Entwicklung eines dynamischen Tests zur Prüfung der Rückfußdämpfung von Laufschuhen mittels biomechanischer Messmethoden

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Entwicklung eines dynamischen Tests zur Prüfung der Rückfußdämpfung von Laufschuhen mittels biomechanischer Messmethoden"

Transkript

1 Jens Heidenfelder Entwicklung eines dynamischen Tests zur Prüfung der Rückfußdämpfung von Laufschuhen mittels biomechanischer Messmethoden Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) Technische Universität Chemnitz Fakultät für Human- und Sozialwissenschaften November 2010

2 II

3 Für Kathrin & Jasmin

4 INHALTSVERZEICHNIS 1 Einführung Hintergrund Aufbau der Arbeit Forschungsstand Biomechanik des Ausdauerlaufens Natürliche Stoßdämpfungsmechanismen des Körpers Die Bedeutung des Laufschuhs Mechanische Tests zur Bestimmung der Rückfußdämpfung Zusammenfassung des bisherigen Erkenntnisstandes Fragestellung der Arbeit Methodisches Verfahren Messinstrumentarium Statistische Methoden Erstellung des mechanischen Testverfahrens Stempelgeometrie Fußaufsatzwinkel Kraft-Zeit Profil Darstellung des mechanischen Testverfahrens Evaluierung des Testverfahrens Mechanische Evaluierung Biomechanische Evaluierung Anwendungsmöglichkeiten Verbesserung der Alterungsbeständigkeit Funktionale Bereiche zur Beeinflussung der Stoßbelastung Die Bedeutung des ersten vertikalen Kraftminimums Entwicklungstrends der mechanischen Laufschuhtestung Reflektion der Ergebnisse Literatur Anhang Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Abkürzungs- und Symbolverzeichnis Danksagung Lebenslauf Erklärung

5 II

6 Hintergrund 1 Einführung 1.1 Hintergrund Der zu Beginn der siebziger Jahre stattfindende Laufboom bewirkte ein zunehmendes Interesse der Industrie an dem rapide wachsenden Absatzmarkt von Laufschuhen. Das schnelle Wachstum dieses Marktes führte zu einer Vielzahl von neuen Laufschuhmarken und damit verbunden zu einer unüberschaubaren Flut von Modellen. Für langfristig orientierte Firmen ergab sich deshalb die Notwendigkeit sich durch Produktverbesserungen und innovative Neuerungen abzuheben. Um die entwickelten Produktideen zu erforschen, wurden Studien in Auftrag gegeben oder selbst durchgeführt. Zu diesen marktwirtschaftlichen Belangen kam die Forderung der Konsumenten, nach objektiven Richtlinien für die Auswahl des geeigneten Schuhwerks. Ursachen dafür sind neben der gestiegenen Modellvielfalt in einer einsetzenden Differenzierung des Laufschuhs nach bestimmten Einsatzgebieten und nicht zuletzt in einer deutlichen Zunahme von Laufverletzungen zu suchen. Mit einem Anteil von 28 % ist Laufen heute in Deutschland die dritthäufigste Sportart neben Radfahren und Schwimmen (Statista GmbH, 2010). Erhebungen der deutschen Gesellschaft für Konsumforschung sowie führender Sportartikelhersteller belegen, dass es in Deutschland zwischen 11 und 17 Millionen Menschen im Alter von über 14 Jahren gab, die sich selbst als regelmäßige oder gelegentliche Jogger bezeichnen (Fit & aktiv, 2004). Dabei nimmt vor allem der Anteil älterer Läufer (> 50 Jahre) mit derzeit 30 % stetig zu. Es ist daher nicht verwunderlich, dass das Interesse von Industrie und Endverbrauchern an der Erforschung von Laufschuhen ungebrochen groß ist. Betrachtet man die Entwicklung der Laufschuhforschung, dann fällt vor allem der Zeitraum zwischen 1980 und 1990 auf. Innerhalb dieses Jahrzehntes erschienen mehr Publikationen zum Thema Laufen und Laufschuh, als in der gesamten Zeit zuvor. Mit Hilfe biomechanischer Untersuchungen, theoretisch generierter Modelle und erster mechanischer Tests wurde ein grundlegendes Verständnis über biomechanische und mechanische Zusammenhänge beim Laufschuh generiert. Auch wenn einige der aufgestellten Hypothesen in der Folgezeit wieder verworfen wurden, so kann man dennoch davon sprechen, dass zu dieser Zeit die Grundlagen für die heutige Laufschuhforschung gelegt wurden. Als die Zeitschrift Runners World im Jahre 1980 einen Vergleichstest von 124 verschiedenen Laufschuhen präsentierte, wurden fünf wesentliche Kriterien bewertet: Dämpfung, Flexibilität, Rückfußkontrolle, Haltbarkeit und Traktion (Cavanagh et al., 1980). Zur Ermittlung dieser Eigenschaften verwendete man insgesamt neun verschiedene mechanische Labortests. Die Autoren begründen ihre Entscheidung mechanische Tests einer biomechanischen Untersuchung vor zu ziehen mit der deutlich höheren Reproduzierbarkeit der Ergebnisse und dem geringeren Zeitaufwand. Damals wie heute ist es mittels mechanischer Tests möglich, Schuheigenschaften unabhängig von bestimmten Einflussfaktoren wie Klima, Untergrund oder dem Menschen zu untersuchen. Gerade die 1

7 Hintergrund langfristige Reproduzierbarkeit immer gleicher Versuchsbedingungen ist ein wesentlicher Bestandteil von erfolgreicher Produktevolution. Deshalb stellen mechanische Tests einen wichtigen Pfeiler für die Qualitätssicherung dar und liefern verlässliche Daten zur Bewertung neuer Produktideen. Der Vergleich von mechanischen und biomechanischen Ergebnissen zeigt jedoch deutlich, wie variabel und komplex der menschliche Körper auf Änderungen am Laufschuh reagieren kann. Dies führt zu der Erkenntnis, dass eine Betrachtung, welche biomechanische, mechanische und subjektive Daten erhebt, für die umfassende Bewertung von Laufschuhen nötig ist. In einem solch holistischen Ansatz können die Vorteile der einzelnen Untersuchungsmethoden miteinander kombiniert werden. Die treibende Kraft eines Forschers, begründet sich häufig aus dem Grundsatz, dass eine beantwortete Frage eine Vielzahl neuer Fragen generiert, welche den Anstoß für neue Forschungsaktivitäten geben. Der Anstoß für diese Arbeit entstand auf der Suche nach einem mechanischen Testverfahren, welches auf Grundlage biomechanischer Zusammenhänge Aussagen über die Dämpfungseigenschaften von Laufschuhen zulässt. Wie wichtig die Dämpfungseigenschaften eines Laufschuhs sind, verdeutlicht das Ergebnis einer aktuellen Umfrage mit knapp 4400 Läuferinnen und Läufern (Schubert, 2010). Die Befragten gaben an, dass neben der Passform die Dämpfung eines Laufschuhs die wichtigste Eigenschaft ist. Darüber hinaus konnte aus den Ergebnissen ein Zusammenhang zwischen Alter und dem Wunsch nach Dämpfung abgeleitet werden. Vor dem Hintergrund einer stetig älter werdenden Gesellschaft scheint dieses Ergebnis besonders erwähnenswert. Da die Wahrnehmung von Dämpfung beim Laufen maßgeblich durch die Eigenschaft im Rückfußbereich beeinflusst wird (Kleindienst, 2003), konzentriert sich die vorliegende Arbeit vornehmlich auf diesen Bereich. 2

8 Aufbau der Arbeit 1.2 Aufbau der Arbeit In der vorliegenden Arbeit wird ein fachübergreifender Ansatz gewählt, um ein mechanisches Prüfverfahren zur Bestimmung der Materialeigenschaften im Rückfußbereich von Laufschuhen zu entwickeln (Abbildung 1). Im ersten Schritt werden die bisherigen Forschungsergebnisse aus den Fachbereichen Biomechanik und Mechanik zusammengetragen und miteinander verglichen. Dadurch soll ein gesamtwissenschaftlicher Erkenntnisstand aus der bisherigen Literatur erarbeitet werden. Basierend auf diesem Erkenntnisstand können im zweiten Schritt das genaue Entwicklungsziel dieser Arbeit festgelegt und fachübergreifende Hypothesen generiert werden. Anschließend werden die dafür notwendigen biomechanischen und mechanischen Untersuchungsmethoden ausgewählt. Im dritten Schritt werden die nötigen biomechanischen Randbedingungen in entsprechenden Studien erhoben und anschließend in ein mechanisches Modell übertragen, um am Ende dieses Prozesses das entwickelte mechanische Prüfverfahren darstellen zu können. Bei der Erhebung der biomechanischen Randbedingungen wird auf die bisherigen Erkenntnisse aus der Literatur zurück gegriffen. Sofern es nötig ist, müssen diese Erkenntnisse durch eigene Studien erweitert werden. Für jeden Themenkomplex wird eine Unterteilung in Einleitung, Methodik, Ergebnisse und Diskussion vorgenommen. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, zum einen den allgemeinen Erkenntnisgewinn, welcher sich aus jeder Studie für das entsprechende Forschungsfeld ergibt, zu diskutieren. Zum anderen können am Ende eines jeden Themenkomplexes in einem eigenen Kapitel die Erkenntnisse direkt in das mechanische Modell übertragen werden. Im vierten und letzten Schritt erfolgt die Evaluation des neu gebildeten mechanischen Prüfverfahrens mittels mechanischer und biomechanischer Methoden. Die ausführliche Betrachtung des mechanischen Prüfverfahrens unterteilt sich in eine Gültigkeits- und eine Wirkungsprüfung. Die abschließende Verifizierung liefert konkrete Aussagen über die Abbildungsfähigkeit des neuen Tests. Dazu wird eine umfassende Alterungsstudie durchgeführt und vergleichende Betrachtungen von mechanischen und biomechanischen Testergebnissen angestellt. Durch weiterführende Betrachtungen können darüber hinaus mögliche neue Anwendungsfelder aufgezeigt werden. 3

9 Aufbau der Arbeit Biomechanik Mechanik Literaturrecherche Biomechanische Untersuchungen [ ] Mechanische Untersuchungen [2.4] Erkenntnisstand Erarbeitung des Entwicklungszieles [2.5 & 3] Festlegung der Untersuchungsmethoden [4] Entwicklungsprozess Ermittlung der Randbedingungen [ ] Übertrag der Erkenntnisse in ein mechanisches Modell Darstellung des Prüfverfahrens [5.4] Evaluierung Gültigkeits- & Wirkungsprüfung [6.1] Verifizierung [6.2] Abbildung 1: Schematische Darstellung der durchgeführten Arbeitsschritte mit Kapitelverweis 4

