Klassische Themen der Computerwissenschaft Constraint Programming: Exercises. Gruppe: 100. Inhaltsverzeichnis

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1 Klassische Themen der Computerwissenschaft Constraint Programming: Exercises Gruppe: 100 Inhaltsverzeichnis 1 Exercise Exercise Backtracking Forward checking Exercise CSP Implementierung Exercise Exercise CSP Implementierung SimpleConflictDetection Exercise Exercise Exercise

2 1 Exercise 1 Given the following CSP. Variables V = wr, ip, rr Domains D = d wr, d ip, d rr d wr = low, medium, high d ip = short t, medium t, long t d rr = 1 3%, > 3 6%, > 6 9%, > 9% Constraints C = c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 c 1 : wr = medium ip short t c 2 : wr = high ip = long t c 3 : ip = long t rr = > 3 6% rr = > 6 9% c 4 : rr = > 9% wr = high c 5 : rr = > 6 9% wr low wr medium Show that the given CSP has a solution. Nachdem die Anzahl der möglichen Lösungen wegen der geringen Anzahl an Variablen und ihrer möglichen Werte relativ klein ist, kann man hier auch eine Lösung durch Ausprobieren finden. Beispielsweise ergibt sich dann als Lösung: Solution S 1 = wr = medium, ip = medium t, rr = > 3 6% Die erste Bedingung ist damit erfüllt und die restlichen vier können nicht verletzt werden. Also ist S 1 auch tatsächlich eine Lösung. 1

3 2 Exercise 2 Given the following CSP. Variables V = v 1, v 2, v 3 Domains D = d v1, d v2, d v3 d v1 = 1, 2, 3, 4 d v2 = 1, 2, 3, 4 d v3 = 1, 2, 3, 4 Constraints C = c 1, c 2, c 3 c 1 : v 1 = v 2 c 2 : v 2 > v 3 c 3 : v 3 > 1 Show the determination of a solution for the given CSP on the basis of backtracking and forward checking. 2.1 Backtracking Man starte mit v 1 = 1. Nachdem noch keine Bedingung verletzt wurde, geht man weiter mit v 2 = 1. Da es immer noch keinen Widerspruch zu den Bedingungen gibt, initialisiert man auch die letzte Variable v 3 = 1. Nun gibt es allerdings ein Problem mit c 2. Also geht man zurück zur zuletzt intialisierten Variable und verändert diese auf v 3 = 2. Dies führt aber wieder zum selben Problem und man geht weiter mit v 3 = 3, was aber auch im Widerspruch zu c 2 steht (Ebenso v 3 = 4). Nachdem nun kein weiterer Wert für v 3 eingesetzt werden kann, geht man wieder eine Stufe höher und verändert v 2 und setzt v 2 = 2. Man geht weiter so fort, bis man entweder eine Lösung findet (Alle Werte initialisiert und keine Bedingung verletzt ist) oder alle Werte durchprobiert hat. Diese Vorgangsweise ist im nachfolgenden Graphen veranschaulicht, wobei Knoten den Variablen entsprechen und ausgehende Kanten die Initialisierung dieser Variable bedeuten. Führt eine Zuweisung zu einem Widerspruch zu den Bedingungen, wird dies mit einem rot markierten Knoten gekenn- 2

4 zeichnet. Gelangt man allerdings zu einer Lösung, wird dies mit einem grün markierten c i gekennzeichnet: 1 2 v 1 3 v 2 v 2 v v 3 c 1 c 1 c 1 c 1 v 3 c 1 c 1 c 1 c 1 v c 2 c 2 c 2 c 2 c 3 c 2 c 2 c 2 c 3 c i Solution: S = v 1 = 3, v 2 = 3, v 3 = 2 Wie man erkennen kann, führt eine Zuweisung zu einer Lösung, da alle Variablen initialisiert wurden und keine Bedingung verletzt wurde. 3

