Dekomposition (Zerlegung des Objekts in einzelne Komponenten) und. Aggregation (Zusammenfassung von Komponenten zu einem Ganzen)

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1 Einführung Diese Vorlesung wird sich mit der mathematischen Modellierung technischer Systeme beschäftigen, wobei der Fokus auf mechanische Starrkörpersysteme und Robotersysteme gelegt wird. Hierzu wird im Weiteren zunächst eine Begriffsbestimmung und grundlegende Einordnung folgen.. Modelle und Systeme Ein Modell ist eine Abbildung der Wirklichkeit, d.h. eines natürlichen oder künstlichen Objekts bzw. Originals. Dabei werden nur die für die jeweilige Aufgabe notwendigen Eigenschaften des Originals berücksichtigt, so dass nur ein beschränktes Abbild entsteht. Unter einem Modell wird im Rahmen dieser Veranstaltung ein mathematisches Modell bzw. eine mathematische Abstraktion des Objekts in Form von algebraischen Gleichungen, gewöhnlichen oder partiellen Differenzialgleichungen verstanden. Ein mathematisches Modell bildet ein Objekt nicht exakt ab, sondern stellt einen Kompromiss zwischen Modellgenauigkeit und Modellkomplexität bezüglich der abgebildeten Eigenschaften dar. Umgekehrt kann das Original auch als eine Realisierung des mathematischen Modells angesehen werden, das die im Modell abgebildeten Eigenschaften bis zu einem gewissen Grad erfüllt. Die Modellbildung ist im Allgemeinen ein mehrstufiger Prozess, der aus Schritten der Abgrenzung (Vernachlässigung nicht relevanter Objekte) Reduktion (Vernachlässigung von Objektdetails) Dekomposition (Zerlegung des Objekts in einzelne Komponenten) und Aggregation (Zusammenfassung von Komponenten zu einem Ganzen) besteht. Eine Systematisierung dieser Schritte ist nur eingeschränkt möglich, weshalb die Modellbildung immer ein kreativer Entwicklungsprozess ist. Ein Versuch, gewisse (Meta )Prinzipien der Modellierung zu entwickeln ist beispielhaft Abbildung. auf der Basis der Ausführungen in [] zu entnehmen. Diese sind nicht als Algorithmus zur Modellbildung zu verstehen, sondern vielmehr als Leitlinie zur eigentlichen Problemformulierung. In der mathematischen Modellierung unterscheidet man grundsätzlich zwischen der experimentellen und theoretischen Modellbildung. Bei der experimentellen Modellbildung werden gemessene Eingangs und Ausgangsgrößen verwendet, um das Eingangs Ausgangs Verhalten möglichst gut durch ein geeignetes mathematisches Modell wiederzugeben. Dieser Zugang wird auch als Systemidentifikation bezeichnet. Modelle, die ausschließlich auf der Nutzung experimenteller Daten beruhen werden auch Black Box Modelle genannt. Dabei ist zu bemerken, dass sich der Gültigkeitsbereich von Black Box Modellen auf die zur Identifikation genutzten Datenmenge beschränkt und sich Black Box Modelle somit nur eingeschränkt zur Prädiktion des generellen Verhaltens eignen. Als Vorteil kann jedoch angesehen werden, dass nur wenig Wissen über das betrachtete Objekt vorhanden sein muss. In der theoretischen Modellbildung stellen physikalische Grundgesetze die Basis zur Herleitung der mathematischen Modelle dar. Diese werden somit auch als White Box Modelle oder First Principle Models bezeichnet. Des Weiteren existieren sogenannte Grey Box Modelle, die sowohl physikalische

2 .2 Principles of Mathematical Modeling 7 OBJECT/SYSTEM Why? What are we looking for? Find? What do we want to know? MODEL VARIABLES, PARAMETERS Given? What do we know? Assume? What can we assume? How? How should we look at this model? Predict? What will our model predict? Improve? How can we improve the model? Valid? Are the predictions valid? MODEL PREDICTIONS TEST Verified? Are the predictions good? VALID, ACCEPTED PREDICTIONS Use? How will we exercise the model? Abb..: Prinzipielle Figure.2 Ansicht A first-order Modellgenerierung view of mathematical nach []. modeling that shows how the questions asked in a principled approach to building Grundgesetze a model als auchrelate experimentelle to the development Informationen ofthat in der model Modellbildung (inspired integrieren. by Hierbei ist zu erwähnen, Carson dass es and grundsätzlich Cobelli, 2). nicht möglich ist, ein mathematisches Modell ausschließlich über physikalische Gesetze herzuleiten und vollständig zu parametrieren. Sogenannte konstitutive Parameter, wie beispielsweise Reibungsparameter, Streuinduktivitäten oder Wärmeübergangskoeffizienten, müssen Improve? aus Experimenten Can we amimprove Objekt ermittelt the model? werden, Identify obwohl parameter der Modellansatz values that physikalisch motiviert ist. Die arehieraus not adequately resultierende known, Kopplung variables von White Box that should Modellen have mit been wenigen included, experimentell ermittelten konstitutiven and/or assumptions/restrictions Parametern führt auf Modelle, that could die verschiedene be lifted. Implement Vorteile vereinen, the wobei insbesondere die iterative sehr gute loopextrapolierbarkeit that we can call model-validate-verify-improve-predict. des Modells über die durch Experimente gewonnenen Daten hinaus, Use? die hohe How Zuverlässigkeit, will we exercise diethe gutemodel? Modelleinsicht, What will die weskalierbarkeit do with the model? und die Nutzung zu Konzeptstudien und Prototyping anzuführen sind. Nachteilig wirkt sich dem gegenüber aus, dass dieser AnsatzThis rechtlist zeitintensiv of questions ist und and eininstructions gutes Verständnis not des anbetrachteten algorithm Objekts for building erfordert. Diese Vorlesungawird good sichmathematical ausschließlichmodel. auf White Box However, Modelle the konzentrieren. underlying ideas are key to mathematical modeling, as they are key to problem formulation generally. Das mathematische Thus, we Modell should kann expect neben the der individual Systemanalyse questions auch to zum recur Systementwurf often during bzw. the zur Systemsynthese verwendet werden. Dies umfasst beispielsweise die Auslegung und geeignete Platzierung modeling process, and we should regard this list as a fairly general approach von Aktoren und Sensoren, die Variantenstudie bis hin zum Steuerungs und Regelungsentwurf zur to ways of thinking about mathematical modeling. Beeinflussung und Vorgabe der Systemdynamik. Having a clear picture of why the model is wanted or needed is of prime importance to the model-building enterprise. Suppose we want to estimate.2 Systemtheoretische how much power could Grundbegriffe generated by a dam on a large river, say a dam located at The Three Gorges on the Yangtze River in Hubei Province in the Im Weiteren werden zunächst nochmals einige grundlegende systemtheoretische Begriffe kompakt People s Republic of China. For a first estimate of the available power, we zusammengefasst, die für die nachfolgenden Ausführungen von Bedeutung sind. Der Begriff eines Systems wird in den verschiedensten wissenschaftlichen und nichtwissenschaftlichen Bereichen verwendet, wobei oftmals keine genaue Definition gegeben wird. Vereinfacht formuliert ist ein System die Verbindung unterschiedlicher, miteinander in Interaktion stehender Komponenten, zu 2 Kapitel Einführung