10 Biomechanik des Ausdauerlaufens 2 Forschungsstand 2.1 Biomechanik des Ausdauerlaufens Merkmale des Ausdauerlaufens Die Anfänge zur Analyse des menschlichen Laufes lassen sich bis ins fünfte Jahrhundert vor Christus zurück verfolgen. Aus jener Zeit wurden im Raum des heutigen Griechenlandes Vasen mit Abbildungen von laufenden Menschen, die uns vertraute Handlungen des Läufers widerspiegeln, gefunden. Die ersten schriftlichen Aufzeichnungen über die Zusammenhänge des menschlichen Ganges wurden von dem griechischen Universalgenie Aristoteles ( v.ch.) überliefert. Bei der Analyse von Struktur und Funktion des menschlichen Körpers fand Aristoteles heraus, dass die Beugung im Kniegelenk einen Einfluss auf die Vertikalbewegung des Körpers beim Laufen hat. Als die Ideen der Antike ihre Wiedergeburt in der Zeit der Renaissance erlebten, wurden auch die Entdeckungen von Aristoteles zur Bewegung des Menschen wieder aufgegriffen. Das Wissen über die Zusammenhänge menschlicher Bewegung war für viele Maler dieser Zeit die Voraussetzung menschliche Bewegungen detailliert in Bildern wieder zu geben. Leonardo da Vinci beschrieb seine Beobachtungen zur Aufsatzbewegung des Fußes beim Bergan- und Bergablaufen folgendermaßen: He who runs down a slope has his axis on his heels; and he who runs uphill has it on the toes of his feet; and a man running on the level ground has it first on his heels and then on the toes of his feet. (Leonardo da Vinci) 1 Dass die Beobachtungen von Aristoteles und Leonardo da Vinci tatsächlich ihre Gültigkeit haben, konnte erst Jahrhunderte später mit der nötigen Messtechnik bewiesen werden. Einen wesentlichen Beitrag die Biomechanik menschlicher Bewegungen zu erfassen lieferte Etienne Jules Marey (* ). In seinem Werk Movement aus dem Jahre 1895 finden sich zahlreiche selbst entwickelte Gerätschaften und Messplatzaufbauten, um die Laufbewegung des Menschen objektiv zu quantifizieren. In den darauffolgenden Jahrzehnten wurden weitere Techniken entwickelt mit deren Hilfe die Bewegung des Menschen durch physikalische Messgrößen immer genauer beschrieben werden konnte. 1 Keele, K.D. (1983). Leonardo da Vinci s elements of the science of man. New York: Academic Press. Aus: Cavanagh, P. R. (1990). The mechanics of distance running: a historical perspective. In P. R. Cavanagh (Ed.), Biomechanics of distance running (S. 7). Champaign, IL: Human Kinetics Books. 5

11 Biomechanik des Ausdauerlaufens Nach dem heutigen Kenntnisstand unterteilt man den menschlichen Lauf in eine Flug- und eine Stützphase. Während der Flugphase befinden sich beide Beine in der Luft. Die Zeitdauer der Flugphase ist von der Technik und Geschwindigkeit des Läufers abhängig. Während der Flugphase überschreitet der Körperschwerpunkt seinen höchsten Punkt und wird fortan Richtung Boden beschleunigt. Die beschleunigte Körpermasse erreicht zum Zeitpunkt des ersten Bodenkontaktes ihre maximale Geschwindigkeit. Beim Auftreffen des Fußes auf dem Boden kommt es zu einer stoßartigen Verzögerung dieser Beschleunigungsbewegung. Beim Abbremsen der beschleunigten Körpermasse entstehen Kräfte, welche vom Aufsatzpunkt des Fußes in jeweils entgegen gesetzter Richtungen in gleichem Ausmaß wirken. Eine Messung der Reaktionskraft am Boden erlaubt somit Rückschlüsse darüber, wie groß die auf den Körper beim Landen einwirkende externe Kraft ist und in welche Richtung diese wirkt. Im physikalischen Sinne ist die Größe der wirkenden Kraft von der Masse des Körpers und vom Beschleunigungsweg abhängig, also der Höhe des Körperschwerpunktes zwischen maximalem Umkehrpunkt während der Flugphase und der Höhe beim Landen auf dem Boden. Darüber hinaus beeinflusst die horizontale Geschwindigkeit, also die sogenannte Laufgeschwindigkeit, Größe und Richtung der einwirkenden Kraft. Der menschliche Lauf zeichnet sich durch einen ständigen Wechsel von Belastung und Entlastung aus. Um die Belastungen zu unterteilen, unterscheidet man äußere und innere Kräfte. Äußere Kräfte wirken dabei auf den gesamten menschlichen Körper, wogegen innere Kräfte zwischen verschiedenen Körperteilen wirken. In den vergangenen Jahrzehnten der biomechanischen Forschung konnten eine Vielzahl von Faktoren identifiziert werden, welche die Belastungen auf den menschlichen Körper beeinflussen (Nigg, 1986: S.10). Zu den sogenannten dynamischen Faktoren, welche vom Menschen selbst beeinflusst werden können, gehören: Art der Bewegung (Gehen, Laufen, Sprinten, Springen) Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes Geschwindigkeit der Körpersegmente Körperhaltung Muskuläre Aktivität Schritte pro Zeiteinheit 6

12 Biomechanik des Ausdauerlaufens Zu den sogenannten äußeren Faktoren, bei denen nur einige vom Menschen beeinflusst werden können, gehören: Anthropometrie (Beinlänge, Massenverteilung, Beinachsenausrichtung) Individuelle Situation (Fitnesszustand) Untergrundmaterial (Gras, Asphalt ) Untergrundbeschaffenheit (Fest, Laufband, Hindernisse) Schuh (Material, Geometrie) Die vorliegende Arbeit wird sich zum größten Teil mit dem letztgenannten äußeren Faktor, dem Schuh und im Speziellen dem Laufschuh beschäftigen. Der funktionale Aufbau eines Laufschuhs resultiert zum großen Teil aus den anatomischen Gegebenheiten des menschlichen Fußes und den biomechanischen Vorgängen während des Bodenkontaktes. Aus diesem Grund sollen in den folgenden Kapiteln diese Zusammenhänge genauer betrachtet werden. Da gezeigt werden konnte, dass die kinetischen und kinematischen Variablen beim Laufen auf einem Laufband sich signifikant von denen auf festem Untergrund unterscheiden (Kapitel 1.1.1), werden in dieser Arbeit in aller Regel nur Studien analysiert, die auf festem Untergrund durchgeführt wurden Die Gelenkmechanik der unteren Extremität Die Kraftübertragung innerhalb der kinematischen Kette Rumpf-Bein-Fuß erfolgt über vier gelenkige Verbindungen, dem Hüftgelenk, dem Kniegelenk sowie dem oberen und unteren Sprunggelenk. Je weiter entfernt die Gelenke vom Boden sind, desto größer ist das mögliche Bewegungsausmaß und desto geringer fallen die auf sie wirkenden Stoßbelastungen aus. Während das Hüftgelenk als Kugelgelenk mit drei Freiheitsgraden einen relativ großen Freiraum an kinematischen Bewegungen erlaubt, finden die Bewegungen im Kniegelenk hauptsächlich in sagittaler Ebene statt. Das Kniegelenk ist ein Scharniergelenk, welches den Oberschenkelknochen und die Tibia verbindet. Aufgrund der Elastizität des Sehnen- und Bandapparates können jedoch auch Torsionsbewegungen bis zu einem gewissen Grad übertragen werden. Einige dieser Rotationsbewegungen werden mit typischen Verletzungen in Verbindung gebracht (Bahlsen, 1988; Nigg et al., 1993). Die distalen Enden der beiden Unterschenkelknochen Tibia und Fibula werden als Malleolus medialis und lateralis (Außenknöchel) bezeichnet. Sie umschließen mit der sogenannten Malleolengabel die Gelenkrolle des Talus und bilden so das obere Sprunggelenk (Weineck, 2008). Eine Vielzahl von Bändern sorgt für die nötige Verspannung, um die hohen Kräfte zwischen Fuß und Unterschenkel zu übertragen und um die Bewegung zu stabilisieren. Die Hauptaufgabe des oberen Sprunggelenkes ist es, ein Heben und Senken des Fußes in Bezug zum Unterschenkel zu ermöglichen. Das Heben des Fußes wird auch als Dorsalextension und das Senken bzw. Strecken als Plantarflexion bezeichnet. Das Gesamtbewegungsausmaß zwischen Fuß und Unterschenkel liegt bei Hierbei können 7

13 Biomechanik des Ausdauerlaufens jedoch starke individuelle Schwankungen auftreten (Rauber & Kopsch, 1987; Reule, 2010). Die Bewegung im oberen Sprunggelenk (Abbildung 2 oben) ist kinematisch gesehen keine reine Scharnierbewegung, da die Gelenkachse transversal um ca. 8 zur Tibiaachse in laterale Richtung geneigt ist. In der Horizontalebene weicht sie im Mittel um von der Fußmitte ab (Michaud, 1993). Zusätzlich kann der Fuß Bewegungen um die vertikale Achse des Unterschenkels ausführen. Man bezeichnet diese Bewegungen als Abduktion und Adduktion (Außen- und Innenrotation) des Fußes. Das Gesamtbewegungsausmaß dieser beiden Bewegungen beträgt Die Schrägstellung der Gelenkachse bewirkt eine Kopplung von Plantarflexion und Adduktion sowie von Dorsalextension und Abduktion (Kapandji, 1992). Das untere Sprunggelenk ist anatomisch in zwei getrennte Gelenke aufgeteilt (hinteres und vorderes Sprunggelenk), welche in funktionaler Hinsicht jedoch ein gemeinsames Gelenk bilden, da die Bewegungen durch das Sprungbein gekoppelt werden und damit immer gleichzeitig ablaufen (Tittel, 2003). Durch die komplexe Gelenkgeometrie wird eine Drehung des Talus gegenüber dem Calcaneus sowie dem Os naviculare ermöglicht. Diese Bewegungen sind für die Anpassung des Fußes an unebene Bodenverhältnisse notwendig. Inman (1976) gibt für den Verlauf der anatomischen Achse des unteren Sprunggelenkes eine Abweichung von 42 gegenüber der Längsachse des Fußes nach oben (Inklinatiosnwinkel) und um 23 nach vorn innen (Deviationswinkel) an (Abbildung 2 unten). Frontalebene Transversalebene Sagittalebene Transversalebene Abbildung 2: Oben - Verlauf der mittleren anatomischen Achse des oberen Sprunggelenkes [Michaud, 1993], Unten - Verlauf der anatomischen Achse des unteren Sprunggelenkes [Valmassy, 1996] 8

14 Biomechanik des Ausdauerlaufens Aktuelle Untersuchungen (in vivo) an 614 Probanden haben gezeigt, dass der Verlauf der funktionalen Achse dagegen in der Transversalebene im Mittel nur um 11 nach vorn innen abweicht (Reule, 2010). Darüber hinaus zeigte diese Untersuchung, dass der Verlauf der unteren Sprunggelenksachse, speziell der Deviationswinkel einen Einfluss auf die Entstehung von chronischen Überlastungsfolgen zu haben scheint. Bei genauerer Betrachtung des Fußes gibt es noch eine Vielzahl von kleineren gelenkigen Verbindungen zwischen den Fußwurzelknochen, welche zur Federung des Fußgewölbes bzw. zum Abrollen des Vorfußes dienen. Die Kopplung der Bewegungen zwischen den einzelnen Gelenken übernehmen Bänder (Rauber & Kopsch, 1987). Mithilfe dieser gekoppelten Bewegungen ist es möglich, die komplexe Pro- und Supinationsbewegung des Fußes zu beschreiben (Kapitel 2.2.3). Da die Bezeichnung der Bewegungsabläufe zwischen dem anglo-amerikanischen, klinischen und anatomischen Schrifttum teils gegensätzlich ist, soll die folgende Abbildung für eine eindeutige Festlegung der Begrifflichkeiten sorgen, welche im weiteren Verlauf dieser Arbeit verwendet wird (Abbildung 3). Abbildung 3: Definition der Lagebeziehungen (rot) und Bewegungsrichtungen (schwarz) Die Begriffe Pro- und Supinationsbewegung beschreiben die zwangsläufige Kombinationsbewegung des gesamten Fußes gegenüber dem Unterschenkel. So wird die Supinationsbewegung mit einer Plantarflexion im oberen Sprunggelenk eingeleitet, wodurch die damit gekoppelte Inversionsbewegung im unteren Sprunggelenk zu einer zwangsläufigen Hebung des medialen Fußrandes führt. Zusätzlich kommt es zu einer Adduktionsbewegung bei dieser der Fuß in mediale Richtung gezogen wird. Während des ersten Bodenkontaktes befindet sich der Fuß eines Rückfußläufers typischer Weiße in einer solchen supinierten Position. Welche Ausprägung diese 9