5 2.2 Forward checking Beim Forward checking geht man im Prinzip gleich vor. Überprüft aber bei Initialisierung einer Variable die Domains der restlichen Variablen. Man startet nun wieder bei v 1 = 1. Nachdem aber c 1 : v 1 = v 2 erfüllt sein muss, schränkt sich d v2 auf 1 ein und d v3 auf 2, 3, 4 (Wegen c 3 ). Nachdem man v 2 = 1 setzt und c 2 : v 2 > v 3 gelten muss, bleibt keine Möglichkeit mehr, v 3 zu intialisieren, da kein gültiger Wert mehr angenommen werden kann. Gekennzeichnet wird das in folgendem Graphen mit einem rot markierten v 3 -Knoten. Nachdem also v 2 = 1 zu keiner Lösung führt, wird nun v 1 = 2 gesetzt und geht gleich vor - Man kommt hier zum selben Ergebnis und findet keine gültige Zuweisung für v 3. Als nächstes setzt man v 1 = 3, wodurch wegen c 1 v 2 = 3 sein muss. d v3 reduziert sich wegen den Bedingungen auf 2. Also kann man in diesem Fall v 3 initialisieren. Nachdem v 3 = 2 keine Bedingungen verletzt und alle Variablen initialisiert wurden, haben wir somit eine Lösung gefunden. 1 2 v v 2 v 2 v v 3 v 3 v 3 2 c i Solution: S = v 1 = 3, v 2 = 3, v 3 = 2 4

6 3 Exercise 3 A) Define your own CSP on the basis of CHOCO with: 20 variables 100 constraints (50 binary, 50 n-ary) B) Calculate and show all solutions. 3.1 CSP Variables V = v 1, v 2,..., v 26 Domains D = d v1, d v2,..., d v26 Constraints C = c 1, c 2,..., c 102 d v1 =... = d v26 = 1,..., 3 c i : v i v i+1 i 1,..., 25 c i+25 : v i v i i 1,..., 25 c i+50 : c i+76 : c 102 : 26 k=1 k i 26 k=1 k i,i+1 26 k=1 3.2 Implementierung v k v i i 1,..., 26 v k v i + v i+1 i 1,..., 25 v k = 42 Als erstes legen wir die Anzahl der Variablen mit n und den Zielfunktionswert von c 102 fest. int n = 26; // number of variables int targetnumber = 42; 5

7 Um unser Problem zu modellieren, benötigen wir CPModel (Constraint Programming Model) und legen ein Array für die n Variablen an. CPModel model = new CPModel(); IntegerVariable[] var = new IntegerVariable[n]; Im nächsten Schritt weisen wir jeder Variable einen Namen (v 1,..., v n ) und einen Wertebereich (1,..., 3) zu und fügen sie zu unserem Modell hinzu. for (int i = 0; i < n; i++) // v_1,..., v_n in [1..3] var[i] = Choco.makeIntVar("v_" + (i + 1), 1, 3); model.addvariable(var[i]); Nachdem die Variablen und ihr Wertebereich festgelegt wurden, lassen sich nun die Nebenbedingungen formulieren. Die ersten 25 Nebenbedingungen lassen sich mit einer Schleife und Choco.geq darstellen und mit addconstraint() zum Model hinzufügen. for (int i = 0; i < n-1; i++) Constraint c = (Choco.geq(var[i], var[i+1])); model.addconstraint(c); Die nächsten 25 Nebenbedingungen lassen sich dann ebenso hinzufügen. Choco.plus wird für den Term v verwendet. for (int i = 0; i < n-1; i++) Constraint c = (Choco.leq(var[i], Choco.plus(3,var[i+1]))); model.addconstraint(c); 6

8 Für die nächsten 26 Constraints geht man im Prinzip gleich vor. Mithilfe von Choco.sum(var) erhält man die Summe aller Variablen und mit Choco.minus zieht man die i-te Variable (Siehe c i+50 ) wieder ab. Für die Ungleichung benötigt man Choco.neq. for (int i = 0; i < n; i++) IntegerExpressionVariable temp = Choco.minus(Choco.sum(var), var[i]); Constraint c = Choco.neq(var[i], temp); model.addconstraint(c); Für die weiteren 25 Nebenbedingungen geht man analog zu oben vor. for (int i = 0; i < n-1; i++) IntegerExpressionVariable temp1 = Choco.plus(var[i], var[i+1]); IntegerExpressionVariable temp2 = Choco.minus(Choco.sum(var), temp1); Constraint c = Choco.neq(var[i], temp2); model.addconstraint(c); Die letzte Nebenbedingung benötigt für die Gleichheit nur noch Choco.eq. model.addconstraint(choco.eq(choco.sum(var), targetnumber)); Nachdem das Problem nun fertig modelliert wurde, brauchen wir noch einen Solver für unser Problem und lesen das Modell ein. CPSolver solver = new CPSolver(); solver.read(model); Damit wir alle Lösungen unseres Problems bekommen, verwenden wir statt solver.solve() den Befehl solver.solveall(). Nachdem defaultmäßig die solution capacity auf 1 gestellt ist und man deshalb nur auf die zuletzt berechnete Lösung zugreifen kann, muss man diese auch noch umstellen. Das Ganze sieht dann folgendermaßen aus: 7

