Konfidenzintervall für p

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1 Konfidenzintervall für p Worum geht es in diesem Modul? Ausgangspunkt 1 Schritt: Konstruktion eines Schwankungsintervalls 2 Schritt: Schwankungsintervall für p-dach 3 Schritt: Schwankungsintervall für p 4 Schritt: Herleitung der Formel für das Konfidenzintervall für p Vereinfachung der Formel für große n Breite des Konfidenzintervalls Zusammenhang zwischen Schätzwert und Präzision Zusammenhang zwischen Konfidenzniveau und Präzision Zusammenhang zwischen Stichprobenumfang und Präzision Worum geht es in diesem Modul? Aus dem ist uns bereits ein Punktschätzer für den Anteilswert bekannt Basierend auf diesem Schätzer werden wir in diesem Modul ein entsprechendes Konfidenzintervall herleiteten - dabei werden einige Besonderheiten zu beachten sein Abschließend werden einige Modifikationen vorgestellt, die sich ergeben, wenn statt mit einfachen Zufallsstichproben mit geschichteten Zufallsstichproben gearbeitet wird Ausgangspunkt Bisher haben wir uns im Rahmen der Intervallschätzung mit Konfidenzintervallen für die Parameter ( bekannt oder unbekannt) und (vgl ) der Normalverteilung beschäftigt In diesem Modul wird die Ableitung eines Konfidenzintervalls für den Anteilswert behandelt Das Schätzproblem ist uns aus dem Bereich der Punktschätzung (vgl ) bereits hinreichend bekannt Bei der Herleitung können wir prinzipiell dem bewährten Schema folgen Allerdings ist im Fall der Binomialverteilung die Ableitung eines exakten Konfidenzintervalls recht kompliziert Wir werden stattdessen auf einen Trick zurückgreifen und ausnutzen, dass sich die Binomialverteilung bei großem Stichprobenumfang durch eine Normalverteilung approximieren lässt Die Herleitung erfolgt in vier Schritten 1 Schritt: Konstruktion eines Schwankungsintervalls Page 1

2 Für große lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren (vgl ), dh wenn binomialverteilt ist mit den Parametern und,, dann ist näherungsweise normalverteilt mit den Parametern und Demzufolge ist der Schätzer näherungsweise normalverteilt mit und Zufallsvariable Daraus folgt, dass die standardisierte näherungsweise standardnormalverteilt ist: Veranschaulichung des Alpha-Niveaus an der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Nun können wir so vorgehen, wie bei der Herleitung des Konfidenzintervalls für Normalverteilung: Zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit lässt sich über die Forderung (vgl Abbildung) bei das ( )-Intervall abgrenzen Nach einigen Umformungen erhalten wir das zentrale ( )-Schwankungsintervall für mit den Grenzen, für das die Wahrscheinlichkeitsaussage gilt (der ausführliche Rechenweg findet sich im ) 2 Schritt: Schwankungsintervall für p-dach Rekapitulieren wir: Wir haben mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes über die standardnormalverteilte Zufallsvariable approximiert, dann haben wir das zentrale ( )-Schwankungsintervall für bestimmt Aus dem zentralen Schwankungsintervall für können wir leicht ein zentrales Page 2

3 Schwankungsintervall für gewinnen, indem wir für den Ausdruck in unsere letzte Gleichung einsetzen Es ergibt sich Um das Schwankungsintervall für zu erhalten, müssen wir die Gleichung so umstellen, dass isoliert in der Mitte der Ungleichung steht Wir erhalten Also ist das Intervall näherungsweise das zentrale ( )-Schwankungsintervall für 3 Schritt: Schwankungsintervall für p Mithilfe der Gleichung können wir jetzt also ein Intervall für zum Niveau konstruieren, so dass auf lange Sicht der Anteil unserer Schätzungen in diesem Intervall liegen werden und der Anteil nicht Das löst die Frage nach dem Intervall für bei gegebenem, unser Ziel ist aber ein Intervall für bei gegebenem Wie kommen wir von dem Schwankungsintervall für zum Konfidenzintervall für? Die folgende Überlegung bringt uns ans Ziel: Angenommen, wir wollen das zentrale ( )-Schwankungsintervall für nicht für ein bestimmtes, sondern für verschiedene grafisch angeben Dazu tragen wir an der Abszisse eines Page 3