15 Biomechanik des Ausdauerlaufens Bewegung annehmen kann, hängt neben den individuellen anatomischen Gegebenheiten von der Art des Schuhwerks, dem Untergrund und der muskulären Aktivität ab. Die Pronationsbewegung kann als gegenläufige Bewegung der Supination betrachtet werden. Dementsprechend ist die Dorsalextension im oberen Sprunggelenk mit einer Eversion im unteren Sprunggelenk und einer Abduktion verbunden. Während des Bodenkontaktes bewirkt das Abheben des Fußrandes auf lateraler Seite eine verstärkte Belastung der medialen Ferse. Je nach Dauer der Pronationsphase verlagert sich diese Belastung während des Abrollvorganges über den Mittel- hin zum Vorfuß. Wie stark und wie lang ein Läufer proniert, hängt wiederum hauptsächlich von seinen anatomischen Voraussetzungen ab (Rauber & Kobsch, 1987; Hintermann & Nigg, 1998). Jedoch konnte auch hier eine Abhängigkeit zum Schuhwerk (Milani et al., 1995; Schreiter, 2007), dem Laufuntergrund (Brauner et al., 2009) und der muskulären Aktivität (Nigg, 2001; O Connor & Hamill, 2004) festgestellt werden Die Bodenkontaktphase In Abhängigkeit davon, welcher Teil des Fußes bei der Landung zuerst den Boden berührt, kann der Laufstil eines Läufers in Vorfuß-, Mittelfuß- und Rückfußlauf eingeteilt werden. Mehr als zwei Drittel aller Ausdauerläufer berühren mit der Ferse zuerst den Boden und gehören daher zur Kategorie der Rückfußläufer (Cavanagh & Lafortune, 1980; Munro et al., 1987). Der Anteil an Mittel- und vor allem Vorfußläufern ist dagegen sehr gering (Kerr et al., 1983). Aus verschiedenen Untersuchungen (Kapitel 1.1.1) ist bekannt, dass Laufgeschwindigkeit, Ermüdungszustand aber auch Bodenneigung den Laufstil beeinflussen können. Aufgrund dessen, dass die Wadenmuskulatur und Achillessehne beim Vorfußlaufen schon während des Landens aktiv ist, ist hier eine höhere Kraftentfaltung möglich. Deshalb wird dieser Laufstil vor allem bei Sprintbewegungen bevorzugt. Da Landung und Abdruckpunkt jedoch identisch sind, kommt es zu einer erhöhten muskulären Belastung und damit zu einer schnelleren Ermüdung der genannten Bereiche. Aufgrund der lokalen und funktionalen Trennung von Landung und Abdruck ist der Rückfußlaufstil die ökonomischere Variante. Der Anteil der Rückfußläufer steigt sowohl mit zunehmender Ermüdung, als auch mit steigender Streckenlänge. Da Hobby- und Freizeitläufer im Vergleich zu professionellen Läufern weniger Sprintläufe absolvieren und die muskuläre Ermüdung schneller einsetzt, besteht diese Gruppe vornehmlich aus Rückfußläufern. In der von Kerr et al. (1983) durchgeführten Untersuchung an 753 Läufern wurde ein Anteil von 81 % Rückfußläufer festgestellt. Da die folgende Arbeit einen generellen Ansatz zur mechanischen Testung von Laufschuhen aufzeigt und diese Schuhe für einen möglichst großen Läuferkreis geeignet sein sollten, beziehen sich die nachfolgenden Betrachtungen auf die zahlenmäßig am stärksten vertretene Gruppe der Hobby- und Freizeitläufer. Diese bestehen, wie eben diskutiert, hauptsächlich aus Rückfußläufern. Jerosch et al. (1996) gliedert das Zeitintervall des Bodenkontaktes in drei Phasen: die Landephase, mittlere Standphase und Abstoßphase. In Anlehnung an Kapandji (1992) wird die Bewegung des Fußes während des Bodenkontaktes sogar in vier Phasen unterteilt (Abbildung 4). 10

16 Biomechanik des Ausdauerlaufens Phase 1 Phase 2 Phase 3 Phase Fz Fy Fx 1200 Kraft [N] ,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0, Zeit [s] Abbildung 4: Phasen des Bodenkontaktes mit Bodenreaktionskräften in 3 Richtungen (modifiziert nach Kapandji, 1992) Phase 1, die Aufprallphase, ist durch erstmaligen Kontakt der Ferse mit dem Untergrund gekennzeichnet (schwarzes Dreieck). In Vorbereitung auf den Aufprall erfolgt eine Dorsalextension (schwarzer Pfeil) und damit verbunden eine Adduktion und Inversion, wodurch ein stabiler Zustand des oberen Sprunggelenkes (Gelenkschluss) während der Aufprallphase erreicht wird. Im weiteren Verlauf dieser Phase drückt das Körpergewicht (weißer Pfeil) die gesamte Fußsohle in Richtung Untergrund. Die Ausprägung der Dorsalextension des Fußes beim Fersenaufsatz ist ein natürlicher Adaptationsmechanismus auf dem im weiteren Verlauf der Arbeit (Kapitel 5.2) noch genauer eingegangen werden soll. 11

17 Biomechanik des Ausdauerlaufens In der Abrollphase (Phase 2) lastet das Körpergewicht auf dem gesamten Fußgewölbe, wodurch unter anderem das Längsgewölbe merklich abgeflacht wird. Dabei wirken aktive und passive Stützfaktoren wie ein Stoßdämpfer und reduzieren somit unter anderem die Beanspruchung des oberen und unteren Sprunggelenks. Weiterhin verlagert sich während dieser Phase der Körperschwerpunkt über die Achsen der Sprunggelenke in Laufrichtung. Je weiter der Körperschwerpunkt nach vorne verlagert wird, desto größer wird die Belastung auf den Vorfuß. Die 3. Phase ist dadurch gekennzeichnet, dass der Rückfuß vom Boden abhebt, so dass die gesamte Belastung nur noch auf dem Vorfuß liegt. Während dieser Phase, die auch als 1. Abstoßphase oder Fersenablösung bezeichnet wird, erhöht sich das Fußlängsgewölbe. Durch den starken Druck auf den Vorfuß, flacht sich das Quergewölbe des Fußes dagegen ab. Im weiteren Verlauf der Bewegung verlagert sich die Belastung vom Vorfuß über den Zehenballen auf die Zehen, was dazu führt, dass sich die Abflachung des Quergewölbes auflöst. In dieser 4. Phase, der 2. Abstoßphase oder auch Vorschubphase, wird der Körperschwerpunkt noch weiter in Laufrichtung verschoben. Dies führt zu einem Abheben des Fußes vom Untergrund. Nach der Einteilung von Jerosch et al. (1996) werden die in Phase 3 und 4 beschriebenen Vorgänge als Abstoßphase zusammengefasst. Um die Vorgänge während des Bodenkontaktes noch besser zu verstehen, ist es nötig, sich die wirkenden Kräfte zwischen Fuß und Boden anzuschauen. Teilt man dazu die Bodenreaktionskraft in ihre Einzelkomponenten auf, so können verschiedene Ursachen und Wirkungen genau betrachtet werden. Die Bodenreaktionskraft kann in drei orthogonalen Komponenten aufgeteilt werden. Innerhalb dieser Arbeit bezeichnen die nachfolgend aufgeführten Indizes jeweils eine bestimmte Kraftrichtungskomponente. Die vertikale Kraftkomponente wird mit F z bezeichnet. Für die beiden horizontalen Komponenten wird F x und F y verwendet. F x gibt dabei die Kräfte quer zur Laufrichtung an, während F y längs zur Laufrichtung wirkt. Bezogen auf die maximal auftretenden Kräfte liegt das Verhältnis von F x : F z bei 1:200 und von F y : F z bei 1:60 (Cavanagh & Lafortune, 1980; Bates et al., 1983; Munro et al., 1987). Demnach sind die auftretenden Kräfte in vertikaler Richtung weitaus größer, als die beiden horizontalen Komponenten. Für die nachfolgende Arbeit sind die beiden horizontalen Komponenten nur von untergeordneter Bedeutung. Um jedoch die Laufbewegung ganzheitlich zu charakterisieren und in Anbetracht dessen, dass diese Arbeit auch Anstoß für weiterführende Betrachtungen sein soll, werden zunächst die wichtigsten Erkenntnisse für diese beiden Komponenten diskutiert. Im darauffolgenden Kapitel wird schließlich ausführlich auf die vertikale Komponente eingegangen. Die y-komponente erlaubt eine Aussage über die wirkenden Kräfte von anterior nach posterior, also in Laufrichtung (a-p Kraft). So kann die a-p Kraft untersucht werden, um bestimmen zu können, ob sich der Läufer in einer gleichförmigen oder aber in einer beschleunigten bzw. verzögerten Bewegung 12

