( fn g) + = ( fn g) + (e) ε. f n (x n ) f n ( x n ) = ( f n g) + ( x n ) + ( f n g) ( x n ) ( f n g) + (Me) + g( x n ),

Transkript

1 ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ä ØØ ¹Ð ÈÖÓÔ ÖØ ÓÒ ÇÖ Ö ÆÓÖÑ ËÔ ÁËË ÊÌ ÌÁÇÆ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö ÓØÓÖ Ö ÖÙÑ Ò ØÙÖ Ð ÙÑ Öº Ö Öº Ò Øºµ ÚÓÖ Ð Ø Ö ÙÐØØ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØØ Ö Ò ÚÓÒ ÔÐÓÑÑ Ø Ñ Ø Ö ÁÒ Ó ÌÞ ÓÐØÞ ÓÖ Ò Ñ ½ º ÖÙ Ö ½ Ò Ä Ù ÑÑ Ö ÙØ Ø Ö ÈÖÓ ÓÖ Öº Å ÖØ Ò Êº Ï Ö ÈÖÓ ÓÖ Öº À º Å Ö Ò ÆÓÛ ÍÒ Ú Ö Ø Ö Ó ÒØ Öº ÇÒÒÓ Ú Ò Ò Ò Ö Ø Ñ Ì Ö ÔÙØ Ø ÓÒ ¾ º ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ½ º Å ¾¼¼

2

3 ÓÒØ ÒØ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ ½º½ ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÌÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º ÆÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º ÇÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º Ì ÒÓÖÑ Ù Ð Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º º º º º º º º º º ½ ¾ Ò Ö Ð Þ Å¹ÒÓÖÑ ½ ¾º½ Ź Ò Ä¹ÒÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ º º º º º º º º º ¾¼ ¾º ËÓÑ Ù Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ò Ö Ð Þ Ó ÒØÒ ½ º½ Ó ÒØÒ Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ó ÒØÒ ¹ Ø Ø Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÆÓÖÑ ÔÖ ¹Ê Þ Ô º½ ÜØ Ò Ò Ø ÒÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ä Ò Ö ÜØ Ò ÓÒ Ó Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ð º º º º º º º º Ì Û ØÓÔÓÐÓ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ö Ò ÁÒ Ü

4

5 ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Ð ØØ ÔÐ Ý Ò Ò ÒØ ÖÓÐ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º ÇÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ØØ ÔÖÓÔ ÖØÝ Û ÐÐ Ø Ð ØØ ÒÓÖÑ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ö ÕÙ Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÓ ØÙÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÙÐ ÐÐ Ý Û Ö Ò Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ú ØÓÖ Ô Ù L p Ô C(Ω) Ô c 0 Ò Ñ ÒÝ ÓØ Ö º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ö ÓÖ Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ø ÐÓ Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò ÓÖ Ö Ò ÒÓÖÑ ÐÐÓÛ Ô ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ø Ó Ô º Ò Ü ÑÔÐ Û Û ÒØ ØÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÙÒ ÓÖ ¹È ØØ ¹ÈÖÓÔ ÖØÝ ÓÖØ Èȵ Ó Å¹ Ô º ÒÓÖÑ Ô X ØÓ ÔÓ Ø ÙÒ ÓÖ ¹ È ØØ ¹ÈÖÓÔ ÖØÝ Û Ò Ú Ö f n (x n ) 0 ÓÐ ÓÖ Ô Ö Ó ÕÙ Ò (x n ) X Ò (f n ) X Ø Ø ÓÒÚ Ö Û ÐÝ ØÓ Þ ÖÓ Ò X Ò X Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÁÒ Ø Ò Ö Ð Ó ÒÓÖÑ Ô X Ø Ú ÖÝ ÙÐØ ØÓ Û Ø Ö X ÔÓ Ø ÈÈ º º ¼ µº Ì Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ö Ò ÒÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ó ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ Ñ Ý ÐÔ ØÓ Ò Û Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒº ½ Ì ÓÖ Ñ ½ ÖÓØ Ò µº Ú ÖÝ Å¹ Ô X Ø ÙÒ ÓÖ ¹È ØØ ¹ ÈÖÓÔ ÖØݺ Ú Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ò (x n ) Ò (f n ) ÓÚ Ø Ó Ø ÔÖÓÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ë Ò Ø ÓÒ Ù Ð Ô X Ó X Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Ø Ò Ø ÈÈ Ó X ÑÔÐÝ Ø ÈÈ Ó X Û Ñ Ý ÙÑ Ø Ø X Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Ø eº Ï Ü ÓÑ ε > 0 Ò Ø Ò Ð Ñ ÒØ g X + Ù Ø Ø ( fn g) + = ( fn g) + (e) ε. ½µ Ì ÕÙ Ò (x n ) Ò Ö ÐÝ ÒÓÖÑ ÓÙÒ º º x n Me ÓÐ ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö M Ò ÐÐ n ƺ Ì Ò Ø Ú ÐÙ Ó f n (x n ) Ò Ø Ñ Ø Ý f n (x n ) f n ( x n ) = ( f n g) + ( x n ) + ( f n g) ( x n ) ( f n g) + (Me) + g( x n ), ¾µ ½ Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ó Ø Ö ÔÖÓÓ Ö ÓÖ ÒØ ØÓÛ Ö ÓÑ Ö ¹ ÙÐØ Ò ÔÖÓÓ Ø Ø Ò ÓÙÒ Ò Ø ÓÒ ½ Ò Ø ÓÒ ½ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÖÓØ Ò Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ú Ò ÑÓÖ Ò Ñ ÐÝ Ø Ø Ð Ó Ä¹ Ô Ú Ø ÈȺ

6 Û Ö Ø Ö Ø ÙÑÑ Ò ( f n g) + (Me) ÓÙÒ Ý Mε ÕÙ Ø ÓÒ ½µµ Ò Ø ÓÒ g( x n ) Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ ÓÖ n Ò (x n ) ÓÒÚ Ö Û ÐÝ ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø Ð ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Å¹ Ô Ö Û ÐÝ ÕÙ ÒØ ÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ø Ò Ø ÔÖÓÓ º ÕÙ Ø ÓÒ ½µ Û ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ ¾µ Ñ ÙÐÐ Ù Ó Ø Ð ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ø Û Ú Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ò Å¹ Ô º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ð Ó Ø Ò ÜØ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ù Ö ÒØ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ð g X + Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½µ Ð Ð Ò Ð ØØ Ö ÙÐغ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä Ø S Ö Ð Ø Ú ÐÝ Û ÐÝ ÓÑÔ Ø Ù Ø Ó Ò Ð ØØ Xº Ì Ò ÓÖ ε > 0 Ò f X + Ø Ö Ü Ø ÓÑ y X + ÐÝ Ò Ò Ø Ð Ò Ö Ø Ý S Ù Ø Ø f (( x y) + ) ε ÓÐ ÓÖ ÐÐ x Ò Ø ÓÒÚ Ü ÓÐ ÙÐÐ Ó Sº ÓÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ú ØÓ Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ø S = {f n : n Æ} Ö Ð Ø Ú ÐÝ Û ÐÝ ÓÑÔ Ø Ò Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø e X Ò ÒØ Ò Ø Ò ØÙÖ Ð Û Ý Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð E Ò Ø ÓÒ Ù Ð X Û Ö ( f n g) + (e) Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½µ ØÓ Ö E (( f n g) + ) ÓÖ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ò Ö ÐÐÝ Ô Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò ÔÖÓÚ Ý ÔÔÐÝ Ò ØÛÓ ÙÖØ Ö Ò Ð ØØ Ö ÙÐØ º Ì Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ø Û Ò Ú Ö U X ÒÓÖÑ ÓÙÒ ÓÐ Ø Ò ÓÙÖ Ø ÓÐ ÙÐÐ Ó S Ò f X Ù Ø Ø f(x n ) 0 ÓÐ ÓÖ Ó ÒØ ÕÙ Ò (x n ) U Ø Ò ÓÖ ε > 0 Ø Ö Ü Ø ÓÑ y X + ÐÝ Ò Ò Ø Ð Ò Ö Ø Ý U Ù Ø Ø f (( x y) + ) ε ÓÐ ÓÖ ÐÐ x Sº Ì ÓÒ ÓÒ Ù Ö ÒØ Ø Ò ÖÝ ÔÖ ÙÔÔÓ Ø ÓÒ ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ö Ø Ö ÙÐØ Ì ÓÖ Ñ º Á S Ö Ð Ø Ú ÐÝ Û ÐÝ ÓÑÔ Ø Ù Ø Ó Ò Ð ØØ Ø Ò Ú ÖÝ Ó ÒØ ÕÙ Ò Ò Ø ÓÐ ÙÐÐ Ó S ÓÒÚ Ö Û ÐÝ ØÓ Þ ÖÓº Ï Û ÒØ ØÓ ØÓÔ Ð Ø Ò Ò Ð ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø ÔÓ Òغ Ø Ø Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÓÖ ¹È ØØ ¹ÈÖÓÔ ÖØÝ Ñ Ò Û Ø ÓÙØ ÒÝ ÓÖ Ö ØÖÙØÙÖ Û ÑÔ Þ Ø ÓÐÐÓÛ Ò º ÈÓ ÐÝ Ñ ÒÝ Ö ÙÐØ ÓÖÑÙÐ Ø Ò Ø Ö Ò Ð ØØ Ø ÓÖÝ Ù Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò Ì ÓÖ Ñ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø ÒÓÖÑ ÓÒ Ú ØÓÖ Ð ØØ X ØÓ Ð ØØ ÒÓÖÑ º º x y ÑÔÐ x y ÓÖ x,y Xº ÁÒ Ê Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ò ÓÐÙØ ÐÝ M¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ò Ò ÓÐÙØ ÐÝ M¹ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ Ö ÒØÖÓ Ù Û Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ ÔÖÓÑ Ò ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØØ ÒÓÖÑ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º ÁÒ Ã¼ Ø ÓÛÒ Ø Ø Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ó ÒØÒ Ò Ò Ö Ð Þ ÓÒ Û Ö Ò Ó ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô ÙÒ Ö Ö Ø ÒØ ÓÒ Ó Ñ ÒÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ó ÒØ Ð Ñ ÒØ Ø Ó ÒØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Øº Ø Ø Ö Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ò Ø Ú ØÓÖ Ð ØØ º ÁÒ Ñ Ð Ö Ñ ÒÒ Ö Ò Ñ ÐÝ Ý Ö ÔÐ Ò Ú

7 ÙÔÖ Ñ Ò Ò Ñ Ó Ò Ø Ø Ý Ø Ó ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÓÒ Ò ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ö Ð Þ ÑÓ ÙÐÙ Ó Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÓÐ Ò Ó Ù Ø Ó Ù ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô º ËÓ ÓÒ Ñ Ý Û Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ú Ö ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ì ÓÖ Ñ Ò ÓØ Ö Ú ØÓÖ Ð ØØ Ö ÙÐØ ÓÐ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ö ÔÐ Ò Ø ÒÓÖÑ Ó Ø ÙÔÖ Ñ Ó ØÛÓ Ð Ñ ÒØ Ý Ø Ò ÑÙÑ Ó Ø ÒÓÖÑ Ó ÐÐ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ð ØÓ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Å¹ÒÓÖÑ ÔÖÓÔ ÖØݺ ÁÒ ÔØ Ö ½ Û ÒØÖÓ Ù Ø Ò ÖÝ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ø Ö ÙÐØ ÒÓÛÒ ÖÓÑ Ð Ø Ö ØÙÖ Ø Ø Û Ò ÓÖ ÓÙÖ ÒÚ Ø Ø ÓÒ º Ï Ò Ú Ö Ø Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ö ÒÓØ ÙÒ Ø ÖÝ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ Û Ñ ÒÐÝ ÓÐÐÓÛ Ø Ó ÓÙØ Ó ÎÙÐ ÎÙÐ Ò º ÒØÖ Ð Ð Ó ÒØ Ö Ø Ö Ø Ù Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ó Åº º ÃÖ Ò Ò Ìº Ò º Ë Ò Ø Ý Ö ØÖ Ò Ø Ò Ò Ê Û Û ÐÐ Ð Ó ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð Ø Ø Ö ÔÖ ÖÖ Ò Û Ø ÓÐÐÓÛ º ÁÒ ÔØ Ö ¾ Û ØÙÖÒ ØÓÛ Ö Ø Å¹ Ô Ø Ø Ö ÒÓÛÒ ØÓ Ò Ù Ð ØÝ ØÓ Ä¹ Ô º Ø Ö ÓÖØ Ö Ú Û Ó Ø Ô Û Û ÐÐ Ú ÐÓÓ ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø µ ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ô Ò Ù Ðµ ÒÓÖÑ Ô Ý Ø ÒÓÛÒ ÖÓÑ Ê Ò Æ º Ì Ö ÓÖ Ö Ò Ô Ø Ø ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Å¹ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ä¹ Ô Ò Ó Ú ØÓÖ Ð ØØ º Ò ÐÐÝ Û ÒØÖÓ Ù Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Å¹ÒÓÖÑ ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ø Ó ÐÐ Ñ ¹ÒÓÖѺ Ï Ð Ö Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò ÓÛ Ø Ø Ø ÒÓÖÑ ÔÓ ÓÑ Ù ÙÐ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ º Ì Ñ Ò ÓÙ Ó Ø ÔØ Ö Û ÐÐ Ø ÓÒ Ù Ð ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ º Ï Ü Ñ Ò Ø Ù Ð ÒÓÖÑ Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ñ ¹ÒÓÖÑ Û ÐÐ Ø ÔÖ Ñ Ð ÒÓÖÑ Ò Ø Ø Ø Ù Ð ÒÓÖÑ Ñ º ÁÒ Ø ÓÒØ ÜØ Û Ð Ó Ú ÐÓÓ ÓÒ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ó ÓÔ Ö ØÓÖ º Ì ÔØ Ö Ð Û Ø ÓÑ Ò Ö Ð Þ ÒÓØ ÓÒ Ó Ó ÒØÒ º Ö Ø Û Ñ ÓÑ ÒÓØ ÓÒ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ó ÒØÒ ÒØÖÓ Ù Ò Ã¼ º Ì Ñ Ò ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø Û ÐÐ Ð ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ò Ó ÒØ Ð Ñ ÒØ Ý Ñ Ò Ó Ô Ð Ø Ó Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ð º ÓÖ Ø Ø Û Û ÐÐ ØÙ Ý ØÓØ Ð Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ð Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ò ÔÔÐ ØÓ Ó ÒØ Ð Ñ ÒØ º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø ÑÓÒ Ø ØÓØ Ð Ø Ø Ö Ö ÓÑ Ø Ø Ø Ö Ù Ø Ð ØÓ Ø Ø Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ó ÒØÒ º ÁÒ Ø ÔØ Ö Û ÓÙ ÓÒ ÒÓÖÑ ÔÖ ¹Ê Þ Ô º Ö Ø Û ÒØÖÓ Ù ÒÓÒ Ð Ð ØØ ÒÓÖÑ ÓÒ Ø Ê Þ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ù Ô Ò Ü Ñ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÒÓÖÑ º ÓÒ Ø Ô Û ÐÐ ØÓ ÜØ Ò Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÒ ÒÓÖÑ ÔÖ Ê Þ Ô ØÓ Ø Ö ÒÓÖÑ Ê Þ ÓÑÔÐ Ø ÓÒº Ï Ö Ø ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ Ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø Ù Ð Ô Ò ÔÓ ÒØ ÓÙØ Û ÓÖ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ò ØÖ Ò Ö ÖÓÑ Ø Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ö ÜØ Ò ÓÒ º ÁÒ Ô Ö¹ Ø ÙÐ Ö Û ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ú