3 einem Ganzen zum Zwecke der Durchführung bestimmter Aufgaben. Eine detaillierte, jedoch sinngemäß identische Definition ist beispielsweise in DIN 9226 (Regelungs und Steuerungstechnik) angegeben. Eingangsgrößen u u 2. u m System Ausgangsgrößen y y 2. y p Abb..2: Eingangs und Ausgangsgrößen eines Systems. Die Wechselwirkung des Systems mit der Systemumgebung erfolgt über die so genannten Eingangs bzw. Ausgangsgrößen entsprechend Abbildung.2. Die Eingangsgrößen u,u 2,...,u m sind dabei Größen, die von der Systemumgebung auf das System einwirken, jedoch unabhängig vom Systemverhalten, d.h. rückwirkungsfrei, sind. Man unterscheidet dabei zwischen Eingangsgrößen, mit denen das System gezielt beeinflusst werden kann (Stellgrößen) und Eingangsgrößen, die nicht unserer Kontrolle unterliegen (Störgrößen). Die Ausgangsgrößen y, y 2,..., y p sind Größen, die vom System generiert werden und ihrerseits die Systemumgebung beeinflussen. Ausgangsgrößen, die messtechnisch erfassbar sind, nennt man Messgrößen. Systeme, die mit ihrer Umgebung in Wechselwirkung treten, d.h. deren Eingangs und Ausgangsgrößen nicht verschwinden, werden als offene Systeme bezeichnet. Demgegenüber wechselwirken geschlossene Systeme nicht mit der Systemumgebung. Zur weiteren Erläuterung werden die beiden einfachen elektrischen Systeme aus Abbildung.3 betrachtet. Hierbei stellt jeweils die Stromstärke i (t) die Eingangsgröße dar, während die Spannung i(t) i(t) u(t) R u(t) C Abb..3: Beispiele für statische und dynamische (elektrische) Systeme. u(t) als Ausgangsgröße vorliegt. Gemäß dem Ohmschen Gesetz ist im Fall des Widerstands die Ausgangsgröße zu jedem Zeitpunkt t eindeutig durch die Eingangsgröße zum selben Zeitpunkt bestimmt, da gilt u(t) = Ri (t). Systeme, deren Ausgangsgrößen lediglich vom Augenblickswert der Eingangsgrößen abhängen, werden als statische Systeme bezeichnet. Dem gegenüber bedingt die Berechnung der Spannung u(t) beim idealen Kondensator C zum Zeitpunkt t die Kenntnis des Eingangsstroms i (τ) für die gesamte Vergangenheit τ t, da gilt u(t) = C t t i (τ)dτ = i (τ)dτ + C C }{{} u(t )=u t t i (τ)dτ = u + C t t i (τ)dτ. Offensichtlich erfordert die Bestimmung von u(t) bei Kenntnis der Eingangsgröße i (τ) im Intervall t τ t die Kenntnis der Spannung u(t ) = u des Kondensators zum Zeitpunkt t als Anfangsbedingung..2 Systemtheoretische Grundbegriffe 3

4 Insbesondere beinhaltet die Anfangsbedingung u die gesamte Information über die Vergangenheit τ < t. Man sagt auch, dass u den internen Zustand des Systems Kondensator zum Zeitpunkt t beschreibt. Systeme, deren Ausgangsgrößen nicht nur vom Augenblickswert der Eingangsgrößen sondern auch von deren Historie abhängen, werden als dynamische Systeme bezeichnet. Wenn für ein System nach Abbildung.2 die Werte der Ausgangsgrößen y (t),..., y p (t) zum Zeitpunkt t ausschließlich vom Verlauf der Eingangsgrößen u (τ),...,u m (τ) für τ t abhängen, dann wird das System als kausal bezeichnet. Da alle technisch realisierbaren Systeme kausal sind, werden sich die weiteren Ausführungen ausschließlich auf diesen Fall beschränken. Definition.: Zustand Existieren für ein dynamisches System Größen x,..., x n mit der Eigenschaft, dass die Ausgangsgrößen y,..., y p zu einem beliebigen Zeitpunkt t eindeutig durch den Verlauf der Eingangsgrößen u (τ),...u m (τ) auf dem Intervall t τ t und den Werten von x (t ),..., x n (t ) festgelegt sind, dann werden die Größen x,..., x n als Zustandsgrößen des Systems bezeichnet. Man unterscheidet zwischen dynamischen Systemen mit finitem Zustand (der Ordnung n) bzw. so genannten konzentriert parametrischen Systemen, die sich durch eine endliche Anzahl von n Zustandsgrößen charakterisieren lassen und solchen mit infinitem Zustand bzw. so genannten verteilt parametrischen Systemen. Erstere werden durch mathematische Modelle in Form gewöhnlicher Differenzialgleichungen und algebraischer Gleichungen beschrieben, während letztere durch partielle Differenzialgleichungen abgebildet werden. Im Weiteren werden Systeme mit finitem Zustand betrachtet, die eine Beschreibung durch ein explizites mathematisches Modell in n Zustandsdifferenzialgleichungen mit Anfangsbedingungen d dt x = f (x,..., x n,u,...,u m, t), t > t, x (t ) = x, d dt x 2 = f 2 (x,..., x n,u,...,u m, t), t > t, x 2 (t ) = x 2, d. dt x n = f n (x,..., x n,u,...,u m, t), t > t, x n (t ) = x n, und p Ausgangsgleichungen y = h (x,..., x n,u,...,u m, t), t t y 2 = h 2 (x,..., x n,u,...,u m, t), t t. y p = h p (x,..., x n,u,...,u m, t), t t erlauben. Durch die Einführung der Spaltenvektoren x u u 2 x 2 x =., u =., y = y 2. y x n u m y p und der Schreibweise, dass d dt durch einen Punkt über der abzuleitenden Größe dargestellt wird, lassen sich die Gleichungen in kompakter Form 4 Kapitel Einführung