4 und an der Ordinate die untere und obere Grenze, und ab Grafische Bestimmung der Grenzen des Schwankungsintervalls für p-dach (für alpha=05, n=10) Wir erkennen zunächst, dass die Näherung durch die Normalverteilung dazu führt, dass sich für kleine unzulässige negative Werte für ergeben (blau gestrichelt, unten), die wir durch ersetzen Für große ergeben sich unzulässige Werte größer als 1 für (blau gestrichelt, oben), die wir durch ersetzen Für jedes gewählte können wir nun das zentrale Schwankungsintervall für, für das sich und ergibt ablesen; die Abbildung verdeutlicht das exemplarisch für Um zu dem (gesuchten) Intervall für zu kommen, benutzen wir die Abbildung nun umgekehrt: wir kennen nicht, haben aber aus der Stichprobe den relativen Anteil bestimmt und tragen ihn auf der Ordinate unserer Abbildung ab Wir fragen uns nun, bei welchen Werten von der von uns gefundene Wert von im zentralen Schwankungsintervall gelegen hätte Grafische Bestimmung der Grenzen des Schwankungsintervalls für p (für alpha=05, n=10) Die Antwort ist einfach: Zeichnen wir eine Waagerechte durch, dann ergibt sich als Schnittpunkt mit offenbar das kleinste (wir nennen es ), für das gerade noch in dem - fett eingezeichneten (linken) - Schwankungsintervall liegt Umgekehrt ergibt der Schnittpunkt mit das größte (wir nennen es ), für das gerade noch in dem - fett eingezeichneten - Schwankungsintervall liegt Anders gesagt: Das Intervall enthält alle Werte, für die das gegebene im ()-Schwankungsintervall gelegen hätte ist also das gesuchte zweiseitige ( )-Konfidenzintervall für 4 Schritt: Herleitung der Formel für das Konfidenzintervall für p Wir haben das gesuchte Konfidenzintervall für grafisch abgeleitet Wie können wir nun die Formel finden, die unserer Graphik zugrunde liegt? Indem wir die bereits bekannte Gleichung nach auflösen Dazu muss die Gleichung nach aufgelöst werden Obwohl die Rechnung eigentlich keine besonderen Hürden in sich birgt, sind doch recht viele Umformungen anzustellen, weil in mehreren Potenzen auftaucht Wir geben daher das Ergebnis an, welches durch Quadrieren und anschließende Lösung der quadratischen Gleichung für folgt:, wobei für das negative, für das positive Vorzeichen gilt Also ergibt sich Satz - Konfidenzintervall für einen Anteilswert p: Page 4