18 Biomechanik des Ausdauerlaufens befindet. Ausschlaggebend dafür ist das Verhältnis des negativen und positiven Kraftintegrals, welches auch als Brems- und Beschleunigungsimpuls bezeichnet wird. Weiterhin kann über die Höhe dieser beiden Impulse auf die Laufökonomie geschlossen werden (Lee & Bouracier, 1994). Der negative sowie positive Anteil der a-p Kraftkomponente entsteht durch die Lage des Körperschwerpunktes (KSP) in Bezug zum Standbein. Beim Auftreffen des Fußes auf den Boden befindet sich das Standbein vor dem KSP, dies erzeugt eine negative Kraft in a-p Richtung. Der Übergang vom Brems-, zum Beschleunigungsimpuls markiert den zeitlichen Moment, wenn der KSP den Kraftangriffspunkt des Standbeines überschreitet. Dieser Moment wird ungefähr nach der Hälfte der gesamten Bodenkontaktzeit überschritten (Hamill et al., 1983; Munro et al., 1987). Mit steigender Laufgeschwindigkeit findet dieser Übergang prozentual zur gesamten Bodenkontaktzeit früher statt (Hamill et al., 1983). Die a-p Kraft nach überschreiten des Kraftangriffpunktes wird durch positive Werte ausgedrückt. Eine Gleichverteilung des negativen und positiven Integrals entspricht bei einfacher theoretischer Betrachtung einer gleichförmigen Bewegung. Eine Übergewichtung des Beschleunigungsimpulses charakterisiert dagegen eine beschleunigte Bewegung. Es konnte jedoch gezeigt werden, dass eine gleichförmige Bewegung auch dann gegeben ist, wenn Beschleunigungs-, und Bremsimpuls leicht voneinander abweichen (Hamill et al., 1983; Munro et al., 1987). Als Ursache für ein Ungleichverhältnis zu Gunsten des Beschleunigungsimpulses kann die zuvor erwähnte stoßdämpfende Eigenschaft des Körpers angeführt werden. Als äußerer Einflussfaktor kommt auch das System Fuß- Schuh in Frage, welches einen Teil der zugeführten Energie in Wärme umwandelt oder verzögert wieder abgibt. Bei steigender Laufgeschwindigkeit nimmt außerdem der Einfluss des Luftwiderstandes, welcher ebenfalls der Bewegung entgegen wirkt, zu (Hamill et al., 1983). Summiert man die genannten Einflussfaktoren, ergibt sich bei jedem Bodenkontakt ein Energiedefizit, welches beim Abstoß vom Körper aktiv ausgeglichen werden muss, um die Laufgeschwindigkeit konstant zu halten. Auch ein Ungleichverhältnis in umgekehrter Richtung (Beschleunigungsimpuls < Bremsimpuls) kann bis zu einem gewissen Maß noch als gleichförmige Bewegung charakterisiert werden (Hamill et al., 1983; Munro et al., 1987). Hauptursache hierfür sind vor allem die unterschiedlichen Möglichkeiten zur Bestimmung der Laufgeschwindigkeit. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass die horizontale Bodenreaktionskraft deutlich größere intraindividuelle Schwankungen aufweist, als die vertikale Bodenreaktionskraft (Hennig & Lafortune, 1991). Die Variabilität des Brems- und Beschleunigungsimpulses ist bei unerfahrenen Läufern größer, als bei erfahrenen Läufern (Lee & Bouracier, 1994). Außerdem generieren unerfahrene Läufer einen größeren Brems- und Beschleunigungsimpuls beim Laufen, was auf einen unökonomischeren Laufstil hinweist. Während des Bremsimpulses treten bei der a-p Kraftkomponente verschiedene Kraftspitzen auf. Eine Zuordnung dieser Kraftspitzen zu bestimmten Läufergruppen ähnlich der vertikalen Kraftkomponente zeigte jedoch uneindeutige Ergebnisse (Hamill et al., 1983; Munro et al., 1987), so dass dieser Sachverhalt bisher nicht gänzlich aufgeklärt werden konnte. 13

19 Biomechanik des Ausdauerlaufens Die medio-laterale Komponente der Bodenreaktionskraft (F x ) enthält den geringsten Anteil aus dem resultierenden Kraftvektor. Dabei weist sie die mit Abstand höchste Variabilität aller drei Bodenreaktionskraftkomponenten auf. Die ermittelte Amplitude von medialer zu lateraler Kraftspitze reicht von einem Zehntel des Körpergewichtes (Cavanagh & Lafortune, 1980) bis zur Hälfte des Körpergewichtes (Bates et al., 1983; Munro et al., 1987). Während bei einem Teil der untersuchten Läufer die Kraftkomponente zuerst in mediale Richtung ansteigt, ist bei anderen Läufern die Kraft zu Beginn lateral ausgerichtet (Munro et al., 1987). Der medio-laterale Kraftimpuls wurde in Zusammenhang mit der Stabilität eines Laufschuhs quer zur Laufrichtung diskutiert (Bates et al., 1983). Diese Eigenschaft würde der anatomischen Funktion der Pronationsbewegung entsprechen. Aufgrund der hohen Variabilität dieser Kraftkomponente ist es jedoch schwierig, Veränderungen dieser Kraftkomponente dem untersuchten Schuhwerk, orthopädischen Einlagen oder einer versteiften unteren Extremität zu zuschreiben (Munro et al., 1987), so dass bisher keine Studie gefunden wurde, die diesen Zusammenhang bestätigen konnte. Man kann also sagen, dass die medio-laterale Kraft eine sehr variable und bisher unsystematische Messgröße darstellt und in den meisten Studien nicht quantifiziert wird. Der Wissensstand, verglichen mit den beiden anderen Komponenten, ist relativ gering. Wie eingangs schon erwähnt, wird der mit Abstand größte Teil der Reaktionskraft vertikal auf den Boden übertragen. Der Verlauf von F z wird von der vertikalen Bewegung des Körperschwerpunkts beeinflusst. Während der ersten Hälfte der Bodenkontaktphase wird der Körperschwerpunkt in seiner abwärts gerichteten Bewegung verzögert und in der zweiten Hälfte des Bodenkontaktes aufwärts wieder beschleunigt. Die Bewegung einzelner Körpersegmente, wie Fuß und Bein, wird jedoch in deutlich kürzerer Zeit abgebremst, was sich in einer markanten Kraftspitze äußert (Bobbert et al. 1991). Deshalb wird die erste Kraftspitze zur Charakterisierung der Stoßbelastung verwendet. Neben neueren Forschungen, welche sich mit kinetischer Energie, geometrischer Ausrichtung von Körpersegmenten und muskulärer Aktivität befassen (Nigg et al., 1995, Lieberman et al., 2010), wurde schon Anfang der achtziger Jahre festgestellt, dass auch die Eigenschaften eines Laufschuhs die Ausprägung der ersten Kraftspitze beeinflussen können (Nigg et al., 1978; Cavanagh et al., 1980; Bates et al., 1983; Clarke et al., 1983). Aus diesem Grund hat diese vertikale Kraftspitze eine zentrale Bedeutung im Rahmen dieser Arbeit und wird im nächsten Kapitel ausführlich behandelt Charakterisierung und Messung der Stoßbelastung Die Mehrzahl der Untersuchungen zeigt, dass der Verlauf der vertikalen Bodenreaktionskraft eines Rückfußläufers mit Laufschuhen immer durch einen zweigipfligen Verlauf gekennzeichnet ist. Dennoch gibt es auch Beispiele in denen Abweichungen davon diskutiert werden (Nigg, 1983; Dickinson et al., 1985; Nigg, 1986; Gohlitz & Neumann, 2007). Während beim barfüßigen Rückfußaufsatz zwei Kraftspitzen innerhalb der ersten 50 ms auftreten können, ist der Verlauf der vertikalen Bodenreaktionskraft eines Rückfußläufers mit Laufschuhen in 14

20 Biomechanik des Ausdauerlaufens der Regel immer durch einen zweigipfligen Verlauf gekennzeichnet (Dickinson et al., 1985). Als Ursache für das Auftreten einer zweiten Kraftspitze innerhalb der ersten 50 ms mit Schuhen wurde sowohl eine Landung auf dem Vorfuß, als auch einer Landung auf der Schuhaußenseite mit anschließendem nach innen schlappen diskutiert (Nigg, 1983). Die genauen Zusammenhänge dazu sind jedoch bisher wenig erforscht oder ungenügend erklärt. Das Fehlen einer charakteristischen ersten Kraftspitze wird dagegen einem Mittel- bzw. Vorfußaufsatz zugeordnet (Cavanagh & Lafortune, 1980; Dickinson et al., 1985; Lieberman et al., 2010). Diese beiden Aufsatzarten werden beim Ausdauerlaufen von Läufern bevorzugt die beständig Barfußlaufen (Lieberman et al., 2010). Nach Ansicht der Autoren ist das Rückfußlaufen deshalb keine ursprüngliche Fußaufsatzbewegung des Laufens, sondern wird durch die stoßdämpfenden Eigenschaften und die Erhöhung der Ferse gegenüber dem Vorfuß von modernen Laufschuhen begünstigt. Für eine weiterführende Diskussion dieser Ergebnisse wird auf das Kapitel verwiesen. Die Ausprägung der einzelnen Spitzen wird auch vom Ausmaß der Beuge- und Streckbewegung im Knie- und Hüftgelenk während der Stützphase beeinflusst. Ein Einbruch der vertikalen Bodenreaktionskraft nach Erreichen der ersten Kraftspitze ist danach auf eine nachgebende Bewegung im Hüft- und Kniegelenk zurückzuführen. Je größer die Beugung in diesen Gelenken ist, desto größer ist der Einbruch nach der ersten Kraftspitze (Gohlitz & Neumann, 2007). Generell wird die erste Kraftspitze durch die Verzögerung des Bein-Fuß Komplexes hervor gerufen (Bobbert et al. 1991). Dieser Vorgang kann durch ein mechanisches Feder-Dämpfer Modell nachgebildet werden (Nigg, 1997). Abbildung 5: Simulation der Bodenreaktionskraft mit einem Feder-Dämpfer Modell [Nigg, 1997] Die effektive Masse des Bein-Fuß Komplexes wird mit rund 9,4 kg angegeben (Nigg et al., 1986). Durch die Verzögerung dieser Segmentmasse bei der Landung wird ein Kraftstoß vom anderthalb bis dreifachen des Körpergewichtes auf den Boden übertragen. Nigg & Luethi (1980) bezeichnen diesen Kraftstoß als passive Kraftspitze. Nigg definiert die passive Kraft als diejenige Kraft, die beim Kontakt von zwei Objekten nach weniger als 50 ms eine maximale Kraftspitze hervorruft (Nigg & 15

21 Biomechanik des Ausdauerlaufens Herzog, 1999). Da der Kraftstoß in weniger als 40 ms generiert wird, ist eine aktive muskuläre Regelung der Landephase nicht möglich. Dennoch kann durch Voraktivierung der Muskulatur oder durch kinematische Veränderungen (Frederick & Hagy, 1986) die Stoßbelastung beeinflusst werden. Nach der ersten Kraftspitze kommt es in Abhängigkeit von Hüft- und Kniewinkel zum kurzzeitigen Kraftabfall. Beim anschließenden Abdruck des Körpers vom Boden hebt die Ferse ab und der Kraftstoß wird einzig über den Vorfußbereich auf den Untergrund übertragen. Dabei steigt die vertikale Bodenreaktionskraft erneut an und erreicht ihr Maximum. Dieser Teil der Kraftkurve wird von der Muskulatur aktiv beeinflusst und deshalb als aktive Kraftspitze bezeichnet. Stoßbelastungen sind in diesem Bereich so gut wie nicht vorhanden oder nur von untergeordneter Bedeutung und werden deshalb in der Literatur selten betrachtet (Hamill et al., 1995). Der schnelle Kraftanstieg während des Bodenkontaktes verursacht einen Aufprallschock (Allard, 1997). Der Aufprallschock breitet sich vom Aufsatzpunkt des Fußes als Schockwelle durch den Körper aus und wird dabei hauptsächlich über das Knochenskelett übertragen. Demnach kann der Aufprallshock auch direkt mit einem Messaufnehmer an geeigneten Stellen des Körpers erfasst werden. Für die Erfassung werden Beschleunigungssensoren verwendet, die es ermöglichen Ausbreitungsrichtung, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Ausmaß der Stoßwelle zu bestimmen. Die Beschleunigung wird meist als ein Vielfaches der Erdbeschleunigung angegeben (1 g = 9,81 m/s²). Die Stoßbelastungsfrequenz der ersten Kraftspitze beim Fersenlauf liegt zwischen 10 und 15 Hz. Die gemessenen Stoßbelastungen am Kopf sind dabei relativ unveränderlich und somit unabhängig von der Höhe der Stoßbelastungen die an Körpersegmenten gemessen werden, welche näher dem Ursprung liegen (Hamill et al., 1995). Diese Beobachtung führte zu der Annahme, dass die Belastungen, in den unteren stoßabsorbierenden Strukturen des Körpers mit steigendem Aufprallshock, zunehmen müssen. Ein höheres Ausmaß oder eine Zunahme der Stoßbelastungshäufigkeit erhöht demnach die Belastung in diesen Strukturen und kann zu einer Zunahme der Verletzungswahrscheinlichkeit oder zu degenerativen Veränderungen führen (Hamill et al., 1995). Für eine umfassende Diskussion dieses Sachverhaltes sei auf das Kapitel verwiesen. Das Muskel-Skelett System ist in der Lage Stoßbelastungen durch aktive Prozesse zu modifizieren. Dies kann durch eine Veränderung der Gelenksteifigkeit oder durch kinematische Veränderungen, bei denen Körpersegmente in Positionen gebracht werden, in denen sie Stöße besser abfedern können, erreicht werden. Die Pronation im unteren Sprunggelenk, aber auch die Erhöhung der Knieflexion, sind zwei kinematische Mechanismen, die der Körper verwendet, um Stoßbelastungen aktiv zu reduzieren. In passiven Dämpfungsprozessen sind anatomische Strukturen wie Fersenpolster, Bänder und Gelenke aber auch die Knochen selbst eingebunden (Hamill et al., 1995). Je weiter sich also die Schockwelle vom Ursprung entfernt, desto stärker wird sie gedämpft. Es konnte gezeigt werden, dass die gemessenen Stoßbelastungen an Kopf und Bein in einem Verhältnis von 1:4 bis 1:6 liegen (Hamill et al., 1995). Auf die Funktionsweise von aktiven und passiven Dämpfungsmechanismen wird im Laufe dieser Arbeit noch genauer eingegangen 16