8 Ò ÓÒ Ò Ø Ó ÙÒØ ÓÒ Ð º ÁÒ Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÔØ Ö Û ÔÔÐÝ Ø Ö ÙÐØ Û ÕÙ Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ò ÔØ Ö Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ö Ð Þ ÓÑ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ð ØØ Ø ÓÖÝ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö ÙÐØ ÓÙØ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó Ó ÒØ Ò Ö Ò ÕÙ Ò º Ú

9 Ò ÙÒ ÈÖÓÑÓØ ÓÒ Ø Ò Ù ÓÒ Ù ÖÙÒ Ö Ö Ù Ö ÙÒ Ö Ú Ð Ò Ë Û Ö Ø Ò Ù Ö Ñ Ï Ð Ù ÖÒ Ó Ò Ö Ñ À Ð Ò Ø ÞÙ ÛÐØ Ò Øº Å Ò Ö Ø Ö Ò ÐØ Ö ÈÖÓ º Öº Å ÖØ Ò Êº Ï Ö Ö Ö ÙÒ ¹ Ð ØÖ ÙÙÒ Ñ Ò Ö Ö Øº  ÖÞ Ø ÓÒÒØ Ñ Ø Ò Ö Ð Ò ÍÒØ Ö Ø ØÞÙÒ Ö Ò Ò ÙÒ Ñ Û ÖØÚÓÐÐ ÒÖ ÙÒ Ò Û Ð Ñ Ò Ö ÓÖ ÙÒ Ò Ú Ð Ò ËØ ÐÐ Ò ÞÙ ÙØ Ñ Òº ÁÒ ÓÒ Ö Ò Ö ÐÙ ¹ Ô Ð Ö Ñ Ö ÙÒ ÖÑ Ð Ö ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò Ð ÞÙ Ú ÖÐ Òº Ù Ö ÖØ Ö Ì ÐÒ Ñ Ò Ñ Ö Ö Ò ÃÓÒ Ö ÒÞ Ò ÛÓ ÙÖ Ñ Ò Û Ò ØÐ Ö ÀÓÖ ÞÓÒØ Û ÒØÐ ÖÛ Ø ÖØ ÛÙÖ º Ò ÈÖÓÑÓØ ÓÒ Ø Ó Ò Ù Ö Ò Ò ÒÞ ÐÐ ÖÙÒ Ò Ø Ò ¹ Öº ÁÒ Ñ Ù ÑÑ Ò Ò ÖØ Ñ Ò Ò ÞÙÑ Ò Ò Ö ËØÙ Ò¹ Ø ØÙÒ ÙØ Ò ÎÓÐ Ö ÖÓÞ ËØ Ô Ò ÙÑ ÙÒ Ò ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Î ÖØÖ Ù Ò ÓÞ ÒØ Ò ÈÖÓ º Öº ÍÐÖ Ö Ñ Ñ Ò Ñ Ò ÔÖ Ô ÖØÒ Ö Öº À Ò ¹ÇØØÑ Ö Ï Ý Ò ÙÒ Ñ Ò Ñ ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Öº Å ÖØ Ò Êº Ï Ö Ö Ö Ò Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÍÒØ Ö Ø ØÞÙÒ Ñ Ò Ö ÒØÖ º ÙÑ Ò Ö Ò ÑÙ Ò Ö ËØ ÐÐ ÖÑ ÎÁÌÊÇÆÁ Öº¹ÁÒ º ËØ Ò Ð Ú Ö Ö ØÙÒ Ý Ø Ñ Ñ À ÖÛ ÒÙÒ Ò Òº Ò Ö Ø Ú ÖØÖ Ñ Ø Ø Ñ ÐØ ÒÙÖ ÙÒÖ ÐÑ ÞÙ Ø ÐØ Ö Ö Ø Û Ð Ñ Ò ÈÖÓÑÓØ ÓÒ ÒÙÖ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ù Ø ÒÞ Ö Ö Â Ö ÙÒ ¼¼ Ñ ÚÓÒ Ö ÖÑ ÒØ ÖÒØ Ø ÖÐ Ò Ë Ð ØÚ Ö ØÒ Ð Øº Á Ñ Ø Ñ Ù ÐÐ Ò Å Ø Ð ÖÒ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Ò ÐÝ Ö Ò ØØ Ù Ò Ñ ÙÒ Ò Ò Ñ Ö Ø Ð Ñ Ò Òº ÐÐ Ò Ö Ò ÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÛÙÖ Ñ Ö Ó ÓÖØ Û Ø Ö ÓÐ Ò ÙÒ Ò Ö Ñ Ò Ñ Ò Ã ÖÙÒ ÓÒÒØ Ñ Ò ÃÖ Ø ÑÑ Ö Û Ö Ù Æ Ù Ö ÞÛ Ø ÀÐ Ø Ö Ø Ø Ö Ò Ö Ö Òº Ò ÖÓ Ò Ò Ò Ñ Ò Ñ Ð ÙÒ ÐÐ Ñ Ò Ö ÙÒ Ö Ò Ê ÐØ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ò ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ò ÖÒ Ø Î Ö ØÒ Ò Ö Ö Ò Ò Ð ØÞØ Ò ÅÓÒ Ø Ò Ò Ø Ñ Ö Ó Ú Ð Ø Ö Ù Ö Ò Ò ÓÒÒØ º Ú

10 Ú

11 ÔØ Ö ½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÒØ ØÓ Ó Ø ÖÓÙÒ ÛÓÖ ÓÖ Ð Ø Ö ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ö Ð Ú ØÓÖ Ô º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ Ó Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÒÓÖÑ Ò ÓÖ Ö Ò ÓÒ Ú ØÓÖ Ô ½ Ö Ö ÐÐ º ½º½ ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô Û Ñ ÐÝ Ó Ö Ð Ú ØÓÖ Ô ÔÓ Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ö Ò º ÁÒ Ø Ö Ø Ò Ø Ò Û ÒØÖÓ Ù Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý Ó ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Ø Ø Û ÐÐ Ù Ò Û Ø ÓÐÐÓÛ º Ï ÓÒÐÝ Ð Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ù Ø ÓÖ ÑÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º º ÎÙÐ ÎÙÐ Â Ñ ¼ غ Á Ù Ø Ø Ö Ø Ó ÐÐ ÔÖ ¹Ê Þ Ô º Ä Ø Ö ÓÒ Û Û ÐÐ Ú ÓÑ Ô Ö ÐÓÓ Ø Ø ÕÙ Ø ÒØ Ö Ø Ò ØÓÔ º Î ÖÝ ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÔÖ ¹Ê Þ Ô Ö Ø Ú ØÓÖ Ð ØØ Ù Ø Ø Û Ð Ó Ñ ÓÑ Ö Ñ Ö ÓÒ Ø Ð Ó ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô º Ö Ð Ú ØÓÖ Ô X ØÓ Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô ÓÖ ÓÖØ ÓÖ Ö Ô µ Û Ò Ú Ö Ø ÕÙ ÔÔ Û Ø Ö Ü Ú ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ½º Á x y Ø Ò x + z y + z ÓÖ z Xº ¾º Á x y Ø Ò λx λy ÓÖ ÐÐ λ 0º ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Ù Ø K Ó Ö Ð Ú ØÓÖ Ô X ÐÐ Û Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ ½º Á x,y K Ø Ò x + y Kº ¾º Á x K Ò λ 0 Ø Ò λx Kº Û K X ÐÐ ÓÒ K Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø ½ Ë Ò Û Ö ÓÒÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ö Ð Ú ØÓÖ Ô ÒÓ Ñ Ù Ø ÓÙÐ ÓÙÖ Û ÓÖØ Ò Ö Ð Ú ØÓÖ Ô ØÓ Ú ØÓÖ Ô ÓÖ Ú Ò Ô º ½

12 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô º Á x, x K Ø Ò x = ¼º Ì ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ò Ö ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø º ÁÒ (X, ) Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Ø Ò Ø Ø Ó Ø ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ X + = {x X : ¼ x} ÓÖÑ ÓÒ Û Ö x y ÓÐ Ò ÓÒÐÝ y x X + º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ò ÓÖ Ö Ò Ò ÒØÖÓ Ù ÓÒ Ö Ð Ú ØÓÖ Ô X Û Ø Ø ÐÔ Ó ÓÒ K X Ú x y y x K, Û Ö K Ü ØÐÝ Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ð Ñ ÒØ X + Ò Ø ÓÖ Ö Ô (X, )º Á ÒÓ Ñ Ù Ø ÔÔ Ö Û Û ÐÐ ÓÖØ Ò Ò ÓÖ Ö Ô (X, ) Ö Ô ¹ Ø Ú ÐÝ (X,X + ) ØÓ Xº ËÓÑ Ð Ó ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û ÐÐ ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ú ÖÝ ÒØ Ö Ø Ò Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ ÓÙÖ ÒÚ Ø Ø ÓÒ º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô X + Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ º X ÐÐ Ö Ø Û Ò Ú Ö X = X + X + º º Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ó X Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ò Ó ØÛÓ ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ ¾ º ÁÒ Ø Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ X + ØÓ Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÖ Ò Ö Ø Ò º X ÐÐ Ö Ñ Ò nx y ÓÖ ÐÐ n Æ Ò ÓÑ y X ÑÔÐÝ x ¼º X ÔÓ Ø Ê Þ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÈÖÓÔ ÖØÝ ÓÖ ÓÖØ Ê Èµ ÓÖ ÒÝ Ð Ñ ÒØ x 1,x 2,y 1,y 2 X Û Ø x i y j i = 1,2, j = 1,2µ Ø Ö Ú ØÓÖ z Ù Ø Ø x i z y i i = 1,2µ ÓÐ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ ÔÖ ÒØ ÓÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ê Þ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÈÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ö ÓÑ Ø Ñ Ù Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ØÓ Ò Ø Ê È ÎÙÐ ïî Ò Ì ÓÖ Ñ ½º½ µº Ä ÑÑ ½º½º½º ÓÖ Ò ÓÖ Ö Ô X Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÕÙ Ú Ð Òغ ½º X ÔÓ Ø Ê Þ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÈÖÓÔ ÖØݺ ¾º Á ¼ y,x i ÓÖ i = 1,...,n Û Ø y n i=1 x i Ø Ò Ø Ö Ö Ù Ð Ñ ÒØ ¼ y i i = 1,...,nµ Û Ø y = n i=1 y i x i y i ÓÖ i = 1,...,n. ¾ ÒÓØ Ö ÙØ Ð ÖÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ x X Ø Ö Ü Ø Ò Ð Ñ ÒØ y X + Û Ø x yº ¾

13 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô º Á ¼ y j,x i ÓÖ i = 1,...,n Ò j = 1,...,m Û Ø m j=1 y j = n Ø Ò Ø Ö Ö Ù Ð Ñ ÒØ ¼ z ij i = 1,...,n j = 1,...,mµ Û Ø y j = x i = n z ij ÓÖ j = 1,...,m i=1 m j=1 z ij ÓÖ i = 1,...,n. i=1 x i ÈÖÓÓ º ½= ¾º Ï ÐÐ Ù Ò ÙØ ÓÒº Á n = 1 º º ¼ y x 1 Ø Ò Ø y 1 = y Ò Û Ö ÓÒ º Ä Ø ¼ y,x i ÓÖ i = 1,...,n+1 Û Ø y n+1 i=1 x i = n i=1 x i+x n+1 º Ù ØÓ ÎÙÐ Ä ÑÑ Îº½º½ Ø Ö Ö Ð Ñ ÒØ ¼ ỹ,y n+1 Û Ø y n+1 x n+1 ỹ n i=1 x i Ò ỹ + y n+1 = yº Ì Ö ÓÖ ÖÓÑ Ò ÙØ ÓÒ ÝÔÓØ Ø Ö Ö Ù Ð Ñ ÒØ ¼ y i i = 1,...,nµ Û Ø ỹ = n i=1 y i Ò y i x i ÓÖ i = 1,...,nº À Ò y = n n+1 y i + y n+1 = i=1 i=1 y i y i x i ÓÖ i = 1,...,n + 1. ¾= ½º ÓÐÐÓÛ ÑÑ Ø ÐÝ ÖÓÑ ÎÙÐ Ä ÑÑ Îº½º½ ÓÖ n = 2º ¾= º Ì Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓÓ ÓÐÐÓÛ Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ º Ò Û Ù Ò ÙØ ÓÒ ÓÚ Ö mº ÓÖ m = 1 Ø z i1 = x i i = 1,...,nµº Á m+1 j=1 y j = n i=1 x i ÓÖ ¼ x i,y j Ø Ò m j=1 y j n i=1 x iº ÖÓÑ ÓÙÖ ÙÑÔØ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ö Ö ¼ u i Û Ø m y j = j=1 n i=1 u i x i u i ÓÖ i = 1,...,n. Ù ØÓ Ø Ò ÙØ ÓÒ ÝÔÓØ Ø Ö Ö Ù Ð Ñ ÒØ ¼ z ij i = 1,...,n j = 1,...,mµ Û Ø y j = u i = n z ij ÓÖ j = 1,...,m i=1 m j=1 z ij ÓÖ i = 1,...,n. ÓÖ i = 1,...,n Ð Ø z i,m+1 = x i u i ¼º Ì Ò m+1 j=1 z ij = m z ij + z i,m+1 = u i + x i u i = x i j=1