5 Ist der relative Anteil von Einheiten mit der betrachteten Eigenschaft in der Stichprobe vom Umfang, dann ist mit näherungsweise ein zweiseitiges Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau für den Anteil von Einheiten mit der betrachteten Eigenschaft in der Grundgesamtheit; dabei ist das ( )-Quantil der standardisierten Normalverteilung Die Näherung gilt für nicht zu kleine Stichprobenumfänge ( ) Im Falle, dass sich aus der Gleichung ein ergibt, ist es durch zu ersetzen; entsprechend durch Beispiel: Konfidenzintervall für eine Wahlprognose Eine Partei verfolgt das Ziel, bei der Bundestagswahl 18% der Stimmen zu erhalten Um die Chancen zur Erreichung dieses ehrgeizigen Ziels zu ergründen, will man zwei Monate vor der Bundestagswahl eine Umfrage durchführen Ein externes Callcenter wird beauftragt, 1000 Interviews durchzuführen Personen, die nicht erreichbar sind oder keine Auskunft geben, sollen durch andere Personen ersetzt werden Bei der Befragung geben 157 von 1000 Befragten an, die Partei wählen zu wollen, wenn am kommenden Sonntag Wahlen wären Um festzustellen, inwiefern diese (in Bezug auf die anvisierten 18% geringe) Zahl das selbst aufgestellte Ziel infrage stellt, soll ein entsprechendes Konfidenzintervall aufgestellt werden Es wird das in der Sozialforschung übliche Konfidenzniveau von 95% gefordert Die Gleichung zur Bestimmung der Intervallgrenzen kennen wir bereits: Folgende Größen sind gegeben: (Stichprobenumfang) und Nach Einsetzen ergibt sich: bzw, An der Breite des Intervalls wird deutlich, dass die Genauigkeit der Schätzung auf einige Prozentpunkte beschränkt ist; immerhin umfasst das 95%-Konfidenzintervall aber die erhofften 18% noch knapp Der Start eines bereits von den Fans sehnsüchtig erwarteten Kinofilmes steht kurz bevor Die Betreiber eines Kinos wollen feststellen, ob das Interesse an dem Film so groß sein könnte, dass es lohnen würde, den Film in mehreren Kinosälen parallel vorzuführen Um die Besucherzahlen abzuschätzen, wurde über die stark frequentierte Website des Kinos eine Umfrage gestartet Bestimmen im Statistiklabor ( c7fzmpf ) ein Konfidenzintervall für den Anteilswert der Personen, die den Film in den ersten Page 5

6 Wochen nach dem Start sehen wollen Vereinfachung der Formel für große n Wenn sehr groß ist, können in der Gleichung für und die Terme, und vernachlässigt werden - diese Terme streben für wachsendes gegen 0 Dann lassen sich die Bestimmungsgleichungen für die Grenzen des Konfidenzintervalls entsprechend vereinfachen zu Dh das Konfidenzintervall wird und es gilt näherungsweise Allerdings ist dieses vereinfachte Konfidenzintervall deutlich schlechter als das über die quadratische Gleichung hergeleitete; es überdeckt den unbekannten Parameterwert oft in einem erheblich geringeren Anteil aller Fälle als den vorgegebenen Die Berechnung des über die quadratische Gleichung gewonnenen Konfidenzintervalls bereitet prinzipiell keine Schwierigkeiten; lediglich der Rechenaufwand ist durch die etwas komplexere Formel im Vergleich zur Vereinfachung höher Während die Vereinfachung früher eine gewisse Bedeutung hatte, gibt es heute Taschenrechner und Computer, mit deren Hilfe sich auch die komplexere Formel problemlos handhaben lässt Die einfache Formel hat daher ihre Bedeutung verloren Beispiel: Konfidenzintervall für eine Wahlprognose (2) Wir wollen anknüpfend an das Beispiel Wahlprognose zum Vergleich das einfache Konfidenzintervall basierend auf dem entsprechenden Datensatz bestimmen Alle erforderlichen Größen kennen wir bereits: (Stichprobenumfang) und Nach Einsetzen ergibt sich: bzw, Das approximierte Konfidenzintervall ist im Vergleich etwas schmaler Aufgrund des relativ großen Stichprobenumfangs von fallen die Unterschiede aber gering aus Beispiel: Qualitätskontrolle Ein Produzent von TFT-Panels, die zb in Flachbildschirmen zum Einsatz kommen, hat eine Produktionsstätte neu ausgerüstet Bei der Produktion ist mit Ausschuss zu rechnen - einige der Panels weisen defekte Pixel auf Obwohl eine gewisse Anzahl solcher defekter Pixel üblicherweise toleriert wird (idr etwa 0001%, also ca 8 Pixel bei einem Panel der Auflösung 1024x768 Pixel), sortieren viele Markenhersteller alle Panels aus, die nicht 100% in Ordnung sind Page 6

