÙØ Ø Ø Ò ÐÐÝ Ò Ð Ò Ø Ý Ò Ó ÒÓØ Ø ÔÖÓÔ ÖÐÝ Ò Ø ÛÓÖ º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÖ ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ø Ð Ö Ø Ø Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Ö Ù ØÓ Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì ÖÙ Ð Ô ÖØ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑ¹ ÔÙØ Ø Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÙÐÐÝº Ì ÓÒ Ò Ë Ø ÓÒ º½º Í Ò Ø Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ô Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ù ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò ÒØ ¹ º Ì Ú Ö Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ú Ò Ò ÒÙÑ Ö ÐÐÝº ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ì Ñ Ø Ó ÓÒ Ø ÔÔÖÓ Ú Ò Ò ÙØ ÒÓØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Ò Ö Ð Þ ØÓ ÓÑÔÙØ ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆËÃ ÕÙ Ø ÓÒ º Ï Ú Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Û ÐÐ ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ò Ë Ø ÓÒ º¾º ÁÒ Ë Ø ÓÒ º¾ Û ÓÒ ØÖÙØ Ò Û Û ÐÐ Ð Ò Ö Ø ÓÖ Ö Ñ ÓÖ Ø ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò ÑÙÐ¹ Ø ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ º ÆÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ò Ø Ø Ø Ø Ö Ð Ð Ö Ø Þ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñº Ð Ó Ò Ë Ø ÓÒ º Û ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ú Ò Ò ¾ ¼ Ó ÒÓØ ÔÖÓ Ù Ø ÓÖÖ Ø Ö ÙÐØ Ü ÔØ ÓÖ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ µº ÁÒ Ë Ø ÓÒ º¾º Û Ú Ò Û Ö ÓÖ Ö Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ò º Ì Ò Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ö Ø Þ ¹ Ø ÓÒ ÒÓØ Ð Ñ Ø ØÓ Ø ÆËÃ Ý Ø Ñº ÁØ Ú ÖÝ Û ÐÐ Ù Ø ÓÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò ÖÓÑ Ó¹ ÑÓ Ò Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ù Ù ÐÐÝ ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú º Ï ÔÖÓÚ ÐÐ ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ö ÙÐØ Ò L Ø Ð ØÝ Ø Ñ Ø ÓÖ Ñ ¹ Ö Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ö ÙÐØ Ú Ò Ò ½ ¼ º Ï Ú Ø ÓÑÔÐ Ø Ö ÓÖ Ö Û ÐÐ Ð Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ ÓÖ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº

14 ½ À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø ÛÓÖ Ø Ú ÐÓÔ Ó ØÛ Ö Ô ÓÖ Ø ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ø Ñ Ô Ò ÒØ ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø µ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ì Ô ÔÖÓÚ ÐÓ Ð ÔØ Ú Ø Ð µ Ö Ö Ò Ñ ÒØ Ó ÓÒ ØÛÓ Ò Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÔÐ Ð Ñ º ÐÓ Ð Ò Ò È ÖÅ ÌÁË µ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÅÈÁ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØº Ö ÓÖ Ö ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ò ÒÓÒÓÒ¹ ÖÚ Ø Ú Ö Ø Þ Ø ÓÒº Ö ÓÖ Ö Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÒ ÜÔÐ Ø ÑÔÐ Ø Ò Ñ ¹ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Û ÐÐ ÜÔÐ Ø Ò ÑÔÐ Ø ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ÓÒ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ô º ½º ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ì ÁÒ ÔØ Ö ¾ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÖÓÙÒ Ò Ù Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð ØÓ Ø Ö Û Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÖ Ø ÓØ Ö¹ Ñ Ð Û ÐÐ ÓÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ º Ï ÔÖÓÚ Ø Ñ Ò ÓÒÐ ÓÖÑ Ó Ø ÓÑÔÐ Ø ÑÓ Ð Û ÐÐ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ý ¹ Ð ÕÙ ÒØ Ø º Ì Ô Ý Ð Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔÐ ØÐÝ ÒÐÙ Ò Ø ÑÓ Ð Ò ÓÒØÖ Ø ØÓ ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð Û Ö ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ ÒÐÙ Ý Ñ Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÒØ Ö Ð Ó Ù Ò Ø ÔØ Öº ÁÒ ÔØ Ö Û ÙÑÑ Ö Þ ÓÑ Ó Ø ÒÓÛÒ Ø ÓÖ Ø Ð Ö ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Æ Ú Ö¹ ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ÒÐÙ Ø Ö ÙÐØ ÓÙØ Ô Ð Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Û ÐÐ Ø Ü Ø Ò Ó Ò¹ Ö Ð ÐÓ Ð ÓÖ ÐÓ Ð Ò Ø Ñ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ù Ý¹ÈÖÓ Ð Ñº Ì Ý Ø Ñ Ú ÖÝ ÓÑÔÐ Ø ØÖÙØÙÖ Ù Ø Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ò ÐÝØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ØÓ ÓÙØ Ó ÓÔ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ø Ú Ð Ø ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ú Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ð Ð º ËÓÑ Ó Ø Ô Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ò ÔØ Ö Ø Ý ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ì Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ú Ö Ð Ð ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó Ú ÖÝ ÙÖ Ø ÐÝº Ì Ø Ñ Ò ÔÙÖÔÓ Ó ÔØ Ö º ÔØ Ö Ø ØÓ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ö Ø ÓÖ Ö Ñ º Ø Ö Ö ÒØ Ñ Ï ÔÖ ÒØ Ñ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ Ø Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ø

15 ½º º ÇÍÌÄÁÆ Ç ÌÀÁË ÌÀ ËÁË ½ Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ Ø Ø Ó ÑÙ ØØ Ö Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ñ Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ø Ø ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ú Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÐÝ Ò Ô Ð º Ì Ö ÓÖ Ø Ñ Ó Ú ÖÝ Ð Ñ Ø Ù º Ì ÓÒ Ñ Ø ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø Ò Ò Ö Ð Þ ØÓ Ö ÓÖ Ö Ñ Ù Ò Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ò ÔØ Ö º Ï ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ø Ó Ò Ò Ö Ð Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ô ÖØ Ð Ö Ò¹ Ø Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú ÓÙÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ º Ï Ù Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ù Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÑÓ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº Ò ÐÐÝ Û Ú Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð ÆËÃ Ý Ø Ñ Ò ÓÒ ØÛÓ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ò Ø ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÑÓ Ð Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò¹ ÓÒ Ø ÜØ Ò ÓÒ ØÓ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö µº Ì Ö ÓÖ Ö Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ú ÜÔÐ Ø ÑÔÐ Ø Ò Ñ ¹ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ù Ò ÔØ Ö º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÑÓ ÖÒ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ù ÐÓ Ð Ñ ÔØ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÐÓ Ð Ò Ò Ö ÜØÖ Ñ ÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØº Ì Ø Ò ÕÙ Ö Ù Ò ÔØ Ö º Ï Ø ÓÙØ Ø Ø Ò ÕÙ Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ Ö ÓÐÚ Ù ÒØ Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ò ÓÐÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø Ñ Ù ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Øº ÁÒ ÔØ Ö Û ÔÖ ÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ù Ò Ø Ö ÓÖ Ö Û ÐÐ Ð Ò Ñ º À Ö Û ÙÑÑ Ö Þ Ø Ö ÙÐØ ÓÐÐÓÛ Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ø Û Ö ÕÙ ¹µ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓÛÒº Ì ÜÔ Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ö Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ì Ó ÖÚ Ù Ò Ø Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ Ò ÔØ Ö º ÁÑÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ñ Ö ÐÐÝ Ð ØÓ ÑÓÖ ÒØ Ñ º ÄÓ Ð Ñ ÔØ ÓÒ Ò ÖÝ ÓÖ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ù ÒØ Ö Ò Ð ØÓ ÑÓÖ ÒØ Ñ º Ë ÑÔÐ ÙÖ Ø Ò ØÓÖ ÓÒ Ò ØÝ Ö ÒØ µ Ö Ù ÒØ ØÓ ØÖ Ø ÒØ Ö º ÁÑÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò ÚÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ñ Ø Ô Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Ò Ð ØÓ ÑÓÖ ÒØ Ñ º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ò ÖÝ Ù Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ò Ñ ÑÓÖÝ ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ Ú Ò Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ º ÁØ Ð ØÓ ÑÓÖ ÒÝ Ò Ø Ò Ø Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ø Ö Û Ò ÑÓÖ Ñ Ò Ö Ú Ð Ð º

16 ½ À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ËÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ñ ØÓ Ú ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ÐÝ Ø ÓÖÖ Ø Ô Ý Ð Ú ÓÖº ÀÓÛ Ú Ö Ô Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ð Ó Ø ÒÙ¹ Ñ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÒÓØ ÒÓÛÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ü Ø Ò Ô Ý Ð Ø ÒÓØ Ö ØÐÝ ÓÑÔ Ö Ð ØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ù Ý Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ º Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ó ØÛ Ö Ô ÒÐÙ Ò Ü ÑÔÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ µ Ô Ý Ð Ø Ó ÓÑ Ù ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÒÓØ Ø Ò Ø ÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ ÔØ Ö Ò ÓÙÒ Ò Ø ÔÔ Ò Üº

17 ÔØ Ö ¾ Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø ÅÓ Ð Ì Ñ Ó Ø ÔØ Ö ØÓ Ö Ú Ý Ø Ñ Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÓÛ ÒÐÙ Ò Ø Ø Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ Ö ÐÐÝ Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð ÑÓ Ð Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÓ Ð ØÓ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÐÐÝ ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø À ÐÑ ÓÐØÞ Ö Ò Ö Ý Ó ÒÓØ ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ø Ó Ø Ù Ò Ø Ð Ð µ ÙØ Ð Ó ÓÒ Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÑÓ Ð Ý Ø Ö ÒØ Ó Ø Ò ØÝº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÐÓ Ø Ý Ø Ñ Û ÓÓ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ù Ø ÓÒ Ó Ø ÑÔÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ø Ô Ð ØÓ Ö Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ò Ø Ò ÕÙ Ø ÓÓ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ñ ÒÝ Ù Û Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø Ù ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Ö ÙÐØ Ò ÓÚ ÖÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ÐÓÒ ØÓ Ø Ð Ó Ù ÒØ Ö ÑÓ Ð Ò Ò Ò Ò¹À ÐÐ Ö ØÝÔ ÑÓ Ð ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÝÒ Ñ º Ì ÑÓ Ð ÓÒØ Ò ÓÑ ÒÓÒÐ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ø Ø Ù Ö ÒØ Ø Ø ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ý Ø ÓÒ Ð Û Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º¾º Ì Ö ÒÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ò ÓØ Ö Ù ÒØ Ö ÑÓ Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ ½ º Ä ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ò ØÝ ÓÒÐÝº Ò ÓÚ ÖÚ Û Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó Ù ÒØ Ö Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò ÓÙÒ Ò ½ Ð Ó ½ º ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ù ÙÐ ØÓ Ú Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ò Ñ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÓÒÐ ÓÖÑ Ú Ð Ð º Ï ÔÖÓÚ Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ ÒØ Ø Ò Ø ÖÑ Ó Ö Ø Ð Ú ÐÙ Ò Ø Ó Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ð Ø Ú ÐÙ Ò Ö Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø Ù º Ì Ö Ð Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ñ Ò ÓÒÐ Ú ÐÙ Ú Ò Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÔØ Ö ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ý Ð ÕÙ ÒØ Ø ÙÑÑ Ö Þ Ò Ë Ø ÓÒ º½º ÁÒ Ë Ø ÓÒ º¾ Ø Ò ÖÝ Ô Ý Ð Ú ÐÙ Ö ÔÖÓÚ ÓÖ Ø Ö Ö ÒØ Ù º Ì Ñ ÙÖ Ú ÐÙ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ÆÁËÌ Ø ½¾ º ½

18 ½ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä ¾º½ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ê Ð Ø ÓÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÙÒÒÝ Ù Øº Ì Ö Ø Ø Ñ ÝÓÙ Ó Ø ÖÓÙ Ø ÝÓÙ ÓÒ³Ø ÙÒ Ö¹ Ø Ò Ø Ø ÐÐº Ì ÓÒ Ø Ñ ÝÓÙ Ó Ø ÖÓÙ Ø ÝÓÙ Ø Ò ÝÓÙ ÙÒ Ö Ø Ò Ø Ü ÔØ ÓÖ ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ñ ÐÐ ÔÓ ÒØ º Ì Ø Ö Ø Ñ ÝÓÙ Ó Ø ÖÓÙ Ø ÝÓÙ ÒÓÛ ÝÓÙ ÓÒ³Ø ÙÒ Ö Ø Ò Ø ÙØ Ý Ø Ø Ø Ñ ÝÓÙ Ö Ó Ù ØÓ Ø Ø Ó Ò³Ø ÓØ Ö ÝÓÙ ÒÝ ÑÓÖ º ÖÒÓÐ ËÓÑÑ Ö Ð ÁÒ Ø Ö Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÔØ Ö Û ÔÖÓÚ Ø Ò ÖÝ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÖÓÙÒ º ÅÓ Ø Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú Ò ÐÓÛ Ò ÓÙÒ Ò Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù Ò º ÓÒ À ÐÑ ÓÐØÞ Ö Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ó Ù Û Ò Ò ÐÐ Ø ÖÑÓ¹ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Û Ò Ò Ø ÛÓÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ö Ò Ö Ý Ò Ø Ö Ú Ø Ú º Ï ÔÖÓÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Û Ù ÓÖ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ º Ì Ø Ó ÐÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ø Ò Ö Ð ÓÖÑº Ï Ø Ø Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ó Ü Ø Ò Ó Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ò Ø Ù Ö ÔÓ Ð º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò ÓÓ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ñ ÒÝ Ù Û Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø Ù ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ë Ø ÓÒ º¾º Ì Ö ÓÖ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ØÓ ÜÔÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ñ Ò ÓÒÐ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ö Ø Ð Ú ÐÙ Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ø Ð Ò ØÝ Ò Ö Ø Ð ÔÖ ÙÖ º Ä Ø Ö Ò Ø Ø ÓÒ Û ÔÖÓ¹ Ú Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Û Ø ÐÐ ÙÒÒ ÖÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð ÓÙØº Ì Ö ÙÐØ Ò Ò Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ô ØÝ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÚÓÐÙÑ µ Ð Ø Ø Ø ØÓ Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ö ÒØ Ù º ÁÒ Ë Ø ÓÒ º¾ Û ÔÖÓÚ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ö ÒØ Ù º Ú Ò À ÐÑ ÓÐØÞ Ö Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ f = f(θ,ρ) Ø Ø Ñ Ý Ô Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö¹ ØÙÖ θ Ò Ø Ò ØÝ ρ Ó Ø Ù ÐÐ ÓØ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÛÓÖ µ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ò Ñ ÐÝ Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý e Ø ÒØÖÓÔÝ s Ø ÔÖ ÙÖ p Ò Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð µ Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó θ ρ f Ò Ö Ú Ø Ú Ó fº ÁÒ Ò Ö Ð ÐÐ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö ÙÒØ ÓÒ Ó θ Ò ρº Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ Ð Ð Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ê Ð Ø ÓÒ µ Ú Ò À ÐÑ ÓÐØÞ Ö Ò Ö Ý f(θ,ρ) Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ e(θ,ρ) = f(θ,ρ) θf θ (θ,ρ), ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý, ¾º½µ s(θ,ρ) = f θ (θ,ρ), Ô ÒØÖÓÔÝ, ¾º¾µ p(θ,ρ) = ρ f ρ (θ,ρ), ÔÖ ÙÖ, ¾º µ µ(θ,ρ) = (ρf(θ,ρ)) ρ, Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð. ¾º µ ÆÓØ ÁÒ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù Ù Ó Ø ØÝÔ ÓÒ Ö Ò Ø ÛÓÖ µ Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ñ Ø Ó ÐÐ Ö Ò Ö Ýº Ì Ý Ö ÒÓØ Ø Ñ Ò ÑÙÐØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÒÓØ ÓÒ Ö Ö µº

19 ¾º½º ÌÀ ÊÅÇ Æ ÅÁ Ê Ä ÌÁÇÆË ½ Ì ÑÔÐ Ø Ò ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØµ Ü ÑÔÐ Ó ÓÑÔÖ Ð Ù Ø Ø Ó Ô Ö Ø º Ì Ö Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ú Ò ÐÓÛº Ü ÑÔÐ ¾º½º¾ È Ö Ø µ Ì À ÐÑ ÓÐØÞ Ö Ò Ö Ý ÓÖ Ô Ö Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø ÓÖ Ò ØÓ ¾º½µ ¹ ¾º µµ Ö Ú Ò Ý ( ρ f(θ,ρ) = Rθ log ρ 0 e(θ,ρ) = cθ + cst, ( ρ s(θ, ρ) = R log p(θ, ρ) = Rρθ. ρ 0 ) ( ) θ cθ log + cθ + cst. θ 0 ) ( ) θ + clog, θ 0 ρ 0,θ 0 > 0 Ö Ö Ö Ò Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ò ØÝ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò R,c,cst Ö Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Û Ø R,c > 0º ÒÓØ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ Ü ÑÔÐ Ó ÓÑÔÖ Ð Ù Ø Ú Ò Ö Ï Ð Ù º Ì Ú ÒØ Ó Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ô Ð ØÝ ØÓ Ö Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÐÓÛ Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Ö Ò Ö Ý Ó Ú Ò Ö Ï Ð Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ÕÙ ÒØ Ø Ö Ú Ò Ò Ü ÑÔÐ ¾º½º º Ü ÑÔÐ ¾º½º Ú Ò Ö Ï Ð ÐÙ µ Ì À ÐÑ ÓÐØÞ Ö Ò Ö Ý ÓÖ Ú Ò Ö Ï Ð Ù Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø ÓÖ Ò ØÓ ¾º½µ ¹ ¾º µµ Ö Ú Ò Ý ( ρ f(θ,ρ) = aρ + kθ log b ρ ) cθ log e(θ,ρ) = aρ + cθ + cst, ( ) ( ρ θ s(θ, ρ) = k log + clog b ρ θ 0 ( θ θ 0 ) + c + d, p(θ,ρ) = kb ρθ b ρ aρ, ( ( )) b ρ µ(θ, ρ) = kθ b ρ + log aρ. b ρ ) dθ + cst. ¾º µ À Ö a,b,c,d,k,cst Ö Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Û Ø a,b,c,k > 0 Ò θ 0 > 0 Ö Ö Ò Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ º Ì ÓÚ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ò ÓÖ Ø Ø (θ,ρ) (0, ) (0,b) ÙØ Ø Ø Ø Ô Ô ÖØ ÐÐÝ Ñ Ò Ò Ð ÖÓÑ Ø Ô Ý Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÔÖ ÙÖ Ò ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ô ÖØ Ó Ø Ø Ø Ô º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Û ÐÐ ÐÛ Ý ÓÒ Ö Ú Ò Ö Ï Ð Ù º Ì Ö Ò Ö Ý Ó Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ Ò ÓÙÒ Ò Ð Ó º Ì

20 ¾¼ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä ÓÒ Ø ÒØ c Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÒÓÛÒ Ø Ø Ô ØÝ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÚÓÐÙÑ º ËÓÑ Ó Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò ÓÑ ØØ ÓÖ ÓÙÖ ÔÙÖÔÓ Ù Ø Ý Û ÐÐ ÖÓÔ ÓÙØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò ÙØ Ø Ý Ñ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Û Ò Ø Ð Ñ Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØº Ì Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ñ ÐÐ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖ Ø Ø Ø Ù Ò ÓÒ Ø Ó ÓÒÐÝ ÓÒ Ô µ Ó Ú Ò Ö Ï Ð Ù Ò Ù Ò Ø Ó ÒØ ÖÓÑ Ü ÑÔÐ ¾º½º µ Ý θ crit = 8ab 7k. ÙÖ ¾º½ ÓÛ Ø ÔÖ ÙÖ p Ò Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð µ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ò ØÝ ρ ÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ü Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ÐÓÛ Ø Ò ÓÚ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ñ ÐÐ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù Ø Ø Ø Ö Ô Ó p Ò µ Ö ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ ÒÖ Ò º θ < θ crit θ = θ crit θ > θ crit θ < θ crit θ = θ crit θ > θ crit p µ ρ ρ ÙÖ ¾º½ Ö Ô Ó ÔÖ ÙÖ Ð Øµ Ò Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ö Øµ ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÐÓÛ Ø ÓÚ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö Ô Ó Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ö Ô Ó Ø Ñ¹ Ð ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ø Ó ØÛÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÖ Ò Ö Ò Ô Ö Ø Ý ÑÓÒÓØÓÒ Ö Ò Ö Ò Ø Ó ÐÐ ÐÐ ÔØ Ö ÓÒº Ì Ú ÓÖ Ñ Ø ÔÓ Ð ØÓ ¹ Ö Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ô Ò Ú Ò Ö Ï Ð Ù º Ì Ö Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÒÖ Ò Ö Ò Ó p Ò µ Ò Ø Ú ÔÓÖ Ô Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ð ÕÙ Ô º Ì ØÛÓ Ö Ò Ö ÓÒÒ Ø ÑÓÓØ ÐÝ Ý Ø ÐÐ ÔØ Ö ÓÒ Û Ø Ó ÙÒÔ Ý Ð Ø Ø º ÓÚ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒÐÝ ÓÒ Ô Ü Ø Ò Ø Ø Ù ÐÐ ÙÔ ÖÖ Ø Ðº Ö Ô Ó Ø ÔÖ ÙÖ Û Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÓ Ñ ÙÖ Ö Ð ÛÓÖÐ Ø ÓÖ Ö ÒØ Ù Ò ÓÙÒ Ò Ø ÓÒ º¾ ÙÖ º º Ó Ø Û Ø Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö Ø Ð Ò ØÝ ρ crit Ò Ö Ø Ð ÔÖ ÙÖ p crit Ö Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Ø p¹ Ö Ô Ø Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Í Ò

21 ¾º½º ÌÀ ÊÅÇ Æ ÅÁ Ê Ä ÌÁÇÆË ¾½ Ø Ó ÒØ ÖÓÑ ÓÚ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ö Ú Ò Ý ρ crit = b 3, p crit = 7 ab. Í Ò Ø Ö Ø Ð Ú ÐÙ θ crit ρ crit Ò p crit Û Ò ÒØÖÓ Ù Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ Ø ÔÖ ÙÖ p( θ, ρ) = p crit p(θ crit θ,ρcrit ρ) = 8 θ ρ 3 ρ 3 ρ ¾º µ Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ó ÒØ k,a Ò b ÒÝÑÓÖ º Ø ÓÒ ÐÐÝ Û ÒØÖÓ Ù Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ýº Ï ÓÓ Ö Ö Ò ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý e ref = p crit ¾º µ ρ crit Ø Ø Ò Ò Ö Ð ÒÓØ Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ø Ø Ö Ø Ð Ú ÐÙ θ crit Ò ρ crit º Ì Ñ Ò ÓÒÐ ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ò Ý Û Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ô Ö Ñ Ø Ö ẽ( θ, ρ) = e(θ crit θ,ρcrit ρ) e ref ( ) = cθ crit θ aρcrit ρ e ref = ρ ( ) crit p crit cθ crit θ 3 ρ p crit ρ crit = c θ 3 ρ ¾º µ c = θ crit ρ crit p crit c. ¾º µ ÙÖØ Ö Û Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ö Ò Ö Ý f ÒØÖÓÔÝ s Ò Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð µ Ý f( θ, ρ) = e ref f(ρ crit ρ,θ crit θ), s( θ, ρ) = µ( θ, ρ) = θ crit e ref s(ρ crit ρ,θ crit θ), e ref µ(ρ crit ρ,θ crit θ). ËÓÑ Ó Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ö Ò Ö Ý ¾º µ Ó Ú Ò Ö Ï Ð Ù Ö ÒÓØ ÑÔÓÖØ ÒØ ÐÓÒ Û Ò Ð Ø Ñ Ð Ö Ø ÓÒ º º Ø ÓÒ Ø ÒØ Û ÐÐ ÖÓÔ ÓÙØ Ó ÐÐ ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Û ÓÒ Öº Ì Ù Û Ò ÓÓ θ 0 = θ crit d = c cst = 0º Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø ÓÚ Ö ÙÐØ Ò Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð Ù º ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÓÑ Ø Ø Ø Ð ÝÑ ÓÐ Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ø Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ ÒØ Ø º

22 ¾¾ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä Ü ÑÔÐ ¾º½º Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÐÙ µ f(θ,ρ) = 3ρ + 8 ( ) ρ 3 θ log + cθ( log(θ)), ¾º½¼µ 3 ρ e(θ, ρ) = 3ρ + cθ, ¾º½½µ s(θ,ρ) = 8 ( ) ρ 3 log + clog(θ), ¾º½¾µ 3 ρ p(θ,ρ) = 8θρ 3 ρ 3ρ, ¾º½ µ µ(θ,ρ) = 8 ( ) 3 3 θ 3 ρ + log ρ 6ρ, ¾º½ µ 3 ρ Û Ö Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ø Ô ØÝ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÚÓÐÙÑ c Ö Ð Ø ØÓ Ø Ô Ý Ð ÕÙ ÒØ ØÝ Ý ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µº ÆÓØ Ì Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ ÒØ Ø Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ö Ò Ö Ý Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º½µ ¹ ¾º µº Ò Ø ÓÒ ¾º½º Ä ÕÙ Ò Î ÔÓÖ È Ò Ú Ò Ö Ï Ð ÐÙ µ ÓÖ Ü Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ < θ crit Ð Ø ρ v (0,b) ÒÓØ Ø Ø Ø Û Ö p Ò µ Ú Ø Ö ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ò ρ l (0,b) Ø Ø Ø Ó Ø Ö ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑº Ì Ò Ø Ô Ó Ú Ò Ö Ï Ð Ù Ö Ò Ý (0,ρ v ) : Ú ÔÓÖ Ô, (ρ v,ρ l ) : ÐÐ ÔØ ÓÖ Ô ÒÓ Ð Ö ÓÒ, (ρ l,b) : Ð ÕÙ Ô. À Ö b ÕÙ Ð ØÓ Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ º Ò Ø ÓÒ ¾º½º Å ÜÛ ÐÐ ËØ Ø Ò Ú Ò Ö Ï Ð ÐÙ µ Ä Ø θ < θ crit Ü Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Ò Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø ρ M v (0,ρ v ) Ò ρ M l (ρ l,b) Ö ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ p(θ,ρ M v ) = p(θ,ρm l ), µ(θ,ρ M v ) = µ(θ,ρm l ). ¾º½ µ ¾º½ µ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ø ÓÒ º º ÙÖ ¾º¾ ÓÛ Ø Ô Ò Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ó Ú Ò Ö Ï Ð Ù ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Å ÜÛ ÐÐ Ú ÐÙ Ò Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ë Ø ÓÒ ¾º º Ì Ø {ρ M v (θ) θ (0,θ crit )} {ρ M l (θ) θ (0,θ crit )} Ð Ó ÐÐ ØÙÖ Ø ÓÒ ÙÖÚ Ø Ô Ö Ñ ¾º º

23 ¾º½º ÌÀ ÊÅÇ Æ ÅÁ Ê Ä ÌÁÇÆË ¾ p µ µ, p ρ v ρ l ρ M l ρ M v ÙÖ ¾º¾ Ö Ô Ó ÔÖ ÙÖ Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÐÐ ÔØ Ö ÓÒº Ì Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø ρ M v (θ) Ò ρ M l (θ) Ó Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð Ù Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ø ÓÖÑÙÐ ρ M v (θ) ρ M l (θ).0 θ (.0.5(.0 θ)),.0 + θ ( (.0 θ)). ÆÓØ Ì ÓÖÑÙÐ Ö Ó Ø Ò Ý ÙÖÚ ØØ Ò Ò Ò Ù Ø ÖØ Ò Ù ÓÖ Æ ÛØÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ü Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º Ì ÓÚ ÓÖÑÙÐ Ú ÕÙ Ø ÙÖ Ø Ö ÙÐØ Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ò θ [0.6,.0]º ÒØ ÒÓÚ ¾ Ú Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò Ö Ý Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ò¹ Ø Ø ÓÖ Ø Û Ò Ø Ö Ò Ö Ý ÒÓØ ÓÒÐÝ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø Ø θ Ò ρ ÙØ Ð Ó Ô Ò ÓÒ Ø ÒÓÖÑ Ó Ø Ò ØÝ Ö ÒØ α = ρ º Ì Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ò ØÝ Ö ÒØ ÑÓ Ð Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ö Ð Ò ÐÐÓÛ Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÒØ Ö ØÓ Ó Ò Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ø Ò º ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò Ö Ý ÒØ ÒÓÚ Ù Ø Ø Ø Ø Ù Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÒØÖÓÔÝ Û ÙÑ ØÓ Ô Ò ÓÒ Ø Ò ØÝ Ö ÒØº Ì Ó Ù Ò Ö ÒØ Ó Ø Ò ØÝ ØÓ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ö Ó ØÓ Ú Ò Ö Ï Ð ½½ Û Ó Ú Ø ÓÖÝ ÓÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð ÔÖ Ò ÔÐ º Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÜØ Ò Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ê Ð Ø ÓÒ µ Ä Ø Ò ÜØ Ò Ö Ò Ö Ý f = f(θ,ρ,α) Ú Òº Ì Ò Ø ÜØ Ò ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ò ÒØÖÓÔÝ Ö Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ e(θ,ρ,α) = f(θ,ρ,α) θf θ (θ,ρ,α), s(θ,ρ,α) = f θ (θ,ρ,α). ¾º½ µ ¾º½ µ

24 ¾ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä 3 metastable liquid liquid ρ M v (θ) ρ M (θ) l ρ v (θ) ρ (θ) l ρ elliptic region metastable vapour vapour θ 0.9. supercritical fluid ÙÖ ¾º È Ö Ñ Ó Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð Ù º ÓÖ ÙÒØ ÓÒ ϕ = ϕ(θ,ρ,α) Û Ö α Ø Ò ÓÖ ρ Û Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ [ϕ] ρ = ϕ ρ (ϕ α ρ) ¾º½ µ ÓÖ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Ø Ù Ò Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù ¾ º ÒØ ÒÓÚ ¾ Ú Ð Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÜØ Ò ÔÖ ÙÖ Ò Ò ÜØ Ò Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ðº Ï Ó ÒÓØ Ù Ø ÕÙ ÒØ Ø ÜÔÐ ØÐÝ ÙØ ÓÖ Ø Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Û Ð Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÔÓ ÒØ p = ρ [f] ρ, µ = [ρf] ρ, Û Ö Û Ú Ù Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Ú Ò Ò ¾º½ µº ¾º¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÅÓØ ÓÒ Ì Ø ÓÒ Ø ØÓ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÑÓØ ÓÒ Ó Ù Ò ÓÑ ÓÑ Ò Ω R 3 ÓÒØ ÒÙÓÙ Ñ ÙÑº Ì ÑÓØ ÓÒ Ó Ø Ù ÓÚ ÖÒ Ý Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ý Ð Ð Û Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ñ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙÑ Æ ÛØÓÒ ÓÒ Ð Ûµ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ý Ö Ø Ð Û Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ µ Ò ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ð Û Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ µº ËÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ÙÐØ Ò ÓÚ ÖÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø Ý ÐÐ Ó Ø ÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ Ô Ý Ð ÔÖ Ò ÔÐ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º¾º

25 ¾º¾º ÉÍ ÌÁÇÆË Ç ÅÇÌÁÇÆ ¾ ÓÒ Ø Ê ÝÒÓÐ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÖ Ñ ¾ Û Ö Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ñ Ó Ù Ò ÓÑ Ò Ω R 3 º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÙÑ Ø Ø ÐÐ ÔÔ Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ö Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ º Ä Ø ÒÓØ ω(t) Ω Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ Ø Ø ÚÓÐÚ Ò Ø Ñ º Ì Ò Ø Ò ØÝ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ó Ø Ù Ú ØÓ Ø Ý ØÓ ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ñ d ρ dx = 0, dt ω(t) ¾º¾¼µ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Æ ÛØÓÒ ÓÒ Ð Ûµ d ρu dx = Pn dσ, dt ω(t) ω(t) ¾º¾½µ Ø Ò Ö Ý Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Û Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ µ d ρ (e + ) dt u ω(t) dx = ω(t) Pu n q E n dσ, ¾º¾¾µ Ò Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ð Û Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ µ d ρs dx = s prod dx q dt S n dσ. ω(t) ω(t) ω(t) ¾º¾ µ ÁÒ Ø ÓÚ Ö Ð Ø ÓÒ ρ = ρ(x,t) > 0 ÒÓØ Ø Ò ØÝ Ó Ø Ù u = u(x,t) R 3 Ø Ú ÐÓ ØÝ θ = θ(x,t) > 0 Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø Ù º ÙÖØ Ö e = e(θ,ρ,α) Ø Ò Ö Ð Þ Ô ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ò s = s(θ,ρ,α) Ø Ò Ö Ð Þ Ô ÒØÖÓÔÝ Ó Ø Ù º À Ö Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò α Ø Ò ÐÛ Ý ÓÖ ρ º Ì Ò Ö Ð Þ ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ò ÒØÖÓÔÝ Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø Ò Ö Ð Þ Ö Ò Ö Ý Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º½ µ ¾º½ µº P R 3 3 ÒÓØ Ò Ö Ð ÝÑÑ ØÖ ØÖ Ø Ò ÓÖ q E R 3 Ò Ö Ð Ø ÙÜ q S R 3 Ò Ö Ð ÒØÖÓÔÝ ÙÜ Ò s prod > 0 Ò Ö Ð ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒº Ì Ý Û ÐÐ Ô Ò ÓÒ Ø Ú Ö Ð ρ u θ Ò ÓÒ Ö Ú Ø Ú ÔÓ ÐÝ Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú µ Ó Ø Ú Ö Ð º ÆÓØ Ì ÝÑÑ ØÖÝ Ó Ø Ò Ö Ð ØÖ Ø Ò ÓÖ P ÑÔÐ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ò ÙÐ Ö ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾ º ÓÖ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÓÒ Ø ÒÝ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÓØ ÖÛ Ø Ú ÓÖ Ó Ø Ù ÛÓÙÐ ÙÒÔ Ý Ðµ Ø Ø Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ s prod ÒÓÒÒ Ø Ú º Í Ò Ø Ø Ö¹ ÑÓ ÝÒ Ñ Ö Ð Ø ÓÒ ¾º½ µ Ò ¾º½ µ Û Ö Ú Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ P Ò Ø Ø ÙÜ q E Ø Ø Ò ÙÖ Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÒÓÒÒ Ø Ú º

26 ¾ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä Í Ò Ê ÝÒÓÐ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÖ Ñ Ø Ù Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ø Ø Ø ω(t) Ò Ó Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ ÓÖ Ø Ð ¾ µ Û Ö Ú ÖÓÑ Ø ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾¼µ ¹ ¾º¾ µ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ Ò Ö ÒØ Ð ÓÖÑ D ρ = ρ u, Dt ¾º¾ µ ρ D Dt u = P, ρ D Dt e = q E + P : u, ρ D Dt s = q S + s prod. ¾º¾ µ ¾º¾ µ ¾º¾ µ Û Ö D Dt = t + u ÒÓØ Ø Ñ Ø Ö Ð Ö Ú Ø Ú º Ù Ò Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾ µ Ò Ø Ò ÖÙÐ ( ) D Dt e = D e θ Dt θ + e D ρ Dt ρ + e α ρ ( (ρ u) u T ρ) ¾º¾ µ Û Ö Ú Ø Ö Ð Ø ÓÒ P : u q E = ρ D Dt e ( ) D = ρ e θ Dt θ + e D ρ Dt ρ + e α ρ ( (ρ u) u T ρ) = ρe θ D Dt θ (ρ ue α ρ) ( ρ e ρ I ρ (e α ρ)i ρe α ρ I + ρe α ρ ρ T) : u. ÁÒ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÓÐÓÖ Ø ÖÑ ÖÓÑ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò ÜØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓØ Ö Ý ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø ÓÐÓÖ Ø ÖÑ Û Ø Ø Ö Ñ Ò Ò Ø ÖÑ µº Í Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ¾º½ µ Ø Ú ρe θ D Dt θ = ( P + ρ [e] ρ I + ρe α ( ρ ρ T ρ I) ) : u (q E ρ ue α ρ ). ÆÓÛ Ù Ò e θ = θs θ Ò f = e θs ¾º½ µ Ò ¾º½ µ Û Ø

27 ¾º¾º ÉÍ ÌÁÇÆË Ç ÅÇÌÁÇÆ ¾ ρs θ D Dt θ = ( P + ρ ( [f] ρ + ρf α ρ ρ T ρ I )) : u θ + θ ( ρ [θs] ρ + ρθs α ( ρ ρ T ρ I )) : u θ (q E ρ uf α ρ ) + θ (ρ uθs α ρ ) = ( P + ρ ( [f] ρ + ρf α ρ ρ T ρ I )) : u θ ( ) θ (q E ρ uf α ρ) θ (q E ρ uf α ρ) θ + ( ρ ( (θ[s] ρ s α ρ θ) + ρθs α ρ ρ T ρ I )) : u θ + θ (ρ uθs α ρ ). ÙÖØ Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø D ρs ρ Dt ρ ρs α ρ ( (ρ u) u T ρ) = ( ρ ( (θ[s] ρ s α ρ θ) + ρθs α ρ ρ T ρ I )) : u θ + θ (ρ uθs α ρ ). Í Ò Ø Ò ÖÙÐ ¾º¾ µ ÓÖ s Ò Ø Ó e Û Ò ÐÐÝ ÖÖ Ú Ø ρ D Dt s = ( P + ρ ( [f] ρ + ρf α ρ ρ T ρ I )) : u θ ( ( qe ρ uf α ρ )) θ θ ( qe ρ uf α ρ ) θ. Ï ÑÙ Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓÒÒ Ø Ú ÙÒØ ÓÒº Ì Ú Ö ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ö Ð Ó ÃÓÖØ Û ØÝÔ º Ò Ø ÓÒ ¾º¾º½ ÃÓÖØ Û ØÝÔ Ñ Ø Ö Ðµ Ï ÐÐ Ñ Ø Ö Ð Ù µ ØÓ Ó ÃÓÖØ Û ØÝÔ Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Ø Ø ÙÜ Ò

28 ¾ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä Ø ÒØÖÓÔÝ ÙÜ Ö Ú Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ P = ρ [f] ρ I ρf α ( ρ ρ T ρ I ) + τ, ¾º¾ µ q E = ρ uf α ρ κ θ, ¾º ¼µ q S = κ θ, ¾º ½µ θ s prod = θ τ : u + θ κ θ. ¾º ¾µ τ = µ ( u + u T) + ν ui ÒÓØ Ø Ù Ù Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ Ì Ò ÓÖ µ Ò ν Û Ø µ > 0, µ + 3ν 0 Ø Ó ÒØ Ó Ú Ó ØÝ Ò κ > 0 Ø Ó ÒØ Ó Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝº Ì Ó ÒØ µ,ν Ò κ Ñ Ý Ô Ò ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ò ØÝº ÆÓØ Ø Ø Ø Ó ÒØ ν Ñ Ø Ò Ø Ú ÙØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ+3ν 0 Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓÒÒ Ø Ú ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾ º ØÝÔ Ð Ó ÓÖ Ø Ó ÒØ Ó Ú Ó ØÝ µ > 0 Ò ν = 3 µ Û Ô Ý ÐÐÝ ÓÖÖ Ø ÓÖ ÓÒ ¹ ØÓÑ º Ì ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ø ÙÜ ÓÒØ Ò Ø Ð Ð ÓÒ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ËØÓ Ò ÓÙÖ Ö Ð Û Û ÐÐ ÒÓÒÐ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó ρ Û Ö Ø ÒØÖÓÔÝ ÙÜ Ò ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒØ Ò ÓÒÐÝ Ø Ð Ð ÓÒ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ º Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÚ Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º¾ Ä Ø Ñ Ø Ö Ð Ó ÃÓÖØ Û ØÝÔ Ú Ò Ò Ð Ø (ρ,u,θ) Ù ¹ ÒØÐÝ ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ¾º¾ µ ¾º¾ µ ¾º¾ µº Ì Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÒØÖÓÔÝ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾ µ Û Ø Ø ÒØÖÓÔÝ ÙÜ Ú Ò Ý ¾º ½µ Ò ÔÓ Ø Ú ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ú Ò Ý ¾º ¾µ º º Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ò ÖÓÑ Ø Ô Ý Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº ÆÓØ Ì ÓÚ Ú Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ö Ð Ó ÃÓÖØ Û ØÝÔ ÒÓØ Ø ÓÒÐÝ ÒÓÛÒ Û Ý ØÓ Ò ÙÖ Ø ÔÓ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒº ÁØ ÔÓ Ð ØÓ ÒÓÒÐ ¹ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÒØÖÓÔÝ ÙÜ Ò ÚÓÖ Ó Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ø ÙÜº Ì Ö ÙÐØ Ò Ø Ð Ð ÓÙÖ Ö Ð Û ÓÖ Ø Ø ÙÜ Ø ÔÔ Ò Ü Ò º ¾º Ì Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ËÝ Ø Ñ ÓÖ Ø Ô Ð Ó Ó Ø ÜØ Ò Ö Ò Ö Ý f(θ,ρ,α) = f vdw (θ,ρ) + λ ρ α ¾º µ Û Ö f vdw ÒÓØ Ø Ú Ò Ö Ï Ð Ö Ò Ö Ý ¾º µ Ò λ > 0 ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾ µ ¹ ¾º¾ µ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ Ö ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + p = (τ + K), E t + ((E + p)u) = ((τ + K)u) q E. ¾º µ ¾º µ ¾º µ

29 ¾º º ÁÅ ÆËÁÇÆÄ ËË ÇÊÅ Ç ÌÀ ÆËÃ¹Ë ËÌ Å ¾ À Ö K = λ [( ρ ρ + ρ ) I ρ ρ T] ÒÓØ Ø ÃÓÖØ Û Ô ÖØ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ p = p(θ,ρ) Ø ÔÖ ÙÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ú Ò Ö Ï Ð Ö Ò Ö Ý E = ρ ( e(θ,ρ) + u ) + λ ρ Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ó Ø Ù Ò q E Ø Ø ÙÜ ÖÓÑ ¾º ¼µº Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ λ ρα Ò ¾º µ Ó Ò Ù Ø Ø Û ÖÖ Ú Ø Ø Ð Ð Æ Ú Ö¹ ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ú Ò Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º º ½ µº ÒØ ÒÓÚ Ù Ø ÓÒØÖ ¹ ÙØ ÓÒ λθα Ò Ø ¾ º À ØØÓÖ Ò Ä Ø Ø Ø Ø Ø Ó λα Ñ Ø ÑÓÖ Ô Ý Ð ÙØ ÓÑÔÐ Ø ØÓ Ò Ð ÖÓÑ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û º ÓÖ Ø ÃÓÖØ Û Ô ÖØ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Û Ú Ø Ù ÙÐ ÒØ ØÝ K = λρ ρ. ¾º µ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ô ÖØ Ó Ý Ø Ñ ¾º µ ¹ ¾º µ ÒÓØ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ø Ø Ô Ù Ó Ø Ô Ó Ø ÔÖ ÙÖ p ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Ö ÙÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Ð Ú ÓÖ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ô ÖØ Ó Ø Ø Ø Ô ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø Ý Ø Ñ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò º º ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ø Ö ÓÒ Ê Ñ ÒÒ¹ËÓÐÚ Ö Ò ÐÙÜ¹Î ØÓÖ¹ËÔÐ ØØ Ò Ñ ÒÒÓØ ÔÔÐ ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ø Ð Ø ÒÓØ Ò Ø Ô ÖØ Ó Ø Ø Ø Ô Û Ö Ø ÓÙÒ Ô Ñ Ò ÖÝµº Ì ÃÓÖØ Û Ô ÖØ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ K Û Ö Ø Ú Ò Ý ÃÓÖØ Û ¾ Ò ½ ¼½º Ì Ö Ø Ò ØÝ Ö ÒØ ÑÓ Ð ÒÓÒÐÓ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÑÓÐ ÙÐ Û Ø Ò Ø Ð ÕÙ Ú ÔÓÖ ÒØ Ö º Ì Ý Ø Ñ Ú Ò Ý ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ ¹ ¾º µ Ò ÓÙÒ Ò Ø ÓÖÑ Ò ½ º ÁÒ ÔØ Ö Û Ú ÓÑ Ö Ö Ò ØÓ Ø ÓÖ Ø Ð Ö ÙÐØ Ó Ø Û Ø Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº ¾º Ñ Ò ÓÒÐ ÓÖÑ Ó Ø ÆËÃ¹ËÝ Ø Ñ Ï ÔÖÓÚ Ñ Ò ÓÒÐ Ð Ò Ó ÐÐ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ò Ñ Ø ÕÙ ÒØ Ø Û Ú Ò ÙÔ ØÓ ÒÓÛ Ò Ø Ø ÓÒº Ì Ö ÙÐØ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ø Ø Ü ØÐÝ Ø Ñ ØÖÙØÙÖ Ò Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó Ó ¹ ÒØ Ý Ø Ñ ¾º µ ¹ ¾º µº Ì Ö Ö Ò Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ø Ö Ø Ð Ú ÐÙ Ó Ø Ù º ÏÓÖ Ò Û Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú ÐÙ Ò ÜØÖ Ñ ÐÝ Ù ÙÐ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ò ØÝ Ú ÐÓ ØÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÖ ÙÖ Ò ÓØ Ö Ú ÐÙ Ö ÐÛ Ý ÐÓ ØÓ Ø Ú ÐÙ º Í Ò Ñ Ò ÓÒÐ Ú ÐÙ Ñ Ø Ý ØÓ Û Ò Ò ÒØ Ö Ñ ÐÐ ÓÖ Ð Ö ÓÖ Û Ò Ú Ó ØÝ ØÓÓ Ñ ÐÐ ØÓ Ö ÓÐÚ ÒÙÑ Ö ÐÐÝº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ù Ó Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ ÒØ Ø Ó ÒÓØ ÑÔÖÓÚ Ø ÒÝ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó º ÁØ Ù Ø Ú Ð Ö Ö Ø Ó Ø ØÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ÜÔÖ ÓÒ Ð ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ó ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ý ÒÓØ Ñ Ò ÓÖ Ô Ý Ð Ú ÐÙ Û Ò Ú ØÓÖ Ú ÐÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÒØ ÙÒ Ø ÓÖ Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ º ÐÐ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ñ Ò ÓÒÐ Ò Ô Ý Ð ÕÙ ÒØ Ø Ú Ò Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô¹ Ø Ö Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ë Ø ÓÒ º½º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÐÙ Û Ø Ø Ð ÒÓØ Ñ Ò¹

30 ¼ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä ÓÒÐ ÕÙ ÒØ Ø Û Ö Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÐÙ Û Ø ÓÙØ Ø Ø Ð ÝÑ ÓÐ ÒÓØ Ø Ó Ø Ô Ý Ð ÓÒ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ö Ú Ñ Ò ÓÒÐ Ý Ø Ñ Û Ø Ü ØÐÝ Ø Ñ ØÖÙØÙÖ Û ÓÓ Ò Û Ð Ú Ö Ð ÒÓØ Ý Ø Ð ÝÑ ÓÐ µ ÓÐÐÓÛ x = L x, L > 0 Ö Ö Ò Ð Ò Ø, ¾º µ t = T t, T > 0 Ö Ö Ò Ø Ñ, ¾º µ ρ = m L 3 ρ, m > 0 Ö Ö Ò Ñ Ò Ù L3, ¾º ¼µ u = L T ũ, L T Ö Ö Ò Ú ÐÓ ØÝ, ¾º ½µ θ = θ crit θ, θcrit Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ, ¾º ¾µ (µ,ν) = m ( µ, ν), Ú Ó ØÝ, ¾º µ LT λ = L7 mt λ, Ô ÐÐ Ö ØÝ, ¾º µ κ = ml κ, θ crit T 3 Ø ÓÒ ÙØ ÓÒ. ¾º µ Ì ÓÒÐÝ ÒÓÒ¹ Ø Ò Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µ ÓÖ Ø Ô ÐÐ Ö ØÝ Ó ÒØ λº Ì Ð Ò ØÛ Ò Ø Ô Ý Ð Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ô ÐÐ Ö ØÝ Ó ÒØ Ó Ò Ù Ø Ø Ø Ò Ð Ý Ø Ñ Ü ØÐÝ Ø Ñ ØÖÙØÙÖ Ø ÓÖ Ò Ð Ý Ø Ñº Ì Ö Ö Ò Ð Ò Ø L Ù Ù ÐÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÑ Ò Ω ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ð Ò Ø Ó Ù Ø Ø ÓÒØ Ò Ωº Ï Ò Û Ú Ó Ò L Û ÒØ Ý Ø Ö Ö Ò Ñ m Ò Ö Ö Ò Ø Ñ T Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ρ crit = m L3, ¾º µ p crit ρ crit = L T. ¾º µ ÙÖØ Ö Û ÓÓ Ø Ö Ö Ò ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý ØÓ Ó Þ e ref = L T. ¾º µ Í Ò Ø Ð Ò ¾º µ ¹ ¾º µ Ø Ñ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö ρ crit T ρ t + ρ critl LT ( ρũ) = 0, Û Ö ( ) t ÒÓØ Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ø Ñ Ú Ö Ð t Ò Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ô Ú Ö Ð xº Ï Ø Ø Ð Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ¾º µ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ð Ò

31 ¾º º ÁÅ ÆËÁÇÆÄ ËË ÇÊÅ Ç ÌÀ ÆËÃ¹Ë ËÌ Å ½ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò ρ crit L T ( ρũ) t + ρ critl LT = ml L 3 T ( + ρ crit L7 L 3 mt ( ρũũ T ) + p crit L p( θ, ρ) µ( ũ + ũ T ) + ν ) ũi [ λ ( ρ ρ + ρ )I λ ρ ρ T ]. Ì ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ò ØÝ Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú ÐÙ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý E = ρ crit ρ (e ref ẽ( θ, ρ) + L = ρ crit L T ( T ũ ) + L7 ρ crit λ L mt ρẽ( θ, ρ) + ρ ũ + λ ρ ) ρ = ρ crit L T Ẽ. À Ö Û Ú Ù Ø Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý ¾º µ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µ ¹ ¾º µº Ì Ù Ò ÐÐÝ Ø Ò Ö Ý Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ ρ crit L T 3 Ẽ t + ρ crit L 3 ( ) LT 3 (Ẽ + p( θ, ρ))ũ = ml L 3 T 3 ( τũ) + ρ crit L8 + mlθ crit L θ crit T 3 L 3 mt ( ) 3 Kũ ) ρ crit L8 ( κ θ L 3 mt 3 ( λ ρ ũ ρ ). τ Ò K ÒÓØ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Æ Ú Ö¹ËØÓ Ò ÃÓÖØ Û Ô ÖØ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖº T ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø Ñ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ý ρ crit Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ý T T Lρ crit Ø Ò Ö Ý Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ý 3 L ρ crit Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µ ¾º µ Ú Ø Ñ Ò ÓÒÐ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ρ t + ( ρũ) = 0, ( ρũ) t + ( ρũũ T ) + p( θ, ρ) = ( τ + K), Ẽ t + ( ) (Ẽ + p( θ, ρ))ũ = ( ( τ + K)ũ ) + ( κ θ λ ρ ) ũ ρ. Ì Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ö Ú Ò Ý ¾º µ ¾º µ Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø Ô Ý Ð ÓÒ Ý Ø Ð Ò ¾º µ ¹ ¾º µº

32 ¾ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä ¾º ÁÒÐÙ Ò Ö Ú ØÝ ÍÔ ØÓ ÒÓÛ Û Ú Ò Ð Ø ÜØ ÖÒ Ð ÚÓÐÙÑ ØÖ µ ÓÖ Ù Ö Ú ØÝ Ò Ø ÓÙÖ º Ì Ò Ø Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ÑÙ Ø ÑÓ ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + p = (τ + K) + ρg, E t + ((E + p)u) = ((τ + K)u) q E + ρg u + Q. Û Ö Ø ÚÓÐÙÑ ØÖ ÓÖ g R n Ò Ø Ø ÓÙÖ Q R Ñ Ý Ô Ò ÓÒ Ô Ò Ø Ñ Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ðº ÁÒ Ø Ó Ö Ú ØÝ g ÑÔÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Ú ØÓÖº Í Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ø Ô Ý Ð Ò Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ ÓØ Ö Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ g = L g, ¾º µ T L Q = ρ crit T Q. 3 ¾º ¼µ ¾º ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÌÝÔ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ω ÓÖ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÓÑÓ Ò ÓÙ Ö Ð Ø Ø ÓÖ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð ÒÓ¹ Ð Ôµ Ò Ö Ð Ø Ø ÓÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º u = 0, θ = θ b, ¾º ½µ ¾º ¾µ Û Ö θ b Ú Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ωº Ù Ó Ø ÔÖ Ò Ó Ø Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö º Ì Ø ÓÒ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ù Ú Ø Ø Ø Ø Ø Ý ÓÒØÖÓÐ Ø ÓÒØ Ø Ò Ð Ó Ù ÒØ Ö Ø Ø ÓÙÒ ÖÝº Ì ÑÔÐ Ø Ó ρ n = 0, ¾º µ Û Ô Ð ÓÖÑ Ó ρ n = cos ϕ, ρ ¾º µ Û Ö ϕ Ø ÓÒØ Ø Ò Ð ØÛ Ò ÒØ Ö Ò ÓÙÒ ÖÝ º º ϕ Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ø Ö Ð Ó Ø Ù Û ÐÐ ÓÒ Ø Ñ Ø Ö Ð Ó Ø ÓÙÒ ÖÝº

33 ¾º º ÌÀ ÁËÇÌÀ ÊÅ Ä Ë liquid interface vapour ϕ wall ρ ρ ϕ n ÙÖ ¾º ÓÒØ Ø Ò Ð Ó Ù ÒØ Ö º ¾º Ì Á ÓØ ÖÑ Ð Ì Ñ Ò ÓÙ Ó Ø ÛÓÖ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ö Ð Ð ÒÙÑ Ö ¹ Ð Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº ÁÒ Ø ÓØ ÖÑ Ð º º Û Ò Ð Ø Ø Ò Ö Ý Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø Ø Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ Ø Ý Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ö Ù ØÓ ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + p(ρ) = (τ + K), ¾º µ ¾º µ Û Ø Ø ÒÓ¹ Ð Ô ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º ½µ Ò Ø Ö ¾º µ ÓÖ ¾º µ µº À Ö Ø Ö Ò Ö Ý f vdw Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ò ØÝ ρ Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÔÖ ÙÖ Ú Ò Ý p(ρ) = ρ fρ vdw (ρ)º Ì Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒÐÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Û ÔØ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù Ø Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÐÐÓÛ º ÁÒ Ø Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µ Û Ú Ø ÓÒ ÐÐÝ Ò Ò Ö Ý Ý ÕÙ Ø ÓÒº Ä ÑÑ ¾º º½ Ä Ø (ρ,ρu) Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ µ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º ½µ Ò ¾º µº Ì Ò Ø Ò Ö Ý Ý ÕÙ Ø ÓÒ d dt Ø Û Ö E = ρ Ò α = ρ. ÈÖÓÓ º Ï Ø Ω E(ρ,ρu,α) dx = (f(ρ) + u Ω τ : u dx 0 ¾º µ ) + λα ÒÓØ Ø ØÓØ Ð Ô Ý Ð Ò Ö Ý Ò ØÝ W(ρ) = ρf vdw (ρ). ¾º µ Ì Ò Ù Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ ÙÖ ¾º µ Û Ú Ø Ö Ð Ø ÓÒ p(ρ) = ρw (ρ) W(ρ) ¾º µ ÓÖ Ø ÔÖ ÙÖ º Ï ÑÙÐØ ÔÐÝ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ Û Ø (W (ρ) u ) Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ý uº ËÙÑÑ Ø ÓÒ Ó ÓØ Ô ÖØ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø ÓÑ Ò

34 À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä Ω Ú Ω ) (W (ρ) u (ρ t + (ρu)) +u ((ρu) t + (ρuu T ) + p(ρ) τ K ) dx = 0. Ï Ö ÔÐ Ø Ø ÖÑ K Ù Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µ Ý Ö ÓÖ Ö Ò Ø Ø ÖÑ Û Ø Ω W (ρ)ρ t u ρ t + u (ρu) t dx = Ω u τ dx Ω Ω Ω λρu ρ dx u (W (ρ) ρ + p(ρ)) + W (ρ)ρ u dx u (ρuu T ) u (ρu) dx. Ï ÔÔÐÝ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ ØÓ Ø ÓÐÓÖ Ø ÖÑ º ÐÐ ÓÙÒ ÖÝ ÒØ Ö Ð Ú Ò Ù ØÓ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u = 0 ÓÒ Ωº d dt W(ρ) + d ) (ρ u dx + λ (ρu) ρ dx dt Ω = Ω Ω τ : u dx Ω Ω u (W(ρ) + p(ρ) W (ρ)ρ) dx ( ) u u (ρuu T ) + ρu dx. ÆÓÛ Û Ù Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÐ Ø Ø ÖÑ (ρu) Ý ρ t Ò Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ø Ð Ø Ò Ò Ò Û Ô Ö ÓÖÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ ÓÒ Ø Ø ÖÑº Ì Ö ÙÐØ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÒØ Ö Ð Ú Ò Ù Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ρ n = 0 ÓÒ Ωº Ì ÓÒ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ò Ù Ó Ø ÒØ ØÝ ¾º µº Ì ÒØ Ö Ò Ò Ø Ð Ø ÒØ Ö Ð Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÖÑº ) (ρ u Ω d dt W(ρ) + d dt = Ω dx + τ : u dx Ω Ω λ ρ t ρ dx (ρ u u ) dx. Ì Ð Ø ÒØ Ö Ð Ú Ò Ù ØÓ Ø Ù Ø ÓÖ Ñ Ò u = 0 ÓÒ Ωº Ò ÐÐÝ Û Ø d dt Ω W(ρ) + ρ u + λ ρ dx = Ω τ : u dx 0.

