3 Randomisierungs-Tests

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1 28 3 Randomisierungs-Tests 3.1 Einführendes Beispiel a Hagel-Experiment:( GrossversuchIV imnapfgebiet ) Verringert das Impfen von potenziellen Hagelwolken mit Silberiodid die Hagelenergie? (Einfache Überlegungen, brauchen nur Kombinatorik und W.) Zielgrösse: Hagelenergie, gemessen für n Wolken. Zwei Gruppen: ca. n/2 geimpft, Rest Kontrolle. Yi : { Hagelenergie der Wolke i Gi = 1 falls Wolke i geimpft, 0 sonst. Hoffnung: Yi mit Gi = 1 fallen tendenziell niedriger aus.

2 b Beobachtet: Yi = y i Gi = g i g i: Zufallsauswahl der zu impfenden Wolken. (In Wirklichkeit 216 Wolken; davon wurden 94 geimpft.) Statistischer Test! H0 : Keine Wirkung. ( Widerspruchsbeweis!) Ungepaarter Zwei-Stichproben-Problem. t-test? Keine Annahmen über die Verteilung der Yi!!

3 Statistische Überlegung a Nullhypothese = Wahrscheinlichkeitsmodell. Üblich: Verteilung für Yi; Gi = g i fest vorgegeben. Randomisierungstests: Gi zufällig; Yi = y i als fest betrachtet (Analyse bedingt auf die y i.) Falls das Impfen keinen Einfluss auf die Hagelenergie hat, würden wir die genau gleichen Werte y i erhalten, wenn die Wolken entspr. g (1) = [0,1,0,0,1,1,0,1] oder entsprechend irgendeiner anderen Auswahl geimpft worden wären.

4 31 Zufallsauswahl: Jede Auswahl von n/2 = 4 Elementen aus n = 8 hat gleiche Wahrscheinlichkeit p = ( 8 4) 1 = 1 70 Damit ist die Nullhypothese festgelegt.

5 b Teststatistik: Soll extreme Werte annehmen, wenn Alternative gilt. Alternative: y i mit g i = 1 sind tendenziell kleiner. T g,y = 1 n/2 i:gi=0 y i 1 n/2 i:gi=1 y i = 2 n y i(1 2gi). i c Wie ist T unter der Nullhypothese verteilt? y 1,...,y n gegeben ( n n/2) mögliche Werte für T. P T G,y =t = #{g T g,y =t} ( ) n n/2 Randomisierungs-Verteilung

6 Wahrscheinlichkeit 0 / 70 5 / / / / 70 Randomisierungs Verteilung t 0 / 70 2 / 70 4 / 70 6 / 70 8 / Randomisierungs Vert., rechter Teil t

7 d Verwerfungsbereich: α = 5% extremste Werte (so genau als möglich). Beispiel: {t t } (einseitig). e Experiment: T g,y = 1 4 ( ) 1 ( ) = Effekt in die unerwartete Richtung! Nullhypothese nicht verworfen; Effekt nicht nachgewiesen. (Auch nicht in umgekehrter Richtung.)

8 3.2 f* Voraussetzung des Tests: Unabhängigkeit Randomisierung über 76 potentielle Hageltage 35 Davon 33 als Impftage ausgewählt. Anzahl Impftage zufällig. Analyse bedingt auf Anzahl Hageltage mit Impfung. Eingeschränkte Randomisierung. g ( 76 33) = mögliche Auswahlen Simulation der Randomisierungs-Verteilung.

9 Tests für das Zwei-Stichproben-Problem a Beispiel lässt sich leicht verallgemeinern: b Randomisierungstests sind auch dann anwendbar, wenn die Durchführung des Versuchs keinen Randomisierungsschritt enthält. Voraussetzungen, die dann gelten müssen: Die Beobachtungen müssen unter H0 gleich verteilt und unabhängig sein. Dann stimmt die gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit α exakt. Die Randomisierungstests bilden in diesem Sinne den Goldstandard unter den statistischen Tests. (* Schwächere Voraussetzung: Austauschbarkeit.)

10 c Wenn Beobachtungen zufällig: Stichprobe [Y1,...,Yn] geordnete St. Y [1],...,Y [n] oder empirische Verteilungsfunktion F n (s. Bootstrap) Vert. der Teststatistik, bedingt auf F n, = Randomisierungs-Vt. Bedingte W. eines Fehlers erster Art, gegeben Fn, = α für jede Bedingung Fn, und deshalb auch ohne Bedingung.

11 d Beliebige Teststatistik. Differenz der Mittelwerte unrobust. Optimale Teststatistik? Macht für die Alternative(n) opt.! Braucht bestimmte Verteilung(s-Familie) optimale Teststatistik (Likelihood-Ratio-Test) e Beispiel: Logarithmus-Transformation, dann Mittelwertsdifferenz (robustifiziert).

12 Wahrscheinlichkeit 0 / 70 5 / / 70 Rand.Vert. für log. Werte t l Rang(t gl ) g Vergleich der Test Statistiken Rang(t g )

13 f Robustheit. Wieso eine robuste Teststatistik verwenden, wenn der Test auch ohne diese Vorsichtsmassnahme die Irrtumswahrscheinlichkeit genau einhält? g Rangsummentest von Wilcoxon, Mann und Whitney (U-Test), T g,y = gi=1 R i = i g iri, Recht robust Test der Wahl für das 2-Stichpr.-Problem Verteilung der Teststatistik unter H0 wie gehabt. h* Hagel-Experiment: Komplizierte Teststatistik, zweidimensional zweidim. Verwerfungsbereich.