22 Biomechanik des Ausdauerlaufens Neben der Quantifizierung von Stoßbelastungen mittels der auf den Boden übertragenen Kräfte werden schon seit langem Beschleunigungssensoren zur Messung der Knochenvibration erfolgreich eingesetzt (Valiant et al. 1987; Shorten & Winslow 1992; Hamill et al., 1995). Zur Analyse des Aufprallshocks beim Laufen wird von den meisten Autoren eine Anbringung des Sensors an der Tibia bevorzugt (Derrick et al., 1998). Durch die Anbringung der Sensoren auf der Haut kommt es zu einer Überlagerung des auf den Knochen wirkenden Stoßsignals durch Artefakte wie Hautverschiebung und Muskelkontraktion. Aus Untersuchungen mit Beschleunigungssensoren, welche direkt in den Knochen verschraubt wurden, ist bekannt, dass die gemessene Stoßbelastung auf der Haut im Mittel um ca. 20 % höher liegt, als vergleichbare Werte am Knochen und außerdem ca. 5 ms später auftreten (Lafortune, et al., 1995). In Einzelfällen können diese Unterschiede sogar bis zu 60 % betragen. Um diese Artefakte zu minimieren, sollte für die Anbringung des Beschleunigungssensors eine Stelle gewählt werden, bei der die Verschiebung zwischen Haut und Knochen möglichst klein ist. Darüber hinaus kann durch Vorspannung der Haut die Signalqualität weiter verbessert werden (Schnabel & Hennig, 1995). Bei solchen Beschleunigungsmessungen ist jedoch zu beachten, dass die Unterschiede geringer ausfallen können, als in Wirklichkeit (Nigg, 1999: S.293). Durch die Verwendung eines Beschleunigungssensors mit niedriger Masse konnte der Effekt von störenden Weichteilschwingungen minimiert werden (Saha & Lakes, 1977). Der negative Anteil des Beschleunigungssignals wird durch Zentrifugalkräfte erzeugt. In Abhängigkeit von der Entfernung des Beschleunigungsaufnehmers vom Drehzentrum im unteren Sprunggelenk kommt es zu einer Veränderung des Beschleunigungssignals. Werden diese Zentrifugalkräfte und die normale Erdbeschleunigung von der eigentlichen Kurve abgezogen, so verschwindet dieser Ausschlag vollständig (Lafortune & Hennig, 1991). Verglichen mit einem Sensor, welcher direkt unter dem Knie platziert wurde stellten die Autoren weiterhin fest, dass sich die Spitzenbeschleunigung bei einem mittig auf der Tibia platzierten Beschleunigungssensors um 2,1 g erhöhte. Aus den zusammengetragenen Studien kann man nachfolgende Hinweise für die Messung mit nichtinvasiven Beschleunigungssensoren zusammenfassen. Um Beschleunigungsmessungen so valide wie möglich durchzuführen, ist es wichtig die Anbringung des Sensors konstant zu halten. Dies betrifft sowohl die Verbindung Sensor-Haut, welche durch adhesive Kräfte und eine gleichmäßige Vorspannung deutlich verbessert werden kann, als auch die Position auf dem Unterschenkel. Für die Positionierung eignet sich die vordere Kante der Tibia, das sogenannte Tibiaplateau, da hier die zwischen Haut und Knochen befindlichen Gewebeschichten relativ dünn sind. Die Höhe der Anbringung sollte deshalb auf den halben Abstand zwischen dem distalen Ende der Tibia (Malleolus medialis) und dem distalen Ende des Femurknochens (Epicondylus medialis femoris) normiert werden. Beim Vergleich von Messergebnissen verschiedener Studien tritt eine Vielzahl der genannten Einflussfaktoren in Erscheinung. Bei einem relativen Vergleich verschiedener Stoßbelastungen eines Läufers innerhalb einer Messung ist die Zahl der Einflussfaktoren jedoch kontrollierbar, vorausgesetzt 17

23 Biomechanik des Ausdauerlaufens man kann eine konstante Anbringung des Beschleunigungssensors über die gesamte Dauer der Messung gewährleisten. Hennig & Lafortune (1997, S.118) kommen zu dem Schluss, dass zur Messung der Stoßbelastung an der Tibia Beschleunigungssensoren mit einem Messbereich von ± 20 g ausreichend sind. Eine Aufnahmefrequenz von 100 Hz sollte dabei nicht unterschritten werden Variablen der Stoßbelastung Seit der Entwicklung von Laufschuhen werden Möglichkeiten untersucht, wie man mit unterschiedlichen Konstruktionen auf die Stoßbelastung respektive die vertikale erste Kraftspitze Einfluss nehmen kann (Nigg et al., 1987). Basierend auf der Erkenntnis, dass die vertikale Komponente der Bodenreaktionskraft, insbesondere die erste (passive) Kraftspitze eine geeignete Messgröße darstellt, um die stoßdämpfenden Eigenschaften von Laufschuhen zu betrachten, sollen in den folgenden zwei Kapitel die charakteristischen Variablen, welche zur Beurteilung der Stoßdämpfung heran gezogen werden können, vorgestellt und ihre Einflussfaktoren diskutiert werden. Eine Grundannahme bei diesen Schuhvergleichen ist, dass der Einfluss des Läufers auf das Gesamtsystem Körper-Schuh zwischen den Schuhbedingungen konstant ist und, dass dadurch die ermittelten Unterschiede dem Schuh zu zuschreiben sind (Bates et al., 1983). Dass dies jedoch nicht immer der Fall ist, werden die Betrachtungen in Kapitel zeigen. In Abbildung 6 ist eine typische vertikale Bodenreaktionskraftkurve eines Rückfußläufers dargestellt. Der Bereich der ersten Kraftspitze ist dabei besonders hervorgehoben (rote Linie). Bei der mathematischen Diskussion der Kurve wird zudem deutlich, dass neben der Bestimmung von Extremwerten durch Wendepunkte auch die maximalen und durchschnittlichen Anstiege für eine Beschreibung der Kurve interessant erscheinen. Darüber hinaus liefern die dazugehörigen Zeiten eine Aussage über den Verlauf und die Dauer der entsprechenden Kenngrößen. 18

24 Biomechanik des Ausdauerlaufens 1800 PAF GCT PIF PMF Kraft [N] FRX FRN ,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 TFRX TPIF TPMF TPAF Zeit [s] Abbildung 6: Vertikale Bodenreaktionskraft mit ausgewählten Variablen 8 6 PTA Beschleunigung [g] ,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0, TPTA Zeit [s] Abbildung 7: Messsignal eines an der Tibia angebrachten Beschleunigungssensors 19

25 Biomechanik des Ausdauerlaufens In Tabelle 1 werden die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten Abkürzungen aufgelistet und kurz beschrieben. Die beiden Variablen Schrittfrequenz (SF) und Schrittlänge (SL) beziehen sich auf die benötigte Zeit bzw. den zurückgelegten Weg innerhalb eines Doppelschrittes. Die Abkürzungen sind in den allermeisten Fällen von englischen Begriffen abgeleitet und haben innerhalb dieser Arbeit Gültigkeit. Tabelle 1: Übersicht der im Rahmen dieser Arbeit verwendeten kinetischen Variablen Variablenname [Einheit] Kürzel Definition Erste Kraftspitze [N] + [BW] PIF Erstes Maximum der vertikalen Bodenreaktionskraft (F z ) Erstes Kraftminimum [N] + [BW] PMF Erstes Minimum von F z Maximale Kraftspitze [N] + [BW] PAF Höchste Kraftspitze folgt nach PIF Mittlere Kraftanstiegsrate [BW/s] FRN Mittlerer Kraftanstieg von erstem Bodenkontakt bis PIF Mittlere Kraftabfallrate [N/s] FFN Verhältnis von PMF-PIF und TPMF-TPIF Maximale Kraftanstiegsrate [BW/s] FRX Maximaler Kraftanstieg in der differenzierten Vertikalkraftkurve Tibiale Spitzenbeschleunigung [g] PTA Maximale positive Beschleunigung am Schienbein Zeit der ersten Kraftspitze [s] TPIF Zeit zwischen ersten Bodenkontakt und dem Auftreten des ersten Maximums Zeit des ersten Kraftminimum [s] TPMF Dito für das erste Minimum Zeit der maximalen Kraftspitze [s] TPAF Dito für das zweite Maximum Zeit der max. Kraftanstiegsrate [s] TFRX Dito für die max. Kraftanstiegsrate Zeit der Spitzenbeschleunigung [s] TPTA Dito für die Spitzenbeschleunigung Bodenkontaktzeit [s] GCT Dauer des Bodenkontaktes Schrittfrequenz [Hz] SF Frequenz für einen Doppelschritt Schrittlänge [m] SL Weite für einen Doppelschritt Neben den charakteristischen Variablen der Stoßbelastung, zu denen PIF, FRN, FRX, TPIF, PTA gehören, sind weitere Variablen aufgelistet, die im Rahmen dieser Arbeit betrachtet werden. Die dargestellten Variablen werden sowohl als absolute Werte in ihrer gemessenen Einheit, als auch relativ verwendet. Die relative Darstellung der ermittelten Zeiten bezieht sich dabei auf die individuelle Bodenkontaktzeit eines Schrittes (GCT = 100 %). Da das Ausmaß der vertikalen Bodenreaktionskraft maßgeblich vom Körpergewicht beeinflusst wird, eignet sich für die vergleichende Darstellung von Ergebnissen auch hier in der Regel die Berechnung als Vielfaches des Körpergewichtes (BW = 1x 20