35 ¾º º ÌÀ ÁËÇÌÀ ÊÅ Ä Ë Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ º º Ø Ý Ø Ø Ó¹ ÐÙØ ÓÒ Û Ö Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ú Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ò Ø ÓÑ Ò Ωº Ì Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø ÓÒº Ï Ø Ø Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ¾º º¾ Ä Ø Ω ÓÒÒ Ø Ò Ð Ø (ρ,ρu) ÑÓÓØ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ º º ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ø ρ t = 0 Ò u = 0 Ò Ω (0, )º Ì Ò Ø Ò ØÝ Ø Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø ÓÒ µ(ρ) λ ρ = cst, ¾º ¼µ Û Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓØ ÒÓÛÒ Ò µ ÒÓØ Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð ¾º µ Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ÓØ ÖÑ Ð º ÈÖÓÓ º ÐÐ Ø ÖÑ ÒÐÙ Ò u Ò Ø Ö ÒØ Ó u Ø Ñ Ò τ ÖÓÔ ÓÙØ Ò ÓÒÐÝ Ø ÔÖ ÙÖ Ò ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò p(ρ) = K. Í Ò Ø ÒØ ØÝ p ρ (ρ) = ρµ ρ (ρ) ¾º µ ¾º µ Ò Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Û Ó Ø Ò Ò Ø Ö ÓÖ Û Ú ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º µ(ρ) = λ ρ µ(ρ) λ ρ = cst, ÖÓÑ ÒÓØ Ö ÔÓ ÒØ Ó Ú Û ÕÙ Ø ÓÒ ¾º ¼µ Ø ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ä Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Öµ ÓÖ Ø Ñ Ò ¹ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ W(ρ) + λ ρ dx min, ¾º ½µ Ω Û Ø Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ñ ÓÒ ÖÚ ρ dx = m, Ω ¾º ¾µ Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ W Ò Ò ¾º µ Ò m ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØº Ì Ò¹ Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ¾º ½µ ÓÒ Ø Ó Ø ÓØ ÖÑ Ðµ ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ò Ø ÃÓÖØ Û Ô ÖØ Ó Ø Ò Ö Ýº Ù Ó Ú Ò Ü Ñ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÙÐ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ðº ÖÓÑ ¾º ½µ ÓÒ Ò Ð ÖÐÝ Ø Ø Ø ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ø Ð Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÓÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ð Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑµ Ù Û Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙÖ Ø Ö ÒØ Ó Ø Ò ØÝ Ð Ö º Ì Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ¾º ½µ ¾º ¾µ Ò Ø ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ ¾º ¼µ ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò Ú Ò Ô Ý Ð Ñ Ò Ò ØÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λ Ò Ø ÃÓÖØ Û Ø ÖÑº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ð Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑµ Ò ÓÑ Ò º Ì Ò ÜØ Ø ÓÒ Ø ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖ Ø Ð ÖÓÙÒ ÙÑÑ Ö Þ Ò Ë Ø ÓÒ º½º

36 À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä ¾º ËÙÖ Ì Ò ÓÒ Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ì Ó Ð Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ Ö Ð Ø Ø Ó ÒØ λ Ò Ø ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ ØÓ Ø Ô Ý Ð Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒº ÓÖ Ø Ø ÓÖ Ø Ð ÖÓÙÒ Ë Ø ÓÒ º½º ÁÒ ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð º º ÑÓ Ð Û Ö Ø Ò ÖÓÑ ÓÒ Ô ØÓ ÒÓØ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø ÒØ Ö Ø Ð Ø Ó Ñ ÙÖ Þ ÖÓ Ø Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ ÑÓ Ð Ý Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Ø Ø Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ë Ø ÓÒ º º½º ÁÒ ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÓÖ Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÓÛ Û Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÑ Ò Ω ÒØÓ ØÛÓ Ø ÒØ Ù Ø Ω v,ω l Ø Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ô ÖØ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò Ò ÒØ Ö Ó Ñ ÙÖ Þ ÖÓº Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò ØÝ Ò Ø Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ô ÖØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÙ ÒÓØ Ý ρ v ρ l Ò Ø Ý Ø Ý Ñ Ò Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÓÙÒ ¹Ä ÔÐ Ð Ûµ Ò Ô ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ p(ρ l ) p(ρ v ) = (n )σk m, µ(ρ l ) µ(ρ v ) = 0, ¾º µ ¾º µ Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ö Ò Ð Ó º ÍÔ ØÓ ÒÓÛ Û Ú ÐÛ Ý ÓÒ Ö Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ò ÓÖ Ö ØÓ ÑÓÖ Ò Ö Ð Û ÓÒ Ö Ø n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÓÖ n º k m ÒÓØ Ø Ñ Ò ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø ÒØ Ö Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ σ ÒÓØ Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ó Ø Ù º ÆÓØ Á ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò Ð Ø σ = 0µ Ò Ò Ø ÔÐ Ò Ö Ø Ú ÐÙ ρ v Ò ρ l Ö ÕÙ Ð ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ú ÐÙ ¾º½ µ ¾º½ µº Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ð Ó Ù ÒØ Ö ÑÓ Ð Ø ÑÓÓØ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò ÖÓÑ ÓÒ Ô ØÓ ÒÓØ Öº Ì Ù Û ÒÒÓØ ÑÔÐÝ ÓÑÔÓ Ø ÓÑ Ò Ò Ð ÕÙ Ô ÖØ Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Ò Ò ÒØ Ö Ó Ñ ÙÖ Þ ÖÓ Û ÓÙÐ Ò Ø Ó ÖÔ ÒØ Ö ÑÓ Ð º ÙØ Ò Ø Ó ÓÙÖ ÑÓ Ð Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Û Ò Ò Ø ÒØ Ø Ω v Ω Ω l Ω Ω i Ω Û Ø Ω v Ω l Ω i = Ω Ù Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò ØÝ Ø Ø ρ v Ò ρ l Û Ø ρ ρ v Ñ ÐÐ Ò Ω v ρ ρ l Ñ ÐÐ Ò Ω l Ò Ø Ñ ÙÖ Ó Ø ÒØ Ö Ω i Ñ ÐÐº Ë Ë Ø ÓÒ º½ ÓÖ Ö ÓÖÓÙ ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø ÓÚ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ º ÃÖ Ù Ò Ö Ý Ö ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ò Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ô ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÚ Ö ÙÔ ØÓ Ò ÖÖÓÖ Ó Ö ÓÖ Ö Ò Ø Ó ÒØ λµ Ò Ø Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ì Ý ÓÛ Ø Ø p(ρ l ) p(ρ v ) = (n )c 0 λkm + o( λ), µ(ρ l ) µ(ρ v ) = o( λ). ¾º µ ¾º µ Ï Ö c 0 = ρ M l ρf(ρ) ρµ(ρ M v ) + p(ρm v ) dρ. ¾º µ ρ M v

37 ¾º º ËÍÊ Ì ÆËÁÇÆ Ì ËÌ ÌÁ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ Ì Ù ÓÑÔ Ö Ò ¾º µ Ò ¾º µ Û Ò ÒØ Ý Ø Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔÐ ØÐÝ ÒÐÙ Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ σ = c 0 λ. ¾º µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ o( λ) Ò Ð Ø º ÆÓØ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ Ò ÝÑÔØÓØ ÓÖÑÙÐ ÓÖ λ 0º Ì Ö ÓÖ Ø ÒØ ¹ Ø ÓÒ Û Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ ¾º µ Ñ Ý Ñ Ò ÓÒÐÝ Ò Ö Ñ Û Ö λ Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐº ÁÒ Ë Ø ÓÒ º½º¾ Û ÔÔÖÓÚ Ý ÒÙÑ Ö Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ Ò Ø ÝÑÔØÓØ Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ñ Ó ÓÙÖ ÒØ Ö Ø Ò Ò Ø ÒØ Ø ÓÒ Û Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ñ Ò Ò Ø Ó ÓÙÖ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ º ÁÒ Ò Ö Ð Ø Ö Ò Ö Ý f Ò Ø Ö ÓÖ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ú ÐÙ Ò Ø Ó ÒØ c 0 Ô Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Í Ò Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ö Ð Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ö Ø Ð Ú ÐÙ º º ρ crit ρ = ρ Ò θ crit θ = θ Û Ú c 0 (θ) = ρ M l (θ) ρf(θ,ρ) ρµ(θ,ρ M v (θ)) + p(θ,ρ M v (θ)) dρ ρ M v (θ) = ρ crit pcrit c 0 ( θ), Û Ö Ø Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ ÒØ ØÝ c 0 Ò Ý c 0 ( θ) = ρ M l ( θ) ρ f( θ, ρ) ρ µ( θ, ρ M v ( θ) + p( θ, ρ M v ( θ)) d ρ. ρ M v ( θ) Ì Ó ÒØ c 0 Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ø ÓÖÑÙÐ c 0 ( θ).0 θ ( 6.4 (.0 θ) 0.7 (.0 θ) ). ¾º µ Ì ÓÖÑÙÐ Ó Ø Ò Ý ÙÖÚ ØØ Ò Ò Ú ÕÙ Ø ÙÖ Ø Ö ÙÐØ Ò Ø Ñ Ò¹ ÓÒÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ò θ [0.6,.0]º Í Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µ Ò Ø Ð Ò ¾º µ Ø Ú ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ó ÒØ λ Ø ÒØ ØÝ ( ) σ(θ crit θ) λ =. ¾º ¼µ L p crit c 0 ( θ) ÆÓØ Ì Ó ÒØ λ Ô Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ Ò Ò Ö Ð Û Ö Û Ú ÙÑ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ðº Ì Ù Ø ØÓ Ü ØÓ ÓÑ Ñ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÑÓ Ð Ò ØÓ Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ÓØ ÖÑ Ð ÑÓ Ðº

38 À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä ¾º ÁÒØ Ö Ï Ø Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ Ú Ò Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º µ ÓÛ Ø Ø Ø Û Ø Ó Ø Ù ÒØ Ö ØÛ Ò Ø Ô ÑÙ Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ λº Ì ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö Ñ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ø Ð Ö ØÖ ÖÝ ÙÔ ØÓ ÓÑ Ö µº Ï Ú ÔÓ Ð Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ò Ø ÒØ Ö Û Ø Ò Ë Ø ÓÒ º½º Í Ò Ø ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ÓÑÔÙØ ÔÖÓ Ð Ó Ø Ø Ù Ð ÓÖ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ö ÒØ Ó ÒØ λ Û Ò Ø ÖÑ Ò Ø Û Ø Ó Ø ÒØ Ö w(θ,λ)º ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ó ÖÚ Ë Ø ÓÒ º½ Ô ÐÐÝ º µµ Ø Ø Ø ¹ Ñ Ò ÓÒÐ ÒØ Ö Û Ø w( θ, λ) Ó Ñ Ò ÓÒÐ Ù Ò ÖÓÙ ÐÝµ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ø ÓÖÑÙÐ w( θ, λ) = 5.4 θ λ. Ì Ú ÖÝ ÖÓÙ ÓÖÑÙÐ ÙØ ÕÙ Ø Ù ÙÐ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ð Ø Ø Ø ÓÒ Ø Ó Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ò ÓÖ ÖÓÙ Ø Ñ Ø Ó Ø ÒØ Ö Þ º ÆÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö¹ Ñ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ù Ø Ð ÒØ Ö Þ Ó Ø Ò Ø Ð Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ð ØÝ Ó ÓÐÙØ ÓÒ º ÇØ ÖÛ Ò Ø Ð Ø Ö Ó ÖÚ º Ì ÓÚ ÓÖÑÙÐ Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ù Ð º Ì ÒØ Ö Þ Ñ Ý Ð Ó Ô Ò ÓÒ Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ô ÓÙÒ ÖÝº ËÙ Ø Ö ÒÓØ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ ÙØ Ø ÓÙÐ ÒÓØ Ñ Ö Ò º ¾º½¼ Ê Ð Ø Ä Ò Ø Ë Ð Ì Ó Ð Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð ÔÓ Ð Ñ Ø Ö L max Ó ÓÑ Ò Ø Ø Ò Ó Ò ÓÖ Ö Ð Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÓÛ Û Ò ÐÐ Ô Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ù Ø ÓÖÖ ØÐÝº Ì Ñ Ò Ó Ò Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ º Ì Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ø L max ÜØÖ Ñ ÐÝ Ñ ÐÐ Ò Ø Ñ ÖÓÑ Ø Ö Ö Ñ µº Ï ÙÑ Ø Ø Ø Ñ Ø Ö Ó Ø Ñ Ò ÓÒÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ º Ï ÙÑ Ø Ø Ø Ñ Ò Ñ Ð ÔÓ Ð ÒØ Ö Ø Ø ÑÙ Ø Ö ÓÐÚ Ý Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ w min = º Ì Û Ø ÔÓ Ð Ø Ø Ñ Ó Ø ÛÖ Ø Ò Û Ò ÐÐ ÑÓ ÖÒ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ù ÐÓ Ð Ñ ÔØ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Ò Ò Ö ÓÖ Ö Ñ Ö ÓÑ Ò Ò ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÖÙÒ ÓÒ Ñ ÒÝ ÔÖÓ ÓÖ Ò ÓÖ Ñ ÒÝ Ý ÔÓ ÐÝ Û µº Í Ò Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÒØ Ö Û Ø ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø Ð Ò ÓÖ λ ÖÓÑ ¾º ¼µ Û Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ L max Ò Ø ÖÑ Ó w min Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ö Ø Ð Ú ÐÙ º L max = 5.4 θ ref σ( θ) w min p crit c 0 ( θ ref ) ¾º ½µ Ò Ü ÑÔÐ Û ÓÓ Û Ø Ö Ø Ö ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º

39 ¾º½½º ÊÌÁ Á Á Ä ÆÄ Ê Å ÆÌ Ç ÌÀ ÁÆÌ Ê Ü ÑÔÐ ¾º½¼º½ Ï Ø Ö Ø Ö ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ µ Ï ÓÓ Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒÐ Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ref = 0.85 θ ref = 0.90 Ò θ ref = 0.95º Ù ÓÚ Û ÓÓ Ø Ñ Ò Ñ Ð ÔÓ Ð ÒØ Ö Þ Ò Ø Ö Ø Ð ÔÖ ÙÖ Ó Û Ø Ö w min = p crit = N m, Ë Ø ÓÒ º¾ Ò Ì Ð º½º Í Ò Ø ÓÖÑÙÐ ¾º µ Û Ú ÓÖ Ø Ó ÒØ c 0 c 0 (0.85) = 0.5, c 0 (0.90) = 0.9, c 0 (0.95) = 0.0 Ò ÓÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ ÖÓÙ ÐÝ Ù ÒØµ Û Ò Ñ Ù Ó ÙÖ º σ(0.85) =.0 0 N m, σ(0.90) =. 0 N m, σ(0.95) = N m. Ö ÙÐØ Ù Ò Ø ÓÖÑÙÐ ÓÚ Û Ø L max (0.85) = m, L max (0.90) = m, L max (0.95) = m. Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ð Ö Ø ÔÓ Ð ÓÑ Ò ÓÖ Ö Ð Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ò Ø Ñ ÖÓÑ Ø Ö Ö Ñ º Ì Ø Ð Ø ÓÒ ÓÖ ØÛÓ ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ ØÓÓ Ñ ÐÐ ÓÖ Ö Ð Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ò Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÒ ½º½º ¾º½½ ÖØ Ð ÒÐ Ö Ñ ÒØ Ó Ø ÁÒØ Ö Ï Ú Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ò Ø Ø Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÓÛ Ò ÑÙÐ Ø Ù Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð ÑÙ Ø ÜØÖ Ñ ÐÝ Ñ ÐÐ Ò Ø Ñ ÖÓÑ Ø Ö Ö Ñ µº Ì Ù Ø Ù ÒØ Ö ÑÙ Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÓÐÚ Ý Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ º ÇÒ Û Ý ØÓ ÓÚ ÖÓÑ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÒÐ Ö Ø ÒØ Ö Ý ÒÖ Ò Ø Ó ÒØ λº Ì Û Ø Ó Ø ÒØ Ö Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ λº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ ÓÖ ÒÖ Ø Ø Ð Ó ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ λº ÁÒ Û Ö ÓØ Ö ÓÖ Ó ÒÓØ Ò ÒØÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò Ø Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò ÒÓØ ÒÖ Û Ø ÓÙØ Ò Ò Ø ÝÒ Ñ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø ÔÔÖÓ ÒÒÓØ ÔÔÐ º ÁÒ Ò ÔÔÖÓ ÔÖ ÒØ ØÓ ÖØ ÐÐÝ ÒÐ Ö Ø ÒØ Ö Û Ø ÓÙØ Ò Ò Ø Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒº ÙØ Û Ø Ø ÔÔÖÓ Ø Ò ÖÝ ØÓ Ò Ø Ú ÓÖ Ó Ø Ù Ý Ö ÔÐ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø º Ì ØÓ Ö ÔÐ Ø Ú Ò Ö Ï Ð

40 ¼ À ÈÌ Ê ¾º ÊÁÎ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ ÅÇ Ä ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ý ÑÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ù Ø Ø ÖØ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ö ÔÖ ÖÚ ÓÖ Ò ØÝ Ø Ø ÐÓ ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º Ì Ù Ò Ø ÔÔÖÓ Ø ÑÓ Ð ÑÓ Ò Ø Ö ÓÖ Û Ó ÒÓØ ÓÒ Ö Ø ÔÔÖÓ Ò Ø ÔÖ ÒØ ÛÓÖ Ò Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ú Ð Ø ÓÒ Ò ÔÔÐ Ð ØÝ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ðº

41 ÔØ Ö ËÙÑÑ ÖÝ Ó Ì ÓÖ Ø Ð Ê ÙÐØ Ï Ú ÙÑÑ ÖÝ Ó Ü Ø Ò Ø ÓÖ Ø Ð Ö ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº ÁÒ Ø Ö Ø ØÛÓ Ø ÓÒ Û Ù Ø Ü Ø Ò Ó Ô Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ º ÍÒ Ö ÓÑ ÙÑÔØ ÓÒ Ø ØÝÔ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ý ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÐÚ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ü Ø Ò ÓÖ Ò ÖÝ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ Ö º Ï Ó Ø Ò Ø Ò ÜØ ÔØ Ö Ù Ø Ø Û Ú Ø Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ñ Ö ÓÖ ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ú Ð Ð º ÒÓØ Ö Ô Ø Ó Ø Ö Ø Ø ÓÒ Ø Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ø Ø ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ò Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ ÑÔÐ ØÐÝ ÒÐÙ º Ì Ø Ö Ø ÓÒ Ø ØÓ Ø Ù ÓÒ Ó Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ º º ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Û ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñº º½ ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ËÓÐÙØ ÓÒ Ò ËÙÖ Ì Ò ÓÒ Ì Ç Ø Ú Ó Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ Ó Ø Ü Ø Ò Ó Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ö ÓÖÓÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÐ Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò Ø ÑÓ Ð ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò º Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ø ÓÒ Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ü ØÓ Ú ÐÙ ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù Ø Ø Ø Ù Ò ÙÒ Ö Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ º ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾º º¾ ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆËÃ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º ¼µº Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ÐÓÛº Ä Ø Ω R n Ò ÓÔ Ò ÓÙÒ ÓÑ Ò Ò Ð Ø f ÒÓØ Ø Ö Ò Ö Ý Ó Ò ÓØ Ö¹ Ñ Ð Ú Ò Ö Ï Ð Ù º Ï Ò W(ρ) = ρf(ρ)º ÓÖ ÓÒ Ø ÒØ m > 0 Ð Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ε > 0 Ò ρ ε H (Ω) Û ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ñ Ò Ω ÓÒ ÖÚ Ω W(ρ ε (x)) + ε ρε (x) dx min, ½ Ω ρ ε (x) dx = m. º½µ

42 ¾ À ÈÌ Ê º ËÍÅÅ Ê Ç ÌÀ ÇÊ ÌÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ø Ö Þ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø Ñ Ò ¹ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º½µº ÑÓÓØ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º½µ Ø Ø ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ W (ρ ε ) ε ρ ε = c ε Ò Ω, º¾µ Û Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ c ε R Ø Ä Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾ º Ý Ò Ø ÓÒ Ó W Ø ÙÒØ ÓÒ W ÕÙ Ð ØÓ Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð µ Ò Ø ÓÒ ¾º½º½µ Ò Ø Ù ÕÙ Ø ÓÒ º¾µ Ø Ñ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º ¼µº À Ö Ø Ó ÒØ λ Ö ÔÐ Ý ε º ÙÖØ Ò Ò Å Ø ÒÓ ÔÖÓÚ Ø Ü Ø Ò Ó Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º½µ º ÙÖØ Ò Ò Å Ø ÒÓ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ Ý ÅÓ Ò Ø Ö ÙÐØ Ý ÃÖ Ù Ò Ö Ý Ö Û Û ÐÐ Ù Ò Ø ÔØ Ö Ö ÒÓØ Ö ØÖ Ø ØÓ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø º Ì Ö ÙÐØ Ö Ú Ð ÓÖ Ò Ö Ð ÓÙ Ð Û ÐÐµ Ö Ò Ö Ý f Û Ø ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ Ø Ð º Ì ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ø Ý Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ü ØÓ ÓÑ Ú ÐÙ ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø Ö ÙÐØ Ý ÙÖØ Ò Ò Å Ø ÒÓ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ º½º½ ÙÖØ Ò Å Ø ÒÓ µ Ä Ø ε > 0º µ Ì Ö Ü Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö ρ ε Ó Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º½µº µ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö ρ ε ÓÒØ Ò Ò C 3 (Ω) Ø Ø ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ º¾µ Ò Ò ØÙÖ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ρ ε n = 0 ÆÓØ Ì ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µº ÓÒ Ω. ÅÓ ÓÒ Ö Ñ ÐÝ Ó ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö (ρ ε ) ε>0 Ó Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ º½µº À ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ ε 0 Ù ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö Ò L (Ω) ØÓ ÓÑ Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ ρ 0 Ø Ø ÙÑ ÓÒÐÝ ØÛÓ Ú ÐÙ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø µ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö Ò Ø ÖÔµ ÒØ Ö ØÛ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ø Ú ÔÓÖ Ô Ñ Ò Ñ Þ Ò ÓÑ Ò º ÓÖ Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó ÅÓ Ö ÙÐØ Û Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú Ò ÐÓÛº ÓÖ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ u L (Ω) Û Ò { } Du(x) dx = sup u(x) ψ(x) dx ψ C (Ω), ψ. Ω Ω ÓÖ ÓÑ Ñ ÙÖ Ð Ø E R n Û Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó E Ò Ω Ý P Ω [E] = Dχ E (x) dx. Ω ÁÒ Ø ÓÚ Ò Ø ÓÒ χ E ÒÓØ Ø Ö Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø Eº Ì Ô Ö Ñ ¹ Ø Ö Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø (n )¹ Ñ Ò ÓÒ Ð À Ù ÓÖ Ñ ÙÖ º º E Ω Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÝÔ Ö ÙÖ Ø Ò H n ( E Ω) ÕÙ Ð P Ω [E]º

43 º½º ËÌ ÌÁ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ ËÍÊ Ì ÆËÁÇÆ Ì ÓÖ Ñ º½º¾ ÅÓ µ ÓÖ ε > 0 Ð Ø ρ ε ÒÓØ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º½µ Ò Ð Ø m [ρ M v Ω, ρ M l Ω ]º µ Ì Ö Ü Ø ÕÙ Ò (ε k ) k N Û Ø lim ε k = 0 ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÕÙ Ò Ó k ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö ρ ε k Ò ÙÒØ ÓÒ ρ 0 L (Ω) Ù Ø Ø µ ÓÖ Ø ÙÒØ ÓÒ ρ 0 Û Ú lim k ρε k ρ 0 L (Ω) = 0. ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö Ò ρ 0 BV (Ω)º ρ 0 = ρ M v ÓÖ ρ 0 = ρ M l µ Ì Ø U v = {x Ω ρ 0 (x) = ρ M v } Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø ÓÑ ØÖ Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ { } P Ω [U v ] = min P Ω [F] F Ω, F = ρm l Ω m ρ M. v ÙÖØ ÖÑÓÖ Û Ò Ø Ø U l = Ω\U v º ÁÒ Ø Û Ö Ø Ñ Ò Ò ØÝ Ú ÐÙ ØÛ Ò Ø ØÛÓ Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø ÅÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ò Ø Ð Ñ Ø ε 0 Ù ÕÙ Ò Ó ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ º½µ ÓÒÚ Ö ØÓ ÙÒØ ÓÒ ρ 0 Ò L (Ω) Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ρ 0 ÙÑ ÓÒÐÝ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ò Ø ÒØ Ö ØÛ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ñ Ò Ñ Þ º ÖÓÑ Ø Ô Ý Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ñ Ò Ñ Ð ÒØ Ö Ø ÓÖÖ Ø Ú ÓÖ ÙØ Ø Ð Ó Ñ Ò Ø Ø Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ú ÔÓÖ Ô ÕÙ Ð Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ð ÕÙ Ô º Ï Ú ÓÖ Ø Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ø Ø ρ l Ò ρ v p(ρ l ) p(ρ v ) = 0, Ò ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÓÙÒ ¹Ä ÔÐ Ð Û ¾º µ Ð Ó Ø Ø ÑÙ Ø Ø Ý Ø Ô Ý Ð Ö Ð Ú ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ρ M l p(ρ l ) p(ρ v ) = (n )σk m. ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÙÒ ¹Ä ÔÐ Ð Û Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ñ Ò ÙÖÚ ØÙÖ k m Ó Ø ÒØ Ö ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ º º Ø ÒØ Ö µ ÓÖ Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò Ð Ø µº ÀÓÛ Ú Ö ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ý Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò ÒÒÓØ Ò Ð Ø Ò ÑÓ Ø º Ì Ö ÓÖ Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ ρ 0 Ó Ú ÓÙ ÐÝ ÒÓØ Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ô Ý Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ò Ò Ø ÖÔ ÒØ Ö µ¹ð Ñ Ø ε 0 Ø Ö ÒÓ ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ð Øº Ì Ù Ø ÓÚ ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÒÒÓØ ÓÐÚ Ý Ø ÖÔ ÒØ Ö Ð Ñ Øº ÆÓÛ Ø ÒÓØ ÓÓ Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ ÙØ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ρ ε ÖÓÑ Ø Ð Ñ Ø ÔÖÓ ÓÖ ÓÑ Ñ ÐÐ Ú ÐÙ ε > 0 Ø Ö Ð Ú ÒØ ÓÐÙØ ÓÒº ÁÒ Ø Û Ú Ù ÒØ Ö Ò Ò Ø ÒØ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ρ ε Ò Ö Ô ÐÝ ÖÓÑ ÓÒ Ò ÖÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø ØÓ ÒÓØ Ö Ò ÖÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø º Ï ÒÒÓØ ÓÑÔÓ Ø ÓÑ Ò ÒØÓ Ú ÔÓÖ Ò

44 À ÈÌ Ê º ËÍÅÅ Ê Ç ÌÀ ÇÊ ÌÁ Ä Ê ËÍÄÌË Ð ÕÙ Ø U v U l Ò Ò ÒØ Ö I Ó Ñ ÙÖ Þ ÖÓ ÙØ Û Ò ÓÑÔÓ Ø ÒØÓ Ø Û v Ûl Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ρ ε Ò ÖÐÝ ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø Ø º Ò ÐÐÝ Ø Ù ÒØ Ö Î Ó ÒÓØ Ú Ñ ÙÖ Þ ÖÓ ÙØ Ñ ÐÐ Ñ ÙÖ º Ì Ù Ø ÐÐ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ø Ñ ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö ε > 0 Ù Ø Ø Ø ÓÙÒ ¹ Ä ÔÐ Ð Û Ò Ø Ô ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µ Ö Ø Ò ÓÑ Ò º ÃÖ Ù Ò Ö Ý Ö ÓÛ Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ε > 0 Ò ÒØ Û Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò Ø Ý Ú Ò ÝÑÔØÓØ ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ö Ð Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ε ØÓ ÙÖ Ø Ò ÓÒº Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø Ñ Ò Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÛÓÖ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ º½º ÃÖ Ù Ö Ý Ö µ Ä Ø (ε k ) k N Û Ø lim ε k = 0 ρ ε k ÕÙ Ò Ó ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð k ÔÖÓ Ð Ñ º½µ Ø Ø ÓÒÚ Ö ØÓ ρ 0 Ò Ø ÓÖ Ñ º½º¾º ÙÖØ Ö Ð Ø Ûv U v Ò Û l U l º Ì Ò { ρ M v + ε kˆρ v + o(ε k ) x Ûv, µ ρ ε (x) = ρ M l + ε kˆρ l + o(ε k ) x Ûl. µ p (ρ ε k(x l )) p (ρ ε k(x v )) = (n )c 0 k m ε k +o(ε k ) ÓÖ ÐÑÓ Ø ÐÐ x v Ûv Ò x l Ûlº À Ö k m Ø ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ò ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø Ö Ù ÓÙÒ ÖÝ Ó U v º µ µ (ρ ε k(x l )) µ (ρ ε k(x v )) = o(ε k ) ÓÖ ÐÑÓ Ø ÐÐ x v Ûv Ò x l Ûlº Ì ÓÒ Ø ÒØ c 0 Ú Ò Ý Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µº ÆÓØ Ì Ö Ù ÓÙÒ ÖÝ U v Ó U v Ò Ù Ø Ó U v Û ÓÒ Ø Ó ÓÙÒØ Ð ÙÒ ÓÒ Ó ÑÓÓØ ÝÔ Ö ÙÖ Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ö Òº Ù ÓÖ Ø Ô Ý ÐÐÝ Ö Ð Ú ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ρ ØÓ Ø Ý Ø ÓÙÒ ¹Ä ÔÐ Ð Û Ò Ø Ô ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ p(ρ(x l )) p(ρ(x v )) = (n )σk m, µ(ρ(x l )) µ(ρ(x v )) = 0, ÓÖ x v U v Ò x l U l Ò Ó ÓÙÖ ρ ÙÑ ÓÒÐÝ ØÛÓ Ú ÐÙ Ò Ø Û Ö ØÛÓ Ô Ö ÔÖ ÒØº Ï ÓÑÔ Ö Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ØÓ Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ò Ò Ø Ñ µ Ò µ Ó Ø ÓÚ Ø ÓÖ Ñ p(ρ(x l )) p(ρ ε (x v )) = (n )c 0 εk m + o(ε), µ(ρ(x l )) µ(ρ ε (x v )) = o(ε), ÓÖ x v Ûv Ò x l Ûl. Ö ÙÐØ Û Ò Ó Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ε Û Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ø Ø ε Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐ Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ σ = c 0 ε. º µ Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ñ Ò Û Ö Ø ÝÑÔØÓØ Ö Ñ Ò Û Ö ε Ñ ÐÐ ÒÓÙ µ Ù Ø Ø Ø ÓÚ ÓÖÑÙÐ ÔÔÐ Ð º Ì ÒÙÑ Ö Ð Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑÙÐ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ë Ø ÓÒ º½ ÓÛ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ o(ε) Ò Ð Ð Ú Ò ÓÖ ÕÙ Ø Ð Ö ÒØ Ö Ð Ö Ú ÐÙ Ó εµº

45 º¾º ÌÊ Î ÄÁÆ Ï Î ËÇÄÍÌÁÇÆË º¾ ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ ÒÞÓÒ ¹ Ú ÔÖÓÚ Ò ½½ ½¾ ÓÒ ½¼ Ø Ü Ø Ò Ó ØÖ Ú Ð Ò Û Ú Ó¹ ÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Û Ø ÑÓ Ø Ö ÓÖ Ö Ô ÐÐ Ö ØÝ Ø ÖÑº Ì ÔÖÓÓ ÔÐ Ø ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ º Ì Ö Ø Ô ÖØ ÓÛ Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Û Ò Ø Ú Ó ØÝ Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ð Ø Ø ÓÒ Ô ÖØ Ò¹ Ö Ð Þ Ø ØÓ Ø Û Ø Ñ ÐÐ Ú Ó ØÝº Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø Ö ÙÐØ Ò Ú ÔÖÓÓ ÓÖ Ø Ö Ø Ô ÖØ ÓÖ Ø ÙÒÑÓ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ º Ï ÓÒ Ö ÒÓØ Ö Ò Ó Ô Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÒº Ï ÒÚ Ø Ø Ø Ü Ø Ò Ó ÔÖÓÔ Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ô ÓÙÒ Ö Ò Ø Ö ÓÖ Û Ò Ö ØÖ Ø ÓÙÖ Ð ØÓ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ Û Ö Ù ØÓ ρ t + (ρu) x = 0, (ρu) t + (ρu + p(ρ)) x = εu xx + λ ( ρρ xx ) Ò R R >0. º µ ρ x, Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ý Ø Ñ º µ º º ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ρ(x, t) = ρ(x st), º µ u(x,t) = ũ(x st), Ø Ø ÓÒÒ Ø Ð Ø Ø Ø (ρ,u ) Ò Ö Ø Ø Ø (ρ +,u + ) Ò Ö ÒØ Ô Ò ÔÖÓÔ¹ Ø Û Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô s R ÒÓØ Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ x stµ ρ(± ) = ρ ±, ũ(± ) = u ±, ρ (± ) = 0. º µ Ì Ð Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÙ Ø Ø Ý ÓÖ Ü ÑÔÐ ½¼¼ ÓÖ Ø Ê Ò Ò ¹ÀÙ ÓÒ ÓØ Ö Ð Ø ÓÒ ρ (u s) = ρ + (u + s) =: m, ρ u (u s) + p(ρ ) = ρ + u + (u + s) + p(ρ + ) =: π. º µ º µ Ì Ò ØÞ Ð ØÓ Ò Ð Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ ũ Ò Ø Ò ØÝ ρ Ò Ö ÙÐØ Ò ÓÒ ÓÖ Ö ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ρº ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÑÔÐ ØÝ Û ÓÑ Ø Ø Ø Ð ÝÑ ÓÐ λ (ρρ ) (ρ ) = εm ρ ρ + m ρ + p(ρ) + ms π(ρ ), Û Ö π(ρ ) Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ º µ π(ρ ) = m ρ + ms + p(ρ ). º½¼µ À Ö Û Ú Ù Ò Ø ÓÒ º µ Ò º µº

46 À ÈÌ Ê º ËÍÅÅ Ê Ç ÌÀ ÇÊ ÌÁ Ä Ê ËÍÄÌË º¾º½ Ü Ø Ò Ó ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÑÓ ËÝ Ø Ñ ÁÒ ½¾ ½½ Ø Ü Ø Ò Ó ÔÖÓÔ Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ô ÓÙÒ Ö Û ÔÖÓÚ Ò ÓÖ Ø ÑÓ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ρ t + (ρu) x = 0, (ρu) t + (ρu + p(ρ)) x = εu xx λv xxx, º½½µ Û Ö v = ρ ÒÓØ Ø Ô ÚÓÐÙÑ º Ì Ö Ò ØÓ Ø ÙÒÑÓ Ý Ø Ñ º µ Ø ÃÓÖØ Û Ô ÖØ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖº Ì ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ò º½½µ Ø ÓÒ Ø Ø Ù Ù ÐÐÝ ÔÔ Ö Ò Ä Ö Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ½¼ º ÁØ ÒÓØ Ð Ö Ø Ø ÖÑ ÒÝ Ô Ý Ð Ö Ð Ú Ò Ò ÙÐ Ö Ò ÓÓÖ Ò Ø º Ì ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò ØÞ º µ º µ Ð ØÓ Ø ÔÖÓ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ò Ø ÓÒ p(v) = p λv = εmv m v p(v) + π(v ), º½¾µ v(± ) = v ±, v (± ) = 0, º½ µ ( ), π(v ) = p(v ) + m v. v Ì ÔÖÓÓ ÓÖ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÒÐÙ Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó º½¾µ º½ µ Ò ½¾ ½½ ÔÐ Ø ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ º ÁÒ Ø Ö Ø Ô ÖØ Ø Ü Ø Ò Ó ÔÖÓ Ð ÓÛÒ Ò Ø Û Ö Ø Ú Ó ØÝ ε ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓº Ì ÓÒ Ô ÖØ ÜØ Ò Ø ØÓ Ñ ÐÐ Ú Ó ØÝ ε > 0º Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø Ö ÙÐØ ÐÓÛº Ä ÑÑ º¾º½ ÒÞÓÒ ¹ Ú µ Ä Ø ε = 0º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ m 0 > 0 Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ m ( m 0,m 0 ) Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ú ÔÓÖµ Ò Ö Ø Ð ÕÙ µ Ø Ø v (m) Ò v + (m) Ò Ò ÓÖ ÓÓ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó º½¾µ º½ µ Ø Ø ÓÒÒ Ø v = v (m) Û Ø v + = v + (m)º Ì ÔÖÓ Ð ÙÒ ÕÙ ÙÔ ØÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º¾º¾ ÒÞÓÒ ¹ Ú µ Ì Ö Ü Ø m 0 > 0 Ò Ò ε 0 > 0 Ù Ø Ø ÓÖ (m,ε) ( m 0,m 0 ) (0,ε 0 ) Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ú ÔÓÖµ Ò Ö Ø Ð ÕÙ µ Ø Ø v (m,ε) Ò v + (m,ε) Ò Ò ÓÖ ÓÓ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó º½¾µ º½ µ Ø Ø ÓÒÒ Ø v = v (m,ε) Û Ø v + = v + (m,ε)º Ì ÔÖÓ Ð ÙÒ ÕÙ ÙÔ ØÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒº Ø Ü Ø Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ º½¾µ Ò ½¾ Ø Ð Ó ÔÖÓÚ Ò Ø Ø ØÖ Ú¹ Ð Ò Ô ÓÙÒ Ö Ó Ø ÑÓ Ý Ø Ñ º½½µ Ú ÖØ Ò Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ø ε > 0º º¾º¾ ÈÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ø ÙÒÑÓ ËÝ Ø Ñ Ì Ò ÜØ Ð ÑÑ ÓÛ Ø Ø Ø ÙÒÑÓ Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Û Ö Ø Ú Ó ØÝ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ º º º µ Ø ÖÓÐ Ò ÓÖ Ø º

47 º¾º ÌÊ Î ÄÁÆ Ï Î ËÇÄÍÌÁÇÆË Ä ÑÑ º¾º Ä Ø ε = 0º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ m 0 > 0 Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ m ( m 0,m 0 ) Ü Ø ÙÒ ÕÙ Ð Ø Ú ÔÓÖµ Ò Ö Ø Ð ÕÙ µ Ø Ø ρ (m) (0,ρ v ) Ò ρ + (m) (ρ l,b) Ò Ø ÖÓÐ Ò ÓÖ Ø Ó º µ Ø Ø ÓÒÒ Ø ρ (m) Û Ø ρ + (m) Ò ÙÒ ÕÙ ÙÔ ØÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒº ÓÖ m 0 Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º º lim m 0 ρ (m) = ρ M v, lim m 0 ρ+ (m) = ρ M l. ÆÓØ ÁØ Ð Ó ÔÓ Ð ØÓ ÓÓ Ø Ð Ø Ø Ø ρ Ò Ø Ð ÕÙ Ô Ò Ø Ö Ø Ø Ø ρ + Ò Ø Ú ÔÓÖ Ô Ò Ä ÑÑ º¾º Ð Ó Ú Ð Ò Ø º ÈÖÓÓ º Ï ÑÙÐØ ÔÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ý ρ ρ º Ë Ò Ú Ó ØÝ Ó ÒØ ε ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ Ø Ö ÙÐØ Ò ( λ ( (ρ ) ρ ) = [m ρ 3 ) ρ ρ + p(ρ) ] p(ρ ) ρ ρ Ò ÒØ Ö Ø Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÖÓÑ ØÓ t Ù Ò ρ( ) = ρ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Û Ø λ ρ (t) ρ(t) = φ(m,ρ,ρ(t)), Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ φ Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ρ ( φ(m,ρ,ρ) = s 3 ) s ρ + p(s) p(ρ ) s ds. ρ m Ï ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐ m Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ Ø Ø ρ (m) Ò ρ + (m) ÐÓ ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ù Ø Ø φ(m,ρ (m),ρ + (m)) = 0 Ø º Ï Ò ÙÒØ ÓÒ F : R R >0 R >0 R Ý ( ( ) ) F(m,ρ,ρ + m ) = ρ + ρ + p(ρ + ) p(ρ ). φ(m,ρ,ρ + ) ÓÖ m = 0 ρ = ρ M v Ò ρ + = ρ M l Û Ú F(0,ρ M v,ρm l ) = 0 Ý Ð ÑÑ º º¾ Ò ÓÖ Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ (ρ,ρ + ) ( p (ρ M D (ρ,ρ + )F(0,ρ M v ) p (ρ M v,ρm l ) l ) = ) p (ρ M v )( 0 ρ M ρ l M v ) Ò det ( D (ρ,ρ + )F(0,ρ M v,ρm l ) ) ( = p (ρ M v )p (ρ M l ) ρ M v ρ M l ) > 0.

48 À ÈÌ Ê º ËÍÅÅ Ê Ç ÌÀ ÇÊ ÌÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÆÓØ Ø Ø Ø Ú Ò Ö Ï Ð ÔÖ ÙÖ ÙÒØ ÓÒ ÐÛ Ý ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ ÒÖ Ò ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ú Ò ØÝ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º Ì Ù Ý Ø ÑÔÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ m 0 > 0 Ù Ø Ø ÓÖ m < m 0 Û Ú ÙÒ ÕÙ Ø Ø ρ (m) Ò ρ + (m) Ò Ø Ò ÓÖ ÓÓ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Û Ø φ(m,ρ (m),ρ + (m)) = 0. Ý Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð ÑÑ º º Û Ò ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ù ÒØ Ñ ÐÐ m Û Ú ÓÖ Ñ ÐÐ m Û Ø φ(m,ρ (m),ρ) > 0 ÓÖ ÐÐ ρ (ρ (m),ρ + (m)). Φ(ρ) = λ ρφ(m,ρ (m),ρ). Φ ØÖ ØÐÝ ÔÓ Ø Ú ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð (ρ (m),ρ + (m)) Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ [ρ (m),ρ + (m)]º Ï Ú Φ(ρ (m)) = 0 Ò Φ(ρ + (m)) = 0º À Ò ÓÖ Ø Ð Ö ÕÙ Ø ÓÒ ρ (t) = Φ(ρ(t)) Ø Ö Ü Ø Ø ÖÓÐ Ò ÔÖÓ Ð Ø Ø ÓÒÒ Ø Ø Ø Ø ρ (m) Ò ρ + (m)º ÔÖÓ Ð ÙÒ ÕÙ ÙÔ ØÓ Ø Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ ÒÖ Ò º Ì À Ò Û Ú Ø Ü Ø Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ò ÙÔ ØÓ Øµ Ó Ø ÖÓÐ Ò ÔÖÓ Ð ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò Ø Û Ö ε ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓº Ì ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º Ì Ü Ø Ò Ó Ø ÖÓÐ Ò ÔÖÓ Ð ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ º µ ÒÓØ ÔÖÓÚ Ò ÙÔ ØÓ ÒÓÛº Ì Ö Ø Ø Ô ÓÖ Ø Ü Ø Ò ÔÖÓÚ Ò Ò Ä ÑÑ º¾º º ÓÖ Ø ÓÒ Ø Ô ÓÒ ÓÙÐ ØÖÝ ØÓ ÔÔÐÝ Ø ÒØ ÖÑ Ò ÓÐ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ º½¾µ ½½ º Ì ÒÙÑ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Ò Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ü Ø ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒº Ï ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ô ÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ ØÙÖ º ÓÒ ØÙÖ º¾º Ì Ö Ü Ø m 0 > 0 Ò Ò ε 0 > 0 Ù Ø Ø ÓÖ (m,ε) ( m 0,m 0 ) (0,ε 0 ) Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ Ð Ø Ú ÔÓÖµ Ò Ö Ø Ð ÕÙ µ Ø Ø ρ (m,ε) (0,ρ v ) Ò ρ + (m,ε) (ρ l,b) Ò Ø ÖÓÐ Ò ÔÖÓ Ð Ó º µ Ø Ø ÓÒÒ Ø ρ (m,ε) Û Ø ρ + (m,ε) Ò ÙÒ ÕÙ ÙÔ ØÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒº ÓÖ m 0 Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º º lim m 0 ρ (m,ε) = ρ M v, lim ρ + (m,ε) = ρ M l. m 0 ÈÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÒ ØÙÖ ØÖÙ Û Ò Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ò ÓÖÑ Û Ù Ò Ë Ø ÓÒ º¾º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º¾º Ä Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ø Ø (ρ,u ) Ò (ρ +,u + ) Ø Ø Ø Ý Ø Ê Ò Ò ¹ÀÙ ÓÒ ÓØ Ö Ð Ø ÓÒ Û Ø Ò ØÝ Ø Ø ÐÓ ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ú ÐÓ ØÝ Ø Ø Ú Òº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò ε > 0 Ù Ø Ø ÔÖÓ Ð Ó º µ Ü Ø º Ì ÔÖÓ Ð ÙÒ ÕÙ ÙÔ ØÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒº

49 º º Æ Ê Ä ËÇÄÍÌÁÇÆË º Ò Ö Ð ËÓÐÙØ ÓÒ Ï Ú ÙÑÑ ÖÝ Ó Ö ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ò Ü Ø Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Ò ÙÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ º Ì Ö ÙÐØ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Û ÐÐ Ø Ò Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñº ÄÓ Ð Ü Ø Ò ÓÖ Ø Ù Ý ÈÖÓ Ð Ñ À ØØÓÖ Ò Ä ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ Ò Ø Ð Ø Ø Ù Ý¹ÈÖÓ Ð Ñ Ω = R n Ö Û Ø n = µ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ÓÖØ Ø Ñ µ ÓÐÙØ ÓÒº ÓÖ Ø Ü Ø Ò Ö ÙÐØ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ó Ø ÔÖ ÙÖ p ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ò ÓØ Ö Ü Ø Ò Ö ÙÐØ º Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ º º½ ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ð Ø (ρ 0,u 0 ) Ù Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ ρ 0 δ > 0 Ø Ò (ρ 0 ρ 0,u 0 ) H k (R ) 3 ÓÖ k 4 Û Ö ρ 0 > 0 ÓÒ Ø ÒØ Ø Ö Ü Ø Ø Ñ T > 0 Ù Ø Ø Ò [0,T] Ø Ù Ý¹ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ¾º µ ¾º µ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ (ρ,u) Ù Ø Ø ρ ρ 0 L ( [0,T];H k+ (R ) ) Ò u L ( [0,T];H k (R ) ) º Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ñ Ø Ý Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ò ÓÑ ÒÓÖÑ º ÆÓØ Ì ÙØ ÓÖ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ Ö ÙÐØ Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð º ÐÓ Ð Ü Ø Ò ÓÖ Ø Ù Ý ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø ÙÐÐ ËÝ Ø Ñ ÁÒ À ØØÓÖ Ò Ä Ú ÐÓ Ð Ò Ø Ñ Ü Ø Ò Ø ÓÖ Ñ Û ÐÐ ÐÓ Ð Ü ¹ Ø Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ñ ÐÐ Ò Ø Ð Ø ÓÖ Ø ÙÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð ¾º µ ¹ ¾º µ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Û Ø Ω = R 3 º º Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ø Ö ÙÐØ ÓÑ Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ò ÖÝ Ù Ø ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ó Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ò ØÝº Ì Ñ Ò Ø Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ô Ò Ü Øº Ì Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò p ρ (θ,ρ) > 0, e θ (θ,ρ) > 0, f θθ (θ,ρ) < 0, ÓÖ ÐÐ Ò ØÝ Ú ÐÙ ρ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú ÐÙ θ Ò Ø Ø Ø Ô º ÁÒ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ p ÒÓØ Ø ÔÖ ÙÖ e Ø Ô ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ò f Ø À ÐÑ ÓÐØÞ Ö Ò Ö Ýº

50 ¼ À ÈÌ Ê º ËÍÅÅ Ê Ç ÌÀ ÇÊ ÌÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÓÖ Û Ø Ø Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Û ÒØÖÓ Ù ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÑÔÐ ØÝº ÓÖ T > 0 Û Ò Ø Ò Ô Y k (T) Ý Y k (T) = C ( ) ( ) [0,T), H k (R 3 ) L (0,T), H k+ (R 3 ) Ò ÓÖ ÙÒØ ÓÒ ρ Y k+ (T) u i Y k (T) ÓÖ i =,,3 Ò θ Y k (T) Û Ò E k [ ρ,u, θ ] (t) = F k [ ρ,u, θ ] (t) = sup s [0,t] t 0 ( ) 3 ρ(s) H k+ (R 3 ) + u i (s) H k (R 3 ) + θ(s) H k (R 3 ), i= i= ( ) 3 ρ(s) H k+ (R 3 ) + u i (s) H k+ (R 3 ) + θ(s) H k+ (R 3 ) ds. ÓÖ Ø Ü Ø Ò Ó ÐÓ Ð Ò Ø Ñ ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÐÐÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ø ÒÓØ Ò ÖÝ Ø Ð Ø ÒÓØ ÜÔÐ ØÐÝ Ø Ø Ò µº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ò Ø Ð Ò ØÝ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÙÐ Ø Ð Ø ÔÓ Ø Ú ØÓ Ñ Ò Ò ÙÐ ÖÓÑ Ø Ô Ý Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº Ì ÓÖ Ñ º º¾ ÄÓ Ð Ü Ø Ò µ Ä Ø Ø Ò Ø Ð Ø ( ρ 0 + ρ, u 0, θ 0 + θ) Ø Ý ÓÖ ÓÑ k N Û Ø k 3 ρ 0 H k+ (R 3 ), u i 0 H k (R 3 ) ÓÖ i =,,3, º½ µ θ 0 H k (R 3 ), Û Ö ρ Ò θ Ö ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ø Ñ T > 0 Ù Ø Ø Û Ú ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ( ρ + ρ,u,u,u 3, θ + θ) Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ¾º µ ¹ ¾º µ Û Ø ρ Y k+ (T) u i Y k (T) ÓÖ i =,,3 Ò θ Y k (T)º ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÚ ÓÖ Ø ÐÓ Ð Ü Ø Ò Ö ÙÐØ Ñ ÐÐÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ø Ò ÖÝº Ì ÓÖ Ñ º º ÐÓ Ð Ü Ø Ò µ Ä Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ý º½ µ ÓÖ ÓÑ k N Û Ø k 3º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ ε 0 Ò C 0 Ù Ø Ø ÓÖ E k [ ρ 0,u 0, θ 0 ](0) ε 0 Û Ú ÙÒ ÕÙ ÐÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ( ρ + ρ,u,u,u 3, θ + θ) Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ¾º µ ¹ ¾º µ Û Ø ρ Y k+ ( ) u i Y k ( ) ÓÖ i =,,3 Ò θ Y k ( ) Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ø Ñ Ø E k [ ρ,u, θ [ ](t) + F k ρ,u, θ ](t) C 0 E k [ ρ 0,u 0, θ ] 0 (0) ÓÖ t 0.

51 º º Æ Ê Ä ËÇÄÍÌÁÇÆË ½ ÐÓ Ð Ü Ø Ò Ó Ï ËÓÐÙØ ÓÒ ÁÒ ½ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò Ð ØÐÝ ÑÓ ÓÖÑ ÓÒ Ö º ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T º½ µ ) + p(ρ) = (ˆτ + K). À Ö Ø Ú ÓÙ Ô ÖØ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ ˆτ Ö ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÓÙ ØÖ º ˆτ Ú Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ˆτ = νρ ( u + u T). Ì ÑÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ñ ÒÐÝ ÓÖ Ø Ò Ð Ö ÓÒ Ò ÒÓØ ÓÖ Ô Ý Ð ÑÓØ Ú Ø ÓÒº Ö Ö Ò Ò Ä Ò ½ ÔÖÓÚ Ø ÐÓ Ð Ü Ø Ò Ó Û ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ô ¹ Ö Ó ÓÑ Ò Û Ø ÓÙØ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ñ ÐÐÒ Ó Ò Ø Ð Ø º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÔÖÓÓ Ö ÕÙ Ö Ø Ø Û Ú ÓÖ Ø ÔÖ ÙÖ p ρ (ρ) 0 ÓÖ ÐÐ Ò ØÝ Ú ÐÙ ρ º º Ø Ù Ó ÒÓØ ÙÒ Ö Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ º º Ä Ø Ø Ô Ñ Ò ÓÒ n = ÓÖ n = 3º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÐÓ Ð Û ÓÐÙØ ÓÒ (ρ,u) Ó ÕÙ Ø ÓÒ º½ µº ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Û ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º½ µ ½ º Ü Ø Ò ÓÖ Ø ÁÒ Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ Î ÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ ÃÓØ ÓØ ÔÖÓÚ Ò Ø ÐÓ Ð Ü Ø Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ ¾º µ ¾º ½µ ¾º µ ÓÖ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº Ì ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ó Ø ÔÖ ÙÖ ÒÓØ Ö ÕÙ Ö º Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ º º Ä Ø Ω R n Ò ÓÔ Ò ÓÙÒ ÓÑ Ò Û Ø C 3 ¹ ÓÙÒ ÖÝ Ò n + < p < º Ä Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐ Ö ØÝ Ò ÓÑÔ Ø Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ u 0 B p pp (Ω; R n ) ρ 0 B 3 p pp (Ω) ρ 0 > 0 Ò Ω Ö ÙÐ Ö ØÝµ u 0 = 0 Ò B p pp ( Ω; R n ) ρ 0 n = 0 Ò B 3 p pp ( Ω) ÓÑÔ Ø Ð ØÝ Ó Ø Ò Ø Ð Ø Û Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ µº Ì Ò Ø Ü Ø T > 0 Ù Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ ¾º µ ¾º ½µ ¾º µ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ (ρ,u) Û Ø ( ρ C 3 (0,T); C (Ω) ) C ( (0,T); C 3 (Ω) ) u C ((0,T); C(Ω; R n )) C ( (0,T), C 3 (Ω) ).

