Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite 1 von 7 Abiturrüfung 215 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: Eine Firma stellt mit zwei verschiedenen Maschinen A und B Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als 1. Wahl gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als 2. Wahl bezeichnet. Eine Fliese, die mit Maschine A roduziert wurde, ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von,9 1. Wahl (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von,1 2. Wahl ). Maschine B roduziert lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von,8 1. Wahl -Fliesen. Dabei kann für beide Maschinen davon ausgegangen werden, dass die Produktion von Fliesen 1. und 2. Wahl jeweils stochastisch unabhängig erfolgt. Fliesen, die von Maschine A roduziert wurden, werden im Folgenden als A-Fliesen bezeichnet, Fliesen von Maschine B als B-Fliesen. Jede Packung enthält 2 Fliesen, die von derselben Maschine stammen. a) (1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung A-Fliesen genau zwei 2. Wahl -Fliesen enthalten sind. (2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung A-Fliesen maximal 8 % der Fliesen die Qualität 1. Wahl haben. Die 2 Fliesen einer Packung B-Fliesen wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt. (3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur 1. Wahl -Fliesen enthält. [Kontrollergebnis =,32768 ] (4) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur 1. Wahl -Fliesen enthält. ( Punkte)

2 Seite 2 von 7 b) An Großabnehmer verkauft die Firma auch Paletten, die jeweils 5 Packungen Fliesen von derselben Maschine enthalten. Ein Bauunternehmer bestellt eine Palette mit A-Fliesen. Da die Packungen bei der Lieferung nicht gekennzeichnet sind, befürchtet er, versehentlich eine Palette mit B-Fliesen erhalten zu haben. Er beschließt, für einen Test der Lieferung zufällig 1 Fliesen zu entnehmen und die Anzahl X der 2. Wahl -Fliesen in dieser Stichrobe zu bestimmen. (1) Begründen Sie, dass X als binomialverteilte Zufallsgröße aufgefasst werden kann, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit bei A-Fliesen =,1 und bei B-Fliesen =,2 beträgt. (2) Es wird ein Hyothesentest mit der Nullhyothese H :,2 durchgeführt. Wird H verworfen, wird die Palette angenommen, sonst wird sie zurückgeschickt. Erklären Sie die Wahl der Nullhyothese. (3) Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel (auf Basis der genannten Nullhyothese) für die oben genannte Stichrobe von 1 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (d. h. Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art) von höchstens 5 %. [Zur Kontrolle: H wird für X 13 abgelehnt.] (4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit A, dass die Hyothese H aufgrund der Entscheidungsregel aus (3) irrtümlich nicht abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich A-Fliesen enthält, also =,1 gilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit B, dass die Hyothese H irrtümlich abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich B-Fliesen enthält, also =,2 gilt. [Zur Kontrolle: A,1239, B,469 ] (5) Im Lager des Herstellers befanden sich 7 Paletten mit A-Fliesen und 3 Paletten mit B-Fliesen, aus denen die angelieferte Palette zufällig ausgewählt wurde. Bestimmen Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten Irrtumswahrscheinlichkeit für den Test. A und B die gesamte ( Punkte)

3 Seite 3 von 7 c) Für besonders ansruchsvolle Kunden soll eine Sorte Premium angeboten werden, die nur aus 1. Wahl -Fliesen besteht. Dazu will die Firma die 2. Wahl -Fliesen aus der Produktion der Maschine A aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer otimal funktioniert: Das Testgerät erkennt eine 2. Wahl -Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von w =,8 ( Aussortierwahrscheinlichkeit ) und sortiert sie aus. Andererseits wird eine 1. Wahl - Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von,5 zu Unrecht als 2. Wahl aussortiert. (1) Stellen Sie die Situation grahisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als 1. Wahl einstuft (also nicht aussortiert). (2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine 2. Wahl -Fliese ist. (3) Bestimmen Sie, wie groß die Aussortierwahrscheinlichkeit w des Testgeräts mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit aus (2) (und damit der erwartete Anteil der 2. Wahl -Fliesen nach dem Aussortieren) durch die Prüfung auf unter 1 % gesenkt wird. ( Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

4 Seite 4 von 7 Tabelle 1: σ-regeln für Binomialverteilungen Eine mit den Parametern n und binomialverteilte Zufallsgröße X hat den Erwartungswert µ = n und die Standardabweichung σ = n (1 ). Wenn die LAPLACE-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, gelten die σ-regeln: P( µ 1,64σ X µ + 1,64 σ),9 P( µ 1,96σ X µ + 1,96 σ),95 P( µ 2,58σ X µ + 2,58 σ),99 P( µ 1,64 σ X),95 PX ( µ + 1,64 σ),95 P( µ 1,96 σ X),975 PX ( µ + 1,96 σ),975 P( µ 2,58 σ X),995 PX ( µ + 2,58 σ),995 P( µ 1σ X µ + 1 σ),683 P( µ 2σ X µ + 2 σ ),954 P( µ 3σ X µ + 3 σ),997 P( µ 1 σ X),841 PX ( µ + 1 σ),841 P( µ 2 σ X),977 PX ( µ + 2 σ),977 P( µ 3 σ X),999 PX ( µ + 3 σ),999