14 Eine Stichprobe oder zwei verbundene a Beispiel Tranquilizer. Zielgrösse: Hamilton depression scale factor IV. 9 Patienten, vor und nach Anwendung des Tranqulizers. vorher (X (1) i ) nachher (X (2) i ) Abnahme ( Yi)

15 b Verbundene Stichproben. Differenzen Yi = X (2) i X (1) i symmetrisch um 0 verteilt? H0: Für jedes Yi ist + und -Vorzeichen gleich wahrscheinlich. Gi = Vorzeichen, Yi = Yi im Zwei-Stichproben-Problem. Für jede Vorzeichen-Konstellation g (l) = [g (l) 1,...,g(l) n ] ist Wahrsch. = 1/2 n.

16 c Teststatistik T g, z festlegen, gi = +1 oder = 1, zi > 0. Rand.-Vert. P T G,z =t = #{g T g,z =t}/2 n T g,z = (1/n) i g izi =avei yi entspricht dem t-test für gepaarte Stichproben. T g,z = #{i : gi = 1}: Vorzeichentest. T g,z = i:gi=1 R i, Ri: Rang von zi: Vorzeichen-Rangsummen-Test von Wilcoxon.

17 e Beispiel: > wilcox.test(d.tranquilizer[,1], d.tranquilizer[,2], paired=true) Wilcoxon signed rank test data: d.tranquilizer[, 1] and d.tranquilizer[, 2] V = 40, p-value = alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 knapp signifikant. Achtung: Vorher-Nachher-Vergleich! Richtig: Vergleich mit Kontrollgruppe oder Crossover-Versuch.

18 Schätzungen und Vertrauensintervalle a Modell: Testfrage war: Ist Verteilung symmetrisch um 0? Allgemeineres Modell: Verteilung symmetrisch um µ Yi µ symmetrisch um 0. Test: Teststatistik T g,y µ1. Grosse Werte = Abweichung von H0 : µ. b Daraus ergibt sich eine Schätzung: µ =arg min µ T g,y µ1

19 c Vorzeichen-Rangsummen-Test Hodges-Lehmann-Schätzer. Betrachte Walsh averages (Xh + Xi)/2. µ = medh i (Xh +Xi)/2. Beispiel Tranquilizer: 45 Walsh-Mittelwerte , , , , , ,..., Median µ = 0.46

20 47 d* Herleitung: X [k] k-t-kleinster Wert. X[k] > 0, Zhk = (X [h] +X [k] )/2, h < k Zhk < 0, wenn X [h] > X [k]. 3.5 #{Zhk < 0} = #{h X [h] < X [k] } = R [k] 1 R[k] = #{h Zhk > 0, h k}. X[k] < 0 = Zhk < 0, wenn h < k. T g,z = i:gi=1 R i = #{[h,k] Zhk > 0,h k} Nullhypothese µ = µ0: T g,z = i:gi=1 R i = #{[h,k] Zhk > µ0,h k} Test am wenigsten signifikant, wenn dies = n(n+1) ist 2 µ =median Zhk h k.

21 3.5 f Vertrauensintervall für Vorzeichen-Rangsummen-Test: 48 Grenzen des Ann.bereichs von T: c und c = n(n+1)/2+1 c Vertrauensgrenzen = c-ter und c -ter Walsh-Mittelwert. Beispiel Tranquilizer: c = 6, c = 40, Vertrauensintervall [0.01, 0.786]. h Allgemeine Teststatistik T G,z ;µ : Betrachte Q β = P T G,z ;µ > T g,z ;µ β Schätzung = Lösung von Q β = 0.5 = 0. Vertrauensgrenzen = Nullstellen für Q β = = 0 und Q β = = 0. Lösbar!

22 Korrelation und Regression a Korrelation und einfache Regression. Xi, Yi (Xi zufällig oder fest) Nullhypothese: kein Zusammenhang Randomisierung = Paarung = Permutation von Y. Wahrsch. jeder Permutation = 1/n! = 1/(n(n 1)...2 1). Teststatistik: gewöhnliche Korrelation, Rangkorrelation, robuste Schätzung des Regressions-Koeffizienten,...

23 b Multiple Regression: Permutation von Y für Test der Hypothese, dass überhaupt kein Zusammenhang zwischen den Eingangs-Variablen und der Zielgrösse besteht. c Zeitreihen: Beobachtungen unabhängig? Randomisierung: Permutation. Testgrösse: z.b. erste Autokorrelation. d Multiple Regression: Einzelner Koeffizient (oder mehrere) kein strikt richtiges Randomisierungsmodell.

24 3.6 e* Permutationen und andere Randomisierungen. Regression und Korrelation: Permutationen. Bei zwei oder mehreren Gruppen: Auswahlen. Permutationen: viel mehr; viele führen zur gleichen Gruppenzugehörigkeit gleiche Randomisierungs-Verteilung. 51 Hagelversuch: Anzahl potentielle Hageltage zufällig, Anteil geimpfter zufällig. Randomisierungs-Verteilung: Auswahlen von 33 aus 76 Tagen bedingter Test, geg. die Anzahlen Impf- und Kontrolltage.

25 52 Merkpunkte Randomisierungs-Tests Randomisierungstests halten das Niveau exakt ein, ohne Voraussetzungen an die Verteilung. (Unabhängigkeit von Beobachtungen vorausgesetzt.) Die Teststatistik kann beliebig kompliziert sein. Wahl mit (informellen) Überlegungen zur Macht. Robuste Teststatistik (z.b. aus Rängen) wählen! Es können auch Vertrauensintervalle konstruiert werden.