14 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô ÓÖ 1 i n Û ÐÐ n z i,m+1 = i=1 = = n x i i=1 n x i i=1 m+1 j=1 = y m+1. y j n i=1 m j=1 m j=1 u i y j y j = ¾º Ä Ø ¼ y,x i ÓÖ i = 1,...,n Û Ø y n i=1 x i Ò u = n i=1 x i < ¼º Ý ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ö Ö Ð Ñ ÒØ ¼ z ij Û Ø y = u = n i=1 n i=1 z i1 z i2 z i1 z i1 + z i2 = x i ÓÖ i = 1,...,n. X ÐÐ ÔÖ ¹Ê Þ Ô ÓÖ ÒÝ x,y,z X Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó {x + y,x + z} Ð Ó Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ø {y,z} Ø Ò x ¼ º º {u X : x + y u, x + z u} {u X : y u, z u} = x X +. X ÐÐ Ú ØÓÖ Ð ØØ ÓÖ Ê Þ Ô Ú ÖÝ ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Ò Ø Ù Ø ÙÔÖ ÑÙѺ Ú ØÓÖ Ð ØØ X ØÓ Ò ÓÑÔÐ Ø Û Ò Ú Ö Ú ÖÝ ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Ù Ø Ó X Ø Ø ÓÖ Ö ÓÙÒ ÖÓÑ ÓÚ ÙÔÖ ÑÙѺ Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô º Ù Ø D X + ØÓ Ó Ø ÓÒ X + Û Ò Ú Ö D ÓÒÚ Ü Ò ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ x X + \ {¼} Ø Ö Ò ÙÒ ÕÙ ÒÙÑ Ö λ x > 0 Û Ø λ x x Dº Ù Ø S Ó Ò ÓÖ Ö Ô ÐÐ Ò Ø ØÓØ ÐÐÝ ÓÖ Ö Ø Ø Ñ Ò ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö x,y S Ó Ø Ö x y ÓÖ y x ÓÐ º Ù Ø S X ØÓ Ñ ÓÖ Þ Ò X ÓÖ ÒÝ x X Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ y S Û Ø x yº Ð ÖÐÝ Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ù Ô X Ó Y ØÓ Ñ ÓÖ Þ Y Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ y Y Ø Ö x X Û Ø x yº ÁÒ ÓÖ

15 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô ÒÝ y Y Ø Ö x X Û Ø y xº Ì Ò ÓÖ x = x ÓÒ x yº Ì ÓÔÔÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ò ÓÛÒ Ò ÐÓ ÓÙ Ðݺ Ä Ø X Ò Y Ö ØÛÓ ÓÖ Ö Ô Ò T : X Y Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖº T ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÛÖ ØØ Ò T ¼µ x X + ÑÔÐÝ T(x) Y + º ÇÒ Ô ¾ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ó Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô ÒØÖÓ Ù º Ì Ð Ò ØÓ ÔÓ Ø Ú ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÐÐÓÛ º Á Z Ù Ô Ó Ø Ú ØÓÖ Ô Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ T : X Y Ø Ò Ò Ñ ÒÝ Ø Ø Z + Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Z ÓÖÑ ÓÒ Ò Ò Ñ Z ØÓ Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô º T ÐÐ ¹ÔÓ Ø Ú Û Ò Ú Ö x X + T(x) Y + ÓÖ ÐÐ x X Ø Ø Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ó X Ö Ü ØÐÝ Ø Ð Ñ ÒØ Ò X Ø Ø Ö Ñ ÔÔ ÒØÓ Ø ÓÒ Y + º ÇÖ Ö Ò Ù Ô Ä Ø Y Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Ò X Ñ ÓÖ Þ Ò Ù Ô Ó Y º X ÐÐ Ò ÓÖ Ö Ò Ù Ô Ó Y Ú ØÓÖ y Y Ò Ö ÔÖ ÒØ y = inf{x X : y x}. X ÓÖ Ö Ò Ò Y Ò ÓÒÐÝ ÓÖ y Y Ø ÐÓÛ Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ sup{x X : y x} Ü Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ yº ÁÒ Ð Ø X ÓÖ Ö Ò Ò Y Ò y Y º Ý Ò Ø ÓÒ inf{x X : y x} Ü Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ yº Á z Y Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó ÐÐ x X Û Ø x yº Ì Ò z x ÓÖ ÐÐ y x X Ò Ò z inf{x X : y x} = y ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ y zº Ë Ò z Y Û Ø z x ÓÖ ÐÐ y x X Û Ö ØÖ Ö ÐÝ Ó Ò y Ø ÐÓÛ Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ø {x X : y x} º º y = sup{x X : y x}º Ì ÓÔÔÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ò ÐÓ ÓÙ Ðݺ X ÐÐ Ò Ó¹ Ò Ù Ô Ó Y ÓÖ ÒÝ ¼ < y Y Ø Ö Ú ØÓÖ x X Û Ø ¼ < x yº ÆÓØ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º º Ä ½ ï¾½µ Ò Ó¹ Ò Ù Ô X Ó Y Ó Ø Ò ÐÐ ÓÖ Ö Ò ÙØ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ó¹ Ò ØÝ Ò ÓÖ Ö Ò ØÝ Ò ÓÙÖ Ò Ö ÒÓØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ü ÑÔÐ ÓÒ Ô ½µº Æ Ú ÖØ Ð Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ º Ì ÓÖ Ñ ½º½º¾º Ä Ø Y Ò Ö Ñ Ò Ú ØÓÖ Ð ØØ º Ú ÖÝ Ñ ÓÖ Þ Ò Ó¹ Ò Ù Ô X Ó Y ÓÖ Ö Ò Ò Y º ÈÖÓÓ º Ö Ø Ð Ø y Ò Ð Ñ ÒØ Ó Y + º Ï ÓÛ Ø Ø y = sup{x X + : x y} º ÙÑ Ý Û Ý Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÑ z Y Ø x z ÓÖ x X Û Ø ¼ x y Ò y zº Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ð Ø z < y Ò ÓØ ÖÛ Ö ÔÐ z Ý inf{z,y}º Ì Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓÓ ÓÐÐÓÛ Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º½ º

16 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô Ù ØÓ Ø Ó¹ Ò ØÝ Ó X Ò Y Ø Ö Ü Ø ÓÑ v X Û Ø 0 < v y zº ÖÓÑ v y z y Û Ø Ø v z Ò Ó ¼ < 2v = v + v y z + z = yº Ý Ò ÙØ ÓÒ ¼ < nv y ÓÐ ÓÖ n Æ ÓÒØÖ Ø Ò Ø Ö Ñ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Y º Ì Ù y = sup{x X : x y} ÓÐ º ÆÓÛ Ð Ø y Ò Ö ØÖ ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ó Y º Ë Ò X Ñ ÓÖ Þ Ò Ø Ö y x Xº Ì Ñ Ò x + y = y 1 0º Ì Ò y = y 1 x = sup{z X : z y 1 } x = sup{z x X : z y 1 } = sup{ z X : z + x y 1 } = sup{ z X : z y 1 x} = sup{ z X : z y}. Ä ÑÑ ½º½º º Á X Ò ÓÖ Ö Ò Ù Ô Ó Ø ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Y Ø Ò X Ö Ñ Ò Y Ö Ñ Ò. ÈÖÓÓ º º Ð Öº º Ä Ø x,y Y Û Ø nx y ÓÖ ÐÐ n ƺ Ï Û ÐÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ Ö Ù ØÓ ÓÒ Ò Ø Ô Xº ÙÑ x ¼ Ó ÒÓØ ÓÐ º Ì ÓÖ Ö Ò ØÝ Ó X Ò Y ÑÔÐ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ú ØÓÖ x X Û Ø x ¼ Ò x xº ÁÒ ÓØ ÖÛ ÓÖ z x ÓÒ ÛÓÙÐ Ú z ¼ Ò Ø Ò x = sup{z X : z x} ¼º Ë Ò X Ñ ÓÖ Þ Y Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ ỹ X Û Ø y ỹº Ì Ò n x nx y ỹ ÓÖ ÐÐ n Æ ÓÒØÖ Ø Ò Ø Ø X Ö Ñ Òº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ò Ù Ô Ó Y Ò S Xº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ý inf X {S} Ø Ò ÑÙÑ Ó S Ò X Ò Ý inf Y {S} Ø Ò ÑÙÑ Ó S Ò Y º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ º Ä ÑÑ ½º½º º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ò Ù Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ØØ Y Ò S Xº Á inf X {S} = x X Ø Ò Ø Ò ÑÙÑ Ó S Ò Y Ü Ø Ò inf Y {S} = xº ÈÖÓÓ º ÐÐ Û Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ y Ó S Ò Y Ø y xº ËÓ Ð Ø y Y Û Ø y z ÓÖ ÐÐ z Sº Á x X Û Ø x y Ø Ò x z ÓÖ ÐÐ z S Ò Ò x inf X {S} = xº Ì Ö ÓÖ y = sup{ x X : x y} xº

17 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô Î ØÓÖ Ð ØØ Ä Ø X Ú ØÓÖ Ð ØØ º Ð ÖÐÝ Ú ÖÝ Ò Ø Ù Ø Ó X Ð Ó Ò Ò ÑÙÑ Û Ö inf{x i : i = 1,...,n} = sup{ x i : i = 1,...,n}º ÁÒ Ô ÖØ ¹ ÙÐ Ö Ú ÖÝ Ø Ò X ÓÒ Ø Ò Ó ØÛÓ Ð Ñ ÒØ ÔÓ ÙÔÖ ÑÙÑ Ò Ò Ò ÑÙÑ Ù Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÐÐ ÒÓÛÒµ ÒÓØ Ø ÓÒ Ö Ù º Ì ÙÔÖ ÑÙÑ Ó ØÛÓ Ð Ñ ÒØ x,y X Û ÐÐ ÒÓØ Ý x y Ø Ò ÑÙÑ Ý x yº ÓÖ x X Û ÐÐ x + = x ¼ Ø ÔÓ Ø Ú Ô ÖØ x = x ¼ Ø Ò Ø Ú Ô ÖØ Ò x = ( x) x Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó xº ÌÛÓ Ð Ñ ÒØ x Ò y Ö ÐÐ Ó ÒØ Ò Ö ÒÓØ Ý x y Û Ò¹ Ú Ö x y = ¼ ÓÐ º Á S X ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Ø Ø Ò Ø Ó ÒØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ S Ó S Ò Ý S = {x X : x y ÓÖ ÐÐ y S}º Ù Ø S X ÐÐ ÓÐ Û Ò Ú Ö x X y S Ò x y ÑÔÐÝ x Sº ÓÐ Ù Ô Y Ó X ÐÐ Ò Ð Ò Xµº Ì Ð Ò Ö Ø Ý Ù Ø S X Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ð Ò X Ø Ø ÒÐÙ Sº Ì Ð Y S Ò Ö Ø Ý S ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ü ØÐÝ Ø Ù Ô { } n Y S = x X : x 1,...,x n S, 0 λ 1,...,λ n Û Ø x λ i x i. Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ T : X Y ØÛ Ò ØÛÓ Ú ØÓÖ Ð ØØ X Ò Y ÐÐ Ð ØØ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ T(x y) = T(x) T(y) ÓÐ ÓÖ Ô Ö x,y Xº Ì ÓÔ Ö ØÓÖ T ÐÐ Ð ØØ ÓÑÓÖÔ Ñ Û Ò Ú Ö T Ò ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÒØÓ Ð ØØ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñº Ä ÑÑ ½º½º º Ä Ø X Ò Y ØÛÓ Ú ØÓÖ Ð ØØ Ò T : X Y Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖº ½º Á T ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ Ð ØØ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ø Ò Ø ¹ÔÓ Ø Ú º ¾º Á T ¹ÔÓ Ø Ú Ò T(X) ÓÖ Ö Ò Ò Y Ø Ò T Ð ØØ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñº ÈÖÓÓ º ½º Ì Ö Ð Ø ÓÒ T(x ¼) = T(x) T(¼) ÑÔÐ T(x + ) = (T(x)) + Û Ø Ý Ð Ø ÖØ ÓÒº ¾º ÓÐÐÓÛ ÑÑ Ø ÐÝ ÖÓÑ À Ì ÓÖ Ñ ¾º½½º Ò À Ê ¹ Ñ Ö ¾º¾º º Î ØÓÖ Ð ØØ ÔÓ Ú ÖÝ Ù ÙÐ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÑ Ó Ø Ñ Ö Ø Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º i=1

18 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô Ä ÑÑ ½º½º º Ä Ø X Ú ØÓÖ Ð ØØ º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ º ½º X + Ö ÔÖÓ Ù Ò º º X Ö Ø º ¾º X ÔÓ Ø Ê Þ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØݺ º X ÔÖ ¹Ê Þº ÈÖÓÓ º ½º Ù ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½º ¹½ x X Ò Ö ÔÖ ÒØ x = x + x, Û Ö ¼ x +,x º ¾º Ä Ø x 1,x 2,y 1,y 2 X Ù Ø Ø x 1,x 2 y 1,y 2 º Ì Ò z = x 1 x 2 Ø x 1,x 2 z y 1,y 2 º º Ä Ø x,y,z X Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó {x + y,x + z} Ð Ó Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó {y,z}º Ì Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö y z (y +x) (z +x)º Ù ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½º¾¹ (y + x) (z + x) = x + (y z) ÓÐ Ò Ø Ö ÓÖ y z x + (y z) º º ¼ xº ÈÖ ¹Ê Þ Ô ÆÓÛ Û Ð Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ø ÓÒº Ï Ò Ò Û ØÖ Ø Ú Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô X Ò ÓÖ Ö Ò Ù Ô Ó ÓÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ Y º º Û ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ X Ù Ö ÒØ Ø Ü Ø Ò Ó Ú ØÓÖ Ð ØØ Y Ò ¹ÔÓ Ø Ú Ð Ò Ö Ñ Ò Φ: X Y Ù Ø Ø Φ(X) ÓÖ Ö Ò Ò Y Ì Ò Û Ö Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ò Ò À º Ì Ö Ø ÓÛÒ Ø Ø Ø ÔÖ ¹Ê Þ Ô ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ü ØÐÝ Ø Ó ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ö ÐÓÓ Ò ÓÖº Ì ÓÖ Ñ ½º½º À Ú Ò À Ò Ð ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½¼ µº Ò ÓÖ Ö Ô X ÔÖ ¹Ê Þ Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ü Ø Ú ØÓÖ Ð ØØ Y Ò ¹ ÔÓ Ø Ú Ð Ò Ö Ñ Ô Φ: X Y Ù Ø Ø Φ(X) ÓÖ Ö Ò Ò Y º ÁÒ Ø ÓÒ Ø Ô Y Ò Ø ÔÖ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ó Ò Ñ Ò¹ Ñ ÐÐÝ Ò Ø Ò Ø Ø Y Ò Ð Ø Ù Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÔÖÓÔ Ö Ù Ð ØØ Z Ó Y Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ø Ö Ð Ò Ö ¹ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ó X ÒØÓ Zº ÁÒ Ø Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ò Y Ò ÛÖ ØØ Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ø ÙÔÖ Ñ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Xº ÅÓÖ Ü ØÐÝ Û Ú Ì ÓÖ Ñ ½º½º À Ú Ò À Ò Ð µº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ú Ð Òغ ½º X ÔÖ ¹Ê Þ Ô º ¾º Ì Ö Ñ Ò Ñ Ð Ú ØÓÖ Ð ØØ X Ò ¹ÔÓ Ø Ú Ð Ò Ö Ò Ò ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ µ Ñ ÔÔ Ò Φ: X X Ù Ø Ø Φ(X) ÓÖ Ö Ò Ò X º ÓÖ Ú ÖÝ y X Ø Ö Ö Ð Ñ ÒØ a 1,... a n X b 1,...b m X Ù Ø Ø y = n i=1 Φ(a i) m j=1 Φ(b j)º