9 int size = Integer.MAX_VALUE; solver.getconfiguration().putint(configuration.solution_pool_capacity, size); solver.solveall(); ISolutionPool pool = solver.getsearchstrategy().getsolutionpool(); Mit getsolutioncount() bekommen wir die Anzahl der gefundenen Lösungen. pool.aslist() liefert eine Liste aller Lösungen. In der Schleife werden dann aus der j-ten Lösung die Variablen v 1,..., v n ausgegeben. System.out.println(solver.getSolutionCount()); for(int j = 0; j < solver.getsolutioncount(); j++) System.out.print("Solution S" + (j+1) + ": ( "); for(int i = 0; i < n; i++) System.out.print(pool.asList().get(j).getIntValue(i) + " "); System.out.print(")"); System.out.println(); Ausgabe: Solution S : (v 1 v 2... v 26 ) Solution S1: ( ) Solution S2: ( ) Solution S3: ( ) Solution S4: ( ) Solution S5: ( ) Solution S6: ( ) Solution S7: ( ) Solution S8: ( ) Solution S9: ( ) 8

10 4 Exercise 4 Given the following CSP. Variables V = v 1, v 2, v 3 Domains D = d v1, d v2, d v3 d v1 = 1, 2, 3 d v2 = 1, 2, 3 d v3 = 1, 2, 3 Constraints C = c 1, c 2, c 3 c 1 : v 1 > v 2 c 2 : v 2 > v 1 c 3 : v 3 v 1 Determine all minimal conflict sets in C on the basis of the Simple Conflict Detection Algorithm. Die Vorgangsweise ist, den Algorithmus (siehe CSP2.pdf:15 aus der Vorlesung) iterativ mit angepassten Nebenbedingungen auszuführen, bis alle minimalen Konfliktmengen gefunden worden sind. Ziel ist nun die erste minimale Konfliktmenge zu bestimmen. Dafür führen wir den Algorithmus mit allen Nebenbedingungen aus: C (1) = c 1,..., c 3. 1 C c 1,..., c 3 2 B 3 Weil C inkonsistent (c 1 und c 2 widersprüchlich, wird die folgende Schleife ausgeführt) 5 B = 7 c c 1 C \ = c 1,..., c 3 8 c = c 1 9

11 9 Da konsistent ist, wird die innere Schleife wiederholt 7 c c 2 C \ = c 2, c 3 8 c = c 1, c 2 9 ist nun inkonsistent, also bricht die innere Schleife ab 10 B B c = c 2 11 Da B noch nicht inkonsistent ist, wird die äußere Schleife wiederholt 5 B = c 2 7 c c 1 C \ = c 1, c 3 8 c = c 1 9 Weil nun inkonsistent ist, bricht die innere Schleife ab 10 B B c = c 1, c 2 11 Da B nun auch inkonsistent ist, wird auch die äußere Schleife abgebrochen Wir haben somit eine minimale Konfliktmenge c 1, c 2 erhalten. Nun gilt es weitere zu bestimmen. Wir rufen daher den Algorithmus noch einmal auf, aber vermeiden die bereits gefundene minimale Konfliktmenge: C (2) = c 1, c 3 und C (3) = c 2, c 3 1 C c 1, c 3 2 B 3 Weil C konsistent ist, bricht der Algorithmus ab 1 C c 2, c 3 2 B 3 Weil C konsistent ist, bricht der Algorithmus ab Die restlichen beiden Kandidaten haben also keine weiteren minimalen Konfliktmengen enthalten und somit gibt es nur eine minimale Konfliktmenge und zwar c 1, c 2. 10

12 5 Exercise 5 On the basis of your CSP defined in Exercise 3, include the following aspects/functionalities in your CHOCO based implementation. A) Convert the CSP (defined in CHOCO) from Exercise 3: the new CSP (also defined in CHOCO) must be inconsistent (no solution exists) and contain at least 10 minimal conflict sets and at least 8 minimal diagnoses. B) Determine one minimal conflict set in the CSP with your own implementation of SimpleConflictDetection. 5.1 CSP Variables V = v 1, v 2,..., v 26 Domains D = d v1, d v2,..., d v26 Constraints C = c 1, c 2,..., c 102 d v1 =... = d v26 = 1,..., 3 c i : v i v i+1 i 1,..., 25 c i+25 : v i v i i 1,..., 25 c i+50 : c i+76 : c 102 : 26 k=1 k i 26 k=1 k i,i+1 26 k=1 v k v i i 1,..., 26 v k v i + v i+1 i 1,..., 25 v k = 42 c i+102 : v i < v i+1 i 1,..., Implementierung Zum bereits bestehenden Code aus Exercise 3 müssen noch die Nebenbedingungen c 103,..., c 112 hinzugefügt werden. 11