7 TFT-Panel und TFT-Flachbildschirm Während der Testphase werden 1969 Panels produziert Wir betrachten alle in dieser Zeit produzierten Einheiten als Grundgesamtheit Die ebenfalls im Aufbau befindliche Qualitätssicherung kann zunächst nur stichprobenartig prüfen Es gilt den Anteil defekter Panels (Panels mit mindestens einem defekten Pixel) aus der Test-Produktion zu schätzen Dazu werden aus der jeweiligen Tagesproduktion Panels zufällig ausgewählt und geprüft Am Ende der Testphase liegen Stichproben ( d12xls ) vor Nach den Formeln (einfaches Konfidenzintervall) und (approximiertes Konfidenzintervall) sollen Konfidenzintervalle zum Niveau berechnet werden Die je 50 Intervalle sind in der Abbildung visualisiert Einfaches und approximiertes Konfidenzintervall für p im Vergleich (k=50, n=10, p=018) Wir unterstellen im Folgenden, dass wir den wahren Wert von kennen, dieser betrage 18% Zunächst fällt auf, dass das einfache Konfidenzintervall symmetrisch ist, während das approximierte Intervall asymmetrisch um den jeweiligen Punktschätzwert gebildet wird - dadurch gelingt anscheinend eine bessere Überdeckung 9 von 50 einfachen Intervallen in der Untersuchung überdecken nicht; die tatsächliche Überdeckung beträgt 82% und unterschreitet das Konfidenzniveau von deutlich Wendet man die approximierte Formel auf dieselben Daten an, so überdeckt nur 1 von 50 Intervallen den wahren Parameterwert nicht, das geforderte Konfidenzniveau wird also eingehalten Im Beispiel wäre also von der Verwendung des einfachen Intervalls abzuraten Diese Empfehlung ist aber nicht unbedingt zu verallgemeinern, denn - es wurden nur Stichproben untersucht - ist evtl zu klein, um stabile Aussagen zu erhalten - die Ergebnisse könnten vom Stichprobenumfang oder vom Wert von abhängig sein Wir beziehen uns an dieser Stelle erneut auf die Ergebnisse der Umfrage eines Kinobetreibers zum Neustart eines beliebten Filmes Bestimmen Sie mit Hilfe des Statistiklabors ( d5azmpf ) für die Stichprobe nun zum Vergleich das einfache Konfidenzintervall für den Anteilswert Stellen Sie im Statistiklabor ( d65zmpf ) eine Simulation an und prüfen Sie das einfache Konfidenzintervall für in Bezug auf folgende Faktoren - Hängen Überdeckungshäufigkeit bzw Präzision der Schätzung von ab? Wenn ja, wie? - Hängen Überdeckungshäufigkeit bzw Präzision der Schätzung vom Stichprobenumfang ab? Wenn ja, wie? - Unter welchen Umständen ist die Anwendung des einfachen Konfidenzintervalls zu verantworten, in welchen Situationen sollte es auf keinen Fall angewendet werden? Breite des Konfidenzintervalls Die Breite des Konfidenzintervalls ist ein Maß für die Präzision der Schätzung Wir Page 7