19 ½º½º ÇÖ Ö Ö Ð Ú ØÓÖ Ô ÙÖØ ÖÑÓÖ ÐÐ Ú ØÓÖ Ð ØØ Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ð Ø Ò Ø Ñ ¾ Ö ÓÑÓÖÔ Ú ØÓÖ Ð ØØ º Ä Ø X ÔÖ ¹Ê Þ Ô Ò X Ø Ñ Ò Ñ Ð Ò ÙÔ ØÓ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÒ ÕÙ Ú ØÓÖ Ð ØØ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½º½º ¹¾º Ì Ò X ÐÐ Ø Ê Þ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Xº ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û Û ÐÐ ØÖ Ø X Ù Ô Ó X º º Û ÒØ Ý X Û Ø Ø Ù Ô Φ(X) X º ÆÓØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ö ÙÐØ ÓÒ ÔÖ ¹Ê Þ Ô Û Û ÐÐ ÔÔÐ Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ò Ð Ø Ö Ü Ñ Ò Ø ÓÒ º Ì ÓÖ Ñ ½º½º À ½º µ µº Ú ÖÝ Ö Ñ Ò Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ ÔÖ ¹Ê Þº Ì ÓÖ Ñ ½º½º½¼º Ä Ø X ÔÖ ¹Ê Þ Ô º Ì Ò X + Ö ÔÖÓ Ù Ò º ÈÖÓÓ º ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Û ÒÓØ ÓÖ Ù Ø S X Ý S u Ø Ø Ó ÐÐ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó S Ò X º º S u = {x X : x y ÓÖ ÐÐ y S}º ËÙÔÔÓ X + ÒÓØ Ö ÔÖÓ Ù Ò º Ì Ò Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ x X Ø Ø Ò ÒÓØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ò Ó ØÛÓ ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö x X + Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ {¼,x} u = º ÙÖØ ÖÑÓÖ {x,2x} u = ÓÐ ÓØ ÖÛ a x ¼ Ò a 2x ¼ a x x Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ a x {¼,x} u µº ÆÓÛ Ó Ú ÓÙ ÐÝ {x,2x} u = (x+{¼,x}) u {¼,x} u º ÀÓÛ Ú Ö x ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ò Ó (X,X + ) ÒÓØ ÔÖ ¹Ê Þº Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ï Ö Ð Ó ÒØ Ö Ø Ò Ø Ü Ø Ò Ó Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ X δ Ó Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô X Ø Ø Ñ Ò Ò ÓÑÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ð ØØ X δ Ò Ð Ò Ö ¹ÔÓ Ø Ú Ñ Ò Ψ: X X δ Ù Ø Ø Ψ(X) Ò ÓÖ Ö Ò Ù Ô Ó X δ Ò Ø Ö ÒÓ ÔÖÓÔ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø Ù Ô Z Ó X δ Û Ø Ψ(X) Z º º X δ Ñ Ò Ñ Ðµº ÖÓÑ º Ù Ò Ù ½ µ Ø ÒÓÛÒ Ø Ø Ú ÖÝ Ö Ñ Ò Ú ØÓÖ Ð ØØ X Ø Ò Óѹ ÔÐ Ø ÓÒ X δ º Ì Ü Ø ÓÙÒ Ò X Ö ÔÖ ÖÚ Ò X δ º ÌÓ Ø Ö Û Ø Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ò Ä ÑÑ ½º½º Ø Ö ÓÐÐÓÛ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ö Ñ Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô X Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ X + Ø Ö Ö Ñ Ò Ñ Ð Ú ØÓÖ Ð ØØ X Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ (X ) δ Ó X Ò Ñ Ò X Φ X Ψ (X ) δ, Ù Ø Ø Φ Ò Ψ Ö Ð Ò Ö Ò ¹ÔÓ Ø Ú º ÅÓÖ ÓÚ Ö X ÓÖ Ö Ò Ò X Ò X ÓÖ Ö Ò Ò (X ) δ º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ñ Ò Φ Ψ: X X δ Ð Ò Ö Ò ¹ÔÓ Ø Ú X ÓÖ Ö Ò Ò (X ) δ Ò (X ) δ Ñ Ò Ñ Ð Ò ÓÑÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ð ØØ Ø Ø ÓÒØ Ò Xº ÁÒ ÙÑ Z (X ) δ Ò ÓÑÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ð ØØ ÓÒØ Ò Ò Xº Ì Ò X Z Ú ØÓÖ Ð ØØ Ø Ø ÒÐÙ Xº Ë Ò X Ñ Ò Ñ Ð X Z ÓÐÐÓÛ Ò

20 ½º¾º ÌÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Z = (X ) δ º Ì Ø Ñ Ò (X ) δ ÙÔ ØÓ Ð ØØ ÓÑÓÖÔ Ñµ Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ X δ Ó Xº Ì Ø ÒÓÛÒ ÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑ ÎÙÐ ïîº º Û Ö Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ö ÙÐØ Ð Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ Ó Ù Ò Ø ÓÖ Ñº ½º¾ ÌÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô Ì Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ø ÓÖÝ Ó ØÓÔÓÐÓ ¹ Ð Ú ØÓÖ Ô Ò Ö ÙÐØ Û Û ÐÐ Ö Ö ØÓ Ò ÓÙÖ ÒÚ Ø Ø ÓÒ º Ä Ø X Ö Ðµ Ú ØÓÖ Ô Ò τ ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ Xº Ï ÐÐ (X,τ) Ö Ô Ø Ú ÐÝ Xµ ØÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô Û Ò Ú Ö Ø Ñ ÔÔ Ò (x,y) x + y Ò (λ,x) λx ÓÖ x,y X λ ʵ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ τº ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò (X,τ) Û ÐÐ ØÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô º Ä Ø x X Ò S Xº Á Ø Ö Ø U x τ Û Ø x U x S Ø Ò S ØÓ Ò ÓÖ ÓÓ Ó x Ò x ÐÐ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ó Sº Ì Ø Ó ÐÐ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ó S ÒÓØ Ø ÓÒ int(s)µ ÐÐ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Sº X ÐÐ À Ù ÓÖ ÓÖ Ô Ö Ø ÓÖ Ì 2 ¹ Ô µ ÓÖ Ô Ö Ó Ø ÒØ ÔÓ ÒØ x,y X Ø Ö Ö Ò ÓÖ ÓÓ U x,u y Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ù Ø Ø U x U y = º Ù Ø S Ó X Ò Ò X Ú ÖÝ ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Ø U τ ÓÒØ Ò ÔÓ ÒØ Ò Sº X ØÓ Ô Ö Ð Ø ÒÐÙ ÓÙÒØ Ð Ò Ù Øº X ÐÐ Ö ÙÐ Ö Û Ò Ú Ö ÓÖ Ú ÖÝ τ¹ðó Ù Ø S X Ò Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ x X Û Ø x S Ø Ö Ö Ó ÒØ Ò ÓÖ ÓÓ U S Ò U x Ó S Ò x Ö Ô Ø Ú Ðݺ X ÐÐ ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÚ Ü ØÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô Ø Ö Ü Ø Ý Ø Ñ B Ó ÓÒÚ Ü Ò ÓÖ ÓÓ Ó Þ ÖÓ Ù Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ò ÓÖ ÓÓ U Ó Þ ÖÓ Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ V B Û Ø V Uº Á Ò Ø ÓÒ X Ú ØÓÖ Ð ØØ Ø Ò τ ØÓ ÐÓ ÐÐÝ ÓÐ Ò (X,τ) ÐÐ ÐÓ ÐÐÝ ÓÐ Ú ØÓÖ Ð ØØ µ τ Ø Þ ÖÓ ÓÒ Ø Ò Ó ÓÐ Ò ÓÖ ÓÓ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ Ý Ø ÒÓÛÒ º º ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ º ¾ Ò Ð Ó ï º Ò µ Ò Û ÐÐ Ó ÒØ Ö Ø Ò ï º Á X Ò ÓÖ Ö ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ò Ð Ø Ö ØÙÖ º º ÎÙÐ µ ÓÑ Ø Ñ ÓÒ Û Ø ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÐÐ ÓÐ º ÌÓ ÚÓ ÓÒ Ù ÓÒ Û Ø Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÐ Ø Ò ÓÐ Ù Ô Û Û ÐÐ ÒÓØ Ù Ø ÒÓØ ÓÒ ÓÐ Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ó ÓÒ Û Ø ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ ÓÖ ÓÒ Û Ø ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÒØ Ö ÓÖ º ½¼

21 ½º º ÆÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô Ì ÓÖ Ñ ½º¾º½º Ä Ø X ÐÓ ÐÐÝ ÓÐ À Ù ÓÖ Ú ØÓÖ Ð ØØ S X ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Øº Ì Ò S τ¹ðó º Ë Ô Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ù Ø À Ù ÓÖ Ò Ö ÙÐ Ö ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ö ÑÓÖ Ø Ð ÒÚ Ø Ø º º Ò ïáẠº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ º º ÃÓÖÓÐÐ Ö º½ Ò Ø Ö Ñ Ö ÐÓÛ Ò Ø ÓÒ º½¾ µº Ì ÓÖ Ñ ½º¾º¾º Ä Ø X ØÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô Ù Ø Ø ÓÖ ÒÝ x,y X Û Ø x y Ø Ö τ¹óô Ò Ò ÓÖ ÓÓ U x Ó x Û Ø y U x º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö X À Ù ÓÖ Ô º Ì Ò X Ö ÙÐ Öº ½º ÆÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô ÆÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô Ö Ó Ô Ð ÒØ Ö Øº Á (X, ) ÓÖ ÑÔÐÝ X ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô Ø Ò Û Û ÐÐ ÒÓØ Ý B X Ø ÐÓ ÙÒ Ø ÐÐ B X = {x X : x 1} Ó Xº Ë Ò Ø ÒÓÖÑ ÓÒ X Ò Ù ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ X Ø Ð ØØ Ö Ò ØÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ô º Ì Ö Ö ØÛÓ ÑÓÖ ØÓÔÓÐÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ô Û Ö ÒØ Ö Ø Òº Ä Ø X Ø ÒÓÖÑ Ù Ð Ó X Ø Ø Ñ Ò Ø Ô Ó ÐÐ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÒ X ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø Ù Ù Ð ÒÓÖÑ f = sup{ f(x) : x = 1} ÓÖ f X º Ì Ó Ö Ø ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ X ÓÖ Û Ø Ð Ò Ö Ñ ÔÔ Ò x f(x) ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÖ f X ÐÐ Ø Û ØÓÔÓÐÓ Ýº Ì Ó Ö Ø ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ X ÓÖ Û Ø Ð Ò Ö Ñ ÔÔ Ò f f(x) ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÖ x X ØÓ Ø Û ØÓÔÓÐÓ Ýº ÐÐ Ø ØÓÔÓÐÓ ÓÒ X ÓÖ X Ñ Ø Ñ À Ù ÓÖ Ô Ò Ò Ì ÓÖ Ñ ½º¾º¾ Ò ÔÔÐ Ø Ø Ñ Ò X Ò X ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø Ó ØÓÔÓÐÓ Ö Ö ÙÐ Ö Ô º ½º ÇÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ì Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÓÑ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ú ØÓÖ Ô Ø Ø Ö ÓÖ Ö Û ÐÐ ÒÓÖÑ º Ï Û ÐÐ ÓÐÐÓÛ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÎÙÐ Ê Ò Â Ñ ¼ º ÓÖ Ø Ø Ð Ø (X,X +, ) Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ö X + Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ò Ø ÒÓÖÑ ÓÒ Xº ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ ÑÓ ØÐÝ Û Û ÐÐ Ù Ø Ö Ú Ø ÓÒ X ÓÖ Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô (X,X +, )º Ý Ø Ñ Ø ØÙ Ý Ó ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ö ÕÙ Ö ÓÑ ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÒÓÖÑ Ò Ø ÓÖ Ö ÓÒ Xº ÁÒ Ñ ÒÝ Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ X + Û ÐÐ ÐÓ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÒÓÖѺ ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Û ÐÐ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÒ Ò ÒÓÖÑ º Ì ÓÒ X + ÐÐ ÒÓÖÑ Ð Û Ò Ú Ö Ø Ö ÒÙÑ Ö M > 0 Ù Ø Ø Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ x + y > M ÓÐ ÓÖ ÐÐ x,y X + Û Ø x = y = 1. ½½