13 for(int i = 0; i < 10; i++) Constraint c = Choco.lt(var[i], var[i+1]); model.addconstraint(c); Als Lösung ergibt sich dann: System.out.println("Solutions found: " + solver.getsolutioncount()); Solutions found: 0 Als minimale Konfliktmengen ergeben sich CS i = c i, c i+102 i 1,..., 10 da diese klarerweise jeweils einen Konflikt erzeugen und es keine Nebenbedingungen gibt, die an sich widersprüchlich sind. Somit sind die CS i auch minimal. Als Diagnosen ergeben sich dann beispielsweise i = c i+102 c j : j 1,..., 10\i i 1,..., 10 Aus jeder minimalen Konfliktmenge wird eine Nebenbedingung entfernt. 12

14 5.2.1 SimpleConflictDetection Das Programmgerüst ist dasselbe wie aus Beispiel 3. Hinzugefügt wird eine Funktion, die ein Modell mit den Nebenbedingungen eines minimal conflict sets liefert, falls das Problem inkonsistent ist. Für diese Funktion wird zuerst die Funktion IsInconsistent() benötigt, die true liefert, falls es keine Lösung gibt und f alse anderenfalls. public static boolean IsInconsistent(CPModel model) CPSolver solver = new CPSolver(); solver.read(model); solver.solve(); int solcount = solver.getsolutioncount(); if(solcount == 0) return true; else return false; Zuerst werden zwei Kopien des Modells mit denselben Variablen angelegt. Danach wird überprüft, ob das Problem eine Lösung besitzt - Man braucht keine conf lict set berechnen, wenn es eine Lösung gibt. Danach folgt der Algorithmus aus der Vorlesung bzw. Beispiel 4. public static CPModel SimpleConflictDetection(CPModel model) CPModel delta = new CPModel(); CPModel B = new CPModel(); Iterator<IntegerVariable> iter = model.getintvariterator(); while(iter.hasnext()) IntegerVariable v = iter.next(); delta.addvariable(v); B.addVariable(v); if(!isinconsistent(model)) System.out.println("No conflict set found."); return B; 13

15 // algorithm while(!isinconsistent(b)) int count = 0; delta.removeconstraints(); while(!isinconsistent(delta)) delta.addconstraint(model.getconstraint(count++)); // add found constraint to the minimal conflict set B.addConstraint(model.getConstraint(--count)); // remove this constraint from the model model.removeconstraint(model.getconstraint(count)); return B; Der Aufruf erfolgt dann beim definierten Modell mit: CPModel conflictmodel = SimpleConflictDetection(model); Iterator<Constraint> iter = conflictmodel.getconstraintiterator(); while(iter.hasnext()) System.out.println(iter.next()); Was als Ergebnis folgendes liefert: lt ( v_1 [1, 3], v_2 [1, 3] ) geq ( v_1 [1, 3], v_2 [1, 3] ) Was den Nebenbedingungen c 103 : v 1 < v 2 und c 1 : v 1 v 2 entspricht. 14

16 6 Exercise 6 Explain how QuickXPlain exploits the idea of divide-and-conquer on the basis of a simple example. CSP. Variables V = v 1, v 2, v 3 Domains D = d v1, d v2, v 3 d v1 =... = d v3 = 1,..., 3 Constraints C = c 1, c 2, c 3 c 1 : v 1 < v 2 c 2 : v 2 < v 3 c 3 : v 3 = v 2 QuickXPlain. QuickXPlain(c 1, c 2, c 3 ) c 3, c 2 B=, =,C=c 1,c 2,c 3 C 1 =c 1,C 2 =c 2,c 3 2 = c 2, c 3 1 = B=c 1, =c 1,C=c 2,c 3 C 1 =c 2,C 2 =c 3 B=c 2,c 3, =c 2,c 3,C=c 1 2 = c 3 1 = c 2 B=c 1,c 2, =c 2,C=c 3 B=c 1,c 3, =c 3,C=c 2 Zuerst überprüft QuickXPlain, ob überhaupt ein Konflikt vorliegt. Da dies der Fall ist, delegiert er weiter an die Hilfsfunktion QX mit B = und =. QX gibt zurück, was aus C zu B hinzukommen muss, damit B einen Konflikt enthält. Die Menge B ist ähnlich wie in Beispiel 4 die Menge, die am Schluss den minimalen Konflikt beinhalten soll und die Menge gibt an, was von 15