26 Biomechanik des Ausdauerlaufens Körpergewicht). Munro et al. (1987) weisen darauf hin, dass die Triggerschwelle, über welche die Bodenkontaktzeit definiert wird, unbedingt mit angegeben werden muss. Neben diesen in der Literatur geläufigen Variablen werden von einigen Autoren zusätzlich weitere Variablen verwendet. So erheben beispielsweise Gohlitz & Ernst (2004) sowie Neumann (2004) den Impact-Index, um die Ausprägung der Doppelgipfligkeit in Abhängigkeit der Technik des Fußaufsatzes und des Beanspruchungsgrads zu quantifizieren. Andere Autoren analysieren die sogenannte Median Power Frequency. Dabei werden nur Frequenzen, die kleiner als 10 Hz sind, berücksichtigt. Eine Erhöhung der MPF beschreibt eine zeitlich komprimierte Stoßbelastung (Hennig et al., 1993; Milani, 2001). Es konnte gezeigt werden, dass die MPF neben den zeitabhängigen Variablen der Stoßbelastung den größten Zusammenhang mit der subjektiven Wahrnehmung der Stoßbelastung aufweist (Hennig et al. 1996). Die Stoßbelastungsvariablen finden alle in einem Zeitintervall von rund 50 ms ab Fußaufsatz statt. Das bedeutet zur Charakterisierung der initialen Stoßbelastung werden nur rund 20 % der gesamten Bodenkontaktzeit betrachtet. Aufgrund der zeitlichen Nähe können Abhängigkeiten zwischen den Variablen vermutet werden. Die aus der Literatur bekannten Zusammenhänge werden im Folgenden kurz betrachtet. Zur Abhängigkeit von maximaler und durchschnittlicher Kraftanstiegsrate konnten bisher keine Aussagen gefunden werden. Aus eigenen Untersuchungen wird jedoch deutlich, dass diese Variablen einen eindeutigen Zusammenhang in ihrem Ausmaß aufweisen (Heidenfelder et al., 2010). Die maximale Kraftanstiegsrate besitzt gegenüber der durchschnittlichen Kraftanstiegsrate den Vorteil, dass sie in jeder Kraftkurve berechnet werden kann, unabhängig davon, ob eine passive Kraftspitze ausgeprägt ist oder nicht. Darüber hinaus wird vermutet, dass die maximale Kraftanstiegsrate eine physiologische Bedeutung hat, da sie mit der Dehnungsgeschwindigkeit des menschlichen Gewebes verbunden zu sein scheint (Nigg, 1986, S.30). Bei einer Untersuchung von 10 Probanden, welche mit verschiedenen Schuhen bei einer Geschwindigkeit von 3 m/s gelaufen sind, konnte zwischen maximaler Kraftanstiegsrate und der ersten Kraftspitze eine Vorhersagewahrscheinlichkeit (r = 0.93) von mehr als 86 % ermittelt werden (Nigg, 1983). Als weiterer Parameter, welcher geeignet ist, die Stoßbelastung während des Auftreffens der Ferse auf den Boden zu beschreiben, wird in der Literatur die tibiale Spitzenbeschleunigung (PTA) verwendet. Die Werte für Untersuchungen mit Laufschuhen schwanken dabei zwischen 8,9 g und 16,5 g (Lafortune et al., 1995). Betrachtet man den Mittelwert mit zugehöriger Standardabweichung (11,2 ± 3,1 g), so wird deutlich, dass dieser Parameter relativ große Schwankung aufweist. Im vorhergehenden Kapitel konnte gezeigt werden, dass Hautverschiebung und Sensoranbringung diese Schwankungen bedingen. Hennig & Lafortune (1991) untersuchten den Zusammenhang zwischen PTA mittels einem am Knochen direkt angebrachten Beschleunigungsaufnehmers und den Komponenten der horizontalen und vertikalen Bodenreaktionskraft. Dabei konnten hohe Korrelationen zwischen der tibialen Spitzenbeschleunigung auf der einen Seite und Zeit der ersten Kraftspitze 21

Vermögensbildung: Sparen und Wertsteigerung bei Immobilien liegen vorn

Vermögensbildung: Sparen und Wertsteigerung bei Immobilien liegen vorn An die Redaktionen von Presse, Funk und Fernsehen 32 02. 09. 2002 Vermögensbildung: Sparen und Wertsteigerung bei Immobilien liegen vorn Das aktive Sparen ist nach wie vor die wichtigste Einflussgröße

Mehr

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die

Mehr

Insiderwissen 2013. Hintergrund

Insiderwissen 2013. Hintergrund Insiderwissen 213 XING EVENTS mit der Eventmanagement-Software für Online Eventregistrierung &Ticketing amiando, hat es sich erneut zur Aufgabe gemacht zu analysieren, wie Eventveranstalter ihre Veranstaltungen

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Markus Demary / Michael Voigtländer

Markus Demary / Michael Voigtländer Forschungsberichte aus dem Institut der deutschen Wirtschaft Köln Nr. 50 Markus Demary / Michael Voigtländer Immobilien 2025 Auswirkungen des demografischen Wandels auf die Wohn- und Büroimmobilienmärkte

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und

Mehr

Die Näherung durch die Sekante durch die Punkte A und C ist schlechter, da der Punkt C weiter von A entfernt liegt.

Die Näherung durch die Sekante durch die Punkte A und C ist schlechter, da der Punkt C weiter von A entfernt liegt. LÖSUNGEN TEIL 1 Arbeitszeit: 50 min Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung. Begründen Sie, warum die Steigung der Sekante durch die Punkte A(0 2) und C(3 11) eine weniger gute Näherung für die Tangentensteigung

Mehr

Statistische Auswertung:

Statistische Auswertung: Statistische Auswertung: Die erhobenen Daten mittels der selbst erstellten Tests (Surfaufgaben) Statistics Punkte aus dem Punkte aus Surftheorietest Punkte aus dem dem und dem Surftheorietest max.14p.

Mehr

Deutschland-Check Nr. 35

Deutschland-Check Nr. 35 Beschäftigung älterer Arbeitnehmer Ergebnisse des IW-Unternehmervotums Bericht der IW Consult GmbH Köln, 13. Dezember 2012 Institut der deutschen Wirtschaft Köln Consult GmbH Konrad-Adenauer-Ufer 21 50668

Mehr

QM: Prüfen -1- KN16.08.2010

QM: Prüfen -1- KN16.08.2010 QM: Prüfen -1- KN16.08.2010 2.4 Prüfen 2.4.1 Begriffe, Definitionen Ein wesentlicher Bestandteil der Qualitätssicherung ist das Prüfen. Sie wird aber nicht wie früher nach der Fertigung durch einen Prüfer,

Mehr

Das Vermögen der privaten Haushalte in Nordrhein-Westfalen ein Überblick auf der Basis der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe

Das Vermögen der privaten Haushalte in Nordrhein-Westfalen ein Überblick auf der Basis der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe Sozialberichterstattung NRW. Kurzanalyse 02/2010 09.07.2010 12.07.2010 Das Vermögen der privaten Haushalte in Nordrhein-Westfalen ein Überblick auf der Basis der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe 2008

Mehr

Durch diese Anleitung soll eine einheitliche Vorgehensweise bei der Vermessung und Bewertung von Golfplätzen sichergestellt werden.

Durch diese Anleitung soll eine einheitliche Vorgehensweise bei der Vermessung und Bewertung von Golfplätzen sichergestellt werden. Da die Länge der Spielbahnen auch unter dem Course-Rating-System (CRS) das wichtigste Bewertungskriterium für einen Golfplatz darstellt, ist die korrekte Vermessung der Spielbahnen eine unverzichtbar notwendige

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.

Mehr

Technical Note Nr. 101

Technical Note Nr. 101 Seite 1 von 6 DMS und Schleifringübertrager-Schaltungstechnik Über Schleifringübertrager können DMS-Signale in exzellenter Qualität übertragen werden. Hierbei haben sowohl die physikalischen Eigenschaften

Mehr

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben

Mehr

Meinungen der Bürgerinnen und Bürger in Hamburg und Berlin zu einer Bewerbung um die Austragung der Olympischen Spiele

Meinungen der Bürgerinnen und Bürger in Hamburg und Berlin zu einer Bewerbung um die Austragung der Olympischen Spiele Meinungen der Bürgerinnen und Bürger in Hamburg und Berlin zu einer Bewerbung um die Austragung der Olympischen Spiele 4. März 2015 q5337/31319 Le forsa Politik- und Sozialforschung GmbH Büro Berlin Schreiberhauer

Mehr

Mobile Intranet in Unternehmen

Mobile Intranet in Unternehmen Mobile Intranet in Unternehmen Ergebnisse einer Umfrage unter Intranet Verantwortlichen aexea GmbH - communication. content. consulting Augustenstraße 15 70178 Stuttgart Tel: 0711 87035490 Mobile Intranet

Mehr

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen

Mehr

Bundesverband Flachglas Großhandel Isolierglasherstellung Veredlung e.v. U g -Werte-Tabellen nach DIN EN 673. Flachglasbranche.

Bundesverband Flachglas Großhandel Isolierglasherstellung Veredlung e.v. U g -Werte-Tabellen nach DIN EN 673. Flachglasbranche. Bundesverband Flachglas Großhandel Isolierglasherstellung Veredlung e.v. U g -Werte-Tabellen nach DIN EN 673 Ug-Werte für die Flachglasbranche Einleitung Die vorliegende Broschüre enthält die Werte für

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Protokoll des Versuches 7: Umwandlung von elektrischer Energie in Wärmeenergie

Protokoll des Versuches 7: Umwandlung von elektrischer Energie in Wärmeenergie Name: Matrikelnummer: Bachelor Biowissenschaften E-Mail: Physikalisches Anfängerpraktikum II Dozenten: Assistenten: Protokoll des Versuches 7: Umwandlung von elektrischer Energie in ärmeenergie Verantwortlicher

Mehr

Mean Time Between Failures (MTBF)

Mean Time Between Failures (MTBF) Mean Time Between Failures (MTBF) Hintergrundinformation zur MTBF Was steht hier? Die Mean Time Between Failure (MTBF) ist ein statistischer Mittelwert für den störungsfreien Betrieb eines elektronischen

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Von zufriedenen zu treuen Kunden

Von zufriedenen zu treuen Kunden Von zufriedenen zu treuen Kunden Branchenbezogene Zusammenhang von Forschung Image, Kundenzufriedenheit und Loyalität beim kommunalen Versorger Falk Ritschel und Sabrina Möller Conomic Marketing & Strategy

Mehr

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4 1. Kennlinien Der Transistor BC550C soll auf den Arbeitspunkt U CE = 4 V und I C = 15 ma eingestellt werden. a) Bestimmen Sie aus den Kennlinien (S. 2) die Werte für I B, B, U BE. b) Woher kommt die Neigung

Mehr

1 Einleitung. 1.1 Motivation und Zielsetzung der Untersuchung

1 Einleitung. 1.1 Motivation und Zielsetzung der Untersuchung 1 Einleitung 1.1 Motivation und Zielsetzung der Untersuchung Obgleich Tourenplanungsprobleme zu den am häufigsten untersuchten Problemstellungen des Operations Research zählen, konzentriert sich der Großteil

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

«Eine Person ist funktional gesund, wenn sie möglichst kompetent mit einem möglichst gesunden Körper an möglichst normalisierten Lebensbereichen