52 ¾ À ÈÌ Ê º ËÍÅÅ Ê Ç ÌÀ ÇÊ ÌÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÁÒ Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÑÓÖ Ò Ö Ðº Ì Ô ÐÐ Ö ØÝ Ò Ú Ó ØÝ Ó ÒØ Ñ Ý Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ò p ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ØÓ Ú Ò Ý Ø Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø º ÁÒ Ø ÙØ ÓÖ ÔÖÓÚ Ñ Ð Ö Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÑÓ Ðº ÙØ Ø ÑÓ Ð Ø Ø ÓÒ Ö ÒÓØ Ü ØÐÝ Ø Ñ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ¾º µ ¾º µ Ò ¾º µ Ù ÓÑ Ó Ø Ø ÖÑ Ö Ñ Ò Ø Ö º

53 ÔØ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ËÓÐÙØ ÓÒ Ò Ò Ñ Ö Ì ÔÙÖÔÓ Ó Ø ÔØ Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Ò ÓØ Ö Ò Ñ Ö Ø Ø ÓÖ Ø Ö Ö ÒØ Ö ÓÒ º Ì Ö Ø Ú Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ º Ì Ö ÓÖ Û ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ð ÓÒ Ù¹ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ º Ø ÒØ Ø ÓÒ Ó Ô Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ù ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò ÒØ Ö Û Ø º Ø Ú Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ðº Ù ØÓ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÑÓ Ð Ø Ñ ØÓ ÓÙØ Ó ÓÔ ØÓ Ú Ò ÐÝØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ º Ì Ù Û ÓÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô Ð ÓÖÑ Ù Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ù ØÓ Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÔÔ Û Ø Ù Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÚ Ú ÖÝ ÙÖ Ø ÐÝº Ì ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ù ØÓ ÒØ Ý Ô Ý Ð Ö Ð Ú ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ù ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò Ø Þ Ó Ø Ù ÒØ Ö º ÓÖ Ø Ú Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ð Û ÓÓ Ø Ô Ý Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ó Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ù Ð Ò Ð ÕÙ º Ï Ò Ñ ØÖ Ò Ö ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö Ò Ð Ø Ò Ø Ð ÕÙ Ò ÖÐÝ ÒÓÑÔÖ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ð Ð Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒµ ÓÖ Ø Ö Ù Ó Ø Ù Ð Ò Ö Ú ÖÓÑ Ø ÒÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÔÔ Û Ø Ù Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ú ÓÖ Ó Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ù Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò Ø Ò ÓÑÔ Ö ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê ÝÐ ¹ ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ø ÔÓ ÒØ Ø ÒÓØ Ð Ö Ø Ö ÐÐÝ ÓÑÔ Ö Ð Ù Ó Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÒÓÑÔÖ Ð ØÝ Ò Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ò Ó Ñ ØÖ Ò Öº Ì Ø Ú ØÓ Ñ ÐÐ ØÓ ÓÑÔ Ö Ð º

54 À ÈÌ Ê º ÇÆËÌÊÍ ÌÁÇÆ Ç ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ Æ ÀÅ ÊÃË º½ ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÓÒ ØÖÙØ Ö Ð ÝÑÑ ØÖ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ý Ñ Ò Ó ÓÐÚ Ò Ò ÓÖ Ò ÖÝ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÙÑ Ö ÐÐÝº Ì Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÖÚ Ò Ñ Ö ÓÖ ÒÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÒØ λ Ø Ø Ö Ð Ø ØÓ ÙÖ Ø Ò ÓÒ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò º Ì ÓÖ Ñ º½º ÔÖÓÚ Ò ÝÑÔØÓØ ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔÐ ØÐÝ ÒÐÙ Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ý Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑº Ï Ø Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÒ Û ÔÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖÖ Ø Ò Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ð Ð ÓÖ ÓÙÖ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ º Ë Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ØÓÙ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ø Ý Ö ÓÒÐÝ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ð ÒÚ Ø Ø Ò Ø ÓÖ Ñ º½º Û Ö Ø Ø ÓÖ Ñ Ñ Ø Ø Ñ ÒØ ÓÙØ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÓÙÐ ÒÓØ Ñ Ö Ò º Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ º º ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Þ ÖÓ¹Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ò ØÝ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ø ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø ÓÒ µ(ρ) λ ρ = cst Ò Ω, º½µ Û Ö cst ÓÒ Ø ÒØ Û ÙÒ ÒÓÛÒ Ò Ò Ö Ð Ä Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Öµº ÆÓÛ Ð Ø Ω R n ÐÐ Ó Ö Ù L Û Ø Ø ÓÖ Ò ÒØ Öº Ö Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÖ Òµ ρ = ρ(r) Ó º½µ ÙÐ ÐÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ( µ(ρ) λ ρ rr + n ) ρ r = cst. r ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ö Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÒ Ø ÒØ cst Û Ö ÒØ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ rº Ì Ú Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ç ( µ (ρ) ρ rrr = λ + n ) r ρ r n ρ rr Ò (0,L). º¾µ r Ì Ù Û Ö ÕÙ Ö Ø Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ö Ø ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µ ρ r (L) = 0. º µ Ì ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÙÖ ÑÓÓØ Ò Ø Ø ÓÖ Ò ρ r (0) = 0. º µ Ì Ø Ö ÓÒ Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÓÙÒ ¹Ä ÔÐ Ð Û Ø p(ρ(l)) p(ρ(0)) = ξ, º µ Û Ö ξ > 0 ÓÑ Ù Ø Ð Ó Ò ÓÒ Ø ÒØº ÔÖ ÓÖ Û Ó ÒÓØ ÒÓÛ Ø Ö Ù R Ó Ø Ù Ð ÓÖ ÖÓÔµ Û ÓÑÔÙØ º Ø Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ù ÔÖÓ Ð ρ Û Ú Ø Ö Ù Ú Ð Ð ÙØ Û Ú ØÓ Ò Û Ø Ø Ö Ù Ó Ù Ð ÓÖ ÖÓÔ Û Ø Ù ÒØ Ö º

55 º½º ËÌ ÌÁ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ ÆÓØ Ø Ö ÓÑ Ö ØÖ Ö Ò Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ù Ù Ó Ø Ù ÒØ Ö º Ï Ø Ò Ù ØÛ Ò Ù Ð Ò ÖÓÔ Ò Ò Ø Ö Ö Ù R B Ò R D Ý R B R D = sup{r (0,L) ρ(r) ˆρ}, = inf{r (0,L) ˆρ ρ(r)}, Û Ö ˆρ Ò Ó Ò Ø Ö Ø Ñ Ø Ú Ö Ó Ø Ô ÓÙÒ Ö ρ v ρ l ÓÖ Ø ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ò Ò Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÖ ÙÖ ÙÒØ ÓÒº ÆÓÛ Ù Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ù R Û Ò ÐÙÐ Ø Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ σ Ø Ø Ó Ø Û Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λ Ý Ø ÓÙÒ ¹Ä ÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ξ = (n ) σ R. ÙÖØ Ö Û Ò Ø Ù ÒØ Ö ØÓ ÓÒ Ø Ó Ø Ò ØÝ Ú ÐÙ Ó Ø ÐÐ ÔØ Ö ÓÒ Ò ÔÓ ÐÝ Ð ØØÐ Ø ÑÓÖ º Ì Ò Ø ÒØ Ö Û Ø w ÓÖ Ù Ð Ò ÖÓÔ Ò Ý I = {r (0,L) ˆρ v ρ(r) ˆρ l }, w = supi inf I. Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö I Ô Ò ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ò ØÝ Ø Ø ˆρ v Ò ˆρ l º Ì Ø Ø Ò Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ô ÓÙÒ ÖÝ Ø Ø ρ v ρ l ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º Ì Ð ØØ Ö Ñ ØÓ Ø ØØ Ö Ó º Ì ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ º¾µ º µ ¹ º µ Ò ÓÐÚ Û Ø Ú ÖÝ ÓÐÚ Ö ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÖ Ò ÖÝ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ º Ï Ù Ø ÇÄÆ Ï ÓÐÚ Ö º Ì Ü Ø Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÖ Ò ÖÝ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓØ Ù Ò Ø ÛÓÖ º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÙÑ Ö Ò Ø Ø Ø ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ÓÖ Ù Ø Ð Ó Ò Ô Ö Ñ Ø Ö º º½º½ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø Ù Ð Ò ÖÓÔ Ï Ò Ø Ù Ð Ö Ù Ý Ø Ò Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÖ ÙÖ ÙÒØ ÓÒº Ì Ò Ø Ö Ù Ó Ø Ù Ð Ò Ø ÖÓÔ Ö ÕÙ Ð ØÓ ÓØ Ö Ò Ø Ö Ù Ò Ò Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó ÓØ ÔÖÓ Ð º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ò ÓÐÐÓÛ n = 3, L =, λ = 0.00, ξ = 0.5. ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ñ Ò ÓÒÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Û ÓÓ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ¾º½ µ ¾º½ µ ÓÖ Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Û Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ref = 0.85º Ì Ö ÙÐØ Ù Ð ÓÖ ÖÓÔµ Ô Ò ÓÒ Ø

56 À ÈÌ Ê º ÇÆËÌÊÍ ÌÁÇÆ Ç ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ Æ ÀÅ ÊÃË Ò Ø Ð Ù Û Ú ØÓ ÔÖÓÚ ÓÖ Ø ÎÈ¹ ÓÐÚ Öº ÙÖ º½ ÓÛ ÓØ Ö ÙÐØ º º Ø Ò ØÝ ÔÖÓ Ð ÓÖ Ø Ù Ð Ò Ø ÖÓÔº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ú Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ö Ù R ÙÖ Ø Ò ÓÒ σ Ò ÒØ Ö Û Ø w R = 0.84, σ = 0.06, w = 0.. ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ù Û ÓÓ Ø Ø Ø ˆρ ØÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÖ ÙÖ ÙÒØ ÓÒº ÙÖØ Ö Û Ú ØÓ Ò Ø Ø Ø ˆρ v Ò ˆρ l ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Û Ø wº Ï Ò Ø Ø Ø Ý Ö Ø ÓÒ Ó Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø ˆρ v =. ρ M v, ˆρ l = 0.9 ρ M l. ρ Bubble Drop r ρ M v ρ M l ÙÖ º½ ÈÖÓ Ð Ó Ù Ð Ò ÖÓÔ Ò Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º º½º¾ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ËÙÖ Ì Ò ÓÒ Ò ÁÒØ Ö Ï Ø Ï Ò Ø Ö Ù Ò Ø ÒØ Ö Ó Ù Ð Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº ÓÖ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ö ÒØ Ú ÐÙ Ó Ø Ó ÒØ λ Û ÓÑÔÙØ ÔÖÓ Ð Ó Ù Ð ÓÖ n = 3 Ò Ö Ù Ó Ø ÓÑ Ò L = º Û Ú Ø ÔÖÓ Ð Û Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ ÖÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý σ comp Ý Ø ÓÖÑÙÐ p(ρ(l)) p(ρ(0)) = n R σ comp. º µ

57 º¾º ÌÊ Î ÄÁÆ Ï Î ËÇÄÍÌÁÇÆË Ì ÓÖ Ñ º½º Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ú Ò ÝÑÔØÓØ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ø ÒÐÙ Ò ÖÖÓÖ Ø ÖÑ e(λ) Ø Ø Û Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ø ÓÒº p(ρ(l)) p(ρ(0)) = n R σ form + e(λ), º µ Û Ö σ form Ú Ò Ý σ form = c 0 λ Ë Ø ÓÒ º½º ÆÓÛ Û Ò Ù ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ Ò Û Ú e(λ) = n R σ comp σ form. º µ Ì Ð Ø Ô ÖØ Ó ÙÖ º¾ ÓÛ Ø Ô Ò Ò Ó σ form ÓÐ Ð Ò µ Ò σ comp Ö Ø ÔÓ ÒØ µ ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λ ÓÖ Ö ÒØ Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θº Ì ÖÖÓÖ e(λ) ÓÛÒ Ò Ì Ð º½ ÓÖ ÓÑ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º ÁØ Ò Ð ÖÐÝ Ò Ø Ø Ø ÖÖÓÖ ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ λ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø ÖÖÓÖ ÐÑÓ Ø Ò Ð Ð Ú Ò ÓÖ Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ð Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÙÖ º½º Ì Ù ÓÖÑÙÐ º µ ÔÔÐ Ð ÓÖ ÓÙÖ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ º 0. θ = 0.75 θ = 0.80 θ = 0.85 θ = θ = 0.75 θ = 0.80 θ = 0.85 θ = 0.90 σ 0.0 W 0.00 e 05 e λ e 05 e λ ÙÖ º¾ Ö Øµº Ó ÒØ λ Ú Ö Ù ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ð Øµ Ò λ Ú Ö Ù ÒØ Ö Û Ø Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó ÙÖ º¾ ÓÛ Ø Ô Ò Ò Ó Ø ÒØ Ö Û Ø ÓÒ Ø Ó ¹ ÒØ λ Ò Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ Û Ò ÓÒ ØÖÙØ ÖÓÙ µ ÓÖÑÙÐ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø ÒØ Ö Û Ø Ó Ñ Ò ÓÒÐ Ù ÑÓ Ð Ý Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ º w(θ,λ) = 5.4 θ λ. º µ Ì ÓÖÑÙÐ ÑÔÐÝ Ó Ø Ò Ý ÙÖÚ ØØ Ò Ù Ò Ø ÓÑÔÙØ Ú ÐÙ ÓÛÒ Ò Ø Ö Ø Ô ÖØ Ó ÙÖ º¾º ÒÓØ ÓÖ Ø Ú ÖÝ ÖÓÙ ÓÖÑÙÐ ÙØ Ò Ù ÙÐ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ð Ø º º¾ ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ Ï ÓÑÔÙØ ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ø Ø Ö ÙÔÔÓ ØÓ Ü Øº Ì Ü Ø Ò Ó Ù ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÐÝ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÔÖÓÚ Ò

58 À ÈÌ Ê º ÇÆËÌÊÍ ÌÁÇÆ Ç ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ Æ ÀÅ ÊÃË θ = 0.75 θ = 0.85 λ ÖÖÓÖ Ç ÖÖÓÖ Ç º ¾ ¹¼ º ¹¼ º¼ ¹¼ º¾ ¹¼ ¾º ¾ ¹¼ ½º ¼¼ ¾º¾ ¹¼ ½º ¼ º¼ ½ ¹¼ ¾º¼ ¹¼ ½º ½º ¾ ¾ ¹¼ ½º º¼¾ ¹¼ ½º ¹¼ ½º ½º½ ¼ ¹¼ ½º ½ º¾¾ ¼ ¹¼ ½º¼ ¾ ¹¼ ½º º ¾ ¹¼ ½º ¾º ½ ¹¼ º ½ ¹¼ ½º ¼ º¾ ¼¾ ¹¼ ½º ¼ ¾º¼ ¹¼ º ¼ ¹¼ ½º º ½ ¹¼ ½º ½ ½º ¾ ¹¼ º ½ ¹¼ ½º º½ ½¾ ¹¼ ½º ¼ ½º ¾ ¾ ¹¼ ¾º ½ ¹¼ ½º ½ ¾º¾ ¹¼ ½º ½º¼ ½ ¹¼ ¾º¼ ¹¼ ½º ¾½ ½º ¹¼ ½º ¾ º ¼ ¾ ¹¼ ½º ½ ¹¼ ½º ½º½ ¹¼ ½º º ¼ ¹¼ ½º¼ ¹¼ ½º º ¹¼ ½º ½½ º ¾¼ ¹¼ º ¹¼ ½º ¾ º¾ ¹¼ ½º ¼½ º ¹¼ º ¹¼ ½º¾ ¼ º ¼ ¹¼ ½º ¾ Ì Ð º½ ÖÖÓÖ Ò Ç º ÓÖ ÑÓ Ý Ø Ñº ÓÖ Ø ÙÒÑÓ Ý Ø Ñ Û Ú ÔÖÓÚ Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ø Ø Ô Û Ø ÓÙØ Ú Ó ØÝµ Ò Ë Ø ÓÒ º¾º ÀÓÛ Ú Ö Û Ø ÓÙØ Ú Ó ØÝ Ø ÔÖÓ Ð Ù Ö Ð Ó Ø Ð ØÝ Ò Ö Ø Ö ÓÖ Ù Ð ÓÖ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ò Ñ Ö Ø Ø º Ì ÒÙÑ Ö Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÓÛ Ò Ø Ø Ø Ú Ò Û Ø Ú Ó ØÝ Ø Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ÙØ Ø Ü Ø Ò ÒÓØ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ Ë Ø ÓÒ º¾ Ô ÐÐÝ ÓÒ ØÙÖ º¾º Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º¾º º Ï ÓÒ Ö Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ρ t + (ρu) x = 0, (ρu) t + (ρu + p(ρ)) x = εu xx + λ(ρρ xx ρ x) x, º½¼µ Ò Û Ö ÒØ Ö Ø Ò ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ó º½¼µ º º ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ρ(x, t) = ρ(x st), u(x,t) = ũ(x st), Ø Ø ÓÒÒ Ø Ð Ø Ø Ø (ρ,u ) Ò Ö Ø Ø Ø (ρ +,u + ) Ò Ö ÒØ Ô Ø Ø Ø Ý Ø Ê Ò Ò ¹ÀÙ ÓÒ ÓØ Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÔ Ø Û Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô ÒÓØ Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ x stµ ρ(± ) = ρ ±, ũ(± ) = u ±, ρ (± ) = 0. º½½µ Ì Ò ØÞ Ð ØÓ ÓÒ ÓÖ Ö Ç ÓÖ ρ Ø Ø Û ÛÖ Ø Ý Ø Ñ Ó Ö Ø ÓÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ( ) ( ρ ρ ) ρ = F( ρ, ρ ) := ( ) λ λ ρ ( ρ ) + ε m ρ ρ + m ρ + p( ρ) + ms j, º½¾µ

59 º¾º ÌÊ Î ÄÁÆ Ï Î ËÇÄÍÌÁÇÆË Û Ø ÓÑ ÒÓÛÒ ÓÒ Ø ÒØ m Ò j ÓÑ Ò ÖÓÑ Ø Ê Ò Ò ¹ÀÙ ÓÒ ÓØ Ö Ð Ø ÓÒº ÓÖ ρ Ò ρ + Ó Ò ÐÓ ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ý Ü Ø ÙØ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λ Ò ε Ú ØÓ Ø Ý Ô Ð Ö Ø Ó Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ø Ø º Ë Ø ÓÒ º¾ Ô ÐÐÝ ÓÒ ØÙÖ º¾º Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º¾º º Ì Ñ Ò Û Ü Ð Ø Ò Ö Ø Ò Ø Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λ Û Ú ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ε Ù Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ü Øº ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ ε = 0. º½ µ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ú ØÓ ØÖÙÒ Ø Ø ÒØ ÖÚ Ð (, ) ØÓ ÓÑ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð (τ,τ + ) Ò ÒØÖÓ Ù Ù Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û ÔÔÐÝ Ø Ñ Ø Ó ÒØÖÓ Ù Ò Ò Ù ÙÐÐÝ ÔÔÐ Ò º Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó º½¾µ º½½µ ØÓ Ø Ý ( ρ ρ ) (τ ) W u (ρ,0) Ò ( ρ ρ ) (τ + ) W s (ρ +,0), Û Ö W u Ò W s ÒÓØ Ø ÐÓ Ð ÙÒ Ø Ð Ò Ø Ð Ñ Ò ÓÐ Ó F Ø Ø Ö ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÐ Û Ò ρ Ò ρ + Ö ÐÓ ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø º Ì ÓÑÔÙ¹ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø Ð Ò Ø Ð Ñ Ò ÓÐ ÙÐØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ð ÙØ Ø Ý Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ø Ö Ø Ò ÒØ Ô Ò Ø Ø Ò ÒØ Ô Ò Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ò Ô Ó Ø Â Ó Ò Ó F º À Ò Û ÒØÖÓ Ù Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ( ρ ρ ) (τ ) T (ρ,0)w u (ρ,0) Ò ( ρ ρ ) (τ + ) T (ρ +,0)W s (ρ +,0). º½ µ Á ρ ÓÐÙØ ÓÒ Ó º½¾µ º½½µ Ø Ò ρ( + ξ) Ð Ó ÓÒ ÓÖ ÐÐ ξ Rº Ï Ò Ð ÓÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ τ + τ ρ(τ) ρ (τ)dτ = ξ, º½ µ Û Ö ρ Ö Ö Ò Ó Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÙÑÔ ÖÓÑ ρ ØÓ ρ + º ÆÓÛ Û Ú Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ º½¾µ º½ µ Ò Ø Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º½ µ º½ µº Ì ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÚ Û Ø Ú ÖÝ ÎÈ¹ ÓÐÚ Ö ÙØ Ø ÖÙ Ð Ô ÖØ ØÓ Ò ÓÓ Ò Ø Ð Ù º Ñ Ö ÓÙØ ÙÑÔ Ù Ù ÐÐÝ ÓÓ Ò Ø º ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÓÛ Û Ú ÔÔÐ Ø ÇÄÆ Ï ÎÈ¹ ÓÐÚ Ö º Ï Ú ÓÑÔÙØ ØÛÓ Ö ÒØ ÔÖÓ Ð º ÇÒ ÐÓÒ ØÓ ÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò Ø ÓØ Ö ØÓ Ò ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú º ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÖ Ú Ò ÙÒ ÖÓÑ¹ ÔÖ Ú Û Ú Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù º Ì ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú ÓÒ¹ Ö ØÓ ØÝÔ Ð ÓÖ ÔÖÓÔ Ø Ò Ô ÓÙÒ ÖÝ Û Ö Ø ÓÑÔÖ Ú Û Ú Ð ØÝÔ Ð Ò Ô ÓÙÒ Ö Ù Ù ÐÐÝ ÔÖÓÔ Ø Û Ø Ù ÓÒ Ô º ÙÖ º ÓÛ ÓØ ÔÖÓ Ð º ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λ Ü ØÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö ε ÓÑÔÙØ Ù Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º½ µ º º Ø Ö ÒØ ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖÓ Ð º ÓÖ Ø ØÛÓ ÔÖÓ Ð Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö λ = 0.00, ε c = , s c =.573, ε u = , s u = 0.34,

60 ¼ À ÈÌ Ê º ÇÆËÌÊÍ ÌÁÇÆ Ç ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ Æ ÀÅ ÊÃË Û Ö ε c ε u s c Ò s u ÒÓØ Ø Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ô Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÑÔÖ Ú Ò ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ÔÖÓ Ð Ö Ô Ø Ú ÐÝº.5 ρ u.5 ρ u ρ, u 0.5 ρ, u τ τ ÙÖ º ÈÖÓ Ð Ó Ò ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ð Øµ Ò ÓÑÔÖ Ú Û Ú Ö Øµº º ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÁÒ Ø ØÛÓ ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ú ÔÖÓÚ Ü Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÔÐ Ò Ö ÝÒ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖÓÚ Ò Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ ÒÐÙ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÝÒ Ñ Ò Ò ØÓÔÓÐÓ Ý Ò ÓÒÚ Ö ØÓ ÓÑ ÒÓÒØÖ Ú Ð Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ Ú Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÛ Ù ÓÑÔÐ Ø Ú ÓÖ ÙØ Û Ò ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ö Ù Ð Ó Ö ÒØ Þ Ù Ø Ø Ø Ñ ÐÐ Ö Ù Ð Ú Ò Ò Ø Ð Ö Ö Ù Ð ÖÓÛ Ò Ò ÐÐÝ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ø Ù Ð º ÙÖ º ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ú ÓÖº Ì Ö Ø Ô ØÙÖ ÓÛ Ø Ò Ø Ð Ø Ø t = 0 ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ö Ù Ð ÐÙ µ Ò Ø Ð ÕÙ Ö µ Û Ø Þ ÖÓ Ú ÐÓ ØÝ Ð º Ì ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø Ý Ø Ø º À Ò Û Ú ÓÑ ÝÒ Ñ Ð Ò ÓÛÒ Ò Ø ÓÒ Ô ØÙÖ Û Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ú ÐÓ ØÝ Ð ÒÓØ ÓÛÒµº Ò ÐÐÝ Ø Ø Ö Ô ØÙÖ ÓÛ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø t = º ÙÖ º ÁÒ Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ù Ð Ó Ö ÒØ Þ ÒØ ÖÑ Ø Ø Ø Û Ø ØÛÓ Ù Ð Ò Ò Ð Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ó ÓÒ Ð Ö Ù Ð º

61 º º ÇÊÅÍÄ Ë ÇÊ ÌÀ Í Ä Ê ÁÍË ½ Ï ÒÒÓØ ÓÑÔ Ö ÒÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÙØ Û Ò Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ µ Ò Ö Ý Ý ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ú Ð Ä ÑÑ ¾º º½º µ Î Ò Ò Ó Ò Ø Ò Ö Ý Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº µ Ì ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ º½µ Ø Ñ ÔÔÖÓ Ò Ò ØÝº ÓÖ Ø Ð ØØ Ö Ø Ø Û Ò ÑÓÒ ØÓÖ Ø ÙÒØ ÓÒ Û ÓÙÐ ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ t º t (µ(ρ(,t)) λ ρ(,t)) L (Ω) ÆÓØ Ì Ò Ö Ý Ý ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ò Ø Û Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ω Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ÕÙ ÔÔ Û Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ú Ò Ü Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø Ù Û Ù Ø Å ÜÛ ÐÐ Ú ÐÙ Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ø Ø Ò ÓÖÑÙÐ º µ ÓÖ Ø Û Ø Ó Ø ÒØ Ö º Ä ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ø Ø Ö ÑÓÓØ ÐÝ ÓÒÒ Ø Ý Ñ Ö ÓÙØ ÒØ Ö Ù Ò Ø tanh ÙÒØ ÓÒº º ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ù Ð Ê Ù ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø Ö Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÔØ Ö Û ÓÒ Ö Ô Ö Ð ÝÑÑ ØÖ ÒÓØ Ò ÖÝ Ø Ú ÔÓÖ Ó Ø Ð ÕÙ µ Ù Ð Ø Ø Ó ÐÐ Ø Ò Ð ÕÙ Ò Ø Ó Ø Ý Ò Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑµº Ì Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Ò Ù Ý ÔÖ ÙÖ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÕÙ ÓÖ Ý ÔÖ Ö Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø Ð ÕÙ Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ º Ì ÓÖÑ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ô Ý Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙÒ Ð Ø Ð ØØ Ö ØÓ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØ Ò Ö Û ÐÐ Ø Ø ÓÐ Ø Ð ÕÙ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ö Ú ÑÔÐ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ù Ó Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ù Ð Û ÙÑ Ø Ð ÕÙ ØÓ ÒÓÑÔÖ Ð Ò Ò Ð Ø Ñ ØÖ Ò Ö ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö º º ÒÓ Ô ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÔÐ º Ì Ö ÓÖ Ø ÓÖÑÙÐ ÔÔÐÝ ÓÒÐÝ ØÓ Ú ÔÓÖ Ù Ð Ø ÑÓÙÒØ Ó Ñ ØÖ Ò Ö ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö Ñ ÐÐº Ì Ó Ð ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑÙÐ ÔÔÐ Ð ØÓ ÖÓÙ ÐÝµ ÔÖ Ø Ø Ú ÓÖ Ó Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ò»ÓÖ ÓÐÐ Ô Ò Ù Ð Ò ÑÔÐ Û Ýº ÓÖ Ø ÔÔÐ Ð ØÝ Ó Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ù ÓÒ Ò Ë Ø ÓÒ º½¾º º º½ Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ì Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ð Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÓÖÑÙÐ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ò ½ º Ï Ø ÖØ ÖÓÑ Ø ÒÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ù Ð ÒØ Ö Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ º º µº Ì Ñ ØÓ Ö Ú Ò ÜÔÖ ÓÒ

62 ¾ À ÈÌ Ê º ÇÆËÌÊÍ ÌÁÇÆ Ç ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ Æ ÀÅ ÊÃË liquid Γt R(t) liquid gas liquid ÙÖ º Ù Ð Ò ÒÓÑÔÖ Ð Ð ÕÙ Ó Ö Ù R(t)º ÓÖ Ù Ð Ö Ù R(t) Û Û ÐÐ Ô Ò ÓÒ Ø Ñ º Ï ÙÑ Ø Ø Ø ÑÓØ ÓÒ Ó Ø Ð ÕÙ Ò Ø ÓÑ Ò Ω t = R n \B R(t) (0) n Ó Ý Ø ÒÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ u t + ( u)u + ρ l p = u = 0, µ l ρ l u, º½ µ º½ µ Û Ö ρ l > 0,µ l > 0 Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò ØÝ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ú Ó ØÝ Ó Ø Ð ÕÙ º ÙÖØ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø ÓÙÒ ¹Ä ÔÐ Ð Û Ø Ø Ø Ö ÓÙÒ ÖÝ Γ t = B R(t) (0)º (P l P g )n = (n )σk m n ÓÒ Γ t. º½ µ P g = p g I Ò P l = pi + µ ( u + u T) Ö Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Ó Ø Ò Ð ÕÙ Ô Ö Ô Ø Ú ÐÝ k m = R(t) Ø Ñ Ò ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø Ö ÓÙÒ ÖÝ σ > 0 Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò p g Ø ÔÖ ÙÖ Ó Ø Û ÙÑ ØÓ ÖÓØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÝÑÑ ØÖ º Ï ÔÖÓÚ ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÖ Òµ Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ò Û ÙÑ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ý ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÖ ÐÐ Ø Ñ t > 0º Ì Ù Û ÓÖ ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ u(x,t) = v(r,t) x, p(x,t) = p(r,t), r = x, x Û Ø Ð Ö ÙÒØ ÓÒ v Ò pº Í Ò Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ Ò Ø Ú Ö Ò ÓÒ ØÖ ÒØ º½ µ Û Ø Ì Ñ Ò ( 0 = r n u(x,t) = r n v r (r,t) + n ) v(r, t) = (r n v(r,t)) r. r v(r,t) = ṽ(t) r n. º½ µ

63 º º ÇÊÅÍÄ Ë ÇÊ ÌÀ Í Ä Ê ÁÍË ÓÖ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ṽ Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ø Ð Ú Ö Ð º Ì ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ º½ µ ÓÖ ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ö (v t + vv r + ρl p r µρl [ ( vr v rr + (n ) r v )]) x r x = 0, Ò ØÓ Ø Ö Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ º½ µ ÆÓØ Ø Ø Ø Ú ÓÙ Ø ÖÑ Ú Ò º Ö Ð Ø ÓÒ ṽ (t) ṽ(t) (n ) rn r n + p r (r,t) = 0. ρ l R (t) = v(r(t),t) = Ï Ø Ø ÒØ ØÝ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Û Ø ÓÖ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ø Ø ÒØ Ö Û Ú Ø ṽ(t) R(t) n. ( R(t) n R (t) + (n )R(t) n R (t) R(t) n R (t) ) r n (n ) r n + p r (r,t) = 0. ρ l ÁÒØ Ö Ø Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÖÓÑ R(t) ØÓ L > R(t) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ r Ú ( R(t) n R (t) + (n )R(t) n R (t) ) L (R (t)) ( R(t) dr r n º¾¼µ ( ) ) R(t) n L + ρ l ( p(l,t) p(r(t),t)) = 0. º¾½µ Ï Û ÐÐ Ö ÔÐ Ø Ø ÖÑ p(r(t),t) Ù Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÒØ Ö º Ï Ø k m = R(t) Ò ÕÙ Ø ÓÒ º½ µ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º½ µ Ö Ù ØÓ p(r(t),t) = p g (R(t),t) σ(n ) R(t) µ(n (t) )R R(t). ÈÐÙ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÒØÓ ÕÙ Ø ÓÒ º¾½µ Û Ø ÓÖ Ô Ñ Ò ÓÒ n = ( R(t)R (t) + R (t) ) ( ) L log ) R(t) R (t) ( R(t) L Ò ÓÖ n = 3 = ( p g (R(t),t) p(l,t) σ ρ l R(t) (t) µr R(t) ( R(t)R (t) + R (t) ) ( R(t) L ) ) R (t) ( R(t)4 L 4 = ( p g (R(t),t) p(l,t) σ ρ l R(t) (t) 4µR R(t) ), º¾¾µ ). º¾ µ

64 À ÈÌ Ê º ÇÆËÌÊÍ ÌÁÇÆ Ç ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ Æ ÀÅ ÊÃË ( ) ÁÒ Ø n = 3 Ò L >> R(t) Û Ò Ò Ð Ø Ø ÖÑ Ò R(t) k L, k Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ R(t)R (t) + 3 R (t) = ( p g (R(t),t) p(l,t) σ ) ρ l R(t) (t) 4µR, º¾ µ R(t) Û Ø Ð Ð Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ ½ º Ì Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ º¾¾µ º¾ µ Ò º¾ µ Ò ÓÐÚ Û Ø Ú ÖÝ Ç ÓÐÚ Öº ÁØ Ö Ñ Ò ØÓ ÔÖ Ö Ø ÔÖ ÙÖ Ó Ø Ø Ø ÒØ Ö p g ÓÖ Ü ÑÔÐ Ý ÖÓØÖÓÔ ÓÖ ÓØ ÖÑ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ð ÕÙ Û Ø ÒÔÙØ ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒº º º¾ Î Ö Ø Ò ÓÒØ Ò Ö Ï ÐÐ Ï ÓÒ Ö Ô Ö Ð ÓÒØ Ò Ö Ó Ö Ù L Ø Ø ÓÐ Ø Ð ÕÙ Ò Û ÙÑ Ø Ø Ø ÓÒØ Ò Ö Û ÐÐ Γ w t Ú Ö Ø ÝÑÑ ØÖ ÐÐÝ º º Γ w t = B L+x(t) (0) Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ x ÑÓ Ð Ø ÑÓÚ Ñ ÒØ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝº Γ w t Γt R(t) gas liquid x(t) L ÙÖ º Ù Ð Ò Ú Ö Ø Ò ÓÒØ Ò Öº ÁÒ Ø ÓÒ ØÓ º½ µ º½ µ Ò º½ µ Û ÒØÖÓ Ù ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ø Ø ÓÒØ Ò Ö Û ÐÐ Γ w t u n = x (t), u τ i = 0, i =,...,n, Ö τ i ÒÓØ n Ð Ò Ö Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò ÒØ Ð Ú ØÓÖ º Ì ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÜÔÖ ÓÒ º½ µ Û ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø ÒÓÑ¹ ÔÖ Ð ØÝ ÓÒ ØÖ ÒØ º½ µ Ú Ø Ö Ð Ø ÓÒ x (t) = v(l + x(t),t) = ṽ(t) (L + x(t)) n. Ì Ò ÕÙ Ø ÓÒ º¾¼µ Ö ÙÐØ Ò Ø ÓÖÑÙÐ ( ) L + x(t) n R (t) = x (t). º¾ µ R(t)

65 º º ÇÊÅÍÄ Ë ÇÊ ÌÀ Í Ä Ê ÁÍË Ì ÓÖÑÙÐ ÑÔÐÝ Ú Ò Ý Ø ÒÓÑÔÖ Ð ØÝ ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø Ö Ù Ó Ø Ù Ð Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ø Ó Ø Ò Ø Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒº ÙØ Ø ÓÖ Ø Ø Ò ÖÝ ØÓ Ú Ø Ú Ö Ø ÓÒ x(t) Ó º ÁØ Ð Ó Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ó Ø Ð ÕÙ º

66 À ÈÌ Ê º ÇÆËÌÊÍ ÌÁÇÆ Ç ËÇÄÍÌÁÇÆË Æ Æ ÀÅ ÊÃË

67 ÔØ Ö Ö Ø ÇÖ Ö ÙÖ Ø Ë Ñ ÁÒ Ø ÔØ Ö Û Û ÐÐ ÓÒ ØÖÙØ Ö Ø ÓÖ Ö Ñ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ ¹ Ø ÓÒ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº Ì Ý Ø Ñ Ø Ð Ý Ø Ñ Ò Ú Ö Ò ÓÖÑº Ì Ö ÓÖ ÓÒ ÛÓÙÐ Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ö Ø Þ Ø Ò ÓÒ Ö¹ Ú Ø Ú ÓÖÑº Ï Û ÐÐ Ø Ø Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ Ð ØÓ Ú Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ º ÇÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÔÔ Ö Ò Ó ØÖ Ò Ú ÐÓ Ø Ò Ø ÒØ Ö ØÛ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô º Ë Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ó ÖÚ Ò Ò ÓÐÚ Ò Ý Ö Ø Þ Ò ÖØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÒº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò Ò Ö Ý Ý Û Ø Ø Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ú Ð Ä ÑÑ ¾º º½º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ö Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Û ÐÐ Ö Ø Þ Ø ÔÖ ÙÖ Ò Ø ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑº Ì Ö ÙÐØ Ò Û ÐÐ Ð Ò Ñ º º Ñ Ø Ø Ð ØÓ ÔÖ ÖÚ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº Ï Û ÐÐ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Û ÐÐ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÙÖ Ø Ø Ò Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ý Û Ø Ø Ñ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Ø Ó ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ú Ðº Ì Ø Ñ Û Û ÐÐ Ò Ö Ð Þ ØÓ Ö ÓÖ Ö Ñ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò Ø Ò ÜØ ÔØ Öº Ø Ö Ñ Û ÔÖ ÒØ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ú Ò Ò ¾ ¼ º Ì Ñ Ò ØÓ ÔÖ ÖÚ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÙØ Ø Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÛ Ø Ø Ø Ð ØÓ ÔÖÓ Ù Ø ÝÒ Ñ ÓÖÖ ØÐÝº Ì Ñ Ò ÓÒÐÝ Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÒÓÒØÖ Ú Ð Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ º Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÔØ Ö Û Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ì Ú ÓÙ Ô ÖØ Ò Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ τ ÕÙ Ð ØÓ ε u ÓÖ ÑÔÐ ØÝº ÁÒ Ø Ø Ú ÓÙ Ø ÖÑ Ö Ù ØÓ ε u ÓÖ Ô Ð Ó Ó Ø Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö µ Ò ν ÙØ Ø Ó Ñ Ý ÒÓØ Ñ Ò ÖÓÑ Ø Ô Ý Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÑÔÐ ØÝ Û ÓÒ Ö ÓÒÐÝ ÙÒ ÓÖÑ ÖØ Ò Ñ º ÓÓÖ¹ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ù Ú ÒØÓ N Ô ÖØ º Ì Ö ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ø Ó N d ÐÐ Ò ØÓØ Ð Û Ö d ÒÓØ Ø Ô Ñ Ò ÓÒµº Ì Û Ø Ó ÐÐ h > 0

68 À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ø ÓÒº ÍÒÐ ÓØ ÖÛ ÒÓØ Û ÓÒ Ö Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ú ÖÝ ÓÓÖ¹ Ò Ø Ö Ø ÓÒº Ì ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓØ Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ò ÜØ ÔØ Öº Ì Ù Ø Ý Ø Ñ ØÓ ÓÐÚ (ρu) t ρ t + (ρu) = 0, + (ρuu T ) + p(ρ) = K + ε u, Ò Ω (0,T) º½µ Ò Ω ÑÙ Ø Ò d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ù Ó Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ º ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÐÛ Ý ÓÓ Ø ÙÒ Ø Ù Ω = [,] d º Ì Ø Ö Ñ Û Ù Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒ ÐÓÒ ØÓ Ø Ð Ó Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ º Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ø Ö Ô ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÖØ Ò Ñ Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø Ö Ò Ñ º ÁÒ Ø Ó Ø Ö Ø ØÛÓ Ñ Û Û ÐÐ Ù Ø Ò Ø Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ò ÓÑ Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º Ì Ò Ö Ð ¹ Ò Ø ÎÓÐÙÑ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ø ÓÒ Ñ µ ÓÒ Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ñ Ò ÓÙÒ Ò Ø Ò ÜØ ÔØ Öº ÓÖ ÑÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ö Ò Ò Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù ½ ¾ ½ º º½ Ë Ñ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ ØÖÙØ Ö Ø ÓÖ Ö Ñ ØÓ ÓÐÚ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û º½µ Ý Ø Ñ ÒÙÑ Ö ÐÐÝº Ì Ö ÙÐØ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ ÓÒ Ø Ä Ü¹ Ö Ö ÙÜ ÓÖ Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒº Ï Ú Ó Ò Ø Ä Ü¹ Ö Ö ÙÜ Ù Ø Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ÝÔ Ö ÓÐ ØÝ Ó Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Û ÓÐ Ø Ø Ô ÜÔÐ ØÐÝ Ñ ÓÒ Ê Ñ ÒÒ¹ËÓÐÚ Ö ÓÖ ÐÙÜ¹Î ØÓÖ¹ËÔÐ ØØ Ò Ñ Óº Ì Ú ÓÙ Ò ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Þ Ý ÒØÖ Ð Ö Ò Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑº Ì Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ò¹ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Û Ó ÖÚ Ø ÔÔ Ö Ò Ó ØÖ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð ÐÓ ØÓ Ø ÒØ Ö Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Û Ó ÒÓØ Ú Ò Ò Ö Ý Ý ÓÖ ÑÓÓØ Ò ÐÝØ Ð ÓÐÙØ ÓÒº Ë Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ó ÖÚ Ò º ÁÒ Ø Ú ÐÓ Ø Ö ÐÐ Ô Ö Ø ÙÖÖ ÒØ º Ì Ó Ø Ä Ü¹ Ö Ö Ñ ØÓ Ø Ð Þ Ø Ñ Ý Ò Ò ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ø Ø Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Û Ø Ø Ñ Þ h Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù ¾ ½ º Ì Ù Ø Ô Ö ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò Ú Ó ØÝ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº ρ t + (ρu) = α h ρ, (ρu) t + (ρuu T ) + p(ρ) = α h (ρu) + K + ε u, º¾µ

69 º½º Ë À Å ÁÆ ÇÆË ÊÎ ÌÁÎ ÇÊÅ Û Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö α Ó Ò ØÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ø Û Ú Ô º ÆÓØ Ì ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÑ ØØ Û Ò Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ Ò ÒÓÙ Ù Ø Ø Ø Ò ØÙÖ Ð Ú Ó ØÝ ÓÑ Ò Ø º Ì ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ò Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÕÙ Ø ÓÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ Ø ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ð Ø Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ µº ÁÒ Ë Ø ÓÒ º Û Û ÐÐ Ø Ø Û Ø ÓÙØ Ø Ú Ó ØÝ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Ö ÓÖ Ö Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ö Ò Ø Ò ÜØ ÔØ Öµ Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ñ ØÖÙ Û Ò Ø Ä Ü¹ Ö Ö ØÝÔ Ñ Ò Ö Ð Þ ØÓ Ö ÓÖ Ö Ñ º Ï ÔÖ ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ø ÜØ Ò ÓÒ ØÓ ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ò ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ì ÆÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ½ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÓÒ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ñ Ó N ÐÐ Ò Ý Ø N + ÔÓ ÒØ x < x <... < x N Ò Ø ÙÒ ÓÖÑµ Ñ Ø Ö Ó ÐÐ ÒÓØ Ý hº ÃÓÖØ Û Ø Ò ÓÖ K Ö Ù ØÓ Ø Ð Ö ÕÙ ÒØ ØÝ ÁÒ ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø ( K = λ ρρ xx ) ρ x. Ï ÔÖÓÚ Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ý ÔÖÓ Ø ÓÒ ρ 0 i = h xi+ x i ρ 0 (x) dx, (ρu) 0 i = h xi+ x i (ρ 0 u 0 )(x) dx, ÓÖ i = 0,...,N º Ì ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ò Ò Ý Ø ÙÔ Ø ÔÖÓ ÙÖ

70 ¼ À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë ÖÓÑ Ø n¹ø ØÓ Ø (n + )¹Ø Ø Ñ Ø Ôº K n i = λ h ( ρ n i (ρn i+ ρn i + ρn i ) 8 (ρn i+ ρn i ) ), ρ n+ i (ρu) n+ i u n i = (ρu)n i ρ n, i = ρ n i t ( (ρu) n h i+ (ρu) n i α(ρn i+ ρn i + ρn i )), = (ρu) n i t ( (ρu) n h i+ u n i+ (ρu) n i u n i + p(ρ n i+) p(ρ n i ) ) + t ( K n h i+ Ki ) n + t h α( (ρu) n i+ (ρu)n i + ) (ρu)n i + t h ε( u n i+ un i + ) un i. ÁÒ Ø Ñ Ú Ò ÓÚ Û ÓÓ α ØÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ø Û Ú Ô Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô { } α = max u n i ± p (ρ ni ), i Û Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ù ÐØ ÓÒÐÝ ÓÚ Ö Ø Ú ÐÙ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ú ÔÓÖ Ô Ò Ø ÓÙÒ Ô Ñ Ò ÖÝ Ò Ø ÐÐ ÔØ Ö ÓÒ Ò Ø ÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó ÒÓØ Ñ Ò Ø Ö º Ì Ø Ñ Ø Ô Þ t ØÓ Ñ ÐÐ ÒÓÙ ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ º ÁØ ÒÓØ Ð Ö ÓÛ ØÓ ÓÓ Ø Ü ØÐÝ ÙØ Û Ó ÖÚ Ø Ø Ø Ó ÓÖ Ö O(h ) Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ë Ø ÓÒ º Ò º¾¾µ º¾ µº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö α Ò Ø Ø Ñ Ø Ô Þ t Ñ Ý Ú ÖÝ ØÛ Ò Ø Ø Ñ Ø Ô º ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÑÔÐ ØÝ Ø Ô Ò Ò ÓÑ ØØ º ÆÙÑ Ö Ð Ê ÙÐØ Ì Ô Ö Ö Ô Ø ØÓ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ø Û Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ ÔÖ ÒØ ÓÚ º Ï ÔÔÐÝ Ø Ö Ø Ø Ö Ø Ø ÔÖÓÔÓ Ò ÔØ Ö º Ì Ø Ø Û Ø Ø ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ Û Ø Ü ÓÒ Ø ÒØ ÓÙÒ ÖÝ Ø Ø Ò Ø Ø Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Û Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÔØ Ö Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ ÕÙ ÔÔ Û Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ¾º½ µ Û Ö Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ü ØÓ θ ref = 0.85º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð [,] Ò Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ö [,] º

71 º½º Ë À Å ÁÆ ÇÆË ÊÎ ÌÁÎ ÇÊÅ ½ Ì Ø ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø Û Ú Ó Ò Ø ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ØÖ Ú Ð Ò Û Ú Ó¹ ÐÙØ ÓÒ Û ÓÑÔÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º¾º Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ö λ = 0.00, ε = , s = 0.34, Û Ö s ÒÓØ Ø Ô Ø Û Ú ØÖ Ú Ð Û Ø ØÓ Ø Ð Øº Ï ÓÑÔ Ö Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ØÝ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Û Ø Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ T = 0.5 Û Ø ÔÖÓ Ð Ø ØÓ Ø Ð Ø Ý s T µº ÓÖ Ø Ø Ø Û ÒÒÓØ Ù Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º À Ò Û Ù Ø Ú ÐÙ Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ º Ì ÙÒ ÖÐÝ Ò ÕÙ Ø ÒØ Ñ Ú ÖÝ ØÛ Ò n = 00 Ò n = 800 ÐÐ º Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø Ö n = 800 ÔÐÓØØ Ò ÙÖ º½º Ö Ò ØÛ Ò Ü Ø Ò ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ØÓ Ñ ÐÐ ÓÖ Ø Ñ Þ Ò ÒÒÓØ Ò ÖÓÑ Ø ÔÐÓØº.5 ρ h ρu h ρ ρu ρ, ρu x ÙÖ º½ Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø ÓÒ ÖÚ ¹ Ø Ú Ñ ÓÖ n = 800º Ì Ð º½ ÓÛ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö Ø Ó Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º ÖÖÓÖ Ò Ò ØÝ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Ö ÓÛÒ Ô Ö Ø ÐÝ ÓÖ Ö ÒØ Ñ Þ º Ì Ç Ü¹ Ô Ö Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò µ Ð ÖÐÝ ÑÓÒ ØÖ Ø Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒÚ Ö Ò º Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÖ Ø Ø Ø Û Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û ÓÓ Ò ØÝ ÔÖÓ Ð ÓÑÔÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º½º ÓÖ Ø Ø Ø Ø ÓÖÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÐÐ Ó Ö Ù ÓÒ Û Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º ½µ Ò ¾º µº Æ Ú ÖØ Ð Û Ù Ø ÕÙ Ö Ω = [,] ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ò ÔÔÐÝ Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÔÐ ØÝº Ì ÓÙÐ ÒÓØ Ñ Ö Ò Ò Ø Ò ØÝ Ú ÐÙ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ Ö ÕÙ Ð ØÓ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ÙÔ ØÓ Ø ÖÓÙÒ Ó ÖÖÓÖµº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö λ ÐÖ Ý Ó Ò Ý Ø Ó Ó Ø Ò ØÝ ÔÖÓ Ð º Ì Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ØÖ ÖÝº Ï ÓÓ Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ø Ø Û Ø Ø ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú

72 ¾ À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë ρ ρu L ¹ ÖÖÓÖ Ç L ¹ ÖÖÓÖ Ç ½º¼¼¼¼ ¹¼¾ ¾º ¹¼¾ º ¼ ¹¼¾ º¼¼¼¼ ¹¼ ½º ¹¼¾ ¼º ¾º¾½¾ ¹¼¾ ¼º º ¹¼ ½º¾¾¾½ ¹¼¾ ¼º ½º ¾ ¹¼¾ ¼º ¾º ¼¼¼ ¹¼ º ¼ ¹¼ ¼º ½½ ½º½½ ¹¼¾ ¼º ¾º¼¼¼¼ ¹¼ º¼¼ ¹¼ ¼º ¾ º ¾ ¹¼ ¼º ½º ¹¼ º ½ ¹¼ ¼º º ¹¼ ¼º ½º ¾ ¹¼ º ¹¼ ¼º º ¹¼ ¼º ½º¾ ¼¼ ¹¼ º¾ ¼ ¹¼ ¼º ½½ º ¹¼ ¼º ½º½½½½ ¹¼ º ½ ¹¼ ¼º ¾½ º¼¾ ¹¼ ¼º Ì Ð º½ L ¹ ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º ÓÚ º λ = 0.00, ε = Ì Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø n n ÖØ Ò Ñ Ú Ö ØÛ Ò n = 00 Ò n = 800º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ðµ Ø Ñ Ø Ø Ò Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ T = 0.0º Ì Ð º¾ ÓÛ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö Ø Ó Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ì ÖÖÓÖ Ñ ØÓ ÒÓØ Ò Ø ÝÑÔØÓØ Ö Ñ Ø Ø Ñ Þ º Ì Ç ÓÙÐ ÔÔÖÓ Ø Ú ÐÙ h Ø Ò ØÓ Þ ÖÓº Ò ØÝ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ç ¾º¼¼¼¼ ¹¼¾ º ¾ ¹¼¾ ½º¼¼¼¼ ¹¼¾ ½º ½ ¾ ¹¼¾ ½º º ¹¼ ½º¾¼½ ¹¼¾ ¼º ¼ º¼¼¼¼ ¹¼ ½º¼ ¾ ¹¼¾ ¼º ½½ º¼¼¼¼ ¹¼ º ¼½ ¹¼ ¼º ¾½ º ¹¼ º ½¼½ ¹¼ ¼º ¼ ¾º ½ ¹¼ º ¼ ¹¼ ¼º ¾º ¼¼¼ ¹¼ º ½ ¹¼ ¼º ½½ Ì Ð º¾ Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÌÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º ÁÒ ÙÖ º¾ Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ T = 0.0 ÓÛÒº Ì Ò ØÝ Ú ÐÙ Ú ÖÝ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ØÛ Ò 0.3 ÐÙ µ Ò.8 Ö µº Ì Ú ÐÙ Ö ÐÓ ØÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ó Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø º Ì Ú ÐÓ ØÝ Ð Û ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ ÓÖ ÐÐ Ø Ñ Ò Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒµ Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ð ÖÖÓÛ º Ì ÔÐ Ý ØÝÐ Ù Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÔØ Öº Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú ÖÝ

73 º½º Ë À Å ÁÆ ÇÆË ÊÎ ÌÁÎ ÇÊÅ ÐÓ ØÓ Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º Ø Ö Ö ÐÑÓ Ø ÒÓ Ò Ò Ø Ñ ÙØ Û Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø ÒØ Ö Ø Ø Ó ÓÖ Ö O(h)º Ì Ð Ò Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ø Ñ Ò ÐÐ Ù ¹ ÙÖ Ò Ø ÕÙ Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ø n = 00, 00, 400 ÓÛ Ø Ø Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ Û Ø hº ÙÖ º¾ Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ò ØÝ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð ÔÖÓ Ù Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø T = 0.0 ÓÖ n = 00, 00, 400º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÓÛ Ò Ø Ö Ø Ø Ý Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº ËÓ Û Ú ØÓ Û Ý Ò ØÝ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ º ÓÖ Ø Ò ØÝ Ø Ò Ò Ý Ö ÛÖ Ø Ò Ø Ñ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÖÓÑ ÕÙ Ø ÓÒ º¾µ Ò Ø ÓÖÑ ( ρ t + ρu α h ) ρ = 0. Ì Ö ÒØ Ó Ø Ò ØÝ ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Ø Ú ÔÓÖ Ù Ð ØÓ Ø Ð ÕÙ Ô º À Ò Û Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð ÓÛÒ Ò ÙÖ º¾ Ø ÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÙØ Ø Ö Ø ÖÑ ÖØ Ð Ú Ó ØÝµ Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ò ØÝ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ñ º ÖÓÑ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÖÐÝ Ò Ø Ø Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø ÒØ Ö ÑÙ Ø Ó ÓÖ Ö O(h)º ÓÖ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø º ÁØ ÒØ ÐÐÝ Ù ØÓ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÔÖ ÙÖ Ò ÃÓÖØ Û Ø ÖÑº ËÙ Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø ÒØ Ö Ò Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÐÐÝ Ò Ø Û Ò Ò ÒØ Ö Ò ÓÒØ Ø Û Ø ÓÐ Û ÐÐ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º ½µ ÑÔÓ Ù Ø Ø Ø Ú ÐÓ ØÝ ÑÙ Ø Ú Ò Ø Ø ÓÙÒ ÖÝº Ì Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø ÒØ Ö Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ð Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓØ ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÔÖ Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒº Ë Ñ Ð Ö Ú ÐÓ ØÝ Ð Ó ÐÐ Ô Ö Ø ÙÖÖ ÒØ µ Û Ö Ó ÖÚ Ò º ÁÒ Ø Û ÓÛÒ Ø Ø Ø Ô Ö Ø ÙÖÖ ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ø Û Ò Ø ÔÖ ÙÖ Ò ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ö Ö Ø Þ Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÒº Ì ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ó Ø Ó Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ ÔÖ ÒØ Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº Ì Ø ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ì Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ø Ò Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ú ÓÖ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ù Ý Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ù Ý Ó Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ú Ò Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø Ð Ú Ðº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ò Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ö Ω = [,] Ò Ø Ô ÐÐ Ö ØÝ Ò Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ò Ò Ø Ð Ø Ø Ø λ = 0.00 Ò ε = º Ì Ö Ø Ó Ø ØØ Ò ÔÖÓÔÓ Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì ÖØ Ò n n Ñ Ú Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó n =

74 À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë 00, 00, 400 Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÑÔÙØ ÙÔ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ T = 0.0º ÓÖ Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ö Ø ÐÐ Ð ØØÐ Ø ÑÓÚ Ñ ÒØ ÙØ Ò Ò ØÓÔÓÐÓ Ý Ö ÓÑÔÐ Ø Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓØ ØÓÓ Ö ÖÓÑ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø º ÙÖ º ÓÛ Ø Ò Ø Ð Ø Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ t =. Ò t = 0.0º Ì ØÛÓ Ñ ÐÐ Ö Ù Ð Ú Ò Ò Ø Ð Ö Ö ÓÒ ÖÓÛ Ø Ñ ÚÓÐÚ º Ò ÐÐÝ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔÖÓ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº Ò Ø Ö Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø ÒØ Ö Ò Ð ÖÐÝ Òº ÙÖ º ÌÓÛ Ö Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Øº Ò ØÝ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð ÔÖÓ Ù Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø t = 0.0,., 0.0 ÓÖ n = 00º Ì Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ú ÓÖ Ó Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ý ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º ÓÖ Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ø Ö ÒØ Ñ Þ n = 00, 00, 400µº ÇÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý ÒÓØ ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ú Ðº ÙØ Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ö ÓÒ Ò Ö Ö Ù Ø Ø Û Ò ÓÔ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ h 0µ ÓÖ Û ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ º Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÙÖ ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ý Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº Ì Ù ØÓ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø ÒØ Ö º n = 00 n = 00 n = n = 00 n = 00 n = E 0.4 Ekin t e t ÙÖ º ÌÓØ Ð Ò Ö Ý Ò Ò Ø Ò Ö Ý ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º n = 00, 00, 400º Ò ÐÐÝ Ø Ú ÐÙ κ Ó ÒÓØ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÚ Ø Ó ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ú Ð Û Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔÖÓ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø º Ì Ò Ò Ò ÙÖ º Ù Ø Ö ÒØ Ó κ Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓº

75 º¾º Ï ÄÄ Ä Æ Ë À Å 00 n = 00 n = 00 n = κ L t ÙÖ º Ö ÒØ Ó κ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º n = 00, 00, 400º º¾ Ï ÐÐ Ð Ò Ë Ñ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ú Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ö Ù Ý Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ø Ø Ò ÖÝ ØÓ Ø Ð Þ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ó¹ ÐÙØ ÓÒµ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ý Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÔÖ ÙÖ Ò ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ø Þ Ø ÓØ Ø ÖÑ ØÓ Ø Ö Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì ÔÔÖÓ Ð Ò Ò ØÙÖ Ð Û Ý ØÓ Û ÐÐ Ð Ò Ñ º º Ñ Ø Ø Ð ØÓ ÔÖ ÖÚ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ù ÔÖÓ Ð Ñ º ÁØ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ò ÓÒÚ Ö ØÓ ÛÖÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Û Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ö ÔÖ ÒØ ¼ º Ì ÒÓØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÙÖ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÙÔÔÓ ØÓ Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ Ø Ð Ø ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ µº Ì Ø Ø ÓÛ Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ò Ö Ý Ý ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº Ì Ñ Ñ ØÓ Ø ÑÓ Ø ÔÖÓÑ Ò Ñ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆËÃ¹ Ý Ø Ñ Ò Ø Ö ÓÖ Û Û ÐÐ Ò Ö Ð Þ Ø Ñ ØÓ Ö ÓÖ Ö Ñ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ò ÔØ Ö º Ì ÆËÃ ËÝ Ø Ñ Ò ÆÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ Ì Ñ ÓÒ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + ρ κ(ρ, ρ) = ε u, Û Ö Ø Ú Ö Ð κ Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ κ = κ(ρ, ρ) = µ(ρ) λ ρ Ò Ω (0,T), º µ º µ Ò µ ÒÓØ Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ðº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ø Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖÑÙ¹ Ð Ø ÓÒ Û Ö Ö ØÓ Ä ÑÑ ¾º º¾º Ì Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ ØÓ Ð Ò Ö Ú Ó ØÝ Ø ÖÑ Ð Û Ø Ø Ñ Þ ØÓ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ø

76 À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë Ä Ü¹ Ö Ö ØÝÔ Ñ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒµ Ò ÒÓÒÐ Ò Ö Ú Ó ØÝ ÓÑ Ò Û Ø ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ø ÖÑ α h κ = α h [ ( p ) ] (ρ) ρ ρ λ ρ ØÓ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÕÙ Ø ÓÒº ÖÓÑ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ò Ø Ø Ø ÒÓÒÐ Ò Ö Ú Ó ØÝ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ô Ò Ø ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ð Ó Ø ÓÖÖ Ø Ò ØÓ Ø Ð Þ Ø Ñ º Ì Ö ÙÐØ Ò Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ø Ò ÓÑ ρ t + (ρu) = α h κ, (ρu) t + (ρuu T ) + ρ κ(ρ, ρ) = α h (ρu) + ε u. º µ Ì Ú ÒØ Ó Ø ÒÓÒÐ Ò Ö Ú Ó ØÝ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ø Ø Ø Ú Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ù κ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ä ÑÑ ¾º º¾º Ì Ù Ö Ø Þ Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ý ÒØÖ Ð Ö Ò Ö ÙÐØ Ò Ñ Ø Ø ÔÖ ÖÚ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð º º Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö α ÓÙÐ Ó Ò ØÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ø Û Ú Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö α Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒµ Ò Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö α ÓÙÐ Ó Ò Ù Ø Ø α p (ρ) ρ Ó Ø Þ Ó α º ÆÓØ Ò Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÑ ØØ Û Ò Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ Ò ÒÓÙ Ù Ø Ø Ø Ò ØÙÖ Ð Ú Ó ØÝ ÓÑ Ò Ø º ÐÓÛ Û Ú Ø ÓÑÔÐ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ ÑÔÐ ØÝº Ì Ñ ÓÒ Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ý ÒØÖ Ð Ö Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔÐ Ø ÙÐ Ö Ñ ÓÖ Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒº Ì ÜØ Ò ÓÒ ØÓ ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º

77 º¾º Ï ÄÄ Ä Æ Ë À Å Ì ÆÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ½ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û ÔÖÓÚ Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ý ÔÖÓ Ø ÓÒº Ì Ò Ø ÙÔ Ø ÖÓÑ ÓÒ Ø Ñ Ø Ô ØÓ ÒÓØ Ö Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ð ÓÖ Ø Ñº κ n i = µ(ρ n i ) λ h (ρn i+ ρn i + ρn i ), ρ n+ i (ρu) n+ i u n i = (ρu)n i ρ n, i = ρ n i t ( (ρu) n h i+ (ρu) n i α (κ n i+ κ n i + κ n i ) ), = (ρu) n i t ( (ρu) n h i+ u n i+ (ρu)n i i ) un t ( (ρ n 4h i+ + ρ n i )(κ n i+ κ n i ) + (ρ n i + ρ n i )(κ n i κ n i ) ) + t h α ( (ρu) n i+ (ρu) n i + (ρu) n i ) + t h ε( u n i+ un i + ) un i, ÓÖ i = 0,...,N º Ù ØÓ Ø ÖØ Ð ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ð Ý h Ò Ø Ñ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ Ø Ô Þ ÑÙ Ø Ó Ò ÜØÖ Ñ ÐÝ Ñ ÐÐº ÁØ ÒÓØ Ð Ö ÓÛ Ñ ÐÐ Ü ØÐÝ ÙØ Û Ó ÖÚ Ø Ø Ø Ó ÓÖ Ö O(h 3 )º Ì Ø Ñ Ø Ô Þ Û Ø ÖÑ Ò Ý Ù Ú ÐÝ ÐÓÛ Ö Ò Ø Ø Ñ Ø Ô Þ ÙÒØ Ð Ø Ñ Ø Ó Û ÒÓØ ÐÓÒ Ö ÙÒ Ø Ð º ÌÓ ÓÚ ÖÓÑ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Û ÔÔÐÝ ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò ØÓ Ø Ò Ö Ð Þ Ö ÓÖ Ö Ñ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔØ Ö º ÆÙÑ Ö Ð Ê ÙÐØ Ì ØØ Ò ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ø Ø Û Ø Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ ÔÖ ÒØ ÓÚ Ü ØÐÝ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ø Û Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º Ì Ø ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ Ì Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø ÙÔ ¹ Ö ÓÖ ØÝ Ó Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Û ÐÐ Ð Ò Ñ ÓÚ Ö Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º Ì Ð º ÓÛ Ø L ¹ ÖÖÓÖ Ó Ò ØÝ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Ø Ø Ñ T = 0.5º ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ù Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø ÖÖÓÖ Ó Ø Û Ø Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ö Ò ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ñ ÐÐ Öº Ë Ð Ó Ë Ø ÓÒ º ÓÖ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø Ñ º ÔÐÓØ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø Ö n = 800 ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ì Ð º ÓÛ ÓÒ ÓÖ Ö ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø ÙØ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ø Ð ÔÖÓ Ù Ò ÖÖÓÖ Ó ÓÖ Ö O(h)º Ì ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ù ØÓ Ø Ù Ó Ø Ñ ÔÓ ÒØ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ò Ø Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÖÓÖº Ø