5 Seite 5 von 7 Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n = 1 und n = 2 Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; Bnk ; ; n n = k 1 n k ( ) ( ) ( ) ( ) n k,2,5,8,1,15,2,25,3,5 n,8171,5987,4344,3487,1969,174,563,282,1 9 1,9838,9139,8121,7361,5443,3758,244,1493,17 8 2,9991,9885,9599,9298,822,6778,5256,3828, ,999,9942,9872,95,8791,7759,6496, ,9999,9994,9984,991,9672,9219,8497, ,9999,9986,9936,983,9527, ,9999,9991,9965,9894, ,9999,9996,9984, ,9999, Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, 9,999,6676,3585,1887,1216,388,115,32,8, 19 1,941,7358,5169,3917,1756,692,243,76, 18 2,9929,9245,7879,6769,449,261,913,355,2 17 3,9994,9841,9294,867,6477,4114,2252,171, ,9974,9817,9568,8298,6296,4148,2375, ,9997,9962,9887,9327,842,6172,4164, ,9994,9976,9781,9133,7858,68, ,9999,9996,9941,9679,8982,7723, ,9999,9987,99,9591,8867, ,9998,9974,9861,952, ,9994,9961,9829, ,9999,9991,9949, ,9998,9987, ,9997, , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, 16, , n,98,95,92,9,85,8,75,7,5 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h.,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

6 Seite 6 von 7 Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilungen für n = 1 n n n k Fnk ( ; ; ) = Bn ( ; ;) Bnk ( ; ; ) = ( 1 ) ( 1 ) k n k,5,7,1,15 1/6,2,25,27,3 1/3,4 n,59,7,,,,,,,,, 99 1,371,6,3,,,,,,,, 98 2,1183,258,19,,,,,,,, 97 3,2578,744,78,1,,,,,,, 96 4,436,1632,237,4,1,,,,,, 95 5,616,2914,576,16,4,,,,,, 94 6,766,4443,1172,47,13,1,,,,, 93 7,872,5988,261,122,38,3,,,,, 92 8,9369,734,329,275,95,9,,,,, 91 9,9718,838,4513,551,213,23,,,,, 9 1,9885,992,5832,994,427,57,1,,,, 89 11,9957,9531,73,1635,777,126,4,1,,, 88 12,9985,9776,818,2473,1297,253,1,2,,, 87 13,9995,991,8761,3474,2,469,25,6,1,, 86 14,9999,9959,9274,4572,2874,84,54,14,2,, 85 15,9984,961,5683,3877,1285,111,33,4,, 84 16,9994,9794,6725,4942,1923,211,68,1,1, 83 17,9998,99,7633,5994,2712,376,133,22,2, 82 18,9999,9954,8372,6965,3621,63,243,45,5, 81 19,998,8935,783,462,995,42,89,11, 8 2,9992,9337,8481,5595,1488,684,165,24, 79 21,9997,967,8998,654,2114,157,288,48, 78 22,9999,9779,9369,7389,2864,1552,479,91, ,9881,9621,819,3711,2172,755,164, ,9939,9783,8686,4617,299,1136,281, ,997,9881,9125,5535,3737,1631,458, ,9986,9938,9442,6417,462,2244,715, ,9994,9969,9658,7224,5516,2964,166, ,9997,9985,98,7925,6379,3768,1524, ,9999,9993,9888,855,7172,4623,293, ,9997,9939,8962,7866,5491,2766, ,9999,9969,937,8446,6331,3525, ,9984,9554,899,717,4344, ,9993,9724,9261,7793,5188, ,9997,9836,9518,8371,619, ,9999,996,9697,8839,683, ,9999,9948,9817,921,7511, ,9973,9893,947,8123, ,9986,994,966,863, ,9993,9968,979,934, ,9997,9983,9875,9341, ,9999,9992,9928,9566, ,9999,9996,996,9724, ,9998,9979,9831, ,9999,9989,99, ,9995,9943, ,9997,9969, ,9999,9983, ,9999,9991, ,9996, ,9998, ,9999, , , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, 55, , , , n,95,93,9,85 5/6,8,75,73,7 2/3,6 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h.,5 gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

7 Seite 7 von 7 Tabelle 4: Normalverteilung φ φ ( z) =,... ( z) = 1 φ( z) z , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Beisiele für den Gebrauch: φ ( 2,32) =,9898 ( ) φ( ) φ,9 = 1,9 =,1841 ( z),994 z 2,51 φ = =