«Eine Person ist funktional gesund, wenn sie möglichst kompetent mit einem möglichst gesunden Körper an möglichst normalisierten Lebensbereichen 18 «Eine Person ist funktional gesund, wenn sie möglichst kompetent mit einem möglichst gesunden Körper an möglichst normalisierten Lebensbereichen teilnimmt und teilhat.» 3Das Konzept der Funktionalen

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch: Geometrische Optik. Durchgeführt am 24.11.2011

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch: Geometrische Optik. Durchgeführt am 24.11.2011 Praktikum Physik Protokoll zum Versuch: Geometrische Optik Durchgeführt am 24.11.2011 Gruppe X Name1 und Name 2 (abc.xyz@uni-ulm.de) (abc.xyz@uni-ulm.de) Betreuerin: Wir bestätigen hiermit, dass wir das

Mehr

PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN

PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN Karlsruhe, April 2015 Verwendung dichte-basierter Teilrouten Stellen Sie sich vor, in einem belebten Gebäude,

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören:

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: david vajda 3. Februar 2016 Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: Elektrische Stromstärke I Elektrische Spannung U Elektrischer Widerstand R Ladung Q Probeladung q Zeit t Arbeit

Mehr

Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen

Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen Häufig werden bei 3D-Druck-Filamenten die Kunststoff-Festigkeit und physikalischen Eigenschaften diskutiert ohne die Einflüsse der Geometrie und der Verschweißung der

Mehr

Arbeitsmarkteffekte von Umschulungen im Bereich der Altenpflege

Arbeitsmarkteffekte von Umschulungen im Bereich der Altenpflege Aktuelle Berichte Arbeitsmarkteffekte von Umschulungen im Bereich der Altenpflege 19/2015 In aller Kürze Im Bereich der Weiterbildungen mit Abschluss in einem anerkannten Ausbildungsberuf für Arbeitslose

Mehr

Zu diesem Buch 8. Zum Thema 9

Zu diesem Buch 8. Zum Thema 9 Inhalt Zu diesem Buch 8 Zum Thema 9 Stabile, belastbare Knie trotz Arthrose, Gelenkersatz oder verletzungsbedingten Schäden? Was Sie selbst für Ihre Kniegelenke tun können Ein Blick ins Knie 17 Wissenswertes

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

Inhalt. Allgemeine Einführung. Argumentationsvermögen. Räumliches Vorstellungsvermögen. Begabungen und Fähigkeiten messen

Inhalt. Allgemeine Einführung. Argumentationsvermögen. Räumliches Vorstellungsvermögen. Begabungen und Fähigkeiten messen Beispielheft Inhalt Allgemeine Einführung Test Eins: Test Zwei: Test Drei: Test Vier: Test Fünf: Argumentationsvermögen Auffassungsvermögen Zahlenvermögen Sprachverständnis Räumliches Vorstellungsvermögen

Mehr

Einstein-Wellen-Mobil

Einstein-Wellen-Mobil Arbeitsvorschlag für interaktive Station Relativistische Fahrradfahrt Bebachten Sie die Szenerie beim Anfahren und Beschleunigen. Bewegen Sie sich tatsächlich zunächst rückwärts? Wie können Sie das feststellen?

Mehr

Skalierung des Ausgangssignals

Skalierung des Ausgangssignals Skalierung des Ausgangssignals Definition der Messkette Zur Bestimmung einer unbekannten Messgröße, wie z.b. Kraft, Drehmoment oder Beschleunigung, werden Sensoren eingesetzt. Sensoren stehen am Anfang

Mehr

Osteoporose. Ein echtes Volksleiden. Schon jetzt zählen die Osteoporose und die damit verbundene erhöhte Brüchigkeit der Knochen

Osteoporose. Ein echtes Volksleiden. Schon jetzt zählen die Osteoporose und die damit verbundene erhöhte Brüchigkeit der Knochen Osteoporose Osteoporose 9 Osteoporose Ein echtes Volksleiden Schon jetzt zählen die Osteoporose und die damit verbundene erhöhte Brüchigkeit der Knochen in den entwickelten Ländern zu den häufigsten Erkrankungen

Mehr

Programmmoduls für die CEMES-Plattform zur onlinebasierten Ermittlung der Leistungspunkte

Programmmoduls für die CEMES-Plattform zur onlinebasierten Ermittlung der Leistungspunkte Verfasser Dr. Lothar Muschter Dieses Projekt wurde mit Unterstützung der Europäischen Kommission finanziert. Die Verantwortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung (Mitteilung) trägt allein der Verfasser;

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Umgang mit Schaubildern am Beispiel Deutschland surft

Umgang mit Schaubildern am Beispiel Deutschland surft -1- Umgang mit Schaubildern am Beispiel Deutschland surft Im Folgenden wird am Beispiel des Schaubildes Deutschland surft eine Lesestrategie vorgestellt. Die Checkliste zur Vorgehensweise kann im Unterricht

Mehr

Kommunikationskompetenz von Schulleiterinnen und Schulleitern

Kommunikationskompetenz von Schulleiterinnen und Schulleitern Kommunikationskompetenz von Schulleiterinnen und Schulleitern Ergebnisrückmeldung zur Onlinebefragung Kontakt: Dipl.-Psych. Helen Hertzsch, Universität Koblenz-Landau, IKMS, Xylanderstraße 1, 76829 Landau

Mehr

1 C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R

1 C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R L Ö S U N G E N Seite 7 n Wenn vier Menschen auf einem Quadratmeter stehen, dann hat jeder eine Fläche von 50 mal 50 Zentimeter

Mehr

Kundenorientierte Produktentwicklung

Kundenorientierte Produktentwicklung Kundenorientierte Produktentwicklung Branchenbezogene Forschung Saskia Ernst und Sabrina Möller Conomic Marketing & Strategy Consultants Weinbergweg 23, 06120 Halle an der Saale Telefon: +49 345. 55 59

Mehr

Übungen für Bauch, Beine und Po

Übungen für Bauch, Beine und Po en für Bauch, Beine und Po Der Ausfallschritt Der Seitenlift Stellen Sie sich aufrecht hin und stützten Sie die Hände in die Hüften. Machen Sie nun mit einem Bein einen Ausfallschritt nach vorn. Der andere

Mehr

II. Zum Jugendbegleiter-Programm

II. Zum Jugendbegleiter-Programm II. Zum Jugendbegleiter-Programm A. Zu den Jugendbegleiter/inne/n 1. Einsatz von Jugendbegleiter/inne/n Seit Beginn des Schuljahres 2007/2008 setzen die 501 Modellschulen 7.068 Jugendbegleiter/innen ein.

Mehr

Bilder im Gemeindebrief ansprechend platzieren

Bilder im Gemeindebrief ansprechend platzieren Bilder im Gemeindebrief ansprechend platzieren veröffentlicht am 20. Januar 2015 by Nelli Schwarz in Gestaltungstipps Ein Gemeindebrief besteht gewöhnlich hauptsächlich aus Texten und Bildern. Wie man

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Änderung des IFRS 2 Anteilsbasierte Vergütung

Änderung des IFRS 2 Anteilsbasierte Vergütung Änderung IFRS 2 Änderung des IFRS 2 Anteilsbasierte Vergütung Anwendungsbereich Paragraph 2 wird geändert, Paragraph 3 gestrichen und Paragraph 3A angefügt. 2 Dieser IFRS ist bei der Bilanzierung aller

Mehr

DNotI. Fax - Abfrage. GrEStG 1 Abs. 3 Anteilsvereinigung bei Treuhandverhältnissen. I. Sachverhalt:

DNotI. Fax - Abfrage. GrEStG 1 Abs. 3 Anteilsvereinigung bei Treuhandverhältnissen. I. Sachverhalt: DNotI Deutsches Notarinstitut Fax - Abfrage Gutachten des Deutschen Notarinstitut Dokumentnummer: 1368# letzte Aktualisierung: 14. Juni 2004 GrEStG 1 Abs. 3 Anteilsvereinigung bei Treuhandverhältnissen

Mehr

Verband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU

Verband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU Verband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU 2 DIE MEDIZINISCH-PSYCHOLOGISCHE UNTERSUCHUNG (MPU) IST HOCH ANGESEHEN Das Image der Medizinisch-Psychologischen Untersuchung (MPU) ist zwiespältig: Das ist

Mehr

Selbsttest Prozessmanagement

Selbsttest Prozessmanagement Selbsttest Prozessmanagement Zur Feststellung des aktuellen Status des Prozessmanagements in Ihrem Unternehmen steht Ihnen dieser kurze Test mit zehn Fragen zur Verfügung. Der Test dient Ihrer persönlichen

Mehr

Technische Information zum Verlustwinkel-optimierten Lautsprecherkabel compact 6 M

Technische Information zum Verlustwinkel-optimierten Lautsprecherkabel compact 6 M Technische Information zum Verlustwinkel-optimierten Lautsprecherkabel compact 6 M Einleitung Die wissenschaftlich fundierte Ergründung von Klangunterschieden bei Lautsprecherkabeln hat in den letzten

Mehr

3 Übungen zur Kräftigung

3 Übungen zur Kräftigung 3 Übungen zur Kräftigung Definition Kraftfähigkeit: Fähigkeit des Sportlers, Widerstände durch willkürliche Muskelkontraktion zu überwinden bzw. äußeren Kräften entgegenwirken zu können (Schnabel/Harre/Borde,

Mehr

Zusammenfassende Beurteilung der Unterrichtsbeispiele für Wirtschaft und Recht

Zusammenfassende Beurteilung der Unterrichtsbeispiele für Wirtschaft und Recht Zusammenfassende Beurteilung der Unterrichtsbeispiele für Wirtschaft und Recht In die Auswertung der Beurteilungen der Unterrichtsbeispiele gingen von Seiten der SchülerInnen insgesamt acht Items ein,

Mehr

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung

Mehr

1 Aufgabe: Absorption von Laserstrahlung

1 Aufgabe: Absorption von Laserstrahlung 1 Aufgabe: Absorption von Laserstrahlung Werkstoff n R n i Glas 1,5 0,0 Aluminium (300 K) 25,3 90,0 Aluminium (730 K) 36,2 48,0 Aluminium (930 K) 33,5 41,9 Kupfer 11,0 50,0 Gold 12,0 54,7 Baustahl (570

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Allensbach: Das Elterngeld im Urteil der jungen Eltern

Allensbach: Das Elterngeld im Urteil der jungen Eltern August 2007 Allensbach: Das Elterngeld im Urteil der jungen Eltern Allensbach befragte im Juni 2007 eine repräsentative Stichprobe von 1000 Müttern und Vätern, deren (jüngstes) Kind ab dem 1.1.2007 geboren

Mehr

Psychologie im Arbeitsschutz

Psychologie im Arbeitsschutz Fachvortrag zur Arbeitsschutztagung 2014 zum Thema: Psychologie im Arbeitsschutz von Dipl. Ing. Mirco Pretzel 23. Januar 2014 Quelle: Dt. Kaltwalzmuseum Hagen-Hohenlimburg 1. Einleitung Was hat mit moderner

Mehr

Intrinsisch motivierte Mitarbeiter als Erfolgsfaktor für das Ideenmanagement: Eine empirische Untersuchung

Intrinsisch motivierte Mitarbeiter als Erfolgsfaktor für das Ideenmanagement: Eine empirische Untersuchung Intrinsisch motivierte Mitarbeiter als Erfolgsfaktor für das Ideenmanagement: Eine empirische Untersuchung Bearbeitet von Martina Sümnig Erstauflage 2015. Taschenbuch. 176 S. Paperback ISBN 978 3 95485

Mehr

GEVITAS Farben-Reaktionstest

GEVITAS Farben-Reaktionstest GEVITAS Farben-Reaktionstest GEVITAS Farben-Reaktionstest Inhalt 1. Allgemeines... 1 2. Funktionsweise der Tests... 2 3. Die Ruhetaste und die Auslösetaste... 2 4. Starten der App Hauptmenü... 3 5. Auswahl

Mehr

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig?