78 À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë.5 ρ h ρu h ρ ρu ρ, ρu x ÙÖ º Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø ÒÓÒÓÒ¹ ÖÚ Ø Ú Ñ ÓÖ n = 800º ρ ρu L ¹ ÖÖÓÖ Ç L ¹ ÖÖÓÖ Ç ½º¼¼¼¼ ¹¼¾ º¾ ¹¼ ½º ¹¼ º¼¼¼¼ ¹¼ ¾º½¾¼ ¹¼ ¼º º ¼ ¹¼ ¼º º ¹¼ ½º ¹¼ ¼º ¼ º½ ¹¼ ¼º ¾ ¾º ¼¼¼ ¹¼ ½º¾¼ ¹¼ ¼º º ¼ ¼ ¹¼ ¼º ¼ ¾º¼¼¼¼ ¹¼ º ½¾¼ ¹¼ ¼º ¼ º ¹¼ ¼º ½º ¹¼ º ½½ ¹¼ ¼º ¼¼ º ¾ ¹¼ ¼º ¼¼ ½º ¾ ¹¼ º ¼ ¼ ¹¼ ¼º ½ ¾º ¼ ¹¼ ¼º ½ ½º¾ ¼¼ ¹¼ º ¹¼ ¼º ¾ ¾º ¾ ¹¼ ¼º ¾ ½º½½½½ ¹¼ º ¹¼ ¼º ¾º ¼ ¹¼ ¼º ¼ Ì Ð º Ì Ø ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒº L ¹ ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ º Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ø Ñ ÔÖÓ Ù Ò ÖÖÓÖ Ó ÓÒ ÓÖ Ö ÔÓ ÒØÛ µº Ì Ñ Ò ØÓ ÔÖ ÖÚ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ø Ð Ú ÐÙ º Ì ÔÖÓ Ø Ú ÐÙ Ö ØÙ ÐÐÝ ÒÓØ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð ÙØ Ø Ý Ö Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ Ò Ö Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ì Ù Ø ÖÖÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ù Ö Ò Ð Ð º Ò ÐÐÝ Ø Ø Ñ Ø Ô Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ù Ø Ø Ø ÓÖÛ Ö ÙÐ Ö Ø Ñ Ø ÔÔ Ò Ó ÒÓØ ØÖÓÝ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø º Ì Ù Ó Ö Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ ÛÓÙÐ ÓÛ ÓÒÐÝ Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒÚ Ö Ò Ù ØÓ Ø Ò Ø Ð ÔÖÓ Ø ÓÒº Ì Û Ø Û Û ÐÐ Ò Ë Ø ÓÒ º½ Ù Ò Ö ÓÖ Ö Ñ ÓÒ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ñ º ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ó ÒÓØ ÔÖÓ Ù ØÖ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÒØ Ö º Ì Ù Ø Ñ Ò ØÓ ÔÖ ÖÚ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº ÁÒ Ø Ø Ö Ñ ÐÐ Ú ÐÓ ØÝ Ð ÙØ Ú Ö Ð ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð ÔÖÓ Ù Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ú ÐÓ ØÝ Ö Ù Ø ÔÖÓ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ö ÒÓØ Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÙØ Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ ÓÒ º Ì Ù ÓÑ ÝÒ Ñ Ú ÐÓÔ ÙØ Ø Ú ÐÓ ØÝ ÓÒÚ Ö ÙÔ ØÓ ÖÓÙÒ Ó ÖÖÓÖµ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ØÓ Þ ÖÓ

79 º¾º Ï ÄÄ Ä Æ Ë À Å Ò ØÝ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ç ¾º¼¼¼¼ ¹¼¾ º ¼ ¹¼ ½º¼¼¼¼ ¹¼¾ º¼ ½¼ ¹¼ ¾º¼ ¼ º ¹¼ º ½ ¹¼ ¾º¼½ º¼¼¼¼ ¹¼ ¾º¾ ¾ ¹¼ ¾º¼¼ º¼¼¼¼ ¹¼ ½º ¹¼ ¾º¼¼ º ¹¼ º ¼ ¹¼ ¾º¼¼ ¾º ½ ¹¼ º ½ ¹¼ ¾º¼¼¾ ¾º ¼¼¼ ¹¼ º ¼ ¹¼ ¾º¼¼¾ Ì Ð º Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÌÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ º Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº ÙÖ º ÓÛ Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø T = 0.0 ÓÖ Ø Ø Ö Ö ÒØ Ñ Þ n = 00, 00, 400µº Ì Ú ÐÓ ØÝ Ð Ð Ó ÓÛÒ ÙØ Ð Ò Ø Ñ Û Ý ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÒÒÓØ Ò Ò Ø ÙÖ º ÙÖ º Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ò ØÝ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð ÔÖÓ Ù Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ø T = 0.0 ÓÖ n = 00, 00, 400º Ì Ø ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ì Ø Ø Ø ÔÖÓÔÓ Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì ØØ Ò Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ö¹ Ú Ø Ú Ñ º ÙÖ º ÓÛ Ø Ò Ø Ð Ø Û Ø Þ ÖÓ Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø Ö Ù Ð Ø Ø Ñ t = 0º Ì Ñ Þ Ø Ñ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ø Û Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ n = 00µº Ø Ø Ñ t =. Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ Ù Ð Ð Ø Ò Ø Ñ ÐÐ Ö ÓÒ Û ÐÐ ÔÔ Ö ÓÓÒº Ì Ú ÐÓ ØÝ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ð ÖÖÓÛ º Ì Ð Ò Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ü ØÐÝ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ò ÐÐ Ù ¹ ÙÖ º Ò ÐÐÝ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔÖÓ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ø Ø Ñ T = 0.0 Ø Ö Ô ØÙÖ µ Ø Ö Ø ÐÐ ÑÓÚ Ñ ÒØ ÙØ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Û ÐÐ ÒÓØ Ò ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø Ö Ö ÒÓ ÒÓÒÔ Ý Ð Ú ÐÓ Ø Ò Ø Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÒØ Ö º Ì Ú ÓÖ Ó Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ò Ò Ø Ò Ö Ý Ò Ò Ò ÙÖ º º Ì Ú ÐÙ Ó Ø Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ö ÐÓ ØÓ ÓØ Ö Ù Ø Ø ÓÒ Ö Ô Ñ Ý

80 ¼ À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë ÙÖ º ÌÓÛ Ö Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Øº Ò ØÝ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð ÔÖÓ Ù Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ø t = 0.0,., 0.0 ÓÖ n = 00º ÒÓØ Ö Ö Ô º Ì ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ó Ø Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ñ º Ì Ø ÓÖÖ Ø Ú ÓÖ Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ º Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÙÖ ÓÛ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ý Ó Ø Ñ Ò Ò Ø Ò Ö Ýº Ø Ø Ñ T = 0.0 Ø Ö Ø ÐÐ Ð ØØÐ Ø ÑÓÚ Ñ ÒØ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÙØ Ø Ñ ÚÓÐÚ ÙÖØ Ö Ø Ò Ø Ò Ö Ý ÓÒÚ Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ØÓ Þ ÖÓ ÙÔ ØÓ ÖÓÙÒ Ó ÖÖÓÖ Ø ÒÓØ ÓÛÒµº n = 00 n = 00 n = n = 00 n = 00 n = E t Ekin 0.00 e 04 e t ÙÖ º ÌÓØ Ð Ò Ö Ý Ò Ò Ø Ò Ö Ý ÓÖ Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ º n = 00, 00, 400º ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø Ñ Ò Ú ÐÙ Ó κ L (Ω) Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓØ Ö Ø Ò Þ ÖÓ ÙÖ º½¼º ÍÔ ØÓ Ø Ñ T = 0.0 Ø Ñ Ò Ó Ø Ú ÐÙ Ý ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝº Ø Ñ ÚÓÐÚ ÙÖØ Ö Ø Ú ÐÙ ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ ÒÓØ ÓÛÒµº Ì Ñ Ò κ ÓÒÚ Ö ØÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝ Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ò Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÔÔÖÓ º º Ê Ð Ü Ø ÓÒ Ë Ñ Ì Ó Ð Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑº ÒÓØ ÓÖ Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ ÔÔÐÝ Ê Ñ ÒÒ¹ËÓÐÚ Ö Ñ Ö ØÐÝ ØÓ Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Ù ØÓ Ø Ð Ó ÝÔ Ö ÓÐ ØÝ Ó Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐ ÔØ Ö ÓÒº À Ö Û ÔÖ ÒØ Ò ÔÔÖÓ Ú Ò Ò ¾ ¼ µ Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ý Ø Ñº Ì Ò Ó Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ

81 º º Ê Ä ÌÁÇÆ Ë À Å ½ 00 0 n = 00 n = 00 n = 400 κ L t ÙÖ º½¼ Ö ÒØ Ó κ ÓÖ Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ º n = 00, 00, 400º Û Ö Ø ÔÖÓÔÓ Ý ËÙÐ Ù ½½¼ Ò ÔÔÐ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÝÒ Ñ Ò Ä Ö Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø º Ì Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÔÔÖÓ Ò Ú ÖÝ Ù ÙÐ ÓÖ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÐ Ø ÔÖ ÙÖ Ð Û ½ º Ì Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ØÓ Ò Ø ÓÒ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ú Ö Ð κ Ø Ø ÐÖ Ý ÔÔ Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ò ØÖ Ø Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð º Ì Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ò Ù Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Ý Ø Ñ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÚ Ú ÖÝ ÒØÐÝº Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ñ Ò ØÓ ÔÖ ÖÚ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº ÙØ Ø Ö Û Ó Ø Ñ Ø Ø Ò Ò Ö Ð Ø Ò Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÓÖÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÛ Ø Ú ÓÖº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓÛ Ö Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº º º½ Ì Ê Ð Ü Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ë Ò Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ ε u ÒÓØ Ø ÓÙÖ Ó Ø ÙÐØ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º½ Û ÓÑ Ø Ø Ø ÖÑ ÓÖ ÑÓÑ ÒØ º º Û Ø ε = 0º Ï Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó κ Ò º µ Û Ò Ö ÛÖ Ø Ø ÓØ ÖÑ Ð ÆËÃ Ý Ø Ñ º½µ ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + ρ κ(ρ, ρ) = 0, Ò Ω (0,T)º º µ ÁÒ Ø Ò ÜØ Ø Ô Û ÙÒ Ö Ø Ò κ = κ(x,t) R Ò Û Ò Ô Ò ÒØ ÙÒ ÒÓÛÒ Ò ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ º µº Ï Ö ÓÖ (ρ,u,κ) T : R (0,T) (0, ) R 3 Ù Ø Ø ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + ρ κ = 0, º µ κ t + u κ + a ρ u = µ(ρ, ρ) κ d ÓÐ Ò Ω (0,T)º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö d > 0 Ø Ñ ÐÐµ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò µ(ρ, ρ) := µ(ρ) λ ρ.

82 ¾ À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë Ì ÓÒ Ø ÒØ a Ó Ò ÓÖ Ò ØÓ Ò Ö Ð Þ Ï Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒ a > ρ c, c := p (ρ) + λρ h º µ ÆÓØ Ì ÔÔÖÓ Ò ÓÒ Ö ËÙÐ Ù Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ò ÙÐ Ö Ò ÓÓÖ¹ Ò Ø ½½¼ µº ÓÖ Û Ù Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ð Ø Ù ÒÓØ ÓÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ º µº Ë Ò Ý Ø Ñ º µ ÖÓØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÒÚ Ö ÒØ Ø Ù ÓÖ ÐÐ ÓÙÖ Ò ÐÝØ Ð Ù ØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú Ö ÓÒº Ì ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ Ó ÓÙÖ µ Ð Ó ÒÓÒÓÒ¹ ÖÚ Ø Ú Ý Ø Ñº ÇÑ ØØ Ò Ø Ö Ø Ò Ò º µ Û Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ú Ö Ð Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ρ t + (ρu) x = 0, u t + uu x + κ x = 0, º µ κ t + uκ x + a ρ u x = 0. Ä Ø Ù ÙÑÑ Ö Þ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ ÒÓÛÒ ρ,u,κ Ó º µ ÒØÓ Ø Ú ØÓÖ w = (ρ,u,κ) T. Ì Â Ó Ò Ó Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÙÜ Ò º µ Ú Ò Ý D := ËØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÐÙÐÙ Ð Ù ØÓ u ρ 0 0 u 0 a /ρ u Ä ÑÑ º º½ ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÝ Ò Ö Ø Ö Ø Ð µ. µ Ì Ý Ø Ñ º µ ÝÔ Ö ÓÐ Ò U := (0, ) R º Ì ÒÚ ÐÙ Ó D R 3 3 Ö Ú Ò Ý λ (w) = u a ρ, λ (w) = u, λ 3 (w) = u + a ρ (w U). Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒÚ ØÓÖ Ö r (w) = ρ 3 /a ρ/a, r (w) = 0 0, r 3 (w) = ρ 3 /a ρ/a. µ ÐÐ Ö Ø Ö Ø Ð Ö Ð Ò Ö Ò Ö Ø º º Û Ú ÓÖ i =,,3 Ò ÐÐ w U λ(w) r i (w) = 0.

83 º º Ê Ä ÌÁÇÆ Ë À Å t x = s t x = s t w* L w* R x = s t 3 w L w R x x = 0 ÙÖ º½½ Ì ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ð ¹ Ñ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø (x,t)¹ Ð Ô º º º¾ Ì Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ê Ð Ü Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÐÚ Ø Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ º µ ÐÓ ÐÐÝ º º Û ÓÒ Ö ÓÖ w L,w R U Ø Ò Ø Ð ØÙÑ { wl : x < 0, w 0 (x) = w R : x > 0. Ì Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÒÓØ ØÖ Ø Ý ÖÓÙØ Ò Ñ Ø Ó Ò Ý Ø Ñ º µ Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑº ÀÓÛ Ú Ö Ù ØÓ Ø Ð Ò Ö Ò Ö Ý Ó º µ Ø ÔÓ Ð ØÓ Ú Ñ Ò Ò ØÓ Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ º Ï ÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ò ÓÒ Ø Ó Ø ÑÓ Øµ Ø Ö Ð Ñ ÒØ ÖÝ Û Ú Ó ÓÒØ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ØÝÔ º ÓÖ i =,,3 Û ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Û Ú i¹û Ú º Ò i¹û Ú ØÖ Ú Ð Û Ø Ø Ô s i R Ú Ò Ý s i = s i (w) = λ i (w) (w U). Ä Ø Ù ÒÓØ Ø ÙÒ ÒÓÛÒµ Ñ Ð Ø Ø Ý w L Ò w R º Ó Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÖÙØÙÖ Ò º º½½º Ï ÔÔÐÝ Ø Ø ÓÖÝ ÓÖ ÒÓÒÓÒ ÖÚ ¹ Ø Ú Ý Ø Ñ Ú ÐÓÔ Ò º ÌÓ Ó Ø Ò Û Ú ÓÒÒ Ø Ò Ø Ø w,w + U Û Ø Ô s Ø Ö ÑÙ Ø ÓÒ Ø ÒØ ρ, τ R Ù Ø Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ê Ò Ò ¹ÀÙ ÓÒ ÓØ ÓÒ Ø ÓÒ s[ρ] + [ρu] = 0, s[ρu] + [ρu ] + ρ[κ] = 0, s[ρκ] + [ρuκ] + a τ[u] = 0 ÓÐ º À Ö Û ÒÓØ Ý [ϕ] Ø ÙÑÔ ϕ ϕ + ÓÖ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ϕ = ϕ(w) w Uº º½¼µ Ä ÑÑ º º¾ Ä Ø w,w + U Ø Ø Ù Ø Ø (5.0) Ö Ø Û Ø s = s i ÓÖ ÓÑ i {,,3}º

84 À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë Ì Ò Û Ú Ø Ö ÓÖ [u] = [κ] = 0 Ì Ö Ý Û Ò m = ρ + (u + s) = ρ (u s)º º½½µ [u],[κ] 0, m = a τ ρ. º½¾µ ÈÖÓÓ º Ï Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò º½¼µ Ò Ö ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ m[u] + ρ[κ] = 0, m[κ] + a τ[u] = 0. Ì Ð Ò Ö Ý Ø Ñ ÓÖ Ø ÙÑÔ Ò Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÐÐÓÛ º ÖÓÑ Ä ÑÑ º º¾ Ò [λ (w)] = 0 Û Ù Ø Ø ÓÖ i = Ø ÓÒ Ø ÓÒ º½½µ ÑÙ Ø ÓÐ Ò m = 0º Ì Ù ÓÖ ¹Û Ú Û Ò ÓÓ ρ, τ Ö ØÖ Ö ÐÝ Ò Ú [v] = [κ] = 0. º½ µ ÓÖ Ò /3¹Û Ú Û Ú m /3 = a 0 Ý [λ /3 (w)] = 0º Ì Ù º½¾µ ÔÔÐ Ò Ð ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ρ = τ. º½ µ ÆÓÛ Ð Ø Ø ØÓÖ ρ Ó Ø /3¹Û Ú Ô Ò ÓÒ Ø Ð Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ò ØÝ Ø Ø ρ = ρ (ρ L,ρ L ), ρ 3 = ρ 3 (ρ R,ρ R). Ï Ø Ò Ú ÖÓÑ Ø Ê Ò Ò ¹ÀÙ ÓÒ ÓØ ÓÒ Ø ÓÒ º½¼µ Ò º½ µ º½ µ Ø ÕÙ ¹ Ø ÓÒ a(u L u L) + ρ (ρ L,ρ L )(κ L κ L) = 0, u L = u R, κ L = κ R, a(u R u L ) + ρ 3(ρ R,ρ R)(κ R κ R ) = 0. ÌÓ ÚÓ ÓÐÚ Ò Ý Ø Ñ Ó ÒÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ò ÒÓÛ ρ (ρ L,ρ L) := ρ L, ρ 3 (ρ R,ρ R ) = ρ R. º½ µ ÖÓÑ Ø Ö Ø Ò Ø Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ó º½ µ Û Ò Û Ø Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò τ = /ρµ u L = u R = τ Lu L + τ R u R a (κ R κ L ) τ L + τ R, κ L = κ R = κ L + aτ L (u L u L ). º½ µ À Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ø κ Ò v Ó ÒÓØ ÙÑÔ Ú Ø ¹Û Ú º ÓÖ Ò ØÓ Ø Ð Ò Ö Ò Ö Ý Ó Ø Ö Ø Ö Ø Ð Ò ÐÐÝ Û Ò ρ L = a u L s, ρ R = a u R s. º½ µ 3

85 º º Ê Ä ÌÁÇÆ Ë À Å ÆÓÛ Û Ú Ò ÐÐ Ø Ø Ò Ø ÔÓ ØÙÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÁØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ ÓÖ ÐÐ Ø Ö Û Ú Ø Ø ÐÐ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ð Ø Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö º½ µ Ö ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ º½¼µº Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø Ö ÙÐØ Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ º º ËÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñµ Ä Ø Ø Ø Ø u L,u R U Ú Òº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ö Ð Þ ÓÐÙØ ÓÒ u : R [0,T] U Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ò Ó µº Ì ÓÐÙØ ÓÒ u ÓÒ Ø Ó Ø ÓÙÖ Ø Ø u L,u L,u R,u R U Û Ö Ô Ö Ø Ý Ø Ö ÓÒØ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Û ØÖ Ú Ð Û Ø Ô s,s,s 3 R Ú Ò Ý s = u L a ρ L = u L a, s = u L = u R, s 3 = u R + a ρ R ρ L = u R + a ρ R. Ì Ø Ø u L,u R U Ö Ò Ý º½ µ Ò º½ µº º½ µ º º Ì ÓÑÔÐ Ø ÆÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ º½µ Ò ÓÒ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ º Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ý Ø Ñ º µ Ö Ø Ö Ø Ò ÓÒ º½µ Ö ØÐÝº Ì Ë Ñ Ò ½ Ö Ø Û ÔÖÓÚ Ø Ö Ø Þ Ò Ø Ð Ø ρ 0 j = h xj+ x j ρ 0 (x) dx, xj+ (ρu) 0 j = (ρ 0 u 0 )(x) dx, h x j κ 0 j = µ(ρ 0 j ) λ h (ρ0 j+ ρ0 j + ρ0 j ). Ì ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ô Ó Ø ÙÔ Ø ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÑ ÓÒ Ø Ñ Ø Ô ØÓ ÒÓØ Ö ÓÒ Ø Ó ØÛÓ Ô ÖØ º Ö Ø Û Ò Ð Ø Ø ÓÙÖ Ò º µ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ρ t + (ρu) x = 0, (ρu) t + (ρu ) x + ρκ x = 0, κ t + uκ x + a ρ u x = 0. º½ µ

86 À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë Ì ÓÒ Ø Ô Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ôº Ï ÓÐÚ Ø ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ρ t = 0, (ρu) t = 0, κ t = µ(ρ, ρ) κ d Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö d Ø Ò ØÓ Þ ÖÓº Ò Ø Ð Ø Û Ø Ø Ø ÖÓÑ Ø Ö Ø Ø Ôº Ì Ñ Ò κ ÔÖÓ Ø ØÓ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ Ò ÓÐ º Ù d Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Û ÑÔÐÝ Ø κ = µ( ρ, ρ), Û Ö ρ Ø Ø Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ø Ö Ø Ø Ôº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÒÐÙ Ø Ú ÓÙ Ø ÖÑ Òº Ï ÙÑÑ Ö Þ Ø ÙÔ Ø ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÑ Ø Ñ Ø Ô n ØÓ n + ÓÐÐÓÛ ½µ ÓÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö a Ò º½ µ ÐÓ ÐÐÝ Ø Ø ÐÐ ÒØ Ö ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò Ö Ð Þ Ï Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒ º µ a j+ ( )} = max {(ρ ni ) p (ρ n i ) + λρn i i=j,j+ h. ¾µ ËÓÐÚ Ø Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÒØ Ö x j+ Û Ø Ò Ø Ð Ø (ρ n j,un j,κn j ) (ρ n j+,un j+,κn j+ )º Ä Ø ( ρ j+,ũ j+, κ j+ ) ÒÓØ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ¹ Ò Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñº Û Ø ρ n+ j (ρv) n+ j = ρ n j t h ( = (ρv) n j t h ρ j+ ( (0)ũ j+ ρ j+ (0)ũ j+ t h (νr + ν L ) j j+ +ε t h (un j+ u n j + u n j ), (0) ρ j (0) ρ j ) (0)ũ j (0), (0)ũ j (0) ) ν R j ν L j+ = = xj ρ j x j xj+ x j ρ j+ (x) x κ j (x)dx, (x) x κ j+ (x)dx. µ È Ö ÓÖÑ Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ô κ n+ j = µ(ρ n+ j ) λ h (ρn+ j+ ρn+ j + ρ n+ j ).

87 º º Ê Ä ÌÁÇÆ Ë À Å ÆÓØ Ä Ø a < a < a 3 Ò ρ(x) = { ρl, x (a,a ) ρ r, x (a,a 3 ), κ(x) = { κl, x (a,a ) κ r, x (a,a 3 ). Ì Ò Û Ø a a ρ(x)κ x (x)dx = (ρ l + ρ r )(κ r κ l )º Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ú Þ ÖÓ ÓÒ ÓÖ ØÛÓ ÙÑÔ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð (x j (x j,x j+ )º ¾ ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ë Ñ ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø,x j ) Ò ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ö Ø Ñ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÒ ÖØ Ò Ñ Û Ú ØÓ ÓÒ Ö ÔÐ Ò Ö Û Ú ÓÐÚ Ò Ø Ý Ø Ñ º µº Ù ØÓ ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö Ò Ø Ù ÒØ ØÓ ÓÒ Ö ÔÐ Ò Ö Û Ú Ø Ø ÔÖÓÔ Ø Ò x¹ Ö Ø ÓÒ ÓÒÐÝº Ì Û Ú Ø Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ρ t + (ρu ) x = 0, (ρu ) t + (ρu ) x + ρκ x = 0, (ρu ) t + (ρu u ) x = 0, κ t + u κ x + a ρ u,x = µ(ρ, ρ) κ. d º¾¼µ Ï Ò ÐÝ Ú Ö Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ä ÑÑ º º ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÝ Ò Ö Ø Ö Ø Ð µ µ Ì Ý Ø Ñ º¾¼µ ÝÔ Ö ÓÐ ÙØ ÒÓØ ØÖ ØÐÝ ÝÔ Ö ÓÐ µ Ò U := (0, ) R 3 º Ì ÒÚ ÐÙ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Â Ó Ò Ö Ú Ò Ý λ (w) = u a ρ, λ (w) = λ 3 (w) = u, λ 4 (w) = u + a ρ (w U). Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒÚ ÐÙ Ö ρ 3 /a r (w) = ρ/a 0, r (w) = 0 0 0, r 3(w) = 0 0 0, r 4(w) = ρ 3 /a ρ/a 0 µ ÐÐ Ö Ø Ö Ø Ð Ö Ð Ò Ö Ò Ö Ø º º Û Ú ÓÖ i =,...,4 Ò ÐÐ w U λ(w) r i (w) = 0. ÆÓÛ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ó Ø ÝÔ Ö ÓÐ Ô ÖØ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º¾¼µ ÐÑÓ Ø Ø Ñ ØÖÙØÙÖ Ø Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø ½¹ ÕÙ Ø ÓÒº Ï Ò Ö Ð Þ Ì ÓÖ Ñ º º º.

88 À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë Ì ÓÖ Ñ º º ËÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñµ Ä Ø Ø Ø Ø w L,w R U Ú Òº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ö Ð Þ ÓÐÙØ ÓÒ w : R [0,T] U Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÔÐ Ò Ö Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ò Ó µº Ì ÓÐÙØ ÓÒ u ÓÒ Ø Ó Ø ÓÙÖ Ø Ø w L,w L,u R,u R U Û Ö Ô Ö Ø Ý ÓÙÖ ÓÒØ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Û ØÖ Ú Ð Û Ø Ô s,s = s,s 3 R Ú Ò Ý º½ µº Ì Ø Ø w L,w R U Ö Ò Ý º½ µ º½ µ Ò u,l u,r = u,l, = u,r. º¾½µ Ì Ù Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÓÒ ÖØ Ò Ñ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ï ÓÑ Ø Ø Ø Ð º Ê ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ì Ñ ËØ Ô Ë Þ ÆÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ØÓ Ú ÓÖÖ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ø Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó Ò ÓÑ Ò º Ì ÔÖ Ò Ó ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò Ø Ð Ó ÝÔ Ö ÓÐ ØÝ Ó Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö Ô ÖØ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ñ Ø ÙÐØ ØÓ Ú Ö ÓÖÓÙ Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ñ Ø Ô Þ º Æ Ú ÖØ Ð ÓÖ Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ø Ø Ø ÔÓ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Û ØÙ ÐÐÝ Ù º Ï Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÐÚ ØÓ Ø ½¹ ØÙ Ø ÓÒº Ì ÜØ Ò ÓÒ ØÓ ¾¹ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º ËÓÐÚ Ò Ø ÐÓ Ð Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ø ÓÒ Ø ÓÒ { t h max u j a j+ j ρ j, u j+ + a } j+ ρ j+, º¾¾µ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÓÙ Ø ÖÑ Ú Ø ÓÒ Ø ÓÒ { } t ε h max j. Á Û Ø Ø Ó Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö a j+ Þ Ó ÓÖ Ö O(h )º ρ j º¾ µ ÒØÓ ÓÙÒØ Û Ò Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ô ÆÙÑ Ö Ð Ê ÙÐØ Ì ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ø Ø Û Ø Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Û Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º ÀÓÛ Ú Ö Û ÓÑ Ø Ø Ø Ö Ø Ø ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð ¹ Ö ÙÑ Ù Ø Ñ Ó ÒÓØ ÔÖÓ Ù Ø ÝÒ Ñ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖÖ ØÐÝ Û Û ÐÐ Ò Ø Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ó ÒÓØ Ñ Ò º Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Û Ó ÖÚ ÓÒ ÓÖ Ö ÓÒÚ Ö Ò Û Ø Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ º Ì

89 º º ÇÅÈ ÊÁËÇÆ Ç ÌÀ ÌÀÊ Á Ê ÆÌ Ë À Å Ë ÓÒÐÝ Ù ØÓ Ø Ù Ó ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ò Ù ÒØ Ö º Ë Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ¹ Ò Ø Ø Û Ø Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº Ï Ò Ð Ó Ø Ø Ø ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ù Ý Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ö Ò ÖÐÝ ÒØ Ð Ù Ø ÖÖÓÖ Ö ÔÖÓ Ù Ñ ÒÐÝ Ý Ò Ø Ð ÔÖÓ Ø ÓÒº Ì Ð º ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ò ØÝ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ç ¾º¼¼¼¼ ¹¼¾ º ¹¼ ½º¼¼¼¼ ¹¼¾ º¼ ¾½ ¹¼ ¾º¼ ¼ º ¹¼ º¼¼ ¹¼ ¾º¼½ º¼¼¼¼ ¹¼ ¾º¾ ¹¼ ¾º¼¼ º¼¼¼¼ ¹¼ ½º ¾ ¹¼ ¾º¼¼ º ¹¼ º ¾¾ ¹¼ ¾º¼¼ ¾º ½ ¹¼ º ½ ¹¼ ¾º¼¼¾ Ì Ð º Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÌÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ º Û Ø Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø Ð Ø Ø ÓÒ Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ú ÐÓ ØÝ Ð Ö Ù Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ø ÒÓØ Ô Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÙØ Ø Ú ÐÓ¹ ØÝ Ð ÓÒÚ Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ØÓ Þ ÖÓ Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº ÕÙ Ò Ó Ò ØÝ ÔÖÓ Ð ÓÖ Ö ÒØ Ñ Þ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ ÛÓÙÐ Ü ØÐÝ ÐÓÓ Ð Ø ÓÛÒ Ò ÙÖ º º Ì Ö ÓÖ Û ÓÑ Ø Øº Ì Ø ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ñ ØÓ ÓÒÚ Ö ØÓ ÓÑ Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Ø Ñ Þ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓº ÙØ Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÓØ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÛÒ Ò ÙÖ º½¾ Ò Ì Ð º º ÇÒÐÝ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÛÒ Ò ÙÖ º½¾ Ù Ø Ø Ø Ö Ò ØÛ Ò Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ò ÑÓÖ Ð ÖÐÝº Ì L ¹ ÖÖÓÖ Ó Ø Ò ØÝ ÔÖÓ Ð Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÔÖÓ Ð Ö ÐÐÙ ØÖ Ø Ý Ì Ð º º º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø Ø Ö Ö ÒØ Ë Ñ Ï ÓÑÔ Ö Ø ØÛÓ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ø Ø ÔÔÐ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÒ¹ ÖÚ Ø Ú Ñ Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ º Ì Ð Ø Ô ÖØ Ó ÙÖ º½ ÓÛ Ø ÖÖÓÖ Ó Ø Ò ØÝ ÔÖÓ Ð Ó Ø Ø Ö Ö ÒØ Ñ Ò Ø Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒº Ì ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Ò Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Û ÐÐ Ð Ò Ñ ÓÒÚ Ö Û Ø ÓÖ Ö ½ ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÖÖÓÖ Ó Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø ÖÖÓÖ Ó Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º Ì Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ì ÑÓÑ ÒØÙÑ ÔÖÓ Ð ÒÓØ ÓÛÒµ ÓÛ Ü ØÐÝ Ø Ñ Ú ÓÖº

90 ¼ À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë ρu ρu h ρu ρ ÙÖ º½¾ Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÒÐÝµ Ò Ö¹ Ø Ý Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ ÓÖ n = 800º ρ ρu L ¹ ÖÖÓÖ Ç L ¹ ÖÖÓÖ Ç ½º¼¼¼¼ ¹¼¾ º ¼ ¹¼¾ ¾º ¼ ¹¼¾ º¼¼¼¼ ¹¼ º ¼¼¼ ¹¼¾ ¼º¼ ¾º½¾ ¼ ¹¼¾ ¼º½ º ¹¼ º¾ ¹¼¾ ¼º¼¾ ¾º¼ ¼ ¹¼¾ ¼º¼ ¾º ¼¼¼ ¹¼ º¾ ¼ ¹¼¾ ¼º¼½ ¾º¼¼¾ ¹¼¾ ¼º¼ ½ ¾º¼¼¼¼ ¹¼ º¾ ¹¼¾ ¼º¼½ ½º ¹¼¾ ¼º¼ ½º ¹¼ º¾ ¾ ¹¼¾ ¼º¼½¾ ½º ½¼ ¹¼¾ ¼º¼ ½º ¾ ¹¼ º¾¾ ¹¼¾ ¼º¼½½ ½º ¾ ¹¼¾ ¼º¼ ½º¾ ¼¼ ¹¼ º¾¾ ¹¼¾ ¼º¼¼ ½º ¼ ¹¼¾ ¼º¼ ½º½½½½ ¹¼ º¾¾¼ ¹¼¾ ¼º¼¼ ½º ¹¼¾ ¼º¼ ¼ Ì Ð º L ¹ ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ º Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó ÙÖ º½ ÓÑÔ Ö Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ò Ø Ø Ø Û Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ö ÐÑÓ Ø Ø Ñ Ù Ø Ö Ò Ø Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ó ÒÓØ Ò ÒØ ÐÐÝº Ì Ö ÓÖ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø ÙÖ º Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ö ÒÓØ Ö ÐÐÝ ÓÒ ÓÖ Ö Ñ Ø ÙÖ Ù Ø Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ó Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ ÓÙÐ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø Ñ ÙÖØ Ö Ö Ò º ÖÓÑ Ø ÙÖ Û Ò ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÑÔÙØ Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ò Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ö Ú Ö Ð Ñ Ò ØÙ ØØ Ö Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ú Ò Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ º Ì Ö Ð ÖÐÝ Ö Ò Ò Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ú ÓÖ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ¹ Ù Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ º ÓÖ Ø Ó Ò Ö Ø Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ Û Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ò ØÓ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Ø Ò Ø Ò Ö Ý Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø Ú ÐÙ κ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº Ì Ü ØÐÝ Ø

91 º º ÇÅÈ ÊÁËÇÆ Ç ÌÀ ÌÀÊ Á Ê ÆÌ Ë À Å Ë ½ 0. cons noncons relax 0. L error of ρ total L error e 04 cons noncons relax e h e 05 h 0.0 ÙÖ º½ Ä Ø L ¹ ÖÖÓÖ Ó Ø Ò ØÝ ÔÖÓ Ð ÓÖ Ø Ø Ö Ö ÒØ Ñ ØÖ Ú Ð Ò Û Ú Ø Øº Ê Ø ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ ÓÖ Ø Ø Ö Ñ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Øº Ú ÓÖ Ó Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ º ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ù Ý Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ñ Û Ó ÒÓØ Ú Ø ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ Ü Ñ Þ hº Ì Ù Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Û ÐÐ Ð Ò Ñ Ñ ØÓ Ø ÑÓ Ø ÔÖÓÑ Ò Ñ º Ì Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ Ø Ô Þ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÓ Ø ÓØ Ö Ñ ÒÓØ Ò Ù Ò Ø Ò ÝÔ Ù Ò ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò º Ì Ø Ñ Û Û ÐÐ Ò Ö Ð Þ ØÓ Ö ÓÖ Ö Ñ ÓÒ Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ñ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØ Ò¹ ÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ò Ø Ò ÜØ ÔØ Öº Ì ÒÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ó Ú ÖÝ Ð Ñ Ø Ù º ÁØ Ò ÓÒÐÝ Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÒÓÒØÖ Ú Ð Ö Ø ÓÖ Ö ÙÖ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ º Ð Ó Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ Ö ÓÖ Ö Ñ ÑÙ ÑÓÖ ÒÚÓÐÚ ÓÖ Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ø Ò ÓÖ Ø ÓØ Ö Ñ º

92 ¾ À ÈÌ Ê º ÁÊËÌ ÇÊ Ê ÍÊ Ì Ë À Å Ë

93 ÔØ Ö À Ö ÇÖ Ö Ë Ñ Ì ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ì ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò µ Ñ Ø Ó Ð Ó Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ù ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò ØÞ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ô º ÁÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ý Ø Ñ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ø ÒØ Ö Ð Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ú ÜØÖ Ö Ó Ö ÓÑ Ø Ø Ò Ù ØÓ Ø Ð Þ Ø Ñ Ø Ó º Ø Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ù Ù ÐÐÝ ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ö ÔÔÐ Ø Ø Ö ÒÓÛÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ö Ñ ÛÓÖ Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù ½ ¾ ½ º Ì Ù Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ Ø Ó Ò Ò ØÙÖ Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ Ø Ó ØÓ Ö ØÖ ÖÝ Ö ÓÖ Ö Ñ º Ì ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ú Ö Ð Ú ÒØ ÓÚ Ö ÓØ Ö Ö ÓÖ Ö Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ Ø Ó Ù Ñ Ø Ó ÓÒ ÆÇ ÓÖ Ï ÆÇ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº ÁÒ Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ø ÔÔÖÓ Ø Ú ÖÝ Ý ØÓ Ò Ö ÓÖ Ö Ò ØÞ Ô º Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò Ó Ò ÐÓ ÐÐÝ Û Ñ Ø Ñ ÐÐÝ Ù Ø ÓÖ p¹ ÔØ Ú ØÝº Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ñ Ò Ù ÔÓ ÐÝ Û Ø Ò Ò ÒÓ Ù ØÓ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò ØÞ ÙÒØ ÓÒ º Ì Ñ Ø Ó ÜØÖ Ñ ÐÝ ÐÓ Ðº ÁØ ÓÒÐÝ Ò ÖÝ ØÓ ÓÑÑÙÒ Ø Û Ø Ø Ö Ø Ò ÓÖ ÐÐ º Ì Ù Ø Ú ÖÝ Û ÐÐ Ù Ø ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ º ÙØ Ø Ö Ö Ø ÐÐ ÓÑ Ö Û Ø Ò ÓÖ ÐÓÔ Ð Ñ Ø Ö Û Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓØ Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ º ËÓÑ Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ñ Ý Ö Ù Ø Ø ÐÐ ÓÙÒ Ö Ò Ò Ö Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ó ØÛ Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ñ Ú ØÓ Ù º Ø ÓÒ ÐÐÝ ÚÓÐÙÑ ÒØ Ö Ð ØÓ ÓÑÔÙØ º Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø ÜØÖ Ó Ø Ò Ö ÓÖ ÐÓÛ Ö Ø Ò Ø Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ô Ò ÆÇ ÓÖ Ï ÆÇ Ñ Ø Ó º ÓÑÔÐ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ø Ñ Ø Ó ÔÔÐ ØÓ Ý Ø Ñ Ó ÒØ Ö Ø ÒÓØ Ú Ð Ð Ø Ø Ñ Ó Ø ÛÖ Ø Ò º Ì Ö Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Û ÔÖÓÔÓ ½ Ý Ê Ò À ÐÐ º ÙÖ Ò Ø Ð Ø ØÛÓ Ñ ÓÖ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ø ØÝÔ Ó ÒÙÑ Ö Ð Ñ Û

94 À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À ÖÖ ÓÙØ Ý Ó ÙÖÒ Ë Ù Ò ÓÛÓÖ Ö Ò Ø Ö Ó Ô Ô Ö ¾¾ ¾½ ¾ ¾ ¾ º Ì Ñ Ø Ó ÓÙÒ Ö Ô ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ö º Ì Ö Ú Û Ô Ô Ö ¾¾ ÔÖÓÚ ÓÓ ÓÚ ÖÚ Û Ò Ñ ÒÝ Ù ÙÐ Ö Ö Ò ÓÒ ÖÒ Ò Ø ÔÔÖÓ º Ì ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ä µ Ñ Ø Ó Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ö Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÔÖÓÔÓ Ý Ò Ê Ý º ÁØ Ò ÓÖ Ø Ù Û Ø ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ø Ø ÒÐÙ Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ù Ø ÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ º ÙÖØ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ó Û ÓÒ Ý Ó ÙÖÒ Ë Ù Ò ÓÛÓÖ Ö Ô ÐÐÝ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö ÓÖ Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾ ½ ¼ º Ì Ä Ñ Ø Ó ÐÐ Ø Ú ÒØ Ó Ø Ø Ò Ö Ñ Ø Ó º ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ ÓØ Ö ØÝÔ Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ø ÙÑ ÒÒ Ò Ç Ò Ñ Ø Ó Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò ÐÝ ÔÔÐ ØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö ÓÖ Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ñ Ø ÐÐÝ Ù Ø ÓÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº ÁÒ Ø ÔØ Ö Û Ù Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò ÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ø Ðº Ø ÓÒ ÐÐÝ Û ÔÖ ÒØ Ò ÔÔÖÓ ÓÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ Ò ÓÒ Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ú Ò Ò º Ï Ö Ø Ñ Ø Ó Ò Ò Ö Ð Ö Ñ ÛÓÖ Ó ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ù Ø ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÓÑ ÑÔÐ Ü ÑÔÐ º Ì Ò Ö Ð Ö Ñ ÛÓÖ Ð Ó Ò Ù ÙÐÐÝ ÔÔÐ ØÓ Ñ ÒÝ ÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ ½ º ÓÖ Ð Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Û ÔÖÓÚ L ¹ Ø Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ó Ñ ¹ Ö Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ö ÙÐØ Ú Ò Ò ½ ¼ º ÓÒ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û Ú Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ø Ò Ó Ø ÔØ Öº ÓÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Û Ù ÙÒ ØÖÙØÙÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ø ØÖ Ö Ð Ñ Ò Ø ØÝÔ Ó Ñ Ö Ú ÖÝ Û ÐÐ Ù Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ø ÓÑ ¹ ØÖ Ò Ú Ø ÜØÖ Ú ÒØ Ø Ø Ø Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò ØÓ Ø Ø Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì Ú Ö Ð Ú ÒØ Ð Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒµ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó º Ï ÐÐÓÛ Ø Ñ ØÓ ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ô Ö ÓÖÑ ÐÓ Ð Ñ ÔØ ÓÒ ÒØÐÝ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÑÔÐ ÔÓ Ð º ÀÓÛ Ú Ö ÑÓ Ø ÙØ ÒÓØ ÐÐµ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÔÐ ØÓ ÑÓÖ Ò Ö Ð Ñ Û ÐÐº Ï Ø ÖØ Û Ø Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÑÔÐ Ð Ñ Û Ù º º½ Ë ÑÔÐ Ð Å Ì Ù Ó ÑÔÐ Ð Ñ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ø Ú ÒØ Ø Ø Ø Ñ ÔÔ Ò ØÛ Ò Ø Ö Ö Ò ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ó Ø Ñ Ö Ò Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ º Ì Ð Ò Ö ØÝ Ó Ø Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò ØÛÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò º ÇÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ò ÒØÐÝ ÐÓÛ Ö Ò ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÝ Ó ÐÓ Ð ÙÒØ ÓÒ ÔÖ ÖÚ Û Û ÐÐ Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì Ð ØØ Ö Ð Ó Ò ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ø ÒÝ Ó Ø Ñ Ø Ó Ô ÐÐÝ Ò

95 º½º ËÁÅÈÄÁ Á Ä Å ËÀ Ë ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø ÜÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò Ò Ð ØÓ ÑÔÐ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó º Ï Ø ÖØ Û Ø Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ Ø Ø Û ÐÐ Ò Ò Ö Ð ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ÙØ ÒÓØ Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ñ º Ï Ö Ñ ÒÐÝ ÒØ Ö Ø Ò ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ñ Ø Ø Ö Ò Ö Ø Ý Ù Ú Ö Ò Ñ ÒØ Ó ÓÒ ÓÖÑ Ñ ÖÓ Ñ º ÓÖ Ø Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó Ø Ð Ó Ö Ð ØÓ Ö ØÖ Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ú Ð Ó ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ØÝº Ì n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ö Ò ÑÔÐ Ü Ö Ö Ò ÐÐµ Ò Ý { } n ˆ = x R n x i 0, x i. º½µ Ä Ø T j : ˆ R n ÒÓÒ Ò Ö Ø Ò Ð Ò Ö Ñ ÔÔ Ò ÓÖ j = 0,...,n cells º Ï Ò j = T j (ˆ ), i= T = { j j = 0,...,n cells }. ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÒÓØ ÓØ Ø ÓÑÔ Ø Ø j Ò ÓÚ Û ÐÐ Ø ÓÔ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ø Ý Ø ÝÑ ÓÐ j Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø ÑÓÖ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ò Ò Ð Öº Î ÖØ Ó ÐÐ Ö ÐÐ 0¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ò Ó ÓÒº Ò Ø ÓÒ º½º½ Ë ÑÔÐ Ð Å µ T ÐÐ ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ÑÔÐ Ð Å ÓÖ ÐÐ i j i, j T Û Ú H n ( i j ) = 0 Ò H n k ( i j ) 0 ÓÖ k =,...,n ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ µ (n k)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ó i Ù Ø Ó (n k)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ó j µ (n k)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ó j Ù Ø Ó (n k)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ó i º ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ë ÑÔÐ Ð Å ÐÐ ÓÒ ÓÖÑ ÓÒ Ø ÓÒ µ Ò µ ÓÐ ÑÙÐØ ¹ Ò ÓÙ ÐÝ º º Ø ÐÐ i Ò j Ö ÓÑÑÓÒ (n k)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö º ÁÒ Ø ÓÚ Ò Ø ÓÒ H m ÒÓØ Ø m¹ Ñ Ò ÓÒ Ð À Ù ÓÖ Ñ ÙÖ Ò R n º Ë ÑÔÐ Ð Å ÐÐ ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ n = Ò Ì ØÖ Ö Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖ n = 3º Á H n ( i j ) 0 ÓÖ ØÛÓ Ö ÒØ ÐÐ i Ò j Ó Ø Ñ Ø Ò Ø Ý Ö ÐÐ Ò ÓÖ º ÓÖ Ñ ÐÝ Ó ÑÔÐ Ð Ñ (T h ) h>0 Û Û ÐÐ ÙÑ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ö δ Ò κ Ö Ò Ý δ(t h ) h, supκ(t h ) <, h δ(t ) = sup { Ñ( j ) j T }, { } δ(t ) n κ(t ) = sup j T. j

96 À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ì Ñ Ò Ø Ø ÓÖ Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Þ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Ò Ò Ð Ö Ñ Ò ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛº Ω h = j ÒÓØ Ø ÓÑ Ò Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ý T h Ò T h Ø j T h ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ Ó Ñ T h º ÙÖ º½ ÓÒ ÓÖÑ Ñ Ð Øµ Ò ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ñ Ó Ø Ò Ý Ù Ú Ö Ò ¹ Ñ ÒØ Ó Ø ÓÒ ÓÖÑ Ñ Ö Øµº º¾ Ì ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Å Ø Ó À Ö Û Ù Ø Ö ÓÖ Ö Ô Ø Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ý Ø Ñ Û Ø ÓÖ Û Ø ÓÙØ Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ô ÖØ Ò ÓÙÖ Ø ÖÑ º Ì Ø ÖÑ ÐÓ Ð Ò ÄÓ Ð ÓÒØ ÙÒÙÓÙ Ð Ö Ò Å Ø Ó Ù Û Ò Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ö ÒÚÓÐÚ º Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ð ØÓ Ñ ¹ Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º º ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ö Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ò ÖÝ Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò ÔØ Ö º º¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø Ú ËÝ Ø Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ó Ø ÓÖÑ u t + L[u] = 0 Ò Ω R n. º¾µ ÁÒ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ L : C (Ω, U) C 0 (Ω, U) ÒÓØ Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ø Ò Ý L[u](x) = n i= x i f i (u(x),x), Û Ö f i : U Ω R d i =,...,n Ö ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ Ô Ý Ð ÙÜ µ Ò Ñ Ø Ò Ò Ö Ð Ô Ò ÓÒ ÙÖØ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ù Ø Ñ º Ì ÓÔ Ò Ø U R d ÐÐ Ø Ø Ô º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÝÒ Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Ò Ø ÒÚ ÙÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ý Ø Ñ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û º Í Ù ÐÐÝ Ö Ø ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ö Ö ÕÙ Ö ØÓ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ø Ð Ø Ô ÖØ Ó µ Ø Ø Ø Ô U ÓØ ÖÛ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ù Ù ÐÐÝ Ù Ö Ð Ó Û ÐÐ ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ ÓÒ

97 º¾º ÌÀ ÄÇ Ä ÁË ÇÆÌÁÆÍÇÍË Ä ÊÃÁÆ Å ÌÀÇ ÀÝÔ Ö ÓÐ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ä Û Ù ½ ½¼¼ º Ì Ñ Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ø Ð Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Lº Ä Ø (, ) Ω ÒÓØ Ø L ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ωº Í Ò Ô ÖØ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ú ÓÖ ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ u Ò ϕ C (Ω, R d )µ Ø ÜÔÖ ÓÒ (L[u],ϕ) Ω = Ω n i= n i f i (u(x),x) ϕ(x) dσ(x) Ω n f i (u(x),x) ϕ(x) dx, º µ x i Û Ö Ø n i ÒÓØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÓÙØ Ö ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ ÓÒ Ωº i= Ï ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ô V h Ý Ø Ò Ø ÓÒ V h = { ϕ : Ω h R ϕ j P k, j T h }, Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ϕ Ù Ù ÐÐÝ ÐÓÒ ØÓ Ø Ô Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P k Ó Ö k ÐÓ ÐÐÝ º º ÓÒ ÐÐ j Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ T h Ë Ø ÓÒ º º Ì Ø Ω h R n ÒÓØ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ò µ Ó Ø ÓÑ Ò Ω Û Ô ÖØ Ø ÓÒ Ý T h º Ì Ô Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÙÐ Ö ÔÐ Ý ÓÑ ÓØ Ö Ô Û Ø Ñ Ð Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ º ÓÒ V h Û ÒÓØ Ø Ô Ó Ú ØÓÖ Ú ÐÙ Ò ØÞ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ú ÐÙ Ò R d Ý Vh dº Ä Ø Ù Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L h : V d h V d h Ý L ¹µÔÖÓ Ø Ò L[u] ØÓ V h Ò Ò Ø Ø Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ì Ö ÓÖ Û ÔÔÐÝ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ ØÓ Ø ÜÔÖ ÓÒ º µ ÔÔ Ò Ü º º ÓÖ u h V d h Û Ò L h [u h ] Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ (L h [u h ],ϕ) Ωh = + T h j=0 j T h j=0 T h + j=0 n f i (u h (x),x) ϕ(x) dx x i i= j \ Ω h g(u h j (x),u h j (x),x,n) (ϕ j (x) ϕ j (x)) dσ(x) j Ω h n n i f i (u h j (x),x) ϕ j (x) dσ(x) i= º µ ÓÖ ÐÐ ϕ Vh dº Ì ÐÐ j ÒÓØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò ÓÖ Ò ÐÐ Ó ÐÐ j Ò Ø ÙÖ ÒØ Ö Ð ÓÚ º Ì ØÓÖ Ò ÖÓÒØ Ó Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ó Ø Ö Ø Ò ÔÔ Ö Ù ÐÐ ÒØ Ö Ö ÓÙÒØ ØÛ º Ì Ð Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ò Ù ØÓ ÔÖ Ö Ú Ö Ð Ò Ó ÓÙÒ ÖÝ Ø º Ì ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Û ÐÐ Ò Û Ò Ø Ô Ý Ð ÙÜ f i Ò ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ g Ö Ó Òº Ì Ô Ý Ð ÙÜ Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ó Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ø ÖÙ Ð Ô ÖØ Ò Ø Ñ Ø Ó º ÓÖ Ö ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ ÓÙÐ Ø Ý Ø Ð Ø

98 À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À µ g(u,u,x,n) = n n i f i (u,x) ÓÖ ÐÐ u U,x Ω Ò n S n ÓÒ Ø ÒÝµº i= µ g ÐÓ ÐÐÝ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ º µ g(u,v,x,n) = g(v,u,x, n) ÓÖ ÐÐ u,v U,x Ω Ò n S n ÓÒ ÖÚ ¹ Ø ÓÒ ÈÖÓÔ ÖØÝµº Å ÒÝ ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ ÓÖ Ö ÒØ Ò Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò Ø Ò Ö Ø ÜØ¹ ÓÓ Ù ¾ ½ ½½½ º ÆÓÛ Ð Ø u h (x,t) = V h l=0 ϕ l (x)α l (t), {ϕ 0,...,ϕ Vh } Ó V h Ø Ò Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û º¾ Ò ÛÖ ØØ Ò ( ) t u h(,t),ϕ + (L h [u h (,t)],ϕ) Ωh = 0 ÓÖ ÐÐ ϕ Vh d, t (0, ). º µ Ω h Ì Ø Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ó ÙÖÒ Ò Ë Ù ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾½ ¾ ¾ ¾ º Ì Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ú ØÓ ÔÖÓÚ Ý ÔÖÓ ¹ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ô Vh d µ ÓÖ Ø ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÓÐÚ Ý Ñ Ò Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÓÖ ÓØ Ö Ñ Ð ÑÙÐØ Ø Ô Ñ º ÓÖ Ø Ù Û Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ë Ù Ò Ç Ö ½¼ Ú Ú ÐÓÔ Ô Ð ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÌÎ ÓÖ ËØÖÓÒ ËØ Ð ØÝ ÈÖ ÖÚ Ò µ Ø Ø ÔÖ ÖÚ ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Ù Ø ÌÎ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û µ ÔØ Ö º º¾º¾ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ËÝ Ø Ñ Û Ø À Ö ÇÖ Ö Ì ÖÑ Ì Ó Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó ØÓ Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ö ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ñ Ø Ó Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº Ò Ü ÑÔÐ Û ÓÒ Ö Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ u t + L [u] = 0, L [u] = F(u) (ε u), Û Ø ÓÑ ÒÓÒÐ Ò Ö ÙÜ F º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ý Ù Ò ØÛÓ Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ u t + L [(u, L [u])] = 0, L [u] = u, L [(u,v)] = F (u) (εv).