17 der vorigen Ebene zu B hinzugekommen ist. QX arbeitet nun mit einem Divide&Conquer Ansatz. Ziel ist es, eine Hälfte zu finden, die die Inkonsistenz hervorruft, und damit die andere Hälfte ignorieren zu können. Dazu wird B so lange um die linke Hälfte vergrößert, bis ein Teil gefunden wird, der einen Konflikt auslöst. Ist aber der Rest bis auf ein Element geschrumpft, muss dieses mit Schuld an einem Konflikt sein. Im zweiten Schritt werden die Elemente unter den nicht verworfenen gesucht, die nötig sind, damit mit den bereits bekannten schuldigen Elementen ein Konflikt ausgelöst wird. Im Beispiel oben wird die Menge C in der Mitte halbiert in zwei disjunkte Teilmengen C = c 1 c 2, c 3 Zuerst wird wie oben eben beschrieben die linke Hälfte betrachtet. Da B leider konsistent ist, muss noch etwas von der rechten Hälfte dazu. Es wird wieder zuerst die linke Hälfte zu B hinzugefügt. B ist zwar noch immer konsistent, aber dafür ist nur mehr eine Nebenbedingung über. Also muss diese einen Konflikt auslösen. Eine Ebene höher ist nun bekannt, dass c 3 mit schuld an einem Konflikt mit B ist und der Rest aus C 2 kann getrost verworfen werden. Nun wird in C 1 gesucht, was noch hinzugefügt werden muss zu dem bereits bekannten Element c 3. Wieder ist B konsistent und das einzig verbleibende Element c 2 der Schuldige. Eine Ebene höher ist nun bekannt, dass c 2, c 3 C 2 mit schuld an einem Konflikt sind. Da diese beiden bereits inkonsistent sind, bricht der Rekursionsast ab. 16

18 7 Exercise 7 Explain the concept of arc consistency on the basis of a simple example. CSP. Variables V = v 1, v 2 Domains D = d v1, d v2 Constraints C = c 1 d v1 = d v2 = 1,..., 5 c 1 : v 1 > v Eine Variable ist genau dann Arc-konsistent bezüglich einer zweiten Variable, wenn für jeden zulässigen Wert der Variable mindestens ein zulässiger Wert der zweiten Variable existiert. Jetzt streichen wir alle Werte aus d v1, für die die Nebenbedingung c 1 nicht erfüllt werden kann. Dann bleiben folgende Werte übrig: d v1 = 3, 4, 5. Nun ist v 1 mit v 2 Arc-konsistent, jedoch nicht notwendigerweise v 2 mit v 1. Dazu betrachten wir nun d v2. Für v 2 = 4 und v 2 = 5 existiert kein Wert für v 1 aus d v1, sodass c 1 erfüllt wird. Daher streichen wir sie. Damit folgt, dass d v2 = 1, 2, 3. Nun ist v 2 mit v 1 Arc-konsistent, jedoch könnte die Konsistenz von v 1 mit v 2 durch das Streichen von Werten für v 2 verletzt worden sein. Dies ist in unserem Beispiel jedoch nicht der Fall. 17

19 8 Exercise 8 Explain the concept of node consistency on the basis of a simple example. CSP. Variables V = v 1 Domains D = d v1 d v1 = 1,..., 5 Constraints C = c 1, c 2 c 1 : v 1 > 2 c 2 : v 1 4 Node Consistency bedeutet nun, dass jede unäre Nebenbedingung einer Variable von allen Werten in deren Domain erfüllt wird. Im Falle des gewählten Beispiels heißt das, dass die Domain von v 1 so eingeschränkt wird, dass die übrigbleibenden Werte sowohl c 1 als auch c 2 erfüllen. Also wird der Wert 4 aus der Domain gestrichen (da dieser c 2 nicht erfüllt) und alle Werte kleiner gleich 2, das heißt 1 und 2. Die neue Domain für v 1 ist also d v1 = 3,5. 18