5 ẋ = f (x,u, t), t > t, x(t ) = x (.a) y = h(x,u, t), t t (.b) angeben. Die Größen x, u und y werden einfach als Zustand, Eingang und Ausgang des dynamischen Systems bezeichnet. Wird der Zustand x als Element eines n dimensionalen Vektorraums betrachtet, dann nennt man diesen Vektorraum auch Zustandsraum. Der Zustand eines Systems zum Zeitpunkt t kann dann als Punkt im n dimensionalen Zustandsraum dargestellt werden. Die Kurve all dieser Punkte im Zustandsraum für veränderliche t in einem Zeitintervall wird auch als Trajektorie bezeichnet. Eine graphische Illustration für den Fall n = 3 zeigt Abbildung.4. x 3 x x 2 (t) x(t) x 3 (t) x (t) x 2 Abb..4: Veranschaulichung einer Trajektorie im Zustandsraum R 3. x Anmerkung. Die Zustandsdarstellung (.) in Form gekoppelter Differenzialgleichungen. Ordnung stellt sowohl die Basis für die Systemanalyse als auch die Simulation bzw. numerische Lösung dynamischer Systeme dar. Eine Ausnahme bildet die Simulation mechanischer Systeme, die typischerweise durch gekoppelte Differenzialgleichungen 2. Ordnung beschrieben werden. Hier sind durch den Newmark Algorithmus [2] und dessen Varianten leistungsfähige Möglichkeiten zur numerischen Lösung der Bewegungsgleichungen gegeben, die häufig auch in kommerziellen Simulationswerkzeugen eingesetzt werden. Für weitere allgemeine Ausführungen zur mathematischen Modellierung dynamischer Systeme und deren Anwendung in verschiedenen natur und ingenieurwissenschaftlichen Bereichen sei zudem auf [3, 4, 5, 6] verwiesen..2 Systemtheoretische Grundbegriffe 5

6 Literatur [] C. Dym. Principles of Mathematical Modeling. 2. Aufl. Elsevier Academic Press, 24 (zitiert auf den Seiten, 2). [2] N.M. Newmark. A Method of Computation for Structural Dynamics. In: J. Eng. Mech. Div. (ASCE) 85 (959), S (zitiert auf Seite 5). [3] R.H. Cannon. Dynamics of Physical Systems. New York: McGraw Hill, 967 (zitiert auf Seite 5). [4] F.E. Cellier. Continuous System Modeling. New York: Springer Verlag, 99 (zitiert auf Seite 5). [5] R. Aris. Mathematical Modelling Techniques. Dover Books on Computer Science Series. Dover Publications, 994 (zitiert auf Seite 5). [6] K. H. Hoffmann und G. Witterstein. Mathematische Modellierung. Basel: Springer, 24 (zitiert auf Seite 5). 6 Kapitel Einführung

7 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik 2 Die folgenden Ausführungen geben eine Einführung in die mathematische Modellierung mechanischer Mehrkörpersysteme, wobei ausschließlich Starrkörper berücksichtigt werden, die keinen elastischen Deformationen unterliegen. Jede Starrkörperbewegung kann im Allgemeinen als Kombination einer translatorischen und einer rotatorischen Bewegung beschrieben werden. Die Kinematik befasst sich mit der Bewegung von einzelnen materiellen Punkten oder Körpern im Raum, ohne die Ursache der Bewegung zu betrachten []. Letzteres ist Gegenstand der Starrkörperkinetik, die in Kapitel 3 eingeführt wird. 2. Elementare Rotationen Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die in Abbildung 2. dargestellte Konfiguration eines Starrkörpers im Raum mit dem ortsfesten Koordinatensystem (x y z ), auch Inertialsystem genannt, und dem körperfesten Koordinatensystem (x y z ). Im Weiteren bezeichnen {e x,e y,e z } bzw. {e x,e y,e z } jeweils eine orthonormale Basis für (x y z ) bzw. (x y z ). Damit kann der Vektor vom gemeinsamen Ursprung zum Punkt P entweder im ortsfesten Koordinatensystem p = p,x e x + p,y e y + p,z e z oder im körperfesten Koordinatensystem p = p,x e x + p,y e y + p,z e z angegeben werden. Da p und p Darstellungen des selben Vektors, jedoch in unterschiedlichen Koordinatensystemen, vom Ursprung zum Punkt P sind, müssen folglich die folgenden Beziehungen gelten p,x = e T x p = e T x p = p,x e T x e x + p,y e T x e y + p,z e T x e z p,y = e T y p = e T y p = p,x e T y e x + p,y e T y e y + p,z e T y e z p,z = e T z p = e T z p = p,x e T z e x + p,y e T z e y + p,z e T z e z. In Matrizenschreibweise gilt dementsprechend für eine rein rotatorische Bewegung die Gleichung p = R p (2.) mit p = [p,x, p,y, p,z ] T, p = [p,x, p,y, p,z ] T und der (3 3) Matrix e T x R = e x e T x e y e T x e z e T y e x e T y e y e T y e z. (2.2) e T z e x e T z e y e T z e z 7

8 z z y P y x x Abb. 2.: Koordinatensysteme eines Starrkörpers. Die Matrix R gibt an, wie die Koordinaten eines Vektors im Koordinatensystem (x y z ) in das Koordinatensystem (x y z ) abgebildet werden. In direkt analoger Weise kann leicht die Beziehung p = R p (2.3) mit e T x R = e x e T x e y e T x e z e T y e x e T y e y e T y e z (2.4) e T z e x e T z e y e T z e z abgeleitet werden. Dies impliziert wegen bzw. p = R p = R R p p = R p = R R p zusammen mit der Kommutativität des Skalarprodukts, d.h. a b = a T b = b T a = b a, dass R eine orthogonale Matrix ist, d.h. es gilt R = (R ) = (R )T. (2.5) Orthogonale Matrizen weisen gewisse Eigenschaften auf, die u.a. Gegenstand der folgenden Aufgabe sind. Aufgabe 2.. Sei R eine orthogonale Matrix. Zeigen Sie, dass dann a) die Spaltenvektoren von R Einheitslänge aufweisen und wechselseitig orthogonal sind und b) detr = ± ist. 8 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