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Pädagogik Melanie Schewtschenko Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Studienarbeit Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung.2 2. Warum ist Eingewöhnung

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

für Patienten mit Knie-/ Hüftgelenkarthrose/ Knie-/ Hüftgelenkendoprothese

für Patienten mit Knie-/ Hüftgelenkarthrose/ Knie-/ Hüftgelenkendoprothese ÜBUNGSPROGRAMM für Patienten mit Knie-/ Hüftgelenkarthrose/ Knie-/ Hüftgelenkendoprothese WESERLAND-KLINIKEN BAD SEEBRUCH BAD HOPFENBERG VOGTLAND-KLINIK BAD ELSTER Herausgeber: Weserland-Klinik Bad Seebruch

Mehr

Private Altersvorsorge

Private Altersvorsorge Private Altersvorsorge Datenbasis: 1.003 Befragte im Alter von 18 bis 65 Jahren, bundesweit Erhebungszeitraum: 10. bis 16. November 2009 Statistische Fehlertoleranz: +/- 3 Prozentpunkte Auftraggeber: HanseMerkur,

Mehr

1. Einführung 2. 2. Erstellung einer Teillieferung 2. 3. Erstellung einer Teilrechnung 6

1. Einführung 2. 2. Erstellung einer Teillieferung 2. 3. Erstellung einer Teilrechnung 6 Inhalt 1. Einführung 2 2. Erstellung einer Teillieferung 2 3. Erstellung einer Teilrechnung 6 4. Erstellung einer Sammellieferung/ Mehrere Aufträge zu einem Lieferschein zusammenfassen 11 5. Besonderheiten

Mehr

Mikroökonomik 9. Vorlesungswoche

Mikroökonomik 9. Vorlesungswoche Mikroökonomik 9. Vorlesungswoche Tone Arnold Universität des Saarlandes 18. Dezember 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 9. Vorlesungswoche 18. Dezember 2007 1 / 31 Volkswirtschaftliche Rente

Mehr

Was sind Jahres- und Zielvereinbarungsgespräche?

Was sind Jahres- und Zielvereinbarungsgespräche? 6 Was sind Jahres- und Zielvereinbarungsgespräche? Mit dem Jahresgespräch und der Zielvereinbarung stehen Ihnen zwei sehr wirkungsvolle Instrumente zur Verfügung, um Ihre Mitarbeiter zu führen und zu motivieren

Mehr

Teamentwicklung. Psychologische Unternehmensberatung Volker Rudat

Teamentwicklung. Psychologische Unternehmensberatung Volker Rudat Teamentwicklung Konflikte klären, Regeln für die Kommunikation und Zusammenarbeit festlegen und wirksame Vereinbarungen treffen Es gibt keine Standardformel... Für die erfolgreiche Zusammenarbeit von Teams

Mehr

18. Magnetismus in Materie

18. Magnetismus in Materie 18. Magnetismus in Materie Wir haben den elektrischen Strom als Quelle für Magnetfelder kennen gelernt. Auch das magnetische Verhalten von Materie wird durch elektrische Ströme bestimmt. Die Bewegung der

Mehr

AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME

AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME UweGresser Stefan Listing AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME Erfolgreich investieren mit Gresser K9 FinanzBuch Verlag 1 Einsatz des automatisierten Handelssystems Gresser K9 im Portfoliomanagement Portfoliotheorie

Mehr

Daten sammeln, darstellen, auswerten

Daten sammeln, darstellen, auswerten Vertiefen 1 Daten sammeln, darstellen, auswerten zu Aufgabe 1 Schulbuch, Seite 22 1 Haustiere zählen In der Tabelle rechts stehen die Haustiere der Kinder aus der Klasse 5b. a) Wie oft wurden die Haustiere

Mehr

2. Psychologische Fragen. Nicht genannt.

2. Psychologische Fragen. Nicht genannt. Checkliste für die Beurteilung psychologischer Gutachten durch Fachfremde Gliederung eines Gutachtens 1. Nennung des Auftraggebers und Fragestellung des Auftraggebers. 2. Psychologische Fragen. Nicht genannt.

Mehr

Wachstum 2. Michael Dröttboom 1 LernWerkstatt-Selm.de

Wachstum 2. Michael Dröttboom 1 LernWerkstatt-Selm.de 1. Herr Meier bekommt nach 3 Jahren Geldanlage 25.000. Er hatte 22.500 angelegt. Wie hoch war der Zinssatz? 2. Herr Meiers Vorfahren haben bei der Gründung Roms (753. V. Chr.) 1 Sesterze auf die Bank gebracht

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

In diesem Thema lernen wir die Grundlagen der Datenbanken kennen und werden diese lernen einzusetzen. Access. Die Grundlagen der Datenbanken.

In diesem Thema lernen wir die Grundlagen der Datenbanken kennen und werden diese lernen einzusetzen. Access. Die Grundlagen der Datenbanken. In diesem Thema lernen wir die Grundlagen der Datenbanken kennen und werden diese lernen einzusetzen. Access Die Grundlagen der Datenbanken kurspc15 Inhaltsverzeichnis Access... Fehler! Textmarke nicht

Mehr

Darauf sollten Sie achten. Sechs Übungen zum Aufwärmen. Übungen für Fortgeschrittene. Übungen für Einsteiger. 3. Hampelmann. 1. Grätschstand..

Darauf sollten Sie achten. Sechs Übungen zum Aufwärmen. Übungen für Fortgeschrittene. Übungen für Einsteiger. 3. Hampelmann. 1. Grätschstand.. Darauf sollten Sie achten Gleichgültig, wie fit Sie bereits sind, oder welche Muskeln Sie kräftigen wollen: Muskeln sind im kalten Zustand ein recht sprödes Gewebe. Wärmen Sie sich deshalb vor jedem Kräftigungsprogramm

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Finanzierung: Übungsserie III Innenfinanzierung

Finanzierung: Übungsserie III Innenfinanzierung Thema Dokumentart Finanzierung: Übungsserie III Innenfinanzierung Lösungen Theorie im Buch "Integrale Betriebswirtschaftslehre" Teil: Kapitel: D1 Finanzmanagement 2.3 Innenfinanzierung Finanzierung: Übungsserie

Mehr

Anwendungshinweise zur Anwendung der Soziometrie

Anwendungshinweise zur Anwendung der Soziometrie Anwendungshinweise zur Anwendung der Soziometrie Einführung Die Soziometrie ist ein Verfahren, welches sich besonders gut dafür eignet, Beziehungen zwischen Mitgliedern einer Gruppe darzustellen. Das Verfahren

Mehr

Der Leverage-Effekt wirkt sich unter verschiedenen Umständen auf die Eigenkapitalrendite aus.

Der Leverage-Effekt wirkt sich unter verschiedenen Umständen auf die Eigenkapitalrendite aus. Anhang Leverage-Effekt Leverage-Effekt Bezeichnungs- Herkunft Das englische Wort Leverage heisst Hebelwirkung oder Hebelkraft. Zweck Der Leverage-Effekt wirkt sich unter verschiedenen Umständen auf die

Mehr

Deutliche Mehrheit der Bevölkerung für aktive Sterbehilfe

Deutliche Mehrheit der Bevölkerung für aktive Sterbehilfe Allensbacher Kurzbericht 6. Oktober 2014 Deutliche Mehrheit der Bevölkerung für aktive Sterbehilfe Zwei Drittel sind für die Erlaubnis aktiver Sterbehilfe, 60 Prozent für die Zulassung privater Sterbehilfe-Organsationen.

Mehr

Induktivitätsmessung bei 50Hz-Netzdrosseln

Induktivitätsmessung bei 50Hz-Netzdrosseln Induktivitätsmessung bei 50Hz-Netzdrosseln Ermittlung der Induktivität und des Sättigungsverhaltens mit dem Impulsinduktivitätsmeßgerät DPG10 im Vergleich zur Messung mit Netzspannung und Netzstrom Die

Mehr

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Kapitel 1 (Intermedia- Vergleich: Affinität) 1 Affinitätsbewertung als Mittel des Intermedia-Vergleichs Um die Streugenauigkeit eines Werbeträgers zu bestimmen,

Mehr

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten "bedingten Wahrscheinlichkeit".

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten bedingten Wahrscheinlichkeit. Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. Klasse 9 12 04/2015 Diabetes-Test Infos: www.mued.de Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8 % in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Speicher in der Cloud

Speicher in der Cloud Speicher in der Cloud Kostenbremse, Sicherheitsrisiko oder Basis für die unternehmensweite Kollaboration? von Cornelius Höchel-Winter 2013 ComConsult Research GmbH, Aachen 3 SYNCHRONISATION TEUFELSZEUG

Mehr

2 Physikalische Eigenschaften von Fettsäuren: Löslichkeit, Dissoziationsverhalten, Phasenzustände

2 Physikalische Eigenschaften von Fettsäuren: Löslichkeit, Dissoziationsverhalten, Phasenzustände 2 Physikalische Eigenschaften von Fettsäuren: Löslichkeit, Dissoziationsverhalten, Phasenzustände Als Fettsäuren wird die Gruppe aliphatischer Monocarbonsäuren bezeichnet. Der Name Fettsäuren geht darauf

Mehr

Leseprobe. Bruno Augustoni. Professionell präsentieren. ISBN (Buch): 978-3-446-44285-6. ISBN (E-Book): 978-3-446-44335-8

Leseprobe. Bruno Augustoni. Professionell präsentieren. ISBN (Buch): 978-3-446-44285-6. ISBN (E-Book): 978-3-446-44335-8 Leseprobe Bruno Augustoni Professionell präsentieren ISBN (Buch): 978-3-446-44285-6 ISBN (E-Book): 978-3-446-44335-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://wwwhanser-fachbuchde/978-3-446-44285-6

Mehr

Datenaufbereitung in SPSS. Daten zusammenfügen

Datenaufbereitung in SPSS. Daten zusammenfügen Daten zusammenfügen I. Fälle hinzufügen Diese Schritte müssen Sie unternehmen, wenn die Daten in unterschiedlichen Dateien sind; wenn also die Daten von unterschiedlichen Personen in unterschiedlichen

Mehr

Weiterbildungen 2014/15

Weiterbildungen 2014/15 Weiterbildungen 2014/15 Kurs 1 Das Konzept Lebensqualität In den letzten Jahren hat sich die Lebensqualität im Behinderten-, Alten-, Sozial- und Gesundheitswesen als übergreifendes Konzept etabliert. Aber

Mehr

Die drei Kernpunkte der modernen Portfoliotheorie

Die drei Kernpunkte der modernen Portfoliotheorie Die drei Kernpunkte der modernen Portfoliotheorie 1. Der Zusammenhang zwischen Risiko und Rendite Das Risiko einer Anlage ist die als Varianz oder Standardabweichung gemessene Schwankungsbreite der Erträge

Mehr