99 º¾º ÌÀ ÄÇ Ä ÁË ÇÆÌÁÆÍÇÍË Ä ÊÃÁÆ Å ÌÀÇ ÁÒ Ò Ö Ð m¹ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ý Ñ Ò Ó m Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ º u 0 = u, u = L [(u0 )], u = L [(u0,u )], º L m [u] = L m[(u 0,u,...,u m )]. À Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ó Ø ÓÖÑ L k [u0,...,u k ](x) = n i= f k ( i u 0 (x),...,u k (x),x ), k =,...,m, x i Û Ø u k (x) R d k x R n º Ì Ö Ø ÓÖ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ö Ø Þ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº Ì Ñ Ø Ó ÐÐ ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ù Ø Ø ÑÔÓÖ ÖÝ ÙÒØ ÓÒ u k Ò Ð Ñ Ò Ø ÐÓ ÐÐÝ Û Ø ÓÙØ ÓÐÚ Ò Ð Ö Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º ÆÓÛ Ø Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ t > 0 Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÒÐÙ Ò Ö m¹ø µ ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ô Ø Ð Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L m Ó Ø ÓÖÑ u t + L m [u] = 0 Ò ÖÖ ÓÙØ Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ö Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L m h ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø u 0 h = u h(,t) ÓÖ k =,...,m { ÓÑÔÙØ L h,k [(u0 h,...uk h )] Ù Ò Ø Ô Ý Ð ÙÜ f k i Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ g k Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ } Ø u k h = L h,k [(u0 h,...uk h )] Ø L m h [u h(,t)] = u m h º º µ Ó ÓÖ Ö m À Ö Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L h Ö Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº Í Ò Ø Ö Ø Ô Ø Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ñ ¹ Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ( ) t u h(,t),ϕ + (L m h [u h(,t)],ϕ) Ωh = 0 ÓÖ ÐÐ ϕ Vh d, t (0, ). º µ Ω h

100 ½¼¼ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ü ÑÔÐ º¾º½ Ë Ð Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒµ ÓÖ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø ÒÒ Ò Ó Ø Ø ÓÒ Û Ú ØÓ Ò Ø Ô Ý Ð ÙÜ f i f i Ò ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ g g º Ï Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÜ f i (u) = ue i, i =,...,n, g (u,ũ,n) = (u + ũ)n, f i (u,v) = F i (u) εv i, i =,...,n, g (u,v,ũ,ṽ,n) = G(u,ũ,n) ε (v + ṽ), Û Ö Ø Ú ØÓÖ e i ÒÓØ Ø Ø Ò Ö ÙÒ Ø Ú ØÓÖ Ò R n Ò G ÓÒ Ø ÒØ ÒÙ¹ Ñ Ö Ð ÙÜ ÓÖ Ø ÙÜ F i ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ä Ü¹ Ö Ö ÙÜº Ì Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ø Ó Ó Ò Ê Ý ÒØÖÓ Ù Ò ÔÔÐ ØÓ Ø Ð Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ê Ý ÔÔÐ Ø Ñ Ø Ó ØÓ Ø ÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ µº ÁÒ Ø ÓÚ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Û Ú Ò Ð Ø Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ø ÓÒ ¹ Ù ÓÒ ÒÓØ Ý Ø ÓÑÔÐ Ø Û Ø Ø Ü ÔØ ÓÒ Ó Ñ Û Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝµº ÀÓÛ¹ Ú Ö Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÒÓØ Ö ÖÙ Ð Ô ÖØ Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò Ô Ò Ó ÓÙÖ ÓÒ Ø Ò Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒº Ï Û ÐÐ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ø ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ð Ò Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ó Ø ÔØ Ö Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ËÝ Ø Ñ Ò ÓÒ ØÛÓ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ º º¾º ÆÓÒ¹ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ËÝ Ø Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ö Ø ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ º º Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÒÓØ ÛÖ ØØ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÖÑº ËÝ Ø Ñ Ø Ø Ö ÖÓÑ Ô Ý Ö Ù Ù ÐÐÝ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ ÙØ ÒÓÒÐ Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó ÓÓÖ Ò Ø ÓÖ ÓÑÓ Ò Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ò Ð ØÓ ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º ÁÒ ÓÙÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ ÑÔÐÝ Ð ØÓ ÑÓÖ Ö Ð Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñº Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ö Ø ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ØÓ ÓÒ Û Ø Ö º ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÕÙ Ò Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ñ Ò ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑ Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ô Ý Ð Ö Ð Ú ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Û Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ö ÔÖ ÒØ ¼ º Ì ÒÓØ Ò Ù Ò ÓÙÖ Ù ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Ö ÙÔÔÓ ØÓ Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ º Ì ÔÔÖÓ Û Ö Ò Ø Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ ÐÐÝ Ò Ö Ð Þ ØÓ Ý Ø Ñ Û Ø Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò»ÓÖ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ º Ï ÓÒ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ø ÓÖÑ L[u](x) = n A i (u(x),x) i= x i u(x), Û Ø Ñ ØÖ Ü Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ A i : R d R n R d d º Ø Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÙÒØ ÓÒ u ÙÔÔÓ ØÓ ÑÓÓØ º Ì Ñ Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ Ò Ö Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ø

101 º¾º ÌÀ ÄÇ Ä ÁË ÇÆÌÁÆÍÇÍË Ä ÊÃÁÆ Å ÌÀÇ ½¼½ Ò ÔÔÐ ØÓ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ u h Ó Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ô V d h º Ë Ñ Ð Ö ØÓ Ë Ø ÓÒ º¾º½ Û ÔÔÐÝ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ ÔÔ Ò Ü º º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó ÔÔ Ò Ü º Ù º Ï Ò Ø Ö Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÔÐ ØÓ u h V d h (L h [u h ],ϕ) Ωh [ n = ϕ T A i (u h, ) = Ω h d T h j=0 + φ ϕ i= j T h j=0 ] u h x i n ϕ(x) T A i (u h (x),x) i= j \ Ω h 0 n i= φ Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ x i u h (x) dx n i φ ϕ (t,x) T ( A i φu (t,x),x ) φ u (t,x) dt dσ(x) º µ ÓÖ ÐÐ ϕ Vh dº φ u Ò φ ϕ Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø u¹ Ò ϕ¹óñôóò ÒØ Ó Ø Ô Ø φ º º ( ) φu ( ) (t,x) = φ t; (u h j (x),ϕ j (x)), (u h j (x),ϕ j (x)) Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø φ Ð Ò Ö Ò Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ ϕº Ì ØÓÖ Ò Ø Ð Ø Ø ÖÑ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÖÝ Ù ÐÐ ÒØ Ö Ö ÓÙÒØ ØÛ º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ø Ø Ò Ù ØÓ ÑÔÓ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú º µº Ì Ö Ò ØÓ ÓÙÒ ÖÝ Ø Ò Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÓÒ Ð ÓÙÒ ÖÝ Ø ÖÑ Ú ØÓ ØÓ ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÔÖ Ö Ø ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÓÑ Òº Ì Ð Ø Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ò Ú Ö Ò ÔÖÓ º ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÁÒ (L h [u h ],ϕ) Ωh = T h j=0 i= j + T h j=0 n ϕ(x) T A i (u h (x),x) j \ Ω h x i u h (x) dx { ϕ(x) T } n ( ζ{ n i A i uh (x),x )} [u h (x)] dσ(x). À Ö Ø ÐÙ Ø ÖÑ ÒÓØ Ø Ð Ò Ö Ú Ö Ò Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ { ϕ(x) T } ζ = ζϕ j (x) + ( ζ)ϕ j (x) i= º µ ÓÖ ÓÑ ζ [0,]º Ì Ö Ø ÖÑ ÒÓØ Ø Ú Ö Ò Ø Ø ÖÑ n i A i ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ø Ö Ø Ñ Ø Ú Ö º Ò ( ) [u h (x)] = u h j (x) u h j (x)

102 ½¼¾ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À ÒÓØ Ø ÙÑÔ Ó u h ÓÚ Ö Ø ÐÐ ÒØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÖÑ Ð nº ÁÒ ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ú Ù Ù ÐÐÝ ÓÒÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ ÓÒ ÐÐ Ó Ø Ñ º ÁÒ Ø Ø Ú Ö Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ñ ØÖÙØÙÖ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ º µº Ï Ò ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ ÔÔ Ö ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ÓØ Ú Ö ÔÖÓ ÙÖ Ò ÓÑ Ò Ò ÓÒ Ò Ö Ð Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ ÙÒØ ÓÒº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ζ Ò Ø Ò ÓÒØÖÓÐ Ø Ú Ö Ú ÐÙ Ò Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒº º¾º ËÓÙÖ Ì ÖÑ ËÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ð Ò Ð Û Ö ÑÔÐÝ ÔÖÓ Ø ØÓ Ø Ø Ò ØÞ Ô V d h º Ì Ñ Ò Ð Ò Ð Û Ó Ø ÓÖÑ u t + L[u] = B(u), Û Ö L Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ø Ò ÒÐÙ Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú ÓÖ ÒÓÒ¹ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ô ÖØ Ò B Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ Ø Ø Ò Ò Ò Ö Ð Ð Ó Ô Ò ÓÒ Ô Ò Ø Ñ Ú Ö Ð Ö Ø Þ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý ( ) t u h(,t),ϕ + (L h [u h (,t)],ϕ) Ωh = (B(u h (,t)),ϕ) Ωh Ω h ÓÖ ÐÐ ϕ Vh d, t (0, ). Ì ÓÖÑ ÐÐÝ ÑÔÐ ÔÔÖÓ Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ñ Ò Ø Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ Ö ØÖ Ú¹ Ð ØÓ Ò Ð º Ì ÔÖ Ò Ó ÓÙÖ Ø ÖÑ Ó Ø Ò Ö ÙÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ Ö Ø Ý Ø Ñº Ì Ö ÓÖ Ø ÓÑ Ø Ñ ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ ÔÔÐÝ ÜÔÐ Ø¹ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÔØ Ö µ Û Ö Ø ÓÒÚ Ø Ú Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Þ Ò Ò ÜÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ ØÖ Ø ÑÔÐ ØÐÝº º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÄÓ Ð ÙÒØ ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ ØÖÙØ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø Ó ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ô Ò Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ô V h º ÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ø Ø Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ø Ö Ö Ò ÐÐ ØÓ Ò Ö ØÖ ÖÝ ÐÐ Ó Ø Ñ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒº Ì Ø ÓÖ ÑÔÐ Ð Ñ Û ÐÐ ÓÖ ÖØ Ò Ñ º ÓÖ Ò Ö Ð Ñ Ø ÒÓØ Ø º Ý Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÝ ÓÒ Ø Ö Ö Ò ÐÐ Ð ØÓ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÝ ÓÒ Ò Ö ØÖ ÖÝ ÐÐº Ï ÒÓØ Ø L ¹ ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ø Ö Ö Ò ÐÐ ˆ Ý (φ,ψ) = φ(x)ψ(x) dx ˆ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö Ø ÑÓ Ø m Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø Ô Ý { } n n P m = Ô Ò x x k i i k i N, k i m, P m = n (m + i). n! i= i= i=

103 º º ÉÍ Ê ÌÍÊ ÇÊÅÍÄ Ë ½¼ Ï ÓÒ ØÖÙØ Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ó P m Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ (, ) Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ñ¹Ë Ñ Ø ÔÖÓ ÙÖ º ÁØ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ø Ø Ö Ñ¹Ë Ñ Ø ÔÖÓ ÙÖ ÒÓØ Ø Ð Û Ò Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ù º Ì Ö ÓÖ Û Ù Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ø Ñ Ø ØÓ ÓÚ ÖÓÑ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý ÜÔÐÓ Ø Ò Ø Ø Ø Ø ˆ n i= x k i i dx = n i= k i! (n + n i= k i)!, Û Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔÖ ÓÒº Ì Û Ý Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÖÖ ÓÙØ Û Ø ¹ ÓÙØ ÐÓ Ó ÙÖ Ýº Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ò Ù Ò ÔÖ ÓÒ Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ Ö Ø Ñ Ø º ÓØ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ø Ñ Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ ÔÖ ¹ ÓÒ Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ö ÔÖÓÚ Ý Ø ÆÍ ÅÈ Ô ¾ Û ÔÖÓÚ ÒØ Ö ÒÐÙ Ò ÓÚ ÖÐÓ Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ º Ï ÒÓØ Ø ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó P m Ý p 0,...,p Pm º À Ö P m Ø Ò ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ Ó P m º Í Ò Ø ÐÓ Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ò Ò ÐÓ Ð ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ω h ϕ j l (x) = χ j (x) p l (T j (x) ), j = 0,..., T, l = 0,..., P m. º½¼µ ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ØÝ Ó Ø ÐÓ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p l ÔÖ ÖÚ Ù Ø Ñ ÔÔ Ò T j ÖÓÑ Ø Ö Ö Ò ÐÐ ØÓ Ø ÑÔÐ Ü j Ó T Ò Ò Ð Ò Ö Ñ ÔÔ Ò º ÆÓÛ Û Ò Ø T P m ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ó ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ½µ¹Ø ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Å Ø Ó Ý V h = {ϕ j l j = 0,..., T, l = 0,..., P m }. ÆÓØ ÇÒ ÖØ Ò Ö Û ÐÐ ÓÒ ÒÓÒÙÒ ÓÖÑ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ä Ò Ö ¹ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ º ÁÒ Ø Ò ÓÖ¹ Ø Ó ÓÒ Ð Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ ÓÚ ÒÓØ Ò ÖÝº ÑÓÖ ÓÔ Ø Ø Ñ Ø Ó ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÖ ÒØ Ò ¾ º Ì Ö ÙÐØ Ò Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖÝ ÔÖÓÔ ÖØ º Í Ò Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØÓ Ø Ö Û Ø ÝÑÑ ØÖ Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ò ÜÔÐÓ Ø ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ì ÒÙÑ Ö Ó Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ù Ý ÜÔÐÓ Ø Ò Ø ÝÑÑ ØÖ µº ÁÒ ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ä Ò Ö ¹ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÐÖ Ý ÝÑÑ ØÖ Ò Û ÝÑÑ ØÖ º Ë Ü ÑÔÐ º º½ Ò Ë Ø ÓÒ º ÓÖ Ò ÜÔÐÓ Ø Ó ÝÑÑ ØÖ Ò Ø º º ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ò Ö Ð ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÒÓÒÐ Ò Ö Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø ÓÒØ Ò¹ ÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ö ÓÚ Û Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÙÖ ÒØ Ö Ð Ø Ø ÔÔ Ö Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒº ÁÒ ÖØ Ò Ô Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ò ÚÓ Ý Ø

104 ½¼ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö ØÙÖ ¹ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û ÑÔÖÓÚ Ø ÒÝ Ø ¹ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó º Ì ÔÓ Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ ÙÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ô Ö Ø º n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ö Ò ÑÔÐ Ü Ø Ó ÔÓ ÒØ x 0,...,x nq Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Û Ø w 0,...,w nq Ù Ø Ø Ø ÙÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø ÒØ Ö Ð I h (f) = n q r=0 I(f) = ˆ w r f(x r ) f(x) dx Ò ÓÑ Ò ÓÖ Ú Ò ÙÒØ ÓÒ f : R n Rº ÆÓØ ÁØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ÙØ Ö ÓÑÑ Ò µ Ø Ø Ø ÔÓ ÒØ x r Ð Ò Ø Ö Ö Ò ÑÔÐ Üº Ò Ø ÓÒ º º½ ÇÖ Ö Ó ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ µ ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ (x r,w r ) r=0,...,nq Ó ÓÖ Ö m N\{0} ÕÙ Ø ÓÒ ÓÐ ÓÖ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p P m º I h (p) = I(p) ÒÓØ ÓÚ Ø Ù Ó ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Û Ø ÔÓ ÒØ x r ÓÙØ Ø Ö Ö Ò ÑÔÐ Ü ÒÓØ Ö ÓÑÑ Ò Ù ÙÒØ ÓÒ Ñ Ý ÒÓØ Ò Ø ÔÓ ÒØ Ø Ý Ö Ú ÐÙ Ø Ø Ý Ø Ù Ó Ù ÓÖÑÙÐ º ËÓÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ú ÔÖÓ Ð Ñ Û Ò ÓÖÑÙÐ Û Ø Ò Ø Ú Û Ø Ö Ù ÙØ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ø Ð Ø Ò ÓÙÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ µ Ñ ÒÓØ ØÓ Ò Ø Ú ØÓ Ø Ù º Ì Ù Ó ÕÙ Ö ØÙÖ ÖÙÐ Û Ø Ò Ø Ú Û Ø Ö ÙÐØ Ò Ø ÐÓ Ó Ø ÔÓ Ø Ú ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÒØ Ö Ð ÙØ ÒÓØ Ò Ø ÐÓ Ó ÙÖ Ý Ò Ò Ö Ðº ÓÖ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ò ÐÝ ÖÖ ÓÙØ Ý Ó ÙÖÒ ÀÓÙ Ò Ë Ù Ò ¾ ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ ÒØ Ö Ð ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ó ÓÖ Ö m Ò ÓÖ Ø ÒØ Ö ÒØ Ö Ð ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ó ÓÖ Ö m + Ö Ù ÒØ Û Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö m Ö Ù Ò ØÞ ÙÒØ ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ð Ò Ö ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ó ÓÖ Ö m Ò m Ö Ù ÒØ ÓÖ Ü Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÒØ Ö ÒØ Ö Ð Ö Ô Ø Ú ÐÝº ÓÖ Ð Ò Ö ÓÙÖ Ø ÖÑ ÚÓÐÙÑ ÕÙ Ö ØÙÖ ÖÙÐ Ó ÓÖ Ö m ÑÙ Ø Ó Òº Ú Ò ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ó Ñ Ý Ù ÒØ Û Ú Ó ÖÚ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ø Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº º º½ ½ ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ú ÖÝ ÐÝ Ý ÓÑ¹ ÔÙØ Ò Ø Þ ÖÓ Ó Ä Ò Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØÓ Ó Ø Ò Ø ÕÙ Ö ØÙÖ ÔÓ ÒØ Ò Ø

105 º º ÉÍ Ê ÌÍÊ ÇÊÅÍÄ Ë ½¼ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Û Ø Ö Ó Ø Ò Ý ÓÐÚ Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º ÁÒ ¾ Ø» Ñ Ø Ó ÙÐ ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ Ù Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö ØÖ ÖÝ Ö Ø Ø Ö ÒÓÛÒ ØÓ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ø Ò Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ó ÕÙ Ö ØÙÖ ÖÙÐ Ó Ú Ò ÓÖ Ö Ñ Ò Ñ Þ º Ì Ñ Ò Û Ø n q ÔÓ ÒØ Ù Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ó ÓÖ Ö n q Ò ÓÒ ØÖÙØ º Ì Û Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó Ù Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ó ÐÓÛ Ö ÓÖ Ö Ò Ð Ó ÓÙÒ Ò Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ º º ½¼ ÓÖ ½¼ º º º¾ ¾ ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ì Ð º½ Ð Ø ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ö Ö Ò ØÓ Ü Ø Ò ¾ ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ØÖ Ò Ð º ÐÐ Ó Ø ¾ ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ò ÖÓÑ ¼ ÓÑ Ó Ø Ñ Ò Ð Ó ÓÙÒ Ò ½¼ Ò Ò ÓØ Ö ÓÙÖ º ÓÖ Ö ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ö Ñ Ö ½ ½ ¾ Ò Ø Ú Û Ø Ò Ø Ú Û Ø ½¾ ½ ½ ½ ½¼ ¾ ½½ ¾ Ò Ø Ú ÖÝÞ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø ½¾ ½ Ì Ð º½ Ê Ö Ò ØÓ ¾ ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ º ¼ ÔÖÓÚ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ ÙÔ ØÓ ÓÖ Ö 0º ËÓÑ Ó Ø Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÒÓØ Ð Ø Ò Ì Ð º½ Ð Ó Ú Ò Ø Ú Û Ø ÓÖ Ò Ø Ú ÓÓÖ Ò Ø º º º ÉÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ì Ð º¾ Ð Ø ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ö Ö Ò ØÓ Ü Ø Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø ØÖ ÖÓÒº Å ÒÝ Ó Ø ¾ Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÒÝÐÓ¹ Ô Ó Ù ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Û Ø ¾ º ÆÓØ ÇÒ ÖØ Ò Ñ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ô Ñ Ò ÓÒ ½ ¹ Ù Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖ¹ ÑÙÐ Ò Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÓÖÑÙÐ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Öº

106 ½¼ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À ÓÖ Ö ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ö Ñ Ö Ö Ö Ò ½ ½ ½¼ ¾ ½¼ Ô ¼ Ò Ø Ú Û Ø ½¼ Ô ¼ ½½ Ò Ø Ú Û Ø ¼ ½ ½½ ¾ ¼ Ò Ø Ú Û Ø ½½ ½ Ò Ø Ú Û Ø ¼ Ò Ø Ú Û Ø ½¼ Ò Ø Ú Û Ø ½¼ Ò Ø Ú ÖÝÞ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø ½½ Ò Ø Ú Û Ø Ò Ø Ú ÖÝÞ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø ÒÓØ ÓÑÔÙØ Ú ÖÝ ÙÖ Ø ÐÝ Ì Ð º¾ Ê Ö Ò ØÓ ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ º º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø Ð Ï Ù ÓÑ Ø Ð ÓÒ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ö Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ò Ð Ö ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ú ØÓÖ Ú ÐÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ø Ò ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ë Ð Ö Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ï ÓÒ Ö Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û u t + f(u) = 0 Ò n Ô Ñ Ò ÓÒ º ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ú Ò Ò º µ Ò Ù Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ø ÓÖ Ø j¹ø ÐÐ Ó Ø Ñ j t uj (x,t)ϕ j k (x) dx = f(u j j (x,t)) ϕk (x) dx j g(u j (x,t),u j (x,t),n) ϕ j k (x) dσ(x), e j e Û Ö ϕ j k V h ÒÓØ Ø ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ö ÒÓØ ÒØ Ð ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ ÓÒ Ø ÐÐ j ÓÖ k = 0,...,n p = P m º Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø ÐÐ j Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò ÓÖ Ò ÐÐ j Ö Ò Ý u j (x,t) = n p k=0 α j k (t)ϕj k (x), uj (x,t) = n p k=0 α j k (t)ϕj k (x).

107 º º ÁÅÈÄ Å ÆÌ ÌÁÇÆ Ä Ì ÁÄË ½¼ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ϕ j k Ò º½¼µ Û Ø (α j k ) (t) p k (x)p k (x) det DT j (x) dx ˆ n [ = DTj (x) f(u j (T j (x),t)) ] p k (x) detdt j (x) dx ˆ n n g i=0 ˆ n ( ) ( ) u j (Sj(x),t),u i j (Sj(x),t),n i ϕ j k (Si j(x)) det (DSj i)t DSj i dx. À Ö T j : ˆ n j ÒÓØ Ø Ò Ð Ò Ö Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ø n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ö Ò ÐÐ ØÓ Ø ÐÐ j Ò Sj i : ˆ n e i j Ø Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ø (n )¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ö Ò ÐÐ ØÓ Ø i¹ø ÒØ Ö Ó Ø ÐÐ j º Ï Ú det DT j (x) = n! j Ò ) det (DSj i(x)t DSj i(x) = (n )! e i j. Í Ò Ø Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÝ Ó Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò (n )¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Û Ø q n Ò q n ÔÓ ÒØ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ú (α j k ) (t) = Û Ø Ø Ö Ú Ø ÓÒ,t) = g g(x n r n p l=0 q n r=0 n i=0 w n r +R j k (t), DTj f e i j n j q n r=0 n p α j l (t)p l(x n r ) p k (x n r ) l=0 w n r α j l (t)p l(tj Sj i (xn r )), g(x n r n p l=0 α j,t) p k (T l (t)p l(t j j S i j (xn r )) Sj i (xn r )), n. º½½µ R j k (t) ÒÓØ Ø Ñ ÐÐµ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ó Ø ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ò Ò ¹ Ð Ø Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ p k Ò ÖÝ ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ ÒØ Ö Ð º Ì Ó Ð Ó ÓÐ ÓÖ Ø ÙÖ ÒØ Ö Ð Û Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ú Ð Ó ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ØÝ Ö ØÖ Ø Ò Ø Ñ º Ë Ð Ö ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÕÙ Ø ÓÒ Ï ÓÒ Ö Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ð Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ u t + a(u, u,x,t) = 0.

108 ½¼ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À À Ö Ó Ø ÓÖÑ a(u, u,x,t) = b(u,x,t) + n i= a i (u,x,t) x i u Ò ÒÐÙ Ð Ó ÓÙÖ Ø ÖÑ bº Ï ÔÔÐÝ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ÕÙ Ø ÓÒ º µº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖ ÒØ Ö Ð Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖ ÒØ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô º ËÓ Û ÓÑ Ø Ø Ò Ù ÓÒÐÝ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÚÓÐÙÑ ÒØ Ö Ðº Ï Ø Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô Û Ú j a(u j (x,t), u j (x,t),x,t) ϕk (x) dx j n p n = α j l (t)p p l(tj x), α j l (t)(dt j) T p l (Tj x), x, t p k (Tj x) dx j a l=0 = n! j a ˆ n n p l= α j l (t)p l(x), l=0 n p l= α j l (t)(dt j) T p l (x), x, t p k (x) dx Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ º ÆÓØ Ø Ø p 0 ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò ÓÑ ØØ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó u j º ÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ø Ð ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ ØÓ ÔÔÐ Ò Ò Ö Ðº Ì Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú º Ü ÑÔÐ º º½ ËÝÑÑ ØÖÝ ÜÔÐÓ Øµ ÁÒ º½½µ Û Ú Ò Ø Ø ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÚÓÐÙÑ ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö Ø ÐÐ j Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ u h ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ T j (x r )º Ì Ñ Ò ÓÒ Û Ø Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ù Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ò Ø ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ º Ï ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð º ÁÒ Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ú Ò Ý Ð Ä Ö Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÙÑ Ø Ø Û Ú Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö n p Ó ÐÓ Ð ÙÒØ ÓÒ º ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Û ÓÓ Ù Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Û Ø Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ n q º ÓØ Ø ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÝÑÑ ØÖ º Ï Ú Ø ÔÖÓÔ ÖØ p l (x r ) = p l (x nq r ) p l (x r ) = p l (x nq r ) l Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö, l Ò Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ l = 0,...,n p Ò r = 0,...,n q º ÓÖ r = 0,...,n q Ø Ò ÖÝ ØÓ ÓÑÔÙØ u h (T j (x r )) = n p l=0 α j l p l(x r ).

109 º º ËÁÅÈÄ ÅÈÄ Ë ½¼ Í Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ ÓÚ Ø Ò ÓÒ Ð Ó Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ýº ÓÖ r = 0,..., nq ÓÑÔÙØ β r = γ r = np l=0 np l=0 u h (T j (x r )) = β r + γ r, u h (T j (x nq r )) = β r γ r. α l p l (x r ), α l+ p l+ (x r ), ÁÒ Ø ÔÔÖÓ ÓÒÐÝ Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ø ÓÒ Ö Ò ¹ ÖÝ ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ö ØÙÖ ÔÓ ÒØ º ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÓØ Ö ØÖ Ø ØÓ Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÕÙ Ö ØÙÖ ÔÓ ÒØ º Ñ Ð Ö ÔÔÖÓ Ð Ó ÔÓ Ð Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Û Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ú Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖÝ ÔÖÓÔ ÖØ º ÁÒ ¾ Ù Ò Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÒ ØÖÙØ º º Ë ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ì Ø ÓÒ Ø ØÓ Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ñ¹ ÔÐ Ü ÑÔÐ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ÒÐÙ Ò Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ º¾ Û Ú ÐÖ Ý Ù Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ñ Ø Ó Û ÔÖÓÔÓ Ý Ò Ê Ý º À Ö Û Ú ÓØ Ö ÔÓ Ð ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ð Ø ÔÖÓÔÓ Ý Ó ÙÖÒ Ò Ë Ù Ò ¾ º Ì ÓÒ Ü ÑÔÐ Ø Ä Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÒÐÙ Ø Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ º Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÖÚ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ÒÓØ Ù Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ò Ô Ð ØÙ Ø ÓÒ ÙØ Ø Û Ý Ø Ö Ø Þ Ñ Ð Öº º º½ ÆÓÒÐ Ò Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ½ ÁÒ Ü ÑÔÐ º¾º½ Û ÐÖ Ý Ù Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Û Ö Ø Þ Ø Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ä Ñ Ø Ó ÔÖÓÔÓ Ý Ò Ê Ý º À Ö Û ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ò Ú ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Þ Ø ÓÒ Û Ø ÙÔ Ö ÓÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÔÖÓÔÓ Ý Ó ÙÖÒ Ò Ë Ù ¾ º Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ u t + F(u) x = εu xx Ò R R >0, u(,0) = u 0 Ò R, Û Ö F : R R ÓÑ ÑÓÓØ Ò Ò Ö Ð ÒÓÒÐ Ò Öµ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ ε > 0 ÙÔÔÓ ØÓ Ñ ÐÐ Ù Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó º

110 ½½¼ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ï Ö ÛÖ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò ØÛÓ Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L Ò L Ë Ø ÓÒ º¾ Ò Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ý u t + L [ u, L [u] ] = 0, L [u] = f (u) x, f (u) = u, L [u,v] = f (u,v) x, f (u,v) = F(u) εv. À Ö f Ò f ÒÓØ Ø Ô Ý Ð ÙÜ º ÓÖ Ø ÓÑÔÐ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒ Û Ú ØÓ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ï ÓÓ Ø ÄÓ Ð Ä Ü¹ Ö Ö ÙÜ ÓÖ Ø ÓÒÚ Ø Ú Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ó Ú ÓÙ ÙÜ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý ξ [0,] ÓÖ Ø Ú ÓÙ Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒº g (u,u +,n) = (ξu + ( ξ)u + )n, g (u,v,u +,v +,n) = (F(u ) + F(u + )) n α (u+ u ) ε(( ξ)v + ξv + )n, º½¾µ Û Ö n ÒÓØ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒÓÖÑ Ð º º ÓÖ µ Ò α Ó Ò ØÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ø Û Ú Ô α = max( F (u ), F (u + ) )º ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÓÑ Ø Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÓÓ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ξ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ ÓÖ ÓÒ Ñ Ò Ø Ø Ò Ö Ø ÓÖ Ö Ñ Ø Ú ÓÙ Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Þ Ý Ø Ù Ù Ð Ø Ö ÔÓ ÒØ Ø Ò Ð ε h (u i u i + u i+ ), Û Ö Ø Ó ξ = Ø Ò Ð Ð ØÓ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ý Ø ÔÖ ÓÙØ Ú ÔÓ ÒØ Û ε 4h (u i u i + u i+ ). ÆÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø Ð ØØ Ö Ó Ò Ð ØÓ Ù ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò Ò Ø Û Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ó Ö Ö Ù Ò ØÞ ÙÒØ ÓÒ ½¼¾ º Ì ÒÓØ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø Ó ξ = 0 Ò ξ = ÙØ Ø Ó Ò Ð ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ó Ë Ø ÓÒ º º ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ö Ñ Ø Ð Ö Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ð ÖØ Ðµ Ú Ó ØÝ Ò ÓÑ ØØ Ò Ø ξ = 0 Ò ξ = Ø Ñ Ø Ó ÔÖÓÔÓ Ý Ó ÙÖÒ Ò Ë Ù ¾ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ Ù ÒØÐÝ Ò ÓÖ Ø Ø Ñ Ø Ô Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐ Ò Ø ÙÐÐÝ Ö Ø Ñ º Ð Ò Ö Ø Ð ØÝ Ò ÐÝ ÓÛ Ø Ø Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ Ø Ð Þ Ø Ñ Ý Ô Ý Ð Ú Ó ØÝ Û Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ξ = Ø Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ÔÖÓÔÓ Ý Ò Ê Ý ÔÔÐ ØÓ Ø Ð Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Òº ÆÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø Ñ ØÖÙ ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ñ º

111 º º ËÁÅÈÄ ÅÈÄ Ë ½½½ º º¾ ÆÓÒÐ Ò Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ¹ Ô Ö ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ½ Ð Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Û ÓÒ Ö Ø Ð Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ u t + f(u) x = εu xx + λu xxx Ò Ω R >0, u(,0) = u 0 Ò Ω, Û Ö f : R R ÓÑ ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ Ò ε,λ Ö ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ º ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û Ø Ø ÒØ ÖÚ Ð Ω = (0,) Ò ÓÒ Ö Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÖÚ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ ÒÓØ Ù Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ò Ô Ð ØÙ Ø ÓÒ ÙØ Ø Û Ý Ø Ö Ø Þ Ý Ø ÐÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ñ Ð Öº Ï ÔÔÐÝ Ø Ò Ö Ð ÔÔÖÓ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º¾ ØÓ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ñ Ò Û Ö ÛÖ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ º Ï ÓÑ Ø Ø ÜÔÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ô Ý Ð Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ò Û ÛÖ Ø ÓÛÒ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ Û Ò Ø Ò Ë Ø ÓÒ º º Ï Ö ÛÖ Ø Ø Ø Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖÑ ÐÐÝ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø ÓÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ò Û Ú Ö Ð p Ò qº u t + (f(u) p) x = 0, p (εu + q) x = 0, q (λu) x = 0. ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Ð ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ¹ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ò ÙÒØ ÓÒ u(,t), p, q V h = {ϕ : Ω R ϕ j P k ( j )} Ù Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ u t v dx (f(u) p)v x dx + ( ˆf ˆp) j+ j j pw dx + (εu + q)w x dx (εû + ˆq) j+ j j qz dx + (λu)z x dx (λû) j+ j j v j+ w j+ z j+ ( ˆf ˆp) j v + j + (εû + ˆq) j w + j + (λû) j z + j = 0 = 0 º½ µ = 0 Ö Ø ÓÖ ÐÐ Ô Û ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø ÙÒØ ÓÒ v,w,z V h Ò ÐÐ ÐÐ j º À Ö Û ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ý Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ú ÐÙ ϕ ± ÒÓØ j+ ( ) Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ϕ V h Ø Ø ÒØ Ö x j+ Ó Ø ÐÐ j = x j,x j+ ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÖÓÑ Ø Ö Ø Ò Ð Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝº ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ò Ö Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ø ÒØ Ö º ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ ÓÖ Ø ÓÒÚ Ø Ú Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ˆf j+ = ˆf(u +,u º½ µ j+ j+ ) Û ÓÓ ÓÑ Ò Ö Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÄÓ Ð Ä Ü¹ Ö Ö ÙÜ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô º Ì Ö Ñ Ò Ò

112 ½½¾ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Û Ò ÓÐÐÓÛ ( ) ˆq j+ = ˆq q,q + j+ j+ ( ) ˆp j+ = ˆp p,p + j+ j+ ( ) û j+ = û u,u + j+ j+ = (q+ + q j+ j+ ), = ξp + j+ = ( ξ)u + j+ + ( ξ)p, j+ + ξu, j+ º½ µ ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ξ [0,]º ÆÓØ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ p Ò q Ò Ð Ñ Ò Ø ÐÓ ÐÐÝ Ù Ø Ø Ø ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ ÓÐÚ Ð Ö Ö Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Ø ÖÑ ÄÓ Ð Ò Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó º Ì Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ò ÓÒ ØÖÙØ Ý L ¹ÔÖÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ô V h º ÓÖ Ø ÓÚ Ú Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Û ÔÖÓÚ L Ø Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ú Ò Ò ½ ¼ Ò Ë Ø ÓÒ º º º ËÙÑÑ ÖÝ Ó Ì ÓÖ Ø Ð Ê ÙÐØ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÑ Ó Ø Ü Ø Ò Ö ÙÐØ ÓÙØ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ò ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú º Ì ÄÓ¹ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Û ÔÖÓÔÓ Ý Ò Ê Ý Ò Ø Ý ÔÔÐ Ø Ñ Ø Ó ØÓ Ø ÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò ÙÖØ Ö Ú ÐÓÔ Ý Ó ÙÖÒ Ò Ë Ù ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾ º Ó ÙÖÒ Ë Ù Ò ÓÛÓÖ Ö Ú Ú¹ Ö Ð Ø ÓÖ Ø Ð Ö ÙÐØ ÓÖ Ð Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ê ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ Ö Ö Ö ÓÖ Ó ÒÓØ Ü Øº ÖÐÝ Ö ÙÐØ Ê Ò À ÐÐ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò ½ ÓÖ Ø Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ð Ö ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ö ØÖ Ò ÔÓÖØ ÕÙ Ø ÓÒ (au) + bu = f Ò Ω Û Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÓÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ø Ý Ù ÒÙÑ Ö Ð ÙÔ¹ Û Ò ÙÜ º Ä Ë ÒØ Ò Ê Ú ÖØ ¼ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø L ¹ ÖÖÓÖ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÖ Ö k Û Ò ÐÓ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö k Ö Ù ÓÒ Ò Ö Ð ØÖ Ò¹ ÙÐ Ø ÓÒ º ÂÓ Ò ÓÒ Ò È Ø Ö ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÚ Ö Û Ø ÓÖ Ö k + ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñº Å ÒÝ Ö Ö Ò ÓÖ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò Ø Ö ÒØ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò ÓÙÒ Ò Ø Ö Ú Û Ô Ô Ö ¾ º ÆÓÒÐ Ò Ö Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ò Ò Ë Ù ½ ÓÒ Ö Ø ÒÓÒÐ Ò Ö Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô

113 º º ËÍÅÅ Ê Ç ÌÀ ÇÊ ÌÁ Ä Ê ËÍÄÌË ½½ Ñ Ò ÓÒ u t + f(u) = 0 Ò Ω (0,T), u(,0) = u 0 Ò Ω, Û Ö f : R R n Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ Ú ØÓÖ Ð Ò u 0 : R R ÒÓØ Ø ÑÓÓØ Ò Ø Ð Ø º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Þ Ò Ô Ý Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ó Ö ØÖ ÖÝ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö k µ Ù Ò Ò Ö Ð ÑÓÒÓØÓÒ ÒÙÑ Ö¹ Ð ÙÜ º ÇÒÐÝ ÖØ Ò Ñ Ö ÓÒ Ö º ÁÒ Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó ½ ÙÒØ ÓÒ Ö Ù Ò ØÞ ÙÒØ ÓÒ º Ì Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÌÎ ¾ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÐÓÛ ØÓ Ö ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ð ÌÎ ÒÓÒØÖ Ú Ð Ø µº ÁÒ ½ Ò Ò Ë Ù Ó Ø Ò ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø ÓÖ ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Ûº Ì Ý ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ Ó ÓÖ Ö O ( h k+ + t ) Ò Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ò Ø Ð Ò Ö ÑÙÐ¹ Ø Ñ Ò ÓÒ Ð º ÓØ Ö ÕÙ Ö k = Ò Ø Ù Ù Ð Ä¹ÓÒ Ø ÓÒ t C CFL h ) O (h k+ + t ÓÖ k Ò Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ø ÑÓÖ Ö ØÖ Ø Ú Ä¹ÓÒ Ø ÓÒ t < C CFL h 4 3 º Ù Ù Ð h ÒÓØ Ø Ñ Þ Ò t Ø Ø Ñ Ø Ô Þ º Ì ÙØ ÓÖ Ó ÒÓØ Ô Ý ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ù Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÑÔ ØÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ö º ÆÓØ Ë Ò ÓÒÐÝ ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÒ Ö ÐÓÔ Ð Ñ Ø Ò ÔÖÓ ÙÖ Ø Ø Ù Ù¹ ÐÐÝ Ò ÖÝ ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Û Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ö ÔÖ ÒØ ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ö Ú Û Ô Ô Ö ¾ º ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÇÖ Ò ÐÐÝ Ò Ê Ý ÔÖÓÔÓ Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ä µ Ñ Ø Ó Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ º ÙÖØ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ó Û ÖÖ ÓÙØ Ý Ó ÙÖÒ Ò Ë Ù Û Ø Ò Ø Ò Ö Ð Ö Ñ ÛÓÖ Ó ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ¾ º Ì Ñ Ø Ó Ô ÐÐÝ Û ÐÐ Ù Ø ÓÖ ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø Ý Ø Ñ º ÁÒ ¾ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ö u t + f(u, u) = 0 Ò Ω (0,T), u(,0) = u 0 Ò Ω, Û Ö f : R R n R n ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ð Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ uµº ÍÒ Ö ÙÖØ Ö ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ø ÙÒØ ÓÒ f Ø ÙØ ÓÖ ÔÔÐ Ñ Ð Ö Ò Ø Ò Ö Ð ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓÖ ÓÔ Ø Ø µ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Û Ù Ø Ò Ø Ë Ø ÓÒ º º Ì Ý ÔÖÓÚ L ¹ Ø Ð ØÝ Ö ÙÐØ ÓÖ Ñ ¹ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ð ØÓ Ò ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ø L ¹ÒÓÖÑ ÓÖ Ø Ð Ò Ö Û Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ º Ì ÖÖÓÖ Ó Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÖ Ö Ch k Û Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö k Ö Ù Ò Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÓÒ Ø ÒØ C Ú Ö ØÛ Ò Ò h Ô Ò ÒØ ÓÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð

114 ½½ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ö Ò Ø Ö Ñ Ó Ø Ó ÒØ ÔÙÖ ÐÝ ÝÔ Ö ÓÐ» ÔÙÖ ÐÝ Ô Ö ÓÐ µº ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ô Ö Ó ÓÑ Ò Ö ÓÒ Ö º Ì ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó ÒÓØ Ø ÓÒÐÝ ØÝÔ Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ØÝÔ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º Ì Ö Ö ÐÓØ Ó ÓØ Ö Ñ Ø Ó Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÔØ ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÒ ÐÐ Ø Ú Ð Ð Ñ Ø Ó ÓÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÓÑÔ ØÐÝ ÔÖ ÒØ Ò Ø Ý Ö ÓÑÔ Ö ØÓ ÓØ Ö ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ò ¾¼ º Ô ÐÐÝ Ø Ñ Ø Ó Ý ÙÑ ÒÒ Ò Ç Ò Çµ Ñ ØÓ ØØÖ Ø Ú ÓÖ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ Ý Ø Ñ º ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò Ø ÙÑ ÒÒ Ò Ç Ò Ñ Ø Ó Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò ½¼¾ Û ÙÑÑ Ö Þ Ø Ú ÒØ Ò Ú ÒØ Ó Ø Ä Ñ Ø Ó ÓÚ Ö Ø Ç Ñ Ø Ó ÓÐÐÓÛ º Ì ÙÒ ÖÐÝ Ò Ò Ñ Ö Ò ½¼¾ Û Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ø Ø Û Ø Ø ½ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ä Ñ Ø Ó ÔÖÓ Ù ÑÙ Ñ ÐÐ Ö ÖÖÓÖ Ø Ò Ø Ç Ñ Ø Ó º Ì Ä Ñ Ø Ó ÓÒÚ Ö Û Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Ö ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ÐÐ Ö kº Ì Ç Ñ Ø Ó ÒÓØ ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Ú Ò kº ¹ Ì Ä Ñ Ø Ó Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ø Ò Ø Ç Ñ Ø Ó º ÙØ Ò Ø Ø Ø Ø ÑÓÖØ Þ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö ÖÖÓÖ º ¹ ÁÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ä Ñ Ø Ó Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ø Ç Ñ Ø Ó º Ì Ñ Ò Ú ÒØ Ó Ø Ä Ñ Ø Ó ÓÚ Ö Ø ÙÑ ÒÒ Ò Ç Ò Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ä Ñ Ø Ó Ò ÐÝ Ò Ö Ð Þ ØÓ Ý Ø Ñ Û Ø Ø Ö ÓÖ Ú Ò Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú º Ï Û ÐÐ Ø Ò Ø Ò ÜØ Ô Ö Ö Ô º Ì ÒÓØ ÔÓ Ð Û Ø Ø Ù¹ Ñ ÒÒ Ò Ç Ò Ñ Ø Ó Ø Ð Ø Ø ÒÓØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Óº Ã Î ØÝÔ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ò Ë Ù ½ ¼ ÓÒ Ö Ò Ö Ð Ð Ó Ð Ö ÒÓÒÐ Ò Ö Ã Î Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ u t + n i= xi f i (u) + r i(u) n g ij (r i (u) xi ) xj = 0 Ò Ω (0,T), j= u(,0) = u 0 Ò Ω, Û Ö f i r i Ò g ij Ö ÑÓÓØ Ð Ö Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ º Ì ÓÙÒ ÖÝ ÙÑ ØÓ Ô Ö Ó ØÓ ÚÓ Ø ÓÑÔÐ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÓÖ Ñ ¹ Ö Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓÒ Ú Ò ÓÖ Ø ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ¹ Ô Ö ÓÒ Ü ÑÔÐ Ò Ë Ø ÓÒ º Ò Ò Ë Ù Ó Ø Ò ÐÐ ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÖ Ø ÕÙ Ö ÒØÖÓÔÝ Ò Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ð ØÓ L ¹ Ø Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ó ÓÙÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ L ¹ Ø Ð ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ü Ø µº Ì Ö ÙÐØ ÓÐ ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ÑÔÐ Ð Ñ Û Ø ÔÓ ÐÝ Ò Ò ÒÓ º ÁÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ö Ø Ð ØÓ Ò ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ø L ¹ÒÓÖÑ Û Ó ÓÖ Ö O(h k+/ ) Û Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö k Ö

115 º º L ¹ËÌ ÁÄÁÌ Ç ÌÀ Ä ¹ ÁË Ê ÌÁ ÌÁÇÆ ÇÊ ÅÇ Ä ÈÊÇ Ä Å½½ Ù º ÐÓÔ Ð Ñ Ø Ò Ø Ò ÕÙ ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ø Ô Ö Ö Ô ÓÖ Ø Ö ÒÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ù Ø ÙÑ ÒÒ¹Ç Ò Ñ Ø Ó ÓÖ Ø Ò Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ò Ø Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú º Ì Ù Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ñ ØÓ ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ú ÓÙ Ø ÖÑ Ñ Ò Ò ½ ¼ º Ì Ö ÓÖ Û Ú Ñ Ð Ö Ø Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ø ÑÔÐ ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ¹ Ô Ö ÓÒ Ü ÑÔÐ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº º L ¹ËØ Ð ØÝ Ó Ø Ä ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ ÅÓ Ð ÈÖÓ ¹ Ð Ñ Ï Ú ÐÐ ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ö ÙÐØ Ò L ¹ Ø Ð ØÝ Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ¹ Ô Ö ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º º½ µº Ì ÓÖ Ñ º º½ ÐÐ ÒØÖÓÔÝ ÁÒ ÕÙ Ð ØÝµ Ä Ø u C ((0, ),V h ) ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ Ö Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º½ µ Û Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º½ µ Ò º½ µº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÒÙÑ Ö Ð ÒØÖÓÔÝ ÙÜ H j Ù Ø Ø Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð ØÝ d dt j u dx + H j+ H j 0 º½ µ ÓÖ ÐÐ ÐÐ j º ÈÖÓÓ º Ï ÒÓØ Ø ÙÑ Ó Ø Ð Ø Ò Ó Ø Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò º½ µ Ý B j (u,p,q; v,w,z) Ò Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ ÓÖ ÐÐ v,w,z V h º Ï ÓÓ Ô Ð Ø Ø ÙÒØ ÓÒ v = u, w = λ q, z = λ p + ε λ q,

116 ½½ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ò Û Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ F Ó f Û Ò Ø Ø 0 = B j ( u,p,q; u, λ q, = d dt j λ p + ε λ q u dx + ε λ q dx + j j +( ˆf ˆp) j+ u ( ˆf ˆp) j+ j u + j ) ( pu F(u) ) x λ q dx = d dt + λ (εû + ˆq) j+ û j+ j Ì ÕÙ ÒØ Ø H j q j+ ( p + ε j+ δ q j+ u dx + ε λ Ò K j λ (εû + ˆq) j ) + û j q dx + H j+ j q + j ( p + + ε j δ q+ j H j Ö Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ) + K j. H j = p u F(u ) j j j λ (q ) j +( ˆf ˆp) j u + j λ (εû + ˆq) j q û j j (p + ε j λ q ) j Ò K j = u + u + λ ( f(u) ˆf(u ),u + ) du ( ) (q+ + q )(q + q ) ˆq(q,q + )(q + q ) +ˆp(p,p + )(u + u ) + û(u,u + )(p + p ) p + u + + p u. Ì Ù Ö ÔØ j ÓÖ Ø Ú ÐÙ u,u +,p,p +,q,q + Û Ö ÓÑ ØØ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó K j ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÑÔÐ ØÝº Í Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º½ µ Ò º½ µ Û Ø Ø Ø ÕÙ ÒØ ØÝ K j ÔÓ Ø Ú º Ì ÒØ Ö Ð Ò Ø ÓÚ ÜÔÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò ˆf ÑÓÒÓØÓÒ ÙÜ Ò Ú ÖÝØ Ò Ð Ú Ò º Ö ÙÐØ Û Ø Ø ÐÐ ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð ØÝ d dt j u dx + ε λ q dx + H j+ j H j 0. º½ µ Ì ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º ÆÓØ Ø Ø Ø ÖÔ Ö Ø Ñ Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÚ º Ì ÙÒØ ÓÒ q Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ λu x Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ε u x dxº Ì ÐÐ ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÚ ÑÑ Ø ÐÝ Ð ØÓ L ¹ Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒº

117 º º Æ ÎÁ Ê¹ËÌÇÃ Ë¹ÃÇÊÌ Ï ¹ ÁË Ê ÌÁ ÌÁÇÆ ½½ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º º¾ L ¹ Ø Ð ØÝµ Ä Ø u C ((0, ),V h ) ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ Ö Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º½ µ Û Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º½ µ Ò º½ µº Ì Ò Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø L ¹ Ø Ð ØÝ Ø Ñ Ø d dt u dx 0. j ÈÖÓÓ º Í Ò Ø ÐÐ ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð ØÝ º½ µ Ò ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÐÐ Ú d dt u dx ε λ q dx º½ µ Ω Û ÖÔ Ö Ø Ñ Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÓÚ º ÆÓØ Ø Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ù Ò Ø Ö ÓÖ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ð ÒØÖÓÔÝ ÙÜ H j Ú ÓÙÒØ Ö Ô ÖØº Ω º Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ò ÐÐÝ Ö Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÆËÃ ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø ÖÓÙÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ º Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Û ÐÐ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ¾ ÙÐÐµ ÆËÃ ÑÓ Ð Ù Ò Ø Ðº Ì ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÑ ØØ ÓÖ Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñ ÓÖ ÑÔÐ ØÝº ÁØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Óº º º½ ½ ÓØ ÖÑ Ð Ï ÓÒ Ö Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ñ Ò¹ ÓÒ Ð ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ ¾º µ Ò Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ ¹ Ø Ú ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ρ t + (ρu) x = 0, (ρu) t + (ρu ) x + ρκ x = εu xx, Ò Ω (0,T) Û Ø κ = µ(ρ) λρ xx Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u = 0, ρ x = 0 ÓÒ Ω (0,T) Ò Ø Ù Ù Ð Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ï Ö ÛÖ Ø Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ð Ö Ö ÓÖÑ ÐÐÝ Ö Ø ÓÖ Ö Ý Ø Ñº ( ) ρx L [ρ,ρu] = 0, t u x κ L [ρ,ρ x] = 0, ) + L 3 [ρ,ρu,u x,κ] = 0. ( ρ ρu

118 ½½ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L, L, L 3 Ö Ò Ý ( ) ρ L [ρ,ρu] = x ρu, ρ L [ρ,ρ x] = µ(ρ) λ x ρ x, L 3 [ρ,ρu,u x,κ] = ( x ρu ρu εu x ) ( 0 + ρ x κ ). º½ µ À Ö Û Ú ÐÐ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ò Ø ÓÒ º¾º Ì ÐÙ Ø ÖÑ ÐÓÒ ØÓ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ô ÖØ Ó Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ º Ì µ(ρ) Ø ÖÑ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ L Ø Ö Ø Ö Ó ÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ô ÖØ Ó L 3 ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØº ÌÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Û Ú ØÓ ÓÓ Ù Ø Ð ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º Ø Ø ÒÒ Ö ÐÐ ÒØ Ö Û ÓÓ g (ρ ±,ρu ±,n) = n {ρ} }, { ρu ρ g (ρ ±,ρ ± x,n) = nλ{ρ x }, g 3 (ρ ±,ρu ±,u ± x,κ ±,n) = ( ξ {ρu}n α [κ] {ρu }n ε {u x } ξ n + ζ{ρ}[κ]n α [ρu] ). º¾¼µ À Ö Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò {ϕ} ξ = ξϕ + ( ξ)ϕ + ÓÖ ξ [0,] ÒÓØ Ø Û Ø Ú Ö Ò [ϕ] = (ϕ + ϕ ) Ø ÙÑÔ ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö ØÛ Ò ÐÐ ÓÖ Ò Ð Ñ ÒØ ϕ V h º ÁÒ Ø Û Ö ξ ÕÙ Ð ØÓ Û ÓÑ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º º {ϕ} = (ϕ + ϕ + ) ÒÓØ Ø Ö Ø Ñ Ø Ú Ö º ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ú ÐÙ ÒÓØ Ø Ú ÐÙ ÓÒ Ø Ð Ø Ó Ø ÐÐ ÒØ Ö Ò + Ø Ú ÐÙ ÓÒ Ø Ö Øº Ì ÒÓÖÑ Ð n Ò ½ Ø Ú ÐÙ ÓÖ º Ì ÓÐÓÖ Ø ÖÑ Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÐÓÖ Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ º Ì Ö Ò Ø ÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ú Ó ØÝ Ø Ø Û Ú ÒØÖÓ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º¾º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö α Ò α Ö Ó Ò Ò Ø Ñ Û Ý Ò Ë Ø ÓÒ º¾º ÁÒ g 3 Ø Ú Ö Ò Ó ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ Ö ÓÑ Ò º µ Ò º µº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ζ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ú Ö Ò Ó Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒº Ï ÐÛ Ý ÓÓ ζ = Û Ð ØÓ ÒØÖ Ð Ñ º ËÓÙÖ Ø ÖÑ µ(ρ) Ò g Ó ÒÓØ Ú ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö α Ò Ø ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø Û Ö Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ð Þ Ý Ô Ý Ð Ú Ó ØÝº ÁØ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ξ [0,] Ò Ø Ñ Þ Ø Ø ÓÖ ÒÓØº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ñ Ñ Ò Ò Ò Ë Ø ÓÒ º º½ Ò Ò Ó Ò Ö ÒØÐÝ Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Á Ø Ó Ò ÐÓ ÐÐÝ ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ ÓÖ Þ ÖÓ Ø Ð ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u = 0 Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÖÚ Ð Ωº ÈÓ Ð Ó Ö Ð Ø ÐÓÛº ÁØ Ò Ó Ò ÐÓ ÐÐÝ Ù Ø Ø ÐÐ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØº ÁØ ÓÙÐ Ú ÖÝ ÑÓÓØ ÐÝ ØÛ Ò Ø ÐÐ Ó Ø Ö º

119 º º Æ ÎÁ Ê¹ËÌÇÃ Ë¹ÃÇÊÌ Ï ¹ ÁË Ê ÌÁ ÌÁÇÆ ½½ ÁØ Ò Ó Ò ÐÛ Ý ÕÙ Ð ØÓ º ÁÒ Ø Ø Ñ ÒÒÓØ Ø Ð Þ Ý Ø Ô Ý Ð Ú Ó ØÝ Ò ÓÒ ØÓ ÑÔÓ ÖØ Ð ÒÙÑ Ö Ðµ Ú Ó ØÝ ØÓ Ø Ö Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ º º α > 0º Ù ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓØ Ò Ó ÖÚ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð Ø Ø Ø Ù ÓÒ Ò Ø ÓÒ º º ÁØ Ò Û Ø ÖÓÑ ØÓ 0 Ò Ú Ú Ö Ú ÖÝ Ø Ñ Ø Ôº Ì Ó ÓÙÖ ÖØÝ ÙØ ÛÓÖ ÕÙ Ø Û ÐÐ Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ñ Ð Ö ÔÔÖÓ Û Ø Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Û Ö Ò ÓÖÛ Ö Ö Ò Ð Ó ÔÓ Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ú λρ xx Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó κº ÙØ Ò Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ö ÒÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ð ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÝÑÑ ØÖ Ò Ø Ù Ò ÙÒ Ø Ð Ú ÓÖº Ì Ö ÓÖ Û Ù Ð Ø Ö Ø Ñ Ø Ú Ö ØÛ º ÓÖ Ø ÓÖÖ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û ÓÓ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ g i b i =,,3 Ø ÓÙÒ ÖÝ ÒØ Ö º Ä Ø Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ú ÐÙ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÓÑ Ò Ò Ø + Ú ÐÙ Ø Ø ÓÙÒ ÖÝº Ï Ø u + = 0, ρ + = ρ, ρu + = ρ + u +, u + x = u x, Ò Û Ø Ø Û Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ g b (ρ±,ρu ±,n) = n ρ }, g b (ρ±,ρ ± x,n) = 0, g 3 b (ρ±,ρu ±,u ± x,κ±,n) = ( { ρu ρ ξ {ρu}n {ρu }n ε {u x } ξ n α [ρu] ). º¾½µ Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ξ Ø Ñ Ñ Ò Ò ÓÖ Ò ÙÑÔ Ò κ Ó ÒÓØ ÔÔ Ö Ø Ø ÓÙÒ ÖÝº Ì ÓÑÔÐ Ø Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº º º¾ ¾ ÓØ ÖÑ Ð Ï ÓÒ Ö Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Û ÒÐÙ Ø Ø Ó Ö Ú ØÝº ÁÒ Ø Ó Ò Ø Ø Ò Ö ÓÙÖ Ø ÖÑ ρg ØÓ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Û ÓÑ Ò Ø Ø ÖÑ Û Ø Ø Ú Ö Ð κ Û Ð ØÓ Û ÐÐ Ð Ò Ñ Û Ò Ö Ú ØÝ ÔÖ ÒØº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÒÓØ Ø Ô Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø Ý x = (x,y) Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø Ù Ý u = (u,v)º ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + ρ κ = τ, Ò Ω (0,T)

120 ½¾¼ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Û Ø κ = µ(ρ) λ ρ (g x x + g y y) Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u = 0 Ò ρ ρ n = cos(ϕ). ÓÒ Ω (0,T). ÁÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó κ Ø Ø Ó Ö Ú ØÝ ÒÐÙ º Ì ÓÒ Ø ÒØ g x Ò g y ÒÓØ Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ò x Ò y Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ú ÐÝº ÁÒ ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ú ÓÙ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ö ÛÖ ØØ Ò ( ) ε(ux + v y ) x + µ(u y v x ) y τ =. º¾¾µ µ(u y v x ) x + ε(u x + v y ) y À Ö Û Ø ε = µ + ν Û Ö µ Ò ν ÒÓØ Ø Ó ÒØ Ó Ú Ó ØÝº Ï Ø Ø ÔÔÖÓ Û Ú ØÓ Ð ÓÒÐÝ Û Ø Ø ØÛÓ ÕÙ ÒØ Ø u x + v y Ò u y v x Ò Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÆËÃ Ý Ø Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ø ÓÙÖ ÕÙ ÒØ Ø u x u y v x Ò v y º Ì Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ò ÑÓÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Û Ø Ø ÔÔÖÓ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÒÚÓÐÚ Ø Ò ÒØ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ú ÐÓ Ø Ú ÖÝ Ý Ò Ø Ø ÖÑ ( ) ( ) u v n Ò n v u ÔÔ Ö Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ º Ì ØÛÓ Ø ÖÑ Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Ò Ø Ò ÒØ Ð Ú ÐÓ ØÝ Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ò Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ö ÛÖ Ø Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ð Ö Ö ÓÖÑ ÐÐÝ Ö Ø ÓÖ Ö Ý Ø Ñº ρ x ρ y (u x + v y ) L [ρ,ρu] = 0, (u y v x ) κ L [ρ,ρ x,ρ y ] = 0, º¾ µ t ρ ρu ρv + L 3 [ρ,ρu,(u x + v y ),(u y v x ),κ] = 0. Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L, L, L 3 Ö Ò Ý ρ 0 L [ρ,ρu] = 0 x ρu ρ + ρ y ρv ρ ρv ρu ρ ρ, L [ρ,ρ x,ρ y ] = µ(ρ) λ x ρ x λ y ρ y (g x x + g y y), L 3 [ρ,ρu,(u x + v y ),(u y v x ),κ] = ρu ρv x ρu ε(u x + v y ) + y ρuv µ(u y v x ) ρuv + µ(u y v x ) ρv ε(u x + v y ) + 0 ρ x κ ρ y κ. º¾ µ

121 º º Æ ÎÁ Ê¹ËÌÇÃ Ë¹ÃÇÊÌ Ï ¹ ÁË Ê ÌÁ ÌÁÇÆ ½¾½ Ò Ò Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÐÙ Ø ÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ô ÖØ Ð Ø ÖÑ ÓÙÖ ØÝÔ Ô ÖØ Ò Ø Ö Ø ÖÑ ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ô ÖØ Ó Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ º ÓÖ Û ÓÒØ ÒÙ Û Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Û Ò Ø + Ò Ó ÐÐ ÒØ Ö º Ï ÓÓ Ú ØÓÖ β R Ø Ø ÒÓØ Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ ÒÝ ÐÐ ÒØ Ö Ó Ø Ñ º ËÙ Ó ÐÛ Ý ÔÓ Ð Ù Ø Ö Ö ÓÒÐÝ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö º Ï Ø Ø ÒÓÖÑ Ð Ó ÐÐ ÒØ Ö n = (n x,n y ) Ò Ù Ð Ø ÔÖÓ ÙØ β nº Á Ø ÔÖÓ ÙØ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ð ÔÓ ÒØ ØÓ Ò Ø + Ó Ø ÒØ Ö Ò Ø ÓÔÔÓ Ø Ø º Í Ò Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ ÓÖ Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ý g (ρ ±,ρu ±,n) = {ρ}n x {ρ}n y {u} ξ n x + {v} ξ n y, { v} ξ n x + {u} ξ n y g (ρ ±,ρ ± x,ρ± y,ρ± z,n) = λ({ρ x}n x + {ρ y }n y ), g 3 (ρ ±,ρu ±,...,κ ±,n) = {ρu}n x + {ρv}n y α [κ] {ρu }n x + {ρuv}n y α [ρu] {ρvu}n x + {ρv }n y α [ρv] 0 + ζ{ρ}[κ]n x ε {u x + v y } ξ n x µ {u y v x } ξ n y ζ{ρ}[κ]n y +µ {u y v x } ξ n x ε {u x + v y } ξ n y º¾ µ Ì ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ý Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ø Ð ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ ÐÑÓ Ø Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ü ÔØ ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ó g b Û Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ρ ρ n = cos(ϕ) Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØº ϕ ÒÓØ Ø ÓÒØ Ø Ò Ð Ó Ø Ù ÒØ Ö Ø ÓÐ Û ÐÐº g b (ρ x,ρ y,n) = λ cos(ϕ) (ρ x ) + (ρ y ). º¾ µ Ï ÓÑ Ø Ø Ö Ñ Ò Ò ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ º ÁØ Ò ÐÑÓ Ø ØÖ Ø Ò Ö Ð Þ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø ½ ÙÜ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º º½º

122 ½¾¾ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À º º ÓØ ÖÑ Ð ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÒÓØ Ø Ô Ø Ð Ú Ö Ð Ý x = (x,y,z) Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ý u = (u,v,w)º Ï ÓÑ Ø Ø Ø Ó Ö Ú ØÝ Û Ú ÒÐÙ Ò Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º ÁØ Ò ÒÐÙ Ò Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Û Ý Ò Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º Ì Ù Û ÓÒ Ö Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Ò ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + ρ κ = τ, Ò Ω (0,T) Û Ø κ = µ(ρ) λ ρ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u = 0 Ò ρ ρ n = cos(ϕ). ÓÒ Ω (0,T). ÁÒ Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ ÐÑÓ Ø Ø Ñ ÔÔÖÓ Û Ø Ø Ú ÓÙ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÓÒ ÓÖ Ø ¾ ÑÓ Ð º¾¾µº τ = ε(u x + v y + w z ) x + µ(u y v x ) y + µ(u z w x ) z µ(u y v x ) x + ε(u x + v y + w z ) y + µ(v z w y ) z µ(u z w x ) x + µ(v z w y ) y + ε(u x + v y + w z ) z. º¾ µ Ò Û Ø ε = µ + ν Û Ö µ Ò ν ÒÓØ Ø Ó ÒØ Ó Ú Ó ØÝº ÆÓÛ Û Ò Ù Ø ÓÙÖ ÕÙ ÒØ Ø u y v x u z w x v z w y Ò u x + v y + w z Ò Ø Ó Ø Ò Ò ÕÙ ÒØ Ø Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ö ÒØº Ì ÓÖÑ Ö Ø Ö ÕÙ ÒØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ø Ò ÒØ Ð Ú ÐÓ ØÝ Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Ò Ø Ð ØØ Ö ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ú ÐÓ ØÝº Ï Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÓÖÑ ÐÐÝ Ö Ø ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ò ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º ρ x ρ y ρ z (u x + v y + w z ) (u y v x ) (u z w x ) (v z w y ) t L [ρ,ρu] = 0, κ L [ρ,ρ x,ρ y,ρ z ] = 0, ρ ρu ρv + L 3 [ρ,ρu,...,κ] = 0. ρw º¾ µ