9 z z y φ y x φ x Abb. 2.2: Elementare Drehung um die z Achse mit Winkel φ. Für Rechtssysteme, d.h. e x (e y e z ) =, gilt detr =. Alle orthogonalen (3 3) Matrizen mit Determinate + werden als Drehmatrizen des R 3 bezeichnet, was mit dem Symbol SO(3) für spezielle orthogonale Gruppe der Ordnung 3 abgekürzt wird. Es gibt drei elementare Drehmatrizen, die jeweils Drehungen um eine der drei Koordinatenachsen beschreiben. Beispielhaft wird dies in Abbildung 2.2 für den Fall dargestellt, dass sich das Koordinatensystem (x y z ) durch Rotation des Koordinatensystems (x y z ) um die z Achse mit Winkel φ ergibt. Die zugehörige Drehmatrix ergibt sich damit zu cos(φ) sin(φ) c φ s φ R = R z,φ = sin(φ) cos(φ) = s φ c φ. (2.6) In vollkommen analoger Weise ergeben sich die elementaren Drehmatrizen für eine Rotation um die y Achse mit Winkel θ bzw. die x Achse mit Winkel ψ zu cos(θ) sin(θ) c θ s θ R = R y,θ = = (2.7) sin(θ) cos(θ) s θ c θ bzw. R = R x,ψ = cos(ψ) sin(ψ) = c ψ s ψ. (2.8) sin(ψ) cos(ψ) s ψ c ψ Im Weiteren wird oftmals auf die in (2.6) eingeführten Abkürzungen für die trigonometrischen Funktionen zurückgegriffen. 2. Elementare Rotationen 9

10 Beispiel 2.. Man betrachte die Konfiguration aus Abbildung 2.3. Hierbei gilt für die Basisvektoren des (x y z ) Koordinatensystems im (x y z ) Koordinatensystem e x =, e y =, e z =. 2 2 Die Drehmatrix R ergibt sich gemäß (2.2) zu 2 R = und beschreibt die Orientierung von (x y z ) bezüglich (x y z ). z x π 4 z y x Abb. 2.3: Zur Orientierung von Koordinatensystemen. y Eine Drehmatrix R SO(3) kann in drei verschiedenen Weisen interpretiert werden [2]: (i) als Koordinatentransformation, die die Koordinaten eines Punktes P in zwei verschiedenen Koordinatensystemen zueinander in Verbindung setzt; (ii) als Darstellung der Orientierung eines körperfesten (transformierten) Koordinatensystems bezüglich eines ortsfesten Inertialsystems 2 ; 2 Die Spaltenvektoren der Matrix R entsprechen jeweils dem Richtungskosinus der Koordinatenachsen von (x y z ) relativ zu den Koordinatenachsen von (x y z ). Beispielsweise gibt [e x e x,e y e x,e z e x ] T die Richtung der x Achse im Koordinatensystem (x y z ) an. Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

11 (iii) als Abbildung, die einen Vektor p in einen neuen Vektor R p im selben Koordinatensystem dreht. 2.2 Hintereinanderausführung von Rotationen Für Anwendungen ist die Kenntnis der Eigenschaften von Rotationen und insbesondere deren Hintereinanderausführung essentiell. Hierzu betrachte man drei Koordinatensysteme (x y z ), (x y z ) und (x 2 y 2 z 2 ), die jeweils durch Drehungen miteinander verbunden sind. Analog zu den obigen Ausführungen kann der Vektor p vom gemeinsamen Ursprung zu einem Punkt P in den drei Koordinatensystemen durch die Vektoren p, p und p 2 dargestellt werden. Dabei gelten die folgenden Zusammenhänge p = R p, p = R2 p 2 und p = R 2 p 2. Dabei beschreiben R und R2 Rotationen bezüglich des (x y z ) Koordinatensystems während R 2 eine Rotation bezüglich des (x y z ) Koordinatensystem darstellt. Einsetzen führt somit auf p = R R2 p 2 = R2 p 2 bzw. R 2 = R R2. (2.9) Die Gleichungen in (2.9) beschreiben die Hintereinanderausführung zweier Rotationen und zeigen, dass zur Transformation der Koordinaten p eines Punktes von der Darstellung p 2 im (x 2 y 2 z 2 ) Koordinatensystem in die Darstellung p im (x y z ) Koordinatensystem zuerst eine Transformation in p im (x y z ) Koordinatensystem mittels R 2 erfolgt, der sich die Transformation von p in p mittels R anschließt. Des Weiteren gilt für die Umkehrung p 2 = R 2 R p = R 2 p bzw. R 2 = (R2 )T = (R R2 )T = R 2 R. (2.) Es ist jedoch zu beachten, dass die Hintereinanderausführung von Rotationen nicht kommutativ ist, d.h., für Drehmatrizen R α und R β gilt im Allgemeinen R α R β R β R α. Dies ist Gegenstand des folgenden Beispiels. Beispiel 2.2 (Nicht Kommutativität der Hintereinanderausführung von Rotationen). Es wird die Hintereinanderausführung einer Rotation um den Winkel α bezüglich der x Achse gefolgt von einer Rotation um den Winkel β bezüglich der (gedrehten) y Achse betrachtet. Mit R = R x,α und R 2 = R y,β folgt c β s β c β s β R 2 = R x,α R y,β = c α s α = s α s β c α s α c β (2.) s α c α s β c β c α s β s α c α c β Wird die Reihenfolge der Rotationen umgekehrt, so dass eine Drehung mit Winkel β um die y Achse gefolgt von einer Drehung bezüglich der (gedrehten) x Achse mit Winkel α betrachtet wird, so ergibt sich c β s β c β s α s β c α s β R2 = R y,β R x,α = c α s α = c α s α. (2.2) s β c β s α c α s β c β s α c α c β Es ist offensichtlich, dass gilt R 2 R 2, was zudem durch die nachfolgende Abbildung 2.4 anschaulich bestätigt wird. 2.2 Hintereinanderausführung von Rotationen

12 Abb. 2.4: Beispiel zur Hintereinanderausführung von Rotationen. Insbesondere impliziert die Hintereinanderausführung von Rotationen entsprechend (2.) bzw. (2.2), dass die zweite Rotation bezüglich des schon gedrehten Koordinatensystem ausgeführt wird. Betrachtet man abweichend von den obigen Ausführungen beginnend mit (x y z ) eine Drehung bezüglich der x Achse um den Winkel α gefolgt von einer Drehung des resultierenden Koordinatensystems (x y z ) bezüglich der ungedrehten y Achse um den Winkel β so ergibt sich ein neues Koordinatensystem (x 2 y 2 z 2 ). Seien p, p und p 2 Darstellungen des selben Vektors p vom gemeinsamen Koordinatenursprung zu einem Punkt P, dann gilt p = R x,α p (2.3) 2 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