8 können die Breite des Intervalls bestimmen, indem wir die Differenz aus oberer und unterer Grenze bilden: Wir sehen, dass die Breite des Konfidenzintervalls von, vom Konfidenzniveau und vom Stichprobenumfang abhängt Die genauen Zusammenhänge wollen wir im Folgenden ergründen Zusammenhang zwischen Schätzwert und Präzision Beim Konfidenzintervall für den Parameter der Normalverteilung () beeinflusste auch die Varianz die Präzision der Schätzung Bei unserem aktuellen Schätzproblem ist das nicht anders Allerdings ist die Varianz im Parameter der Binomialverteilung "enthalten", der sowohl Lage- als auch Streuungsparameter ist Für die Berechnung der Breite des Konfidenzintervalls maßgeblich ist die Varianz des Schätzers, die wir bereits bestimmt haben (): Da unbekannt ist, taucht in der Gleichung für die Breite des approximierten Konfidenzintervalls stattdessen die geschätzte Varianz auf Damit hängt die Breite des Konfidenzintervalls vom Schätzwert selbst ab! Die Abbildung zeigt diesen Zusammenhang für alle möglichen Schätzwerte, die sich bei einem Stichprobenumfang von ergeben können Zusammenhang zwischen dem Schätzwert p-dach und der Breite des Konfidenzintervalls (Präzision der Schätzung); Konfidenzniveau 095, Stichprobenumfang n=10 Die Präzision der Schätzung ist relativ gering, wenn nahe 05 liegt Ist dagegen sehr klein oder sehr groß, so ist Präzision der Schätzung hoch Dieser Zusammenhang erklärt sich anhand der Formel für die geschätzte Varianz von nimmt für gerade sein Maximum an Die Kopplung von Erwartungswert und geschätzter Varianz bei der Binomialverteilung bedeutet also, dass bei gleichem Stichprobenumfang und gleichem Konfidenzniveau im Mittel (denn es gilt ) präziser geschätzt werden kann, wenn nahe 0 oder nahe 1 ist Zusammenhang zwischen Konfidenzniveau und Präzision Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Konfidenzniveau (Sicherheit unserer Schätzung) und der Breite des Konfidenzintervalls (Präzision der Schätzung)? In die Gleichung für die Breite des Konfidenzintervalls fließt das Konfidenzniveau über das Quantil der Normalverteilung,, ein Je höher das Konfidenzniveau, desto größer wird (s Tabelle) Page 8

9 Der Einfluss auf die Breite des Konfidenzintervalls ist nicht auf den ersten Blick ersichtlich, weil in der Bestimmungsgleichung mehrmals in Zähler und Nenner auftaucht Bei genauerer Untersuchung der Gleichung zeigt sich, dass der Zähler schneller wächst als der Nenner - das Intervall wird bei höherem Konfidenzniveau also breiter Zusammenhang zwischen Konfidenzniveau (Sicherheit d Aussage) und der Breite des Konfidenzintervalls (Präzision der Schätzung); Stichprobenumfang n=10, p-dach=05; vgl auch Modul Konfidenzintervall für My bei Normalteilung (Sigma bekannt) Es zeigt sich also ein Konflikt zwischen Sicherheit der Schätzung (Konfidenzniveau) und Präzision der Schätzung (Breite des Intervalls) Im Extremfall, wenn wir den gesuchten Parameter mit Sicherheit überdecken wollen (Konfidenzniveau ), wird das zugehörige Konfidenzintervall so breit, dass es den gesamten Parameterbereich (hier 0 bis 1) überdeckt und somit jede Aussagekraft verliert Zusammenhang zwischen Stichprobenumfang und Präzision Wie wirkt sich eine Vergrößerung bzw Verkleinerung des Stichprobenumfangs auf die Präzision der Schätzung (Breite des Konfidenzintervalls) aus? Der Stichprobenumfang tritt im Zähler und im Nenner des Doppelbruchs auf Bei wachsendem verkleinert sich der Zähler jedoch rascher als der Nenner - die Intervalle werden also schmaler Um diesen Effekt zu isolieren, betrachten wir hypothetische Stichproben vom Umfang, die alle zu einem Schätzwert von führen Zusammenhang zwischen Stichprobenumfang n und der Breite des Konfidenzintervalls (Präzision der Schätzung); Konfidenzniveau 095, p-dach=05 Mit wachsendem Stichprobenumfang wird die Präzision der Konfidenzschätzung des unbekannten Parameterwertes tendenziell größer Im Grenzfall (dh praktisch, wenn alle Einheiten der Grundgesamtheit in die Erhebung eingeschlossen werden, also bei einer Vollerhebung) tendiert die Breite des Konfidenzintervalls gegen 0; der aus der immer größer werdenden Stichprobe geschätzte Anteilswert wird dem unbekannten Anteilswert der Grundgesamtheit gleich Verwenden Sie den Datensatz ( e9fxls ) aus Beispiel Qualitätskontrolle Bestimmen Sie im Statistiklabor ( ea3zmpf ) jeweils die approximierten Konfidenzintervalle zum Niveau und und vergleichen Sie Überdeckung und durchschnittliche Breite der Intervalle Einleitend wurde bereits darauf hingewiesen, dass man die Methoden der Inferenzstatistik nur auf Zufallsstichproben anwenden kann Wir haben uns bisher jedoch auf einfache Zufallsstichproben (vgl ) beschränkt Bei einer einfachen Zufallsstichprobe hat jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche - vorab angebbare - Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen Um die Schätzgenauigkeit zu verbessern, werden Erhebungen häufig mit einer geschichteten Zufallsauswahl (vgl ) anstelle einer einfachen Zufallsauswahl durchgeführt Veranschaulichung einer Grundgesamtheit vom Umfang N=70, die in 3 Schichten (N1=10, N2=20, N3=40) unterteilt wurde In diesem Exkurs wollen wir basierend auf einer geschichteten Zufallsstichprobe ein Konfidenzintervall für herleiten Dazu wird zunächst die entsprechende Notation eingeführt: Sei wieder der Anteil der Einheiten mit der interessierenden Eigenschaft (kurz: Page 9