123 º º Æ ÎÁ Ê¹ËÌÇÃ Ë¹ÃÇÊÌ Ï ¹ ÁË Ê ÌÁ ÌÁÇÆ ½¾ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L, L, L 3 Ö Ø Ò Ò Ý L [ρ,ρu] = x ρ 0 0 u v w 0 + y 0 ρ 0 v u 0 w + z 0 0 ρ w 0 u v, L [ρ,ρ x,ρ y,ρ z ] = µ(ρ) λ x ρ x λ y ρ y λ z ρ z, 0 ρ L x 3 [ρ,ρu,...,κ] = κ ρu ρ y κ + ρu ε(u x + v y + w z ) x ρuv + µ(u y v x ) ρ z κ ρuw + µ(u z w x ) ρv ρw + ρvu µ(u y v x ) y ρv ε(u x + v y + w z ) + ρwu µ(u z w x ) z ρwv µ(v z w y ). ρvw + µ(v z w y ) ρw ε(u x + v y + w z ) º¾ µ Ï Ò + Ò Ó ÐÐ ÒØ Ö Ò Ø Ñ Û Ý Ù Ò Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ý ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ú ØÓÖ β R 3 Ø Ø ÒÓØ Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ ÒÝ ÒØ Ö Ó Ø Ñ º Ï Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Û Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ý g (ρ ±,ρu ±,n) = {ρ}n x {ρ}n y {ρ}n z {u} ξ n x + {v} ξ n y + {w} ξ n z { v} ξ n x + {u} ξ n y { w} ξ n x + {u} ξ n z { w} ξ n y + {v} ξ n z, g (ρ ±,ρ ± x,ρ± y,ρ± z,n) = λ({ρ x}n x + {ρ y }n y + {ρ z }n z ), g 3 (ρ ±,ρu ±,...,κ ±,n) = {ρu}n x + {ρv}n y + {ρw}n z α [κ] {ρu }n x + {ρuv}n y + {ρuw}n z α [ρu] {ρvu}n x + {ρv }n y + {ρvw}n z α [ρv] {ρwu}n x + {ρwv}n y + {ρw }n z α [ρw] 0 ζ{ρ}[κ]n x ε {u x + v y + w z } + ξ n x µ {u y v x } ξ n y µ {u z w x } ξ n z ζ{ρ}[κ]n y +µ {u y v x } ξ n x ε {u x + v y + w z } ξ n y µ {v z w y } ξ n z º ¼µ. ζ{ρ}[κ]n z +µ {u z w x } ξ n x + µ {v z w y } ξ n y ε {u x + v y + w z } ξ n z

124 ½¾ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ò ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÜ º Ì Ö ÓÖ Û ÓÑ Ø Øº º º ¾ ÙÐÐ ÑÓ Ð Ï Ù Ø Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ë Ø ÓÒ ¾º µ Ò Ø Ø ÓÒº ÅÓ Ø Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖ ØÑ ÒØ ÕÙ Ø Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓØ ÖÑ Ð Ò Ø Ö ÓÖ Û Û ÐÐ ÓÑ Ø ÓÑ Ø Ð º ÁÒ Ø Ó Ø Ò Ö Ý ÕÙ Ø ÓÒ Û Ù Ø ÒØÖÓÔÝ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾ µ Ø ÓÒ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒº Ì ØÓØ Ð ÒØÖÓÔÝ Ó ÃÓÖØ Û ØÝÔ Ñ Ø Ö Ð Ø Ú ÒØ Ø Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ò ØÝ Ö ÒØ Û Ö Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ó º Ì ÒØÖÓÔÝ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓØ Ò Ú Ö Ò ÓÖÑ ÙØ Ø ÓÙÐ ÒÓØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÙÔÔÓ ØÓ ÑÓÓØ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ó Ö Ø Þ Ò ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÖÑº Ë Ò Û Ó ÒÓØ Ö Ø Þ Ø Ò Ö Ý Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ Ö ØÐÝ ÓÒ ÒÒÓØ ÜÔ Ø Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ô Ý Ð Ò Ö Ý Ü ØÐÝ ÓÒ ÖÚ ÙØ Ø ÐÓ ÓÖ Ò Ó Ò Ö Ý ÓÙÐ Ò Ð Ð Ñ ÐÐ ÐÓÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÑÓÓØ º Ï Ö Ø Þ Ø Ý Ø Ñ ρ t + (ρu) = 0, (ρu) t + (ρuu T ) + ρ κ + ρs θ = τ, (ρs) t + (ρsu) = (η θ θ) + θ τ : u + η θ θ. º ½µ ÈÓ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ù Ò Ë Ø ÓÒ ¾º º Ë Ò Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð µ Ô Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú ÐÙ κ Ò Ý κ = κ(θ,ρ, ρ) = µ(θ,ρ) λ ρ Ó Ð Ó Ô Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º À Ö η > 0 ÒÓØ Ø Ø ÓÒ ÙØ ÓÒ Ó ÒØ Ó Ø Ù Ø Ø ÙÑ ØÓ ÓÒ Ø ÒØº ÆÓØ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ð ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÒØ ØÝ p(θ,ρ) = ρ µ(θ,ρ) + ρs θ. Ñ Ð Ö ÔÔÖÓ ÓÖ Ø ¾ ÓØ ÖÑ Ð ÑÓ Ð º¾¾µ Ð Ó ÔÓ Ð ÓÖ Ø ÙÐÐ ÑÓ Ð ÙØ Ø Ù Ó ÓÒÐÝ Ø ÕÙ ÒØ Ø u x + v y Ò u y v x ÒÓØ Ù ÒØ Ù Ó Ø ÔÖ Ò Ó Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ö Ý Ò ÒØÖÓÔÝ ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ Û Ò Ø ÓÒ Ð Ú ÐÙ º Ì Ñ Ý ÐÔ Û Ø Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÙØ Ó ÒÓØ Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Øº Ì Ö ÓÖ Û ÓÑ Ø Ø Ò Ù Ø ÕÙ ÒØ Ø u x u y v x Ò v y º Ë Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ö ÛÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ º ½µ Ý Ù Ò Ø Ö Ö Ø ÓÖ Ö

125 º º Æ ÎÁ Ê¹ËÌÇÃ Ë¹ÃÇÊÌ Ï ¹ ÁË Ê ÌÁ ÌÁÇÆ ½¾ Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ º t ρ x ρ y u x u y v x v y θ x θ y θ κ ρ ρu ρv ρs L [ρ,ρu] = 0, L [ρ,ρs,ρ x,ρ y ] = 0, + L 3 [ρ,ρu,ρs,...,κ] = 0. º ¾µ ÁÒ Ø ÓÚ Ò Ø ÓÒ Û ØÖ ÙØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ÓÚ Ö Ø Ø Ö Ø º Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÒØ Ö ÓÑÔÙØ Ò Ø ÓÒ Ø Ù Ú Ð¹ Ù Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø ÕÙ Ö ØÙÖ ÔÓ ÒØ ÒÓØ Ò ÖÝ Ò Ø Ö Ø Ø Ò Ò ÓÖ Ö ØÓ ØÖ ÙØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ù Ø Ø Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ø Ó ÒÓØ ÓÑ ÓØØÐ Ò º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L, L, L 3 Ö Ò Ý ρ 0 0 ρ ρu L [ρ,ρu] = ρ x y ρu, ρ ρv ρ 0 ρv 0 ρ L [ρ,ρs,ρ x,ρ y ] = L 3 [ρ,...,κ] = x x + θ(ρ, ρs) 0 0 λρ x + y ρu ρu ε(u x + v y ) ρuv + µ(u y v x ) ρsu η θ θ x 0 ρ x κ + ρs x θ ρ y κ + ρs y θ 0 0 θ(ρ, ρs) 0 λρ y + + y θ(ρ, ρs) µ( θ(ρ,ρs),ρ) ρv ρuv µ(u y v x ) ρv ε(u x + v y ) ρsv η θ θ y θ τ : u + η θ θ., º µ À Ö Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÓÖ Ø ÐÙ ÓÐÓÖ Ø ÖÑ ÒÓØ Ø ÓÒ¹ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ Ø Ö Ø ÖÑ ÒÓØ Ø ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ Ò ÓÙÖ Ø ÖÑ

126 ½¾ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê Ë À Å Ë ÌÀ ÈÈÊÇ À Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ð ÓÐÓÖº Ì ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ø ÖÑ θ τ : u + η θ θ ØÖ Ø ÓÙÖ Ø ÖÑº Ì ÙÒØ ÓÒ θ ÓÑÔÙØ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÖÓÑ Ø Ò ØÝ Ò ÒØÖÓÔÝ ÓÖ Ò ØÓ Ö Ð Ø ÓÒ ¾º½¾µº Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ò ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ Ú ÖÝ Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓØ ÖÑ Ð Ò ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Óº Ï ÓÑ Ø Ø Ø Ð º Ø Ø ÓÒ Ð ÒØÖÓÔÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ö Ò ØÓ Ø ÓØ ÖÑ Ð Ø ÔÔ Ö Ò Ó Ø ÓÒ ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø ÖÑ ρs θº ÒÓØ ÓÖ Ø ÒØÖÓÔÝ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ø ÖÑ ØÖ Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ú Ø Ö ÓÖ ÒÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ó Ø Û Ø Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L 3 º º½¼ ÁÒ Ø Ð Ø Ì Ø Ò Ö Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ö Ø Ò Ø Ð Ø ÓÖ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó L ¹ÔÖÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ô º Ì Ù Ó Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÙÐØ Ò Ú ÖÝ Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ó ÔÖÓ Ø ÓÒº Ë Ò Û Ó ÒÓØ Ù ÐÓÔ Ð Ñ Ø Ö ØÓ Ø Ð Þ Ø Ñ Ø ÜØÖ Ñ ÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ðº Ö Ø Ò Ø Ð Ø ÓÖ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ø Ø ÓÒ Ø Ó ÓØ Ô ÓÙÐ Ø Ø ÓÖÖ Ø Þ Ó Ø ÒØ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ú Ò Ý ÓÖÑÙÐ º µ ÒØÓ ÓÙÒØ ØÓ ÚÓ Ò ÙÒ Ø Ð Ú ÓÖ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ô ÐÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ñ º ÁÒ Ø ÒØ Ö Ð Ö ÓÒ Ø Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ú ÖÝ ÑÓÓØ ÐÝ ØÛ Ò Ø Ô º À Ö Ø tanh¹ ÙÒØ ÓÒ Ú ÖÝ Ù ÙÐ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÑÓÓØ Ò Ø Ð Ø º

127 ÔØ Ö À Ö ÇÖ Ö Ì Ñ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ì ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ¹ Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÔØ Ö Ö ÙÐØ Ò Ò Ò Ö Ð Ú ÖÝ Ð Ö µ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø ÓÖ Ö ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø ÔØ Ö Û Ù Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ø ÓÖ Ö Ç Ý Ñ Ò Ó ÜÔÐ Ø ÑÔÐ Ø Ò Ñ ¹ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º ÁÒ Ø Ð ØØ Ö ØÛÓ ÓÐÚ Ò Ð Ö ÔÓ ÐÝ ÒÓÒÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÖÝº ËÓÐÚ Ò Ù Ý Ø Ñ Ø ÔÙÖÔÓ Ó Ë Ø ÓÒ º º ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ú Ø Ú ÒØ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ñ Ø Ô Ò ÖÝ ØÓ ÓÑÔÙØ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò ÜØ Ø Ñ Ð Ú Ðº Ì Ñ Ø Ð Ó Ñ Ø Ó Ú ÖÝ Û ÐÐ Ù Ø ÓÖ Ø Ù ØÓ Ø Ö Û Ø ÐÓ Ð Ñ Ö Ò Ñ ÒØº ÓÒØÖ ÖÝ ØÓ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ø Ð Ó ÑÙÐØ Ø Ô Ñ Ø Ó Ù ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ñ Ø Ô º ÇÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ø Ó Ò Ö ¹ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ñ Ø Ô Þ ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó Ò ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ñ Ø Ó Ö ÓÑÔÐ Ø ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ö Û Ø ÐÓ Ð Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Û Ö ÙÐØ Ò Ò Ó Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø Ç º Ù Ó Ø Ú ÒØ Ø Ö Ö ÓÒÐÝ Û ÑÙÐØ Ø Ô Ñ Ø Ó ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÑÔÐ Ø ¾ Ñ Ø Ó µ Ø Ø Ò ÔÔÐ Ù ÙÐÐÝ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ö Ð Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û º ÁÒ Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ô Ð ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ú Ò Ú ÐÓÔ Ø Ø ÔÖ ÖÚ Ö¹ Ø Ò ÔÖÓÔ ÖØ º º ÌÎ µ Ó Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û º ÁÒ Ø ÐÐÝ Ë Ù Ò Ç Ö ½¼ ½¼ Ö Ú Ø Ò Ó ÌÎ Ñ Ø Ó º Ä Ø Ö Ø Ø ÖÑ ËØÖÓÒ ËØ Ð ØÝ ÈÖ ÖÚ Ò ËËÈµ Û Ù Ò ÚÓÖ Ó Ø Ø ÖÑ ÌÎ º ÜÔÐ Ø ÓÖ ÑÔÐ Ø ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ ÓÙÐ Ð Ó Ù ÙØ Ø Ù Ó Ø Ñ Ø Ó ÒÓØ Ú ÖÝ ÓÑÑÓÒ Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó º Ì Ú ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ö ØÖ ÖÝ ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ò ÓÒ ØÖÙØ Ý ÑÔÐÝ ÑÓ Ý Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ñ Ø Ó º ÁÒ Ø ÔØ Ö Û ÓÒ Ö Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ö ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ u (t) = f(t,u(t)) ÓÖ t (0,T), º½µ u(0) = u 0, ½¾ º¾µ

128 ½¾ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê ÌÁÅ ÁÆÌ Ê ÌÁÇÆ Û Ø T (0, ] f C([0,T] U) Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ú Ö Ð u U R n u 0 Uº Ý ÒØ Ö Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ º½µ ÖÓÑ Ø Ñ t m ØÓ t m+ Û Ú u(t m+ ) u(t m ) = t m+ t m f(t,u(t)) dt. º µ Ì Ó Ð Ó Ø ÔØ Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ u m+ Ó u(t m+ ) ÔÖÓÚ Ø Ø Û ÐÖ Ý Ú Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ u m Ó u(t m )º º½ Ò Ö Ð ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó ÁÒ Ø Ö Ø Ó Ø ÔØ Ö Û Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ u m+ Ý Ö ÒØ Ò Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ò Ø ÓÒ º¾º¾º Ì Ò Ö Ð s¹ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ ÖÓÑ Ø Ñ Ø Ô t m ØÓ t m+ Ú Ò Ý u 0 º u s = u m º u m + ta I n f(t m + c 0 t,u 0 ) º f(t m + c s t,u s ), º µ u m+ = u m + tb T I n f(t m + c 0 t,u 0 ) º f(t m + c s t,u s ). º µ À Ö Ø ÒØ ÖÑ Ø Ø Ø u i U ÓÖ i = 0,...,s Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ t i = t m +c i tº ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ò Ý Ø Å ØÖ Ü A R s s Ò Ø ØÛÓ Ú ØÓÖ b,c R s Ö Ù Ù ÐÐÝ Ö ÔÖ ÒØ Ý Ó ÐÐ ÙØ Ö Ø Ð Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù ½¼ µ c A b T. º µ Ò Ø ÓÒ º½º½ ÇÖ Ö Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó µ Ä Ø Φ ÒÓØ Ø ÙÒØ ÓÒ Ø Ø ÔÖÓ Ù Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ u m+ = Φ(t m,u m, t) Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ó ÓÒ Ø ÒÝµ ÓÖ Ö p t (u(tm + t) u(t m )) Φ(t m,u(t m ), t) = O( tp ) ÓÖ Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ ÓÐÙØ ÓÒ u Ó Ø Ç º½µº p¹ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÒÝ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÑÔÐ ÓÒÚ Ö Ò Ó ÓÖ Ö pº Ì Ö ÓÖ Ø Ð Ö Ø Ø Ø ÓÖ Ö Ó s¹ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ ÒÒÓØ Ü s Ù Ò Ø Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ f Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ú Ö Ð u ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ö Ù ØÓ ÕÙ Ö ØÙÖ ÓÖÑÙÐ ÓÖ fº

129 º¾º ÈÄÁ ÁÌ ÊÍÆ ¹ÃÍÌÌ Å ÌÀÇ Ë ½¾ º¾ ÜÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ø Ð Ó ÜÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º º Ñ Ø Ó Ø Ø Ó ÒÓØ Ò ØÓ ÓÐÚ Ð Ò Ö ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º Ì Ð Ó Ñ Ø Ó Ô ÐÐÝ Û ÐÐ Ù Ø ÓÖ Ø Ù Û Ø Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û º ÁÒ Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ú Ò Ý Ë Ù Ò Ç Ö Ò ½¼ Ò ½¼ ÑÓÖ ÓÒÚ Ò ÒØ Ø Ò Ø Ð Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù ÐÓÔ Ð Ñ Ø Ö Ò ÒØÐÝ ÔÔÐ ØÓ Ø ÒØ ÖÑ Ø Ø Ø u 0,...,u s º ÐÓÛ Û Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ò Ö Ð ÜÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ë Ù Ò Ç Ö Ò Ú ÓÑ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ø Ò Ó Ñ Ø Ó º ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ú Ò Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò º µ Ö Ù ØÓ Ò ÜÔÐ Ø Ñ Ø Ó Ø Ñ ØÖ Ü A R s s ØÖ ØÐÝ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Üº Ý Ã R(s ) (s ) Û ÒÓØ Ø Ù Ñ ØÖ Ü Ó A Û Ö Ø Ö Ø ÖÓÛ Ò Ø Ð Ø ÓÐÙÑÒ ÓÑ ØØ º Ì Ñ ØÖ Ü Ã Ò ÓÑÔÓ ÒØÓ ØÖ ØÐÝ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü Ã L Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü ÃD Ù Ø Ø Û Ú Ã = ÃL+ÃDº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÙÑ Ø Ø Ø Ñ ØÖ Ü Ã ÒÚ ÖØ Ð º ÁÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ö Ù ØÓ u º u s u 0 = u m, = u m º u m + tã I n f(t m + c 0 t,u 0 ) º f(t m + c s t,u s ). º µ Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º µ Û Ø (Ã I n) Ò Ù Ò ÔÖÓÔ ÖØ µ Ò µ Ó Ø ÃÖÓÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ð ÑÑ º¾º Û Ú Ø ÒØ ØÝ f(t m + c 0 t,u 0 ) u u m t º = Ã I n º. f(t m + c s t,u s ) u s u m Í Ò Ø Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò º µ Û Ø u º u s u 0 = u m, º µ u m+ = u m º u m + ÃLÃ I n = u m + t b T Ã I n u u m º u s u m u u m º u s u m + tãd I n + b s f s, f 0 º f s º µ º½¼µ Û Ö Ø Ú ØÓÖ b R s ÓÒ Ø Ó Ø Ö Ø s ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ú ØÓÖ b Ò f i = f(t m + c i t,u i )º Ì Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ú Ò Ý Ë Ù Ò Ç Ö ½¼ º Ì Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÑÓÖ Ù Ø Ð ÓÖ Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ

130 ½ ¼ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê ÌÁÅ ÁÆÌ Ê ÌÁÇÆ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ù ÐÓÔ Ð Ñ Ø Ö Ò ÔÔÐ Ö ØÐÝ ØÓ Ø ÒØ ÖÑ Ø Ø Ø u i º ÐÓÛ Û Ú ÓÑ Ü ÑÔÐ Ó ÜÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º ÅÓ Ø Ó Ø Ñ Ò ÓÙÒ Ò Ø Ò Ö Ø ÜØ ÓÓ Ù ½¼ º Ì ÌÎ Ñ Ø Ó Ú ÐÓÔ Ý Ë Ù Ò Ç Ö Ò ÓÙÒ Ò ½¼ º Ì Ö Ø ÓÖ Ö ÜÔÐ Ø ÙÐ Ö Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ö ÑÓ ÙÐ Ö Ñ Û Ø ÓÒ Ò ØÛÓ Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ì ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ö Ñ ÌÎ ¾ Ò ÌÎ Ú Ò Ò ½¼ º Ì ÌÎ ¾ Ñ Ð Ó ÒÓÛÒ Ø À ÙÒ Ñ º Ì ÌÎ Ñ Ø Ó Ò ½¼ Ö Ú Ò Ù Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º µ º µ Ò º½¼µº ÓÖ ÓÒ Ø ÒÝ Û Ø ÐÐ ÓØ Ö Ñ Ø Ó Ò Ø ÔØ Ö Û ÛÖ Ø Ø Ñ Ø Ó Ù Ò Ø Ð Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒº Ì Ð Ð ¹ Ø Ò ¹ Ø ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ó ÓÖ Ö Ø Ö Ò ÓÙÖº ÜØ ÓÖ Ö Ñ Û Ø Ú Ò Ø º

131 º º ÁÅÈÄÁ ÁÌ ÊÍÆ ¹ÃÍÌÌ Å ÌÀÇ Ë ½ ½ º ÁÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó Ï Ò Ö ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú ÓÖ Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ Ö ÒÐÙ Ò ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ù Ö ÒØ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó Ò Ö Ò Ö Ñ Ò ÒØº ÁÒ Ø Ò ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ñ Ý ÐÔ ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø ÒÝ Ó Ø Ñ Ø Ó º Ï Ù Ø Ø Ð ÓÒ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ð Ó ÑÔÐ Ø Ñ Ø Ó Ò Ú ÓÑ Ü ÑÔÐ º ÁØ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ú ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ù Ø Ø ÓÐÚ Ò s n Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ö Ý Ø Ñ Ò ÚÓ Ò ÚÓÖ Ó s Ø Ñ ÓÐÚ Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ ÓØ ÖÛ Ø Ñ Ø Ó Ö ÒÓØ Ù Ð ÓÖ ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ì ÔÓ Ð Û Ø Ñ ÒÝ ÑÔÐ Ø Ñ Ø Ó Ø Ð Ø Û Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Â Ó Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø º ÓÖ Ø Ð Ó ÓÒ ÐÐÝ ÑÔÐ Ø Ñ Ø Ó Ø ÔÓ Ð Û Ø ÓÙØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÐÐÝ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º ÁÒ Ø Ð Ó Ñ Ø Ó Ø Ñ ØÖ Ü A R s s Ò º µ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Üº Ï ÙÑ Ø Ø Ø Ñ ØÖ Ü A ÒÚ ÖØ Ð ÓØ ÖÛ ÓÑ Ó Ø Ø Ö ÜÔÐ Øº Ï ÓÑÔÓ A ÒØÓ ÓÒ Ð A D Ò ØÖ ØÐÝ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü A L Û Ø A = A L +A D º Ë Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÜÔÐ Ø Ø Ò Ö Ð ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º µ º µ Ò Ö ÛÖ ØØ Ò u 0 º u s u m+ = u m º u m + A L A I n = u m + b T A I n u 0 u m º u s u m u 0 u m º u s u m. + ta D I n Ï Ø f i = f(t m + c i t,u i )º Ë Ò Ø Ñ ØÖ Ü A L A ØÖ ØÐÝ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü s n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ ÓÖ u i Ú ØÓ ÓÐÚ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ Ò Ø Ó ÓÒ (sn)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñº ÓÖ Ø ÒØ ÖÑ Ø Ø Ø u i Ø Ñ Ò f 0 º f s i u i = tα ii f(t m + c i t,u i ) + γ i u m + α ij u j ÓÖ i = 0,...,s, s u m+ = δ + β i u i, i=0 Û Ö Ø Ó ÒØ Ö Ú Ò Ý j=0 α ij = (A L A ) ij ÓÖ j < i, α ii = A ii, γ i β i = i = α ij, j=0 s b j (A ) ji, j=0 s δ = β i. i=0,

132 ½ ¾ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê ÌÁÅ ÁÆÌ Ê ÌÁÇÆ À Ö C ij ÒÓØ Ø ÒØÖÝ (i,j) Ó Ñ ØÖ Ü Cº Ü ÔÓ ÒØ Ö ÙÑ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø ÓÚ ÒÓÒÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ú Ò ØÝ Ó u m ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ô t Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐº Ì s n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒÓÒÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ò ÓÐÚ Ý Ø Æ ÛØÓÒ ØÝÔ Ñ Ø Ó Ö Ò Ë Ø ÓÒ º º ÐÓÛ Û Ú ÓÑ Ü ÑÔÐ Ó ÓÒ ÐÐÝ ÑÔÐ Ø Ñ Ø Ó º Ì Ö Ø ÓÖ Ö ÑÔÐ Ø ÙÐ Ö Ñ Ø Ó Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ò ¹Æ ÓÐ ÓÒ Ñ Ø Ó Ö Ú Ò Ý Û Ö ÓØ ½¹ Ø Ñ Ø Ó º ¾¹ Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ú Ò Ý α α α α α α 4α α 4α Û Ö α = º ÓØ Ö Ñ Ø Ó Ø ÓÚ Ñ Ø Ó Ò ÓÙÒ Ò ½¼ º Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ó Ø ØÝÔ Ò Ð Ó ÓÙÒ Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº º Ë Ñ ¹ÁÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Å Ø Ó Ì Ð Ó Ñ ¹ ÑÔÐ Ø ÓÖ ÑÔÐ Ø¹ ÜÔÐ Øµ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÓÑ Ò Ø ¹ ÒÝ Ó ÜÔÐ Ø Ñ Ø Ó Û Ø Ø Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø ¹ Ó º Ì Ý Ö Ù ÙÐ ÓÖ Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÓÒÚ Ø ÓÒ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ º Ì Ð Ó Ñ Ø Ó Û ÓÒ¹ Ö Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ø Þ ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ò ÜÔÐ Ø ÌÎ ÓÖ ËËÈµ Ñ Ø Ó Ò ÒÓØ Ö Ô ÖØ Ý Ä¹ Ø Ð ÓÒ ÐÐÝ ÑÔÐ Ø Ñ º ÐÓÛ Û Ù Ø Ø Ð ÓÒ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ò Û Ú ÓÙÔÐ Ó Ü ÑÔÐ ÓÐÐ Ø ÖÓÑ ½ ½ ½ ¾ Ò ½ º Ï ÔÐ Ø Ø ÙÒØ ÓÒ f Ò º½µ ÒØÓ Ô ÖØ Ø Ø Ö Ø Þ ÜÔÐ ØÐÝ Ò ÓÒ Ô ÖØ Ø Ø Ö Ø Þ Ý Ò ÑÔÐ Ø Ñ º u (t) = f ex (t,u(t)) + f im (t,u(t)), ÓÖ t (0,T), º½½µ u(0) = u 0. º½¾µ Ì ÔÐ ØØ Ò Ù ÙÐ Û Ò Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ø Â Ó Ò Ó f ex ÓÑ ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ø Â Ó Ò Ó f im º º Û Ö ρ ÒÓØ Ø Ô ØÖ Ð Ö Ù º ρ(d u f ex (t,u)) << ρ ( D u f im (t,u) ),

133 º º Ë ÅÁ¹ÁÅÈÄÁ ÁÌ ÊÍÆ ¹ÃÍÌÌ Å ÌÀÇ Ë ½ Ì Ð Ó Ñ ¹ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ø Ù ÌÎ»ËØÖÓÒ ¹ËØ Ð ØÝ¹ÈÖ ÖÚ Ò ÜÔÐ Ø Ñ ØÓ Ø Ö Û Ø Ä¹ Ø Ð ÓÒ ÐÐÝ ÑÔÐ Ø Ñ ÓÒ Ö Ò ½ ½ ½ ¾ Ò ½ Ò ÛÖ ØØ Ò k i u m+ i = f ex t m + c ex i t,u m + t +f im t m + c im i s = u m + t b i k i. i=0 t,u m + t a ex ij k j j=0 i a ex ij k j j=0 ÓÖ i = 0,...,s, º½ µ º½ µ Ì Ð Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ô Ö Ó ÙØ Ö Ø Ð Û Ø ÓÑÑÓÒ Ú ØÓÖ bº c ex A ex bt b T cim Aim Ì Ñ ØÖ Ü A ex R s s ØÖ ØÐÝ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü Ò A im R s s Ò ÒÚ ÖØ Ð ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Üº Ì Ó ÒØ a ex ij Ò a im ij ÒÓØ Ø ÒØÖ Ó Ø Ñ ØÖ A ex Ò A im Ö Ô Ø Ú ÐÝº ÓÖ Ø ÜÔÐ Ø Ò ÑÔÐ Ø ÒØ ÖÑ Ø Ø Ø u ex i Ò ÛÖ ØØ Ò Ò u im i ÓÖ i = 0,...,s Ø u ex i u im i i = γi ex u m + α ex ij u im j, j=0 = α im ii t ( f ex (t m + c ex i t,u ex i ) + f im (t m + c im i t,u im i ) ) i i u m + α im ij u im j, +γ im i=0 j=0 s u m+ = δu m + β i u im i.

134 ½ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê ÌÁÅ ÁÆÌ Ê ÌÁÇÆ Ì Ó ÒØ ÔÔ Ö Ò Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ý α im ij α ex ij γ im i γ ex i β i = = ( A im L (A im ) ) ij, = ( A ex L (A im ) ) ij, i = α im ij, j=0 i = α ex ij, j=0 s ( b j (A im ) ) ji, j=0 s δ = β i, i=0 αim ii = A im ii, Û Ö C ij ÒÓØ Ø ÒØÖÝ (i,j) Ó Ñ ØÖ Ü C Ò A im L Ø ØÖ ØÐÝ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ô ÖØ Û Ø ÓÙØ Ø ÓÒ Ðµ Ó Ø Ñ ØÖ Ü A im º ÐÓÛ Û Ú Ú Ö Ð Ü ÑÔÐ ÓÖ Ñ ¹ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ø Ò ÖÓÑ ½ ½ ½ ¾ Ò ½ º Ì ÓÒ ÓÖ Ö ËÁÊÃ¾ Ñ Ø Ä¹ Ø Ð µº Ì ÓÒ ÓÖ Ö ËÁÊÃ¾ Ñ Ø Ä¹ Ø Ð µº Ï Ø α = º α α 0 α 0 α α α α 0 α α 0 α α 0 α Ì ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÑÔÐ Ø Ñ ÐÐÓÛ ÓÖ ÐÓÛ ØÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒº

135 º º Ë ÅÁ¹ÁÅÈÄÁ ÁÌ ÊÍÆ ¹ÃÍÌÌ Å ÌÀÇ Ë ½ Ì Ø Ö ÓÖ Ö Ñ Ø Ä¹ Ø Ð µº Û Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ α Ò β Ö Ò Ý α β α = , β = Ì Ñ Ø Ó ÓÒ Ö Ò ½ ÐÐÓÛ Ø ÜÔÐ Ø Ò ÑÔÐ Ø Ñ ØÓ Ú ¹ Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ó Ø º Ì Ö ÓÖ Ø Ò Ñ Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÁÅ ¹ ËÈÈ ÑÔÐ Ø Ø ÜÔÐ Ø Ø ÓÖ Öµº À Ö ÁÅ Ø Ò ÓÖ ÑÔÐ Ø¹ ÜÔÐ Ø Ò ËËÈ ÓÖ ØÖÓÒ Ø Ð ØÝ ÔÖ ÖÚ Ò Û Ø Ñ ÌÎ º Ì ÓÒ ÓÖ Ö ÁÅ ¹ËËÈ ¾ ¾ ¾µ Ñ º Ï Ø α = º α α α α α Ì ÜÔÐ Ø Ñ Ø ÌÎ ¾ Ñ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º¾º Ì ÓÒ ÓÖ Ö ÁÅ ¹ËÈÈ ¾µ Ñ º Ì ÓÒ ÓÖ Ö ÁÅ ¹ËÈÈ ¾ ¾µ Ñ º Ì ÜÔÐ Ø Ñ Ø ÌÎ ¾ Ñ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º¾º

136 ½ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê ÌÁÅ ÁÆÌ Ê ÌÁÇÆ Ì Ø Ö ÓÖ Ö ÁÅ ¹ËÈÈ µ Ñ º α α 0 α α 0 α α β η α β η α Ì Ô Ö Ñ Ø Ö α β Ò η Ö ÓÑÔÙØ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ α = , β = , η = Ì ÜÔÐ Ø Ñ Ø ÌÎ Ñ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º¾º º ËÓÐÚ Ò ÆÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ØÓ ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ö ÙÐØ Ò Ð Ö Ò Ò Ö Ð ÒÓÒÐ Ò Öµ Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ØÓ ÓÐÚ Ý Æ ÛØÓÒ ØÝÔ Ñ Ø Ó º ÌÓ ÚÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Â Ó Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ø Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó Û Ö Ø Ö ÓÑÔÐ Ø ÓÖ Ø ÙÐÐÝ Ö Ø Þ Æ Ú Ö¹ ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ô ÐÐÝ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Û ÔÔÐÝ Â Ó Ò Ö Æ ÛØÓÒ¹ÃÖÝÐÓÚ Ñ Ø Ó ½ º Ï ÓÒ Ö Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ØÝ Ú Ò Ý F : U R n U R n Ò Û ÓÖ ÓÐÙØ ÓÒ u U Ó Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ F(u) = 0. ÈÖÓÚ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ F Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ Ø Â Ó Ò Ó F ÒÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ò ØÝ U Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ u Ò Ò Ò Ø Ð Ù u 0 U Ù ÒØÐÝ ÐÓ ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓÛÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó u n+ = u n DF(u n ) F(u n ), n 0. º½ µ ÓÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó Ø Ò ÖÝ ØÓ ÓÐÚ Ð Ò Ö Ý Ø Ñ ÓÖ Ú ØÓÖ p Ó Ø ÓÖÑ DF(u)p = F(u). º½ µ ÁÒ Ñ ÒÝ Ø ÜÔÐ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Â Ó Ò DF ÑÙ ØÓ ÜÔ Ò Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ÓÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ ÓØ º ËÓÑ Ø Ñ Ø ÑÔÐÝ ØÓ ÓÑÔÐ Ø ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Â Ó Ò ÜÔÐ ØÐÝ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ù ØÓ Ð Ö Ö Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ÖÐÝ Ò Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ö ÓÖ Ö Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø Ö ÓÖ Ö ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ ÐÐ Ó Ø ÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ Ù ÓÙÖº

137 º º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÌÇ ÌÀ Æ ÎÁ Ê¹ËÌÇÃ Ë¹ÃÇÊÌ Ï Ë ËÌ Å ½ Æ Ú ÖØ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó Ø ÐÐ ÔÓ Ð Ý Ñ Ò Ó Ñ ØÖ Ü Ö Ñ Ø Ó º ÁÒ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø ÃÖÝÐÓÚ Ô ÓÐÚ Ö Ð ËÌ ½½ ÅÊ Ë Øº Ð Ó ÓÖ Ø Ð Ò Ö Ý Ø Ñ Ø Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó Ó ÒÓØ Ò Ø Â Ó Ò ÜÔÐ ØÐÝº Ì Ò Ó ÓÐÚ Ö ÓÒÐÝ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ú ØÓÖ ÔÖÓ ÙØ DF(u)p Ò º½ µ Û ÒÓØ Ò Ð Ø Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó F Ø u Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó p Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ø Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ DF(u)p (F(u + εp) F(u)). ε À Ö Ø ÖÙ Ð Ô ÖØ Ø Ó Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ε > 0º Ì Ö Ö Ú Ö Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÓÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ù (+ u )εmach ε = p p > ε mach, º½ µ εmach Ð. À Ö ε mach ÒÓØ Ø Ñ Ò ÔÖ ÓÒ Û ÓÖ ÓÙ Ð ÔÖ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ε mach 0 5 º ÓÖ Ø ÓÚ Ó Ò ÓØ Ö ÔÓ Ð Ó ½ º Ñ ØÖ Ü Ö Ñ Ø Ó ÓÑÔ Ö ØÓ ÓØ Ö Ñ Ø Ó Ö Ø Ö ÑÔÐ ØÓ Ó ÙØ ÓÑ Ø Ø ÜÔ Ò Ø Ø Ò Ú ÖÝ Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ô Ó Ø Ð Ò Ö ÓÐÚ Ö Ø ÒÓÒÐ Ò Ö ØÝ F ØÓ Ú ÐÙ Ø º Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ö ÓÙ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ô Ò ÐØÝº ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ò Ñ ØÖ Ü Ö Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò º ÒÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ò Ö ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÕÙ ÒÒÓØ ÔÔÐ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ð ÒÓØ Ú Ð Ð º Ñ ØÖ Ü Ö ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÕÙ Û ÔÖÓÔÓ Ò ÙØ ÒÓØ Ø Ø Ò Ø ÛÓÖ º º ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÜÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ØÓ Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ù Ò ÔØ Ö Ô ÐÐÝ Ë Ø ÓÒ º Ð ØÓ Ø Ñ Ø Ô Ø Ñ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø ÙÐØ ØÓ ÓÒØÖÓÐº ÆÓ ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ð Ð Ø Ø Ù Ö ÒØ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ù ÒØÐÝ ÖÔ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò º ÌÓ ÚÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ö ØÖ Ø ÓÒ Û Ù Ø Ð Ó ÓÒ ÐÐÝ ÑÔÐ Ø Ñ ØÓ Ø Ö Û Ø Ñ ØÖ Ü Ö ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÐÚ Ö Ù Ò Ë Ø ÓÒ º Ò º ÓÖ Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº Ú Ò Û Ø ÓÙØ ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÙÐØ Ò ÙÐÐÝ Ö Ø Ñ ÑÓÖ ÒØ Ø Ò Ò ÜÔÐ Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò º º ÀÓÛ Ú Ö Ð Ó Ò Ø Ó ÑÔÐ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ Ø Ô Þ ØÓ Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐ Ù Ø Ø Ø ÒÓÒÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ÓÐÚ Ð º Ì Ø Ñ Ø Ô ÓÙÐ ÐÛ Ý Ó Ò Ù Ø Ø Ø ÕÙÓØ ÒØ ρ m ( t) = ÔÙ(tm, t) t

138 ½ À ÈÌ Ê º ÀÁ À Ê ÇÊ Ê ÌÁÅ ÁÆÌ Ê ÌÁÇÆ Ñ Ò Ñ Þ º À Ö ÔÙ(t m, t) Ø Ò ÓÖ Ø ÔÙ¹Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÓÑÔÙØ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ u(t m + t) Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ u(t m ) Ø Ø Ñ t m º Á Û ÙÑ Ø Ø ÔÙ(t m, t) Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ t m Ø Ó Ó Ø Ø Ñ Ø Ô Ø ÑÓ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ô Þ º ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÙÑÔØ ÓÒ ÒÓØ ÓÖÖ Ø ÙØ Ø Ñ Ø Ô Þ Ø Ø ÐÛ Ý Ñ Ò Ñ Þ ρ m ( t) ÓÙÐ ÐÓ ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ôº Ò Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ô Ò Ø ÓÚ Ò Ö Ø Ø Ð º ÒÓØ Ö ÑÔÐ Ö Ò ÓÑ Ø Ñ ÑÓÖ ÖÓ Ù Ø ÔÔÖÓ ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð Ò Ö ÓÐÚ Öº Ì ÔÔÖÓ Ú ÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ò Ø Ù Ð Ò Ö ÓÐÚ Öº ÓÖ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÒ ÓÖ Ö ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÓÙÒØ Ó ÓÙØ ¾¼ ÓÓ Ó º ÁÒ Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÖ Ñ Ó Ö ÒØ ÓÖ Ö ÓØ Ö Ó Ö Ò ÖÝ Ò Ú ØÓ ÙÖ ÓÙØ Ñ ÒÙ ÐÐÝº Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ñ ¹ ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó ÓÖ Ø Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ º ÁØ ÒÓØ Ð Ö ÓÛ ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ð ØÓ Ø ÆËÃ Ý Ø Ñ Ò Ø Ú ÓÙ Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒÐÝ ÓÙÖ ÓÖ Ø Ö ÙÐØ Ò Ñ ÐÐ Ø Ñ Ø Ô º Ì Ø Ö ÓÖ Ö ÃÓÖØ Û Ø ÖÑ Ø Ø Ö Ø Þ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÔÖ ÙÖ Ø ÖÑ Ò Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ò Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ó Ð ØÓ Ñ ÐÐ Ø Ñ Ø Ô º

139 ÔØ Ö Å ÔØ ÓÒ Ò È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÔØ Ö Û Ù Ø ÐÓ Ð Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ Û ÐÐ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ º Ì Ø Ò ÕÙ Ö Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ð ØÓ Ö ÓÐÚ Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÒØ Ö Ò ØÓ Ø Ý Ñ ÑÓÖÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Û ÐÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÓÛ Ö Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÓÑÔÐ Ü ÔÖÓ ¹ Ð Ñ º À Ö Û Ù Ø ÐÓ Ð Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ Û Ð Ó ÐÐ h¹ ÔØ ÓÒº ÒÓØ Ö ÔØ ÓÒ ØÖ Ø Ý p¹ ÔØ ÓÒ Û Ñ Ù Ó Ø ÐÓ Ð Ó Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó º Ì Ð ØØ Ö ÔØ ÓÒ ØÖ Ø Ý ÒÓØ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ò Ø ÛÓÖ Ò Ø ÓÒØÖÓÐ Ó Ø ÐÓ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò ÕÙ Ø ÓÑÔÐ Ø º Ë Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ó ÒÓØ Ò ÓÒ ÓÖÑ ØÝ Ñ Ö Ò Ñ ÒØ ÓÒ Ò ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ÓÒ Ý Ú Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÔÐ Ü ÒØÓ n Ð Ö Òº Ì ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ò ÓÒ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ ÙØ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ö Ò Ñ Ù ØÝº Ö ÓÒ Ð ØÖ Ø Ý Ò ÖÝ ØÓ ÚÓ Ò Ö Ø Ò Ñ º ÓÖ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÓÑ Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ Ó Ò Ò Ø Ø ÑÓ Ø Ù Ø Ð ÔÔÖÓ Ò Ø Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ñ ÛÓÖ Û Ö Ø Ò Ð Ö Ù Ù ÐÐÝ Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ñ ÐÐ Ò Ø Ù Ø Ñ ÓÒÐÝ Û ÐÝ ÓÙÔÐ º Ï Ø Ø ÔÔÖÓ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ò ØÖ ÙØ Ñ ÑÓÖÝ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÐÑÓ Ø ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º º½ Ê Ò Ñ ÒØ Ó Ë ÑÔÐ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖÓÚ Ø ÓÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ò h¹µ ÔØ Ú Ð ÓÖ Ø Ñ Ì Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ò Ð ÑÔÐ Ü Ò ÓÒ ØÛÓ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ º À Ö Û ÐÛ Ý Ú Ô Ö ÒØ ÑÔÐ Ü ÒØÓ n Ð ÑÔÐ Û Ö n ÒÓØ Ø Ô Ñ Ò¹ ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ø Ð ØÓ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ñ Ø Ó Ò ÓÒ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Û Ö ÑÔÐ Ò Ù Ú ÒØÓ n ÓÒ ÖÙ ÒØ Ù ¹ ÑÔÐ º ÁÒ ÓÒ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ø Ó Ð ØÓ Ö Ò Ñ Ó Ø Ñ ÕÙ Ð ØÝ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ º ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ Ú Ø ØÖ ¹ ÖÓÒ ÒØÓ Ø ÓÒ ÖÙ ÒØ Ð Ö Ò Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÓÓ Ö Ø Ö ÓÒ ½

140 ½ ¼ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ ÓÖ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ù Ø Ø ÕÙ Ò Ó Ö Ò Ñ ÒÒÓØ Ò Ö Ø º ÁÒ Ü ÑÔÐ º½º¾ Û Ú Ö Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ñ ØÓ ÚÓ Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ð Ø Ò ÓÙÖ Ø Ø µ Ò Ö ÙÐØ Ò Ö Ò Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÓ ÕÙ Ð ØÝº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö ÑÔÐ Ü R n Ý Ø n Ú ÖØ [p 0,...,p n ]º Ì ÑÔÐ Ü Ø Ò Ò Ý Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó Ø Ú ÖØ º ÆÓÛ Ð Ø Ø Ô Ö ÒØ ÑÔÐ Ü Ú Ò Ý p = [p 0,...,p n ]. Ï Ò Ø n Ð Ö Ò Ó Ø Ô Ö ÒØ ÑÔÐ Ü Ý [ c ( ) ( ) ] i = pα(i,0,0) + p α(i,0,),..., pα(i,n,0) + p α(i,n,), i = 0,... n, Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ α : {0,..., n } {0,...,n} {0,} {0,...,n} ÑÙ Ø Ó Ò Ù Ø Ø Ø n Ð Ö Ò ÓÖÑ Ö ÙÐ Ö Ù Ú ÓÒ Ô Ö ÒØ ÐÐ p º ÓÖ n = Ò n = Ø ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÔÓ ÒØ p kl ÒÓØ Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó ÔÓ ÒØ p k Ò p l º º p kl = (p k + p l )º ÁÒ ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ð Ö Ò Ò Ø Ò Ò Ý c 0 = [p 0, p 0 ], c = [p 0, p ], º½µ Ò Ò Ø ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ c 0 = [p 0, p 0, p 0 ], c = [p 0, p, p ], c = [p 0, p, p ], c 3 = [p, p 0, p 0 ]. º¾µ ÆÓØ Ø Ø Ò ÓÒ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ù Ú ÓÒ ÒØÓ n ÓÒ ÖÙ ÒØ ÐÐ ÙÒ ÕÙ ÙÔ ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ó Ø Ð Ö Òº p p p 0 p p p 0 p coarsen coarsen refine refine p c 0 c p 0 p 0 p p c c 0 c 3 p c p 0 p 0 p ÙÖ º½ Ê Ò Ñ ÒØ Ó ÓÒ Ò ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÔÐ º ÆÓÛ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ø ØÙ Ø ÓÒ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ù Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ô Ö ÒØ ÐÐ ÒØÓ Ø Ð Ö Ò ÒÓØ ÙÒ ÕÙ Ò Ø Ö ÓÖ ÓÒ ØÓ ÓÛ

141 º½º Ê ÁÆ Å ÆÌ Ç ËÁÅÈÄÁ Ë ½ ½ ØÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÓÙÐ Ò ÙÖ Ø Ø Ù Ú ÐÝ Ö Ò Ñ ÒÒÓØ Ò Ö Ø º Ì Ø Ð Ö Ò Ó Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò Ò Ý c 0 = [p 0, p 0, p 0, p 03 ], c 4 = [q 4, p 3, p 3, p ], c = [p 0, p, p, p 3 ], c 5 = [p 3, q 5, p 03, p 0 ], c = [p 0, p, p, p 3 ], c 6 = [p 3, p 03, q 6, p 0 ], c 3 = [p 03, p 3, p 3, p 3 ], c 7 = [p, p 0, p 0, q 7 ], º µ Û Ö Ø Ú ÖØ q 4,q 5,q 6,q 7 ÑÙ Ø Ò Ù Ø Ø Ø Ø Ð Ö Ò ÓÖÑ Ú Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ö ÒØ ÐÐº Ì Ö ÙÐØ Ò Ø Ö ÔÓ Ð Ø ÓÖ Ø Ó Ó Ø Ú ÖØ º µ q 4 = q 5 = p 0 Ò q 6 = q 7 = p 3 µ q 4 = q 6 = p 0 Ò q 5 = q 7 = p 3 µ q 4 = q 7 = p 03 Ò q 5 = q 6 = p º p 0 p 0 p 0 p p p p p p ÙÖ º¾ Ì Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú µ µ µ ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Ø ÓÖ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÔÐ Üº Ø Ø ÔÓ ÒØ Û Ú ØÓ Û ÓÒ Ó Ø Ø Ö ÔÓ Ð Ø ØÓ ÓÓ º ÇÒ ÔÓ Ð Ó ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓ ÒØ q 4,q 5,q 6,q 7 ÐÛ Ý Ð ÓÒ Ø ÐÓÒ Ø Ó Ø Ø ØÖ ÖÓÒº Ï ÐÐ Ø Ø ÐÓÒ Ø Ö Ø Ö ÓÒº Ü ÑÔÐ º½º½ ÄÓÒ Ø Ö Ø Ö ÓÒµ Ï Ò Ø η Ý Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÐÓÒ Ø Ó Ø Ø ØÖ ÖÓÒ º º Ò Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý η = max{ p k p l k,l {0,,,3} }, ( p 0 p = η ÓÖ p p 3 = η) Ø Ò Ø q 4 = q 5 = p 0 Ð ( p 0 p = η ÓÖ p p 3 = η) Ø Ò Ø q 4 = q 6 = p 0 Ð Ø q 4 = q 7 = p 03 q 5 = q 6 = p º q 6 = q 7 = p 3 q 5 = q 7 = p 3 ÁÒ ½ Ö ÔÓÖØ Ø Ø ÔÔÐÝ Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÓÒ Ù Ú ÐÝ Ö Ò Ñ Ò Ð ØÓ Ò Ö Ø ÕÙ Ò Ó Ñ º º Ø Ñ ÐÐ Ø Ò Ð Ò ÕÙ Ò Ó Ñ ÒÓØ ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛº Ì Ö ÓÖ Ø ÐÓÒ Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ñ ØÓ ÒÓØ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ó º ÆÙÑ Ö Ð Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ù Ò ÒÓØ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Û Û ÐÐ Ø ÐÓÒ Ø ØÛÓ Ö Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ø ÓØ Ó Ø Û Ø Ø Ú ÖØ q 4,q 5,q 6,q 7 ÒØÓ ÓÙÒØ Ú ÑÙ ØØ Ö Ö ÙÐØ Ø Ð Ø Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ú Ò Ø Ø µº

142 ½ ¾ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ Ü ÑÔÐ º½º¾ ÄÓÒ Ø ØÛÓ Ö Ø Ö ÓÒµ Ï Ò Ò Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý (η = η) Ø Ò Ø q 4 = q 5 = p 0 η = p 0 p + p p 3, η = p 0 p + p p 3, η 3 = p 0 p 3 + p p, η = max{η l l =,,3}, Ð (η = η) Ø Ò Ø q 4 = q 6 = p 0 Ð Ø q 4 = q 7 = p 03 q 5 = q 6 = p º q 6 = q 7 = p 3 q 5 = q 7 = p 3 ÆÙÑ Ö Ð Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ñ ÐÐ Ø Ò Ð Ò ÕÙ Ò Ó Ù Ú ÐÝ Ö Ò Ñ Ø Ý ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛ Ù Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒº Ì ÒÚ Ö Ó Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ø ÓÖØ Ø ØÛÓ Ö Ø Ö ÓÒ Ñ ÐÛ Ý ØÓ ÔÖÓ Ù ÕÙ Ò Ó Ò Ö Ø Ò Ñ º º¾ L ÈÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÔØ ÓÒ ÈÖÓ Ï ÙÑ Ø Ø n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÔÐ Ü = T(ˆ ) Ò Ö Ò ÒØÓ n Ð Ö Ò i = T i ( ˆ ) i = 0,..., n Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ö ˆ ÒÓØ Ø Ö Ö Ò ÐÐ Ò T,T i Ø Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ø Ö Ö Ò ÐÐ ØÓ Ø ÐÐ Ò i Ö Ô Ø Ú ÐÝ º½µº Ì Ø ÓÒ ÒÓØ Ö ØÖ Ø ØÓ Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ ÐÓÒ Û ÙÑ Ø Ø Û ÐÖ Ý Ú ÓÒ ØÖÙØ n Ð Ö Ò Ó ÐÐº Ù ØÓ Ø Ð Ò Ö ØÝ Ó Ø Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ Ü¹Ñ ØÖ Ü ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ÒÓ ÙÖØ Ö ÓÑ ØÖÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÐÐ Ò ÖÝº Ì Ñ ØÖ Ü¹Ñ ØÖ Ü ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Ú Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò º µº Ä Ø ÒÓØ n p = P m Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø Ô Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö Ø ÑÓ Ø m Ò n Ô Ñ Ò ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ º º Ø Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÓÒ Ö ÓÒÐÝ Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò i Ó Ø ÓÖÑ u(x) = n p l=0 α l ϕ l, u i (x) = n p l=0 β i l ϕi l, Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ϕ l Ò ϕ i l ÒÓØ Ø ÐÓ Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ò Ë Ø ÓÒ º º½¼µº ÁÒ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÔÖÓ Û Ú ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ó ÒØ βl i ÖÓÑ Ø Ó ÒØ α l Ò ÓÑ Û Ýº Ï Ó Ø Ý Ñ Ò Ó L ¹ÔÖÓ Ø ÓÒº Ì Ñ Ò ÓÖ ÐÐ i Û ÔÖÓÚ Ø Ø u i ÓÒ Ø Ù ¹ ÐÐ i Ý L ¹ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó uº u(x)ϕ i k (x) dx = u i (x)ϕ i k (x) dx, k = 0,...,n p. i i

143 º¾º L ÈÊÇÂ ÌÁÇÆ Ç Ì ÁÆ ÌÀ ÈÌÁÇÆ ÈÊÇ ËË ½ Ì Ñ Ò n p l=0 α l ϕ l (x)ϕ i k (x) dx = i n p l=0 β i l ϕ i l (x)ϕi k (x) dx, k. i Ò Ý ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÐ i ØÓ Ø Ö Ö Ò ÐÐ ˆ Ù Ò Ø Ö Ö Ò Ñ ÔÔ Ò T i Ú n p l=0 α l ˆ ϕ l (T iˆx)ϕ i k (T iˆx) dˆx = n p l=0 β i l ˆ ϕ i l (T iˆx)ϕ i k (T iˆx) dˆx, ÆÓØ Ø Ø Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ò Ø ØÓÖ det(dt i (x)) ÖÓÑ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ ÓØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒº Í Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓ Ð ÙÒØ ÓÒ ϕ l Ò ϕ i l Ò Ø ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ p l ÓÒ Ø Ö Ö Ò ÐÐ Û Ø n p l=0 α l ˆ p l (T T iˆx) p k (ˆx) dˆx = β i k, k = 0,...,n p. Ì ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò T T i Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø ÐÐ º ÁÒ Ø Û Ú T T i = ˆT i Û Ö ˆT i ÒÓØ Ø Ò Ð Ò Ö Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ø Ö Ö Ò ÐÐ ØÓ Ø i¹ø Ð Ó Ø Ö Ö Ò ÐÐº Ì Ò ÐÐÝ Ú Ø ÜÔÖ ÓÒ n p βk i = l=0 α l ˆ p l ( ˆT iˆx) p k (ˆx) dˆx, k = 0,...,n p, Û ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ð Ò ÒÓØ ÓÒ Ø ÓÑ ØÖÝ Ó Ø ÐÐ º ÆÓÛ Ð Ø Ù Ò ÓÖ ÐÐ Ð Ö Ò Ø Ñ ØÖ A i R np np Ý A i = p l ( ˆT iˆx) p k (ˆx) dˆx º µ k. ˆ k,l Ò Û ÓÑÔÓ Ø Ñ ØÓ Ò Ð ÔØ ÓÒ Ñ ØÖ Ü A R n n p n p Ý A 0 A A = º. A n º µ ÆÓÛ ØÓ ÑÓÖ Ò Ö Ð Û ÓÒ Ö Ú ØÓÖ Ú ÐÙ Ø Ó Ñ Ò ÓÒ d N u(x) = n p l=0 ϕ l α l, u i (x) = n p l=0 ϕ i l βi l, º µ

144 ½ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ Ó Ø Û Ø Ø ÐÐ Ò i Û Ö α l Ò β i l Ö Ú ØÓÖ Ò Rd º Ï Ò Ñ ØÖ α,β i R np d Ý α = (α 0,α,...,α np ) T, β i = (β i 0,β i,...,β i n p ) T, Ò Û ÓÑÔÓ Ø Ñ ØÖ β i ØÓ Ò Ð Ñ ØÖ Ü β R n n p d Ý β = β 0 β º β n Í Ò Ø ÓÚ ÒÓØ Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ø Ê Ò Ñ ÒØ ÔÖÓ Ò ÖÖ ÓÙØ Ý Ø Ò Ð Ñ ØÖ Ü¹Ñ ØÖ Ü ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ. β = Aα. º µ Ì Ö Ú Ö ÔÖÓ Ó Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ º À Ö Ø ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ó ÒØ α ÖÓÑ Ú Ò Ó ÒØ βº Í Ò Ø Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ ÓÒ Ý Ø Ò Ð Ñ ØÖ Ü¹ Ñ ØÖ Ü ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ α = n AT β. º µ ÌÓ Ø Ø Ø ÓÖÖ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÖØ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÔÖÓ Ý L ¹ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ u i ØÓ Ø ÐÐ º ÓÒ ØÖÙØ Ò Ñ ØÖ Ò Ñ Ð Ö Û Ý ØÓ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÔÖÓ Ö ÙÐØ Ò Ø ÓÖÑÙÐ ÓÚ º ÁÒ ÓÒ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÔØ ÓÒ Ñ ØÖ Ü A Ù Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ó ÑÔÐ Ü ÒØÓ n Ù ¹ ÐÐ Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ ÙÒ ÕÙ º ÁÒ Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ø Ö Ö Ø Ö Ö ÒØ ÔØ ÓÒ Ñ ØÖ ÓÒ ÓÖ Ó Ø Ø Ö Ö ÒØ Ö Ò Ñ ÒØ Ô ØØ ÖÒ º ÓÖ Ò ØÓ Ø Ó Ó Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ô ØØ ÖÒ Ø ÓÖÖ Ø Ñ ØÖ Ü Ó Ø Û Ø Ø Ô ØØ ÖÒ ØÓ Ó Ò ÓÖ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ø º Ì Ö Ö ÐÓØ Ó Þ ÖÓ Ò Ø Ñ ØÖ A i Ô ÐÐÝ ÐÓÛ Ø ÓÒ Ðº Û Ò Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑ ÓØØÐ Ò Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø ÓÙÐ ÜÔÐÓ Ø ÓÖ ÑÓÖ ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ Ø Ò ÓÙÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ º º Ê Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÁÒ ØÓÖ Ì Ó Ð Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ ÔÖÓÚ Ö Ø Ö ÓÒ ØÓ Û Ò ÐÐ Ó Ø Ñ ØÓ Ð Ö Ù Ø Ø Û Ú ØÓ Ö Ò Ø Ò Û Ò ÐÐ ØÓ Ñ ÐÐ Ò ÓÙÐ Ó Ö Ò ÔÓ Ð µº ÁÒ Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÓÒ¹ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ø Ö Ö ÒØ ÐÐÝ ØÛÓ Ö ÒØ Ò Ó ØÖ Ø ÓÖ Ø ÓÒº