13 sowie p = R x, α R y,β R x,α p 2. (2.4) Letztere Gleichung impliziert, dass zunächst die Rotation bezüglich der x Achse rückgängig gemacht werden muss, um wieder ins ursprüngliche (x y z ) Koordinatensystem zu gelangen, bevor die Rotation um den Winkel β bezüglich der y Achse und anschließend die Drehung um α erfolgt. Dies führt somit auf p = R y,β R x,α p 2. Bezeichnen nun (x y z ), (x y z ) und (x 2 y 2 z 2 ) drei Koordinatensysteme, die durch Rotationen miteinander verbunden sind, wobei R die Rotation von (x y z ) bezüglich (x y z ) beschreibt. Dann zeigt Beispiel 2.2 zusammenfassend, dass für die Gesamtrotation die Beziehung R 2 = R R2 (2.5) gilt, falls R 2 die Rotation von (x 2y 2 z 2 ) bezüglich dem momentanen Koordinatensystem (x y z ) bezeichnet. Ist dem gegenüber mit R 2 die Rotation von (x 2y 2 z 2 ) bezüglich dem Inertialsystem (x y z ) gemeint, so ergibt sich für die Gesamtrotation die Beziehung R 2 = R2 R, (2.6) welche der Vertauschung der Multiplikationsreihenfolge entspricht. Beide Formulierungen (2.5) und (2.6) können natürlich jeweils entsprechend auf eine Sequenz von Rotationen bezüglich dem jeweiligen momentanen oder inertialen Koordinatensystem erweitert werden. 2.3 Parametrierung von Rotationen Ein Starrkörper weist insgesamt drei rotatorische Freiheitsgrade auf, weshalb die 9 Einträge einer Drehmatrix nicht unabhängig voneinander sind. Nachfolgend werden zwei Möglichkeiten aufgezeigt, um entsprechend beliebige Rotationen durch drei unabhängige Größen zu beschreiben bzw. zu parametrieren Euler Winkel Zur Einführung der Parametrierung durch Euler Winkel betrachtet man das gegenüber einem Inertialsystem (x y z ) um die Winkel φ, θ und ψ gedrehte körperfeste Koordinatensystem (x y z ). Die Orientierung des Koordinatensystem (x y z ) gegenüber dem Inertialsystem (x y z ) folgt dabei durch drei aufeinanderfolgende Drehungen: (i) um den Winkel φ bezüglich der z Achse, (ii) um den Winkel θ bezüglich der gedrehten, momentanen y Achse (y ) und (iii) um den Winkel ψ bezüglich der gedrehten, momentanen z Achse (z ) Die zugehörige Rotationsmatrix ergibt sich demnach mit (2.6) (2.8) und (2.5) zu 2.3 Parametrierung von Rotationen 3

14 c φ s φ c θ s θ c ψ s ψ R = R z,φ R y,θ R z,ψ = s φ c φ s ψ c ψ s θ c θ c θ c φ c ψ s φ s ψ c ψ s φ c θ c φ s ψ c φ s θ = c θ c ψ s φ + c φ s ψ c φ c ψ c θ s φ s ψ s θ s φ c ψ s θ s θ s ψ c θ (2.7) Aufgabe 2.2. Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Einträge R i,j der Matrix R aus (2.7) bekannt sind die Winkel φ, θ und ψ. Diskutieren Sie die Lösung. Lösung 2.2. Es gelten die folgenden Zusammenhänge tanφ = R 2,3 R,3, tanψ = R 3,2 R 3,, tanθ = (R,3 ) 2 + (R 2,3 ) 2 R 3,3, (2.8) wobei zu beachten ist, dass bei der Auflösung jeweils der entsprechende Quadrant abhängig von den Vorzeichen der genutzten Matrizenelemente zu berücksichtigen ist. Des Weiteren wird vorausgesetzt, dass sin(θ). Für θ {,±π} ergibt sich eine Singularität der Euler Winkel, da hier nur noch die Summe bzw. Differenz der Winkel φ und ψ ermittelt werden kann und z.b. für θ = gilt, dass R = R z,φ+ψ. Somit fallen die Drehachsen der ersten und dritten Rotation zusammen, wodurch die offensichtlich die lokale Umkehrbarkeit der Zuordnung verloren geht, was man auch als kardanische Blockade bezeichnet Roll Pitch Yaw Winkel Eine andere Parametrierung erfolgt durch so genannte Roll Pitch Yaw Winkel. Beginnend beim Inertialsystem (x y z ) erfolgen hier die Drehungen in der Reihenfolge (i) einer Rotation um den Winkel ψ bezüglich der x Achse (yaw bzw. Gierwinkel) gefolgt von (ii) einer Rotation um den Winkel θ bezüglich der y Achse (pitch bzw. Nickwinkel) und abschließend (iii) einer Rotation um den Winkel φ bezüglich der z Achse (roll bzw. Wankwinkel). Abbildung 2.5 zeigt eine graphische Illustration, die dadurch motiviert wird, dass das Inertialsystem in den Massenschwerpunkt eines (Luft )Fahrzeugs gelegt wird. Damit ergibt sich die Rotationsmatrix mit (2.6) (2.8) und (2.6) zu c φ s φ c θ s θ R = R z,φ R y,θ R x,ψ = s φ c φ c ψ s ψ s θ c θ s ψ c ψ c θ c φ c φ s θ s ψ c ψ s φ c φ c ψ s θ + s φ s ψ = c θ s φ c φ c ψ + s θ s φ s ψ c ψ s θ s φ c φ s ψ s θ c θ s ψ c θ c ψ (2.9) Aufgabe 2.3. Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Einträge R i,j der Matrix R aus (2.9) bekannt sind die Winkel φ, θ und ψ. Diskutieren Sie die Lösung. 4 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