22 ½º º ÇÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Á Ø Ö ÒÙÑ Ö M > 0 Ù Ø Ø ¼ x y ÑÔÐ x M y Ø ÒÓÖÑ Û ÐÐ ÐРŹÑÓÒÓØÓÒ ÓÖ Ñ ¹ÑÓÒÓØÓÒ µº Á Ø Ö ÒÙÑ Ö M > 0 Ù Ø Ø x,y X Û Ø y x y ÑÔÐ x M y Ø ÒÓÖÑ Û ÐÐ ÐÐ ÓÐÙØ ÐÝ Å¹ÑÓÒÓØÓÒ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø Ø ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ò Ö Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ó Ø ÒÓÖÑ Ò Ú Ú Ö º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÕÙ Ú Ð Òغ ½º X + ÒÓÖÑ Ðº ¾º M 1 ¹ÑÓÒÓØÓÒ ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ M 1 º º ÓÐÙØ ÐÝ M 2 ¹ÑÓÒÓØÓÒ ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ M 2 º ÈÖÓÓ º Ì ÕÙ Ú Ð Ò ½ ¾º ÒÓÛÒ ÖÓÑ ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ Áκ¾º½ Û Ö Ø ÒÓÖÑ M 1 ¹ÑÓÒÓØÓÒ Û Ø M 1 = 2 M Ò Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÒ Û Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒÓÖÑ Ð ØÝ M Ò Ø ÓÒ X + ÒÓÖÑ Ð Û Ø M = 1 M 1 ÔÖÓÚ Ø ÒÓÖÑ M 1 ¹ÑÓÒÓØÓÒ º ¾ º Á ÓÐÙØ ÐÝ M 2 ¹ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò Ø ÒÓÖÑ M 1 ¹ÑÓÒÓØÓÒ Û Ø M 1 = M 2 Ò ¼ x y Ò X ÑÔÐÝ y x yº ÆÓÛ Ð Ø M 1 ¹ÑÓÒÓØÓÒ Ò x,y X Û Ø y x yº Ì Ò ¼ x + y 2y Ò Ò x + y 2M 1 y º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ x = x + y y x + y + y (2M 1 + 1) y º º Ø ÒÓÖÑ ÓÐÙØ ÐÝ M 2 ¹ÑÓÒÓØÓÒ Û Ø M 2 = 2M 1 1º Á Ø ÒÓÖÑ Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X M¹ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò Ø Ö Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ ÓÒ X º º ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ Áκ¾º µº Á Ø Ö ÒÙÑ Ö M > 0 Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ú ØÓÖ x X Ò Ö ÔÖ ÒØ x = x 1 x 2 Û Ø x 1,x 2 X + Ò x 1, x 2 M x Ø ÓÒ X + ÐÐ ÒÓÒ¹ غ ÁÒ Ø M ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒÓÒ¹ ØÒ º Á Ø Ö ÒÙÑ Ö M > 0 Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ x X ÓÒ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ x Ù Ø Ø x x Ò x M x ÓÐ X + ÐРŹ ÓÑ Ò Ø Ò º Á Ø Ö ÒÙÑ Ö M > 0 Ù Ø Ø ÓÖ x X Ø Ö Ú ØÓÖ x Ù Ø Ø x x x Ò x M x Ø Ò Ø ÓÒ ÐÐ ÓÐÙØ ÐÝ Å¹ ÓÑ Ò Ø Ò º ÓÒ Û ÐÐ ÐÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ Ðݵ Ź ÓÑ Ò Ø Ò Ø ÓÐÙØ Ðݵ M ¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÐÐ M > Mº ÓÖ M = 1 Ø ÒÓÖÑ ÐÐ ÑÓÒÓØÓÒ º Ò ÓÐÙØ ÐÝ 1¹ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ ÐÐ ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ º Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ðݵ ÓÐÙØ Ðݵ ½¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÒ ÐÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ðݵ Ó¹ ÐÙØ Ðݵ ÓÑ Ò Ø Ò º ½¾

23 ½º º ÇÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Á X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò X + Ø Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ðݵ Ó¹ ÐÙØ Ðݵ M¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÒÓÒ¹ Ø Ø Ò X + Ó Ú ÓÙ ÐÝ Ö ÔÖÓ Ù Ò º ÅÓÖ ¹ ÓÚ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º¾º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÕÙ Ú Ð Òغ ½º X + ÓÐÙØ ÐÝ M 1 ¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ M 1 º ¾º X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ M 2 ¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ M 2 º º X + M 3 ¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ M 3 º º X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ M 4 ¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ M 4 º º X + ÒÓÒ¹ غ ÈÖÓÓ º ½= ¾º Ð Ö Û Ø M 2 = M 1 º ¾= º X + ÓÐÙØ ÐÝ M 3 ¹ ÓÑ Ò Ø Ò Û Ø M 3 = M Ò ÓÒ ¹ ÕÙ ÒØÐÝ M 3 ¹ ÓÑ Ò Ø Ò º = º Ð Ö Û Ø M 4 = M 3 º = º Ä Ø x Xº X + (M 4 +1)¹ ÓÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ x 1 X + Û Ø x x 1 Ò x 1 (M 4 +1) x º Ì Ò x = x 1 x 2 Û Ö x 2 = x 1 x X + Ò x 2 = x 1 x x 1 + x (M 4 +2) x º º X + ÒÓÒ¹ Ø Û Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ M = M 4 + 2º = ½º Ä Ø M Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒÓÒ¹ ØÒ Ò x Xº Ì Ò Ø Ö Ö x 1,x 2 X + Û Ø x = x 1 x 2 Ò x 1, x 2 M x º Á x = x 1 + x 2 º Ì Ò x x 2 x x 1 x Û ÐÐ x x 1 + x 2 2M x º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ X + ÓÐÙØ ÐÝ 2M¹ ÓÑ Ò Ø Ò º Ð ÖÐÝ ÒÓØ Ú ÖÝ Ö ÔÖÓ Ù Ò ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô M¹ ÓÑ Ò Ø Ò º Æ Ú ÖØ Ð Û Ú º º ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ ÁÁÁº¾º½ µº Ì ÓÖ Ñ ½º º ÃÖ Ò¹âÑ ÙÐ Òµº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ò Ô Û Ø ÐÓ Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ X + º Ì Ò X + M¹ ÓÑ Ò Ø Ò º ÒÓÖÑ ÓÒ Ú ØÓÖ Ð ØØ X ÐÐ Ð ØØ ÒÓÖÑ x y Ò X ÑÔÐ x y º Ú ØÓÖ Ð ØØ ØÓ Ø Ö Û Ø Ð ØØ ÒÓÖÑ ÐÐ ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ º Ì ÓÒ Ò ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ ÐÛ Ý ÐÓ º º ÎÙÐ ïîáẽ µº Ä ØØ ÒÓÖÑ Ö Ü ÑÔÐ Ó ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ó ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ ÐÛ Ý ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ ¹ Ò Ø Ò º ÓÒÚ Ö ÐÝ X Ú ØÓÖ Ð ØØ Û Ø Ò ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ Ò Ø ÓÒ X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ò ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ð ØØ ÒÓÖÑ Ê ï½º µº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ Ö Ü ÑÔÐ ÓÖ ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÚ Ü ÐÓ ÐÐÝ ÓÐ Ú ØÓÖ Ð ØØ Ò Ø Ö ÓÖ Ö Ö ÙÐ Öº ÓÖ Ð Ø Ö ÒÚ Ø Ø ÓÒ Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ ½

24 ½º º Ì ÒÓÖÑ Ù Ð Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ì ÓÖ Ñ ½º º ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ ÁÁº º¾ µº Á Ø ÓÒ X + Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X ÐÓ Ø Ò Ø ÓÖ Ö Ô X Ö Ñ Òº ½º Ì ÒÓÖÑ Ù Ð Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô Ò X Ø ÒÓÖÑ Ù Ð Ô Û Ö X + = {f X : f(x) 0, x X + } ÒÓØ Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÒ X Ò Û Ø f = sup{f(x): x B X } ÓÖ f X µ Ø Ù Ð ÒÓÖѺ X + ÐÛ Ý Û ÙØ Ò Ò Ö Ð ÒÓ ÓÒ º ÆÓÛ Û Û ÐÐ Ü Ñ Ò ÓÑ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÓÖ Ö Ò ÒÓÖÑ Ò Ø ÔÖ Ñ Ð Ô X Ò Ø ÓÖ Ö Ò Ø Ø X + ÓÒ µ Ò ÒÓÖÑ Ò Ø Ù Ð Ô X º Ö Ø Û Ü Ñ Ò Û Ò Ø Ù Ð Û X + ÓÒ Ò Ò Ø Ù Ð Ô X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º ÁÒ ØÝÐ Ó Ê Û ÐÐ Ø ÓÒ X + Û ÐÝ Ò Ö Ø Ò X + X + = X º º Ø Ø X + X + ÒÓÖÑ Ò Ò Xº Ð ÖÐÝ Ú ÖÝ Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ Û ÐÝ Ò Ö Ø Ò º ÆÓÛ Û Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º º½ ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ Áº º½ µº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò X Ø Ù Ð Ô º Ì Ù Ð Û X + ÓÒ Ò ÓÒÐÝ X Û ÐÝ Ò Ö Ø Ò º ËÓÑ Ù Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ØÛ Ò Ø ÓÒ X + Ò Ø Ù Ð Û X + Ò ÙÑÑ Ö Þ ÒØÓ ØÛÓ Ð Åº º ÃÖ Ò¹ØÝÔ Ö ÙÐØ Ì ÓÖ Ñ ½º º¾µ Û Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø ÓÒ X + Ò ÑÓÖ Ü ØÐÝ Ø M¹ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ó Ø ÒÓÖÑ Ö Ø Ö Þ Ý Ö ÔÖÓ Ù Ð ØÝ Ò ÓÑ Ò Ø Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Û X + Ò Ø Ìº Ò ¹ØÝÔ Ö ÙÐØ Ì ÓÖ Ñ ½º º µ Û Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó X + Ò M¹ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ó Ø Ù Ð ÒÓÖÑ Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ñ Ò Ó ÓÑ Ò Ø Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÓÒ X + º Ø ÖÙÐ ÓÖ Ò Ô ÓÖ Ö Ý ÐÓ ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ò Ò Ö Ð Ö ØØ Öº Ì ØÛÓ Ò ÜØ Ø ÓÖ Ñ ÓÒØ Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ñ ÒØ ÒÚÓÐÚ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ M Ð Ó ¾ µº Ì ÓÖ Ñ ½º º¾ ÃÖ Ò¹ØÝÔ µº Ä Ø X Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò X Ø Ù Ð Ô º Ì Ò ½º X + ÒÓÖÑ Ð X + Ö ÔÖÓ Ù Ò º ¾º M¹ÑÓÒÓØÓÒ X + M¹ ÓÑ Ò Ø Ò º º ÓÐÙØ ÐÝ M¹ÑÓÒÓØÓÒ X + ÓÐÙØ ÐÝ M¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÈÖÓÓ º ½º Ë ÃÖ ¼ ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ Áκ º½ º ¾º Ë Ê Ì ÓÖ Ñ ½º¾º¾ Û Ö Ò Ø ÔÖÓÓ Ò Ø Ö Ø ÒÓÖÑ Óѹ ÔÐ Ø Ò ÒÓÖ Ø Ø Ø Ø X + ÐÓ Ö Ù º º Ë Â Ñ ¼ Ì ÓÖ Ñ º º º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Û ÐÐ Ó Ø Ò ÓÖØ Ò ÒÓÖÑ Ù Ð Ô ØÓ Ù Ð Ô º ½

25 ½º º Ì ÒÓÖÑ Ù Ð Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ì ÓÖ Ñ ½º º Ò ¹ØÝÔ µº Ä Ø X Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò X Ø Ù Ð Ô º ½º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ µ Ì Ö ÒÙÑ Ö M > 0 Ù Ø Ø Ú ÖÝ x X Ò Ö Ô¹ Ö ÒØ Ø ÒÓÖѵ Ð Ñ Ø u n v n x ÓÖ ÓÑ ÕÙ Ò u n,v n X + Û Ø u n, v n M x º µ Ì Ù Ð ÓÒ X + ÒÓÖÑ Ðº ¾º Á (X,X +, ) Ò ÓÖ Ö Ò Ô Ò Ø ÓÒ X + ÐÓ Ø Ò µ X + Ö ÔÖÓ Ù Ò X + ÒÓÖÑ Ðº µ X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ M¹ ÓÑ Ò Ø Ò M¹ÑÓÒÓØÓÒ º µ X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ M¹ ÓÑ Ò Ø Ò Ó¹ ÐÙØ ÐÝ M¹ÑÓÒÓØÓÒ º ÈÖÓÓ º ½º Ë ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ Áκ º½ º ¾ º Ë Ò ¾ ¾ º Ò ¾º Ë Ê Ì ÓÖ Ñ ½º¾º¾º Ì ÓÖ Ñ ½º º½ º Ì ÑÔÐ Ø ÓÒ X + ÓÐÙØ ÐÝ Å¹ ÓÑ Ò Ø Ò = ÓÐÙØ ÐÝ M¹ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ð Ó Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ = Ó Ø Ø Ø Ñ ÒØ ¾ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º º ÓÐ Ò ÒÝ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Â Ñ ¼ Ì ÓÖ Ñ º º µº ÆÓÛ Û Ð Û Ø Ø ÔÖ ¹Ê Þ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÓÖ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ö ÐÓÓ Ò ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ù Ö ÒØ Ø Ø Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ù Ð Ô X ÔÖ ¹Ê Þº Ì ÓÖ Ñ ½º º º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò X Ø ÒÓÖÑ Ù Ðº ½º Á Ø ÓÒ X + ÐÓ Ø Ò X + Ö ÔÖÓ Ù Ò X ÔÖ ¹Ê Þº ¾º Á X + ÓÒ X + Û ÐÝ Ò Ö Ø Ò µ Ø Ò X + ÒÓÖÑ Ð X ÔÖ ¹Ê Þ Ô. º Á X Ò Ô Ò X + ÐÓ Ø Ò X ÔÖ ¹Ê Þ X + ÒÓÖÑ Ð. ½

26 ½º º Ì ÒÓÖÑ Ù Ð Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô ÈÖÓÓ º ½º Ä Ø X + Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ º Ì ÐÓ Ò Ó X + ÑÔÐ Ý Ì ÓÖ Ñ ½º º µ Ø Ø (X,X + ) Ö Ñ Òº ÆÓÛ Ý Ì ÓÖ Ñ ½º½º X ÔÖ ¹Ê Þº Ì ÓÔÔÓ Ø Ö Ø ÓÒ Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½º½º½¼º ¾º Ì Ù Ð ÓÒ X + ÐÛ Ý ÐÓ º Ì Ö ÓÖ Ì ÓÖ Ñ ½º º¾¹½ Ò Ø Ø Ñ ÒØ ½ Ò ÔÔÐ º º Ë Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ó ÔÖ ¹Ê Þ Ô Ö ÔÖÓ Ù Ò Ì ÓÖ Ñ ½º½º½¼µ Ø ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó X + ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½º º ¹¾ º ÓÒÚ Ö ÐÝ X + ÒÓÖÑ Ð Ø Ò Ì ÓÖ Ñ ½º º ¹¾ Ò Ø Ø Ñ ÒØ ½ Ý Ð Ø ÖØ ÓÒº Ì ÓÖ Ñ ½º º º Ä Ø X ÒÓÖÑ ÔÖ ¹Ê Þ Ô º ½º Ì Û Ó ÔÓ Ø Ú ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ð X + ÓÒ X ÓÒ Ø Ø Ñ Ò (X,X +, ) Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ µ Ô º ¾º Á X + ÓÒ Ø Ò Ø ÓÖ Ö Ô (X,X + ) Ð Ó ÔÖ ¹Ê Þ Ô º ÈÖÓÓ º Å ÒØ ÓÒ Ö Ø Ø Ø Ø ÓÒ X + Ö ÔÖÓ Ù Ò º ½º Ù ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½º º½ Ø Ù Ð Û X + ÓÒ º ¾º Ì ÐÓ ÙÖ X + Ó X Ö ÔÖÓ Ù Ò ØÓÓº Ì Ö ÓÖ Ø ÖØ ÓÒ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½º º ¹½º ½