145 º º Ê ÁÆ Å ÆÌ Æ Ç ÊË ÆÁÆ ÁÆ Á ÌÇÊ ½ Ì Ö Ø ØÖ Ø Ý ØÓ Ù ÖÖÓÖ Ø Ñ ØÓÖ ÓÒ Ö ÓÖÓÙ Ø ÓÖ Ø Ð Ö ÙÐØ º Í Ù¹ ÐÐÝ Ø Ö ÓÒÐÝ Ú Ð Ð ÓÖ Ô Ð Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û º Ì ÓÒ Ò Ó ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø Ò ØÓÖ Ø Ø Ö Ý ØÓ ÓÑÔÙØ ÔÔÐ Ð ØÓ Ð Ö Ð Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú Ù Ù ÐÐÝ ÓÓ Ö ÙÐØ Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ø ÓÖ Ø Ð Ù Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÖÖÓÖ Ø Ñ ØÓÖ º ÖÖÓÖ Ø Ñ ØÓÖ ÓÒ Ö ÓÖÓÙ Ò ÐÝ º º ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÖÖÓÖ ÓÒØÖÓÐ Ó Ø ÓÖÑ u u h K η h (u h ), Û Ö u Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÑ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û u h Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó u Ò Ö Ø Ý ÒÙÑ Ö Ð Ñ K Ω ÓÑ ÓÑÔ Ø Ø Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ò ÒÓØ ÓÑ ÒÓÖÑº Ì ØÖ Ø Ý ÓÒ Ø ÖÓÙ ÐÝµ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ ÙÖ Á Ø Ö Ø Ò η h (u h ) ØÓÓ Ð Ö Ø Ò Û Ö Ò Ø Ñ ¹ ÐÐ Ó Ø Û Ø Ø Ø K Ò Ø Ø Ö Ø Ò ØÓÓ Ñ ÐÐ Ø Ô ÖØ Ó Ø Ñ Ó Ø Û Ø K ÓÙÐ Ó Ö Ò ØÓ Ö Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ØÓ Ñ Ò ÑÙÑº Í Ù ÐÐÝ Ø ÒÓØ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ø Ö Ø Ò ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ Ø Ñ Þ h Ø Ò ØÓ Þ ÖÓº Ì Ö ÓÖ Ø ØÖ Ø Ý Ó ÒÓØ ÐÛ Ý Ù Ö ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñº ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø Ó Ø ÓÚ ÓÖÑ Ö Ú Ð Ð ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ ÓÖ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ø Ð ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñµ º º ¼ ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö ÝÔ Ö ÓÐ Ý Ø Ñ Ó Ð Ò Ð Û Û Ø Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ º ÓÖ Ö ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒÓÒÐ Ò Ö Ð Ö ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø Ò ÓÙÒ Ò º À ÙÖ Ø Ò ØÓÖ Û Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ù ÝÒ Ñ µ Ù Ù ÐÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÐÓ Ð Ö ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ô ÓÖ Ø Ñ ¹ Ô µ Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ú Ö Ð Ù Ò ØÝ Ò Ö Ý ÒØÖÓÔÝ Ò ÓØ Ö º ÁÒ Ø Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÕÙ Ø ÑÔÐ Ð Ö Ö ÒØ Ñ ÙÖ Ò ÓÑ ÒÓÖÑµ Ð ØÓ Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ø ÐÐ Ñ ÐÐ Ö ÒØ Ñ Ø Ð ØÓ Ó Ö Ò Ò Ó ÖÓÙÔ Ó ÐÐ º Ì Ú ÒØ Ó Ø Ò Ó ÑÔÐ ÙÖ Ø Ò ØÓÖ Ö Ì Ý Ö Ù Ù ÐÐÝµ Ý ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ý Ö Ú Ð Ð ÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒØÖ Ø ØÓ Ö Ð ÖÖÓÖ Ø Ñ ØÓÖ Ò Ø Ý Ú Ò Ù ÙÐÐÝ ÔÔÐ ØÓ Ñ ÒÝ Ö ÒØ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ ½ ½½ ¼ ½½¾ º ÇÒ Ú ÒØ Ó ÙÖ Ø Ò ØÓÖ Ø Ø Ø Ý Ñ Ý Ò Ø ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ú Ò Ò Û Ö Ø ÖÖÓÖ ØÛ Ò Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÐÐ ÔÓ ÐÝ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓµº ÓÖ ÓÙÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑ¹ ÔÐ Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò ÖÖÓÖ Ø Ñ ØÓÖ ÓÒ Ö ÓÖÓÙ Ò ÐÝ Ñ ØÓ ÓÙØ Ó ÓÔ º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ý Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Ø ÖÖÓÖ ÓÒØÖÓÐº Ò ÙÖ Ø Ò ØÓÖ Û Ò Ù Ø Ò ØÝ Ö ÒØ ρ º Ø Ø ÒØ Ö Ø Ò ØÝ Ò Ö Ô ÐÝ Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ò ØÝ Ö ÒØ Ð Ö º Ì Ò Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ú ÖÝ Ò Ñ ÐÓ ØÓ Ø ÒØ Ö º

146 ½ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ Ï Ò ÕÙ ÒØ ØÝ η i Ø Ø Ó Ø Û Ø Ø Ö ÒØ Ó Ø Ò ØÝ ÓÒ Ø i¹ø ÐÐ Ò Ø Ö Ø Ò Ò Ö Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ñ { } Ñ( j ) η i = max ρ j L ( j ) j Ò ÓÖ Ó i Ó º Ø ÑÓ Ø m. º µ À Ö Û ÐÐ j Ò ÓÖ Ó i Ó Ö Ø ÑÓ Ø m Ø Ö Ü Ø m + ÐÐ Ò Ø Ñ 0,..., m Û Ø i = 0, j = m, k Ò ÓÖ Ó k+, k = 0,...,m. ÆÓØ ÓÖ m = 0 Û Ú ÓÒÐÝ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø i¹ø ÐÐ Ò ÓÖ m = Û Ú ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ÒØ Ó Ø i¹ø ÐÐ Ò Ø Ö Ø Ò ÓÖ º Ï ÓÓ ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ò ÒØ ÙÔÔ Ö Ò ÐÓÛ Ö Ú ÐÙ η upp > 0 Ò η low > 0 Û Ø η low < η upp º½¼µ Ò Û Ø i¹ø ÐÐ Ò Ø ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ó Ö Ò Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ø Ö ÓÒ Ü ÑÔÐ º º½ Å ÔØ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒµ η i > η upp Ø Ò Û Ñ Ö Ø i¹ø ÐÐ ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ð η i < η low Ø Ò Û Ñ Ö Ø i¹ø ÐÐ ÓÖ Ó Ö Ò Ò º ÆÓØ À Ö Û ÓÒÐÝ Ø Ñ Ö Ý ØØ Ò µ Ø Ø Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ø ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ó Ö Ò Ò º Ì Ò Ð ÓÒ Û Ø Ö Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ó Ö Ò Ò Ô Ö ÓÖÑ Ù Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº Ì Ù Ð Ò Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó η i Ò º µ Ö Ø Ö ÜÔ Ò Ú Ô ÐÐÝ ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ m Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÙØ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ú Ð Ý Ö Ó Ò ÐÐ ÖÓÙÒ Ò ÒØ Ö º Ì Ù Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÓÓ Ú ÐÙ m > º ÇØ ÖÛ ÐÓ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û ÐÐ ØÖÓÝ Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ Ò Ø Û ÐÐ ÐÓÛ ÓÛÒ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ö ÓÐÚ Ö º º Ê Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Ó Ë ÑÔÐ Ð Å ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ù Ø Ò Ð Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Ó Ñ º À Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø ÐÐ Ó Ø Ñ Ö ÐÖ Ý Ñ Ö ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò º º Ö Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ó Ö Ò Ò Ó Ø ÐÐ Ö Ø Ù ØÓ Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº Ë Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ó ÒÓØ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÓÙÐ Ú ÖÝ ÐÓ Ð Û Ø ÓÙØ Ø Ò Ò ÓÖ Ò ÐÐ º ÀÓÛ Ú Ö Ò ÓÖ Ö ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ö Ø ÐÓ Ð ØÝ ØÓ ÓÑ Ö Ý Ö ØÖ Ø Ò Ø Ð Ú Ð Ó ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ØÝ ØÓ ÓÒ º º

147 º º Ê ÁÆ Å ÆÌ Æ Ç ÊË ÆÁÆ Ç ËÁÅÈÄÁ Á Ä Å ËÀ Ë ½ Ø ÓÐÙØ Ö Ò ØÛ Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð Ó Ò ÓÖ ÐÐ º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÙÑ Ø Ø Ø Ñ ÓÒ Ø Ó Ø Ó Ñ ÖÓ ÐÐ Ø Ø ÒÒÓØ ÙÖØ Ö Ó Ö Ò º Ì Ø ÐÐ Ñ ÖÓ Ñ º Ù ØÓ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ý Ó ÐÐ Û Ø Ô Ö ÒØ¹ Ð Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÙØ º Ì Ø Ó ÐÐ Ø Ø Ó ÒÓØ Ú Ð Ö Ò ÐÐ Ð Ñ º ÇÒÐÝ ÐÐ Ð Ö Ò Ó Ô Ö ÒØ ÐÐ ØÓ Ø Ö Ò Ó Ö Ò ØÓ Ø Ô Ö ÒØ ÐÐº ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ÐÐÝ Û Ò Ø Ñ ÔØ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ º º½ ÔÔÐ Ø ÒÓØ ÔÓ Ð Ø Ø ÐÐ Ö Ñ Ö Û Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ÙØ Ø Ò ÔÔ Ò ÙÖ Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ Ò Ø ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ ØÝ Ð Ú Ð Ö ØÖ Ø º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÙÑ Ø Ø Û Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ó ÐÐ Ø Ø Ò Ø Ó Ö Ò Ò ÙÒ Øº ÙÖØ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ñ ÖÓ ÐÐ ÒÒÓØ Ú Ø Ó Ö Ò Ò Øº Ì Ñ ÔØ ÓÒ ÓÐÐÓÛ Ó Ö Ò Ò Ò Ö Ò Ñ ÒØ ÑÙ Ø ÔÓÐ Ýº Ì Ñ Ò Ú ÖÝ ÐÐ Ø Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ø Ò Ø ÐÝ ØÓ Ö Ò Û Ö Ø Ü ÙØ ÓÒ Ó Ó Ö Ò Ò Ó ÐÐ Û Ø Ø Ó Ö Ò Ò µ Ô Ò ÓÒ Ø Ò ÓÖ ÓÓ Ó Ø ÐÐº Ö Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÖ ÓÙØº Ì ÓÐÐÓÛ Ò ØÓ ÓÒ ÙÒØ Ð Ø Ö ÒÓ ÐÐ Ð Ø Û Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ º Ð ÓÖ Ø Ñ º º½ Ê Ò Ñ ÒØµ Û Ð Ø Ö ÐÐ Û Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ø ß Ö Ò ÒØÓ Ù ÐÐ 0,..., n Ð ÓÖ i = 0,...,n ß ÓÖ ÐÐ Ò ÓÖ Ó i ß Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð i µ Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð µ > Ø Ò Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ð Ð Ï Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ø Ó Ö Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ü ÙØ ÙÒØ Ð ÐÐ ÐÐ Ú Ò ÔÖÓ Ò ÒÓ Ö Øº Ð ÓÖ Ø Ñ º º¾ Ó Ö Ò Ò µ Û Ð Ø Ö ÐÐ Û Ø Ó Ö Ò Ò Ø ß Ø p = Ô Ö ÒØ ÐÐ Ó ÐÐ Ð Ö Ò Ó p Ú Ø Ó Ö Ò Ò Ø Ø Ò ß ÓÖ ÐÐ Ò ÓÖ Ó p Û Ú Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð µ ¹ Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð p µ Ø Ò Ó Ö Ò ÐÐ Ð Ö Ò Ó p ØÓ p Ð ÓÖ ÐÐ Ò ÓÖ Ó p Û Ú Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð µ ¹ Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð p µ Ò ÐÐ Ò ÓÖ Û Ø = Ú Ø Ó Ö Ò Ò Ø Ø Ò Ö ÕÙ Ù ÐÐ

148 ½ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ Ð ÙÒ Ø Ø Ó Ö Ò Ò Ó Ð Ð ÙÒ Ø Ø Ó Ö Ò Ò Ó Ð ÁÒ Ø Ó Ö Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÚ Û ÒÓØ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ñ ÒØ Û ÒÒÓØ Û Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ó Ö Ò ÓÖ ÒÓØ Ò ÓÑ Ó Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ú ØÓ Ó Ö Ò ÓÖ ÒÓØµ Ö Øº Ì Ù Ø ÙÖÖ ÒØ ÐÐ ØÓ Ö ÕÙ Ù Ò Û Ø Ò ÕÙ Ù Ó ÓÑ Ò º À Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ø ÙÖÖ ÒØ ÐÐ Ö ÕÙ Ù Ø Ø Ò Ó Ø Û Ø Ò ÕÙ Ù Ù Ø Ø ÐÐ ÓØ Ö Ñ Ö ÐÐ Ö ÔÖÓ ÓÖ Ø ÙÖÖ ÒØ ÐÐ ÔÖÓ Òº º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ù Ø Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ò ÔØ Ö º Ì Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ù Ò Ø ØÖ ÙØ Ñ ÑÓÖÝ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ ÔØ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó ÓÖ Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ú Ò Ý ÓÑ Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ö ÓÒÐÝ Û ÐÝ ÓÙÔÐ º ÌÓ Ý Ø Ö Ö Ñ ÒÐÝ ØÛÓ Ö ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓ Ð Ë Ö Å ÑÓÖÝ È Ö¹ ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ò ØÖ ÙØ Å ÑÓÖÝ È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒº Ì Ú ÒØ Ò Ú ÒØ Ó Ø ÓØ ÑÓ Ð Ö Ð Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ë Ö Å ÑÓÖÝ È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒº Í Ò Ø ÑÓ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ù Ó Ñ ÒÝ Ì Ö Ó Ü ÙØ ÓÒ Ø Ø Ö ÓÑÑÓÒ Ö Ô Ò Ñ ÑÓÖÝº Ì Ñ Ò Ø Ö Ò Ö ÓÖ ÛÖ Ø ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖÝº Ì ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò ÑÓ Ð Ò Ù Ø Ö Ý ÜÔÐ ØÐÝ ÛÓÖ Ò Û Ø Ø Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Ý Ù Ò Ø ÈÌ Ö ÈÁº ÇÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÝ ÇÔ ÒÅÈ ½¾ Ö Ø Ú Ò Ù ØÓ Ô ÛÒ Ø Ö Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÓÒ º Ì Ö Ø Ú Ö Ú Ð Ð ÓÖ Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ò ÓÖØÖ Ò ÙØ Ø Ý Ö ÒÓØ Ô ÖØ Ó Ø Ø Ò¹ Ö Ó Ø Ð Ò Ù Ò ÑÙ Ø Ø ÓÒ ÐÐÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø ÓÑÔ Ð Öº Ì Ñ Ò Ú ÒØ Ó Ø ÑÓ Ð ÓÒ Ø Ó Ø Ö Û Ö Ø Ø ËÅÈ Ñ Ò Û Ø Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö ÐÐÝ ÜÔ Ò Ú º ÇÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ø Ó ØÛ Ö Ø Ø Ñ ÒÝ Ð Ö Ö Ö ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø Ö º ÒÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ø Ý ØÓ Ù Ø Ð Ø Ö Ò ÓÒ ÑÓ ÖÒ Ñ Ò Ò ÐÐ Ø Ö Ú ØÓ ÐÐ Ñ ÑÓÖÝ ÐÓ Ø ÓÒ º ÇÒ ØÓ Û Ö Ó Ø Ø ÓØ ÖÛ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ú ÒÓ Ò Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò º ØÖ ÙØ Å ÑÓÖÝ È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒº ÁÒ Ø ÑÓ Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ù Ò ¹ Ö ÒØ ÈÖÓ ÓÒ Ø Ñ ÓÖ Ö ÒØ Ñ Ò Û ÓÑÑÙÒ Ø Ú Å È Ò º Ì ØÓ Ø Ò Ö ÓÖ ÒØ ÓÑÔÙØ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ Ù Ó Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓ Ð Ø Å È Ò ÁÒØ Ö ÓÖØ ÅÈÁµ ½¾¾ Ø Ø Ò ÐÓØ Ó Ù ÙÐ ÖÓÙØ Ò ÓÑÑÓÒÐÝ Ù Ò ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ØÓ ÅÈÁ Ø ÈÎÅ È Ö ÐÐ Ð Î ÖØÙ Ð Å Ò µ Ð Ö ÖÝ ½¾ Û ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÅÈÁ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø Û Ø Ð Ö ÖÝ Ø Ø ÔÖÓ¹ Ú Ñ Ô Ò º ÙØ Ø ÓÑ Ø Ø Ó Ø Ø Ø Ø ÒÓØ ÓÔØ Ñ Þ

149 º º È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ ½ ÅÈÁ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ º Ì Ð Ø Ø ÅÈÁ Ø Ò Ö Ø Ø Ñ Ó Ø ÛÖ Ø Ò µ Ú Ö ÓÒ ¾º¼ Ò Ò ÓÙÒ ÓÒ Ø ÅÈÁ¹ ÓÖÙÑ Û Ø ½¾¾ º Ì Ö Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ò ÓÙÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ ¹ Ø ÓÒ Ó ÅÈÁº ÐÐ Ó Ø Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ð Ø Ø ½º½ Ø Ò Ö Ò ÓÑ Ó Ø Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ô ÖØ Ó ÓÖ Ø ÓÑÔÐ Ø ¾º¼ Ø Ò Ö º Ì Ö ÅÈÁ À ½¾ Ä Å»ÅÈÁ ½ ½¾¼ ÅÈÁ À¾ ½¾ Ò ÇÔ ÒÅÈÁ ½¾ º Ì Ð ØØ Ö ØÛÓ Ó Ø Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ Û ÐÐ Ó Ø Ò Ø Ò Ö ÙØÙÖ µ Ø ÓÑÔÐ Ø ÅÈÁ ¾º¼ Ø Ò Ö º ÓÓ ÓÚ ÖÚ Û Ò Ñ ÒÝ Ø ÓÒ Ð Ö Ö Ò ØÓ Ø Å È Ò ÁÒØ Ö Ö Ú Ò Ò º Ì Ñ Ò Ú ÒØ Ó Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓ Ð Ø Ø ÑÔÐÝ ÙÒ Ó Ñ ¹ Ò ÓÒÒ Ø Ú Ò ØÛÓÖ Ò Ù Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Öº Ì ÒÓÖ¹ Ñ ÐÐÝ ÑÙ Ô Ö Ò ÓÖ Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÖÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÒØ Ù Ò Ö Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò º ÒÓØ Ö Ú ÒØ Ø Ø Ñ ÑÓÖÝ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ö Ò Ó ÒÓØ ÓÙÖº Ç ÓÙÖ Ñ Ô Ò Ò Ð Ó Ù ÓÒ ËÅÈ¹Ñ Ò º ÁÒ Ø ÑÓ ÖÒ ÅÈÁ ÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ø ÓÒ ÓÑÑÙÒ Ø Ú Ö Ñ ÑÓÖÝ Û Ø Ø Ø Û Ý ØÓ ÓÑÑÙÒ Ø º ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ú Ó Ò ØÖ ÙØ Ñ ÑÓÖÝ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ù Ó Ø Ü¹ Ð ØÝ Ò Ù Ð ØÝ Û Ø Ô Ö Û Ö º ÁÒ Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó ØÖ ÙØ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÑ Ò ¹ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ø ÑÓ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó º À Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ Ô Ò Ó Ø Ô ØÖ ÙØ ÑÓÒ Ø Ú Ð Ð ÔÖÓ ÓÖ º ÙÖ º ÓÛ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ÓÒ Ø Ð Ø Ò Ø Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ Ø Ö Ô ÓÒ Ø Ö Øº Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ó Ð Ú Ð ÓÒ ÓÛÒº Ì Ö ÐÐ ÖÓÑ Ø ÓØ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ø ØÓÖ Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÓ ÐÐ Ó Ø ÓØ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ º È Ö ÐÐ Ð ÒÝ Ì Ö Ö Ñ ÒÐÝ ØÛÓ Ö ÒØ ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ó ØÛ Ö º Æ Ñ ÐÝ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ØÓÓ Ð Ö º Ï Ú Ð Ö Ö Ñ ÑÓÖÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ØÓÓ ÑÙ Ø Ñ ØÓ Ò º Ï Ò Ø Ö Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø Ó º ÁÒ Ø Ö Ø Û Ú ÒÓ ÓØ Ö Ó Û Ò ÒÓÙ Ñ Ò ØÓ Ø Ý Ø Ñ ÑÓÖÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÙØ Ò Ø Ð ØØ Ö Û Ú ØÓ ÓÛ Ñ ÒÝ Ñ Ò Û ÓÙÐ Ù Ò ÓÖ Ö ØÓ Ð Ö Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ì Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô Ö Ö Ô º ÓÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø T(n) ÒÓØ Ø Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù Ò n N ÔÖÓ ÓÖ Ò ØÓ Ò º Ì Ô ÙÔ ÖÓÑ n 0 ÔÖÓ ÓÖ ØÓ n ÔÖÓ ÓÖ Û Ø n 0 < n Ø Ò

150 ½ ¼ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ Ò Ý Ô ÙÔ(n 0,n ) = T(n 0) T(n ), Ô ÙÔ(n) = Ô ÙÔ(,n). Ì Ð ØØ Ö ÒÓØ Ø Ô ÙÔ ÖÓÑ ÓÒ ØÓ n ÔÖÓ ÓÖ º ÓÖ Ö Ð ÛÓÖÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û ÜÔ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÔ ÓÙÒ Ý Ô ÙÔ(n 0,n ) n n 0, ÙØ Ø Ö Ö Ü ÑÔÐ Û Ö Ø ÒÓØ Ø º Ì Ö Ù Ù ÐÐÝ Ø Ò ÓÙÖ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÓÒÐÝ Û Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÐÐ Ò Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐÐÝ Ø ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ì ÜÔÖ ÓÒ (n 0,n ) = Ô ÙÔ(n 0,n ) n 0 n ÐÐ Ô Ö ÐÐ Ð ÒÝº Ì ÕÙ ÒØ ØÝ Û Ø Ö Ø ÛÓÖØ ØÓ Ù n ÔÖÓ ÓÖ Ò Ø Ó n 0 ÓÖ ÒÓØº Á Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ÐÓ ØÓ ÓÒ Ø Ñ Ý ÛÓÖØ Ø ÐÓ ØÓ Þ ÖÓ Ø Ò Ø ÐÝ ÒÓØ ÛÓÖØ º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÁÒ Ë Ø ÓÒ º½ Û Ú Ù Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÓÒ ÓÖÑ Ò ÒÓÒÓÒ ÓÖÑ Ñ Û Ù ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÔÓ ÐÝ ÓÑÔÐ Üµ ÓÑ ØÖ º ÓÖ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÐÐÝ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ö ØÖ Ø Ø Ø Ó Ñ Ð Ñ Ð ØØÐ Øº À Ö Û Ö ØÖ Ø Ø Ø ØÓ Ø Ø Ó Ñ Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ý Ö Ò Ñ ÒØ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ ÓÒ ÓÖÑ Ñ ÖÓ Ñ º Ì Ñ ÖÓ Ñ ÓÒ Ø Ó ÐÐ Ø Ø ÒÒÓØ ÙÖØ Ö Ó Ö Ò º Ì Ñ Ò Ø ÐÐÝ ÙÑ ØÓ ØÖ ÙØ ÑÓÒ Ø Ú Ð Ð ÔÖÓ ÓÖ º ÆÓØ ÐÐ Ó Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ØÓ ÓÐ ÒÝ Ñ ÖÓ ÐÐ º Ì Ô ÖØ Ó Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒµ Ø Ø Ð Ý ÔÖÓ ÓÖ ÒÙÑ Ö p ÐÐ T h,p Ò Ø Ô ÖØ Ó Ø ÓÑ Ò Ø Ø Ó Ø Û Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý Ω h,p Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ô ÖØ Ø ÓÒ T h,p Ò Ð Ó ØÓ ØÓÖ Ø ÑÑ Ø Ò ÓÖ Ó Ñ ÖÓ ÐÐ Ø Ø Ö ÒØ ØÓ ÓØ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ ØÓÖ ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì Ò ÓÖ Ö ÐÐ ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ñ ÖÓ ÐÐ Ó Ð Ú Ð ÓÒ º ÆÓØ Ø Ø ÓÖ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ý Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ÔÔÖÓ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ö Ø Ò ÓÖ Ù ÒØº ÙÖ º ÓÛ Ø Ñ Ó Ø ÙÒ Ø ÐÐ Ò R Ø Ø ÓÐ ÓÒ ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÓÒ Ø Ð Ø Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ø Ñ Ñ ÓÛÒ Ø Ø ØÖ ÙØ ÑÓÒ Ø Ö ÔÖÓ ÓÖ º Ì ÐÙ ÐÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÐÐ ÖÓÑ ÓØ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ø ØÓÖ Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ö Ý Ó ÐÐ ÓÒ ØÖÙØ Û Ø Ø Ñ ÖÓ ÐÐ Ø ÖÓÓØ ÐÐº ÁÒ Ø Û Ö ÐÐ Ö ÒØ ÖÓÑ ÓÒ ÔÖÓ ØÓ ÒÓØ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò ÐÓ Ð Ò Ò º µ Ò ÖÝ Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ö ØÓÓ ÑÙ ØÛ Ò Ø ÔÖÓ ÓÖ Ø Ò Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÐ ØÖ Û Ø Ø Ñ ÖÓ ÐÐ ÖÓÓØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ö ÔÖÓ º Ï Ò Ö Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ó Ö Ò Ò Ô Ö ÓÖÑ ÓÑ Û Ö Ò Ø Ö Ö Ý Ó Ñ ÖÓ ÐÐ Ó ÔÖÓ p Ø Ø Ô ÖØ Ó Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ó ÔÖÓ q Ø Ò ÔÖÓ p Ò ØÓ Ò ÓÖÑ ÔÖÓ q ÓÙØ Ø Ò Û ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ñ ÖÓ ÐÐº

151 º º È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ ½ ½ ÙÖ º ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ñ ÒØÓ Ø Ö Ô ÖØ Ò Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ó Ð Ú Ð ÓÒ º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ì Ô Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ý Ø ÄÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ù Ò ÔØ Ö Ò Ô ÐÐÝ Ò Ë Ø ÓÒ º¾º ÁÒ Ø Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ö ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Ø Ä Ñ Ø Ó Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ ØÛ Ò Ö Ø Ò ÓÖ Ò ÐÐ Ò ÖÝº Ì Ö ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÓÒÐÝ ØÓ ØÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ô ÖØ Ø ÓÒ º Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô Ò Ø Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ ÖÓ ÐÐ Ö Ö Ý ØÓÖ ÓÖ ÑÔÐ ØÝº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ø Û Ø Ø ÄÓ Ð ¹ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ò ÓÒ Ø Ø Ò ÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý Ì Ø Ø Ø ÓÙÒ Ö Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ü Ò ØÛ Ò ÔÖÓ ÓÖ Ù Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÅÈÁ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒº Ë Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ù Ø Ò ÓÚ ÖÐ Ô Û Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø ÒÒ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ð Ö Ô ÖØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒµº ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ø ÖÓÙÒ Ý Ø Ý Ø Ñº Ï Ò ÐÐ Ò ÖÝ Ø Ò Ö Ú ÖÓÑ Ò ÓÖ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Ó Ø Û Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÙÒ Ö Ò ÓÒ Ø Ñ ÐÐ Ô ÖØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒµº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÒÓØ Ý u h,p Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ó Ø Û Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ T h,p º º Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø ÓÑ Ò Ω h,p º Ì ÐÓ Ð Ô ÖØ Ó Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÒÓØ Ý L h,p,k º Í Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÓÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ö ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò m Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ú Ö ÓÒº ÔÖÓ p Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò

152 ½ ¾ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ Ð ÓÖ Ø Ñ º º½ È Ö ÐÐ Ð Å Ø Ó µ Ø u 0 h,p = u h,p(,t) ÓÖ k =,...,m { ÓÖ q = 0,...,n parts, q p { p Ò q Ö ÒØ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ò Ò Ø Ô ÖØ Ó (u 0 h,p,... uk h,p ) Ø Ø Ö Ó Ø Û Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ ØÓ ÔÖÓ q Ù Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ } } ÓÑÔÙØ Ø Ô ÖØ Ó L h,p,k [(u0 h,... uk h )] Ù Ò Ô Ý Ð ÙÜ f k i Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ g k ÓÖ Û ÓÒÐÝ Ø ÒÒ Ö Ø Ò ÖÝ Û Ø ÙÒØ Ð ÐÐ Ò ÖÝ Ø ÖÓÑ Ò ÓÖ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ö Ú ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ó L h,p,k [(u0 h,...uk h )] Ø u k h,p = L h,p,k [(u0 h,...uk h )] Ø L m h,p [u h(,t)] = u m h,p º ÁÒ Ø ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ n parts ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ»ÔÖÓ ÓÖ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØº ÆÓØ Ø Ø Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÒÓÒÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÖÓ ÙØ Ò Ð Ó ÒÐÙ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñº È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ö Ò ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÐÚ Ö Ì Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ó Ø Ó ÑÓÖ ÓÖ Ð ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ì ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ø ÜÔÐ Ø Ò ÑÔÐ Ø Ç ÓÐÚ Ö ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÐÚ Ö Ò Ð Ò Ö ÓÐÚ Ö º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý Ö Ø ÐÓ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ»ÔÖÓ ÓÖµ Ö ÙÐØ ÓÑÔÙØ Ò ÓÒ Ø ÐÓ Ð Ö ÙÐØ Ö Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ø ÐÓ Ð Ö ÙÐØ Ý Ù Ò ÐÓ Ð Ö ÙØ ÓÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ý Ø Å È Ò ÁÒØ Ö º Ç ÓÐÚ Ö Ò ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ñ Ø Ô Þ º ÜÔÐ Ø ÓÐÚ Ö Ò ØÓ Ó Ø ÓÖ Ø Ð ØÝ Ö ÓÒ Ò ÑÔÐ Ø ÓÐÚ Ö Ò ØÓ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ôº Í Ù ÐÐÝ Ø ÓÒ Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ Ø Ô ÐÓ ÐÐÝ ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ Ý Ù Ð Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÒ º Ì Ò Ð Ø Ô ÓÒ Ý ÐÐ Ò Ø ÅÈÁ ÐÓ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ø Ó ÅÈÁ ÐÐÖ Ù º º º ÅÈÁ ÅÁÆµº Ä Ò Ö Ò ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÐÚ Ö Ò ØÓ ÓÑÔÙØ ÓØ ÔÖÓ ÙØ º Ä Ò Ö ÓÐÚ Ö Ù Ù ÐÐÝ Ò Ø Ô ÖØ Ó Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ò ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÐÚ Ö ÓÖ ØÓÔÔ Ò Ö Ø Ö ÓÒº ÓØ ÔÖÓ ÙØ Ö ÓÑÔÙØ ÐÓ ÐÐÝ ÓÖ Ô ÖØ Ø ÓÒº Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ý Ù Ð Ò Ø ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÒ º Ò Ø ÐÓ Ð Ö ÙØ ÓÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ý ÅÈÁº Ì Ñ Ø Ó ØÓ ÐÐ Ò Ø ÅÈÁ ÐÐÖ Ù º º º ÅÈÁ ËÍÅµº ÆÓØ Ø Ø ÓÑÔÙØ Ò ÓØ ÔÖÓ ÙØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ö ÒØ ÖÓÑ Ø Ö Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù ØÓ

153 º º ÄÇ Ä Æ ÁÆ ½ ÖÓÙÒ Ó ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ù Ù ÐÐÝ Ö ÓÖ Ö º Ì Ò Ö ÙÐØ Ò Ð ØÐÝ Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ö ÓÐÚ Ö º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÓØ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ËÓÑ Ó Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÒØ Ö ÓÖ ÖÖÓÖ Ò ØÓÖ Ö ÒÓØ Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ð Ö ÓÖ ÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÓÖ º Ì Ö ÓÖ Û ÓÑ Ø Øº Ì Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º Ð Ó ÒÓØ Ù Ö º Ì Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ØÓ ÑÔÐÝ Ü Ò ØÛ Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ º Ì ÔÖÓ Ò Ù Ø ÓÒ Ð ÔØ ÓÒ Ò ÓØ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ º Ì Ù Ø ÔÖÓ ØÓ Ø Ö Ø ÙÒØ Ð ÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ò º º ÄÓ Ð Ò Ò ÄÓ Ð Ò Ò Ø Ò ÕÙ ØÓ ØÖ ÙØ ÛÓÖ ØÛ Ò Ø Ú Ð Ð ÔÖÓ ÓÖ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÔØ Ñ Þ Ò Ö ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ º ÁÒ Ø Û Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ÓÖ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ØÓÓ ÑÙ ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ Ð Ñ ÔØ ÓÒ Ø ÐÓ ÑÙ Ø Ð Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø º º Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ Ó Ø Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÐ º Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Øº Ì ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö ØÛ Ò Ö ÒØ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ñ Ò Ñ Þ º Ø Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Øº Ì Ü Ò Ó Ô ÖØ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÙÐ ÒÓØ ØÓÓ ÜÔ Ò Ú º ÓÖ ÔÙÖÔÓ Ó Ø Ö Ø Ø Ñ Û Ò Û Ø ØÓ Ø Ñ ÖÓ ÐÐ Ó Ø Ñ Û Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÙÒØ Ó Ð ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ö Ö Ý Ó Ø Ñ ÖÓ ÐÐº Ì ÓÒ Ø Ñ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ý Ò Ò Û Ø ØÓ Ø ÒØ Ö Ó Ø Ñ ÖÓ ÐÐ Û Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛ Ò ØÛÓ ÒØ Ñ ÖÓ ÐÐ º Ò ÓÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ñ ÖÓ Ñ Ø Ö Ô Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÖÝ È ÖÅ Ø ½¾½ Ù º Ì Ö Ô Ø Ø Ö Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÖÓ Ñ ÓÒÚ ÖØ ÒØÓ È ÖÅ Ø ³ Ø ØÖÙØÙÖ º Ì ØÖÙØÙÖ Ò Ó Ô Ö ÐÐ Ð ËÊ Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ Ø Ø È ÖÅ Ø ÓÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð º Ì È ÖÅ Ø Ð Ö ÖÝ ÔÖÓÚ Ø Ñ Ø Ó È ÖØÃÛ Ý º º º µ Ò ÔØ Ú Ê Ô ÖØ º º º µº Ì ÓÖÑ Ö Ñ Ø Ó Ù ÓÖ Ò Ø Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ð ØØ Ö Ù ÓÖ Ö Ô ÖØ ¹ Ø ÓÒ Ò º Ì Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÔÖ ÖÚ ÑÙ Ó Ø Ò Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ñ ÔÓ Ð Ò ÓÖ Ö ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Øº Ì ÓÙØÔÙØ Ó ÓØ È ÖÅ Ø Ñ Ø Ó ÐÓ Ð Ô ÖØ ÖÖ Ý Û Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û ÒÓ Ó Ø Ö Ô ØÓ ÒØ ØÓ Û ÔÖÓ ÓÖ º º Û Ñ ÖÓ ÐÐ ØÓ ÒØ ØÓ Û Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÓÖ¹ Ö ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ò Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Øº È ÖÅ Ø ÔÖÓÚ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø ÔÓ Ð ØÝ ØÓ Ò Ò Ú Ù Ð Û Ø ØÓ Ø Ô ÖØ ¹ Ø ÓÒ Ù Ò Ø ØÔÛ Ø ÖÖ Ýº Ì Ò Ù ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø ÐÓ Ð Ò Ò Ò Ø¹

154 ½ À ÈÌ Ê º Å ËÀ ÈÌÁÇÆ Æ È Ê ÄÄ ÄÁ ÌÁÇÆ ÖÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ º º Ò ØÛÓÖ Ó Ñ Ò Û Ø Ö ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÓÛ Öº

155 ÔØ Ö ÆÙÑ Ö Ð Ê ÙÐØ Ï ÔÔÐÝ Ø Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ Ò ÔØ Ö Ò ÓÑ ÓØ Ö Ø Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔØ Öº ÐÐ Ø Ø Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø Ö ÓÖ Ö ¹ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ ÓØ ÖÑ Ð ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØµ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ Ù Ò ÔØ Ö º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Û Ô Ö ÓÖÑ ÐÓØ Ó Ö ÒØ Ø Ø Ø Ø Ö Ø ØÓ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ú ÓÖ Ó ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ø Û Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ñ Ò ÓÒ º Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ú ÓÖ Ó ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ó Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð Ú Ò Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð º Ø ÒÝ Ó Ø Ù ÒÙÑ Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ô¹ Ø ÓÒº Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ú ÓÖ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ó Ð¹ Ð Ø Ò Ù Ð ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ð º ÁÒ Ø ÓÚ Ð Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ñ Ò Ø Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ú ÓÖ Ó ÓÐÙØ ÓÒ º À Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÒÓ Ô Ý Ð Ø Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ú Ð Ð ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ð Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÑÙÐ Ø Ý Ø ÆËÃ ÑÓ Ð Ë Ø ÓÒ ¾º½¼º º½ Ì Ø ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ì Ö Ø Ø Ø Ò Ø ÔØ Ö Ø Ø Ø Û Ø Ø Ø Ø Ù Ð Ò ØÛÓ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ º Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ù Ø ÔÖÓ Ð Û Ú ÓÑÔÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º½º Ï ÓÑÔ Ö Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º ÓÖ Ö ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ñ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÓÖ Ø Ñ Ø ÔÔ Ò Û ÔÔÐÝ Ø ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì ØØ Ò Ø Ñ Ò ÔØ Ö Ü ÔØ ÓÖ Ø ÓÑ Ò Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÑÔÓ Ò Ø Ø Ø Ö ¾º ½µ ½

156 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË Ò ¾º µ Ø Ø Ò ÓÖ ¼ Ö ÓÒØ Ø Ò Ð Ó Ø ÒØ Ö Ø Ø ÓÙÒ ÖÝº ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒØ Ö ÓÙÐ ÒÓØ ØÓÙ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ò Ø Ó Ø ÓÙÐ ÒÓØ Ñ Ö Ò Û Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µ Ö ÔÐ Ý Ø ÑÓÖ Ò Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µº Ì Ö Ñ Ò Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ø Ô ÐÐ Ö ØÝ Ó ÒØ λ Û ÑÙ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ò ØÝ ÔÖÓ Ð Ò Ø Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ø Ò Ó Ò Ö ØÖ Ö ÐÝº ÀÓÛ Ú Ö Û Ù Ø Ú ÐÙ Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÒ º¾º λ = 0.00, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε. ËØ Ø Ù Ð Ò ¾ ÙÖ º½ ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ù Ð Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ¾ º ÙÖ º½ ÓÛ Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ω = B (0) R Ó Ø Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ó ÓÙÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÐÐ Ø Ñ t 0 Ò Ø º Ì Ò ØÝ Ú ÐÙ Ú ÖÝ ØÛ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ 0.3 ÐÙ µ Ò.8 Ö µº Ì ØÛÓ Ú ÐÙ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ø Å ÜÛ ÐÐ Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ref = 0.85º Ì ÔÐ Ý ØÝÐ Ù Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÔØ Öº ÓÖ Ø Ø Ø Û Ù ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ö ÙÐ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ó Ö ÒØ Ñ Þ º ÇÒ Ó Ø Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ º½º ÙÖ º¾ Ò Ì Ð º½ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ Û Ø Ø ÜÔ Ø ÓÖ Ö Û ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÔÐÙ ÓÒ µ ÓÖ p =,,3º Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ø Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò Ì Ð º½ Ò ÙÖ º¾º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ö ÒÓØ Ù ÙÐ Ù Ø Ñ Û ÒÓØ Ò ÒÓÙ Ø Û Ø ÓÖ p = µ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û ÑÔÐÝ ØÓ ÜÔ Ò Ú ØÓ Ò Ò Ö ÓÒ Ð Ø Ñ Ò Ø Ó p = 3 ÓÖ Ø Ò Ñ µ Ø Ö ÙÐØ Ö Ñ Ö Û Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ì Ð º½º

157 º½º Ì ËÌ Ë ËÌ ÌÁ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ ½ Ô ½ Ô ¾ Ô L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ¾º½¾ ¹¼½ º ¾ ¾ ¹¼¾ º½ ¹¼¾ ½º ½½ ¹¼½ º¼ ¹¼¾ ¾º ¾ ¹¼¾ ¾º½ ½º¼ ¾ ¹¼¾ º ¼ º ¼ ¹¼¾ º½½ ¹¼¾ ¾º º ½ ¹¼ º ¾º ½¼ ¹¼ º º¾ ¼ ¹¼¾ ½º ½ ¹¼¾ ¾º º¼ ¹¼ ½º ¾ º¼¼ ¾ ¹¼ º ½ º¾ ¹¼¾ º ¹¼ ½º ¼ º¾¼ ¹¼ º ½º½¾¾¾ ¹¼ ¾º ¾º ¼¾ ¹¼¾ º ½ ¹¼ ½º ¾º ¼ ¹¼ º½ ¾º½ ¹¼ º ¾ ½º ¼½ ¹¼¾ ½º ½½ ¹¼ ½º ¾ º ½ ¹¼ º½ º ¼ ½ ¹¼ º ½º¾ ¼ ¹¼¾ º ¼½ ¹¼ ½º ¾º½ ½¾ ¹¼ º¼ ½º ¼ ¹¼ º ¼ º ¹¼ º ¾ ¾ ¹¼ ½º ¾ º ¼ ¼ ¹¼ º¼ º¾ ¼ ¹¼ º¾¼¾ º ½¼ ¹¼ ½º ¹¼ ½º ¾º¼¾ ¾ ¹¼ º¼½ º ¼ ¹¼ º ¼ ¹¼ ½º º½ ¹¼ º¼¼ Ì Ð º½ ËØ Ø Ù Ð Ò ¾ º ÌÓØ Ð L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ p =,,3º Ì ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,, ÓÒÚ Ö Ð ÖÐÝ Û Ø Ø ÜÔ Ø ÓÖ Ö p + º ÓÖ Ø ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ñ p = 3µ Ø Ö Ø Ñ Þ ÒÓØ Ò Ø ÝÑÔØÓØ Ö Ñ ÓÖ Ò Ø Ú ÖÝ Ð ÐÝ Ø Ö ÓÒµ Ø Ø Ñ Ø Ô Þ ÓÑ ØÓÓ Ð Ö ÔÓ Ð Ù Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒµ Ù Ø Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ØÖÓÝ Ø ÓÖ Öº L error 0.00 e 04 e 05 e 06 e h p=0 p= p= p=3 ÙÖ º¾ ËØ Ø Ù Ð Ò ¾ º Å Þ Ú Ö Ù L ÖÖÓÖ ÓÖ p = 0,,,3º ËØ Ø ¾ Ù Ð Ò Ï ÔÔÐÝ Ø ¾ Ø Ø ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ º Ì Ö ÓÖ Û Ø Ø Ö Ñ Ò Ò Ú ÐÓ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ ØÓ Þ ÖÓ Ò ÓÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ø ÝÐ Ò Ö Ω = B (0) [ 0.,0.] R 3 Û Ö B (0) ÒÓØ Ø ÙÒ Ø ÐÐ

158 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË Ò R º ÙÖ º ÓÛ Ø Ò Ø Ð Ø Ò Ò ÙÒ ÖÐÝ Ò Ø ØÖ Ö Ð Ñ ÓÖ Ø Ø Øº ÆÓÛ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ø Ø Ø ÓØØÓÑ Ò Ø Ø ØÓÔ Ó Ø ÝÐ Ò Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µ ÑÔÓ º ÙÖ º ËØ Ø ¾ Ù Ð Ò Ò Ø ØÖ Ö Ð Ñ º Ì Ö Ø Ó Ø ØØ Ò ÒØ Ð ØÓ Ø ØØ Ò Ò Ø ¾ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô º Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ö ÓÛÒ Ò ÙÖ º Ò Ì Ð º¾ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Þ ÖÓµ ÓÒ ØÛÓ Ò Ø Ö º L error 0.00 e 04 e 05 e h p=0 p= p= p=3 ÙÖ º ËØ Ø ¾ Ù Ð Ò º Å Þ Ú Ö Ù L ÖÖÓÖ ÓÖ p = 0,,,3º Ì Ñ Û Ø p =, Ñ ØÓ ÓÒÚ Ö Û Ø Ø ÜÔ Ø ÓÖ Ö p + ÙØ ÓÖ Ø Ñ Û Ø p = 0 Ò p = 3 Ø Ñ Ñ ØÓ ÒÓØ Ò ÒÓÙ Ù Ø Ø Ø Ñ Ò Ò Ø ÝÑÔØÓØ Ö Ñ º ÆÓØ Ø Ø Ø Ñ ÒÓØ Ò Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ d Ø Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò Ø Ø Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ö Ö ÐÐÝ ÜÔ Ò Ú Ö Ö Ð Ó Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒº

159 º¾º Ì ËÌ Ë ÌÊ Î ÄÁÆ Ï Î ËÇÄÍÌÁÇÆ ½ Ô ½ Ô ¾ Ô L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ¾º¼ ¹¼½ ¾º ¹¼¾ ¾º ¹¼¾ ½º ¼ ¹¼½ ¾º¾ ¹¼¾ º ¼ ¹¼ º ½º ¼ ¹¼ º º ¾¼ ¹¼¾ º½ ½ ¹¼ ½º¾ ¾ º ¹¼ ¾º¼ ¾º ¼ ¹¼ ¾º º½ ½¾ ¹¼¾ º¾¼ ¹¼ ¾º¼ ¾º ½ ¹¼ ¾º º ½ ¹¼ º½¾ ¾º ¾ ¹¼¾ ½º¾ ¹¼ ½º º ¾ ¹¼ º¼ ½ º¾½ ¹¼ º¾ ½º ¹¼¾ º ½¾¼ ¹¼ ½º ½º¾¼½ ¹¼ ¾º ¼ Ì Ð º¾ ËØ Ø ¾ Ù Ð Ò º ÌÓØ Ð L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ p =,,3º º¾ Ì Ø ÌÖ Ú Ð Ò Ï Ú ËÓÐÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ô Ö ÓÖÑ Ø Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Ò ØÛÓ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÖ Ú ÐÐÝ ÜØ Ò ØÓ ØÛÓ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ý ØØ Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ ØÓ Þ ÖÓº ½ Ø Ø Ò ÓÙÒ Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñ Ò ÐÐ Ø Ø ÕÙ ÔÔ Û Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ü ØÓ θ ref = 0.85º Ì Ý Ø Ñ Ö Ø Þ Ù Ò Ø Û ÐÐ Ð Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ ¹ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ØÛ Ò Þ ÖÓ Ò ÓÙÖº Ì Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ò ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ö ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ë Ø ÓÒ º º Ì Ø Ñ Ø Ô Ñ ÐÐ ÒÓÙ Ó ÓÖ Ö O(h ) Û Ö h ÒÓØ Ø Ñ Þ µ Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ù ÒØº ÆÓØ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Þ ÖÓ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ö Ù ØÓ Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ñ º ÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò ¾ ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ø Ò Ø Ø ÓÒ Û Ú Ó Ò Ø ÓÑÔÖ Ú Û Ú ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º¾º Ì ÔÖÓ Ð ÜØ Ò ØÓ ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ý ØØ Ò Ø ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ ØÓ Þ ÖÓ Ò Ù Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ï ÑÔÓ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÒÓÛÒ ÖÓÑ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ö Ú Ò Ý λ = 0.00, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε, s =.573. À Ö λ ÒÓØ Ø Ô ÐÐ Ö ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö µ Ò ν Ø Ó ÒØ Ó Ú Ó ØÝ Ò s Ø Ô Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð º Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÑÔÙØ ÙÔ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ T = 0.0º Ø Ø Ø Ñ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø ØÓØ Ðµ L ¹ ÖÖÓÖº ÐÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ù Ò ÒØ Ð Ñ Ò È ÒØ ÙÑ ¾º ÀÞ ÓÒ ÓÖ Ô Ö ÔÖÓ ÓÖµ Ò Ù Ò ÓÒÐÝ

160 ½ ¼ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË Ò Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ü ÙØ ÓÒ Ø Ñ º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ø ÒÒ Ð [,] [ 0.5,0.5] Ò Ø Ñ Ö ÙÐ Ö ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ö ¹ÖÓ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº L error e 04 e 05 e 06 p=0 p= e 07 p= p=3 p=4 e h ÙÖ º ÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò dº Å Þ Ú Ö Ù L ÖÖÓÖ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,,,3,4º ÙÖ º ÓÛ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖ Ö p = 0,,,3 ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ø Ü¹ Ô Ø ÓÖ Öº ÁÒ Ø ÙÖ Ø Ð Ð Ò Ò Ø Ø ÜÔ Ø ÓÖ Öº ÆÓØ Ø Ø Ø ÜÔ Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ñ p+º Ì Ð º ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ñ º Ì Ñ Û Ø p = 4 Ñ ØÓ Ú Ø Ñ Ú ÓÖ ÙØ ÓÒ ÐÓ Ö Ò Ô Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ ÒÓØ Ó ÓÖ Ö Ú º Ì Ù ØÓ Ø Ò Ù ÒØ ÓÖ Ö Ó Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ï ÔÔÐ ÓÒ ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ò Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ó ÓÖ Ö O(h )º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Ñ ÒÒÓØ ØØ Ö Ø Ò ÓÖ Ö ÓÙÖº p = p = p = 3 h L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ¾º ¼¼¼ ¹¼¾ ½º¾¾ ¹¼¾ º ¾ ¹¼ º½¾ ¹¼ ½º¾ ¼¼ ¹¼¾ º½ ¼ ¹¼ ½º º¼ ¼ ¹¼ ¾º ¾ º ¹¼ º ¾ º ¹¼ ½º ¾ ¹¼ ½º ½º ½ ½ ¹¼ ¾º ½º½½ ¹¼ º¼ º¾ ¼¼ ¹¼ º ½ ¹¼ ¾º¼¼ º ¹¼ º¾ ¼ º ¾ ¼ ¹¼ º ½¾ º¼¼¼¼ ¹¼ º½ ¹¼ ½º ½ º¼ ¹¼ º¼¼ ½º ¼¼ ¹¼ º ¼ º½ ¹¼ º ¹¼ ½º ¼ ½º ¹¼ ¾º º¾ ½ ¹¼ º ¼ º ½ ¹¼ ¾º ¾ ¾ ¹¼ ½º ½º½¼ ¹¼ ¾º ¾ º ¾ ¹¼ º º½¾ ¼ ¹¼ ¾º¼½ ¹¼ ½º º ½ ¹¼ ¾º ¾ ¾º ¾ ¹¼ º ¾ Ì Ð º ÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò dº L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ p =,,3º

161 º¾º Ì ËÌ Ë ÌÊ Î ÄÁÆ Ï Î ËÇÄÍÌÁÇÆ ½ ½ ÖÓÑ ÙÖ º Û Ò Ø Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ö ÓÖ Ö Ñ Ö ÐÐÝ Ð ØÓ ÑÓÖ ÒØ Ñ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÒØÐÝ ÑÓÓØ µº Ì ÙÖ ÓÛ Ø ÈÍ Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ù Ø ØÓØ Ðµ L ¹ ÖÖÓÖº Ý ÈÍ Ø Ñ Û Ñ Ò Ø Ø Ñ Ø ÔÖÓ ÓÒ ÙÑ º º Ø Ù Ö Ý Ø Ñ Ø Ñ ÓÒ ÍÆÁ Ý Ø Ñ º Ï Ò Ø Ø Ø Ñ Û Ø p = 3 Ò p = 4 Ö Ø ÑÓ Ø ÒØ Ñ º p=0 p= p= p=3 p=4 L error e 04 e 05 e 06 e 07 e CPU time [min] ÙÖ º ÈÍ Ø Ñ Ú Ö Ù L ÖÖÓÖ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,,,3,4º ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò ¾ ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ø ÓÒ Û Ö Ô Ø Ø Ø Ø ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô Û Ø Ò ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú ÓÒ ØÖÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Ò Ø Ó ÓÑÔÖ Ú Û Ú º Ò ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÑÓÖ ØÝÔ Ð ÓÖ ÔÖÓÔ Ø Ò Ô ÓÙÒ ¹ Ö Ò Ò ÒØ Ö Ù Ù ÐÐÝ ÔÖÓÔ Ø Û Ø Ù ÓÒ Ô º ÓÖ Ø ÕÙ Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø Ô Ö Ö Ô Ö Ð ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ö Ò ÓÑÐÝ Ô ÖØÙÖ µ ÙØ ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ò Ñ Ö Ù º ÇÒ Ó Ø Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ º º Ï ÓÑ Ø Ø Ñ Ò ÙÖ º Ê Ò ÓÑÐÝ Ô ÖØÙÖ Ñ Ò dº ÒÝ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ù Ø Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ò ØÓ Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓ ÓÖ Ò Ö ÒØ Ñ Ò Ø Ò ÖÝ Ù ØÓ Ø Ö ÒØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Û Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò Ñ Þ Ú ÖÝº

162 ½ ¾ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ÔÖÓ Ð Ö Ö ÒØ ÖÓÑ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø ÓÑÔÖ Ú Û Ú º Ì Ý Ö Ú Ò Ý λ = 0.00, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε, s = Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ T = 0.º Ø Ø Ø Ñ Ø ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ ØÛ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÑÔÙØ º Ô ½ Ô ¾ Ô L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ½º ½½ ¹¼½ º ¾ ¹¼¾ ½º½ ¹¼¾ º ¹¼ º ¾½ ¹¼¾ ½º½ ¹¼¾ ¾º ¼ º ¹¼ ¾º ½ º ½ ¹¼ º½ º¼ ¹¼¾ º¾ ¹¼ ½º¾ ½º¾ ½½ ¹¼ ¾º ½ ¾º¾ ¹¼ ¾º º¾ ¹¼¾ º ½ ¼ ¹¼ ½º º ½ ¹¼ ¾º ½ º¼¼½ ¹¼ º º½¾ ¹¼¾ ¾º¼ ¾ ¹¼ ½º ½º ½ ¹¼ ¾º ½º ¼ ¹¼ º¼ ¾º½¾¾ ¹¼¾ º½ ¹¼ ¾º½ º ¾ ¹¼ º¼ º ¹¼ º¼ ½ ½º ¾ ¹¼¾ º ¼¼ ¹¼ ½º ¾¾ ½º ¼ ¹¼ ¾º ¾ º ¹¼ º ¼ ½º¼ ¹¼¾ ¾º¼ ¼ ¹¼ ¾º¾ ¼ º¾½ ¹¼ º¾ ¾º¼ ¾ ¹¼ º½ Ì Ð º ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò ¾ º ÌÓØ Ð L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ p =,,3º L error 0.00 e 04 e 05 e 06 e 07 e h p=0 p= p= p=3 ÙÖ º ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò d ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,,,3º Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ø ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º Ò Ì Ð º ÓÖ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,,,3 Ò ÓÒ ÓÖ Ö ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÓÖ Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒº ÙÖ º ÓÛ Ø Ö Ô Ó Ù Ò ØÝ ÔÖÓ Ð ÓÐÓÖ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ó ÓÛÒµ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð ÓÖ p = Ø Ø Ñ T = 0.º

163 º¾º Ì ËÌ Ë ÌÊ Î ÄÁÆ Ï Î ËÇÄÍÌÁÇÆ ½ ÙÖ º ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò ¾ º Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ð º ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò Ï ÜØ Ò Ø ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô ØÖ Ú ÐÐÝ ØÓ Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ Ý ØØ Ò Ø Ø ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ ØÓ Þ ÖÓº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÓÖ Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø Ø ÒÒ Ð Ω = (,) ( 0.5,0.5) R 3 Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ý Ö ÙÐ Ö ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ø ØÖ Ö Ð Ñ Ó Ö ÒØ Þ º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ T = 0.º Ø Ø Ø Ñ Ø ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÑÔÙØ º Ò Û ÓÑ Ø Ø Ñ Ò ÒÝ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ø Ñ Ò Ø ¾ Û Ø Ø ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú ÓÖ º ÙÖ º½¼ ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò º Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÙÔÔ Ö Ô ØÙÖ µ Ò Ø Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ñ Ö Ý Ö ÒØ ÓÐÓÖ ÐÓÛ Ö Ô ØÙÖ µº Ì Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ø ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,,,3 Ö ÓÛÒ Ò Ì Ð º Ò ÙÖ º½½º Ì ÓÒÚ Ö Ò Û Ø Ø ÜÔ Ø ÓÖ Ö Ò Ð ÖÐÝ Ò ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ö Ñ p =,µº Ì Ø Ø Û Ø Ø ØÛÓ Ò Ø Ñ Û ØÓÓ ÜÔ Ò Ú ÓÖ Ø ÓÙÖØ ÓÖ Ö p = 3µ Ñ º