15 z Roll φ Yaw ψ x y Pitch θ Abb. 2.5: Parametrierung einer Rotation mittels Roll Pitch Yaw Winkeln. Lösung 2.3. Es gelten die folgenden Zusammenhänge tanφ = R 2, R,, R 3, R 3,2 tanθ =, tanψ =, (2.2) (R 3,2 ) 2 + (R 3,3 ) 2 R 3,3 wobei bei der Auflösung nach die Winkeln der jeweilige Quadrant abhängig von den Vorzeichen der Matrizenelemente zu berücksichtigen ist. Hierbei geht wiederum die lokale Invertierbarkeit verloren, falls cos(θ) =. Analog zur Analyse in Aufgabe 2.2 ergibt sich in diesem Fall, dass nur noch die Summe bzw. Differenz von φ und ψ ermittelt werden kann. Eine weitere Möglichkeit zur Parametrierung von Rotationen ist durch so genannte Quaternionen gegeben, die es insbesondere ermöglichen die Nachteile bzw. Singularitäten der Euler Winkel sowie der Roll Pitch Yaw Winkel zu vermeiden, die in den Aufgaben 2.2 und 2.3 einführend diskutiert wurden. Für eine Einführung in die Nutzung von Quaternionen wird bespielsweise auf [3] verwiesen. 2.4 Translation Abbildung 2.6 zeigt eine rein translatorische Bewegung, bei der die beiden Nullpunkte und der nicht gedrehten Koordinatensysteme ( x y z ) und ( x y z ) durch einen Vektor d verbunden sind. Dabei bezeichnet d die translatorische Verschiebung des Koordinatensystems (x y z ) bezüglich des Koordinatensystems (x y z ) ausgedrückt in den Koordinaten von (x y z ). Anmerkung 2.: Notation Im Weiteren wird von der Notation Gebrauch gemacht, dass alle Größen immer bezüglich des durch den tiefgestellten rechten Index gekennzeichneten Koordinatensystems ausgedrückt werden. 2.4 Translation 5

16 z x y z d p p P x y Abb. 2.6: Translatorische Verschiebung. Mit den Vektoren p und p von den Nullpunkten und der Koordinatensysteme (x y z ) bzw. (x y z ) ergibt sich für eine rein translatorische Verschiebung d der beiden Koordinatensystem der Zusammenhang p = p + d. (2.2) 2.5 Kombinierte Translationen und Rotationen Eine Starrkörperbewegung setzt sich im Allgemeinen aus translatorischen und rotatorischen Bewegungen zusammen. Mit den obigen Ausführungen (2.) und (2.2) gilt somit die Beziehung p = d + R p. (2.22) Eine Koordinaten Transformation der Form (2.22) mit einer orthogonalen Drehmatrix R wird dementsprechend auch als Starrkörperbewegung bezeichnet. Die inverse Transformation folgt somit aufgrund der Orthogonalität durch Links Multiplikation der beiden Seiten von (2.22) mit R = (R ), was auf p = R d + R p (2.23) führt. In analoger Weise folgt für die in Abbildung 2.7 dargestellte Konfiguration mit den Koordinatensystemen (x y z ), (x y z ) und (x 2 y 2 z 2 ) wegen p = d + R p, p = d 2 + R2 p 2 durch Einsetzen die Beziehung 6 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

17 z R R 2 y x z d p d 2 z 2 p P p 2 2 x y x 2 y 2 Abb. 2.7: Kombinierte translatorische und rotatorische Bewegung. p = d + R d 2 +R 2 }{{} p 2 (2.24) = d 2 mit R 2 = R R2 gemäß (2.5). Diese Ausführungen erlauben die Einführung so genannter homogener Transformationen, die die kombinierte Translation und Rotation von Vektoren zwischen zwei Koordinatensystem (x i y i z i ) und (x j y j z j ) in Form einer einzelnen Abbildung H j beschreiben. Die Beziehung (2.22) motiviert dabei i die Definition H = [ R d T ], R SO(3). (2.25) Die Konfigurationen eines Starrkörpers [ ] p p = bezüglich des Koordinatensystem (x y z ) und [ ] p p = (2.26) (2.27) bezüglich des Koordinatensystem (x y z ) sind somit gemäß (2.22) durch die Gleichung p = H p (2.28) verbunden, wobei H auch als homogene Transformationsmatrix bezeichnet wird. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass gilt H SE(3) mit SE(3) der speziellen Euklidischen Gruppe der Ordnung Kombinierte Translationen und Rotationen 7

18 Diese bezeichnet die Menge aller homogenen (Starrkörper) Transformationen im 3 dimensionalen Euklidischen Raum R 3. Die Matrix H ist im Allgemeinen nicht orthogonal, d.h. H i j = (H j i ) (H j i )T, (2.29) weshalb H j auch im Gegensatz zu R j nicht Element der speziellen orthogonalen Gruppe ist. Es ist i i jedoch leicht zu zeigen, dass gilt [ H R = R d ] T. (2.3) Für die Anordnung in Abbildung 2.7 folgt entsprechend mit der Konfiguration [ ] p2 p 2 = die Beziehung [ p = H 2 R 2 p 2 = d 2 ] T p 2. Damit ergibt sich mit (2.28) der Zusammenhang [ p = H H 2 p 2 = H 2 R p 2 = R 2 R d 2 + d ] p 2. (2.3) Anmerkung 2.2 Die in (2.25) definierte Transformation ist eine spezielle Darstellung homogener Transformationen, die u.a. in der Computergraphik Anwendung findet. Die allgemeinste Form kann wie folgt angegeben werden [ ] [ ] R d Rotation Translation H = f T = s Perspektive Skalierung mit R R 3 3, d R 3, f T R 3 und s R [2]. Die Anwendung dieser Konzepte erfolgt im Weiteren anhand verschiedener kinematischer Beispiele aus der Robotik. 8 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

19 Aufgabe 2.4 (Planarer Zwei Gelenk Manipulator). Abbildung 2.8 zeigt einen planaren Zwei Gelenk Manipulator. Die Abstände zu den Schwerpunkten sind durch l c, j =,2 gekennzeichnet. j z 2 y 2 ϕ 2 l l c z l c 2 l 2 y z ϕ y Abb. 2.8: Planarer Zwei Gelenk Manipulator. Bestimmen Sie für die dargestellte Konfiguration die Lage der Schwerpunkte der beiden Stäbe und des Endeffektors (Ende von Stab 2) bezüglich des Inertialsystems (x y z ). Lösung 2.4. Es gelten die folgenden Zusammenhänge für die Darstellung des Schwerpunkts p c, und des Endpunkts p e, von Stab im Inertialsystem p c, = l cc ϕ, p e, l c s ϕ = l c ϕ. (2.32) l s ϕ Zudem ergeben sich die Darstellungen des Schwerpunkts p c,2 und des Endpunkts p e,2 von Stab 2 im Inertialsystem zu p c,2 = l c ϕ + l2 cc ϕ +ϕ 2, p e,2 l s ϕ + l2 c s ϕ +ϕ 2 = l c ϕ + l 2 c ϕ +ϕ 2. (2.33) l s ϕ + l 2 s ϕ +ϕ Kombinierte Translationen und Rotationen 9

