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Margarete Dressler
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1 Formelsammlung MathStat (Prof. Roth) WIB Analysis Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion heisst monoton wachsend im Intervall a x b, wenn x 1 < x 2, mit x 1, x 2 Intervall, gilt: f(x 1 ) f(x 2 ). Gilt sogar f(x 1 ) < f(x 2 ), ist die Funktion streng monoton wachsend. Analog für fallend. Eine Funktion heisst stetig in x 0, für x 0 a < x 0 < b, wenn gilt: lim x x 0 links f(x) = f(x 0 ) = lim f(x) x x 0 rechts Bei einer gebrochen rationalen Funktion stehen im Zähler und Nenner je eine ganzrationale Funktion, die Potenzen unterschiedlichen Grades enthalten. Rechenregeln für Logarithmen: log(x 1 x 2 ) = log(x 1 ) + log(x 2 ) log( x1 x 2 ) = log(x 1 ) log(x 2 ) log(x 1 ) x2 = x 2 log(x 1 ) log( x 2 x1 ) = log(x 1 ) 1 x 2 = 1 x 2 log(x 1 ) Ableitungen spezieller Funktionen: y = a x => y = a x ln(a) y = e x => y = e x y = e 2x => y = 2 e 2x y = u(x) v(x) => y = e v(x) ln(u(x)) y = ln(x) => y = 1 x y = ln(2x) => y = 2 2x Kettenregel! y = log a x => y = 1 x log ae = 1 x lna y = n x => y 1 = n n x n 1 1

2 Ableitungsregeln: Produktregel: y = f g => y = f g + f g Quotientenregel: y = f g => y = g f f g g 2 Kettenregel: y = f(g(x)) => y = f (g(x)) g (x) Kurvendiuskussion: Definitionsbereich Ableitungen Nullstellen Schnittpunkt mit der y- Achse Extrempunkte notw. Bedingung: f (x) = 0 hinr. Bedingung: f (x) > 0 => Minimum f (x) < 0 => Maximum Wendepunkte notw. Bedingung: f (x) = 0 hinr. Bedingung: f (x) 0 Wertebereich inkl. Verlaufsskizze partielle Ableitungen: Bei Funktionen mit 2 Unbekannten x und y werden partielle Ableitungen gebildet, indem man einzeln nach den Variablen ableitet: z x = d.h. die Fkt. wird nach x abgeleitet. z y analog nach y. δf(x, y), δx 2

3 Die Kreuzableitungen werden entsprechen gebildet, indem man die Ableitung der 1. Variablen nach der 2. ableitet: z xy = z yx = δ2 f(x, y) δx δy Ein Punkt P (x e /y e /z e ) ist Extrempunkt der Funktion z = f(x, y), wenn: notw. Bedingung: z x = δz δx = 0 und z y = δz δy = 0 hinr. Bedingung: Weiter gilt: z xx > 0 => Minimum z xx < 0 => Maximum z xx z yy (z xy ) 2 0 Lagrange-Funktion: Bei Extremwertbetrachtungen mit Einbeziehung von Nebenbedingungen zwecks Optimierung wird die Lagrange-Funktion verwendet: Sei f(x 1, x 2,...x n ) die Zielfunktion und g 1 (x 1, x 2,...x n ),...g k (x 1, x 2,...x n ) Nebenbedingungen, dann gilt: L(x 1, x 2,...x n, λ 1, λ 2,...λ k ) = f(x 1, x 2,...x n ) + k j=1 λ j g j (x 1, x 2,...x n ) Die Nebenbedingung muss vor dem Einsetzen in die Lagrange-Funktion auf die Form g = 0 gebracht werden. Durch das Aufstellen der 3 partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion erhält man 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Es empfiehlt sich L x und L y nach λ aufzulösen und gleichzusetzen. Zur Extremwertbestimmung müssen die gleichen Bedingungen wie oben (part. Abl.) erfüllt sein. 3

4 2 Finanzmathematik Definitionen: K 0 = Kapital i = Zinssatz pro Jahr; i = p = Zinsfuß; p= i * 100% n = Zeitraum (Jahre) Ann = Annuität T il k = Tilgung in Periode k S = Kreditbetrag Zeitpunkt 0 Zinsen pro Jahr Kapital Einfache Zinsrechnung (nachschüssig) K n = (1 + p 100 n) K 0 Zinseszinsrechnung (nachschüssig) K n = (1 + p 100 )n K 0 Unterjährige Verzinsung (nachschüssig) Werden die Zinsen bereits nach 1 m Jahren dem Kapital zugeschlagen und mitverzinst, so spricht man von unterjähriger Verzinsung: Renten und Annuitäten regelmäßige Zahlung K n = (1 + die einzelne Zahlungen heißen Raten p 100m )n m K 0 Sind die Raten am Ende (Anfang) des Jahres fällig spricht man von nachschüssiger (vorschüssiger) Rente Der Gesamtwert der Rente zu Beginn (am Ende) der Laufzeit einer Rente, heißt Barwert K 0vs = K 0ns (1 + i) Geometrische Reihe: n q t = 1 + q + q q n = 1 qn+1, mit q 1 1 q t=0 Barwert (gleich bleibende Rente) K 0 = n t=1 1 (1 + i) t = [(1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) n ] i = Zinssatz; n = Rentenzahlungsdauer; erste Rate = 1 Euro; A = Rente BW nachsch. = (1 + i)n 1 i(1 + i) n A 4