10 Einheiten A) in der Grundgesamtheit Entsprechend der im Kapitel Erhebungsverfahren (vgl Modul Geschichtete Zufallsstichproben) eingeführten Notation besteht die Grundgesamtheit aus Schichten der Größe ; aus der Schicht werden Einheiten nach dem Zufallsprinzip ausgewählt; die gefundene Anzahl der Einheiten A unter diesen Einheiten sei Anzahl der Einheiten Anzahl der Einheiten A Anteil der Einheiten A Schicht h Grundgesamtheit Stichprobenumfang Anzahl der Einheiten A in der Stichprobe Anteil der Einheiten A in der Stichprobe Stichprobenumfang Anzahl der Einheiten A in der Stichprobe Anteil der Einheiten A in der Stichprobe Da wir aus der Schicht eine Zufallsstichprobe ziehen, gilt für diese Schicht alles, was wir bisher für den Fall einfacher Zufallsstichproben kennengelernt haben: ist ein Punktschätzer für, und ein Konfidenzintervall für finden wir, indem wir und anstelle von und in die Formeln einsetzen Da der Anteil von Einheiten A in der Grundgesamtheit ist, ist ein Punktschätzer für Um ein Konfidenzintervall für zu bekommen, machen wir wieder davon Gebrauch, dass näherungsweise normalverteilt ist Der Erwartungswert von ist und die Varianz ist Da wir die Anteile nicht kennen, ersetzen wir sie durch ihre Schätzwerte und erhalten als geschätzte Varianz von Page 10

11 Mithilfe von und finden wir ein einfaches ()-Konfidenzintervall für zu, wobei das ()-Quantil der standardisierten Normalverteilung ist Beispiel: Kundenzufriedenheit Ein Internet-Versandhändler kooperiert mit drei Paketdiensten Dieses Kooperationsmodell erwies sich als besonders kostengünstig, weil abhängig von verschiedenen Faktoren (Zahlungsweise, Gewicht und Beschaffenheit der Ware, Bestimmungsort und zeitlichen Aspekten) immer der günstigste Anbieter gewählt werden konnte Seit der Einführung dieses Versandmodells häufen sich allerdings Kundenbeschwerden über Nichteinhaltung der angegebenen Lieferzeiträume Um den Sachverhalt zu klären, stellt der Versandhändler eine Befragung an Die Grundgesamtheit bilden die Versandvorgänge des letzten Monats Es wird beschlossen, die Grundgesamtheit in Schichten zu untergliedern Die Versandvorgänge werden nach dem gewählten Paket-Dienstleister eingeteilt Es soll ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau für den Anteil der Liefervorgänge angegeben werden, die nicht fristgerecht ausgeführt werden konnten (in der Graphik rot) Geschichtete Grundgesamtheit und Stichprobe Orientiert an der Abbildung ergeben sich folgende Tabellen: Anzahl der nicht Grundgesamtheit Anzahl der Lieferungen () fristgerechten Lieferungen () Paketdienst Paketdienst Paketdienst gesamt Anteil der nicht fristgerechten Lieferungen () Stichprobe Stichprobenumfang () Anzahl der nicht fristgerechten Lieferungen () Anteil der nicht fristgerechten Lieferungen () Paketdienst 1 3 Page 11