27 ÔØ Ö ¾ Ò Ö Ð Þ Å¹ÒÓÖÑ Å ÒÝ Ò Ð ØØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÒØ ÓÒ Ô ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø Ö Ò ØÙÖ Ð ÒÓÖÑ ÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Û Ú Ö ÓÖ Ô Ð ÒÚ ¹ Ø Ø ÓÒ º Ï ÐÐ ÒÓÛÒ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö Ä¹ Ò Å¹ Ô º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ù Ð ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ð ÒØ Ö Øº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö ÐÓÓ Ò ÓÖ Ù Ø Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ä¹ Ò Å¹ Ô Ò ÓÙ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ù Ð ØÝ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ù ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º ¾º½ Ź Ò Ä¹ÒÓÖÑ Ö Ø Û Ö ÐÐ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ä¹ Ò Å¹ Ô Ò Ð Ø Ø Ó ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø Ò Ô Ö Ø ÙÖØ Ö ÛÓÖ º Ð Ó ÓÑ ÒÓÛÒ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ º º Ò Ê Ò Æ Ö ÔÖ ÒØ º Ï Û ÐÐ Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÐÚ ÓÒ ÒÓÖÑ Ô º ÓÖ Ø Ð ØÙ Ý Ó Å¹ Ò Ä¹ Ñ ÒÓÖÑ ¼ º Ä Ø X ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô º Ì ÒÓÖÑ ÐÐ Ò Ä¹ÒÓÖÑ Û Ò Ú Ö ÓÖ ÐÐ x,y X + x + y = x + y. ¾º½µ Ä Ø X ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ Ø Ò Ø ÒÓÖÑ ÐÐ Ò Å¹ ÒÓÖÑ Û Ò Ú Ö ÓÖ ÐÐ x,y X + x y = max{ x, y }. ¾º¾µ Ò Ð ØØ Û Ó ÒÓÖÑ Ò Ä¹ÒÓÖÑ ÐÐ Ò Ä¹ Ô Ò Ð ØØ Û Ø Ò Å¹ÒÓÖÑ ÐÐ Ò Å¹ Ô º Ú ØÓÖ u X + Ò Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô X ÐÐ Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÓÖ ÒÝ x X Ø Ö ÒÙÑ Ö λ > 0 Û Ø λu x λuº Ò Å¹ Ô Û Ø Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø u Ù Ø Ø Ø ÐÓ ÙÒ Ø ÐÐ Ó Ò¹ Û Ø Ø ÓÖ Ö ÒØ ÖÚ Ð [ u,u] ÐÐ Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Ø uº ½

28 ¾º½º Ź Ò Ä¹ÒÓÖÑ ÆÓØ Ø Ø X Ò Ð ØØ Ò u Xº Ì Ò u Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ò Ø Ð A u Ò Ö Ø Ý u Ò A u ÒÓÖÑ Ý x u = inf{λ: x λ u } ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Ø Ì ÓÖ Ñ ½¾º¾¼ µº ÅÓÖ ¹ ÓÚ Ö u X Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ò X Ø Ò (X, u ) Ð ÖÐÝ Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Ø Û Ö u ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓÖÑ Ù ØÓ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½¾º Ó Ñ Ò µº Ì Ô c 0 Ò c Û Ø Ø Ù Ù Ð ÓÖ Ö Ò ÙÔÖ ÑÙÑ ÒÓÖÑ Ö Ü Ñ¹ ÔÐ Ó Ò Å¹ Ô c 0 Û Ø ÓÙØ ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ë ïáẠµ Ò c Û Ø ÓÖ Ö ÙÒ Øº Ì Ú ØÓÖ Ð ØØ Ó ÐÐ ÒØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ L(µ) Ò Ä¹ Ô º Ĺ Ò Å¹ Ô Ö Ò Ù Ð Øݺ ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÓÒ º º ï½¾ µº Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½º Ä Ø X Ò Ð ØØ Ò X Ø Ù Ð Ô º ½º X Ò Å¹ Ô X Ò Ä¹ Ô º ¾º X Ò Ä¹ Ô X Ò Å¹ Ô º º ÅÓÖ ÓÚ Ö X Ò Ä¹ Ô X Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Øº ÆÓÛ Û Ð Û Ø Ò ØÙÖ Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÒÓÖÑ Ø Ý Ò Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ¾º¾µº Ý Ñ Ò Ó Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø u Ò Ø ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô (X,X + ) Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ò Ý x u = inf{λ 0: λu x λu} ¾º µ ÐÛ Ý Ñ ¹ÒÓÖѺ Á u ÒÓÖÑ ÓÒ X Ø Ò Ø ÐÐ ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ ÓÖ Ù¹ÒÓÖѺ u ÒÓÖÑ ÓÖ Ò Ø Ò X Ö Ñ Ò ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ ½º º½ µº Ò ÓÖ Ö Ò Ô X ÐÐ Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ô Ø Ö Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø u X Ù Ø Ø x = x u ÓÖ ÐÐ x Xº Ä Ø (X,X + ) Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ö Ø ÓÒ X + ÔÓ Dº ÓÒ Ö Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ conv(d D) Ó Ø Ù Ø D D Ò Xº Ç Ú ÓÙ ÐÝ Ø Ø ÓÒÚ Ü Ò ÝÑÑ ØÖ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÒ X + Ö ÔÖÓ Ù Ò Ø Ò conv(d D) Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Å Ò ÓÛ ÙÒØ ÓÒ Ð Ò Ý p D (x) = inf{λ 0: x λconv(d D)} ¾º µ Ñ ¹ÒÓÖѺ Á X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ X + Û ÔÓ ÒÓÖÑ ÓÙÒ D, Ø Ò p D ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ ÒÓÖÑ ÓÒ X Ø Ó ÐÐ ÒÓÖÑ ÒÓØ Ý D º ½

29 ¾º½º Ź Ò Ä¹ÒÓÖÑ Ò ÓÖ Ö Ò Ô X ÐÐ ÒÓÖÑ Ô X + Ö ÔÖÓ Ù Ò X + ÔÓ ÒÓÖÑ ÓÙÒ D Ò x = x D ÓÖ ÐÐ x Xº Á X Ø Ù Ð Ô Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Ò ÓÖ ÓÑ Û ¹ÓÑÔ Ø D Ó Ø ÓÒ X + ÓÒ = D Ø Ò X Û ÐÐ ÐÐ Ù Ð ÒÓÖÑ Ô º Ä Ø X Ø Ö Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ô ÓÖ ÒÓÖÑ Ô º ÁÒ ÓØ Ø ÒÓÖÑ ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ù Ô ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò Ê µ Ò Ó Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò ÓØ Ø ÓÒ X + ÒÓÖÑ Ð Ò Ù ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½º º¾ X + Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ Ò X º Á X Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ô Û Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø u Ø Ò [ u,u] = B X Ò Ò u int{b x + u} = int{[0,2u]} X + Ø Ø Ñ Ò u Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ó X + º Á X ÒÓÖÑ Ô Ø Ò Ø ÒÓÖÑ ÓÒ X ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ø Ú ÌÞ ¼¾ ﾺ µ º º Ø ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½µ Ø º Ì ÔÖÓÔ ÖØ ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÒØ Ö ÓÖ Ó ÓÒ Ò Ø Ú ÒÓÖÑ Ö Ò Ù Ð ØÝ ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Ö Û ÐÐ ÒÓÛÒº Ì ÓÖ Ñ ¾º½º¾ ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ ÁÁº½º½ ÁÁº º½ ÁÁº º¾ µº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò X Ø Ù Ð Ô º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½º Ì Ö ÒÓÖÑ ÓÒ X Ø Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ò Ø Ú ÓÒ Ø ÓÒ X + º ¾º Ì Ù Ð ÓÒ X + ÓÒØ Ò Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ Òغ Á Ø ÓÒ X + ÐÓ Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ º Ì ÓÒ X + ÓÒØ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ º º Ì ÓÒ X + ÔÓ ÒÓÖѹ ÓÙÒ Û ¹ÓÑÔ Ø D Ù Ø Ø Ø ÒÓÖÑ D ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÓÒ X º ÓÐÐÓÛ Ò Æ Ò Ø (e α ) Ò Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô X ØÓ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ e α X + ÓÖ α e α1 e α2 Û Ò Ú Ö α 1 α 2 ÓÖ x X Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö λ x Ò Ò Ò Ü α x Ù Ø Ø λ x e αx x λ x e αx º ½

30 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ì Ø B = α [ e α,e α ] ÓÒÚ Ü ÝÑÑ ØÖ Ò ÓÖ Ò º ËÓ Ø Å Ò ÓÛ ÙÒØ ÓÒ Ð p B Ñ ¹ÒÓÖѺ ÁÒ Ø Ø p B ÒÓÖÑ ÓÒ X Ø Ò Ø ÐÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖѺ Ò ÓÖ Ö Ò Ô X ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ô X ÔÓ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ù Ø Ø p B ÒÓÖÑ Ò x = p B (x) ÓÖ ÐÐ x Xº Ì ÓÖ Ñ ¾º½º Ê Ì ÓÖ Ñ ½º º½ Æ Ì ÓÖ Ñ µº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ò Ô Û Ø ÐÓ ÓÒ X + Ò X Ø Ù Ð Ô º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ö Ô Ö Ó ÔÖÓÔ ÖØ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½º µ X ÒÓÖÑ Ô º µ X Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ô º ¾º µ X Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ô º µ X Ù Ð ÒÓÖÑ Ô º º µ X Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ô º µ X ÒÓÖÑ Ô º Ä Ø Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ ÓÖ ÒÓÖÑ ÓÒ Ú ØÓÖ Ð ØØ Xº Ë Ò Ñ ÒØ ÓÒ ÓÖ ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò Ø Ô X ÒÓÖÑ Ð ØØ ï½º µº Ä Ø X Ú ØÓÖ Ð ØØ Ò Ø Ø Ñ Ø Ñ Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ò Ô Û Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø uº Ð ÖÐÝ B X = [ u,u] Ø Ø Ñ Ò X Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Øº ÓÒÚ Ö ÐÝ Ð Ø X Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Ø uº Ì Ò B X = [ u,u] ÓÐ Ý Ò Ø ÓÒ Ò x = inf{λ: x λb X } = inf{λ: x λu}º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ú ØÓÖ Ð ØØ X Ò Å¹ Ô Û Ø ÙÒ Ø Ò ÓÒÐÝ Ø ÕÙ ÔÔ Û Ø Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ø Ø Ñ X ØÓ Ò Ô º Ä Ø X Ò Ð ØØ º Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½¹¾ ¾º½º ¹½ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ö Ñ Ö Ý Ð Ø Ø X Ò Ä¹ Ô Ò ÓÒÐÝ Ø ÒÓÖÑ Ô º Ñ ÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ö Å¹ Ô Ø Ø Ö ÒÓØ ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ô º ÆÓÛ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÙ Ø ÓÒ ÔÓ Ð Ø Ù Ð Ô X Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Ú Ò Ó Ò Å¹ Ô Ñ Ø Ò Ä¹ Ô ÙØ Ñ Ý Ð ØÓ Ù Ð ÒÓÖÑ Ô º ÁÒ Ý Ø Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½ Ò ¾º½º Ø Ø X Ò Å¹ Ô Û Ø ÓÙØ ÓÖ Ö ÙÒ Øº ¾º¾ ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ X Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ X + Ò Ø ÒÓÖÑ º Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒ Ö ÔÙ Ð Ò Ìϼ º ¾¼

31 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ë Ò Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ø Å¹ÒÓÖÑ Ö ÕÙ Ö Ø Ð ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ³ ³ Û Ö ÔÐ Ø ÙÔÖ ÑÙÑ Ó ØÛÓ Ð Ñ ÒØ Ý Ø Ø Ó ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ò Ò Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø ÒÓÖÑ Û Ö ÔÐ Ò Ò Ö Ð Þ ¾º¾µº ÒÓÖÑ ÓÒ X Û ÐÐ ÐÐ Ñ ¹ÒÓÖÑ ÓÖ ÐÐ x,y X + inf{ v : x,y v} max{ x, y }. ¾º µ ÒÓÖÑ ÓÒ X ÐÐ Ò Ö Ð Þ Å¹ÒÓÖÑ ÓÖ Ñ¹ÒÓÖÑ ½ ÓÖ ÐÐ x,y X + Ø Ö ÓÐ Ø ÕÙ Ð ØÝ inf{ v : x,y v} = max{ x, y }. ¾º µ ÁØ Ý ØÓ Ø Ø Ø Ñ¹ÒÓÖÑ Ö Ü ØÐÝ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ º ÁÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ x,y,v X + Ù Ø Ø x,y v Ø Ò x, y v Ò Ò inf{ v : x,y v} = max{ x, y }º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ò Ñ¹ÒÓÖÑ Ò ¼ x yº Ì Ò x = inf{ v : x,x v} y º º ÑÓÒÓØÓÒ º ÓÖ Û Ú ÓÑ Ü ÑÔÐ Ó ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ñ¹ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Û ÔÖ ÒØ ÓÑ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÐÐ Ø Ø Ù Ö ÒØ Ø Ø Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò (u α ) X + Ò ÒÖ Ò Ò Ø Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ u α 1 ÓÖ Ò Ü αº Á ( ) B X (1 + ε) [ u α,u α ] α ÓÖ ÐÐ ε > 0 Ø Ò Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ ÈÖÓÓ º Ä Ø x,y X + º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ñ Ý ÙÑ x y º Á x = ¼ Ø Ò Ð Ó y = ¼ Ò ÓØ Ó ¾º µ Ö ÕÙ Ð ØÓ 0º Ì Ö ÓÖ ÙÑ x ¼ Ò Ð Ø ε > 0 Ò (u α ) X + Ð Ñ º Ì Ò ¼ 1 x x, 1 x y 1 Ò Ò Ø Ö Ö Ò Ü α x,α y,α xy Û Ø 1 x x (1 + ε)u α x 1 x y (1 + ε)u αy Ò u αx,u αy u αxy º Ì Ö ÓÖ x,y (1 + ε) x u αxy º º inf{ v : x,y v} (1 + ε) x uαxy = (1 + ε) x uαxy (1 + ε) x = (1 + ε)max{ x, y }. ½ Ì ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ñ¹ÒÓÖÑ ÐÖ Ý ÓÙÔ ÓÖ ÒÓØ Ò ÓÑ Ô Ð ÒÓÖÑ Ó Ñ ¹ ÓÖ Þ Ò Ñ Ô ØÛ Ò Ò Ô Ò Ò Ð ØØ Ë ïáîº Ò ÅÆ ½ ﾺ µº ÀÓÛ Ú Ö ÒÓ ÓÒ Ù ÓÒ Û ÐÐ ÓÙÖ Ò Ð Ò Û Ø Ñ¹ÒÓÖÑ Û ÐÛ Ý Ñ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µº ¾½