5 Barwert (anwachsende Rente) 1+i )n BW nachsch. = 1 ( 1+w i w, w = W achstumsrate BW vorsch. = (1 + i) BW nachsch. Rentenbarwertfaktor Tilgungsbetrag K 0 = 1 ( 1 1+i )n i t 1 T IL t = ANN i(s k=1 T IL k ) T IL t+1 T IL t = i T IL t T IL k = Tilgung zu Zeitpunkt k; S = Kreditbetrag im Zeitpunkt 0 In welcher Periode n ist ein Kredit getilgt? n ln[ S i T IL 1 + 1] ln(1 + i) 5

6 3 Stochastik Definitionen: M = m bezeichnet die Anzahl der Elemente einer Menge M Vereinigung: A B - A oder B oder Beides Durschnitt A B - A und B A B = A + B A B kartesisches Produkt: A B = {(a, b) a A und B B} A B = A B Sei M eine m-elementige Menge. Dann hat M genau 2 m Teilmengen. ω i ist Elementarereignis Ereignismenge Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} Wahrscheinlichkeit p[ω i ], mit 0 p[ω i ] 1 Wahrscheinlichkeit p[e] = 1 p[ςe], mit ςe:= Nicht E Darüber hinaus ist p[e] + p[ςe] = p[ω] = 1 p[a] = Anzahl der günstigen F älle Anzahl der möglichen F älle = A Ω LaPlace Gleichverteilung aller Elementarerignisse (z.b. Würfel) Ziehen ohne Zurücklegen (mit Reihenfolge) Menge mit n Elementen n! Permutationen (3 Elemente 3! = 6 Variationsmöglichkeiten) Ziehen ohne Zurücklegen (ohne Reihenfolge) Möglichkeit aus n Elementen k herauszuziehen ist: ( ) n k = n! (n k)! k! Beispiel: Kugeln ziehen M := Anzahl der ausgezeichneten Kugeln in der Urne N := Alle Kugeln in der Urne m := Anzahl der gezogenen Kugeln mit ausgezeichneter Eigenschaft n := Anzahl der Züge W (m) = ( ) M m ( N M n m Ziehen mit Zurücklegen (ohne Reihenfolge) Möglichkeit aus n Elementen k herauszuziehen ist: ( ) ( n M ) k k N (1 M N )n k ( N n ) ) 6

7 Unabhängigkeit von Ereignissen E 1 und E 2 heißen statistisch (stochastisch) unabhängig, wenn gilt: W (E 1 E 2 ) = W (E 1 ) W (E 2 ) Eine Abfolge von Versuchen ist unabhängig, wenn sie unter gleichen Bedingungen durchgeführt werden. Bedingte Wahrscheinlichkeiten W (E 1 E 2 ) = W (E 1 E 2 ) W (E 2 ) heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 1 unter der Bedingung E 2. Allgemeiner Multiplikationssatz W (E 1 E 2 ) = W (E 1 ) W (E 2 E 1 ) Zufallsvariable Jedem Versuchsergebnis ω Ω wird genau eine reelle Zahl ξ(ω) R zugeordnet. ξ ist also eine reelwertige Funktion auf Ω, deren Werte vom Zufall abhängen. Deshalb nennt man ξ eine Zufallsvariable. Die Funktion F (x) = W (ξ x) für jedes reele x, heißt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen ξ. F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der angenommene Wert ξ(ω) nicht größer als x ausfällt. Vorgehen für Verteilungsfunktion: 1. Werte für ξ herausfinden (z.b. bei 2 Würfeln 2,3,..,12). 2. Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen ξ berechnen (z.b. bei 2 Würfeln 1 36, 2 36,.., 1 36 ) 3. Dann die Funktionswerte durch Addition aller niedrigeren Werte errechnen (z.b. F (3) = W (ξ = 2) + W (ξ = 3) = 3 36 ). Also : F (x) = i x W (ξ = i). 4. Treppenfunktion (bzw. stetige Verteilungsfunktion für Zufallsvariablen, die jeden reelen Zwischenwert annehmen können) zeichnen 7

8 Stetige Verteilungsfunktion F lächeninhalt : F (x) = W (a < ξ b) für a < b : W (a < ξ b) = x b a f(x)dx f(x)dx = F (b) F (a) Erwartungswert Der Erwartungswert ist der Mittelwert einer Zufallsvariablen ξ (welches Ereignis tritt am ehesten ein): E(ξ) = µ = i x i W (ξ = x i ) = x i p i Streuung / Varianz Wie verlässlich ist µ? Wie stark streut ξ um ihren Mittelwert µ? Dazu errechnet man zunächst die durchschnittliche quadratische Abweichung (Varianz): E[(ξ µ) 2 ] = i (x i µ) 2 W (ξ = x i ) = σ 2 = i (x i µ) 2 p i Die positive Wurzel aus der Varianz σ 2 bezeichnet man als Streuung (Standardabweichung) σ. Rechenregeln Es seien a,b reele Zahlen und ξ Zufallsvariable, dann gilt: E[aξ + b] = a E[ξ] + b Der Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen ist gleich der Summe der einzelnen Erwartungswerte: E[ξ 1 + ξ ξ n ] = E[ξ 1 ] + E[ξ 2 ] E[ξ n ] ξ 1, ξ 2,..., ξ n seien unabhängige Zufallsvariablen. Dann ist die Varianz σ 2 der Summe ξ 1 + ξ ξ n gleich der Summe der Varianzen: σ 2 = σ1 2 + σ σn 2 Sind ξ 1 und ξ 2 unabhängige Zufallsvariablen, so gilt: E[ξ 1 ξ 2 ] = E[ξ 1 ] E[ξ 2 ] Aus 1. und 2.: σ 2 = E[ξ 2 ] µ 2 8

9 E[((ξ + b) E[ξ + b]) 2 ] = E[(ξ E[ξ]) 2 ] E[(aξ E[aξ]) 2 ] = E[a 2 (ξ E[ξ]) 2 ] = a 2 E[(ξ E[ξ]) 2 ] 9

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