164 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË Ô ½ Ô ¾ Ô L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ¾º ¾¼ ¹¼½ º¾ ¼ ¹¼¾ ½º ¼ ¹¼¾ º ½ ¹¼ ½º ¾ ¹¼½ ¾º ¹¼¾ ½º º ¾¼ ¹¼ ½º ¼¾ º ½ ¹¼ ½º¾ ½º½ ¼ ¹¼½ ½º ¼ ¹¼¾ ½º ½ º ¹¼ ¾º ¼ ½º ¾ ¹¼ º½ º¼½¾ ¹¼¾ º ¹¼ ½º¾ ¼ ½º ½¼ ¹¼ ¾º ½ º ¼ ¹¼ ¾º¾ º ¼ ½ ¹¼¾ º ¹¼ ½º ¾ º¼ ¼ ¹¼ ½º ½º½¾ ¹¼ º ½ º ¾ ¹¼¾ ¾º ¹¼ ¾º¼¼¼ ¾º ¹¼ º¼ º½½¼¾ ¹¼ º ¾º ¹¼¾ ½º¾ ¼ ¹¼ ½º º½ ¹¼ ¾º ¼ ¾º¼¼¼¼ ¹¼¾ º ¾ ¹¼ ½º º ¹¼ º¼½ Ì Ð º ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò º ÌÓØ Ð L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ p =,,3º L error 0.00 e 04 e 05 h 0. p=0 p= p= p=3 ÙÖ º½½ ÍÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú Ò 3d ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,,,3º º Ì Ø ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ì Ø Ø Ø ÔÖÓÔÓ Ò Ë Ø ÓÒ º Ò Ø ØØ Ò Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ò ÔØ Ö ÙØ ÒÓØ Ø Ñ º Ì Ó ÒØ λ Ó Ò ÙÒ Ö Ø Ñ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ø Ò ÔØ Ö º Ì Ö ÙÐØ Ò Ò Ø Ò Ø Ñ Ñ ÐÐ Ö ÒØ Ö Ò Ð Ó Ø ÑÓÙÒØ Ó ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ò Ø Ñ Ñ ÐÐ Öº Ì Ð ØÓ ÐÓÛ Ö ÝÒ Ñ Ù ÓÖ Ó Ø Û Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ö ÑÙ Û Öº Ù ØÓ Ø Ñ ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò ÖÝ ØÓ ÔÔÐÝ ÐÓ Ð Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ù Ò Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö η low = 0.5, η upp = 4.0 η low, m = 8, Û Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö m ÓÒØÖÓÐ Ø Ð Ý Ö Ó Ò ÐÐ ÖÓÙÒ Ø ÒØ Ö Ò Ø ÐÓ

165 º º Ì ËÌ Ë ÌÇÏ Ê Ë ËÌ ÌÁ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ ½ Ð Ò Ò Ô Ö ÓÖÑ Ú ÖÝ ¼Ø Ø Ñ Ø Ôº Ì ÓØ ÖÑ Ð ÆËÃ¹ Ý Ø Ñ Ö Ø Þ Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ØÞ ÙÒØ ÓÒ Ó Ö ØÛÓ Ò Ø Ö º ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÒ Ø ÓÚ Ú Ò Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖ Ó ÒÓØ ÔÖÓÚ Ò ÒÓÙ Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö º Ì Ö ÙÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Ð Ú ÓÖ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ø Ö Ú Ò Ý θ ref = 0.85, Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ï¹ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø, λ =.0 0 5, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε. 0.0 p = p = e 04 p = p = e 06 E e 04 Ekin e 08 e 0 e 05 e e 4 e t e t ÙÖ º½¾ Ì Ø ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = Ò p = 3º ÌÓØ Ð Ò Ò Ø Ò Ö Ý ÓÖ ÙÖ º½¾ ÓÛ Ø Ú ÓÖ Ó Ø ØÓØ Ð Ò Ò Ø Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÓÖ Ø ØÛÓ Û ÐÐ Ð Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ØÛÓ Ò Ø Ö º ÓÒ Ø ÒØ Ò ØÓ Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ù Ø Ø Ø Ò ÔÐ Ý ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ Ð º Ì ØÓØ Ð Ò Ö Ý E Ò ÐÑÓ Ø Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ñ Û Ø Ñ ÐÐ Ó ÐÐ Ø ÓÒ º Ì Ñ Ø Ð ÒÓØ Ò Ù Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ø Ú ÓÖº Ì Ø Ó ÖÚ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ñ Ò ÔØ Ö º Ì Ó ÐÐ Ø ÓÒ Û Ò Ó ÖÚ Ò Ø Ö Ô Ó Ø Ò Ö Ý Ö Ñ ÒÐÝ Ù Ý Ø L ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ º Ï Ú Ó ÖÚ Ø Ø Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ú Ò Û Ò ÐÓ Ð Ñ ÔØ ÓÒ ÒÓØ ÔÔÐ º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ ÔÓ Ð Ò Ø Ó Ú ÖÝ Ñ ÐÐ ÒØ Ö º Å Ý ÑÓÖ ÓÒÚ Ò ÒØ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ó Ò ØÓ Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ö Ý Ýº Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÙÖ ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ý ÓÒÚ Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÙÔ ØÓ ÖÓÙÒ Ó ÖÖÓÖµ ØÓ Þ ÖÓ Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº Ì Ñ Ö Ò ØÓ ÔÖ ÖÚ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ú Ð ÙØ Ø ÒÓØ Ð Ö Ø Ø Û Ñ ÐÐ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ð Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÚ Ö ØÓ ÓÑ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Òº Ì Ò Ð ÖÐÝ Ò ÖÓÑ Ø Ú ÓÖ Ó Ø Ò Ø Ò Ö Ýº

166 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÙÖ º½ ÓÛ ÕÙ Ò Ó Ü Ø Ñ Ø Ô Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ø t = 0.0 ØÓ Ø Ò ÖÐÝµ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ t = 40.0º Ì Ö Ø ÐÐ ÓÑ ÑÓÚ Ñ ÒØ Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ ÙØ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ø Ò Ø Ð Ö Ù Ð Ò Ø ÒØ Ö Ó Ø ÓÑ Ò Ò ÐÑÓ Ø Ô Ö Ð Ô º Ì ÙÖ ÓÛ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ØÝ Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ t = 0.0, 7.0, 7.85, 3.07, 4.6, 40.0 ÖÓÑ ÙÔÔ Ö Ð Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ö Øµ ÓÖ Ø Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ p = µº ÐÓÛ Ø Ò ØÝ¹Ú ÐÓ ØÝ Ô ØÙÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò Ñ Û Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ù ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÛÒº Ó Ø Ø ÓÐÓÖ Ö ÔÖ ÒØ ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒº ÙÖ º½ Ì Ø ÌÓÛ Ö ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ò ØÝ Ú ÐÓ ØÝ Ò Ø ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò Ñ Û Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ º t = 0.0, 7.0, 7.85, 3.07, 4.6, 40.0 ÖÓÑ ÙÔÔ Ö Ð Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ö Øº

167 º º ÌÀ Æ ÇÊ ÊÌÁ Á Á Ä ÎÁË ÇËÁÌ ½ º Ì Æ ÓÖ ÖØ Ð Î Ó ØÝ Ì Ø Ø ÓÛ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ð ÖØ Ð Ú Ó ØÝ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ë Ø ÓÒ º¾ ¹ Ô ÐÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÐÐÝ Ò ÖÝ ØÓ Ø Ð Þ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ð Ø ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ö Ø Þ Ø ÓÒµº Ì Ø Ø Û Ø Ø ÓÑÔÖ Ú ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º¾ ÔÔÐ ØÓ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓØ ÖÑ Ð ÆËÃ Ý Ø Ñ Ö Ø Þ Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ò Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Û Ø Ø Ö Ò Ø Ø Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ø Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö α º µ Ø ØÓ Þ ÖÓº Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÑÔÙØ ÙÔ ØÓ Ø Ñ T = 0. ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ½ Ö º Ì Ð º ÓÛ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ú ÓÖ Ó Ø ØÛÓ Ø Ø Û Ø Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ñ ÓÒ Û Ø Ò Ø ÓØ Ö Û Ø ÓÙØ ÖØ Ð Ú Ó ØÝº Ì ÖÖÓÖ Ö ÒÓØ Ò Ø ÝÑÔØÓØ Ö Ñ ÓÖ Ø Ù Ñ Þ ÙØ Ø Ò Ò Ø Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ Ø Ð Þ Ø Ò Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ñ Ø Ð Ø ÒÓØ Ò Ø Ø Ø µº Ì Ö ÙÐØ Ö ÒØ Ò Ø Ó Ö ÓÖ Ö Ñ Ò Ò ÐÓÛº α > 0 α = 0 L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ½º¼¼¼¼ ¹¼½ ¾º ¾ ¹¼½ º¼ ¹¼½ º ¾ ¹¼¾ ½º ¼ ¹¼½ ¼º ½º ¹¼½ ¼º º ¼ ¹¼¾ º ¹¼¾ ½º º¼ ¾ ¹¼¾ ½º ¾º¼ ½ ¹¼¾ ½º ¾ ¹¼¾ ¾º¼ ½º ¼ ¹¼¾ ¾º ¾ ½º¾½¾½ ¹¼¾ º ¹¼ ½º ¼ º ¹¼ ¾º º½ ¹¼ º¼¼ ¹¼ ¼º ¾º ½ ¹¼ ½º ½ º¾ ¹¼ º ¼ ¹¼ ¼º ½º ½¼ ¹¼ ½º½ Ì Ð º ÌÖ Ú Ð Ò Û Ú Ò ½ ½ Ø ÓÖ Ö Ñ º ÌÓØ Ð L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ð Øµ Ò Û Ø ÓÙØ Ö Øµº Ì Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ø Û Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÒ ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ò ÓÙÒ Ò Ì Ð º º ÐÑÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö ÓÒÚ Ö Ò Ò Ó ÖÚ ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝº Ì Ñ Û Ø ÓÙØ ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÙÖ º½ Ð ÖÐÝ ÓÛ Ø ÙÒ Ø Ð Ú ÓÖ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ñ ÔÖÓ Ù Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ò ØÝ Ó Ø Ô ÓÙÒ ÖÝº Ì Ñ Ø Ø ÒÐÙ ÖØ Ð Ú Ó ØÝ ÒÓØ ÓÛÒµ Ó ÒÓØ ÓÛ Ø Ú ÓÖ Ø ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ö ÙÐØ Û Ò Ø Ø Ü ÔØ ÓÖ Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ñ ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ò ÖÝ ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ñ ØÓ ÔÖÓ Ù ÕÙ Ò Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÒ¹ Ú Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ º Ç ÓÙÖ Ò Ø Ó Ø ÜÔÐ Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó ÖØ Ð Ú Ó ØÝ ÒÓØ Ö Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ ÓÙÐ Ð Ó ÔÓ Ð º

168 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË α > 0 α = 0 L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ½º¼¼¼¼ ¹¼½ ½º¼ ½¼ ¹¼½ ½º ¾ ¹¼½ º½ ¾ ¹¼¾ º ¾ ¹¼¾ ¾º½ ½º ¼½¾ ¹¼½ ¼º º½¾ ¾ ¹¼¾ º ½¼ ¹¼¾ ¼º ½º½ ¹¼½ ¼º º ¼ ¹¼¾ ½º ½ ¹¼¾ ¾º¾ º¼¼½¼ ¹¼¾ ¾º¼ ¾º ¹¼¾ º½ ½ ¹¼ ¾º¾ º½½ ¹¼¾ ½º ½º ¾ ½ ¹¼¾ º ¹¼ ¾º½ ¾º ¹¼¾ ¼º ¾ ½º ¹¼¾ ¾º¼ ¹¼ ¾º ¾ ¾º ½ ¹¼¾ ¼º¾ ¼ ½º¼¼¼¼ ¹¼¾ ½º¾ ¹¼ ½º º¼ ¹¼¾ ¹¼º ¼¾ Ì Ð º ÌÖ Ú Ð Ò Û Ú Ò ½ ¾Ò ÓÖ Ö ¹ Ñ º ÌÓØ Ð L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÖØ Ð Ú Ó ØÝ Ð Øµ Ò Û Ø ÓÙØ Ö Øµº.5 approx exact ρ 0.5 zoom x ÙÖ º½ ÌÖ Ú Ð Ò Û Ú Ò ½ ¾Ò ÓÖ Ö ¹ Ñ Û Ø ÓÙØ ÖØ Ð Ú Ó ØÝº Ò ØÝ ÔÖÓ Ð ÓÖ Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ T = 0.º º Ö ÒØ ÓÒØ Ø Ò Ð ÁÒ Ø Ø Ø Û ÑÔÓ Ö ÒØ ÓÒØ Ø Ò Ð ÓÖ Ø ÒØ Ö Ø ÓÐ Û ÐÐ Ý ÑÓ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ð ϕ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º µº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÓÖ Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ö»Ù [,] n n =,3 Ô ÖØ Ø ÓÒ Ý Ò ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò ØÖ ¹ Ò ÙÐ Ö»Ø ØÖ Ö Ð Ñ º ÁÒ Ø ÐÐÝ Ù Ð Û Ø ¼ Ö ÓÒØ Ø Ò Ð ØØ ØÓ Ø ÓØØÓÑ Û ÐÐ Û Ø Þ ÖÓ Ú ÐÓ ØÝ Ð ÙÖ º½ ÓÛ Ø Ò Ø Ð Ø Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ º Ì Ñ Ò Ø Ø Ü ÔØ ÓÖ ÓÒØ Ø Ò Ð Ó ¼ Ö µ Ø Ò ¹ Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒÓØ ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÔÖ Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ñ ÒÓØ ØÓ Ð ØÓ Ò Ø Ð Ø Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝ Ø ÓÒØ Ø Ò Ð Ö Û Ø Ø ÑÔÓ ÓÒ Ø ÓÒ º Ò Û ÓÓ Ø Ñ Ò ÓÒÐ ÓØ ÖÑ Ð Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Û Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ref = 0.85º ÓÖ Ø Ø Ø Û ÓÓ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö ÒØ Ö Ò Ø Ø Ø ÓÖ º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ö ÒØ Ò ØÛÓ Ò Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÒ º

169 º º Á Ê ÆÌ ÇÆÌ Ì Æ Ä Ë ½ Ì Ö ÓÖ Ø Ù Ô ÐÐ Ö ØÝ Ò Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ð Ø Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¾ Ò Ô Ö Ö Ô ÐÓÛº Ì Ö Ø Ó Ø ØØ Ò Ø Ñ Ö Ö Ð Ó Ø Ô Ñ Ò ÓÒº Ì Ñ Ö ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ¹ Ö ¾µ Û Ø ¾Ò ÓÖ Ö ÑÔÐ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒº Ï ÓÑÔÙØ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÙÔ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ T = 50.0º Ì ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ò ÒØ ÐÐÝ ÖÓÑ Ø Ø Ñ Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð ÐÓ ØÓ Þ ÖÓº Ì ÓÑÔÐ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÐÐ ÒØ Ö ÓÒÐÝ ÔÓ Ð Ý Ù Ò ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò Ñ º ÓÖ Ø ØÖ Ò Ó Ø ÒØ Ö Û Ù Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º º½¼µ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö η low = 0.8, η upp = 4.0 η low, m = 8, Ò Ø ÐÓ Ð Ò Ò Ô Ö ÓÖÑ Ú ÖÝ ¼Ø Ø Ñ Ø Ôº Ì ÓÙÐ ÓÒ Ð Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ù Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ò Ö Ô ÐÝ Ò Ø Ø Ø º ÙÖ º½ Ë Ñ Ò Ø Ð Ø ÓÖ Ö ÒØ ÓÒØ Ø Ò Ð º Ö ÒØ ÓÒØ Ø Ò Ð Ò ¾ Ì Ô ÐÐ Ö ØÝ Ò Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø Ö Ú Ò Ý λ =.0 0 5, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε. Ì ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ Ù Ò ØÛÓ ÔÖÓ ÓÖ º Ì Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÐÐ ÓÚ Ö Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÛÒ Ò ÙÖ º½ ÓÖ Ø Ø Ö ÓÒØ Ø Ò Ð ϕ = 0.5π, 0.5π, 0.75π Ø Ø Ñ T = 50.0º ÓÒØ Ø Ò Ð Ó ½ Ö Ò ÓÖ Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø Ø Ô ÐÐ Ö ØÝ Ò Ú Ó ØÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ò Ð ØÐÝ Ð Ö Ö ÓÖ ØÛÓ Ö ÓÒ Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ØØ Ö ÔÐ Ý Ó Ø Ö ÙÐØ º Ì Ô ¹

170 ½ ¼ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÙÖ º½ Ö ÒØ ÓÒØ Ø Ò Ð Ò dº ϕ = 0.5π, 0.5π, 0.75π ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Øº Ö Ñ Ø Ö Ö Ú Ò Ý λ =.5 0 4, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε. ÇÒÐÝ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Û Ø Ò Ù Ø ÓÒØ Ø Ò Ð Ó ϕ = 0.75π Ù Ò ½ ÔÖÓ ÓÖ Ò Ô Ö ÐÐ Ðº Ì Ö ÙÐØ Ø Ø Ñ T = 50.0 ÓÛÒ Ò ÙÖ º½ º Ì ÙÖ ÓÛ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ØÝ ÓÒ ØÛÓ Ð ÔÔ Ò ÔÐ Ò Û Ø z = 0 Ò y = 0 Û Ö x,y,z ÒÓØ Ø Ô Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø º Ø ÓÒ ÐÐÝ Ð Ú Ð Ø Ó Ù Ð ÓÛÒº ÙÖ º½ ÓÒØ Ø Ò Ð Ó ½ Ö Ò 3dº

171 º º ÁÅÈÄÁ ÁÌ Î ÊËÍË ÈÄÁ ÁÌ ÌÁÅ ËÌ ÈÈÁÆ ½ ½ º ÁÑÔÐ Ø Ú Ö Ù ÜÔÐ Ø Ì Ñ ËØ ÔÔ Ò Ï Ø Ø Ø ÒÝ Ó ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò Ú Ö Ù ÜÔÐ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ð Ø Ø Ò ÖÝ ÓÖ ÜÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ø Ó º Ì Ø Ñ Ò Ö ÓÒ ÓÖ Ù Ò ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÒÝ Ø ÓÒ ÓÒ º Ë Ò Ø Ö ÒÓ ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ò Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ò Ø ÜÔÐ Ø Û Ú ØÓ ÙÖ ÓÙØ Ñ ÒÙ ÐÐÝ Ý Ù Ú ÐÝ ÐÓÛ Ö Ò µ Û Ø Ñ Ø Ô Þ Ú Ø Ð Ñ º ÁØ Ù Ö ÒØ Ø Ø ÓÖ ÛÓÖ Ò Ø Ñ Ø Ô Þ Ú Ô Ö ÒØ Ð Ö Ö Ø Ñ Ø Ô Þ ÓÛ Ò ÙÒ Ø Ð Ú ÓÖº ÓÖ Ø Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ØÓ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó Ò Ø Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ø Ñ Ô ÓÖ ÐÐ Ø Ñ tº Ì Ù Ø ÑÓ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ô Þ ÓÖ ÑÔÐ Ø Ñ Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð ÔÓ Ð Ø Ñ Ø Ô ÓÖ ÜÔÐ Ø Ñ Ö Ñ Ò ÐÑÓ Ø Ø Ñ ÓÖ ÐÐ Ø Ñ tº Ï Ú Ó Ò ÓØ Ø Ø Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ù Ò Ö ÒØ Ñ Þ Ò Ö Ò Ø ÓÖ Ö Û ÐÐ Ð Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ p =,3µ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ô º Ì ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÐÑÓ Ø Ø Ñ Ò Ë Ø ÓÒ º½ Ò º¾º ÁÒ ÓØ ÓÒ ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ö ÔÔÐ ÓÖ Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒº ÁÒ Ø ÜÔÐ Ø Ø ÌÎ ¾ Ñ Ð Ó ÒÓÛÒ À ÙÒ Ñ µ Ù Ò Ò Ø ÑÔÐ Ø Ø Ö Ò ¹Æ ÓÐ ÓÒ Ñ Ò ÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÅÊ Ë ½ µ Ð Ò Ö ÓÐÚ Ö ÔÔÐ º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ö ÖÙÒ Ù Ò ÕÙ Ò Ó Ù Ú ÐÝ ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ü ÙØ ÓÒ Ø Ñ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ ØÓÖØ Ò Ø Ö ÙÐØ Ý Ø ÓÚ Ö Ó Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ø Û Ö ÖÙÒ ÓÒ Ò Ð ÔÖÓ ÓÖ Å Ø ÐÓÒ ½º ÀÞµº ÌÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ø Û Ø Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ð Ø Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò¹ ÓÒ º Ï Ú Ó Ò Ü ØÐÝ Ø Ñ ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú Û Ú ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º¾º Ë Ò Ú ÖÝØ Ò Ò ÑÓÚ Ñ ÒØ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÙÐ Ø Ö Ö Ø Ø ÓÖ Ø ÑÔÐ Ø Ñ º Ì Ö Ø Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ü ØÐÝ Ø Ñ Ò Ë Ø ÓÒ º¾º Ì ÓÑ¹ ÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ Û Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÑÔ Ö ØÓ ÓØ Ö T = 0.0º Ì Ó Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÖÓÙ ÙØ Ö ÙÐ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒÒ Ðº Ì Ñ Ù ÕÙ ÒØÐÝ Ö Ò ÓÖ ÙÖØ Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ú Ñ Ó Ø Ñ ÕÙ Ð ØÝº Ì Ð º ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÕÙ Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ñ ÙÔÔ Ö Ô ÖØ Ó Ø Ø Ð µ Ò Ø Ø ÓÖ Ö Ñ ÐÓÛ Ö Ô ÖØµº ÓÖ Ø ÑÔÐ Ø Ò ÜÔÐ Ø Ø ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ø Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ØÓ Ò Ò Ø Ø Ñ Ø Ô Þ Ö ÓÛÒº Ì Ø Ñ Ø Ô Þ ÓÖ Ø ÜÔÐ Ø Ñ Ö Ü Û Ö Ø Þ Ó Ø Ø Ñ Ø Ô Ò Ø ÑÔÐ Ø Ñ Ú Ö Ò Ø Ú Ò Þ Ò Ø Ø Ð Ò ÓÒ Ö Ñ Ò Ú ÐÙ º Ì ÖÖÓÖ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ý Ø ÑÔÐ Ø Ò ÜÔÐ Ø Ñ Ö ÓÑÔ Ö Ð Ø Ú Ò Ñ Þ º Ï Ø Ø Ø ÑÔÐ Ø Ñ Ö Ø Ö ÓÒ Ø Ò Ö Ñ Ò ÓÖ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö

172 ½ ¾ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË p = ÑÔÐ Ø ÜÔÐ Ø L ÖÖÓÖ Ì Ñ t L ÖÖÓÖ Ì Ñ t º ¹¾ ¾º ¹ º¾ º¼ ¹ ¾º ¼ ¹ ½º ¾º¼ ¹ ¾º ¹¾ ¾º ¹ º ¾º¼ ¹ ¾º ¹ ½º ¾º ¹ ½º ¹¾ º ¹ º º ¹ º ¹ º¾ º½ ¹ º¾¾ ¹ º½ ¹ ½¼ º º ¹ º½ ¹ ½ ¾ º º ¹ p = 3 ÑÔÐ Ø ÜÔÐ Ø L ÖÖÓÖ Ì Ñ t L ÖÖÓÖ Ì Ñ t º ¹¾ º¾ ¼ ¹ ½ º º ¹ º¾ ¹ ½¼º¼ º¼ ¹ ¾º ¹¾ º ¾ ¹ ¾¼½º º¼ ¹ º ½ ¹ ¾½ º º¼ ¹ ½º ¹¾ ¾º ½ ¹ ¼ º½ ½º ¹ ¾º ¹ ½¾¾º¼ º ¹ º¾¾ ¹ ½º ½¼ ¹ ¼¼ º¼ ¾º ¹ ½º ½ ¹ ½ ¾¼ º º¼ ¹ Ì Ð º ÁÑÔÐ Ø Ú Ö Ù ÜÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò º ÌÖ Ú Ð Ò Û Ú Ò d Ö ÓÖ Ö Ñ ÙÔÔ Ö Ø Ð µ Ò ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ñ ÐÓÛ Ö Ø Ð µº Ò ÖÐÝ ÙÔ ØÓ Ø Ö Ø Ñ ÓÒ Ø Ò Ø Ñ ÓÖ Ø Ø ÓÖ Ö Ñ µº ÇÒ Ø Ó Ö Ø Ñ Ø ÜÔÐ Ø Ñ Ö Ø Ö ÙØ Ö Ø ÒØ Ö ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÓÐÚ Ù Ø Ø Ø Ñ ÒÓØ Ù Ð Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÆÓØ Ø Ø Ò ÖÝ Ø Ñ Ø Ô Þ ÓÒØÖÓÐ Û Ð Ó Ø Ñ ÓÒ ÙÑ Ò ÒÓØ ÒÐÙ Ò Ø ÜÔÐ Ø Ñ Ò Ø Ö ÒÓ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ñ Ø Ô Þ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ð º ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ì ÓÒ Ø Ø Û Ø Ø Ø Ø Ù Ð Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ù Ü ØÐÝ Ø Ñ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ë Ø ÓÒ º½º À Ö ÓÒÐÝ Ø Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ ÔÔÐ º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù Ù Ú ÐÝ Ö Ò Ñ Ò Ø ÖÖÓÖ Ö ÓÑ¹ ÔÙØ Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ T =.0º p = ÑÔÐ Ø ÜÔÐ Ø L ÖÖÓÖ Ì Ñ t L ÖÖÓÖ Ì Ñ t º ¾ ¹¾ ¾º ½ ¹ ½¼ º º¼ ¹ ¾º ½ ¹ ½ º ½º ¹ ¾º ¹¾ ¾º¼ ¹ ¾½½ º½ º¼ ¹ ¾º¼ ¹ ½½º¾ ½º ¹ ½º ¹¾ ¾º ½ ¹ ¼º ½º ¹ ¾º ½ ¹ ¾¾ ½ ½º¾ ¾º½ ¹ Ì Ð º ÁÑÔÐ Ø Ú Ö Ù ÜÔÐ Ø Ø Ñ Ø ÔÔ Ò º ËØ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò d Ö ÓÖ Ö Ñ º Ì Ð º ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ò Û Ø Ø Ø ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ù Ý Ø ÑÔÐ Ø Ò ÜÔÐ Ø Ñ Ø Ú Ò Ñ Þ Ö ÓÑÔ Ö Ð Ò Ø Ø Ø ÑÔÐ Ø Ñ Ø Ö ÓÒ Ø Ò Ö Ñ Ý ØÓÖ º ÓÖ Ø Ò Ø Ñ µº ÁØ Ò Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÑÔÐ Ø Ñ ÓÑ ÑÙ Ø Ö Ø Ø Ò Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ø ÔÖÓÚ Ý L ¹ÔÖÓ Ø ÓÒ ÒÓØ Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÙØ Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÔÖÓ ÙÖ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº

173 º º ÈÌÁÎ Á Á Æ ½ º ÔØ Ú ÒÝ Ì Ø Ø Û ÐÐ ÓÛ Ø Ò Ò ÒÝ Ø Ø ÐÓ Ð Ñ ÔØ ÓÒ Ò Ú º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ø ÓÒÐÝ Ø ÔØ Ú ÒÝ Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ø ÓÙÐ ÖÙÒ ÓÒ Ò Ð ÔÖÓ ÓÖ ÓÒÐÝ Å Ø ÐÓÒ ½º ÀÞµº ÔØ Ú Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÑÔÐÓÝ ØÓ Ö ÓÐÚ Ñ ÐÐ Ù ÒØ Ö Ò ØÓ Ö Ù Ø ÖÖÓÖ ØÛ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ï ÓÑÔ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ÓÒ ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ Ò ÓÒ ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò Ò Ó Ö Ò Ñ º ÓÖ Ö Ø Ø Û Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ô Ò º ÓÖ Ø Ø Ø Û Ú Ó Ò Ò ÙÒ ÖÓÑÔÖ Ú ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ë Ø ÓÒ º¾ Ò ØÖ Ú ÐÐÝ ÜØ Ò ØÓ ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ º Ì Ó Ò ÔÖÓ Ð Ð ØØÐ Ø ÖÔ Ö Ø Ò Ø Ø Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Ù Ø Ø ÓÑ Ð Ú Ð Ó Ö Ò Ñ ÒØ Ö Ò ÖÝ ØÓ Ö ÓÐÚ Ø ÒØ Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø Û Ú Ö λ = 0.000, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε, s = Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ú Ò Ö Ï Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Û Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ref = 0.85º Ì ÓÑ Ò Ø ÒÒ Ð Ω = [,] [ 0.,0.] Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÑÔÙØ ÙÔ ØÓ Ø Ñ T =.0º Ø Ø Ø Ñ Ø ØÓØ Ð L ¹ ÖÖÓÖ Ö ÓÑÔ Ö º Ï Ù Ø ÖÓÙ Ñ ÖÓ Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ º½ º ÙÖ º½ Å ÖÓ Ö Ó Ø d ÒÒ Ðº ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Ù ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ Ø Ñ ÖÓ Ñ Ö Ò Ø Ö ÓÖ ÓÙÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ò Ø Ð Ø L ¹ÔÖÓ Ø ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò Ø Ð¹ Ñ ÒØ Ô º Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ø Ö ÒÓØ Ý ÒÓÒ ÔØ µ Ò ÒÓÒ ÔØ µ Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ì ÔØ Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º º½¼µ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö η low = 0.5, η upp = 4.0 η low, m = 3 ÓÖ m = 8, Û Ö m ÓÒØÖÓÐ Ø Þ Ó Ø Ð Ý Ö Ó Ò ÐÐ ÖÓÙÒ Ø ÒØ Ö º Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÙ Ð ØÓ Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ö Ú ÐÙ Ú Ñ ÐÐ Ö ÖÖÓÖ Ò ÑÓÖ ÖÓ Ù Ø Ñ º Ì Ø Ø Ö ÒÓØ Ý ÔØ µ Ò ÔØ µº Ì Ò Ø Ð Ñ Ó Ò Ù Ø Ø Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖ Ó ÒÓØ Ñ Ö ÒÝ ÐÐ ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ò Ò ÔÔÐ ØÓ Ø L ¹ÔÖÓ Ø Ú ÐÙ º

174 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÁÒ ÓØ ÔØ Ú Ò ÒÓÒ ÔØ Ú Ì Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ö Ø Þ Ý Ø Û ÐÐ Ð Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ñ Ó ÓÖ Ö Ø Ö Ò ÓÙÖº ÁÒ ÓØ Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ò ¹Æ ÓÐ ÓÒ Ñ ÔÔÐ ÓÖ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒº Ð Ò Ö ÓÐÚ Ö Ø ÅÊ Ë ÓÐÚ Ö Û Ø Ø Ñ ÃÖÝÐÓÚ Ô Ñ Ò ÓÒ 5 Ù Ò ÐÐ º Ì Ø L ¹ ÖÖÓÖ Ì Ñ ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ ÔØ µ ½º ¹ ½ º ÔØ µ ½º ¼¼¾ ¹ ½ ¼¼º ½ ÒÓÒ ÔØ µ ½º ¾ ¹¾ º ½¾ ¼ ÒÓÒ ÔØ µ ½º ¹ ¾¾º½ ½¾¼ Ì Ø L ¹ ÖÖÓÖ Ì Ñ ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ ÔØ µ º¾ ½¾ ¹ ½ º ÔØ µ º½ ½ ¹ ½ º ½ ÒÓÒ ÔØ µ º ¾ ¹ ¾ ½ º ½¾ ¼ ÒÓÒ ÔØ µ º¾ ¹ ½ ½º ½¾¼ Ì Ð º½¼ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÔØ Ú Ò ÒÓÒ ÔØ Ú Ø Ö ÓÖ Ö ÙÔÔ Ö Ø Ð µ Ò ÓÙÖØ ÓÖ Ö ÐÓÛ Ö Ø Ð µ Ñ º Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò Ø Ð º½¼º Ì Ø Ø Û Ø Ø ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ Ù Ü ÒÙÑ Ö Ó Ñ ÐÐ º Ì ÒÙÑ Ö Ö ÓÛÒ Ò Ø Ø Ð º ÁÒ Ø ÔØ Ú Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ Ò Ú ÖÝ ÙØ ÒÓØ Ò ÒØÐÝµ ÙÖ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø ÒÙÑ Ö ÓÛÒ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ø Ò Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ì ÒÓÒ ÔØ µ Ø Ø Ú Ø Ñ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ø ÔØ Ú Ø Ø Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒÓÒ ÔØ µ Ø Ø ÒÓØ Ø Ø Ò Û Ö ÙÐØ Ò Ð Ö Ö ÖÖÓÖº ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ò Ø ÓÖ Ö Ñ Ø Ø Ø ÔØ µ Ö ½½¹½ Ø Ñ Ø Ö Ø Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒÓÒ ÔØ µ Ø Ø Ø ÓÑÔ Ö Ð ÖÖÓÖº Ì Ò ÒØ Ô ÙÔ Ó Ø ÔØ Ú Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ØÓÖ ÓÑ Ú Ò ÑÓÖ Ò ÒØ Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÒØ Ö º Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Ú ÖÝ Ñ ÐÐ ÒØ Ö ÒÒÓØ Ö ÓÐÚ Ý ÙÒ ÓÖÑ Ò Ñ Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ì Ù ÔØ Ú Ñ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ò ØÓÖÝº ÙÖ º½ ÓÛ Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò Ñ Ú ÐÓ ØÝ Ð ÓÑ ØØ µ Ó Ø ÔØ µ Ø Ø Ù Ò Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò ¹ Ö Ø Þ Ø ÓÒº º È Ö ÐÐ Ð ÒÝ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ø Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ó ÔÔÐ ØÓ Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û Ý Ø Ñº Ï Ú Ó Ò ØÛÓ Ö ÒØ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ØØ Ò ÓÖ Ø Ø Ø ÓØ Ñ ÐÐ ÒÓÙ ØÓ Ø ÓÒ Ò Ð ÔÖÓ ÓÖº Ç ÓÙÖ Ð Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÛ ÑÙ ØØ Ö Ð Ò ÙØ Ø ÒØ ÒØ ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ ÓÛ Ð Ó Ø Ð Ñ Ø Ó Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒº Æ Ú ÖØ Ð Ú Ò ÓÖ Ø Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ

175 º º È Ê ÄÄ Ä Á Á Æ ½ ÙÖ º½ Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÔØ Ú ÐÝ Ö Ò Ñ ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ø Ø ÔØ µ Ø Ø Ñ t = 0.0,0.5,0.5,0.75,.0 ÖÓÑ Ö Ø ØÓ Ð Ø Ô ØÙÖ º Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ú ÖÝ Û ÐÐ Ù Ø ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ï Ø Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ó Ô Ö ÐÐ Ð ÒÝ ÒÖ Û Ò Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ñ Ø Ó ÒÖ Ò Ø ÐÓ Ð ÛÓÖ ÐÓ ÓÑ Ö Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ð º ÐÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÒ Ö ÓÒ ÓÒ Ø ¼¼¼ ÐÙ Ø Ö Ø Ø ÓÑÔÙØ Ò ÒØ Ö Ó Ø ÙÒ Ú Ö ØÝ Ó Ã ÖÐ ÖÙ º Ì ÐÙ Ø Ö ÓÒ Ø Ó ¾º ÀÞ Ù Ð ÓÖ ÇÔØ ÖÓÒ ÔÖÓ ÓÖ Å ¹ÆÍÅ Ö Ø ØÙÖ µ ¾ Ù Ð ÓÖ ÈÍ Ô Ö ÒÓ Ò ÁÒ Ò Ò Ò ØÛÓÖ ÒØ ÖÓÒÒ Ø º ÓÖ ÓØ Ø Ø Û Ú Ó Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø 3d Ø Ø Ò Ë Ø ÓÒ º º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò Û ÓÒ Ö Ø ÓÑ Ò Ω = [,] 3 º Ì ÓÑ Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ Ñ ÖÓ Ñ Ó = Ñ ÖÓ ÐÐ º Ì Ö Ø Ø Ø Ù ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø Ñ ÖÓ Ñ º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö ÕÙ ÐÐÝ Û ÐÐ ØÖ ÙØ ÓÚ Ö Ø Ú Ð Ð ÔÖÓ ÓÖ Ø Ñ ÒÐÝ Ø Ø ÓÖ Ø Ô Ö¹ ÐÐ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø Ø Ö ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ó Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø ÓÒ ÓÖ Ö ÑÔÐ Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ø Ñ Ö Ø Þ Ø ÓÒº Ì ÓÒ Ø Ø Ù Ò Ô¹ Ø Ú ÐÝ Ö Ò Ñ º Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó Ø ÐÓ Ð Ò Ö Ð Ó Ø Ø Ò Ø Ü ÑÔÐ º ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ Ì ØØ Ò Ø Ñ ÓÖ Ø 3d ÓÒØ Ø Ò Ð Ü ÑÔÐ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º Ü ÔØ Ø Ø ÓÖ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ Ø Ù Ð ÒÓ ÓÒØ Ø ØÓ Ø Û ÐÐ Ò Ø Ù Ñ ÒÓØ Ò ÒÓÙ Ò Ø º Ì Ñ ÖÓ Ñ ØÛ ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Û Ö ÙÐØ Ò º¼¼¼ ÐÐ º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ T = 0.º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ñ ÕÙ ÐÐÝ Û ÐÐ ØÖ ÙØ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ ÒÓØ Ò ÖÝ Ò Ø Ø Ø º Æ Ú ÖØ Ð ÐÓ Ð Ò Ò ÓÒ Ú ÖÝ ¼Ø Ø Ñ Ø Ô ÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ö ÙÐØ

176 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË np Ì Ñ ËÔ ÙÔ ØÓ np/ ËÔ ÙÔ ØÓ np = ½ ¼ º ¾ ¾¼º ¾º¼¼ ¾º¼¼ ½ º ½º º ½¼½ º¾ ½º º ½ ½½ º ¾ ½º ½ º ¾ ¾ ¾ º ½º ¾ º ½ º ½º ¾ º ¾ ½¾ ¼¾º ½ ½º ½¼ º ½ ¾ ¾º ½ ½º ¾¼ º ¾ ½¾ ½ ¼º ½ ½º ¼ ¾º ½¼¾ ½ º ½º ½º Ì Ð º½½ ËÔ ÙÔ ÓÖ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ º Ò Ð ØÐÝ ÑÓ Ñ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ó ÒÓØ ÙÖØ Ö ÐØ Ö Ø Ñ Ø Ö Û ÐÐ Ó Ø ÐÓ Ð Ò Ö Ò Ø Û Ø Ó Ø Ñ ÖÓ ÐÐ Ó ÒÓØ Ò º ÓÖ Ø ÕÙ Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓ¹ ÓÖ np Ú Ö ØÛ Ò,,4,...,04º Ï Ú Ñ ÙÖ Ø Ö Ð Ø Ñ Ò ÓÒ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ØÓ Ò º Ì Ð º½½ ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ñ Ò Ò Ø Ô ÙÔ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ø Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓ ÓÖ Ò ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Û ÖÙÒ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÓÒÐÝº Ì Ö ÙÐØ ÓÛ Ø Ø Ú Ò ÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ü ÑÔÐ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ù Ò ½¾ Ò Ñ Ý ½¼¾ ÔÖÓ ÓÖ ÔÔÖÓÔÖ Ø º Ï Ø ØÓÖ Ó.43 Ø Ô ÙÔ ÖÓÑ ½¾ ØÓ ½¼¾ ÔÖÓ ÓÖ ÒÒÓØ ÓÓ ÔÖ Ú ÓÙ Ô ÙÔ Ù ÓÒÐÝ º¼¼¼ Ñ ÖÓ ÐÐ Ú ØÓ ØÖ ÙØ ÓÚ Ö ½¼¾ ÔÖÓ ÓÖ Ò Ú Ò Û Ò Ø ÐÓ Ð Ò Ö ÔÖÓÚ Ø ÓÔØ Ñ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Û Ò Ò Ö Ð ÒÓØ ÔÓ Ð µ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÛÓÖ ÒÒÓØ ÕÙ ÐÐÝ ØÖ ÙØ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓÓ Ñ ÐÐº ÔØ Ú ÐÓ Ð Ò Ñ ÓÖ Ø Ø Ø Ø ØØ Ò ÒØ Ð ØÓ 3d ÓÒØ Ø Ò Ð Ü ÑÔÐ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º º Ì ÒÐÙ Ø ØØ Ò Ó Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖº Ë Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ó ÒÓØ Ø Ý Ø Ò ÓÖ ÓÒØ Ø Ò Ð Ø Ö ÑÓÚ Ñ ÒØ Ó Ø ÒØ Ö Û Ö ÕÙ Ö Ò ÔØ Ò Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ñ Ú ÖÝ Û Ø Ñ Ø Ô º Ì Ö ÓÖ ÐÓ Ð Ò Ò ÓÒ Ú ÖÝ ¼Ø Ø Ñ Ø Ôº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ T = 0. Û Ó ÓÙÖ ÒÓØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º Ò Ø ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ø Ò Ø Ø ÓÒ ÒÓØ ØÓ Ò Ö Ø Ù Ð Û Ø Ø ÓÖÖ Ø ÓÒØ Ø Ò Ð º Ì Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ü ÑÔÐ Û Ø º¼¼¼ Ñ ÖÓ ÐÐ Ù º Ì ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ¼º¼¼¼ ÐÐ º Ì Ö ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ò Û ÒÒÓØ ÜÔ Ø Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ò ÓÖ º Ì Ð º½¾ ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÕÙ Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù Ò np =,,4,...,56

177 º º Í Ä ÆË Å Ä Ë ½ ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓ ÓÖ º ÓÖ Ø Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒÓØ ÔÔÖÓÔÖ Ø ØÓ Ù ÑÓÖ Ø Ò ¾ ÓÖ ÔÖÓ ÓÖ º ÁÒ Ø Ó ÔÖÓ ÓÖ ÓÑ Ó Ø ÔÖÓ ÓÖ Û Ö ÒÓØ Ò ØÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ý ÒÓ ÛÓÖ º Í Ò ÑÓÖ ÔÖÓ ÓÖ ÛÓÖ Ò Ø ØÙ Ø ÓÒ ÐÓØº np Ì Ñ ËÔ ÙÔ ØÓ np/ ËÔ ÙÔ ØÓ np = ½ ¾ ¼ º½ ¾ ½ ¼ º¼ ½º ¾ ½º ¾ ½º ½º º ¼ º½ ½º º¼ ½ ½ ¾º ½º ½ º ¾ ½¼¾¾º¾ ½º ¾ º ½º ½º º ½¾ ¾¼º ½º º½ ¾ ¾ º¼ ½º º Ì Ð º½¾ ËÔ ÙÔ ÓÖ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ö Ò ÐÓ Ð Ò Ñ º Ö ÙÐØ Û Ò ÓÒÐÙ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ó Ò Ú ÖÝ Ø Ú Ò ÒØ Ú Ò ÓÖ Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ñ ÑÓÖÝ ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÒÓØ Ø ÓØØÐ Ò º Ì Ð Ó ÓÐ ÓÖ Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ú Ò ÓÖ ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÒÝº À Ö ÒÝ Ñ Ò ÖÙÒØ Ñ Ö Ù º º Ù Ð Ò Ñ Ð ÁÒ Ø Ó Ò Ð ÓÖ Û Ù Ð Û ÓÒ Ö Ø ÝÒ Ñ Ó Û ÓÐ Ù Ð Ò Ñ Ð Ò Ø Ø ÓÒº Ì ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖ Ø Ñ Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑÐÝ ØÖ ÙØ Ò Ñ Ð Ó ¾¼¼ Ù Ð Ò Ø ÓÑ Ò Ω = [,] R º Ì Ö Ù Ó Ø Ù Ð Ú ÖÝ Ö Ò ÓÑÐÝµ ØÛ Ò 0.0 Ò 0.06º Ì ÕÙ Ò Ó Ô ØÙÖ Ò ÙÖ º¾¼ ÓÛ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ú ÔÓÖ Ù Ð Ø Ø Ñ t = 0.0,0.,.0,4.0,5.0,00.0º Ì Ù Ð Ñ Ö Ò ÖÓÛ ÙÒØ Ð Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ð Ö Ù Ð Ð Øº Ì Ò Ð Ù Ð Ø Ý Ò Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÒØ Ö ¼ Ö ÓÒØ Ø Ò Ð Û Ø Ø ÓÒØ Ò Ö Û ÐÐº Ì Ú ÐÓ ØÝ Ð ÒÓØ ÓÛÒ Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ô ØÙÖ º ÙÖ º¾½ ÓÛ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÔÓÖ Ù Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ º Ì Ð Ø Ô ÖØ Ó Ø ÙÖ ÓÛ Ø Ý Ó Ù Ð Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð (0,50) Û Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó Ø Ö ÖÓÑ ¾¼¼ Ù Ð Ø t = 0 ØÓ ÓÒÐÝ ÓÒ Ù Ð Ø t = 50º Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÙÖ ÞÓÓÑ Ó Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð (0,5)º Ì ÒÙÑ Ö Ó Ù Ð Ö Ö Ô ÐÝ Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ý ÖÓÑ ¾¼¼ ØÓ ¼ Ó Ø ÙÖ Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð (0,) Ò Ð ÖÐÝ Òº

178 ½ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÙÖ º¾¼ Ù Ð Ò Ñ Ð Ò Ø ÐÐÝ Ö Ò ÓÑÐÝ ØÖ ÙØ º Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ t = 0.0,0.,.0,4.0,5.0, 00.0 ÖÓÑ ØÓÔ Ð Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ö Ø Ô ØÙÖ º # Bubbles 0 # Bubbles t t ÙÖ º¾½ Ù Ð Ò Ñ Ð º Ì Ñ Ú Ö Ù ÒÙÑ Ö Ó Ù Ð º Ì ÒÙÑ Ö Ó Ù Ð Ö ÓÙÒØ Ý ÓÙÒØ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒØ ÙÓÙ Ó Ø Ò Ø Ú ÔÓÖ Ô º º½¼ Ì Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÅÓ Ð Ì Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð ÓÒ¹ ØÖÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º½ Ð Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÆËÃ ÑÓ Ð º ½µ Û Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾º ¾µ Û Ò Ø Û ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ b Ø ØÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö ¹ Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÓØ Ø ÓÖ Ø ØÖ Ú Ð Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ù Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ð Ø ØÓ Ô Ö ÓÖÑ ÓÒÚ Ö¹ Ò Ø Ø Û Ø Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ö Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Ú Ö ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÆËÃ Ý Ø Ñ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º º º Ì ØØ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ë Ø ÓÒ º½º Ì Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø

179 º½¼º ÌÀ Ì ÅÈ Ê ÌÍÊ È Æ ÆÌ ÅÇ Ä ½ Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Ö Ø ØÓ Ø Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ ref = 0.85º Ì Ö Ñ Ò Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÑÓ Ð Ö Ø Ø Ô ØÝ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÚÓÐÙÑ c Ò Ø Ø ÓÒ ÙØ ÓÒ Ó ÒØ κº ÆÓØ Ø Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ó Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º ÁÒ Ø Ø Ø Û ÓÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö c = 6.6, κ = L error e 04 e 05 e h p=0 p= p= p=3 ÙÖ º¾¾ ËØ Ø Ù Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÆËÃ ÑÓ Ð Ò ¾ º Å Þ Ú Ö Ù L ÖÖÓÖ ÓÖ p = 0,,,3º Ô ½ Ô ¾ Ô L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç L ÖÖÓÖ Ç ¾º½¾ ¹¼½ ¾º ½ ¹¼½ ½º ½ ¹¼½ ½º½ ¾ ¹¼½ º ¹¼½ º ¹¼¾ ¾º ½ ¾º ¼ ¹¼¾ º¾ º¼ ¾ ¹¼¾ ½º ¾¾ ¹¼½ ½º ¼ ¾º½¼ ¹¼¾ ¾º½ º¾ ¹¼ ¾º º¾ ¹¼¾ º½ ¹¼¾ ¾º ¾ º ½ ¼ ¹¼ ¾º¼ º ¼ ¹¼ º ¾º ¹¼¾ ½º ½ ¹¼¾ ¾º¼ ½º ¹¼ ¾º ½º ¼¼ ¹¼ ¾º ¼¾ ½º ¹¼¾ º ¾ ¹¼ ¾º½ º ¹¼ º¼¼ ½º ¾ ¹¼ º º ¹¼ ½º ¹¼ ¾º¼ ½ º ¼ ¹¼ º½¼ ½º ¹¼ º¼ ¾ º ¾ ¹¼ º ¹¼ ¾º¼ ½º ¼ ¹¼ º½ Ì Ð º½ ËØ Ø Ù Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÆËÃ ÑÓ Ð Ò ¾ º ÌÓØ Ð L ÖÖÓÖ Ò Ç ÓÖ p =,,3º ÙÖ º¾¾ Ò Ì Ð º½ ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö p = 0,,,3º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ñ Ñ ØÓ ÒÓØ Ò Ø ÝÑÔØÓØ Ö Ñ ÓÖ Ø Ø Ø Ñ Þ Ø Ò Ò ÖÓÑ ÙÖ º¾¾µ Û Ö Ø Ö ÓÖ Ö Ñ Ú Ø ÜÔ Ø ÓÖ Ö p + º

180 ½ ¼ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË º½½ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ú ÔÓÖ Ø ÓÒ Ì ØØ Ò Ò Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø Ø Ù Ð ÓÖ ÖÓÔ Ò Ô Ö Ð ÝÐ Ò Ö Ò Ø ÐÐÝ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ = 0.85º ÓÖ t > 0 Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø ÓÐ Û ÐÐ Ó Ø ÓÒØ Ò Ö Ö ØÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ θ wall = 0.95 ÑÑ Ø ÐÝº Ì Ò Ø Ð Ø Ó Ò Ù Ø Ø Ò Ø ÐÐÝ Ø Ñ Ò Ò ØÝ Ð ØÛ Ò Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ θ = 0.85 Û Ñ Ø Ø Ð Ù Ð ÓÖ ÖÓÔ Ø Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ θ = 0.95 Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Û ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Ñ Ò Ò ØÝ Ð Ò Ø Ú ÔÓÖ ÓÖ Ð ÕÙ Ô Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÙØ ÒÓØ ØÛ Ò Ø Å ÜÛ ÐÐ Ø Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ θ = 0.95º Ì ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔÖÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ Û ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ÓÑ Ò Ω Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò ØÝº Ì Ö ÓÖ Ø Ù Ð ÓÖ Ø ÖÓÔ ÒÓØ Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ t Û Ö ÙÐØ Ò ÓÒ Ò Ò Ù Ð Ò Ò Ú ÔÓÖ Ø Ò ÖÓÔº Ø Ø Ò Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Ú ÔÓÖ ÓÖ Ð ÕÙ Ø Ø Ø t º ÙÖ º¾ ÓÒ Ò Ø Ò Ù Ð Ò Ô Ö Ð ÓÒØ Ò Öº Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ t = 0,50,50,450,850,0000 ÖÓÑ ØÓÔ Ð Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ö Ø Ô ØÙÖ º Ì ÑÓ Ð ÓÒ Ö Ò Ø Ø ÓÒ Ò Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò¹ ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Û Ø Ø Ñ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ë Ø ÓÒ º½¼º Ñ Ð Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û ÔÖÓÔÓ Ò º ÁÒ Ø ÛÓÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Û Ù ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ø Ý Ô Ö Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÖ ÐÐ Ø Ñ t 0º Ì ÙÑÔØ ÓÒ Ö ÙÐØ Ò Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÚ Ý Ö ÓÖ Ö Ò Ø Ö Ò Ñ º ÀÓÛ Ú Ö Ò ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö ÒØ Ö Ò Ö ¹ ÓÐÚ Ý Ø Ñ Ø Ò Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Ù Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ø Ö ÓÖ Û Ú ØÓ ÓÓ Ñ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Û Ø Ò Ú Ð Ö Ö ÒØ Ö Ø Ø Ò Ö ÓÐÚ µº

181 º½¾º ÇË ÁÄÄ ÌÁÆ Í Ä ½ ½ ÁÒ Ø Ù Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ø Ó Ø ÒÓ Ð Ö ÓÒº ÅÓ Ø Ó Ø Ô Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ý ØÓÖ Ó ÓÙØ Ø Ò ØÛ Ò Ø Ú ÔÓÖ Ò Ø Ð ÕÙ Ô º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓ Ü ØÓ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ò ØÛ Ò Ø Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø Ø º ÓÖ ÓÙÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ú Ó Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö º c phys L = m = K kg µ phys = Nm 5 Ns m Ö Ù Ó Ø ÓÑ Ò, Ø Ô ØÝ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÚÓÐÙÑ, Ú Ó ØÝ, κ phys = W mk Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ, σ phys = N m ÙÖ Ø Ò ÓÒ. Ì Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ö ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÒÐ Ö Ö Ò Ø ÑÔ Ö¹ ØÙÖ θ ref = 0.85 Ò Ò Ò ÓÙÒ Ò Ë Ø ÓÒ º¾º ÆÓØ Ø Ø ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø ØÛ Ò Ø Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø Ø Ú Ò Ó Òº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ø Ò Ú Ò Ý c = 6.63, µ = , ν = , λ = , κ = Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ø Ò Ý Ø Ô Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÖÓÑ ÓÚ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø Ð Ò Ú Ò Ò Ë Ø ÓÒ º½º ÁÒ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ò Ø Û ÓÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ñ ÐÐ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Û ÐÐ Ñ ÒÐÝ Ö Ú Ò Ý Ø ÓÒ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ù Ú ÖÝ ÐÓÛº Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ñ T = Ö ÐÐÝ Ð Ö ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÒÓØ ÔÓ Ð Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ò ÔØ Ð Ø Ñ Ö Ñ Û Ø Ø Ñ Ö Ù Ó ÓÑ Ò Ò º ÁÒ ÓÙÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ö Ù Ó Ø ÓÑ Ò Ø Ò Ø Ñ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ò º ÙÖ º¾ ÓÛ Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ò Ó Ò Ô ÓØ ÓÖ ÓÒ Ò Ø Ò Ù Ð Ø Ø Ñ t = 0,50,50,450,850, 0000 Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò ÙÖ º¾ º Ù Ù Ð Ø Ò ØÝ Ú Ö ØÛ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ 0.3 Ò.8º Ì Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú ÐÙ Ò Ø Ö Ò (0.85,0.95) Ú ÐÙ ØÛ Ò Ò Ø Ð Ò Û ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ò Ú ÔÓÖ Ø Ò ÖÓÔ ÓÛÒ Ò ÙÖ º¾ º Ì Ò Ô ÓØ Ö Ø Ò Ø Ø Ñ t = 0,500,500,500,300,0000 º½¾ Ç ÐÐ Ø Ò Ù Ð ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÒÚ Ø Ø Ø ÝÒ Ñ Ó Ò Ð Ô Ö Ð Ù Ð Ø Ø Ó ÐÐ Ø Ù ØÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ø Ø ÓÙÒ ÖÝº Ï ÓÑÔ Ö Ø Ö Ù Ó Ø

182 ½ ¾ À ÈÌ Ê º ÆÍÅ ÊÁ Ä Ê ËÍÄÌË ÙÖ º¾ ÓÒ Ò Ø Ò Ù Ð Ò Ô Ö Ð ÓÒØ Ò Öº Ì ÑÔ Ö ØÙÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ö Ò 0.85 ÐÙ µ ØÓ 0.95 Ö µ Ø Ø Ñ t = 0,50,50,450,850, 0000 ÖÓÑ ØÓÔ Ð Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ö Ø Ô ØÙÖ º Ù Ð Ú Ò Ý Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓØ ÖÑ Ð Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ Û Ø Ø ÔÖ Ø Ö Ù Ú Ò Ý Ø Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÓÖÑÙÐ º¾¾µ Ò Ø ÁÒÓÑÔÖ Ð ØÝ ÓÖÑÙÐ º¾ µº Ï ÒÒÓØ ÜÔ Ø Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÆËÃ ÑÓ Ð Ñ Ø Ü ØÐÝ Û Ø Ø Ö ÙÐØ Ú Ò Ý Ø ÓÖÑÙÐ Ò Ø Ð ÓÑÔÖ Ð ØÝ Ò Ñ ØÖ Ò Ö ÓÚ Ö Ø Ð ÕÙ ¹Ú ÔÓÖ ÒØ Ö Ö Ò Ð Ø º ÙØ Ø Ö Ö ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÙÐ Ù ØÓ ÔÖ Ø ÖØ Ò Ú ÓÖ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ð Ù Ð ÓÐÐ Ô º Ì Ê ÝÐ ¹ÈÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ Ù ØÓ ÔÖ Ø Ù Ú ÓÖº Ï ÓÒ Ö Ø ÓÑ Ò Ω = B L (0) R Û Ø L =.0º ÁÒ Ø Ó Ù Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u = 0 ÓÒ Ω Û ÑÙÐ Ø Ú Ö Ø Ò ÓÒØ Ò Ö Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u n = x(t), u τ = 0, ÓÒ Ω º½µ Û Ö n ÒÓØ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò τ Ø Ø Ò ÒØ ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ωº Ì Ú Ö Ø Ò ÓÒØ Ò Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ë Ø ÓÒ º º¾ Ö ÕÙ Ö Ø ÓÑÔÐ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÑÓÚ¹ Ò ÓÑ Òº ÌÓ ÚÓ Ø Û ÑÙÐ Ø Ø Ú Ö Ø Ò ÓÒØ Ò Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º½µ ÓÒ Ü ÓÑ Ò Û Ñ Ò Ø Ø Û Ú Ñ ØÖ Ò Ö ÓÚ Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÓÑ Òº ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ö Ò ØÛ Ò ÓØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÙÐ Ò Ð Ð ÐÓÒ Ø Ñ Ò Ó Ø Ñ Ò Ω ÓÚ Ö Ô Ö Ó Ó Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ò º Ì ÓÐ ÓÖ ÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ì ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ÃÓÖØ Û ÑÓ Ð ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø Ñ Ò

183 º½¾º ÇË ÁÄÄ ÌÁÆ Í Ä ½ ÙÖ º¾ Ú ÔÓÖ Ø Ò ÖÓÔ Ò Ô Ö Ð ÓÒØ Ò Öº Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ t = 0,500,500,500,300,0000 ÖÓÑ ØÓÔ Ð Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ö Ø Ô ØÙÖ º Ë Ø ÓÒ º ÒÐÙ Ò Ø ØØ Ò Ó Ø ÒØ Ö Ò ØÓÖ ÒÓØ ÓÛÒ ÐÓÛµ Ò Ñ ÐÝ θ ref = 0.85, λ =.0 0 5, ε = , µ = 3 4 ε, ν = ε. Ì Ò Ø Ð Ø Ú Ò Ý ÖÓØ Ø ÓÒ ÐÐÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÖ Òµ ÝÑÑ ØÖ Ø Ø Ù Ð Û Ø Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö Ù Ú ÔÓÖ Ò Ð ÕÙ Ò ØÝ Ø Ø Ú Ò Ý R eq = 0.345, ρ v = 0.308, ρ l = Ì Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ý Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º½µ ÑÔÓ Ý Ø ÙÒØ ÓÒ x(t) = cos(0.5 π t). º¾µ Ú Ò Ø Ò ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ t Ý Ø ÙÒØ ÓÒ ρ h Û ÓÑÔÙØ Ø Ö Ù Ó Ø Ú ÔÓÖ Ù Ð Ø Ø Ñ t Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ πr(t) = Ω η(x,t) dx, η(x,t) = { ρh (x,t), 0 Ð. ÆÓØ Ø Ø Ö Ø Ò ØÝ Ú ÐÙ Ø Ø Ö ÓÐ ÓÖ Ø Ú ÔÓÖ Ò ØÝ Ú ÐÙ º