32 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ë Ò ε > 0 Û Ö ØÖ ÖÝ inf{ v : x,y v} max{ x, y } ÓÐÐÓÛ º ÁØ Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø X + Ö ÔÖÓ Ù Ò º Ä Ø x X Ò u αx Ù Ø Ø x 2 x [ u αx,u αx ] ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ 2 x u αx x 2 x u αx º Ì Ò x = 2 x u αx (2 x u αx x), Û Ö ¼ 2 x u αx Ò ¼ 2 x u αx x º º X + Ö ÔÖÓ Ù Ò º ËÓ Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ B X [ u,u] ÓÖ ÓÑ ÓÖ Ö ÙÒ Ø u Û Ø u = 1º ÁÒ Ù Û ÐÐ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Û Ø ÙÒ Øº Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½ ÓÒØ Ò Ø Ö ÙÐØ Ó ÌÞ ¼¾ Ë ØÞ º½º Ò Ð Ö ØÐÝ ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ø Ø Ð Ö Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ º ÓÒÐÙ ÓÒ ¾º¾º¾º ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò Ù ØÓ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ú Ò Ò Ñ¹ÒÓÖѺ ÆÓÛ Û ÔÖ ÒØ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ò ÓÖ Ö Ò Ô Û Ö Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ÙØ ÒÓØ Ò Ñ¹ÒÓÖѺ Ä Ø Ê 2 ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ö Ò Ø ÒÓÖÑ Ò ÓÖ x = ( 1 x 2 ) Ê 2 Ý { max{2 x 1 x 2,2 x 2 x 1 }, x 1,x 2 0 ÓÖ x 1,x 2 0 x = 2( x 1 + x 2 ), ÓØ ÖÛ. Ì ÓÒ Ò Ø ÙÒ Ø ÐÐ Ó Ø Ø Ô Ö Ø Ò ÙÖ ¾º½º Ë Ò u = ( 1 1 ) Ý Ð u = 1 Ò B X [ u,u] Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½µº ÌÓ ÓÛ Ø Ø ÒÓØ Ò Ñ¹ÒÓÖÑ Ð Ø x = ( 1 0 ) Ò y = ( 0 1 )º Ì Ò ¼ x,y u Ò x = y = 2 Û ÐÐ u = 1 Ò Û Ö ÓÒ º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ x 1 1 u X + B X 1 1 x 2 1 [ u, u] ÙÖ ¾º½ ¾¾

33 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ì Ö Ö Ñ¹ÒÓÖÑ ÓÒ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø ÐÓ ÓÒ Ø Ø Ö ÒÓØ ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ø ÑÓÒ ØÖ Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ Û Ø Ø Ñ Ø Ñ ÓÛ Ø Ø Ò Ñ¹ÒÓÖÑ Ñ Ý Ð ØÓ Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ú Ò B X [ u,u] ÓÖ ÓÑ ÓÖ Ö ÙÒ Ø u Û Ø u = 1º Ä Ø Ê 2 ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø Ù Ù Ð ÓÖ Ö Ò Ò Ø ÒÓÖÑ Ò ÓÖ x = ( 1 x 2 ) Ê 2 Ý { max{ x 1, x 2 }, x 1,x 2 0 ÓÖ x 1,x 2 0 x = x 1 + x 2, ÓØ ÖÛ. Ì ÓÒ Ò Ø ÐÓ ÙÒ Ø ÐÐ Ó Ø Ø Ô Ö Ø Ò ÙÖ ¾º¾º Á u = ( 1 1 ) Ø Ò u Ò ÓÖ Ö ÙÒ Ø Û Ø u = 1 Ò B X [ u,u]º À Ò Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ ÌÓ ÓÛ Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ó Ð Ø x = ( 1 x 2 ) y = ( y 1 y 2 ) X + Û Ø ¼ x yº Ì Ø Ñ Ò 0 x 1 y 1 Ò 0 x 2 y 2 Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ x = max{x 1,x 2 } max{y 1,y 2 } = y. ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö Ð Ø ÓÒ ( 1 1 ) ( ) 1 1 ( 1 1 ) Û Ö ( ) 1 1 = 2 Ò ( 1 1 ) = 1 ÓÛ Ø Ø ÒÓØ ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ º ÖØ ÒÐÝ Ò x 1 + x 2 2max{ x 1, x 2 } Ø ÒÓÖÑ 2¹ ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ x 2 u 1 X + B X 1 1 x 1 1 ÙÖ ¾º¾ Ë Ò Ð ØØ ÒÓÖÑ Ö ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ø Ó ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ Ø ÔÖÓÔ ÖØ ØÓ Å¹ ѹ Ò Ñ Ö ÕÙ Ú Ð Òغ ÁÒ X Ú ØÓÖ Ð ØØ Ø Ò ÓÖ ÒÝ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ v Ó ØÛÓ Ð Ñ ÒØ x,y ¼ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ v x y ÓÐ Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ v x y º Ì Ö ÓÖ x y inf{ v : x,y v}º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò x y x,y ÑÔÐ x y inf{ v : x,y v}º Ì ÓÛ x y = inf{ v : x,y v}º ÁØ Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÜÔ Ø Ø Ø ÓÖ Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Û Ø Ò Ñ ¹ ÓÖ Ò Ñ¹ÒÓÖÑ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ¾º µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø ÕÙ Ð ØÝ ¾º µ Ö ¾

34 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ø ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ º º ÓÖ Ò Ø Ø {x i : i = 1,...,n} X + Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ inf{ v : x i v, i = 1,...,n} max{ x i : i = 1,...,n} ¾º µ ÓÐ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ö Ô Ø Ú ÐÝ inf{ v : x i v, i = 1,...,n} = max{ x i : i = 1,...,n} ¾º µ Ò Ó Ò Ñ¹ÒÓÖѺ Ö Ø Û ÒÓØ Ø Ø Ø Ò ÑÙÑ inf{...} Ò Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ¾º µ Ò Ò Ø ÕÙ Ð ØÝ ¾º µ Ü Ø Ù ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ Ú ØÓÖ x i X + i = 1,...,nµ Ø ÙÑ x x n ÓÑÑÓÒ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó ÐÐ x i º Ë Ò Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ¾º µ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ó Ñ¹ ÒÓÖÑ ÑÔÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ ÐÐ Û Ò ØÓ ÓÛ Ø Ú Ð ØÝ Ó Ö Ð Ø ÓÒ ¾º µº ÓÖ Ø Ø Ð Ø Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ Ì ÔÖÓÓ ÓÒ Ý Ò ÙØ ÓÒº ÓÖ n = 2 Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ØÖÙ Ý Ò Ø ÓÒº ÆÓÛ Ð Ø n > 2º Ý ÙÑÔØ ÓÒ inf{ v : x i v, i = 1,...,n 1} max{ x i : i = 1,...,n 1} ÓÐ º Ì Ø ÓÖ ÒÝ ε > 0 Ø Ö Ú ØÓÖ ṽ Ù Ø Ø ṽ x i i = 1,...,n 1µ Ò ṽ max{ x i : i = 1,...,n 1} + 1 2εº Ä Ø v ÓÑÑÓÒ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó ṽ Ò x n º Ù ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ v Ò Ó Ò Ù Ø Ø v max{ ṽ, x n } εº ËÓ x i v ÓÖ ÐÐ i = 1,...,n Ò v max{ x i : i = 1,...,n} + ε Ò Û Ö ÓÒ º Ì Ò ÕÙ Ð ØÝ ¾º µ Ú Ò Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò ÑÙÑ Ó Ø ÒÓÖÑ Ó ÐÐ Ú ØÓÖ ÓÑ Ò Ø Ò Ò Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ Ò Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ Ñ Ð Ö Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÐ ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ø Ó Ú ØÓÖ Ú Ò Ø Ý Ö ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º ÌÞ ¼¾ Ë ØÞ º¾º¾ µº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ÓÐ ½º X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò º ¾º ÓÖ ÒÝ n Æ Ò ÒÝ x i X i = 1,...,nµ inf{ v : v x i v, i = 1,...,n} max{ x i : i = 1,...,n}. ÈÖÓÓ º ½º Ä Ø x Xº Ö Ø Û ÒÓØ Ø Ø Ø Ö Ú ØÓÖ v X + Û Ø v x vº ÁÒ Ò X + Ö ÔÖÓ Ù Ò x Ò Ö ÔÖ ÒØ x = x 1 x 2 Û Ö x 1,x 2 X + º Ì Ò Ø Ú ØÓÖ v = x 1 + x 2 Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ v x vº Ì Ò Ö ØÖ ÖÝ v X + Û Ø v x vº Á v x Ø ÔÖÓÓ Ò Ó ÙÔÔÓ x + ε = v ÓÖ ÓÑ ε > 0º Ï Û ÐÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ú ØÓÖ ˆv Û Ø ˆv x ˆv Ò ˆv x εº ¾

35 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ð ÖÐÝ v x, v + x ¼º Ë Ò Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ø Ö Ü Ø ÓÑ ˆv Ù Ø Ø v x, v + x 2ˆv Ò 2ˆv max{ v x, v + x } ε. ¾º µ Ö Ø Û ÒÓØ 2ˆv 2x 2ˆv 2x (v x) = 2ˆv (v + x) ¼ 2ˆv + 2x 2ˆv + 2x (v + x) = 2ˆv (v x) ¼, Ò Û Ø Ý Ð ˆv x ˆvº ÙÖØ ÖÑÓÖ v ± x x + v = 2 x + ε Ð Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø ¾º µ ØÓ ˆv 1 2 max{ v + x, v x } ε x ε. ¾º Ä Ø {x 1,...,x n } Ò Ö ØÖ ÖÝ Ø Ò X Ò ε > 0º Ý Ñ Ò Ó Ø Ö Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ú ÖÝ i = 1,...,n Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ v i Ø Ý Ò v i x i v i Ò v i x i + 1 2εº Ì Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ¾º µ Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ ˆv Û Ø v i ˆv ÓÖ i = 1,...,n Ò ˆv max{ v i : i = 1,...,n} ε Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ˆv x i ˆv ÓÖ i = 1,...,n Ò inf{ v : v x i v, i = 1,...,n} ˆv max{ x i : i = 1,...,n} + ε. Ù ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÖ Ñ Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ X + Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Û Ø Ñ ¹ÒÓÖÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò º Æ Ú ÖØ ¹ Ð Ø Ñ Ý Ð ØÓ ÓÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ ÑÓÒ ØÖ Ø º Ä Ø m Ø Ú ØÓÖ Ô Ó ÐÐ Ö Ð ÓÙÒ ÕÙ Ò ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø ÙÔÖ ÑÙѹÒÓÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú Ð Ñ ÒØ m + = {(0,0,0,...)} {(x 1,x 2,x 3,...): x 1 > 0, x i 0, i = 2,...}. ÁØ Ý ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø Ø ÓÒ m + Ö ÔÖÓ Ù Ò º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÛ Ø Ø Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ð Ø x = (x n ),y = (y n ) X + Ò ε > 0º Á z = (z n ) Û Ø z 1 = max{x 1,y 1 } + ε Ò z i = max{x i,y i } ÓÖ i 2 Ø Ò z x,y Ò z max{ x, y } + εº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ inf{ z : z x,y} z max{ x, y } + ε ¾

36 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ÓÐ Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ Ì ÓÒ m + ÒÓØ ÓÑ Ò Ø Ò º ÁÒ x = (1, 1,0,0,...) Ò z X + Ù Ø Ø z x Ø Ò z 1 > 1 Ò Ø Ö ÓÖ z > 1 = x º Ì ÓÔ Ò ÙÒ Ø ÐÐ B = {x X : x < 1} Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X ÐÐ ÙÔÛ Ö Ö Ø ÓÖ ÒÝ x,y B Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ w B Ù Ø Ø x,y wº Ì ÒÓØ ÓÒ Ò ÓÙÒ º º Ò Æ ½ Ò ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ó X ØÓ Ñ Ò X + ØÓ Ö ÔÖÓ Ù Ò º Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ìϼ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ µº Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½º Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ ¾º Ì ÓÔ Ò ÙÒ Ø ÐÐ B Ó X ÙÔÛ Ö Ö Ø º ÈÖÓÓ º ½= ¾º Á x,y B Ø Ò Ø Ö Ò ε > 0 Ù Ø Ø x + ε, y + ε < 1º Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ù Ö ÒØ Ø Ü Ø Ò Ó Ò Ð Ñ ÒØ v Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ x,y v Ò v max{ x, y } + ε < 1º ¾= ½º Ä Ø x,y X + Ò ε > 0º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ñ Ý ÙÑ x y º Ì Ò x = 1 x +ε x Ò ỹ = 1 x +εy ÐÓÒ ØÓ Bº Ý ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ w Ù Ø Ø x,ỹ w Ò w < 1º ÓÖ w = ( x + ε) w ÓÒ x,y w Ò w = ( x + ε) w < x + ε = max{ x, y } + ε. Ë Ò ε > 0 Û Ö ØÖ ÖÝ ÓÒ Ó Ø Ò inf{ w : x,y w} max{ x, y }. ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÛ Ø Ø X + Ö ÔÖÓ Ù Ò Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ x Xº Ï Ø ¹ ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ x ÐÓÒ ØÓ Bº Ì Ò Ø Ö w B Ù Ø Ø ¼,x wº Ì Ò x 1 = w Ò x 2 = w x ÐÓÒ ØÓ X + Ò x = x 1 x 2 º ÓÖ ØÛÓ ÒÓÖÑ Ô X, X µ Y, Y µ ÒÓØ Ý L(X,Y ) Ø Ú ØÓÖ Ô Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÙÒ º º ÓÒØ ÒÙÓÙ µ ÓÔ Ö ØÓÖ T : X Y º ÓÖ T L(X,Y ) Ø ÒÓÖÑ Ò Ý T = sup{ Tx Y : x X 1}. Ä Ø X Ò Y ØÛÓ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º Ê ÐÐ Ø Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ T L(X,Y ) ØÓ ÔÓ Ø Ú ÛÖ ØØ Ò T ¼µ T(X + ) Y + º Ì Ø L + = L + (X,Y ) = {T L(X,Y ): T ¼} ÓÒ Ò ÓÒÐÝ X + X + ÒÓÖÑ Ò Ò X º º X + Û ÐÝ Ö ÔÖÓ Ù Ò µ Ò ÐÓ Y + ÐÓ ÎÙÐ ïîẽ µº ¾