20 2 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

21 Aufgabe 2.5 (Parallelkinematik). Abbildung 2.9 zeigt eine Parallelkinematik bestehend aus 4 rotatorisch beweglichen Armen. Die Konfiguration führt durch die 4 Gelenke auf eine so genannte geschlossene kinematische Kette, wodurch sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf 2 reduziert. x 2 ϕ 3 y 2 ϕ 2 x l 2 y y 3 x 3 ϕ 4 l y ϕ x Abb. 2.9: Parallelkinematik (Parallelogramm Arm). Bestimmen Sie jeweils die Lage der Gelenke im Inertialsystem (x y z ) und stellen Sie die kinematischen Zwangsbedingungen dar. 2.5 Kombinierte Translationen und Rotationen 2

22 Lösung 2.5. Es gelten die folgenden Beziehungen für die einzelnen Gelenkpunkte p G,j, j =,2,3,4: p G, = R d G, = l c ϕ = l s ϕ c ϕ s ϕ s ϕ c ϕ l ( ) p G,2 = R d G, + R 2 d G,2 2 = p G,3 c ϕ s ϕ s ϕ c ϕ l c ϕ + l 2 c ϕ +ϕ 2 = l s ϕ + l 2 s ϕ +ϕ 2 ( ( )) = R d G, + R 2 d G,2 2 + R2 3 d G,3 3 ( ) l cϕ + c ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 + l2 c ( ) ϕ +ϕ 2 = l sϕ + s ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 + l2 s ϕ +ϕ 2 p G,4 l ( ( ( ))) = R d G, + R 2 d G,2 2 + R2 3 d G,3 3 + R3 4 d G,4 4 ( ) ( ) l cϕ + c ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 + l2 cϕ +ϕ 2 + c ( ) ( ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 +ϕ 4 ) = l sϕ + s ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 + l2 sϕ +ϕ 2 + s ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 +ϕ 4. c ϕ2 s ϕ2 + s ϕ2 c ϕ2 Des Weiteren gilt aufgrund der geschlossenen kinematischen Kette die Zwangsbedingung p G,4 =, bzw. = l ( cϕ + c ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 ) + l2 ( cϕ +ϕ 2 + c ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 +ϕ 4 ) = l ( sϕ + s ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 ) + l2 ( sϕ +ϕ 2 + s ϕ +ϕ 2 +ϕ 3 +ϕ 4 ). Diese sind, wie leicht anhand der Darstellung in Abbildung 2.9 nachvollziehbar ist, für l 2 ϕ 2 = ϕ 4 = π ϕ 3 erfüllt, womit die Winkel ϕ und ϕ 3 als Freiheitsgrade verbleiben. 22 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

23 Aufgabe 2.6 (Turmdrehkran). Abbildung 2. zeigt einen Turmdrehkran. Der Kran besitzt 5 Freiheitsgrade: (i) die Drehung des Turms um den Winkel ϕ bezüglich der z Achse des Inertialsystems (x y z ), (ii) die Translation der Laufkatze um l entlang der y Achse im Koordinatensystem (x y z ), (iii) die Drehung des Seils um dem Winkel ϕ 2 bezüglich der x 2 Achse des Koordinatensystems (x 2 y 2 z 2 ), (iv) die Drehung des Seils um den Winkel ϕ 3 bezüglich der z 2 Achse des Koordinatensystems (x 2 y 2 z 2 ), und (v) die Translation der Last um l 2 entlang der y 2 Achse im Koordinatensystem (x 2 y 2 z 2 ). Bestimmen Sie für die dargestellte Konfiguration die Lage der Last und der Laufkatze bezüglich des Inertialsystems (x y z ). Beachten Sie, dass die Bewegungen jeweils durch kombinierte Rotationen und Translationen beschrieben werden. l z z 2 z 2 y x 2 y 2 l2 x 2 y 2 ϕ 2 ϕ 3 h z ϕ z y x Abb. 2.: Turmdrehkran mit 5 Freiheitsgraden. Lösung 2.6. Mit den obigen Ausführungen für die kombinierte Translation und Rotation gilt für Darstellung der Laufkatzen Position im Inertialsystem p LK = d + R d LK = l s ϕ c ϕ l h mit d =, d LK h = c ϕ s ϕ l, R = R z,ϕ = s ϕ c ϕ 2.5 Kombinierte Translationen und Rotationen 23

24 und l = l (t), ϕ = ϕ (t). In analoger Weise ergibt sich die Darstellung der Last Position im Inertialsystem zu ( ) s ϕ l + c ϕ3 l 2 s ϕ2 cϕ l 2 s ϕ3 p L = d + R LK (d + R 2 d L 2 ) = ( ) c ϕ l + c ϕ3 l 2 s ϕ2 l2 s ϕ s ϕ3 h c ϕ2 c ϕ3 l 2 mit c ϕ3 s ϕ3 d L 2 = l 2, R 2 = R x,ϕ 2 π R z,ϕ3 = s ϕ2 s ϕ3 c ϕ3 s ϕ2 c ϕ2 2 c ϕ2 s ϕ3 c ϕ2 c ϕ3 s ϕ2 für l 2 = l 2 (t), ϕ 2 = ϕ 2 (t) und ϕ 3 = ϕ 3 (t). Hier ist insbesondere die zeitliche Abhängigkeit der Winkel ϕ j (t), j =,2,3 und der Verschiebungen l j (t), j =,2 zu beachten. 2.6 Drehwinkelgeschwindigkeit Wie in den vorangegangenen Beispielen dargestellt wurde, sind die Winkel und damit die Elemente der Drehmatrizen im Allgemeinen Funktionen der Zeit t. Sei der Einfachheit halber die Rotatonsmatrix R SO(3) nur abhängig von einem Winkel φ(t), dann gilt ( ) Ṙ (φ) = φ R φ. (2.34) Wegen der Eigenschaft der Orthogonalität der Drehmatrizen (siehe (2.5), d.h. R R T = E) gilt zudem d dt (R RT ) = Ṙ R T + R Ṙ T =. (2.35) Offensichtlich ist die Matrix S = Ṙ R T = R Ṙ T (2.36) eine schiefsymmetrische 3 (3 3) Matrix. Aufgrund der Schiefsymmetrie kann S eindeutig mittels des Vektors ω = [ω x,ω y,ω z ] T in der Form ω z ω y S(ω) = ω z ω x (2.37) ω y ω x dargestellt werden. Der Vektor ω beschreibt dabei die Drehwinkelgeschwindigkeiten des rotierenden Koordinatensystems um das Inertialsystem zum Zeitpunkt t. Dies ist dadurch motiviert, dass (2.34) mit den vorangegangen Ausführungen auch als Ṙ (φ) = Ṙ ( R T R ) = ( Ṙ R T ) R = S(ω)R (φ) (2.38) angegeben werden kann. 3 Eine Matrix S R n n wird schiefsymmetrisch genannt, wenn S + S T = ist. 24 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