12 0 0 Paketdienst Paketdienst Gesamt 18 9 vgl Hinweis Stichprobe Stichprobenumfang () Anzahl der nicht fristgerechten Lieferungen () Paketdienst Paketdienst Paketdienst Anteil der nicht fristgerechten Lieferungen () Gesamt 18 9 vgl Hinweis Das wahre beträgt 051 Als Punktschätzer erhalten wir Hinweis: Dieser Schätzwert entspricht nicht dem Anteil der Einheiten A in der Stichprobe () Der Grund liegt darin, dass wir zusätzliche Informationen haben, die wir bei dieser Rechnung vernachlässigen würden Wir kennen nämlich den Anteil der einzelnen Schichten am Umfang der Grundgesamtheit Dieser weicht bei einer disproportionalen Ziehung - wie sie in diesem Beispiel vorliegt - vom Anteil der Schichten am Umfang der Stichprobe ab (vgl Modul Geschichtete Zufallsstichproben) Um zu bestimmen, nutzen wir diese Informationen und gewichten die Häufigkeiten mit Für die Varianz ergibt sich Mit erhalten wir als Konfidenzintervall Page 12

13 Stellen Sie basierend auf dem Beispiel ein einfaches Konfidenzintervall für zum Konfidenzniveau auf Tun Sie dabei so, als sei die Grundgesamtheit nicht in Schichten unterteilt Gehen Sie also von einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang aus, in der nicht fristgerecht ausgeführte Liefervorgänge festgestellt wurden - Vergleichen Sie die Breite des auf der einfachen und des auf der geschichteten Zufallsstichprobe basierenden Konfidenzintervalls - Wie lässt sich die unterschiedliche Präzision erklären (vgl Modul Geschichtete Zufallsstichproben)? In diesem Modul wurde ein approximiertes Konfidenzintervall für den Anteilswert hergeleitet Die Präzision der Schätzung hängt in gewohnter Weise vom Stichprobenumfang und vom geforderten Konfidenzniveau ab Eine Besonderheit im Vergleich zum Konfidenzniveau für besteht allerdings darin, dass die Präzision der Schätzung auch vom unbekannten Parameterwert selbst abhängt, weil sowohl Lage als auch Streuung von diesem abhängen Aus dem approximierten Konfidenzintervall konnten wir ein "einfaches" Konfidenzintervall machen, indem wir einige Terme vernachlässigt haben Das einfache Konfidenzintervall weicht vom Konfidenzniveau (im Gegensatz zum approximierten Intervall) oft erheblich ab Es sollte insbesondere dann nicht verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang klein ist oder wenn in der Nähe von 0 oder 1 vermutet wird In einem Exkurs wurde gezeigt, wie sich ein Konfidenzintervall für den Anteilswert bestimmen lässt, wenn mit geschichteten Zufallsstichproben gearbeitet wird Im Vergleich zu einfachen Zufallsstichproben kann die Präzision der Schätzung durch die Schichtung gesteigert werden Wie stark der Präzisionsgewinn ausfällt, hängt von den Eigenschaften der Grundgesamtheit und der Einteilung der Schichten ab Konfidenzintervall für den Anteilswert p, approximierteserklärungkonfidenzintervall für den Anteilswert p, einfacheserklärungkonfidenzintervall für den Anteilswert p bei geschichteter ZufallsstichprobeErklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 13