37 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ì ÒÓÖÑ Ó ÔÓ Ø Ú ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ T : X Y Û Ö X Ò Y Ö ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ Ò ÐÙÐ Ø Ý Ø Ò ÒØÓ ÓÒ Ö¹ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ø ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÐÐ Ë ïá Ò ï µ º º Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ T = sup{ Tx Y : x X, x X 1} sup{ Tx Y : x X +, x 1} ¾º½¼µ = T + Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒº ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Ò Y Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ T L + (X,Y ) Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾º½¼µ Ñ Ý Ð ØÓ ØÖÙ º Ï Ò Ú Ö ÔÓ Ø Ú ÓÔ¹ Ö ØÓÖ T L + (X,Y ) Ø T + = T Ø ÒÓÖÑ Ó T ØÓ ÔÓ Ø Ú ÐÝ ØØ Ò º º Ê µº Ì ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ñ ¹ÒÓÖÑ ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø ÐÝ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò º Ù ØÓ Ê ÔÖÓÔº½º º Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ú¹ ÖÝ ÔÓ Ø Ú ÓÔ Ö ØÓÖ T : X Y ÔÓ Ø Ú ÐÝ ØØ Ò º ÅÓÖ Ü ØÐÝ Ø Ö ÓÐ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò Y Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º Á Ø ÒÓÖÑ Y Ò Y ÓÐÙØ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò Ø ÒÓÖÑ Ó ÔÓ Ø Ú ÓÔ Ö ØÓÖ T : X Y ÔÓ Ø Ú ÐÝ ØØ Ò º ¾ ÓÒ ÕÙ Ò Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÒÓÖÑ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÒ Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú ÐÝ ØØ Ò º ÓÒÐÙ ÓÒ ¾º¾º º Á X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ø Ò f + = f ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð f X +º ÁØ Ý ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø ÐÓ ÙÖ X + Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÒ X + Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒ ÎÙÐ ï º½ µ Ò Ø Ö ÓÖ (X,X +, ) Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º Ì Ò ÜØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ø ÙÒ Ö Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ø Ñ ¹ Ò Ñ¹ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø ÒÓÖÑ ÔÖ ÖÚ Ø Ö Ô Ò ØÓ Ø ÐÓ ÙÖ Ó Ø ÓÒ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø M¹ÑÓÒÓØÓÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ º Ì Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Ó Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò Ø ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô (X,X +, )º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ó Ñ ÓÒ (X,X + )º ÈÖÓÓ º Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ø Ø ÐÓ ÙÖ X + Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÒ X + Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒ ÎÙÐ ï º½ µ Ò Ø Ö ÓÖ (X,X +, ) Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ ¾ ÇÒ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ø Ò Ê X Ò Y Ö Ò Ô ÙØ Ø Ñ ÔÖÓÓ Ò Ð Ó ÔÔÐ Ò Ø Ò Ö Ð º ¾

38 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ô º Ù ØÓ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ó ÓÒ X + ØÖ Ò Ö ØÓ X + º Ì Ö ÓÖ Ø Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÒÓÖÑ ÔÖ ÖÚ ØÓ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò (X,X +, )º Ä Ø ÒÓØ Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò X Ö Ð Ø ØÓ X + º Ì Ò X + X + ÑÔÐ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ x y x y ¾º½½µ ÓÖ ÒÝ x,y Xº Á x,y X + Ø Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º inf{ v : x,y v} inf{ v : v x,y v} max{ x, y }. ¾º½¾µ Ù ØÓ ¾º½½µ ÓÒ inf{ v : x,y v} inf{ v : x,y v} max{ x, y }, º º Ø ÒÓÖÑ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ÓÒ (X,X +, )º ¾º½ µ Æ ÜØ Û Û ÒØ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ú ÖÝ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Û Ø Ñ¹ÒÓÖÑ Ö Ô Ø Ú ÐÝ M¹ÑÓÒÓØÓÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò ÐÓ ÓÒ Ò Ñ ÒØÓ ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ØØ Y Û Ø Å¹ÒÓÖÑ Ù Ø Ø Ø Ð ØØ ÒÓÖÑ ÓÒ Y Ö ØÖ Ø ØÓ X ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓÖÑ Ó Xº Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø M¹ÑÓÒÓØÓÒ Ñ ¹ ÒÓÖÑ Ò ÐÓ ÓÒ º Ì Ò Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ X δ Û ÐÐ Ø Ê Þ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ X Ó X Ü Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÒ X δ Ò ÓÒ X Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ö Ò Å¹ÒÓÖÑ Ø Ø ÓÒ X ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÒÓÖÑ º ÈÖÓÓ º Ë Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ ÐÓ Ù ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½º º Ø ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Ö Ñ Òº Ê ÐÐ Ø Ø Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ó Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ ¹ÒÓÖÑ Ö ÔÖÓ Ù Ò º Ì Ò Ù ØÓ Ù Ò Ì ÓÖ Ñ Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ X δ Ó X Ôº Ò ï½º½µ Ò Ù ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ø Ê Þ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ X Ó X Ü Øº ÆÓÛ ÙÑ Y {X δ,x }º Ä Ø Y : Y Ê Ø ÙÒØ ÓÒ Ð y Y = inf{ x : x X +, x y }. Ì M¹ÑÓÒÓØÓÒÝ Ó ÑÔÐ Ø Ø X + ÒÓÖÑ Ð Ò Ù ØÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º ¹½ M¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Mº ËÓ Ò Y = X δ ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ Îº º½ ÑÔÐ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Y ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ Ò Ó Ú ÓÙ ÐÝ Ð ØØ ÒÓÖѵ ÓÒ Y Û ÓÒ X ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÒÓÖÑ º Á Y = X Ø Ò ÓÒÐÙ ÓÒ º½º¾ Ý Ð Ø Ø Y Ð ØØ ÒÓÖÑ ÓÒ Y Ø Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Û Ò Ö ØÖ Ø ØÓ Xº ¾

39 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ÌÓ Ò Ø ÔÖÓÓ Û ÓÛ Ø Ø Y Ò Å¹ÒÓÖѺ ÓÖ Ø Ø Ð Ø ¼ y 1,y 2 Y º Ì Ò Ò Ú Û Ó ¾º µ ÓÒ max { y 1 Y, y 2 Y } = max {inf { x 1 : x 1 X +, x 1 y 1 },inf { x 2 : x 2 X +, x 2 y 2 }} = inf {max { x 1, x 2 } : x 1,x 2 X +, x 1 y 1, x 2 y 2 } inf {inf { v : v X +, v x 1,x 2 } : x 1,x 2 X +, x 1 y 1, x 2 y 2 } inf { v : v X +, v y 1,y 2 } = inf { v : v X +, v y 1 y 2 } = y 1 y 2 Y. ¾º½ µ Ì Ö Ð Ø ÓÒ y 1,y 2 y 1 y 2 Ò Ø ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ Ó Y Ý Ð max{ y 1 Y, y 2 Y } y 1 y 2 Y Ò Ó ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º½ µ Ø ÕÙ Ø ÓÒ max{ y 1 Y, y 2 Y } = y 1 y 2 Y ÔÖÓÚ º Ò ÑÑ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ò Ø ÔÖ ÒØ ÔÖÓÓ Ø Ø Ø Ö Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ¹ÒÓÖÑ ÓÒ X ÔÖÓÚ X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø M¹ÑÓÒÓØÓÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ Ò ÐÓ ÔÓ Ø Ú ÓÒ X + º Ì Ø Ñ Ò Ò Ö ÔÐ Ý Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ Û Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÖÓÑ ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ Áκ¾º Ò Áκ¾º½ ÙÒ Ö Ö Ø ÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ ÒÓÖÑ ÔÖÓÔ ÖØݺ ÁÒ x,y X + Ò Y Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ø Ò max{ x Y, y Y } = x y Y = inf{ v : x,y v X + } inf{ v Y : x,y v} max{ x Y, y Y }. Ò ÓÑÔ Ö Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ Ó Ø Ò ÓÖ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ä¹ÒÓÖÑ Ò M¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÓÒ º Ä ÑÑ ¾º¾º º Á X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø M¹ ÓÑ Ò Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÓÒ X + Ò Ä¹ÒÓÖÑ º Ì Ò Ø Ö Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ä¹ÒÓÖÑ 2 ÓÒ X Ù Ø Ø X + ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ 2 º ¾

40 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ÈÖÓÓ º Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð 2 : X Ê + Ý x 2 = max{inf{ y : y x y X + }, x }. Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø 2 ÒÓÖѺ Á x 2 = 0 Ø Ò x = 0 Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ x = ¼º Ì Ö Ú Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ ¼ 2 = 0 ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¼ = 0 Ò ¼ X + º Á λ Ê Ø Ò inf{ y : y λx y X + } = λinf{ y : y x y X + } Û ÐÐ λx = λ x Ò Ø Ö ÓÖ λx 2 = λ x 2 ÓÐ º ÓÖ Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ Ð Ø x 1,x 2 Xº Ì Ò Ø Ö x 1 + x 2 2 = inf{ y : y x 1 + x 2 y X + } ÓÖ inf{ y 1 + y 2 : y 1 x 1 y 1 X +, y 2 x 2 y 2 X + } = inf{ y 1 + y 2 : y 1 x 1 y 1 X +, y 2 x 2 y 2 X + } = inf{ y 1 : y 1 x 1 y 1 X + } + inf{ y 2 : y 1 x 2 y 2 X + } max{inf{ y 1 : y 1 x 1 y 1 X + }, x 1 } + max{inf{ y 2 : y 2 x 2 y 2 X + }, x 1 } = x x 2 2, x 1 + x 2 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 max{inf{ y 1 : y 1 x 1 y 1 X + }, x 1 } + max{inf{ y 2 : y 2 x 2 y 2 X + }, x 1 } = x x 2 2, ÓÐ º Ë Ò Ä¹ÒÓÖÑ ÑÓÒÓØÓÒ x = inf{ y : y x y X + } ÓÐ ÓÖ x X + Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ 2 = ÓÒ X + Ø Ø Ñ Ò 2 Ò Ä¹ÒÓÖѺ X + ÓÐÙØ ÐÝ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ò º ÁÒ Ð Ø ε > 0 ¼ x X Ò z X + Û Ø z x z Û ÐÐ Ì Ò z inf{ y : y x y X + } + ε x 2. z 2 = z inf{ y : y x y X + } + ε x 2 max{inf{ y : y x y X + }, x } + ε x 2 = (1 + ε) x 2. Ï Ø Ð Ø ØÓ ÓÛ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó 2 Ò º Ä Ø x Xº Ý Ò Ø ÓÒ x x 2 ÓÐ º Ë Ò X + M¹ ÓÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ¼

41 ¾º¾º ÇÖ Ö Ú ØÓÖ Ô Û Ø Ñ¹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ÓÐÙØ ÐÝ M 2 ¹ ÓÑ Ò Ø Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ µ Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ú ØÓÖ z X + Û Ø z x z Ò z M 2 x º Ì Ò x 2 = max{inf{ y : y x y X + }, x } max{ z, x } max{m 2 x, x } = max{m 2,1} x. Ý Ñ Ò Ó Ø Ó¹ ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ Ó Ö ÔÖÓ Ù Ð ØÝ ÒØÖÓ Ù Ý º º ÎÙÐ Ò ÎÙÐ ïáááº Û Ö Ð ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ñ ¹ Ò Ñ¹ÒÓÖÑ ÓÒ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô º ÓÖ Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô X Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ X + ÓÖ ÐÐ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö n = 1,2,... Ò V (X +,n) = sup{inf{ v : v x 1,...,x n }: x 1,...,x n B X }. ¾º½ µ ÇÒ V (X +,n) V (X +,n + 1)º ÐØ ÓÙ Ò Ò Ö Ð V (X +,n) = ÓÖ ÐÐ n 2 ÔÓ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ X + M¹ ÓÑ Ò Ø Ò V (X +,2) < + V (X +,n) < + ÓÖ ÒÝ n Æ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÎÙÐ Ì ÓÖ Ñ ÁÁÁº º½ µº Á Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Ø Ò X + M¹ ÓÑ Ò Ø Ò Ò Ó V (X +,n) < ÓÐ ÓÖ ÐÐ nº ÅÓÖ Ü ØÐÝ ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½¼º Ä Ø X Ò ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ X + º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÖÓÙÔ Ó Ø Ø Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ½º Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ ¾º V (X +,k) 1 ÓÖ ÓÑ k 2 º V (X +,n) 1 ÓÖ ÐÐ n 2 º Ò Ñ¹ÒÓÖÑ º Ø ÒÓÖÑ ÑÓÒÓØÓÒ Ò V (X +,k) = 1 ÓÖ ÓÑ k 2 º Ø ÒÓÖÑ ÑÓÒÓØÓÒ Ò V (X +,n) = 1 ÓÖ ÐÐ n 2º ½

42 ¾º º ËÓÑ Ù Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÈÖÓÓ º ¾= ½º Ä Ø x,y X + º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ x y Ò x ¼ Ñ Ø ÙÑ º Ì Ò x,y x B X Ò Ý ÙÑÔØ ÓÒ max{ x, y } = x x V (X +,k) = x sup{inf{ v : v x 1,...,x k }: x 1,...,x k B X } = sup{inf{ v : v x 1,...,x k }: x 1,...,x k x B X } sup{inf{ v : v x 1,x 2 }: x 1,x 2 x B X } inf{ v : x,y v}, º º Ò Ñ ¹ÒÓÖѺ ½= º Ä Ø n Æ Ò x 1,...,x n B X º ÓÐÐÓÛ Ò Ó ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ø Ö inf{ v : v x 1,...,x n v} max{ x 1,..., x n } 1 V (X +,n) = sup{inf{ v : v x 1,...,x n }: x 1,...,x n B X } sup{inf{ v : v x 1,...,x n v}: x 1,...,x n B X } 1. = ¾º Á Ð Öº = º Ì ÑÔÐ Ø ÓÒ ¾= ½º ÓÛ Ø Ø Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ Û Ò Ø ÓÒ ÒÓÛ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ò Ñ¹ÒÓÖѺ = º Ë Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ v max{ x 1,..., x n } ÓÐ ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ Ú ØÓÖ x 1,...,x n B X X + Ù Ø Ø v x 1,...,x n º Ì Ò V (X +,n) = sup{inf{ v : v x 1,...,x n }: x 1,...,x n B X } sup{inf{ v : v x 1,...,x n }: x 1,...,x n B X X + } 1. Ì Ò V (X +,n) = 1 Ò ½= º ÑÔÐ V (X +,n) 1º = º Á Ð Ö Òº ¾º ËÓÑ Ù Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÒØ ØÓ Ü Ñ Ò ÓÑ Ù Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ÓÖ ÓÖ Ö ÒÓÖÑ Ô Û Ø Ä¹ ѹ Ò Ñ ¹ÒÓÖÑ º ËÓÑ Ó Ø Ö ÙÐØ ÐÓÛ Ö ÔÖÓÚ Ò ÌÞ ¼¾ Ò Ö Ô ÖØ ÐÐÝ ÔÙ Ð Ò Ìϼ º Ï Ö Ø Ö Ø Ö Þ Ø Ù Ð ÒÓÖÑ ØÓ Ñ ÓÖ Äº ÐØ ÓÙ Ø Ò ÜØ ØÛÓ Ø ÓÖ Ñ Ò ÐÝ Ó Ø Ò Û Ø Ø ÐÔ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º½º¾ Ò Ö Ð Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÒ ¾º¾ Û ÐÐ Ú Ø Ö ÓÖØ Ö Ø ÔÖÓÓ º ¾