25 Beispiel 2.3. Für die elementaren Drehmatrizen (2.6) (2.8) mit c θ s θ c φ s φ R x,ψ = c ψ s ψ R y,θ =, R z,φ = s φ c φ s ψ c ψ s θ c θ erhält man S x,ψ = Ṙ x,ψ (R x,ψ ) T = ψ(t) ψ(t) θ(t) S y,θ = Ṙ y,θ (R y,θ ) T = θ(t) φ(t) S z,φ = Ṙ z,φ (R z,φ ) T = φ(t). (2.39) Die jeweiligen Vektoren der Drehwinkelgeschwindigkeiten ergeben sich somit zu ψ(t) ω x,ψ =, ω y,θ = θ(t), ω z,φ =. (2.4) φ(t) Im Folgenden wird die in Abbildung 2. dargestellte Konfiguration betrachtet. Dabei führt das Koordinatensystem (x y z ) rotatorische und translatorische Bewegungen bezüglich des Inertialsystems (x y z ) aus, so dass der Vektor p zum Punkt P im Koordinatensystem (x y z ) zeitlich konstant ist, d.h. ṗ =. Mit p (t) = d (t) + R (t)p ergibt sich die Geschwindigkeit ṗ (t) gemessen im Inertialsystem zu ṗ = ḋ + Ṙ p + R ṗ = ḋ + S(ω )R p. (2.4) R (t) z y x z d (t) p p (t) P x y Abb. 2.: Zeitabhängige kombinierte translatorische und rotatorische Bewegung. 2.6 Drehwinkelgeschwindigkeit 25

26 Es kann leicht gezeigt werden, dass dies äquivalent ist zur Formulierung ṗ = ḋ + ω (R p ), (2.42) da für einen allgemeinen Vektor r R 3 gilt ω z ω y r ω y r 3 ω z r 2 S(ω)r = ω z ω x r 2 = ω z r ω x r 3 = ω r. (2.43) ω y ω x r 3 ω x r 2 ω y r Anmerkung 2.3 Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ω und r kann leicht durch folgende Merkregel berechnet werden ω x r ω y r 2 ω y r 2 ω z r 3 ω z r 3 ω r = = ω z r 3 ω y r 3 ω z r 2 ω x r ω x r = ω z r ω x r 3. ω y r 2 ω x r 2 ω y r ω x r ω z r 3 ω y r 2 Abschließend soll analysiert werden, wie sich Drehwinkelgeschwindigkeiten bei mehreren zueinander gedrehten Koordinatensystemen addieren. Dies soll zunächst beispielhaft für zwei Koordinatensysteme (x y z ) und (x 2 y 2 z 2 ) erfolgen, die rotatorische und translatorische Bewegungen bezüglich eines ortsfesten Inertialsystems (x y z ) durchführen. Die Darstellungen der Ortvektoren zu einem Punkt P in den jeweiligen Koordinatensystemen sind gemäß (2.22) durch p = d + R p, p = d 2 + R2 p 2, p = d 2 + R2 p 2 mit d 2 (t) = d (t) + R (t)d 2 (t) und R2 (t) = R (t)r2 (t) gegeben. Das Koordinatensystem (x 2y 2 z 2 ) sei so gewählt, dass p 2 zeitlich konstant ist. Für die Drehmatrix R 2 gilt mit (2.38) zudem Ṙ 2 = Ṙ R2 + R Ṙ2 = S(ω2 )R2. (2.44) Des Weiteren ergeben sich mit (2.38) die Beziehungen und Ṙ R2 = S(ω )R R2 = S(ω )R2 R Ṙ2 = R S(ω2 )R2 = R S(ω2 )( R) T R }{{ R 2 }. = E Letztere kann wegen zu R S(ω2 )( R ) T = S(R ω 2 ) R Ṙ2 = S(R ω2 )R R2 = S(R ω2 )R2 26 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik

27 vereinfacht werden. Dies kann leicht für einen beliebigen Vektor r anhand der folgenden Gleichungssequenz unter Berücksichtigung von (2.43) verifiziert werden, d.h. R S(ω2 )( R ) T r = R ( ω 2 ( R ) T r ) = R ω 2 R ( R ) T r = R ω 2 r = S(R ω2 )r. Damit ergibt sich unter Berücksichtigung von S(a) + S(b) = S(a + b) die Gleichung Ṙ 2 = S(ω )R2 + S(R ω2 )R2 = S(ω + R ω2 )R2. Ein Vergleich mit (2.44) zeigt, dass gilt ω 2 = ω + R ω2 (2.45) Damit wird bestätigt, dass eine Addition der Vektoren der Drehwinkelgeschwindigkeiten nur dann Sinn macht, wenn die Vektoren bezüglich des selben Koordinatensystems angegeben werden. Hier ist ω im Koordinatensystem (x y z ) gegeben und durch R ω2 wird der Vektor ω2 in das Koordinatensystem (x y z ) transformiert, so dass die Addition möglich wird. Diese Ausführungen können in analoger Weise auf eine beliebige Anzahl n an bewegten Koordinatensystemen verallgemeinert werden, die durch die Rotationsmatrix R n = R R2 Rn n (2.46) miteinander verknüpft sind. In diesem Fall gilt ω n = ω + R ω2 + R2 ω Rn ω n n. (2.47) Diese einleitenden Ausführungen zur Kinematik starrer Körper sind insbesondere auch zur Herleitung der zugehörigen Bewegungsgleichungen von essentieller Bedeutung, da hieraus unmittelbar die Lage und translatorische sowie rotatorische Geschwindigkeit ermittelt werden können, die beispielsweise zur Darstellung der potenziellen und kinetischen Energie eines Starrkörpersystems Verwendung finden. 2.6 Drehwinkelgeschwindigkeit 27

28 Literatur [] D. Gross, W. Hauger, J. Schröder und W.A. Wall. Technische Mechanik, Band 3: Kinetik. 9. Aufl. Berlin: Springer Verlag, 26 (zitiert auf Seite 7). [2] M. Spong und M. Vidyasagar. Robot Dynamics and Control. New York: John Wiley & Sons, 989 (zitiert auf den Seiten, 8). [3] B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani und G. Oriolo. Robotics: Modelling, Planning and Control. London: Springer Verlag, 2 (zitiert auf Seite 5). 28 Kapitel 2 Mechanische Systeme Starrkörperkinematik